自控非线性控制系统概述
《自动控制原理》考点精讲(第8讲 非线性控制系统分析)
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。 正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与 分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。 混沌：
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
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e
x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况 下，也可以通过积分法， 直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。 注1：线性系统的等倾线为直线； 注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其 切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可 在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率 为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切 线方向场。
自动控制原理8.1 非线性控制系统概述
当输入x趋于零时，等效增益趋于无穷大；由于输出 的幅值保持不变，故当|x|增大时，等效增益减小，
|x|趋于无穷大时，等效增益趋于零。
2. 死区特性的等效增益
死区特性一般是由测量元件、放大元件及执行元件 的不灵敏区所造成的。死区特性的等效增益曲线如 图8-4(b)所示。 当|x|<Δ时，k=0； |x|>Δ时，k为|x|的增函数，且随 |x|趋于无穷大时，k趋于k0。
参数，与外作用和初始条件无关。
对于非线性系统：可能存在多个平衡状态，各平衡状
态的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与系 统的初始条件有直接的关系。
如下述非线性一阶系统：
= x2 x － x = x ( x－ 1)
令x = 0 ，可知该系统存在两个平衡状态：
x = 0 和 x =1
设t=0时，系统的初始条件为x0，解上述微分方程得：
性近似表示为复变增益环节，然后推广应用频率法，
分析非线性系统的稳定性或自激振荡。
逆系统法：运用内环非线性反馈控制，构成伪线性
系统，设计外环控制网络。应用数学工具直接研究 非线性系统的运动方程，是非线性系统控制研究的 一个发展方向。
8.2 常见非线性特性及其 对系统运动的影响
一、非线性特性的等效增益
3. 饱和特性的等效增益
放大器及执行机构受电源电压或功率的限制导致饱 和现象。饱和特性的等效增益曲线如图8-4(c)所示。 当输入|x|≤a时，输出y随输入x线性变化，等效增益 k=k0；当|x|>a时，输出保持量保持常值，k为|x|的
不能回复至原平衡状态；而 平衡状态x=0在一定范围的 扰动下(x0<1)是稳定的。
图8-2 非线性一阶系统的 时间响应曲线
自动控制原理—非线性控制系统概述
a 2 2 A a j 4 x2 m 4 x2 m 2 2 A a j 4 x2 m 8
可见-1/N(A)轨迹为一条与实轴平行的直线 而G0(j)为
3.用描述函数法研究非线性控制系统 解:(续)
320 G 0 ( j ) j ( j 4)( j 8) - 3840 320(32 ) j 2 2 2 2 (16 )(64 ) (16 )(64 )
二阶系统的微分方程表达
d 2x dx dx dx a1 ( x, ) a0 ( x, ) x 0 2 dt dt dt dt
a1，a0为常数时表达线性定常系统。 a1，a0不为常数时表达非线性系统。
1. 基本概念
二阶系统的状态方程表达
. 令x1=x，x2=x1, 有
1 x2 x 2 a0 ( x1 , x2 ) x1 a1 ( x1 , x2 ) x2 a0 x1 a1 x2 x
4 6
Im o
Re
Im
推论：由右向左穿越G0(j)线的点是稳定的自振荡点
3.用描述函数法研究非线性控制系统 例 9.1
设非线性元件具有滞环继电特性(a/x2m=0.5), 试分析系统稳定性, 并判断是否存在稳定的自振荡.
