人教版八年级数学上册 全等三角形单元测试卷(含答案解析)
新人教版八年级数学上册《全等三角形》单元测试卷(含答案)
新人教版八年级数学上册《全等三角形》单元测试卷(含答案)八年级数学单元质量检测第Ⅰ卷(选择题共30 分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列说法正确的是()A.形状相同的两个三角形全等B.面积相等的两个三角形全等C.完全重合的两个三角形全等D.所有的等边三角形全等2. 如图所示,a,b,c分别表示△ABC的三边长,则下面与△ABC一定全等的三角形是()3.如图所示,已知△ABE≌△ACD,∠1=∠2,∠B=∠C,下列不正确的等式是()A.AB=ACB.∠BAE=∠CADC.BE=DCD.AD=DE4. 在△ABC和△A/B/C/中,AB=A/B/,∠B=∠B/,补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A/B/C/,则补充的这个条件是( )A.BC=B/C/B.∠A=∠A/C.AC=A/C/D.∠C=∠C/5.如图所示,点B、C、E在同一条直线上,△ABC与△CDE 都是等边三角形,则下列结论不一定成立的是()A.△ACE≌△BCDB.△BGC≌△AFCC.△DCG≌△ECFD.△ADB≌△CEA6. 要测量河两岸相对的两点A,B的距离,先在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再作出BF的垂线DE,使A,C,E在一条直线上(如图所示),可以说明△EDC≌△ABC,得ED=AB,因此测得ED的长就是AB的长,判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是()A.边角边B.角边角C.边边边D.边边角7.已知:如图所示,AC=CD,∠B=∠E=90°,AC⊥CD,则不正确的结论是()A.∠A与∠D互为余角B.∠A=∠2C.△ABC≌△CED D.∠1=∠28. 在△ABC 和△FED 中,已知∠C=∠D,∠B=∠E,要判定这两个三角形全等,还需要条件()第3题图第5题图第7题图第2题图第6题图A B C DA.AB=EDB.AB=FDC.AC=FDD.∠A=∠F 9.如图所示,在△ABC 中,AB=AC ,∠ABC 、∠ACB 的平分线BD ,CE 相交于O 点,且BD 交AC 于点D ,CE 交AB 于点E .某同学分析图形后得出以下结论:①△BCD ≌△CBE ;②△BAD ≌△BCD ;③△BDA ≌△CEA ;④△BOE ≌△COD ;⑤△ACE ≌△BCE ,上述结论一定正确的是()A.①②③B.②③④C.①③⑤D.①③④10、下列命题中:⑴形状相同的两个三角形是全等形;⑵在两个三角形中,相等的角是对应角,相等的边是对应边;⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等,其中真命题的个数有( ) A 、3个 B 、2个 C 、1个 D 、0个二、填空题(每题3分,共21分)11.如图6,AC=AD,BC=BD,则△ABC≌ ;应用的判定方法是.12.如图7,△ABD≌△BAC,若AD=BC,则∠BAD的对应角为.13.已知AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,且DE=3cm ,则点D到AC的距离为.14.如图8,AB与CD交于点O,OA=OC,OD=OB,∠AOD=,根据可得△AOD≌△COB,从而可以得到AD=. 15.如图9,∠A=∠D=90°,AC=DB,欲使OB=OC,可以先利用“HL”说明≌ 得到AB=DC,再利用“ ”证明△AOB≌ 得到OB=OC.16.如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等,那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是.17.如图10,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带________去配,这样做的数学依据是是.三、解答题(共29分)18. (6分)如右图,已知△ABC 中,AB =AC ,AD 平分∠BAC ,请补充完整过程说明△ABD ≌△ACD 的理BCDA图6 D OCBA 图8 A D CB图7 第9题图图10由.解:∵AD 平分∠BAC∴∠________=∠_________(角平分线的定义)在△ABD 和△ACD 中∴△ABD ≌△ACD () 19.(8分)如图,已知△≌△是对应角.(1)写出相等的线段与相等的角;(2)若EF=2.1 cm ,FH=1.1 cm ,HM=3.3 cm ,求MN 和HG 的长度.20.(7分)如图,A 、B 两建筑物位于河的两岸,要测得它们之间的距离,可以从B 点出发沿河岸画一条射线BF ,在BF 上截取BC =CD ,过D 作DE ∥A B ,使E 、C 、A 在同一直线上,则DE 的长就是A 、B 之间的距离,请你说明道理.21.(8分)已知AB ∥DE ,BC ∥EF ,D ,C 在AF 上,且AD=CF ,求证:△ABC ≌△DEF .第19题图 DCBA四、解答题(共20分)22.(10分)已知:BE ⊥CD ,BE =DE ,BC =DA ,求证:① △BEC ≌△DAE ;②DF ⊥BC .23.(10分)如图,在四边形ABCD 中,E 是AC 上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6.CA12章·全等三角形(详细答案)一、选择题CBDCD BDCDC二、填空题11、△ABD SSS 12、∠ABC 13、3cm14、∠COB SAS CB 15、△ABC △DCB AAS △DOC16、相等17、○3两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等三、解答题18、AD CAD AB=AC ∠BAD=∠CAD AD=AD SAS19、B解:(1)EF=MN EG=HN FG=MH ∠F=∠M ∠E=∠N∠EGF=∠MHN (2)∵△EFG≌△NMH ∴MN=EF=2.1cm∴GF=HM=3.3cm ∵FH=1.1cm ∴HG=GF-FH=3.3-1.1=2.2cm 20、解:∵DE∥AB∴∠A=∠E在△ABC与△CDE中∠A=∠EBC=CD∠ACB=∠ECD∴△ABC≌△CDE(ASA)∴AB=DE21、证明:∵AB ∥DE ∴∠A=∠EDF∵BC ∥EF ∴∠ACB=∠F ∵AD=CF ∴AC=DF 在△ABC 与△DEF 中∠A=∠EDFAC=DF ∠ACB=∠F△ABC ≌△DEF(ASA)。
八年级数学上册《第十二章 三角形全等的判定》单元测试题及答案(人教版)
八年级数学上册《第十二章三角形全等的判定》单元测试题及答案(人教版)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________知识点回顾1.三角形全等的判定:(1)边边边(SSS):三边分别相等的两个三角形全等。
(2)边角边(SAS):两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
(3)角边角(ASA):两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。
(4)角角边(AAS):两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。
(5)斜边、直角边(HL):斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
一、选择题1.如图,已知AB=AD,∠BAD=∠CAE,则添加下列条件之一,仍不一定能判定△ABC≌△ADE的是()A.AC=AE B.∠C=∠E C.BC=DE D.∠B=∠D 2.用三角尺可按下面方法画角的平分线.如图,在∠AOB两边上,分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线,交点为P,画射线OP,可得△POM≌△PON则判定三角形全等的依据是()A.SSS B.SAS C.ASA D.HL3.下列命题中,真命题的是()A.有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等B.周长相等的两个三角形全等C.两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等D.全等三角形的面积相等,面积相等的两个三角形全等4.如图,若OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C、D,则下列结论中错误的是()A.PC=PD B.OP、PC不一定相等C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD5.如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB,AB=5,BD=1,则CF的长度为()A.2 B.2.5 C.4 D.56.如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的度数和为()A.60°B.75°C.90°D.120°7.如图所示,AB∥CD,AD∥BC,BE=DF,则图中全等三角形共有( )对.A.2 B.3 C.4 D.18.如图,在△ABC中∠B=∠C,BF=CD,BD=CE,∠A=50°,则∠FDE的度数为()A.75°B.70°C.65°D.60°二、填空题9.如图,已知BF=CE,AC=DF请添加一个条件,使得△ABC≌△DEF则添加的条件可以是:.(不添加其他字母及辅助线)10.已知,如图AD=AE,BD=CE那么图中△ADC≌.11.如图,在△ABC中AD⊥BC,CE⊥AB垂足分别是D,E.AD,CE交点H,已知EH=EB=3,AE=5则CH的长是.12.如图,△ABC的面积为6cm2,AP垂直∠ABC的平分线BP于点P,则△PBC的面积是cm2.13.如图所示,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=28°,∠2=30°,则∠3=.三、解答题14.如图,已知点C,F在直线AD上,且有BC= EF,AB=DE,CD=AF。
人教版八年级上册数学《全等三角形》试卷(含答案)
人教版八年级上册数学《全等三角形》试卷(含答案)八年级上册数学单元测试题全等三角形一、选择题(每题3分,共30分)1、已知图中的两个全等三角形,则角α的度数是()。
A、72B、60C、58D、502、如图所示,在△ABC中,AB=AC,EB=EC,则直接由“SSS”可以判定()。
