层次分析数学建模案例.doc
层次分析模型(数学建模)
第k层nk个元素对于第k-1层上第j个元素为 准则的单排序向量 uj(k)=(u1j(k)，u2j(k)，…，un j(k))T j=1，2，…nk-1 其中不受第j个元素支配的元素权重取零，
于是可得到nk×nk-1阶矩阵
u (k ) u21 = ( ) unk1 k
(k ) 11
1 A = ( aij ) n×n , aij > 0, a ji = aij
1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5 4 7 1 2 3 3 5 1/ 2 1 1
3 成对比较阵 5 A~成对比较阵 1 / 3 是正互反阵 A是正互反阵 1 1
要由A确定 要由 确定C1,… , Cn对O的权向量 确定 的权向量
1. 正互反阵的最大特征根和特征向量的性质 正互反矩阵A 是正单根， 正互反矩阵 的最大特征根λ是正单根， Ak e T 对应正特征向量w， 对应正特征向量 ， lim T k = w, e = (1,1, L ,1) k →∞ e A e 定理1 定理1 正互反阵的最大特征根是正数， 正互反阵的最大特征根是正数， 特征向量是正向量。 特征向量是正向量。 定理2 定理2 n阶正互反阵 的最大特征根λ ≥ n , 阶正互反阵A的最大特征根 λ= n是A为一致阵的充要条件。 为一致阵的充要条件。 是 为一致阵的充要条件 一致性指标 CI =
“选择旅游地”思维过程的归 选择旅游地” 选择旅游地 纳 • 将决策问题分为 个层次：目标层 ，准则层 ， 将决策问题分为3个层次 目标层O，准则层C， 个层次： 方案层P；每层有若干元素， 方案层 ；每层有若干元素， 各层元素间的关系 用相连的直线表示。 用相连的直线表示。 • 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方 通过相互比较确定各准则对目标的权重， 案对每一准则的权重。 案对每一准则的权重。 • 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的 将上述两组权重进行综合， 权重。 权重。 层次分析法将定性分析与定量分析结合起来 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。
数学建模(层次分析法(AHP法))省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
P3 北戴河
例2 大学毕业生就业选择问题 取得大学毕业学位旳毕业生，在“双向选择”时，
用人单位与毕业生都有各自旳选择原则和要求。就 毕业生来说选择单位旳原则和要求是多方面旳，例 如：
①能发挥自己才干作出很好贡献（即工作岗位适合 发挥自己旳专长）；
wn
1
w1 w2
即 aik akj aij i, j 1,2,, n
A
但在例2旳成对比较矩阵中， a23 7, a21 2, a13 4 a23 a21 a13
在正互反矩阵A中，若 aik akj aij ,(A 旳元素具有 传递性)则称A为一致阵。
定理：n 阶正互反阵A旳最大特征根max n, 当且仅当 =n时A为一致阵
这种措施旳特点是在对复杂旳决策问题旳 本质、影响原因及其内在关系等进行进一 步分析旳基础上，利用较少旳定量信息使 决策旳思维过程数学化，从而为多目旳、 多准则或无构造特征旳复杂决策问题提供 简便旳决策措施。
是对难于完全定量旳复杂系统作出决策旳 模型和措施。
层次分析法在经济、科技、文化、军事、 环境乃至社会发展等方面旳管理决策中都 有广泛旳应用。
比较同一层次中每个原因有关上一层次 旳同一种原因旳相对主要性
在拟定各层次各原因之间旳权重时，假如只是定 性旳成果，则经常不轻易被别人接受，因而Saaty 等人提出构造：成对比较矩阵A = (aij)nn，即： 1. 不把全部原因放在一起比较，而是两两相互比较。 2. 对此时采用相对尺度，以尽量降低性质不同旳诸 原因相互比较旳困难，以提升精确度。
层次分析法数学建模
