第五次作业(固有频率、振型计算)
第六章 多自由度系统固有频率和主振型的两种近似解法.doc
第六章 多自由度系统固有频率和主振型的两种近似解法从多自由度问题的精确解的求解过程可知，求振系的固有频率及主振型是一项必不可少的过程，当自由度较少时，可直接求固有频率及主振型，但当自由度较多时，关于固有频率的求解就很复杂，如一个16自由度的振动问题，仅为展开频率方程的行列式，就需要进行720次计算，当然这些计算可借助计算机解决，但关于固有频率的近似计算及其计算思想，在实际应用及理论研究中仍具有一定的意义。
本章主要介绍求固有频率的两种方法：矩阵迭代法及传递矩阵法。
6-1矩阵迭代法矩阵迭代法适合于自由度较多的复杂系统，该法可以同时计算出系统的固有频率和相应的主振型，当自由度很多，但只要计算出低阶的几个频率时，矩阵迭代法很为适用，其大量的计算可由计算机完成。
在第五章已经介绍过，多自由度无阻尼系统的振动微分方程有两种形式，一种是用刚度矩阵建立的，其固有频率和主振型可由下式求，[]{}[]{}{}02=-A M p A K或写成[]{}[]{}A M p A K 2= （6-1）另一种是用柔度矩阵建立的，其固有频率和主振型可由下式求出{}[][]{}{}012=-A M R A p 或写成{}[][]{}A M R A p=21（6-2） 用[]1-M 前乘（6-1）式，得[]1-M []{}{}A p A K 2= （6-3）方程（6-2）（6-3）可写成如下统一的形式[]{}{}A A D λ= (6-4)（6-4）式称为特征值问题的标准形式，即矩阵迭代法的基本迭代公式。
式中[]D 称为动力矩阵，λ则是矩阵[]D 的特征值，当[]D 是按刚度矩阵形成时，即[][][]K M D 1-=，则λ表示固有频率的平方，λ＝p 2，而当[]D 是按柔度矩阵形成时，即[][][]K R D =，则λ表示固有频率的平方的倒数，λ＝1/p 2。
显然，任一阶固有频率和主振型都是（6-4）式的精确解。
下面介绍从（6-4）式出发进行迭代的基本过程：1) 某个经过基准化了的初始迭代向量{}1A （所谓基准化就是选取迭代向量的某个分量为基准值1），现选取{}1A ，使其第一个元素A 1，1为基准值1，并作[]{}1AD =运算，运算得到一个新的列阵{}1B ，再将{}1B 基准化，即将新的列阵{}1B 中的各元素均除以B 1，1，可得[]{}{}{}21,111A B B A D ==2) 与{}2A ，如果{}1A ≠{}2A ，则重复上述步骤，以[]D 乘{}2A ，得[]{}{}{}32,122A B B A D ==3) 比{}2A 与{}3A ，如果{}3A ≠{}2A ，则继续重复上述步骤，以[]D 乘{}3A ，…，直到第k 次迭代[]{}{}{}1,1+==k k k k A B B A D ，当式中{}k A ＝{}1+k A 时停止，这时，特征值1λ＝B 1，k ，而相应的特征向量就等于{}k A 。
固支梁各阶固有频率及振型测量
固⽀梁各阶固有频率及振型测量固⽀梁各阶固有频率及振型测量
⼀、实验⽬的：
1. 熟悉梁的固有频率测量原理及振型形状；
2. ⽤共振法确定固⽀梁的各阶固有频率和振型。
⼆、实验仪器设备及安装⽰意图：
1. 计算机
2. YE6230T3动态数据采集系统
3. 功率函数发⽣器
4. 机械振动实验台
5. 加速度传感器激光位移传感器电涡流传感器⾃选
6. 激振器
三、实验过程：
四、实验结果及分析：
1、前三阶固有频率测量结果
2、各测点实测振幅（单位：）1，175；
3、各测点振幅换算值
4、绘出固⽀梁前三阶振型图⼀阶振型图
⼆阶振型图三阶振型图
多⾃由度系统各阶固有频率及主振型的测量⼀、实验⽬的⼆、实验设备及安装⽰意图
三、实验结果与分析
1、不同张⼒下各阶固有频率的理论计算值与实测值
2、绘出观察到的三⾃由度系统振型曲线。
3、将理论计算出的各阶固有频率、理论振型与实测固有频率、实测振型相⽐较，是否⼀致? 产⽣误差的原因在哪⾥?。
力学桥梁振动实验报告
一、实验目的1. 理解桥梁振动的基本原理和影响因素。
2. 通过实验，验证桥梁振动的理论公式，如固有频率、振型等。
3. 掌握桥梁振动实验的基本操作和数据处理方法。