A、△ABE≅△ACEB、△XXX△XXXC、△ABD≅△ACDD、以上选项都正确3、如图所示,AE=AF,AB=AC,EC与BF交于点O,∠A=60°,∠B=25°,则∠EOB的度数为()。
A、60B、70C、75D、854、如图,点D、E分别在线段AB、AC上,CD与BE相交于点O,已知AB=AC,再添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≅△ACD()。
A、∠B=∠CBB、AD=AECC、BD=CEDD、BE=CD5、如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A、B。
下列结论中不一定成立的是()。
A、PA=PBB、PO平分∠APBC、OA=OBD、AB垂直平分OP6、如图,在四边形ABCD中,CB=CD,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAC=35°,则∠BCD的度数为()。
A、145B、130C、110D、707、如图,OA是∠BAC的平分线,OM⊥AC于点M,ON⊥AB于点N,若ON=8cm,则OM长为()。
A、8cmB、4cmC、5cmD、不确定8、如图,四边形ABCD沿AC所在的直线对折后,B点与D点重合,图中全等三角形的对数为()。
A。
B、1C、2D、39、三角形中到三边距离相等的点是()。
A、三条边的垂直平分线的交点B、三条高的交点C、三条中线的交点D、三条角平分线的交点10、如图,已知DB⊥AE于点B,延长BD交AE于点G,DG⊥AF于点C,且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=110°,则∠DGF等于()。
A、130B、40C、110D、70二、填空题(每题4分,共24分)11、如图,已知△ABC≅△BAD,AC与BD相交于点O,请写出图中一组相等的线段。
八年级数学上册《第十二章 全等三角形》单元测试卷及答案(人教版)
八年级数学上册《第十二章 全等三角形》单元测试卷及答案(人教版)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一、选择题:(本题共8小题,每小题5分,共40分.)1.下列可以判定两个直角三角形全等的条件是( )A .斜边相等B .面积相等C .两对锐角对应相等D .两对直角边对应相等2.到三角形三边的距离相等的点是( )A .三角形三内角平分线的交点;B .三角形三边中线的交点;C .三角形三边高的交点;D .三角形三边中垂线的交点。
3.如图,ABC ≌△DEC ,B 、C 、D 在同一直线上,且CE=5,AC=7,则BD 长( )A .12B .7C .2D .144.如图,在ABC 中,AD 平分BAC ∠,DE AB ⊥于点E ,再添加一个条件仍然不能证明△ADC ≌△ADE 的是( )A .90ACB ∠=︒ B .∠ADC =∠ADE C .AC AE =D .DC DE =5.如图,在△ABC 中,∠A=90°,AB=AC=6,点D 是BC 中点,点E 、F 分别在AB 、AC 上,且BE=AF ,则四边形AEDF 的面积为( )A .6B .7C .D .96.如图,在ABC 中90A ∠=︒,AB =2,BC =5,BD 是ABC ∠的平分线,设ABD 和BDC 的面积分别是1S 和2S ,则S 1:S 2的值为( )A .5:2B .2:5C .12:D .1:5 7.如图,∠A=∠B ,AE=BE ,点D 在AC 边上,∠1=∠2,AE 和BD 相交于点O ,若∠1=38°,则∠BDE 的度数为( )A .71°B .76°C .78°D .80°8.如图所示,点 ,A B 分别是 ,NOF MOF ∠∠ 平分线上的点, AB OF ⊥ 于点 E , BC ⊥MN 于点 C , AD ⊥MN 于点 D ,下列结论错误的是( )A .90AOB ∠= B .AD +BC =ABC .点 O 是 CD 的中点 D .图中与 ∠CBO 互余的角有两个二、填空题:(本题共5小题,每小题3分,共15分.)9.如图,在△ABC 和△DEF 中,已知CB =DF ,∠C =∠D ,要使△ABC ≌△EFD ,还需添加一个条件,那么这个条件可以是 .10.在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,BC=2cm ,CD ⊥AB ,在AC 上取一点E ,使EC=BC ,过点E 作EF ⊥AC 交CD 的延长线于点F ,若EF=5cm ,则AE= cm.11.如图,AC 平分∠DCB ,CB =CD ,DA 的延长线交BC 于点E ,若∠BAE =80°,则∠EAC 的度数为 .12.如图,有一个直角三角形ABC ∠C =90° , AC=10 , BC=5 ,一条线段PQ=AB ,P 、Q 两点分别在线段AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AX 上运动,动点P 从C 点以2个单位秒的速度出发,问P 点运动 秒时(不包括点C ),才能使△ABC ≌△QPA .13.如图,已知ABC ∆的周长是 21 ,OB ,OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠,OD BC ⊥于D ,且OD =4,ABC ∆ 面积是 .三、解答题:(本题共5题,共45分)14.如图,△ABO ≌△CDO ,点B 在CD 上,AO ∥CD ,∠BOD=30°,求∠A 的度数.15.如图,在ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC ,BE ⊥CE 于E ,AD CE ⊥于D ,AD =2.5cm ,DE =1.7cm ,求BE 的长.16.如图,DE AC ⊥于点E ,BFAC ⊥于点F .AB =CD ,AE =CF ,BD 交AC 于点M ,求证:MB =MD .17.如图所示,已知 AD//BC , 点 E 为 CD 上一点,AE 、BE 分别平分∠DAB 、∠CBA ,BE 交 AD 的延长线于点 F.求证:(1)△ABE ≌△AEF ;(2) AD+BC=AB18.如图,在△ABC 中,∠B =60°,AD 平分∠BAC ,CE 平分∠BCA ,AD 、CE 交于点F ,CD =CG ,连结FG.(1)求证:FD =FG ;(2)线段FG 与FE 之间有怎样的数量关系,请说明理由;(3)若∠B ≠60°,其他条件不变,则(1)和(2)中的结论是否仍然成立?请直接写出判断结果,不必说明理由参考答案:1.D 2.A 3.A 4.D 5.D 6.B 7.A 8.D9.AC =ED 或∠A =∠FED 或∠ABC =∠F .10.311.50°12.2.513.4214.解:∵△ABO ≌△CDO∴OB=OD ,∠ABO=∠D∴∠OBD=∠D=12(180°﹣∠BOD )=12×(180°﹣30)=75° ∴∠ABC=180°﹣75°×2=30°∴∠A=∠ABC=30°.15.解:∵90ACB ∠=︒∴90BCE ACD ∠+∠=︒∵AD CE BE CE ⊥⊥,∴9090ADC CEB CAD ACD ∠=∠=︒∠+∠=︒, ∴CAD BCE ∠∠=在ACD 与CBE 中{∠ADC =∠CEB∠BCE =∠CAD AC =BC∴()AAS ACD CBE ≌∴BE CD CE AD ==,∴ 2.5 1.70.8cm BE CD CE DE AD DE ==-=-=-=. 答:BE 的长为0.8cm .16.证明:∵AE =CF∴AE +EF =CF +EF ,即AF =CE∵DE ⊥AC 于点E ,BF AC ⊥于点F∴ABF 和CDE 是直角三角形在Rt ABF 和Rt CDE 中{AB =CD AF =CE∴Rt △ABF ≌Rt △CDE(HL),∴BF =DE ;在DEM 和△BFM 中{∠DEM =∠BFM =90°∠DME =∠BMF DE =BF∴△DEM ≌△BFM(AAS),∴MB =MD .17.(1)证明:如图,∵AE 、BE 分别平分∠DAB 、∠CBA∴∠1=∠2,∠3=∠4∵AD∥BC∴∠2=∠F,∠1=∠F在△ABE和△AFE中∴△ABE≌△AFE(AAS)(2)证明:∵△ABE≌△AFE∴BE=EF在△BCE和△FDE中∴△BCE≌△FDE(ASA)∴BC=DF∴AD+BC=AD+DF=AF=AB即AD+BC=AB.18.(1)证明:∵EC平分∠ACB ∴∠FCD=∠FCG∵CG=CD,CF=CF∴△CFD≌△CFG(SAS)∴FD=FG.(2)解:结论:FG=FE.理由:∵∠B=60°∴∠BAC+∠BCA=120°∵AD平分∠BAC,CE平分∠BCA∴∠ACF+∠FAC=12(∠BCA+∠BAC)=60°∴∠AFC=120°,∠CFD=∠AFE=60°∵△CFD≌△CFG∴∠CFD=∠CFG=60°∴∠AFG=∠AFE=60°∵AF=AF,∠FAG=∠FAE∴△AFG≌△AFE(ASA)∴FG=FE.(3)解:结论:(1)中结论成立.(2)中结论不成立. 理由:①同法可证△CFD≌△CFG(SAS)∴FD=FG.②∵∠B≠60°∴无法证明∠AFG=∠AFE∴不能判断△AFG≌△AFE∴(2)中结论不成立。
人教版八年级上学期数学《全等三角形》单元检测题(带答案)
故选C.
[点睛]本题考查了全等三角形的判定与性质的应用,能正确证明出两个三角形全等是解此题的关键.
4.如图,在 中, , 平分 , , ,
A.8B.4C.2D.1
[答案]A
[解析]
[分析]
过点D作DE⊥B C于E,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得A D=DE,再根据S△A B C=S△A B D+S△B C D列式计算即可得解.
又∵∠EOD=∠BOC=120°,
∴∠EOF=∠EOD﹣∠DOF=120°﹣∠DOF,
∴∠EOF=∠DOG,
A. B. C. D.
[答案]A
[解析]
[分析]
设其中一个三角形另外两边长为y和z,由全等图形周长相等,可知x+y+z= ,再由边长关系,可推出x的取值范围.
[详解]∵围成两个全等的三角形可得两个三角形的周长相等,
∴ ,∵ ,∴ ,解得
又∵ , ,∴ ,即 ,解得
综上可得
故选C.
[点睛]本题考查三角形三边关系,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.
9.如图, 的两条角平分线B D、CE交于O,且 ,则下列结论中不正确的是( )
A. B.
C. D.
10.如图,已知将 沿 所在直线翻折,点 恰好与 上的点 重合,对折边 ,折痕也经过点 ,则下列说法正确的是()
① ;
② ;
③ ;
④ ;
⑤若 ,则 是等边三角形.