在某些情况下，层次分析法可能无法合理地分配权重，导致决策结果 与实际情况存在较大偏差。
无法处理动态变化
层次分析法主要用于静态决策问题，对于动态变化的决策问题处理能 力较弱。
05 结论与展望
结论
层次分析法是一种有效的决策分析方法，能够将复杂问题 分解为多个层次和因素，通过比较和判断各因素之间的相 对重要性，为决策提供依据。
实例三：风险评估问题
总结词
层次分析法在风险评估问题中，能够综合考虑风险的多种来源和影响因素，确定各因素之间的权重关 系，为风险的有效控制提供科学的依据。
详细描述
风险评估问题涉及到如何识别、评估和控制各种潜在的风险。层次分析法可以将风险的多种来源和影 响因素进行比较和判断，确定各因素之间的权重关系，为风险的有效控制提供科学的依据。同时，层 次分析法还可以用于制定风险应对策略和预案，提高组织的抗风险能力。
层次单排序与一致性检验
层次单排序
根据判断矩阵的性质和计算方法，计 算出各组成元素的权重值，并按照权 重值的大小进行排序。
一致性检验
对判断矩阵的一致性进行检验，以确 保各组成元素之间的相对重要性关系 符合逻辑和实际情况。
层次总排序与一致性检验
层次总排序
根据各层次的权重值和组成元素的权重值，计算出整个层次结构模型的权重值， 并进行总排序。
确定层次
根据问题的复杂程度和组 成元素的性质，将层次结 构划分为不同的层次，以 便于分析和计算。
判断矩阵的建立
确定判断标准
根据问题的特点和要求，确定判 断各组成元素之间相对重要性的 标准和方法。
构造判断矩阵
根据判断标准，构造出一个判断 矩阵，用于表示各组成元素之间 的相对重要性关系。
层次分析法实例讲解学习
层次分析法实例讲解学习生活实际例题：旅游实例，有三个旅游地点供游客们选择，连云港，常州，徐州。
影响游客们决策的因素主要有以下五项：景色、费用、居住、饮食、旅途。
请根据个人偏好选择最佳旅游地点。
分析 : 旅游点是方案层，将它们分别用B1 , B2, B3表示，影响旅游决策的因素为准则层 A1, A2, A3 , A4 , A5；目标层为选择旅游地，即可以建立以下模型：选择旅游地景色费用居住饮食旅途连云港常州徐州建立判断矩阵：准则层判断矩阵（即各种因素在旅客偏好选择中所占有的不同比重）：1 1/2 43321755A1/ 41/ 711/ 21/ 31/3 1/5 2111/3 1/5 311方案层判断矩阵建立（针对每一个影响因素来对方案层建立）:12511/31/8113B1 1/212B1311/3 B11131/ 51/2 18311/3 1/3 1134111/4B1 1/311B1111/41/411441求准则层判断矩阵 A 的特征值：Matlab 运行程序：[a,b]=eig(A)‘ 矩b ’阵的对角线为准则层判断矩阵 A 的特征值：5.0730 0 0 00.0310 0 b0 0 0.0310 0 0 0 0 0.005 00.005即 1 5.073,20.031,30.031,40.005, 50.005选出最大特征值：max （1, 2, 3, 4,5）1最大特征值的特征向量即为准则层的影响因素所占的权重， 所对应的特征向量为：w 1- 0.4658 - 0.8409 - 0.0951 - 0.1733 - 0.1920归一化（最简 matlab 程序为 w=w1./sum(w1) ）w0.2636 0.4759 0.0538 0.0981 0.1087一致性指标的检验：由 max 是否等于 5 来检验判断矩阵 A 是否为一致矩阵。
由于特征根连续地依赖于矩阵 A 中的值 ，故 max 比 5 大得越多， A 的非一致性程度也就越严重，max 对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出对因素 A i (i 1, ,5) 的影响中所占的比重。
数学建模层次分析案例
合理分配住房问题摘要：本文中住房分配是个决策问题,主要根据40个人的职级、任职时间、工龄、职称、爱人情况、学历、年龄和奖励情况这8个因素对综合情况排序的影响程度，分别用层次分析法和模糊综合评价法，对40个人的综合情况有一个由大到小的权重排序，即确定为住房分配的顺序。