4. 分析桥梁在不同载荷和结构参数下的振动特性。
二、实验原理桥梁振动是指桥梁在外力作用下发生的周期性运动。
根据振动形式，桥梁振动可分为自由振动和强迫振动。
本实验主要研究桥梁的自由振动。
桥梁的自由振动可以由以下公式描述：\[ m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = 0 \]其中，\( m \) 为桥梁的质量，\( x \) 为桥梁的位移，\( t \) 为时间，\( c \) 为阻尼系数，\( k \) 为桥梁的刚度。
桥梁的固有频率 \( \omega_n \) 可以通过以下公式计算：\[ \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} \]三、实验设备和仪器1. 桥梁振动实验台2. 力传感器3. 数据采集器4. 激振器5. 激光测距仪6. 振动传感器7. 计算机四、实验步骤1. 搭建实验装置：将桥梁振动实验台安装好，连接好力传感器、数据采集器、激振器、激光测距仪和振动传感器。
2. 调整实验参数：根据实验要求，调整桥梁的初始状态，如初始位移、初始速度等。
3. 激发振动：使用激振器激发桥梁振动，同时记录力传感器和振动传感器的数据。
4. 采集数据：使用数据采集器实时采集力传感器和振动传感器的数据，并存储到计算机中。
5. 数据处理：对采集到的数据进行处理，如滤波、计算固有频率、振型等。
五、实验结果与分析1. 固有频率的测定：通过实验数据，计算桥梁的固有频率，并与理论计算值进行比较。
2. 振型的测定：通过实验数据，绘制桥梁的振型图，分析桥梁在不同频率下的振动模式。
3. 影响因素分析：分析桥梁在不同载荷和结构参数下的振动特性，如桥面质量、阻尼系数、刚度等。
六、结论1. 通过实验，验证了桥梁振动的理论公式，并计算出桥梁的固有频率和振型。
机械振动基础作业(有答案-全版)
1.2 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度？解：前轴或后轴垂直振动的振动模型简图为图1.2所示，此时汽车振动简化为二自由度振动系统。
2m 为非悬架质量，1m 为悬架质量1. 3设有两个刚度分别为21,k k 的线性弹簧如图T-1.3所示， 试证明：1）它们并联时的总刚度eq k 为：21k k k eq +=2）它们串联时的总刚度eq k 为：21111k k k eq +=证明：1) 如图T-1.3(a)所示，21,k k 两个弹簧受到力的作用，变形相同， 即2211k F k F k F eq ==, 而F F F =+21，故有 F F k kF k k eq eq =+21, 从而 21k k k eq +=2）如图T-1.3(b)所示，21,k k 两个弹簧受到相同的力作用 即∆=∆=∆=eq k k k F 2211 （1）且21∆+∆=∆ （2）由（1）和（2）有：)(21k Fk F k F eq += （3） 由（3）得:21111k k k eq += 1.8证明：两个同频率但不同相角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动，即)cos()cos(cos θωϕωω-=-+t C t B t A ，并讨论ϕ=0，ππ,2三种特例。
证明：因t B t B t B ωϕωϕϕωsin sin cos cos )cos(+=-从而有t B t B A t B t A ωϕωϕϕωωsin sin cos )cos ()cos(cos ++=-+令 ()ϕϕϕθ222sin cos sin sin B B A B ++=则()[]t t B B A t B t A ωθωθϕϕϕωωsin sin cos cos sin cos )cos(cos 222+++=-+=())cos(sin cos 222θωϕϕ-++t B B A令C=()ϕϕ222sin cos B B A ++，则有 )cos()cos(cos θωϕωω-=-+t C t B t A当ϕ=0时，C=A+B ；当ϕ=2π时，22B A C +=，22BA arcsin +=B θ ；当ϕ=π时，B A -=C ，0=θ1.13汽车悬架减振器机械式常规性能试验台，其结构形式之一如图T-1.13所示。