A.只有①②正确B.①②③
C.①②③④D.①②③④⑤
A. B.
C. D.
[答案]D
[解析]
试题分析:根据三角形的内角和等于180°求出∠A B C+∠A C B=120°,再根据角平分线的性质求出∠OB C+∠OC B=60°,然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可求出∠BOC的度数;
人教版八年级上册数学《全等三角形》单元测试题(附答案)
人教版数学八年级上学期《全等三角形》单元测试(考试时间:90分钟试卷满分:120分)一.全等三角形的性质1.(2019•上海)在△ABC和△A1B1C1中,已知∠C=∠C1=90°,AC=A1C1=3,BC=4,B1C1=2,点D、D1分别在边AB、A1B1上,且△ACD≌△C1A1D1,那么AD的长是.二.全等三角形的判定2.(2019•兴安盟)如图,已知AB=AC,点D、E分别在线段AB、AC上,BE与CD相交于点O,添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD()A.∠B=∠C B.AE=AD C.BD=CE D.BE=CD3.(2019•安顺)如图,点B、F、C、E在一条直线上,AB∥ED,AC∥FD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△DEF的是()A.∠A=∠D B.AC=DF C.AB=ED D.BF=EC第2题第3题第4题4.(2019•阿坝州)如图,已知E,B,F,C四点在一条直线上,EB=CF,∠A=∠D,添加以下条件之一,仍不能证明△ABC≌△DEF的是()A.∠E=∠ABC B.AB=DE C.AB∥DE D.DF∥AC5.(2020•齐齐哈尔)如图,已知在△ABD和△ABC中,∠DAB=∠CAB,点A、B、E在同一条直线上,若使△ABD≌△ABC,则还需添加的一个条件是.(只填一个即可)6.(2020•铜仁市)如图,∠B=∠E,BF=EC,AC∥DF.求证:△ABC≌△DEF.第5题第6题三.直角三角形全等的判定7.(2020•黑龙江)如图,Rt△ABC和Rt△EDF中,∠B=∠D,在不添加任何辅助线的情况下,请你添加一个条件,使Rt△ABC和Rt△EDF全等.四.全等三角形的判定与性质第7题8.(2020•鄂州)如图,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,OA<OC,∠AOB=∠COD=36°.连接AC,BD交于点M,连接OM.下列结论:①∠AMB=36°,②AC=BD,③OM平分∠AOD,④MO平分∠AMD.其中正确的结论个数有()个.A.4B.3C.2D.19.(2019•临沂)如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB,若AB=4,CF=3,则BD 的长是()A.0.5B.1C.1.5D.2第8题第9题10.(2020•菏泽)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,点E在AC的延长线上,ED⊥AB于点D,若BC=ED,求证:CE=DB.第10题11.(2020•泸州)如图,AC平分∠BAD,AB=AD.求证:BC=DC.第11题12.(2020•南充)如图,点C在线段BD上,且AB⊥BD,DE⊥BD,AC⊥CE,BC=DE.求证:AB=CD.第12题13.(2020•无锡)如图,已知AB∥CD,AB=CD,BE=CF.求证:(1)△ABF≌△DCE;(2)AF∥DE.第13题14.(2020•硚口区模拟)如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C,求证:BD=CE.第14题15.(2018秋•溧水区期末)如图,点C 、E 、F 、B 在同一直线上,点A 、D 在BC 异侧,AB ∥CD ,AE =DF ,∠A =∠D .(1)求证:AB =CD ;(2)若AB =CF ,∠B =40°,求∠D 的度数.第15题五.全等三角形的应用16.(2019•南通)如图,有一池塘,要测池塘两端A ,B 的距离,可先在平地上取一个点C ,从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B .连接AC 并延长到点D ,使CD =CA .连接BC 并延长到点E ,使CE =CB .连接DE ,那么量出DE 的长就是A ,B 的距离.为什么?第16题六.角平分线的性质17.(2019•陕西)如图,在△ABC 中,∠B =30°,∠C =45°,AD 平分∠BAC 交BC 于点D ,DE ⊥AB ,垂足为E .若DE =1,则BC 的长为( ) A .22+ B .32+ C .32+ D .318.(2019•张家界)如图,在△ABC 中,∠C =90°,AC =8,DC =31AD ,BD 平分∠ABC ,则点D 到AB 的距离等于( )A .4B .3C .2D .1第17题第18题第19题19.(2019•湖州)如图,已知在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积是()A.24B.30C.36D.42参考答案一.全等三角形的性质(共1小题)1.(2019•上海)在△ABC 和△A 1B 1C 1中,已知∠C =∠C 1=90°,AC =A 1C 1=3,BC =4,B 1C 1=2,点D 、D 1分别在边AB 、A 1B 1上,且△ACD ≌△C 1A 1D 1,那么AD 的长是 .【分析】根据勾股定理求得AB =5,由△ACD ≌△C 1A 1D 1,所以可以将A 1点放在左图的C 点上,C 1点放在左图的A 点上,D 1点对应左图的D 点,从而得出BC ∥B 1C 1,根据其性质得出=2,解得求出AD 的长.【解答】解:∵△ACD ≌△C 1A 1D 1,可以将△C 1A 1D 1与△ACD 重合,如图,∵∠C =∠C 1=90°,∴BC ∥B 1C 1,∴, ∵AC =3,BC =4,∴AB =5, ,解得AD ,∴AD , .二.全等三角形的判定(共5小题)2.(2019•兴安盟)如图,已知AB =AC ,点D 、E 分别在线段AB 、AC 上,BE 与CD 相交于点O ,添加以下哪个条件仍不能判定△ABE ≌△ACD ( )AD AD -5BCC B BD AD 11A.∠B=∠C B.AE=AD C.BD=CE D.BE=CD【分析】根据全等三角形的判定定理判断.【解答】解:A、当∠B=∠C时,利用ASA定理可以判定△ABE≌△ACD;B、当AE=AD时,利用SAS定理可以判定△ABE≌△ACD;C、当BD=CE时,得到AD=AE,利用SAS定理可以判定△ABE≌△ACD;D、当BE=CD时,不能判定△ABE≌△ACD;故选:D.3.(2019•安顺)如图,点B、F、C、E在一条直线上,AB∥ED,AC∥FD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△DEF的是()A.∠A=∠D B.AC=DF C.AB=ED D.BF=EC【分析】分别判断选项所添加的条件,根据三角形的判定定理:SSS、SAS、AAS进行判断即可.【解答】解:选项A、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF,故本选项符合题意;选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定,故本选项不符合题意;选项C、添加AB=DE可用AAS进行判定,故本选项不符合题意;选项D、添加BF=EC可得出BC=EF,然后可用ASA进行判定,故本选项不符合题意.故选:A.4.(2019•阿坝州)如图,已知E,B,F,C四点在一条直线上,EB=CF,∠A=∠D,添加以下条件之一,仍不能证明△ABC≌△DEF的是()A.∠E=∠ABC B.AB=DE C.AB∥DE D.DF∥AC【分析】由EB=CF,可得出EF=BC,又有∠A=∠D,本题具备了一组边、一组角对应相等,为了再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF,那么添加的条件与原来的条件可形成SSA,就不能证明△ABC ≌△DEF了.【解答】解:A.添加∠E=∠ABC,根据AAS能证明△ABC≌△DEF,故A选项不符合题意.B.添加DE=AB与原条件满足SSA,不能证明△ABC≌△DEF,故B选项符合题意;C.添加AB∥DE,可得∠E=∠ABC,根据AAS能证明△ABC≌△DEF,故C选项不符合题意;D.添加DF∥AC,可得∠DFE=∠ACB,根据AAS能证明△ABC≌△DEF,故D选项不符合题意;故选:B.5.(2020•齐齐哈尔)如图,已知在△ABD和△ABC中,∠DAB=∠CAB,点A、B、E在同一条直线上,若使△ABD≌△ABC,则还需添加的一个条件是AD=AC(∠D=∠C或∠ABD=∠ABC等).(只填一个即可)【分析】利用全等三角形的判定方法添加条件.【解答】解:∵∠DAB=∠CAB,AB=AB,∴当添加AD=AC时,可根据“SAS”判断△ABD≌△ABC;当添加∠D=∠C时,可根据“AAS”判断△ABD≌△ABC;当添加∠ABD=∠ABC时,可根据“ASA”判断△ABD≌△ABC.故答案为AD=AC(∠D=∠C或∠ABD=∠ABC等).6.(2020•铜仁市)如图,∠B=∠E,BF=EC,AC∥DF.求证:△ABC≌△DEF.【分析】首先利用平行线的性质得出∠ACB=∠DFE,进而利用全等三角形的判定定理ASA,进而得出答案.【解答】证明:∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE,∵BF=CE,∴BC=EF,在△ABC和△DEF中,∠B=∠EBC=EF∠ACB=∠DFE,∴△ABC≌△DEF(ASA).三.直角三角形全等的判定(共1小题)7.(2020•黑龙江)如图,Rt△ABC和Rt△EDF中,∠B=∠D,在不添加任何辅助线的情况下,请你添加一个条件AB=ED(BC=DF或AC=EF或AE=CF等),使Rt△ABC和Rt△EDF全等.【分析】本题是一道开放型的题目,答案不唯一,可以是AB=ED或BC=DF或AC=EF或AE=CF等,只要符合全等三角形的判定定理即可.【解答】解:添加的条件是:AB=ED,理由是:∵在△ABC和△EDF中∠B=∠DAB=ED∠A=∠DEF,∴△ABC≌△EDF(ASA),故答案为:AB=ED.四.全等三角形的判定与性质(共9小题)8.(2020•鄂州)如图,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,OA<OC,∠AOB=∠COD=36°.连接AC,BD交于点M,连接OM.下列结论:①∠AMB=36°,②AC=BD,③OM平分∠AOD,④MO平分∠AMD.