层次分析法是一种定性和定量相结合的，系统化的，层次化的分析方法。
首先构造一个层次结构图，包括目标层（综合排序）、准则层（8个影响因素）、方案层（40个待排序的人）。
然后从第二层开始根据1-9的尺度，利用8个因素对排序的影响程度的比较和40个人对于同一因素的比较，构造每一层中各因素对上一层的成对矩阵，对每个成对矩阵可计算其最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标（CI），随机一致性指标（RI），一致性比率（CR）作一致性检验，若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。
若检验通过，可求权向量（特征向量归一化后）。
最后计算最下层对最上层总排序的权向量，进行一致性检验。
一、问题的提出许多都单位都有一套住房分配方案，一般是不同的。
某院校现行住房分配方案采用“分档次加积分”的方法，其原则是：“按职级分档次，同档次的按任职时间先后排队分配住房，任职时间相同时再考虑其他条件（如工龄、爱人情况、职称、年龄大小等）适当加分，从高分到低分依次排队”。
我们认为这种分配方案仍存在不合理性，例如，同档次的排队主要由任职先后确定，任职早在前，任职晚再后，即便是高职称、高学历，或夫妻双方都在同一单位（干部或职工），甚至有的为单位做出过突出贡献，但任职时间晚，则也只能排在后面。
这种方案的主要问题是“按资排辈”，显然不能充分体现重视人才，鼓励先进等政策。
根据民意测验，80%以上的人认为相关条件为职级、任职时间（为任副处的时间）、工龄、职称、爱人情况、学历、年龄和奖励情况。
要解决的问题是：请你按职级分档次，在同档次中综合考虑相关各项条件给出一种适合于任意N人的合理分配住房方案。
层次分析法及其应用数学建模
层次单排序
根据判断矩阵求解各因素对于上一层次因素的相 对重要性权重，得到层次单排序结果。
02
一致性检验
对判断矩阵进行一致性检验，检查各因素之间的 相对重要性是否合理。
层次总排序与一致性检验
层次总排序
根据各层次的权重和下一层因素相对于上一层因素的权重，计算出最底层因素相对于总目标的 权重。
一致性检验
判断矩阵的构造
确定比较标度
比较同一层次中各因素对于上一 层次因素的相对重要性，通常采 用1-9的标度法进行比较。
构造判断矩阵
根据比较标度，构造出判断矩阵， 矩阵中的元素表示对应因素的比 较结果。
求解判断矩阵
通过计算判断矩阵的特征向量， 得到各因素对于上一层次因素分析法可以根据问题 的实际情况调整层次结构 和判断矩阵，具有较高的 灵活性。
局限性
主观性
层次分析法在构造判断矩阵时依赖于专 家的主观判断，因此结果可能受到专家
主观因素的影响。
计算复杂度较高
对于大规模问题，层次分析法的计算 复杂度较高，需要借助计算机进行辅
助计算。
一致性检验困难
对于构造的判断矩阵，一致性检验是 一个难题，需要找到合适的检验方法。
层次分析法在数学建模中的应用
01 在数学建模中，层次分析法常用于解决多目标决 策问题，例如在资源分配、方案选择、风险评估 等方面。
02 通过构建层次结构模型，可以将复杂的决策问题 分解为多个层次，使得决策过程更加清晰和有条 理。
02 在应用层次分析法时，需要构建判断矩阵，并进 行一致性检验，以确保决策的合理性和准确性。
02
层次分析法的基本原理
层次结构模型的建立
01 明确问题
首先需要明确问题的目标，并确定相关的因素， 将因素按照属性不同分为不同的层次，形成层次 结构。
层次分析法
1 B3 1 1 / 3 1 1 1/3 3 3 `1
相对于饮食
1 B4 1 / 3 1 / 4 3 1 1 4 1 `1
相对于旅途
1 B5 1 4 1 1 4 1/4 1/4 1
2
层次分析法案例：选择旅游地
例如：假期旅游，现有三个目的地可供选择（方案）：风 光绮丽的杭州 P1 ，迷人的北戴河 P2 ，山水甲天下的桂 林 P3 。可供考虑的因素有：景色、费用、居住、饮食、 旅途情况。
如何在3个目的地中按照景色、费用、居住、 饮食、旅途5个准则进行选择.