4.2多自由度系统的固有频率与主振型
同样的，将 代入式（4-23），可得
将 代入式（4-23），可得
矩阵特征值问题通常表示成下述标准形式：
（4-24）
其中， 是实数方阵， 是特征矢量， 是特征值。在大多数算法中还假设 是对称阵。
显然，方程（4-15）与（4-17）都具有（4-24）式的形式。不过无论是 还是 一般都不是对称阵。为了将它们化为对称阵，可进行如下坐标变换。
（4-36）
例4-7设图4-1所示三自由度系统中有 ， ， 。试将系统矩阵化为对称阵。
解：系统的柔度矩阵与质量矩阵分别为
，
故系统矩阵 为非对称阵：
因为这时 为对角阵，所以有
按式（4-36）进行变换，有
所得 已是对称阵。
矩阵特征值问题属于线性代数的一个专题。已经发展了许多有效的算法来求解各种形式的矩阵的特征值问题。关于这一问题的详细论述，请读者参阅有关专著及手册。
（4-18）
它有非零解的条件为
（4-19）
（4-19）式称为系统的频率方程或特征方程。对它展开的结果，可得一个关于 的 次代数方程：
（4-20）
它的 个根 成为系统的特征根，亦称矩阵 的特征值。特征值 与系统固有频率 之间有如下关系：
（4-21）
一般说来， 次代数方程的 个根，可以是单根，也可以是重根；可以是实数，也可以是复数。但是，在我们所考虑的情形中，由于系统质量矩阵是正定的实对称阵，刚度矩阵是正定的或半正定的,故所有特征值都是实数，并且是正数或零。事实上，由正定与半正定的条件，对于任何非零的 ，有
4.2 多自由度系统的固有频率与主振型
一、固有频率和主振型
上节导出了多自由度系统的自由振动微分方程：
机械动力学第五章作业(答案)
5-1某筛煤机的筛子以 600 rpm 的频率作往复运动，机器重 500 kN ，基频为 400 rpm 。
若装上一个重 125 kN 的吸振器以限制机架的振动，求吸振器的弹簧刚度 k2 及该系统的两个固有频率。
解：1122122220sin 00x k k k x M t x k k x m ω+-⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎧⎫+=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎣⎦⎩⎭&&&& 211222222sin 0x t k k M k x k k m ωωω⎡⎤+--⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎢⎥-⎩⎭⎩⎭⎣⎦ 2222221221222221221222sin ()sin 0()()()()k m k t k k k M k m tX k k M k m k k M k m k ωωωωωωωωω-+-⎧⎫-==⎨⎬+--+---⎩⎭ 422122121210k k k k k M M M M ωω⎛⎫+-++=⎪⎝⎭ 2222222400k M ωωπ=== 221111403k M ωπ⎛⎫== ⎪⎝⎭222211100k M M M ωπ== 422122121210k k k k k M M M M ωω⎛⎫+-++=⎪⎝⎭ ⇒ 422449610064100ωπωπ-+⨯= ⇒ 221130ωπ= ，222548ωπ=⇒ 135.82/rad s ω=，273.54/rad s ω=5- 2 求如图所示系统的固有频率和主振型。
( 杆为刚性，不计质量。