其中正确的结论个数有()个.A.4B.3C.2D.1【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA=∠ODB,AC=BD,②正确;由全等三角形的性质得出∠OCA=∠ODB,由三角形的外角性质得:∠CMD+∠OCA=∠COD+∠ODB,得出∠CMD=∠COD=36°,∠AMB=∠CMD=36°,①正确;作OG⊥AM于G,OH⊥DM于H,如图所示:则∠OGA=∠OHB=90°,由AAS证明△OGA≌△OHB(AAS),得出OG=OH,由角平分线的判定方法得出OM平分∠AMD,④正确;假设OM平分∠AOD,则∠DOM=∠AOM,由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△OMD,得AO=OD,而OC=OD,所以OA=OC,而OA<OC,故③错误;即可得出结论.【解答】解:∵∠AOB=∠COD=36°,∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,即∠AOC=∠BOD,在△AOC和△BOD中,OA=OB∠AOC=∠B0DOC=OD∴△AOC≌△BOD(SAS),∴∠OCA=∠ODB,AC=BD,故②正确;∵∠OCA=∠ODB,由三角形的外角性质得:∠CMD+∠OCA=∠COD+∠ODB,得出∠CMD=∠COD=36°,∠AMB=∠CMD=36°,故①正确;作OG⊥AM于G,OH⊥DM于H,如图所示,则∠OGA=∠OHB=90°,在△OGA和△OHB中,∵∠0GA=∠OHB=90°∠OAG=∠OBHOA=OB,∴△OGA≌△OHB(AAS),∴OG=OH,∴OM平分∠AMD,故④正确;假设OM平分∠AOD,则∠DOM=∠AOM,在△AMO与△DMO中,∠AOM=∠DOMOM=OM∠AMD=∠DMO,∴△AMO≌△OMD(ASA),∴AO=OD,∵OC=OD,∴OA=OC,而OA<OC,故③错误;正确的个数有3个;故选:B.9.(2019•临沂)如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB,若AB=4,CF=3,则BD 的长是()A.0.5B.1C.1.5D.2【分析】根据平行线的性质,得出∠A=∠FCE,∠ADE=∠F,根据全等三角形的判定,得出△ADE≌△CFE,根据全等三角形的性质,得出AD=CF,根据AB=4,CF=3,即可求线段DB的长.【解答】解:∵CF∥AB,∴∠A=∠FCE,∠ADE=∠F,在△ADE和△FCE中∠A=∠FCE∠ADE=∠FDE=FE,∴△ADE≌△CFE(AAS),∴AD=CF=3,∵AB=4,∴DB=AB﹣AD=4﹣3=1.故选:B.10.(2020•菏泽)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点E在AC的延长线上,ED⊥AB于点D,若BC=ED,求证:CE=DB.【分析】由“AAS”可证△ABC≌△AED,可得AE=AB,AC=AD,由线段的和差关系可得结论.【解答】证明:∵ED⊥AB,∴∠ADE=∠ACB=90°,∠A=∠A,BC=DE,∴△ABC≌△AED(AAS),∴AE=AB,AC=AD,∴CE=BD.11.(2020•泸州)如图,AC平分∠BAD,AB=AD.求证:BC=DC.【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ADC,可得BC=DC.【解答】证明:∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,又∵AB=AD,AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SAS),∴BC=CD.12.(2020•南充)如图,点C在线段BD上,且AB⊥BD,DE⊥BD,AC⊥CE,BC=DE.求证:AB=CD.【分析】证明△ABC≌△CDE(ASA),可得出结论.【解答】证明:∵AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,∴∠ACE=∠ABC=∠CDE=90°,∴∠ACB+∠ECD=90°,∠ECD+∠CED=90°,∴∠ACB=∠CED.在△ABC和△CDE中,∠ACB=∠CEDBC=DE∠ABC=∠CDE,∴△ABC≌△CDE(ASA),∴AB=CD.13.(2020•无锡)如图,已知AB∥CD,AB=CD,BE=CF.求证:(1)△ABF≌△DCE;(2)AF∥DE.【分析】(1)先由平行线的性质得∠B=∠C,从而利用SAS判定△ABF≌△DCE;(2)根据全等三角形的性质得∠AFB=∠DEC,由等角的补角相等可得∠AFE=∠DEF,再由平行线的判定可得结论.【解答】证明:(1)∵AB∥CD,∴∠B=∠C,∵BE=CF,∴BE﹣EF=CF﹣EF,即BF=CE,在△ABF和△DCE中,∵AB=CD∠B=∠CBF=CE,∴△ABF≌△DCE(SAS);(2)∵△ABF≌△DCE,∴∠AFB=∠DEC,∴∠AFE=∠DEF,∴AF∥DE.14.(2020•硚口区模拟)如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C,求证:BD=CE.【分析】要证BD=CE只要证明AD=AE即可,而证明△ABE≌△ACD,则可得AD =AE.【解答】证明:在△ABE与△ACD中∠A=∠AAB=AC∠B=∠C,∴△ABE≌△ACD.∴AD=AE.∴BD=CE.15.(2018秋•溧水区期末)如图,点C、E、F、B在同一直线上,点A、D在BC异侧,AB∥CD,AE=DF,∠A=∠D.(1)求证:AB=CD;(2)若AB=CF,∠B=40°,求∠D的度数.【分析】(1)根据平行线的性质求出∠B=∠C,根据AAS推出△ABE≌△DCF,根据全等三角形的性质得出即可;(2)根据全等得出AB=CD,BE=CF,∠B=∠C,求出CF=CD,推出∠D=∠CFD,即可求出答案.【解答】(1)证明:∵AB∥CD,∴∠B=∠C,在△ABE和△DCF中,∠A=∠D∠B=∠CAE=DF,∴△ABE≌△DCF(AAS),∴AB=CD;(2)解:∵△ABE≌△DCF,∴AB=CD,BE=CF,∠B=∠C,∵∠B=40°,∴∠C=40°∵AB=CF,∴CF=CD,∴∠D=∠CFD(180°﹣40°)=70°.五.全等三角形的应用(共1小题)16.(2019•南通)如图,有一池塘,要测池塘两端A,B的距离,可先在平地上取一个点C,从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点D,使CD=CA.连接BC并延长到点E,使CE=CB.连接DE,那么量出DE的长就是A,B的距离.为什么?【分析】利用“边角边”证明△ABC和△DEC全等,再根据全等三角形对应边相等解答.【解答】解:量出DE的长就等于AB的长,理由如下:在△ABC和△DEC中,BD=CE∠ACB=∠DCECA=CD,∴△ABC≌△DEC(SAS),∴AB=DE.六.角平分线的性质(共3小题)17.(2019•陕西)如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E.若DE=1,则BC的长为()A.B.C D.3【分析】过点D作DF⊥AC于F如图所示,根据角平分线的性质得到DE=DF=1,解直角三角形即可得到结论.【解答】解:过点D作DF⊥AC于F如图所示,∵AD为∠BAC的平分线,且DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∴DE=DF=1,在Rt△BED中,∠B=30°,∴BD=2DE=2,在Rt△CDF中,∠C=45°,∴△CDF为等腰直角三角形,∴CD=DF,∴BC=BD+CD=,故选:A.18.(2019•张家界)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,DC AD,BD平分∠ABC,则点D到AB 的距离等于()A.4B.3C.2D.1【分析】过点D作DE⊥AB于E,求出CD,再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答.【解答】解:如图,过点D作DE⊥AB于E,∵AC=8,DC AD,∴CD=8=2,∵∠C=90°,BD平分∠ABC,∴DE=CD=2,即点D到AB的距离为2.故选:C.19.(2019•湖州)如图,已知在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积是()A.24B.30C.36D.42【分析】过D作DH⊥AB交BA的延长线于H,根据角平分线的性质得到DH=CD=4,根据三角形的面积公式即可得到结论.【解答】解:过D作DH⊥AB交BA的延长线于H,∵BD平分∠ABC,∠BCD=90°,∴DH=CD=4,∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=AB•DH+BC•CD=×6××9×4=30,故选:B.。
八年级数学上册《第十二章 全等三角形》单元测试卷及答案(人教版)
八年级数学上册《第十二章全等三角形》单元测试卷及答案(人教版)班级姓名学号一、单选题1.全等图形是指两个图形()A.大小相同B.形状相同C.能够完全重合D.相等2.如图,△ABC≌△ADE,若∠B=80°,∠C=30°,则∠EAD的度数为()A.70°B.75°C.60°D.80°3.如图,三条直线表示相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( ) .A.一处B.两处C.三处D.四处4.长为l的一根绳,恰好可围成两个全等三角形,则其中一个三角形的最长边x的取值范围为()A.16≤x<14B.18≤x<14C.16<x<14D.18<x<145.如图,在△ABC中,点D在边BC上,点E在线段AD上,AB=AC,EB=EC.则依据SSS可以判定()A.△ABD≌△ACD B.△ABE≌△ACEC.△BED≌△CED D.以上都对6.如图,在△ABC中,∠B=∠C,BF=CD,BD=CE,∠FDE=α,则下列结论正确的是()A.2α+∠A=180°B.α+∠A=90°C.2α+∠A=90°D.α+∠A=180°7.如图,点O在△ABC内,且到三边的距离相等,∠A=64°,则∠BOC的度数为()A.58°B.64°C.122°D.124°8.如图,在△ABC中,P是BC上的点,作PQ∥AC交AB于点Q,分别作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别是R,S,若PR=PS,则下面三个结论:①AS=AR;②AQ=PQ;③△PQR≌△CPS;④AC﹣AQ=2SC,其中正确的是()A.②③④B.①②C.①④D.①②③④二、填空题9.已知△ABC≌△DEF,若∠B=40°,∠D=30°,则∠F=10.如图,已知B、E、F、C在同一直线上,BE=CF,AF=DE,则添加条件,可以判断△ABF≌△DCE.11.如图,△ABD≌△ACE,点B和点C是对应顶点,AB=9cm,BD=7cm,AD=4cm,则DC= cm.12.