RI=1.12 (查表)
CR=0.018/1.12=0.016<0.1
17
3. 层次单排序
所谓层次单排序是指，对于上一层某因素而言，本层 次各因素的重要性的排序。
具体计算是：
对于判断矩阵 B，计算满足
B w m ax w
w 的特征值和特征向量，式中 max 为 B 的最大特征值， 为 对应于 max 的单位化的特征向量，w 的分量 i 即是相应元
0 . 082 0 . 236 0 . 682
0 . 429 0 . 429 0 . 142
0 . 633 0 . 193 0 . 175
0 . 263 0 . 166 0 . 475 0 . 166 0 . 055 0 . 668 0 . 099 0 . 110
9
一致性矩阵
一块单位重量的石头砸成n块小石头， 其重量分 别为 w1 , w 2 , w n .
令 a ij w i / w j
w1 w 1 w2 A w1 w n w1 w1 w2 w2 w2 w1 wn w2 wn wn wn
层次分析数学建模案例
基于层次分析法的护岸框架最优方案选择【摘要】长期以来，四面六边透水框架在河道整治等工程中，因其取材方便、自身稳定性、透水性、阻水性好、适合地形变化等特性优点而被广泛的应用。
但是，在抛投和使用过程中，存在被水流冲击而翻滚移位、结构强度的不足、难以合理互相钩连的问题，使框架群不能达到理想的堆砌效果。
本文主要探讨如何合理设计改进现有护岸框架，以最大程度减少框架群被水流冲击翻滚移位的情况，增加框架群在使用过程中互相钩连程度和结构强度，达到减速促淤效果。
针对问题，我们结合四面六边透水框架本身的优势特性，在原有框架的基础上进行改进设计，根据三角形稳定性的特性，通过应用机理分析，进行物理图形构造，设计出三种供选方案。
模型一：构建四面六边带触脚框架模型（图5.2），该模型在四面六边透水框架的基础上，运用触脚设计，较好的融合增强四面六边透水框架本身的优点特性，使框架达到不易翻滚，并与其他的框架自然地相互钩连。
模型二：构建六面九边带触脚框架模型（图5.6），该模型是对模型一的改进，综合模型一和原型模型的结构，不仅具备良好的亲水性、阻水性和稳定性，而且触脚比模型一更多，使框架更加稳定，不易翻滚、框架群之间也更容易钩连；同时，模型二施工简单，更容易构造，也更加节约经济造价成本。
模型三：构建双四面六边护岸框架模型（图5.12），该模型设计内外双层四面六边透水框架体，旨在增加护岸框架结构强度和稳定性及阻水性。
运用内外双层结构设计，形成内外双层保障。
由三角形的稳定性可以得知该模型结构强度高、稳定性强。
模型四：应用层次分析法对如何科学、合理地进行选择护岸框架，进行系统的分析。
选取施工时架空率易接近4到6、结构强度、不易翻滚程度、框架群间易钩连程度、生产成本及易生产、施工简易度六个因素指标为准则层，选取原有护岸框架和本文设计的三个框架模型作为方案层，运用Matlab软件计算比较，最后得出结论为：模型二（六面九边带触脚框架模型）为最优护岸框架模型。
数学建模层次分析法
(Analytic Hierarchy Process) 建模
数学建模
模型背景 基本步骤 应用实例
一、模型背景
❖ 美国运筹学家匹兹堡大学教授Saaty在20世纪70 年代初提出的一种层次权重决策分析方法。
❖层次分析法(Analytic Hierarchy Process简称AHP) 是一种定性和定量分析相结合的决策分析方法。
对总目标Z的排序为
A1
A2
Am
a1, a2 ,, am
B层n个因素对上层 A中因素为 Aj
其层次单排序为
B1
B2
Bn b1 j ,b2 j ,,bnj ( j 1,2,, m)
层次 A A1
层次 B a1
B1
b11
B2
b21
.