)解：22222()2()333l J m l m ml =+= 12x x l θ-=由1212212(2)(2)mx mx k x x k x x +=----&&&& 得 121220mx mx kx kx +++=&&&&由12211224545()(2)(2)33333B A l l l lJ ml x x F F k x x k x x θ=-=-=---&&&&&& 得 12122214130mx mx kx kx -+-=&&&&所以[]112220221413x x m m k k x x m m k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&&&10.8110k m ω= 2 2.6158kmω= 21121121221111120.6577()0.9214(0.6577)X m k k kX k m k k ωω--⨯===--- ，120.921.00X X ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 2112212222111122 6.8423() 2.3423( 6.8423)X m k k kX k m k k ωω--⨯===----，12 2.341.00X X -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 所以[]111.0850.427u ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦5- 3选如图所示均质杆的质心C 点向下移动的位移 x 及杆顺时针方向转角θ为广义坐标，求系统的固有圆频率和主振型。
振动体系固有频率计算公式分析
从上式可 以看 出， 邓柯 莱公式 是在 左端 略去 高频项 得 到的 ，
因而它给 出的基频将低于实际值 。
． ３ 文献 ［ ４ ］ 计算方法 时， 仅涉及到积分 和求和 ， 所 以 比直 接求解 自由振动 微分方 程 方 １
Ｉ Ｅ ｌ ［ （ ） ］ ｄ ｘ ，
甜 ＝＿————————— ——一 — — — — — — — — 一 （ Ｌ １ Ｊ ）
去
＋ Ａ ｍ ） 击 ＋ Ａ ｍ （ ３ ）
Ｊ ｍ （ ） （ ） ｏ ｋ ＋ ∑ （ ）
［ ６ ］ “ 西气东输”中天然气合理 应用方式研 究［ Ｍ］ ． 北京 ： 中国建
筑 工 业 出版 社 ． ２ ０ ０ ８ ．
Ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ ｏ ｎ Ｌｉ ｎ ｆ ｅ ｎ ｕ ｒ ｂ ａ ｎ － ｒ ｕ ｒ ａ ｌ ｇ ａ ｓ ｐ ｌ ａ ｎ ｎ ｉ ｎ ｇ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｄ ｅ ｖ ｅ ｌ ｏ ｐ ｍｅ ｎ ｔ
有一定优越性 的计算公式 ， 对实际工程 中振动体系 固有频率 的计算有重要 的意义 。
关键词 ： 振动体 系 ， 固有频率 ， 计算公式
中 图分 类 号 ： Ｔ Ｕ ３ １ １ ． １ 文献标识码 ： Ａ
０ 引言
便得多 。用瑞利法求固有频率 ， 必需 知道振型 函数 Ｕ（ ） ， 而精确
（ ｘ ） 事先往 往 不知 道 ， 所 以必 须先 假定 一个 Ｕ（ ） 来 进行 计 在结构振动体 系问题 的研究 中， 计算 系统 的各 阶 固有频 率 ， 的Ｖ 算 ， 由此得 到的结 果就 有一 定的近似 性 。一般 来说 ， 很 难精 确地 尤其是基本 固有频率 ， 是十分重要 的。相应 的计算 多 自由度振动 故利用 假设高 阶振型 的方法用上式求得 的 系统 的固有频率方法有很 多种 ， 主要 有矩阵迭 代法 、 瑞利法 、 邓柯 假设 出高 阶振型 函数 ， 往往误差较大 ， 因此瑞利法通常 只计算基本频 率。通 常 莱法 、 传递矩阵法 、 变换 法（ Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 法、 Ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ｓ 法、 Ｑ Ｒ法 ） 、 子空 间迭 高阶频率 ， 弹性 曲线 ） 作为 代法 、 模态综合法 等… 。 由于 计算机 和有 限元 软件 的快速 发展 ， 情况下可以取结构在某种静荷载作用下 的挠 曲线 （ 振型 曲线。 虽然 目 前 我们 可以借助于它们计算很 复杂的结构 ， 但 是在某些 场
机械振动--盘轴扭振系统固有频率和主振型的计算
再根据轴系两边的边界条件，在该系统中 ，可以得到关于 的方程，对该关系式作图求出与x轴的交点就可以得到系统的固有频率。
2.