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,对角线AC,BD相交于点O,下列结论中:①∠ABC=∠ADC;②AC与BD相互平分;③AC,BD分别平分四边形ABCD的两组对角;④四边形ABCD的面AC•BD.正确的是(填写所有正确结论的序号)积S= 1213.如图,在△ABC中AC=BC,∠ACB=50°,AD⊥BC于点D,MC⊥BC于点C,MC=BC点E,点F分别在线段AD,AC上CF=AE,连接MF,BF,CE.(1)图中与MF相等的线段是;(2)当BF+CE取最小值时∠AFB=°三、解答题14.将Rt△ABC的直角顶点C置于直线l上AC=BC,分别过点A、B作直线l的垂线,垂足分别为点D、E连接AE若BE=3,DE=5求△ACE的面积.15.如图,点A,B,C,D在同一条直线上,CE∥DF,EC=BD,AC=FD.求证:AE=FB.16.如图,已知AC∥BD、EA、EB分别平分∠CAB和△DBA,CD过点E,则线段AB与AC、BD有什么数量关系?请说明理由.17.如图,已知B,C,E三点在同一条直线上AC//DE,AC=CE,∠ACD=∠B .求证:△ABC≌△EDC .18.如图,点D为锐角∠ABC的平分线上一点,点M在边BA上,点N在边BC上,∠BMD+∠BND=180°.试说明:DM=DN.19.已知:AD=BC,AC=BD.(1)如图1,求证:AE=BE;(2)如图2,若AB=AC,∠D=2∠BAC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四个度数为36°的角.参考答案 1.C 2.A 3.D 4.A 5.D 6.A 7.C 8.B 9.110° 10.AB=DC 11.5 12.①④ 13.(1)EC (2)9514.解:∵AD ⊥CE ,BE ⊥CE ∴∠ADC =∠CEB =90° ∵∠ACB =90°∴∠ACD =∠CBE =90°−∠ECB 在 △ACD 与 △CBE 中{∠ADC =∠CEB∠ACD =∠CBE AC =BC∴△ACD ≌△CBE (AAS) ∴CD =BE =3 AD =CE ∵CE =CD +DE =3+5=8 ∴AD =8 .S △ACE =12CE ·AD =12×8×8=32 . 15.证明:∵CE ∥DF ∴∠ACE=∠D 在△ACE 和△FDB 中{AC=FD ∠ACE=∠D EC=BD∴△ACE≌△FDB(SAS)∴AE=FB.16.解:AB=AC+BD理由是:在AB上截取AC=AF,连接EF∵AE平分∠CAB∴∠CAE=∠BAE在△CAE和△FAE中{AC=AF∠CAE=∠BAE AE=AE∴△CAE≌△FAE(SAS)∴∠C=∠AFE∵AC∥BD∴∠C+∠D=180°∴∠AFE+∠D=180°∵∠EFB+∠AFE=180°∴∠D=∠EFB∵BE平分∠ABD∴∠DBE=∠FBE在△BEF和△BED中{∠D=∠EFB∠FBE=∠DBEBE=BE∴△BEF≌△BED(AAS)∴BF=BD∵AB=AF+BF,AC=AF,BF=BD ∴AB=AC+BD.17.证明:∵AC//DE∴∠BCA =∠E ∠ACD =∠D . 又∵∠ACD =∠B ∴∠B =∠D .在 △ABC 和 △EDC 中{∠B =∠D∠BCA =∠E AC =EC∴△ABC ≌△EDC .18.解:过点D 作DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥BC 于点F . ∴∠DEB =∠DFB =90°. 又∵BD 平分∠ABC ∴DE =DF .∵∠BMD+∠DME =180°,∠BMD+∠BND =180° ∴∠DME =∠BND . 在△EMD 和△FND 中{∠DEM =∠DFN∠EMD =∠FND DE =DF∴△EMD ≌△FND (AAS ). ∴DM =DN .19.(1)证明:在△ABD 和△BAC 中:{AB =BAAD =BC BD =AC∴△ABD ≌△BAC (SSS ) ∴∠ABD=∠BAC ∴AE=BE ;(2)∠BAC ,∠ABD ,∠DAC ,∠DBC。
人教版八年级数学上册《12.2三角形全等的判定》单元测试含答案解析
《12.2 三角形全等的判定》一、填空题1.如图,已知等边△ABC,AB=2,点D在AB上,点F在AC的延长线上,BD=CF,DE⊥BC于E,FG ⊥BC于G,DF交BC于点P,则下列结论:①BE=CG;②△EDP≌△GFP;③∠EDP=60°;④EP=1中,一定正确的是.2.如图,正方形ABCD的边长为3cm,E为CD边上一点,∠DAE=30°,M为AE的中点,过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q.若PQ=AE,则AP等于cm.3.如图,矩形ABCD中,AB=8,点E是AD上的一点,有AE=4,BE的垂直平分线交BC的延长线于点F,连结EF交CD于点G.若G是CD的中点,则BC的长是.4.如图,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC、BD的交点,点E在CD上,且DE=2CE,过点C作CF⊥BE,垂足为F,连接OF,则OF的长为.5.如图,已知△ABC三个内角的平分线交于点O,点D在CA的延长线上,且DC=BC,AD=AO,若∠BAC=80°,则∠BCA的度数为.6.已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示),点B1在y轴上且坐标是(0,2),点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上,C1的坐标是(1,0).B1C1∥B2C2∥B3C3,以此继续下去,则点A到x轴的距离是.7.如图,点B、E、C、F在一条直线上,AB∥DE,AB=DE,BE=CF,AC=6,则DF= .8.如图,在边长为6的正方形ABCD中,E是AB边上一点,G是AD延长线上一点,BE=DG,连接EG,CF⊥EG交EG于点H,交AD于点F,连接CE,BH.若BH=8,则FG= .9.如图,在四边形ABCD 中,AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,则BD 的长为 .10.如图,在△ABC 中,分别以AC ,BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE .设△ACD 、△BCE 、△ABC 的面积分别是S 1、S 2、S 3,现有如下结论:①S 1:S 2=AC 2:BC 2;②连接AE ,BD ,则△BCD ≌△ECA ;③若AC ⊥BC ,则S 1•S 2=S 32.其中结论正确的序号是 .二、解答题11.如图,E 、F 分别是等边三角形ABC 的边AB ,AC 上的点,且BE=AF ,CE 、BF 交于点P .(1)求证:CE=BF ;(2)求∠BPC 的度数.12.如图,在四边形ABCD中,点H是BC的中点,作射线AH,在线段AH及其延长线上分别取点E,F,连结BE,CF.(1)请你添加一个条件,使得△BEH≌△CFH,你添加的条件是,并证明.(2)在问题(1)中,当BH与EH满足什么关系时,四边形BFCE是矩形,请说明理由.13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的平分线交BC于点E,EF⊥AB于点F,点F恰好是AB 的一个三等分点(AF>BF).(1)求证:△ACE≌△AFE;(2)求tan∠CAE的值.14.在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线MN过点A且MN∥BC,过点B为一锐角顶点作Rt△BDE,∠BDE=90°,且点D在直线MN上(不与点A重合),如图1,DE与AC交于点P,易证:BD=DP.(无需写证明过程)(1)在图2中,DE与CA延长线交于点P,BD=DP是否成立?如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由;(2)在图3中,DE与AC延长线交于点P,BD与DP是否相等?请直接写出你的结论,无需证明.15.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在边AD,BC上,且DE=CF,连接OE,OF.求证:OE=OF.16.如图,在正方形ABCD中,P是对角线AC上的一点,连接BP、DP,延长BC到E,使PB=PE.求证:∠PDC=∠PEC.17.如图,已知△ABC中AB=AC.(1)作图:在AC上有一点D,延长BD,并在BD的延长线上取点E,使AE=AB,连AE,作∠EAC的平分线AF,AF交DE于点F(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)的条件下,连接CF,求证:∠E=∠ACF.18.探究:如图①,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=60°,延长BA至点D,延长CB至点E,使BE=AD,连结CD,AE,求证:△ACE≌△CBD.应用:如图②,在菱形ABCF中,∠ABC=60°,延长BA至点D,延长CB至点E,使BE=AD,连结CD,EA,延长EA交CD于点G,求∠CGE的度数.19.(1)如图1,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C,求证:∠A=∠D.(2)如图2,在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中,△ABC的顶点均在格点上.①sinB的值是;②画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1(A与A1,B与B1,C与C1相对应),连接AA1,BB1,并计算梯形AA1B1B的面积.20.在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置,连DE,BH,两线交于M.求证:(1)BH=DE.(2)BH⊥DE.21.如图,点D是线段BC的中点,分别以点B,C为圆心,BC长为半径画弧,两弧相交于点A,连接AB,AC,AD,点E为AD上一点,连接BE,CE.(1)求证:BE=CE;(2)以点E为圆心,ED长为半径画弧,分别交BE,CE于点F,G.若BC=4,∠EBD=30°,求图中阴影部分(扇形)的面积.22.如图所示,已知∠1=∠2,请你添加一个条件,证明:AB=AC.(1)你添加的条件是;(2)请写出证明过程.23.如图,在等边△ABC中,点D在直线BC上,连接AD,作∠ADN=60°,直线DN交射线AB于点E,过点C作CF∥AB交直线DN于点F.(1)当点D在线段BC上,∠NDB为锐角时,如图①,求证:CF+BE=CD;(提示:过点F作FM∥BC交射线AB于点M.)(2)当点D在线段BC的延长线上,∠NDB为锐角时,如图②;当点D在线段CB的延长线上,∠NDB为钝角时,如图③,请分别写出线段CF,BE,CD之间的数量关系,不需要证明;=4,则BE= ,CD= .(3)在(2)的条件下,若∠ADC=30°,S△ABC24.