.
.
.
.
.
Bn
bn1
A2 … Am B 层次总
a2
… am 排序权值
RI 0i RIi 0.58 i 1
CR CI / RI 0.087 / 0.58 0.015 0.1
C5
0.118 0.166 0.166 0.668
层次P的 总排序
0.3 0.246 0.456
层次分析法的优点
系统性——将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合 的思维方式进行决策。成为成为继机理分析、统 计分析之后发展起来的系统分析的重要工具；
w(2) (0.263, 0.475, 0.055, 0.090, 0.110)T
同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量
方案层对C1(景色)的 成对比较阵
方案层对C2(费用)的 成对比较阵
…Cn
层次分析法建模举例
其中：maxN为单注封顶金额；minN为单注保底 金额；Qij为第 i 种方案得第 j 等奖的单项奖比例； M为当期销售总额；n为低项奖总额； Q为总奖金 比例。
三、层次分析
3.1层次分析模型分为四层：
目标层：即决策目标，在本问题中取彩票的销售规则 及其相应的奖金设置方案的合理性作为决策目标。 中间层：作为目标层的衡量准则，我们取彩票的高项 奖金，低项固定奖金，和中奖面三方面来衡量目标层。 指标层：其中包括高项奖金的3个评价标准（即一， 二，三等奖）和低项固定奖金的4个评价指标（即四， 五，六，七等奖），而位于中间层的中奖面衡量准则 可以单独作为目标层的一个评价指标（即中奖面）。 方案层: 需进行评估的各种分配方案
一、 问题的提出与概率计算
已给的29种方案分为两种类型 1、“传统型”采用“10选6+1”方案： 投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可 重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注 。根 据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定 中奖等级；
表1： “传统型” 中奖办法
中 奖 等 级 10 选 6+1（6+1/10） 基本号码 特别号码 选7中
Roots: 多项式的零点可用命令roots求的。
例： >> r=roots(p) 得到 r= 0.2500 + 1.5612i 0.2500 - 1.5612i -1.0000 所有零点由一个列向量给出。
Poly: 由零点可得原始多项式的各系数，但可能相差一 个常数倍。 例： >> poly(r)
如“33选7”的方案：投注者从01~33个号码 中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号 码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等 级，不考虑号码顺序。
层次分析法-数学建模
步骤5 层次总排序即求各方案的综合得分
前面我们求的都是在一层中各因素的权重，这个过程称为单
层次排序。不妨设准则层权向量W (w1, w2,L , wn )，T 而方案层有 l
个方案可供选择，且每个方案的权向量分别为 1, 2,L , l 。那么 每个方案对最终目标的影响程度(C1,C2,L ,Cl )T 就可以通过下面的 式子算出来了。
合理分配企业利润
准则层 调动积极性 提高企业质量 改善生活条件
方案层 发奖金 扩展福利设施 引进人才和设备
在层次划分及因素选取时，我们要注意三点：
（1）上层对下层有支配作用；
（2）同一层因素不存在支配关系（相互独立）；
（3）每层因素一般不要超过9个。 （心理学家通过实验认为，人对许多东西优劣及优劣 程度判断能力，最多大致在9个以内，超过这个范围就 会判断失真。例如，人们在面对琳琅满目的商品常常会 眼花缭乱，难以抉择。）
