养老金计划的精算方法

(2)
: 将至少存续t年以上的概率。有：
将 tqx= 1 — tpx和tqy = 1— tpy代入上式，可得：
(3)
： 的概率密度函数。有：
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第十章 多元生命函数
(4)
： 的终止力。有：
(5)
的概率分布：用
表示 的整值剩余寿命(整值存续
时间)，
(方括号表示整值函数)，类似于式(2.3.18)，
(2)tqxy ：(xy)将在t年内(时刻0~时刻t)终止的概率。有:
将tPx = 1 — tqx和tPy = 1 — tqy代入上式，可得：
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第十章 多元生命函数
(3)gxy(t)：T(xy)的概率密度函数。有:
(4) μxy(t)：(xy)的终止力(类似于死力)。有：
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第十章 多元生命函数
由于
必然等于K(x)或K(y)中的一个，而K (xy)必然等于另一
个，所以无须独立性假设也有：
由上式以及式(10.2.6)、式(10.3.6)，可推出：
即有：
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第十章 多元生命函数
在独立性假设下，上式可改写为：
例10.3.1 T(x)与T(y)相互独立，且均服从死亡均匀分布假设，qx和
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第十章 多元生命函数
例10.2.1 T(x)和r(y)相互独立，写出(xy)中第1个死亡发生在时刻 s~时刻 t之间的概率(s< t)。
解：显然：
第三节最后生存状态
一、最后生存状态的定义
最后生存状态记为
，其中，m表示成员数，xi表示成员i的
(当前)年龄；任何一个成员活着时该状态存续，最后一个成员死亡时该
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第十章 多元生命函数
在状态(xy)终止年的年末提供1单位给付。 以下仅讨论二元联合生存状态。 二、T(xy)的概率分布 组成(xy)的双方(x)和(y)，其生死往往是相关的(共同投保一份保单
的双方 一般是关系密切的)，但这种相关性通常难以确定，故一般假设 T(x)与T(y)相互 独立。 用以下函数描述T(xy)的概率分布，假设T(x)与T(y)相互独立： (1)tPxy ：(xy)将至少存续t年以上的概率。有：
试写出： (1)两人中最先死亡的人在未来m~n年死亡的概率； (2)两人中最后死亡的人在未来m~n年死亡的概率。 其中，0<m<n<ω—y。 解：(1)在独立性假设和De Moive假设下，有：
所以：
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第十章 多元生命函数
(2)在独立性假设和De Moive假设下：
qy已知。写出tqxy和
的表达式，0< t< 1。
解：在死亡均匀分布假设下，有：
在独立性假设下，由式(10.2.3)，可得：
在独立性假设下，由式(10.3.1)，可得：
例10.3.2 与T(y)相互独立，服从De Moive假设(参数为ω)，x<y。
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第十章 多元生命函数
第四篇 扩展与提高
1 第十章 多元生命函数 2 第十一章 多元风险模型 3 第十二章 养老金计划的精算方法 4 第十三章 特殊保险产品
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第十章 多元生命函数
第一节引 言
在本书第二章到第九章中，一份保单只有一个被保险人，保单的受益金 给付 仅与该单个被保险人的生命状态相关。而本章将涉及这样一类保单： 一份保单有 多个被保险人，保单的受益金给付与该多个被保险人构成的 群体的生命状态(即多元生命状态)相关。相关方式主要有以下三种：
T(x1x2 …xm) = min[T(x1),T(x2),…,T(xm)] 式中，T(xi)为成员(xi)的剩余寿命。 联合生存状态下的精算符号，与一元生命状态下的相似，只是将下标中
单个 被保险人的年龄改为联合生存状态中各成员的年龄。比如，Axy 表示联合生存状态 (xy)的单位保额终身寿险的趸缴净保费，该终身寿 险
状态终止。最后 生存状态的剩余寿命(即存续时间)用
表示，
有：
式中，T(xi)为成员(xi)的剩余寿命。
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第十章 多元生命函数
以下仅讨论二元最后生存状态。
二、
的概率分布
用以下函数描述
的概率分布，假设T(x)与T(y)相互独立：
(1)
： 将在t年内(时刻0~时刻t)终止的概率。有：
受益金给付与顺位死亡相关：以群体中的成员按某种顺序死亡为死亡受
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第十章 多元生命函数
益金的给付条件。 本章将介绍上述三种情况下的精算原理与方法。
第二节联合生存状态
一、联合生存状态的定义 联合生存状态记为(x1x2 …xm) ，其中，m表示成员数，xi表示成员i
的(当前) 年龄；所有成员都活着时该状态存续，任何一个(即第一个) 成员死亡时该状态 终止。联合生存状态的剩余寿命(即存续时间)用 T(x1x2 …xm)表示，有：
有：
式中，
等于
将在一年内终止的概率；
将在时刻k~时刻k+1终止的概率。
表示
三、
与T(xy)及其概率函数间的关系
由于
必然等于T(x)或T(y)中的一个，而T(xy)必然等于另一个，
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第十章 多元生命函数
所以无须独立性假设也有： 由上式，可以推出以下结论：
即有：
由式(10.3.5)、式(10.3.9)和式(10.3.10)，可得：
受益金给付与联合生存状态相关：以群体中第一个成员的死亡(即联合 生存状态的终止)为死亡受益金的给付条件；以群体中所有成员都活着 (联合生 存状态的存续)为生存受益金的给付条件。
受益金给付与最后生存状态相关：以群体中最后一个成员的死亡(最后 生存状态的终止)为死亡受益金的给付条件；以群体成员尚未全部死亡 (最后生 存状态的存续)为生存受益金的给付条件。
所以：
第四节期望值、方差与协方差
―、T(xy)与
的期望值
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(5)K(xy)的概率分布：用K (xy)表示(xy)的整值剩余寿命(整值存 续时间)， K(xy) = [T(xy)](方括号表示整值函数)，类似于 (2.3.18)，有：
式中，q x+k：y+k表示(x + k: y + k)将在一年内终止的概率；k|qxy 表示(xy)将在时 刻k~时刻k + 1终止的概率。