R(s) -
x2m -a a
320 s(s+4)(s+8)
Y(s)
3.用描述函数法研究非线性控制系统 解:
(1)饱和特性的描述函数法
x2 -a K x2 t
a
x1
-
-
x1
t
2. 典型非线性元件的描述函数
(1)饱和特性的描述函数法 当A<a , x2(t) = KA sin t, N(A)=X2(A)/X1(A)=K 当A>a, KA sin t 0 t x2(t) = Ka t - KA sin t - t ∵ A sin =a ∴ = sin-1(a/A)
自动控制原理第十章非线性控制系统
自动控制原理第十章非线性控制系统非线性控制系统是指系统动态特性不能用线性数学模型表示或者用线性控制方法解决的控制系统。
非线性控制系统是相对于线性控制系统而言的，在现实工程应用中，许多系统经常具有非线性特性，例如液压系统、电力系统、机械系统等。
非线性控制系统的研究对于实现系统的高效控制和稳定运行具有重要意义。
一、非线性控制系统的特点1.非线性特性：非线性控制系统的动态特性往往不能用线性方程或者线性微分方程描述，经常出现非线性现象，如饱和、死区、干扰等。
2.多变量关联：非线性系统动态关系中存在多个变量之间的相互影响，不同变量之间存在复杂的耦合关系，难以分离分析和解决。
3.滞后响应：非线性系统的响应时间较长，且在过渡过程中存在较大的像后现象，不易预测和控制。
4.不确定性：非线性系统通常存在参数变化、外部扰动和测量误差等不确定性因素，会导致系统性能变差，控制效果下降。
二、非线性控制系统的分类1.反馈线性化控制：将非线性系统通过适当的状态反馈、输出反馈或其它形式的反馈转化为线性系统，然后采用线性控制方法进行设计。
2.优化控制：通过建立非线性系统的数学模型，利用优化理论和方法，使系统达到其中一种性能指标最优。
3.自适应控制：根据非线性系统的参数变化和不确定性，设计自适应控制器，实时调整控制参数，以适应系统的动态变化。
4.非线性校正控制：通过建立非线性系统的映射关系，将测量信号进行修正，以减小系统的非线性误差。
5.非线性反馈控制：根据非线性系统的特性，设计合适的反馈控制策略，使得系统稳定。
三、非线性控制系统设计方法1.线性化方法：通过将非线性系统在其中一工作点上线性化，得到局部的线性模型，然后利用线性控制方法进行设计和分析。
2.动态编程方法：采用动态系统优化的方法，建立非线性系统的动态规划模型，通过求解该模型得到系统的最优控制策略。
3.反步控制方法：通过构造适当的反步函数和反步扩散方程，实现系统状态的稳定和输出的跟踪。
自动控制原理--第8章 非线性控制系统相关知识介绍
自动控制原理
18
（3）相轨迹通过x轴的斜率 在x轴上，所有点都满足 x 。0除奇点外相轨迹在x轴上的斜率 为
f(x, x
x)
f(x, x
x)
所以，除了奇点外，相轨迹和x轴垂直相交。
（4
在相平面的上半平面，由于，则x随着参变量时间t的
加而增大，所以系统状态沿相轨迹由左向右运动；反之，
下半平面，由于，则x随着时间t的增加而减小，所以系统
第 8 章 非线性控制系统
8.1 概述 8.2 非线性系统的特点 8.3 相平面法 8.4 描述函数法 8.5 MATLAB在非线性控制系统分析中的应用
自动控制原理
1
8.1 概述
非线性系统与线性系统有着很大的差别，诸 如非线性系统的响应取决于输入信号的幅值和形 式，不能应用叠加原理，目前还没有统一的且普 遍适用的处理方法。
若相平面图关于原点对称，则相轨迹曲线在(x, x)和(-x, x)
点上的斜率相等，符号相同，应有 f(x, x) f(-x, x)
即有 f(x, x) f (x,x) 。
x
x
自动控制原理
17
1.相平面图的特点
（2）相平面图上的奇点和普通点
相平面上任一点(x, x) ，只要不同时满足x 0和 f(x, x) 0，
x 2
6
x 5 3
1
5
2
3
1
4
6
4
0
0
(a)具有硬弹簧的机械系统 (b)具有软弹簧的机械系统
图8.8 机械系统的频率响应
自动控制原理
12
8.3相平面法
相平面法是庞卡莱(H.Poincare)提出来的一 种用图解法求解一阶、二阶微分方程的方法，它 实质上属于状态空间分析法在二维空间中的应用， 该方法适合于研究给定初始状态的二阶自由运动 系统和给定初始状态及非周期输入信号(如阶跃、 斜坡或脉冲信号等)的二阶系统
自动控制原理非线性控制系统分析
y
0
a
x
-M
y M7
2、死区特性 当输入|x|≤ ∆ 时，输出y=0，当输入|x|> ∆ 时，y与x呈线性关系。∆ 死区范围，K=tgβ 是死 区特性线性段的斜率。
死区特性对系统最直接的影响是造成系统的 稳态误差。死区的存在相当于降低了系统的开环 增益，从而提高了系统的稳定性，减弱了过渡过 程的振荡性。另外死区可以滤除输入端做小幅度 振荡的干扰信号，从而提高系统的抗干扰能力。