23
9
重要性
xi比 x j 相同 稍重要 重要
绝对 很重要 重要
aij
1
3
5
7
9
在每两个等级之间有一个中间状态， aij 可分别 取值 2 , 4 ,L , 8 。
例如：评价电影的好坏
目标层
评价
准则层 娱乐性 x1 艺术性 x2 教育性 x3
方案层 电影1
电影2
……
这
个人认为：
x1 : x2 3
层次分析法是将定性问题定量化处理的一种有效手 段。
面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、 最后作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用 数学方法解决问题带来不便。T.L.saaty等人20世纪在七 十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法。
层次分析法数学建模范例
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：A甲0616所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2011 年 8 月20 日编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：对学生建模论文的综合评价分析摘要本文研究的是五篇建模论文的评价和比较问题。
首先，研读分析了五篇论文，并写出评语。
其次,进行综合量化评价,主要运用的方法是层次分析法和模糊综合评判。
最后,依据所得权重大小对论文排序。
针对问题一，我们对论文进行了横向比较和纵向分析。
依据数学建模竞赛论文评分基本原则，首先，在研读论文的基础上，对论文分块进行了横向比较，并按照优、良、中、差四个等级作出评价。
其次，采取纵向分析的方法，找到论文的优点与不足，写出每篇论文的评语。
最后，结合横向比较和纵向分析对论文综合评价。
针对问题二，在建立数学模型时，首先从建模理念的应用意识、数学建模、创新意识出发利用模糊评判的二级评判模型把所给论文的建模摘要、模型与求解、模型评价与推广、其他作为第一级因素集，把问题描述等作为第二级因素集。
数学建模实验报告1,层次分析法
数学建模实验报告一、实验要求柴静的纪录片《穹顶之下》从独立媒体人的角度调查了席卷全国多个省份的雾霾的成因，提出解决的方法有：关停重污染的钢铁厂、提高汽柴油品质、淘汰排放不达标汽车、提高洗煤率等，请仔细观看该纪录片，根据雾霾的成因，选择你认为治理雾霾确实可行的几个方案，并用AHP方法给出这几个主要方案的重要性排序。
二、前期准备1、理解层次分析法（AHP）的原理、作用，掌握其使用方法。
2、观看两遍柴静所拍摄的纪录片《穹顶之下》，选出我认为可较为有效地治理雾霾的几个方法，初步确定各方法的有效性（即权重）。
3、初步拟定三个方案，每个方案中各个治理方法的权重不同。
三、思路&分析1、根据纪录片《穹顶之下》和个人的经验判断给出各个记录雾霾的方法对于治理雾霾的判断矩阵，以及三个不同方案对于五大措施的判断矩阵。
2、了解了AHP的原理后，不难发现MATLAB在其中的作用主要是将判断矩阵转化为因素的权重矩阵。
当然矩阵要通过一致性检验，得到的权重才足够可靠。
3、分别得到准则层对目标层、方案层对准则层的权重之后，进行层次总排序及一致性检验。
得到组合权向量（方案层对目标层）即可确定适用方案。
四、实验过程1、确定层次结构2、构造判断矩阵（1）五大措施对于治理雾霾（准则层对目标层）的判断矩阵（2）三个方案对于五大措施（方案层对准则层）的判断矩阵3、层次单排序及一致性检验该部分在MATLAB中实现，每次进行一致性检验和权向量计算时，步骤相同，输入、输出参数一致。
（虽然输入的矩阵阶数可能不同，但可以不把矩阵阶数作为参数输入，而通过[n,n]=size（A）来算得阶数。