如图,正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD上的点,且AE⊥BF,垂足为点G.求证:AE=BF.25.如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,在BC的同侧作任意Rt△DBC,∠BDC=90°.(1)若CD=2BD,M是CD中点(如图1),求证:△ADB≌△AMC;下面是小明的证明过程,请你将它补充完整:证明:设AB与CD相交于点O,∵∠BDC=90°,∠BAC=90°,∴∠DOB+∠DBO=∠AOC+∠ACO=90°.∵∠DOB=∠AOC,∴∠DBO=∠①.∵M是DC的中点,∴CM=CD=②.又∵AB=AC,∴△ADB≌△AMC.(2)若CD<BD(如图2),在BD上是否存在一点N,使得△ADN是以DN为斜边的等腰直角三角形?若存在,请在图2中确定点N的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由;(3)当CD≠BD时,线段AD,BD与CD满足怎样的数量关系?请直接写出.26.如图,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,EF与BC交于点G.(1)求证:AE=CF;(2)若∠ABE=55°,求∠EGC的大小.27.如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足是D,AE平分∠BAD,交BC于点E.在△ABC外有一点F,使FA⊥AE,FC⊥BC.(1)求证:BE=CF;(2)在AB上取一点M,使BM=2DE,连接MC,交AD于点N,连接ME.求证:①ME⊥BC;②DE=DN.28.【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后,对∠B 进行分类,可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.【深入探究】第一种情况:当∠B是直角时,△ABC≌△DEF.(1)如图①,在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根据,可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.第二种情况:当∠B是钝角时,△ABC≌△DEF.(2)如图②,在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是钝角,求证:△ABC≌△DEF.第三种情况:当∠B是锐角时,△ABC和△DEF不一定全等.(3)在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是锐角,请你用尺规在图③中作出△DEF,使△DEF和△ABC不全等.(不写作法,保留作图痕迹)(4)∠B还要满足什么条件,就可以使△ABC≌△DEF?请直接写出结论:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是锐角,若,则△ABC≌△DEF.29.问题背景:如图1:在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E,F分别是BC,CD上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是;探索延伸:如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;实际应用:如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离.30.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,AC与BD相交于O点,OC=OA,若E是CD上任意一点,连接BE交AC于点F,连接DF.(1)证明:△CBF≌△CDF;(2)若AC=2,BD=2,求四边形ABCD的周长;(3)请你添加一个条件,使得∠EFD=∠BAD,并予以证明.《12.2 三角形全等的判定》参考答案与试题解析一、填空题1.如图,已知等边△ABC,AB=2,点D在AB上,点F在AC的延长线上,BD=CF,DE⊥BC于E,FG ⊥BC于G,DF交BC于点P,则下列结论:①BE=CG;②△EDP≌△GFP;③∠EDP=60°;④EP=1中,一定正确的是①②④.【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.【分析】由等边三角形的性质可以得出△DEB≌△FGC,就可以得出BE=CG,DE=FG,就可以得出△DEP≌△FGP,得出∠EDP=∠GFP,EP=PG,得出PC+BE=PE,就可以得出PE=1,从而得出结论.【解答】解:∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC,∠A=∠B=∠ACB=60°.∵∠ACB=∠GCF,∵DE⊥BC,FG⊥BC,∴∠DEB=∠FGC=∠DEP=90°.在△DEB和△FGC中,,∴△DEB≌△FGC(AAS),∴BE=CG,DE=FG,故①正确;在△DEP和△FGP中,,∴△DEP≌△FGP(AAS),故②正确;∴PE=PG∠EDP=∠GFP≠60°,故③错误;∵PG=PC+CG,∴PE=PC+BE.∵PE+PC+BE=2,∴PE=1,故④正确.故答案为:①②④.【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,解答时证明三角形全等是关键.2.如图,正方形ABCD的边长为3cm,E为CD边上一点,∠DAE=30°,M为AE的中点,过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q.若PQ=AE,则AP等于1或2 cm.【考点】全等三角形的判定与性质;正方形的性质;解直角三角形.【专题】分类讨论.【分析】根据题意画出图形,过P作PN⊥BC,交BC于点N,由ABCD为正方形,得到AD=DC=PN,在直角三角形ADE中,利用锐角三角函数定义求出DE的长,进而利用勾股定理求出AE的长,根据M为AE中点求出AM的长,利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等,利用全等三角形对应边,对应角相等得到DE=NQ,∠DAE=∠NPQ=30°,再由PN与DC平行,得到∠PFA=∠DEA=60°,进而得到PM垂直于AE,在直角三角形APM中,根据AM的长,利用锐角三角函数定义求出AP的长,再利用对称性确定出AP′的长即可.【解答】解:根据题意画出图形,过P作PN⊥BC,交BC于点N,∵四边形ABCD为正方形,∴AD=DC=PN,在Rt△ADE中,∠DAE=30°,AD=3cm,∴tan30°=,即DE=cm,根据勾股定理得:AE==2cm,∵M为AE的中点,∴AM=AE=cm,在Rt△ADE和Rt△PNQ中,,∴Rt△ADE≌Rt△PNQ(HL),∴DE=NQ,∠DAE=∠NPQ=30°,∵PN∥DC,∴∠PFA=∠DEA=60°,∴∠PMF=90°,即PM⊥AF,在Rt△AMP中,∠MAP=30°,cos30°=,∴AP===2cm;由对称性得到AP′=DP=AD﹣AP=3﹣2=1cm,综上,AP等于1cm或2cm.故答案为:1或2.【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质,正方形的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.3.如图,矩形ABCD中,AB=8,点E是AD上的一点,有AE=4,BE的垂直平分线交BC的延长线于点F,连结EF交CD于点G.若G是CD的中点,则BC的长是7 .【考点】全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;勾股定理;矩形的性质.【专题】几何图形问题.【分析】根据线段中点的定义可得CG=DG,然后利用“角边角”证明△DEG和△CFG全等,根据全等三角形对应边相等可得DE=CF,EG=FG,设DE=x,表示出BF,再利用勾股定理列式求EG,然后表示出EF,再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF=EF,然后列出方程求出x的值,从而求出AD,再根据矩形的对边相等可得BC=AD.【解答】解:∵矩形ABCD中,G是CD的中点,AB=8,∴CG=DG=×8=4,在△DEG和△CFG中,,∴△DEG≌△CFG(ASA),∴DE=CF,EG=FG,设DE=x,则BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x,在Rt△DEG中,EG==,∴EF=2,∵FH垂直平分BE,∴BF=EF,∴4+2x=2,解得x=3,∴AD=AE+DE=4+3=7,∴BC=AD=7.故答案为:7.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,矩形的性质,线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质,勾股定理,熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键.4.如图,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC、BD的交点,点E在CD上,且DE=2CE,过点C作CF⊥BE,垂足为F,连接OF,则OF的长为.【考点】全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形;正方形的性质.【专题】计算题;几何图形问题.【分析】在BE上截取BG=CF,连接OG,证明△OBG≌△OCF,则OG=OF,∠BOG=∠COF,得出等腰直角三角形GOF,在RT△BCE中,根据射影定理求得GF的长,即可求得OF的长.【解答】解:如图,在BE上截取BG=CF,连接OG,∵RT△BCE中,CF⊥BE,∴∠EBC=∠ECF,∵∠OBC=∠OCD=45°,∴∠OBG=∠OCF,在△OBG与△OCF中∴△OBG≌△OCF(SAS)∴OG=OF,∠BOG=∠COF,∴OG⊥OF,在RT△BCE中,BC=DC=6,DE=2EC,∴EC=2,∴BE===2,∵BC2=BF•BE,则62=BF,解得:BF=,∴EF=BE﹣BF=,∵CF2=BF•EF,∴CF=,∴GF=BF﹣BG=BF﹣CF=,在等腰直角△OGF中OF2=GF2,∴OF=.故答案为:.【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理的应用.5.如图,已知△ABC三个内角的平分线交于点O,点D在CA的延长线上,且DC=BC,AD=AO,若∠BAC=80°,则∠BCA的度数为60°.【考点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.