81非线性控制系统概述研究非线性控制理论的意义实际上理想的线性系统并不存在组成系统的各元件的动态和静态特性都存在着不同程度的非线性
自动控制原理
第八章 非线性控制系统分析
8-1 非线性控制系统概述
1. 研究非线性控制理论的意义
实际上，理想的线性系统并不存在，组成 系统的各元件的动态和静态特性都存在着不同 程度的非线性。
y M -a K 0 a -M x
13
8
3、饱和特性 当输入|x|≤ a 时， y与x呈线性关系， 即y=Kx；当输入|x|> a时，输出y保持为 一常值 。a为线性区，K是饱和特性线性 区的斜率。 饱和特性对系统的影响比较复杂，随 系统的结构和参数的不同而不同。但一般 来说，饱和特性往往促使系统稳定，但会 减小系统的放大系数，降低系统的稳态精 度。
y y y
0
x
0
x
0
x
3
2. 非线性系统的特征 稳定性分析复杂，系统可能存在多个平衡状态； t x0 e x x( x 1) x(t ) 1 x0 x0 et
4
可能存在自激振荡现象； 频率响应发生畸变。
3. 非线性系统的分析与设计方法
自动控制原理第八章非线性控制系统
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
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自动控制原理第八章非线性 控制系统
目录
• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03
自动控制原理第九章非线性控制系统PPT课件
非线性系统的数学描述
01
02
04
非线性微分方程
非线性微分方程是描述非线性系统动态行为的数学模型之一。
它通常表示为自变量和因变量的函数，其中包含未知函数的导数。
非线性微分方程的解可以描述系统的输出响应与输入信号之间的关系。
解决非线性微分方程的方法通常包括数值解法和解析解法。
03
非线性传递函数是描述非线性系统的另一种数学模型。
非线性系统的特点
研究非线性系统的方法包括解析法、数值法和实验法等。
总结词
解析法是通过数学推导和求解方程来研究非线性系统的行为和特性。数值法则是通过数值计算和模拟来研究非线性系统的行为和特性。实验法则是通过实际实验来研究非线性系统的行为和特性，通常需要设计和构建实验装置和测试系统。
详细描述
非线性系统的研究方法
它类似于线性系统的传递函数，但包含非线性项和饱和项。
非线性传递函数可以表示系统的输入输出关系，并用于分析系统的性能和稳定性。
分析非线性传递函数的方法包括根轨迹法和相平面法等。
01
02
03
04
非线性传递函数
非线性状态方程是描述非线性系统动态行为的另一种数学模型。
非线性状态方程可以用于分析系统的稳定性和动态行为，并用于控制系统设计。
非线性系统仿真软件
非线性系统仿真实例是通过计算机仿真技术对实际非线性系统进行模拟和分析的实例，它可以帮助用户更好地理解非线性系统的特性和行为，并验证仿真模型的正确性和有效性。
常见的非线性系统仿真实例包括电机控制系统、飞行器控制系统、机器人控制系统等，这些实例可以帮助用户更好地了解非线性系统的控制方法和优化策略。
飞行器控制系统
化工过程控制系统
自动控制原理：第八章 非线性控制系统分析(描述函数)
【例8】系统如图，说明系统是否自振，并确定使系统稳定的初值
(A)范围。
【解】等效变换求等效G*(s)。
D(s) 1 N ( A) G1(s) G1(s) 0
N ( A) G1(s) 1 G1(s)
N ( A) G1(s) 1 1 G1(s)
G
*(s)
G1 ( s) 1 G1(s)
N ( A) 8
88
G( j )
2K
j (1 j )
2K
12
1
j
1
8
j
8
K
1
8 0.3927
Ac 8 2 3.6
K A ,
【例7】系统如图，已知
G1
(
s)
N
(
A)
1, s(s 1) 4M 1 A
G2 ( s)
h
2
A
K s
(A
h)
（1）G3 ( s),系1统是否自振？确定使系统自振的K值范围；求 K=2时的自振参数。
A
1
h 2
A
j
4Mh
A2
M h
4h
A
1
h 2
A
j
4h2
A2
1 A
N ( A) 4h
1 1 h 2
j
h
A
4h
1
h
2
A
j
h
A
A A
A
1
h
2
j
4h A 4
4. 自振分析（定性）
穿入 穿出 相切于
不是自振点 的点 是自振点
半稳定的周期运动
自振条件：
名称
自动控制原理-第8章 非线性控制系统教案
8 非线性控制系统前面几章讨论的均为线性系统的分析和设计方法，然而，对于非线性程度比较严重的系统，不满足小偏差线性化的条件，则只有用非线性系统理论进行分析。