clc
clear
n=8;
d1=0.4; %圆盘直径 d1=0.4
d2=0.04; %轴直径 d2=0.04
a=0.1;%轴几何尺寸
den=7800;%密度 （轴和圆盘）
G=7.69e+10; %剪切模量
机械振动大作业
（盘轴扭振系统固有频率和主振型的计算）
学院：航空航天工程学部
班级：04040203班
姓名：李根
学号：2010040402093
2013年 5 月 12号
盘轴扭振系统
固有频率和主振型的计算
一：
该系统为非约束性盘轴扭振系统，并简化分析：
1．忽略轴的质量;
2．轴的刚度对盘的影响不做考虑;
3．将圆盘的质量集中于圆盘中心，不考虑圆盘厚度对系统的影响;
set(gca,'YTick',[-4:0.2:4])
set(gca,'XTick',[0:0.1:1.2])
axis([0,1.4,-4,4])
grid on
3.结果表述
固有频率（单位rad/s）：
=1000*[ 0 ，0.2106 ，0.4139 ，0.7204，0.9929，1.0297，1.2204，1.3573]
引进清型矩阵： 。由于实际计算中舍入误差的存在，每次迭代后，所得的主振型中还包含前面几阶的主振型分量，因此每次计算前都要进行清型才能保证最后收敛的主振型。
2.
clc
clear
n=8;
d1=0.4; %圆盘直径 d1=0.4
连续弹性体悬臂梁各阶固有频率及主振型测定(最全)word资料
实验十二 连续弹性体悬臂梁各阶固有频率及主振型测定一、一、实验目的1、 1、 用共振法确定连续弹性体悬臂梁的各阶固有频率和主振型。
2、 2、 观察分析梁振动的各阶主振型。
情况下，梁的振动是无穷多个主振型的迭加。
如果给梁施加一个合适大小的激扰力，且该力的频率正好等于梁的某阶固有频率，就会产生共振，对应于这一阶固有频率确定的振动形态叫做这一阶主振型，这时其它各阶振型的影响小得可以忽略不计。
用共振法确定梁的各阶固有频率及振型，我们只要连续调节激扰力，当梁出现某阶纯振型且振动幅值最大即产生共振时，就认为这时的激扰力频率是梁的这一阶固有频率。
实际上，我们关心的通常中最低几阶固有频率及主振型，本实验是用共振法来测定悬臂梁的一、二、l i β①根据《振动力学》，刘延柱，陈文良，陈立群著，1998版。
136页，例6.2-2式(g)A — A — 梁横截面积(m 2)l ρ—材料线密度(kg/m) l ρ=ρAρ—材料密度（kg/m 3） I —梁截面弯曲惯性矩(m 4)对矩形截面，弯曲惯性矩：123bhI = (m 4) (2)式中： b —梁横截面宽度(m) h —梁横截面高度(m) 本实验取l =( ) m b=( ) m h=( ) mE=20×1011Pa ρ=7800kg/m 3 各阶固有频率之比：f 1:f 2:f 3:f 4……=1:6.27:17.55 (3)理论计算可得悬臂梁的一、二、三阶固有频率的振型如图(3)所示：0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-10120 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2020 0.10.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.511.5beam transvers vibration with one end clasped四、四、实验方法1、 1、 选距固定端L/4之处为激振点，将激振器端面对准悬臂梁上的激振点，保持初始间隙δ=6~8mm 。
基于Matlab 的发动机悬置系统的固有频率和主振型计算
基于Matlab 的发动机悬置系统的固有频率和主振型计算（二）3 运用MATLAB 对动力总成悬置系统固有特性的计算3.1 理论计算动力总成系统固有特性的计算, 即计算系统的固有频率和振型。
动力总成悬置系统无阻尼的自由振动微分方程:式中: M——对称正定惯性矩阵;K——对称正定刚度矩阵。