【专题】几何图形问题.【分析】可证明△COD≌△COB,得出∠D=∠CBO,再根据∠BAC=80°,得∠BAD=100°,由角平分线可得∠BAO=40°,从而得出∠DAO=140°,根据AD=AO,可得出∠D=20°,即可得出∠CBO=20°,则∠ABC=40°,最后算出∠BCA=60°【解答】解:∵△ABC三个内角的平分线交于点O,∴∠ACO=∠BCO,在△COD和△COB中,,∴△COD≌△COB,∴∠D=∠CBO,∵∠BAC=80°,∴∠BAD=100°,∴∠BAO=40°,∴∠DAO=140°,∵AD=AO,∴∠D=20°,∴∠CBO=20°,∴∠ABC=40°,∴∠BCA=60°,故答案为:60°.【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质,证明三角形全等是解决此题的关键.6.已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示),点B1在y轴上且坐标是(0,2),点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上,C1的坐标是(1,0).B1C1∥B2C2∥B3C3,以此继续下去,则点A2014到x轴的距离是.【考点】全等三角形的判定与性质;规律型:点的坐标;正方形的性质;相似三角形的判定与性质.【专题】规律型.【分析】根据勾股定理可得正方形A 1B 1C 1D 1的边长为=,根据相似三角形的性质可得后面正方形的边长依次是前面正方形边长的,依次得到第2014个正方形和第2014个正方形的边长,进一步得到点A 2014到x 轴的距离.【解答】解:如图,∵点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3在x 轴上,B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3,∴△B 1OC 1∽△B 2E 2C 2∽B 3E 4C 3…,△B 1OC 1≌△C 1E 1D 1,…,∴B 2E 2=1,B 3E 4=,B 4E 6=,B 5E 8=…,∴B 2014E 4016=,作A 1E ⊥x 轴,延长A 1D 1交x 轴于F ,则△C 1D 1F ∽△C 1D 1E 1,∴=,在Rt △OB 1C 1中,OB 1=2,OC 1=1,正方形A 1B 1C 1D 1的边长为为=,∴D1F=,∴A1F=,∵A1E∥D1E1,∴=,∴A1E=3,∴ =,∴点A2014到x轴的距离是×=故答案为:.【点评】此题主要考查了正方形的性质以及解直角三角形的知识,得出正方形各边长是解题关键.7.如图,点B、E、C、F在一条直线上,AB∥DE,AB=DE,BE=CF,AC=6,则DF= 6 .【考点】全等三角形的判定与性质.【专题】几何图形问题.【分析】根据题中条件由SAS可得△ABC≌△DEF,根据全等三角形的性质可得AC=DF=6.【解答】证明:∵AB∥DE,∴∠B=∠DEF∵BE=CF,∴BC=EF,在△ABC和△DEF中,,∴△ABC≌△DEF(SAS),∴AC=DF=6.故答案是:6.【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题,应熟练掌握.全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件.8.如图,在边长为6的正方形ABCD中,E是AB边上一点,G是AD延长线上一点,BE=DG,连接EG,CF⊥EG交EG于点H,交AD于点F,连接CE,BH.若BH=8,则FG= 5.【考点】全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形;正方形的性质;相似三角形的判定与性质.【专题】几何图形问题;压轴题.【分析】如解答图,连接CG,首先证明△CGD≌△CEB,得到△GCE是等腰直角三角形;过点H作AB、BC的垂线,垂足分别为点M、N,进而证明△HEM≌△HCN,得到四边形MBNH为正方形,由此求出CH、HN、CN的长度;最后利用相似三角形Rt△HCN∽Rt△GFH,求出FG的长度.【解答】解:如图所示,连接CG.在△CGD与△CEB中∴△CGD≌△CEB(SAS),∴CG=CE,∠GCD=∠ECB,∴∠GCE=90°,即△GCE是等腰直角三角形.又∵CH⊥GE,∴CH=EH=GH.过点H作AB、BC的垂线,垂足分别为点M、N,则∠MHN=90°,又∵∠EHC=90°,∴∠1=∠2,∴∠HEM=∠HCN.在△HEM与△HCN中,∴△HEM≌△HCN(ASA).∴HM=HN,∴四边形MBNH为正方形.∵BH=8,∴BN=HN=4,∴CN=BC﹣BN=6﹣4=2.在Rt△HCN中,由勾股定理得:CH=2.∴GH=CH=2.∵HM∥AG,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3.又∵∠HNC=∠GHF=90°,∴Rt△HCN∽Rt△GFH.∴,即,∴FG=5.故答案为:5.【点评】本题是几何综合题,考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、勾股定理等重要知识点,难度较大.作出辅助线构造全等三角形与相似三角形,是解决本题的关键.9.如图,在四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,则BD的长为.【考点】全等三角形的判定与性质;勾股定理;等腰直角三角形.【专题】计算题;压轴题.【分析】根据等式的性质,可得∠BAD与∠CAD′的关系,根据SAS,可得△BAD与△CAD′的关系,根据全等三角形的性质,可得BD与CD′的关系,根据勾股定理,可得答案.【解答】解:作AD′⊥AD,AD′=AD,连接CD′,DD′,如图:∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD,即∠BAD=∠CAD′,在△BAD与△CAD′中,,∴△BAD≌△CAD′(SAS),∴BD=CD′.∠DAD′=90°由勾股定理得DD′=,∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得CD′=,∴BD=CD′=,故答案为:.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,利用了全等三角形的判定与性质,勾股定理,作出全等图形是解题关键.10.如图,在△ABC 中,分别以AC ,BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE .设△ACD 、△BCE 、△ABC 的面积分别是S 1、S 2、S 3,现有如下结论:①S 1:S 2=AC 2:BC 2;②连接AE ,BD ,则△BCD ≌△ECA ;③若AC ⊥BC ,则S 1•S 2=S 32. 其中结论正确的序号是 ①②③ .【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.【分析】①根据相似三角形面积的比等于相似比的平方判断;②根据SAS 即可求得全等;③根据面积公式即可判断.【解答】①S 1:S 2=AC 2:BC 2正确,解:∵△ADC 与△BCE 是等边三角形,∴△ADC ∽△BCE ,∴S 1:S 2=AC 2:BC 2.②△BCD≌△ECA正确,证明:∵△ADC与△BCE是等边三角形,∴∠ACD=∠BCE=60°∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACD,即∠ACE=∠DCB,在△ACE与△DCB中,,∴△BCD≌△ECA(SAS).③若AC⊥BC,则S1•S2=S32正确,解:设等边三角形ADC的边长=a,等边三角形BCE边长=b,则△ADC的高=a,△BCE的高= b,∴S1=a a=a2,S2=b b=b2,∴S1•S2=a2b2=a2b2,∵S3=ab,∴S32=a2b2,∴S1•S2=S32.【点评】本题考查了三角形全等的判定,等边三角形的性质,面积公式以及相似三角形面积的比等于相似比的平方,熟知各性质是解题的关键.二、解答题11.如图,E、F分别是等边三角形ABC的边AB,AC上的点,且BE=AF,CE、BF交于点P.(1)求证:CE=BF;(2)求∠BPC的度数.【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.【分析】(1)欲证明CE=BF,只需证得△BCE≌△ABF;(2)利用(1)中的全等三角形的性质得到∠BCE=∠ABF,则由图示知∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°,即∠PBC+∠PCB=60°,所以根据三角形内角和定理求得∠BPC=120°.【解答】(1)证明:如图,∵△ABC是等边三角形,∴BC=AB,∠A=∠EBC=60°,∴在△BCE与△ABF中,,∴△BCE≌△ABF(SAS),∴CE=BF;(2)解:∵由(1)知△BCE≌△ABF,∴∠BCE=∠ABF,∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°,即∠PBC+∠PCB=60°,∴∠BPC=180°﹣60°=120°.即:∠BPC=120°.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质.全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件.12.如图,在四边形ABCD中,点H是BC的中点,作射线AH,在线段AH及其延长线上分别取点E,F,连结BE,CF.(1)请你添加一个条件,使得△BEH≌△CFH,你添加的条件是EH=FH ,并证明.(2)在问题(1)中,当BH与EH满足什么关系时,四边形BFCE是矩形,请说明理由.【考点】全等三角形的判定与性质;矩形的判定.【专题】几何综合题;分类讨论.【分析】(1)根据全等三角形的判定方法,可得出当EH=FH,BE∥CF,∠EBH=∠FCH时,都可以证明△BEH≌△CFH,(2)由(1)可得出四边形BFCE是平行四边形,再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时,四边形BFCE是矩形.【解答】(1)答:添加:EH=FH,证明:∵点H是BC的中点,∴BH=CH,在△BEH和△CFH中,,∴△BEH≌△CFH(SAS);(2)解:∵BH=CH,EH=FH,∴四边形BFCE是平行四边形(对角线互相平分的四边形为平行四边形),∵当BH=EH时,则BC=EF,∴平行四边形BFCE为矩形(对角线相等的平行四边形为矩形).【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定,是基础题,难度不大.13.(2014•株洲)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的平分线交BC于点E,EF⊥AB于点F,点F恰好是AB的一个三等分点(AF>BF).