本章主要讨论本质非线性系统，研究其基本特性和一般分析方法。
8.1非线性控制系统概述在物理世界中，理想的线性系统并不存在。
严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。
例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。
当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。
实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。
图8-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u 为电机的控制电压，纵坐标ω为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A 1OA 2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。
但如果电动机的工作区间在B 1OB 2区段．那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。
图8-1 伺服电动机特性8.1.1控制系统中的典型非线性特性组成实际控制系统的环节总是在一定程度上带有非线性。
例如，作为放大元件的晶体管放大器，由于它们的组成元件(如晶体管、铁心等)都有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；执行元件例如电动机，总是存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当输入电压达到一定数值时，电动机才会转动，即存在不灵敏区，同时，当输入电压超过一定数值时，由于磁性材料的非线性，电动机的输出转矩会出现饱和；各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，等等。
实际控制系统总是或多或少地存在着非线性因素，所谓线性系统只是在忽略了非线性因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。
第7章 非线性控制系统分析(《自动控制原理》课件)
• • •
••
•
得等倾线方程为: 令 d x/ dx = α , 得等倾线方程为 x = − x /(1 + α ) (15 ) • 若令 α = 1, x = − x / 2 , 则等倾线如下图所示 如 α = − 2 则等倾线如下图所示. • • x 则 x = x 等倾线如图中蓝线 等倾线如图中蓝线. α =1 依此类推, 依此类推 取不同的α 值, 由 x 式(15)画出足够密的一簇等倾 画出足够密的一簇等倾 0 线, 然后按各条等倾线所表示 的相轨迹在该条等倾线上的斜率将各点连 成一条光滑的曲线, 如左上图所示. 成一条光滑的曲线 如左上图所示 α = −2
•
•
设下图为式(1)在初始条件 设下图为式 在初始条件 x = x0 , x = x0 情况下的 x (t ) 与 x (t ) 的关系曲线. 平面上的点随时间的增大, 的关系曲线 当 t ∈ [ 0, ∞ ) 时, 平面上的点随时间的增大 • • 将沿曲线移动 当初始条件确定后 x A( x0 , x0 ) 将沿曲线移动. 当初始条件确定后, 曲线也确定, 曲线也确定 则曲线上任何一点的 • x 坐标也确定 当 x, x 的值确定后 由 的值确定后, 坐标也确定. 0 式(1)可知 x = f ( x , x ) 的值也唯一确 可知 从而系统的整个运动状态也完全确定. 定, 从而系统的整个运动状态也完全确定 整条曲线就清楚地描述了系统在某一初始条件下的运动 性质. 上图中的平面叫相平面, 性质 上图中的平面叫相平面 曲线叫系统在某一初始 条件下的相轨迹. 由于系统的初始条件可有无穷多个, 条件下的相轨迹 由于系统的初始条件可有无穷多个 因此相应的相轨迹也有无穷多条, 因此相应的相轨迹也有无穷多条 这无穷多条相轨迹构 成的相轨迹簇叫相平面图. 成的相轨迹簇叫相平面图 因为
自动控制原理-第8章 非线性控制系统
8 非线性控制系统前面几章讨论的均为线性系统的分析和设计方法，然而，对于非线性程度比较严重的系统，不满足小偏差线性化的条件，则只有用非线性系统理论进行分析。
本章主要讨论本质非线性系统，研究其基本特性和一般分析方法。
8.1非线性控制系统概述在物理世界中，理想的线性系统并不存在。
严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。