求多自由度振动系统的固有频率, 从数学上讲就是求特征值的问题:设式（13）的解为: X=Xsin（ωt+a）代入式（13）化简后得: KX=ω2MX左乘M- 1 得: M- 1KX=ω2X （14）令M- 1K=A, 则: AX=ω2X （15）ω2 即为A 阵的特征值, X 为其特征向量。
由于M 对称正定, K 也是对称阵, 因而式（13）是广义特征值问题。
可用广义特征值的方法求得特征值及特征向量, 所求特征值即为系统的固有频率。
3.2 MATLAB 计算过程Matlab 是Matrix Laboratory （矩阵实验室）的缩写, 它是由美国Mathwork 公司于1967 年推出的软件包, 已发展为一种功能强大的计算机语言, 特别适合于科学与工程计算。
（1）将动力总成系统质量参数代入式（6）可得惯性矩阵M。
（2）将各悬置点的位置参数及悬置块的主刚度代入, 可得EiBiDi。
再根据式（12）求得总体的刚度矩阵K。
（3）编制Matlab 程序, 由上述（1）、（2）得到矩阵M, K, 由式（14）、（15）即可求得A。
（4）由式（15）, 通过Matlab 命令eig （A）,即可求出矩阵A 的特征值ω2。
利用公式ω2=2πf,即可得到悬置系统的各个振动固有频率f。
4 振动占优方向的判定在系统定坐标系中, 根据系统的质量矩阵[M] 及振型矩阵, 可以求出系统在做各阶主振动时的能量分布, 将它写成矩阵形式, 定义为能量分布矩阵[EG]j。
当系统以第j 阶固有频率振动时,此矩阵的（k, j）元素为:式中:[M]kl——质量矩阵的（k, j）元素;{u（ j）}k——第j 阶振型列阵的第k 个元素;{u（ j）}1——第j 阶振型列阵的第l 个元素;ωj——为第j 阶固有频率。
机械振动固有频率与振型
, A(1)
. 10000 = −17808 . 0.3904
这种振型是与零固有频率对应的称之为零振型。刚度矩 阵 K = 0 是半正定系统。而且，在其运动方向上系统的 外力的合力为零，是动量守恒系统。
Theory of Vibration with Applications
LL
(i ) 令 An = 1 ，于是可得第i阶主振型矢量为
A(i ) = A1(i )
(
A2(i )
L 1
)
T
在主振型矢量中，规定某个元素的值为1，并进而确定其 它元素的过程称为归一化。
Theory of Vibration with Applications
返回首页
多自由度系统
固有频率 主振型 主振型矢量也可以利用特征矩阵的伴随矩阵来求得。 特征矩阵 B K − ω 2M 用矩阵A的第i=行第j 列的代数余子 逆矩阵 B −1 = 1 adj B B 式把第j 行第i 列的元素替换掉得到 代入 就是A的伴随矩阵，记作adjA。 adj B 乘以 BI =B ωi 任 BB 何 (i ) B i I = Bi adj Bi Bi =0 非 A 零 Bi adj Bi = 0 列 adj Bi 比较 成 (K − ωi2 M ) A (i ) = 0 比 例 所以伴随矩阵的每一列就是主振型矢量或者差一常数因子。
A T KA ω = T ≥0 A MA
2
A T MA > 0
AT KA ≥ 0
返回首页
Theory of Vibration with Applications
多自由度系统
固有频率 主振型
A T MA > 0，
A T KA ≥ 0
固有频率的计算公式
固有频率的计算公式固有频率是指系统在没有外界干扰下，根据其自身的特性和参数计算得到的频率。
它可以用于描述机械、电子、光学等不同领域中的系统振动频率。
在物理学中，一般使用弹性力学理论来计算固有频率。
弹性力学是研究物体在受力作用下发生形变和振动的力学学科，其中固有频率的计算是其中一个重要的问题。
以下是计算固有频率的一些常见公式：1.自由振动的单自由度系统：对于一个自由振动的单自由度系统，固有频率可以通过以下公式计算：f=1/(2π)*√(k/m)其中，f表示固有频率，k表示系统的弹簧常数，m表示系统的质量。