）因此考虑将这个部分定义为一个函数judge,输入一个矩阵A,打印一致性检验结果和权向量计算结果，并返回权向量、一致性指标CI、平均随机一致性指标RI。
将此脚本存为judge.m，在另一脚本ahp.m中调用。
代码如下：调试通过后，下面便用此函数进行一致性检验及权向量计算：（1）准则层对目标层（A矩阵）（2）方案层对准则层（BB矩阵）代码：结果：注：实际实验时，一开始构造的五个矩阵中有两个没有通过一致性检验。
层次分析法和案例-数学建模共22页
31、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
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❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
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基于层次分析法的护岸框架最优方案选择
【摘要】长期以来，四面六边透水框架在河道整治等工程中，因其取材方便、自身稳定性、透水性、阻水性好、适合地形变化等特性优点而被广泛的应用。
但是，在抛投和使用过程中，存在被水流冲击而翻滚移位、结构强度的不足、难以合理互相钩连的问题，使框架群不能达到理想的堆砌效果。
本文主要探讨如何合理设计改进现有护岸框架，以最大程度减少框架群被水流冲击翻滚移位的情况，增加框架群在使用过程中互相钩连程度和结构强度，达到减速促淤效果。
针对问题，我们结合四面六边透水框架本身的优势特性，在原有框架的基础上进行改进设计，根据三角形稳定性的特性，通过应用机理分析，进行物理图形构造，设计出三种供选方案。
模型一：构建四面六边带触脚框架模型（图5.2），该模型在四面六边透水框架的基础上，运用触脚设计，较好的融合增强四面六边透水框架本身的优点特性，使框架达到不易翻滚，并与其他的框架自然地相互钩连。
模型二：构建六面九边带触脚框架模型（图5.6），该模型是对模型一的改进，综合模型一和原型模型的结构，不仅具备良好的亲水性、阻水性和稳定性，而且触脚比模型一更多，使框架更加稳定，不易翻滚、框架群之间也更容易钩连；同时，模型二施工简单，更容易构造，也更加节约经济造价成本。
模型三：构建双四面六边护岸框架模型（图5.12），该模型设计内外双层四面六边透水框架体，旨在增加护岸框架结构强度和稳定性及阻水性。
运用内外双层结构设计，形成内外双层保障。
由三角形的稳定性可以得知该模型结构强度高、稳定性强。
模型四：应用层次分析法对如何科学、合理地进行选择护岸框架，进行系统的分析。
选取施工时架空率易接近4到6、结构强度、不易翻滚程度、框架群间易钩连程度、生产成本及易生产、施工简易度六个因素指标为准则层，选取原有护岸框架和本文设计的三个框架模型作为方案层，运用Matlab软件计算比较，最后得出结论为：模型二（六面九边带触脚框架模型）为最优护岸框架模型。
【关键词】护岸框架层次分析法立体图形触脚设计 Matlab
一、问题重述
在江河中，堤岸、江心洲的迎水区域被水流长期冲刷侵蚀。
在河道整治工程中，需要在受侵蚀严重的部位设置一些人工设施，以减弱水流的冲刷，促进该处泥沙的淤积，以保护河岸形态的稳定。
现在常用的设施包括四面六边透水框架等。
这是一种由钢筋混泥土框杆相互焊接而成的正四面体结构，常见的尺寸为边长约1m，框杆截面约0.1×0.1m，将一定数量的框架投入水中，在水中形成框杆群，可以使水流消能减速，达到减弱冲击，防冲促淤的效果。
对四面六边透水框架在抛投时和在使用过程中，可能被水流冲击而翻滚移位，使框架群不能达到理想的堆砌效果，对功能有不利影响。
为了使框架在水中互相钩连，需要设计新的形状。
但已有的多数设计方案都存在问题，主要集中在两个方面：结构强度不足，以及虽然原则上能够互相钩连，但依然不清楚最终堆砌而成的形状是否合理。
请你建立合理的数学模型，设计一个良好的框架结构。
二、问题的分析
近10年来，四面六边透水框架作为一种新型的护岸防冲方式，在河道整治等工程中，得到了广泛的应用。