例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。
当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。
实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。
图8-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u 为电机的控制电压，纵坐标ω为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A 1OA 2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。
但如果电动机的工作区间在B 1OB 2区段．那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。
图8-1 伺服电动机特性8.1.1控制系统中的典型非线性特性组成实际控制系统的环节总是在一定程度上带有非线性。
例如，作为放大元件的晶体管放大器，由于它们的组成元件(如晶体管、铁心等)都有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；执行元件例如电动机，总是存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当输入电压达到一定数值时，电动机才会转动，即存在不灵敏区，同时，当输入电压超过一定数值时，由于磁性材料的非线性，电动机的输出转矩会出现饱和；各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，等等。
实际控制系统总是或多或少地存在着非线性因素，所谓线性系统只是在忽略了非线性因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。
自控非线性控制系统概述
Time t (s)
非线性系统产 生自激振荡！
deedemo1
ydot
1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -2 -1 0 1 2 3
y
11
频率响应发生畸变
稳定线性系统在正弦信号作用下的稳态输出是与 输入同频率正弦信号，幅值与相位是频率的函数。 非线性系统的频率响应包含倍频、分频等谐波分 量。系统输出的幅值不完全相同，并出现跃变！
1 xt 0 sgn xt 1 xt 0
死区特性
15
死区
y K x K1 x
K1 K x x
等效增益
y
K1
K1
K
K
0
x
0
x
死区特性
等效增益曲线
饱和特性
Saturation
x t
1
01
y t
——传动机构由静止状态启动时，必须克服静摩擦 力矩F1，启动后要克服机构中的动摩擦力矩F2 。
y
F1 F2
0
F2
K
静态： ess ↑ 动态：低速 运动不平滑
K1
x
K
0
x
F1
摩擦特性
等效增益曲线
带有摩擦的 机械位移系统
20
继电特性
Relay
4
3
xt
1
yt
2
1
0
-1
-2
-3
10
例 1： 弹簧、阻尼器、质量块位移系统
例 2： Van der Pol 方程
3
2.5 2
2 y 2 1y y0 y
自动控制原理非线性系统知识点总结
自动控制原理非线性系统知识点总结自动控制原理是现代控制领域中的核心学科，广泛应用于各个工程领域。
在自动控制原理课程中，非线性系统是一个重要的研究对象。
非线性系统具有较复杂的动态行为，与线性系统相比，其稳定性和性能分析更为困难。
在本文中，我们将对非线性系统的知识点进行总结。
1. 静态非线性系统静态非线性系统是最简单的非线性系统，其输出仅与输入的幅值相关。
常见的静态非线性函数有幂函数、指数函数、对数函数等。
分析静态非线性系统时，通常采用泰勒级数展开或者离散化的方法。
2. 动态非线性系统动态非线性系统是具有时间相关性的非线性系统。
其中最基本的形式是非线性微分方程。
在动态非线性系统中，常见的动力学行为有极值、周期、混沌等。
在分析动态非线性系统时，可以采用相位平面分析、Lyapunov稳定性分析等方法。
3. 线性化由于非线性系统分析的困难性，常常采用线性化的方法来近似描述非线性系统的行为。
线性化方法可以将非线性系统在某一操作点上进行线性近似，从而得到一个线性系统。
采用线性化方法时，需要注意选取适当的操作点，以保证线性化模型的准确性。
4. 系统稳定性非线性系统的稳定性是研究非线性系统的重点之一。
与线性系统相比，非线性系统的稳定性分析更为困难。
常用的方法有Lyapunov稳定性分析、输入输出稳定性分析等。