2.自由振动的多自由度系统：对于一个自由振动的多自由度系统，固有频率可以通过以下公式计算：ω^2*x=K*x其中，ω表示固有角频率，x表示系统的位移矢量，K表示系统的刚度矩阵。
上述方程可以通过对系统动力学方程进行求解，得到系统的固有角频率和振型。
3.机械振动系统：对于机械振动系统，可以使用以下公式计算固有频率：f=1/(2π)*√(K/m)其中，f表示固有频率，K表示系统的刚度，m表示系统的质量。
在机械工程中，刚度可以通过计算杆件的刚度、弹簧的刚度、轮毂刚度等来确定。
4.电磁振动系统：电磁振动系统的固有频率可以通过以下公式计算：f=1/(2π)*√(1/LC)其中，f表示固有频率，L表示电感，C表示电容。
该公式适用于电路中的振荡电路，如LC振荡电路和LCR振荡电路。
除了上述公式，还有许多其他的计算固有频率的公式，具体的计算方法取决于系统的特性和参数。
需要根据具体情况选择合适的公式进行计算。
此外，在实际应用中，还可以通过实验的方法来测量固有频率，以获得更准确的结果。
固有频率与振型
An(n)
令
A(i) n
1
，于是可得第i阶主振型矢量为
Ai A1(i)
A2(i)
T
1
在主振型矢量中，规定某个元素的值为1，并进而确定其 它元素的过程称为归一化。
Theory of Vibration with Applications
返回首页
多自由度系统
固有频率 主振型
主振型矢量也可以利用特征矩阵的伴随矩阵来求得。
0 1 2 n
其中最低阶固有频率ω1称为第一阶固有频率或称基频，然后
依次称为二阶、三阶固有频率等。
Theory of Vibration with Applications
返回首页
多自由度系统
固有频率 主振型
(K 2M)A 0
对应于ωi可以求得A(i)，它满足 (K i2M)A(i) 0
设n自由度系统运动微分方程的解为
xi Ai sin(t )
i 1,2,3, n
即设系统的各坐标作同步谐振动。上式又可表示为
x Asin(t )
Theory of Vibration with Applications
返回首页
多自由度系统
固有频率 主振型
Mx Kx 0
x Asin(t )
固有频率 主振型
K 2M 0
下面对其取值情况进行讨论。
KA 2MA
前乘以 AT
可得到
ATKA 2ATMA
由于系统的质量矩阵M是正定的，刚度矩阵K是正定的或半正
定的，因此有
2
ATKA ATMA
0
于是，得到 ATMA 0 AT KA 0
Theory of Vibration with Applications
03-5 计算固有频率的近似法
y x, t 1 L y x, t Y x cos t T t 0 x A x dx 2 t t
2
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
U max RX * T
2
L 0
d X x dX xi 2 EJ x dx ki X xi k i 2 d x d x i 1 i 1
2 2 n n
2
L 0
x A x X
Tmax U max
对于任何一个连续系统，只要近似地给出一个满 足边界条件的第一阶振型函数，并获得系统的动能和势 能，就可对基频进行估算。
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
★如果梁以某一阶固有频率作固有振动，设梁的振型函
★求连续系统固有频率常用的近似方法： 瑞利法；瑞利—里兹法； 假定振型法
3.7.1 瑞利法
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
瑞利法 ( 能量法 ) 就是根据机械能守恒定律得到的计 算基频的近似方法，它不仅适用于离散系统，同样也适 用于连续系统。 根据能量守恒原理，对于保守系统其总能量是常 数，故最大动能Tmax和最大势能Umax应相等，即
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
(2)采用无自重悬臂梁在端部集中载荷作用下的静挠度曲 线作为试探振型函数 悬臂梁在端部集中载荷作用下的静挠度曲线为