这种新型的护岸方式，不仅可以节省工程材料，而且具有良好的减速促淤效果，在投放区域起到了防止冲刷的作用，但是，在实际使用过程中，四面六边透水框架可能被水流冲击翻滚移位，使框架群不能达到理想的推砌效果，对功能有不利的影响。
主要表现为：结构强度的不足，以及虽然原则上能够互相钩连，但是不清楚最终形状是否合理。
针对所给问题，我们要设计出一种新型的护岸框架结构，以解决以下实际生活中护岸框架存在的问题：
1)结构强度的不足；
2)科学、合理的相互钩连；
3)减轻框架群在使用过程中的翻滚移位率。
我们知道混泥土四面六边透水框架群作为新型的江河护岸工程技术[1]，和其他传统的护岸框架（丁坝、抛石护脚等）相比，拥有取材方便、自身稳定性好、透水性好、阻水性佳、基础不易被冲刷、适合地形变化等特性优点，特别是框架的尺寸、架空率和铺设长度的设计，更是有效的综合了透水性、稳定性和阻水性。
因此，我们考虑在设计新型护岸框架群时，应结合混泥土四面六边透水框架群在护岸技术上的优势，在混泥土四面六边透水框架群的基础上优化设计，发挥四面六边透水框架群的优势，并尽量弥补四面六边透水框架群在结构强度、易钩连程度、翻滚移位程度上的不足，并综合考虑设计后的框架结构在架空程度、经济生产成本、施工的难易程度等指标，通过机理分析，确定出参数关系，从而设计出四面六边带触脚框架模型（模型一）、六面九边带触脚框架模型（模型二）和双四面六边透水框架群（模型三）然后，我们利用Matlab软件[2]，建立框架群层次分析模型[3]（模型四）通过建立目标层、决策层和方案
层，可以选取施工时架空率接近4-6的程度、结构强度、易翻滚程度、易钩连
程度、生产成本、施工简易度六个指标对模型一、模型二、模型三所设计的改
价护岸框架和四面六边透水框架群原型进行综合分析评价，以确立出最优的新
型护岸框架方案。
三、模型假设
1. 护岸框架焊接牢固。
2. 护岸框架材料均匀，规格一致。
3. 设计的各类框架选材和四面六边透水框架一样。
4.设计的各类框架在施工过程中，不出现偷工减料等现象。
5. 不考虑不同市场间的材料的差价。
四、符号说明
符号含义
d单个四面六边透水框架的尺寸（边长与边的横截面的边长之比）l单个四面六边透水框架的边长
r四面六边透水框架每一边的横截面（正方形）的边长
l'护岸框架的触脚长
A成对比较矩阵（准则层对目标层）
B成对比较矩阵（方案层会目标层）
i
b矩阵中的元素
ij
w矩阵A的归一化特征向量
n矩阵的阶数
λ矩阵的最大特征值
i
CI一致性指标
RI随机一致性指标
CR一致性比率
a矩阵A中的元素
ij
五、模型的建立及求解
5.1 模型一（四面六边带触脚框架模型）
本模型通过机理分析，在四面六边框架（如图5.1）的基础上分析设计。
5.1.1 现有四面六边框架分析
图5.1 四面六边框架
四面六边框架群作为近10年来新型的江河护岸工程技术，具有以下优缺
点（如表5.1所示）
表5.1 四面六边框架群优缺点
优点
本身可以近似的看作
正三棱锥
每一个面都为正三角形，根据物理学三角形具有
固定性，四面六边框架群本身就具备良好的稳定
性。
框架群合理架空率取
值分配，拥有恰当的空
隙结构
区别于传统的护岸框架结构，基础不易被冲刷、
适合地形变化，具有良好的透水性和阻水性
缺点
结构强度的不足
虽然原则上能够互相钩连，但依然不清楚最终堆
砌而成的形状是否合理
被水流冲击而翻滚移
位
在抛投时和在使用过程中，可能被水流冲击而翻
滚移位，使框架群不能达到理想的堆砌效果，对
功能有不利影响。
针对四面六边框架群在实际护岸中存在的问题和不足，我们为了保证四面六边框架群区别于传统护岸框架的优点，在四面六边框架群的框架结构上进行优化设计。
5.1.2 第一种优化设计方案
四面六边带触脚框架立体效果图（如图5.2）
图5.2 四面六边带触脚框架立体效果图
四面六边带触脚框架平面结构构造（如图5.3所示）
图5.3 四面六边带触脚框架正视图、左视图、俯视图。