在稳定性分析时，需要考虑非线性系统的各种动力学行为，比如局部极大值点、周期分岔点、混沌行为等。
5. 非线性反馈控制非线性反馈控制是应用最广泛的非线性控制方法之一。
非线性反馈控制利用非线性函数对系统的输出进行修正，以实现系统的稳定性和性能要求。
其中，常见的非线性反馈控制方法有滑模控制、自适应控制、模糊控制等。
6. 非线性系统的鲁棒性鲁棒性是研究非线性系统控制的重要性能指标之一。
鲁棒控制能够保证系统在存在不确定性或者干扰的情况下，仍然保持稳定性和性能要求。
常见的鲁棒控制方法有H∞控制、鲁棒自适应控制等。
7. 非线性系统的最优控制最优控制是针对非线性系统的性能指标进行优化设计的方法。
自动控制原理 第九章 非线性控制系统
例：二阶系统（谐振子）
2 x 0 x
相轨迹方程为 x 2 2 x 2 A 2 2 相轨迹是一组椭圆族，系统只发生一种类型的运 动——相轨迹所表示的周期解，且与初始状态 有关。
x’
x
描述函数法（谐波线性化法）： • 非线性处理的近似方法，控制工程中较为普及的 一种实用方法。 • 优点：比较简单，解决问题全面，且适用于高阶 系统和各种非线性特性。 • 缺点：数学理论基础不完善，得到的结果既不是 充分的，也不是必要的，而且在近似过程中会丧 失部分非线性信息，从而无法从谐波线性化方程 中取得关于非线性系统的某些更复杂现象的本质 与特性
系统结构
r
e NL
Linear Plant
y
• 非线性环节的描述函数近似于一个复数增益的比 例环节，从而可以利用线性系统的频域分析方法 来讨论稳定性。 • 非线性元件的描述函数就等价于线性系统的频率 特性，所以线性系统理论中的频域结果，如奈氏 判据，波特图，霍尔维茨判据及根轨迹方法等， 几乎可以推广到非线性系统中来研究非线性元件 的稳定性、周期解等。
典型非线性环节及其影响 连续非线性特性
f(x) x
死区特性；饱和特性
f(x) x
1. 死区可由各种原因引起，如静摩擦、电气触点的气 隙、触点压力、各种电路中的不灵敏值等等；对系 统性能的影响也各不相同，有时可能导致系统不稳 定或自激振荡，但有另外一些场合，却有利于系统 的稳定性或是消除自振。在随动控制系统中，死区 的存在将会增大系统的稳态误差。 2. 许多执行元件也都具有饱和特性，例如伺服电机。 通常进入饱和区后，系统放大系数下降，从而导致 稳态精度降低。实际上，执行元件一般都兼有死区 和饱和两种特性。
“近20年来用微分几何方法研究非线性所取得的成功，就像20 世纪50年代用拉氏变换及复变函数理论对单输入单输出系统 的研究，或是20世纪60年代用线性代数对多变量线性系统的 研究一样，都具有里程碑的性质。”——Isidori
自控第8章 非线性系统
6. 非线性系统中，当输入量是正弦信号时，输出稳态分 量包含大量的谐波成分，频率响应复杂，输出波形会 很容易畸变。
11
三、非线性系统的分析方法
1、相平面法
时域分析法中的一种图解分析法。不适用于高阶系统。 2、描述函数法 结合频域分析法和非线性的谐波线性化的一综合图解分
析法。分析非线性系统稳定性和自激振荡比较有效。
二、继电特性
1、特性曲线
M y
来源：继电器是继电
特性的典型元件。
0
-M
x
继电特性 具有图示性质的继电特性称理想继电器。
15
2、数学表达式
y
M y M
x0
M
x 0
0
-M
x
造成的影响:
继电特性
（1）改善系统性能，简化系统结构。
（2）可能会产生自激振荡，使系统不稳定。
16
旋线，这种奇点称为稳定
焦点。 系统欠阻尼运动时的相轨迹
51
4、稳定节点
1
x(t ) A1e
q1t
这时方程的解为
A2e
q2t
其中
A1
x0 x0 2
1 2
A2
x0 x0 1
1 2
(t ) A1q1e q1t A2q2e q2t x
相轨迹: 描绘相平面上的点随时间变化的曲线叫相轨迹。
相轨迹方程：x2和 x1的关系方程。
35
例1 弹簧—质量块运动系统如图。
m 是物体质量；
k 是弹性系数； x 是偏离平衡点的位移。
为方便计算令 m=k=1 ；
已知初始条件
x(0) x0 x(0) x0
自动控制_08a非线性控制系统分析
(3) 在线性系统中，当输入信号为正 弦函数时，稳态输出信号也是相同频率 的正弦函数，两者仅在幅值和相位上不 问，因此可以用频率特性来表示系统的 固有特性。但是在非线性系统中，当输 入信号为正弦函数时，稳态输出信号通 常是包含高次谐波的非正弦周期函数， 其周期与输入信号相同。有时还会出现 跳跃谐振、倍频和分频振荡等现象。
附例1
x ax 0 , a 0, 将它写成微分方程组：
..
考虑二阶系统：
x(t0 ) x0
,
x (t0 ) x 0
.
.
dx . x dt dx ax dt
两式相除得到：
.
d x ax . dx x
.