固体力学作业薄板的振动的固有频率与振型
固体力学作业薄板的振动的固有频率与振型1、 问题矩形薄板的参数如下33150,100,5,210,0.3,7.9310/a mm b mm h mm E GPa v kg m ρ======⨯求矩形薄板在（1） 四边简支（2）四边固支 条件下的固有频率和振型2、薄板振动微分方程薄板是满足一定假设的理想力学模型，一般根据实际的尺寸和受力特点来将某个实际问题简化为薄板模型，如厚度要比长、宽的尺寸小得的结构就可以采用薄板模型。
薄板在上下表面之间存在一个对称平面，此平面称为中面，且假定：（1）板的材料由各向同性弹性材料组成； （2）振动时薄板的挠度要比它的厚度要小； （3）自由面上的应力为零；（4）原来与中面正交的横截面在变形后始终保持正交，即薄板在变形前中面的法线在变形后仍为中面的法线。
为了建立应力、应变和位移之间的关系，取空间直角坐标Oxyz ，且坐标原点及xOy 坐标面皆放在板变形前的中面位置上，如图 1所示。
设板上任意一点a 的位置，将由变形前的坐标x 、y 、z 来确定。
图 1 薄板模型根据假定（2），板的横向变形和面内变形u 、v 是相互独立的。
为此，其弯曲变形可由中面上各点的横向位移(,,)w x y t 所决定。
根据假定（4），剪切应变分量为零。
由薄板经典理论，可以求得板上任意一点(,,)a x y z 沿,,x y z 三个方向的位移分量,,a a a u v w 的表达式分别为()a a a w u zx wv zy w w ∂=-∂∂=-∂=+高阶小量 (1.1)根据应变与位移的几何关系可以求出各点的三个主要是应变分量为222222a x a y a a xyu w z x x v w z y yu v w z y x x yεεγ∂∂==-∂∂∂∂==-∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂ (1.2)胡克定律，从而获得相对应的三个主要应力分量为：2222222222222()()11()()111x x y y y x xy xyE Ez w wx yE Ez w w y xEz wG x yσεμεμμμσεμεμμμτγμ∂∂=+=-+--∂∂∂∂=+=-+--∂∂∂==-+∂∂ (1.3)现画薄板微元的受力图如图 2所示。
两自由度系统固有频率与主振型的算法研究
‘／ ： Ｉ 。 ＼
图 ３ 条 件下 的 固有振 型
２２ 第二种算法 ．
将利用矩阵方程求 系统 的固有频率与主振 型的问
。） ， （ ２
题， 转化为求关 于矩阵二次型 的特征值 问题． 即将方 程
（） ４转化为求矩阵方程 Ｋｕ Ｍｕ的特征值 问题 ， ｚ 于是
展 开矩 阵 方 程 ， 即
（土 ） ３ 惫
— ２ ｍ
系统振动过程中始终是不动的． 当两 自由度系统 的两个质 量体 、 两个 刚度 系数各 自均不相等时 ， 在方程有实根 的条件 下 ， 可得到类似 的
结 果．
即系统 的固有频率为 ：
一ｅ 一６ ０８ ， ８ ．√ ．√ １
第 ３ 期
Ｍｅ ｈ ｎ ｃ ｌ ｂ ａｉｎ ｏ ｈ ｏｉｉ ｃ ｔ ｎ ｏ ｏ ｔ Ｆ ａ ｃ ａ ｉ ｒ ｔ ｎ ｔ ｅ Ｓ ｌ ｆ ａ ｉ ｆ ａ Ｌ ｓ ｏ ｍ ａ Ｖｉ ｏ ｄｉ ｏ
展开 （ 即将其 转化 为求解 矩 阵方 程 的特征值 问题 ）从 ，
而快速得 到振 动 系统 的运 动规 律． 于是 ， 限制振 动 当 时， 外部 激励 的频率应尽量远 离系统 的固有频率 ， 以限 制系统的机械振 动 ； 当要利用 振动时 ， 外部激励 的频率 应与 固有频率 接近 或相 等（ 相等会 生共振 ） 以有效 ， 口 【产 ！Ｊ
设 弹簧不变 形位置 为系统 的平衡位置 ， 某一瞬 在
间质量 体 ｍｌｒ２ 、 分别移动的位 移为 ｚ 、２则此瞬间物 ｎ ３ ， ７ 体的受力情况如 图 ２ 所示．
１
— — — —
风力发 电运行 的振动 、 床加工过程 产生 的振 动 、 机 电梯 运行时 的振动等． 些振 动在 日常 生活与 工程 中会 带 有