即：
两边积分得:
dx axdx x
ax x 0 ax0 x
x | x | x
死区特性可能给控制系统带来不利影响， 它会使控制的灵敏度下降，稳态误差加大；死 区特性也可能给控制系统带来有利的影响，有 些系统人为引入死区以提高抗干扰能力。
(3)饱和特性 饱和也是一种常见的非线性，在 铁磁元件及各种放大器中都可遇到，其 特点是，当输入信号超过某一范围后， 输出信号不再随输入信号而变化，将保 持某一常数值(附图3)。饱和特性将使 系统在大信号作用下之等效放大系数减 小，因而降低稳态精度。在有些系统中 利用饱和特性做信号限幅。
第二类：手工图解绘制近似图。在计算机未得到 广泛应用的年代，人们研究出好几种手工近似作 图法，如等倾线法、 δ 法等。这些手工作图法要 绘出有一定精度的相轨迹图是十分繁琐的，如今 已没有多大实用价值。 第三类：计算机绘制精确图。借助计算机数值解 法以及SIMULINK等软件绘制相轨迹图。
相轨迹的基本特征有： 1）奇点 对于二阶系统，相平面上满足 奇点座标 ( xe , xe )是代数方程
自动控制原理第8章 非线性系统分析
一、 相平面的基本概念
设二阶非线性系统的微分方程为：
x f (x, x) 0
若令 x1 x, x2 x 则二阶系统可写成两个一阶微分方程，即
x1 x2
x2
f
(
x1,
x2
)
dx2 f ( x1, x2 )
dx1
x2
1.相平面，相点和相轨迹
以 x1 为横坐标，x2 为纵坐标的平面称为相平面， 相应的分析法称为相平面法；
x1 x2
x x
x1 x2
x2
f ( x1, x2 )
一般形式为
x1
f1( x1, x2 )
x2 f2 ( x1, x2 )
消去时间变量t，得到相轨迹的斜率方程
dx2 f2 ( x1, x2 ) dx1 f1( x1, x2 )
求解可得相轨迹方程，即
奇点为坐标原点,称 为不稳定焦点。
图8-4 -1＜＜0
时的相轨迹
(b) ＜-1时，特征根 是两个正实根，响应为 单调发散，相轨迹是一 族从原点出发向外单调 发散的抛物线，如图所 示。奇点为坐标原 点，称为不稳定节点。
图 8-5 ＜-1时的相轨迹
(c)对图所示的正反馈二阶系统
r(t)
n2 x1
相轨迹的斜率方程为:
dx2 2n x2 n2x1
dx1
x2
系统的奇点(平衡点)满足
dx2 0 dx1 0
解得 x1 0, x2 0 为系统的奇点。
系统的特征根为
1，2 -n n 2-1
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K1
K
ess ↑ ↓
x
a
K
0
a
x
a
0
a
饱和特性
等效增益曲线
17
间隙特性
Backlash
4
3
xt
1
yt
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
18
间隙—— 传动机构（齿轮、杆系）中，由于加工精度
和装配上的限制，必须存在间隙。
t K xt b sgn x y t c
A
1
6
5
2
跳跃谐振/多值响应
3
例 1：
xt a sin t
1
y t a sin t
1
y t Ak sin kt
k 1
y t
a 1
y t
a2
系统的频率发生畸变！
12
例 2： Duffing 方程
y y y3 r y
临界稳定！
2
Output y
1.5
1
0.5
0
-0.5
0
5
10
15
20
25
30
Time t
9
r t 1.72
K
7
6
不稳定！
非线性系统
Output y
5
4
稳定性与输 入信号的幅 值有关！
3
2
1
0
-1
0
5
10
15
20
25
30
Time t
自激振荡
—— 没有外界周期变化信号的作用时，系统内 产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动。
0
y
y t xt b K y t xt b K
b
x
间隙特性
间隙—— 传动机构（齿轮、杆系）中，由于加工精度
和装配上的限制，必须存在间隙。 ess ↑
y
振荡加剧
K1
0 x
0
0 x
0
b
x
0 x
x
0 x
间隙特性
等效增益曲线
19
摩擦特性
Friction
r a sin t
非线性系统 的频率响应 发生畸变！
三、非线性系统的特点
不能应用叠加原理 运动形式 稳定性问题 自激振荡 频率响应发生畸变
13
四、非线性系统的分析与设计方法
相平面法 描述函数法 逆系统法
第七章
非线性控制系统分析
7.1 非线性控制系统概述 7.2 常见的非线性特性及其对 系统性能的影响 7.3 描述函数法
4
运动形式
线性系统的运动形式只取决于系统本身的结构 参数，与初始偏差及外作用无关！
非线性系统的运动形式随初始偏差及外作用 不同而不同！
例 1：
时无解！
5
取不同初值 x0 时的仿真结果
非线性系统 的解空间与 初值有关！
稳定性问题
线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构 参数。某一运动稳定，则全部运动稳定！
非线性系统的稳定性与初始条件和外作用有 关！可能存在多个平衡状态，可能某些平衡状态 稳定，而另一些平衡状态不稳定。
6
x x2 例 1： x
dx dt xx 1
xt
t
xt
x0 e 1 x0 x0 e t
1
0
x0 1 x0 1
t
x0 x0 1
16
饱和—— 输出与输入只在小范围内是线性关系，当输
入超过线性段时，输出就达到最大值且不变。
y
a
K
0
a
x
xt a Ka y t Kxt xt a Ka xt a
饱和特性
饱和—— 输出与输入只在小范围内是线性关系，当输
入超过线性段时，输出就达到最大值且不变。 开环增益下降！
14
死区特性
Dead Zone
4
3
xt
0 .5
yt
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
死区——当输入信号在一个很小的范围内时，系统
或元件没有输出。
y
K
0 y t K xt sgn xt
xt
xt
0
x
平衡状态
0 x 0, 1 x
x0 1时，xt
x0 1时，xt 0
t ln
动态曲线
平衡状态 x = 0 稳定； 平衡状态 x = 1 不稳定，稍加扰动后不能再回到该状态。
非线性系统稳定性与初始条件和外作用有关！
例 2：
单摆(Pendulum)
7
mg sin ml
1 xt 0 sgn xt 1 xt 0
死区特性
15
死区
y K x K1 x
K1 K x x
等效增益
y
K1
K1
K
K
0
x
0
x
死区特性
等效增益曲线
饱和特性
Saturation
x t
1
01
y t
齐次性 可加性
scaling superposition
则S为 线性系统
2
二、研究非线性控制系统的意义
只要控制系统包含一个非线性元部件，则整个系 统就是非线性系统。 严格地说，实际的控制系统都是非线性系统！ 非本质非线性系统：在工作点附近，可以用“小 偏差法”进行线性化处理，然后用线性理论研究。 本质非线性系统：无法用“小偏差法”进行线性 化处理！必须有分析、研究非线性控制系统的理论。
——传动机构由静止状态启动时，必须克服静摩擦 力矩F1，启动后要克服机构中的动摩擦力矩F2 。
y
F1 F2
0
F2
K
静态： ess ↑ 动态：低速 运动不平滑
K1
x
K
0
x
F1
摩擦特性
等效增益曲线
带有摩擦的 机械位移系统
20
继电特性
Relay
4
3
xt
1
yt
2
1
0
-1
-2
-3
l
平衡状态
0
sin 0
m
* n
非线性系统可能存在多个平衡状态！
例 3：
8
r t 0.2
0.3
0.25
0.2
稳定！
Output y
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
0
5
10
15
20
25
30
Time t
r t 1.68
3.5
3
2.5
10
例 1： 弹簧、阻尼器、质量块位移系统
例 2： Van der Pol 方程
3
2.5 2
2 y 2 1y y0 y
1.5
2
1 0.5
等效 阻尼比
1
ydot
0
ydot
0 -0.5
-1
-1 -1.5 -2
-2
-3 0
5
10
15
20
-2.5 0
5
10
15
20
Time t (s)
2.5 2
Time t (s)
非线性系统产 生自激振荡！
deedemo1
ydot
1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -2 -1 0 1 2 3
y
11
频率响应发生畸变
稳定线性系统在正弦信号作用下的稳态输出是与 输入同频率正弦信号，幅值与相位是频率的函数。 非线性系统的频率响应包含倍频、分频等谐波分 量。系统输出的幅值不完全相同，并出现跃变！
有些非线性是控制系统元件固有的，一般来说 对系统性能不利； 如饱和、死区、摩擦等。 另一些非线性则是为了改善系统性能而人为加 入的，能使系统具有比线性系统更为优良的动态特性。 如继电器特性，变增益特性等。
3
三、非线性系统的特点
线性系统的优点
局部稳定 全局稳定 满足叠加原理 可用频率分析法
-4
0
1
2
3
4
5
6
7
8910源自继电 —— 可提高系统的响应速度，成为改善系统性
能的切换元件。也会使系统产生振荡。
y
M
K1
0
M
x
0
x
理想继电特性
等效增益曲线
21
22
第七章
非线性控制系统分析
7.1 非线性控制系统概述 7.2 常见的非线性特性及其对 系统性能的影响 7.3 描述函数法
第七章
非线性控制系统分析
7.1 非线性控制系统概述 7.2 常见的非线性特性及其对 系统性能的影响 7.3 描述函数法
1
一、非线性系统的定义
非线性
Nonlinear System
—— 元件或环节的静特性不是按线性规律变化。
非线性系统
—— 控制系统包含一个 (以上 )具有非线性静 特性的元件或环节。不能用线性微分方程来描述。