(1)求证:△ACE≌△AFE;(2)求tan∠CAE的值.【考点】全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;勾股定理;锐角三角函数的定义.【专题】证明题.【分析】(1)根据角的平分线的性质可求得CE=EF,然后根据直角三角形的判定定理求得三角形全等.(2)由△ACE≌△AFE,得出AC=AF,CE=EF,设BF=m,则AC=2m,AF=2m,AB=3m,根据勾股定理可求得,tan∠B==,CE=EF=,在RT△ACE中,tan∠CAE===;【解答】(1)证明:∵AE是∠BAC的平分线,EC⊥AC,EF⊥AF,∴CE=EF,在Rt△ACE与Rt△AFE中,,∴Rt△ACE≌Rt△AFE(HL);(2)解:由(1)可知△ACE≌△AFE,∴AC=AF,CE=EF,设BF=m,则AC=2m,AF=2m,AB=3m,∴BC===m,解法一:∵∠C=∠EFB=90°,∴△EFB∽△ACB,∴=,∵CE=EF,∴==;解法二:∴在RT△ABC中,tan∠B===,在RT△EFB中,EF=BF•tan∠B=,∴CE=EF=,在RT△ACE中,tan∠CAE===;∴tan∠CAE=.【点评】本题考查了直角三角形的判定、性质和利用三角函数解直角三角形,根据已知条件表示出线段的值是解本题的关键.14.在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线MN过点A且MN∥BC,过点B为一锐角顶点作Rt△BDE,∠BDE=90°,且点D在直线MN上(不与点A重合),如图1,DE与AC交于点P,易证:BD=DP.(无需写证明过程)(1)在图2中,DE与CA延长线交于点P,BD=DP是否成立?如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由;(2)在图3中,DE与AC延长线交于点P,BD与DP是否相等?请直接写出你的结论,无需证明.【考点】全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形;平行四边形的性质.【专题】几何综合题.【分析】(1)如答图2,作辅助线,构造全等三角形△BDF≌△PDA,可以证明BD=DP;(2)如答图3,作辅助线,构造全等三角形△BDF≌△PDA,可以证明BD=DP.【解答】题干引论:证明:如答图1,过点D作DF⊥MN,交AB于点F,则△ADF为等腰直角三角形,∴DA=DF.∵∠1+∠FDP=90°,∠FDP+∠2=90°,∴∠1=∠2.在△BDF与△PDA中,∴△BDF≌△PDA(ASA)∴BD=DP.(1)答:BD=DP成立.证明:如答图2,过点D作DF⊥MN,交AB的延长线于点F,则△ADF为等腰直角三角形,∴DA=DF.∵∠1+∠ADB=90°,∠ADB+∠2=90°,∴∠1=∠2.在△BDF与△PDA中,∴△BDF≌△PDA(ASA)∴BD=DP.(2)答:BD=DP.证明:如答图3,过点D作DF⊥MN,交AB的延长线于点F,则△ADF为等腰直角三角形,∴DA=DF.在△BDF与△PDA中,∴△BDF≌△PDA(ASA)∴BD=DP.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识点,作辅助线构造全等三角形是解题的关键.15.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在边AD,BC上,且DE=CF,连接OE,OF.求证:OE=OF.【考点】全等三角形的判定与性质;矩形的性质.【专题】证明题.【分析】欲证明OE=OF,只需证得△ODE≌△OCF即可.【解答】证明:如图,∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC=∠BCD=90°,AC=BD,OD=BD,OC=AC,∴OD=OC,∴∠ODC=∠OCD,∴∠ADC﹣∠ODC=∠BCD﹣∠OCD,即∠EDO=∠FCO,在△ODE与△OCF中,,∴△ODE≌△OCF(SAS),∴OE=OF.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,矩形的性质.全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件.16.如图,在正方形ABCD中,P是对角线AC上的一点,连接BP、DP,延长BC到E,使PB=PE.求证:∠PDC=∠PEC.【考点】全等三角形的判定与性质;正方形的性质.【专题】证明题.【分析】根据正方形的四条边都相等可得BC=CD,对角线平分一组对角可得∠BCP=∠DCP,再利用“边角边”证明△BCP和△DCP全等,根据全等三角形对应角相等可得∠PDC=∠PBC,再根据等边对等角可得∠PBC=∠PEC,从而得证.【解答】证明:在正方形ABCD中,BC=CD,∠BCP=∠DCP,在△BCP和△DCP中,,∴△BCP≌△DCP(SAS),∴∠PDC=∠PBC,∵PB=PE,∴∠PBC=∠PEC,∴∠PDC=∠PEC.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,正方形的性质,等边对等角的性质,熟记各性质并判断出全等三角形是解题的关键.17.如图,已知△ABC中AB=AC.(1)作图:在AC上有一点D,延长BD,并在BD的延长线上取点E,使AE=AB,连AE,作∠EAC的平分线AF,AF交DE于点F(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)的条件下,连接CF,求证:∠E=∠ACF.【考点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;作图—复杂作图.【专题】作图题;证明题.【分析】(1)以A为圆心,以AB长为半径画弧,与BD的延长线的交点即为点E,再以点A为圆心,以任意长为半径画弧,分别与AC、AE相交,然后以这两点为圆心,以大于它们长度为半径画弧,两弧相交于一点,过点A与这一点作出射线与BE的交点即为所求的点F;(2)求出AE=AC,根据角平分线的定义可得∠EAF=∠CAF,再利用“边角边”证明△AEF和△ACF 全等,根据全等三角形对应角相等可得∠E=∠ACF.【解答】(1)解:如图所示;(2)证明:∵AB=AC,AE=AB,∴AE=AC,∵AF是∠EAC的平分线,∴∠EAF=∠CAF,在△AEF和△ACF中,,∴△AEF≌△ACF(SAS),∴∠E=∠ACF.【点评】本题考查了全等三角形的判断与性质,等腰三角形的性质,作一条线段等于已知线段,角平分线的作法,确定出全等三角形的条件是解题的关键.18.探究:如图①,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=60°,延长BA至点D,延长CB至点E,使BE=AD,连结CD,AE,求证:△ACE≌△CBD.应用:如图②,在菱形ABCF中,∠ABC=60°,延长BA至点D,延长CB至点E,使BE=AD,连结CD,EA,延长EA交CD于点G,求∠CGE的度数.【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;菱形的性质.【专题】几何图形问题.【分析】探究:先判断出△ABC是等边三角形,根据等边三角形的性质可得BC=AC,∠ACB=∠ABC,再求出CE=BD,然后利用“边角边”证明即可;应用:连接AC,易知△ABC是等边三角形,由探究可知△ACE和△CBD全等,根据全等三角形对应角相等可得∠E=∠D,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CGE=∠ABC 即可.【解答】解:探究:∵AB=AC,∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,∴BC=AC,∠ACB=∠ABC,∵BE=AD,∴BE+BC=AD+AB,即CE=BD,在△ACE和△CBD中,,∴△ACE≌△CBD(SAS);应用:如图,连接AC,易知△ABC是等边三角形,由探究可知△ACE≌△CBD,∴∠E=∠D,∵∠BAE=∠DAG,∴∠E+∠BAE=∠D+∠DAG,∴∠CGE=∠ABC,∵∠ABC=60°,∴∠CGE=60°.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,菱形的性质,熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键,(2)作辅助线构造出探究的条件是解题的关键.19.(1)如图1,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C,求证:∠A=∠D.(2)如图2,在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中,△ABC的顶点均在格点上.①sinB的值是;②画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1(A与A1,B与B1,C与C1相对应),连接AA1,BB1,并计算梯形AA1B1B的面积.【考点】全等三角形的判定与性质;作图-轴对称变换;锐角三角函数的定义.【专题】网格型.【分析】(1)根据全等三角形的判定与性质,可得答案;(2)根据正弦函数的定义,可得答案;根据轴对称性质,可作轴对称图形,根据梯形的面积公式,可得答案.【解答】(1)证明:BE=CF,∴BE+EF=CF+EF.即BF=CE.在△ABF和△DCE中,,∴△ABF≌△DCE(SAS).∴∠A=∠D;(2)解:①∵AC=3,BC=4,∴AB=5.sinB=;②如图所示:由轴对称性质得AA1=2,BB1=8,高是4,∴==20.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,利用了等式的性质,全等三角形的判定与性质.20.在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置,连DE,BH,两线交于M.求证:(1)BH=DE.(2)BH⊥DE.【考点】全等三角形的判定与性质;正方形的性质.【专题】证明题.【分析】(1)根据正方形的性质可得BC=CD,CE=CH,∠BCD=∠ECH=90°,然后求出∠BCH=∠DCE,再利用“边角边”证明△BCH和△DCE全等,根据全等三角形对应边相等证明即可;(2)根据全等三角形对应角相等可得∠CBH=∠CDE,然后根据三角形的内角和定理求出∠DMB=∠BCD=90°,再根据垂直的定义证明即可.【解答】证明:(1)在正方形ABCD与正方形CEFH中,BC=CD,CE=CH,∠BCD=∠ECH=90°,∴∠BCD+∠DCH=∠ECH+∠DCH,即∠BCH=∠DCE,在△BCH和△DCE中,。
人教版八年级数学上册《第十二章 全等三角形》单元测试卷-附含答案
人教版八年级数学上册《第十二章 全等三角形》单元测试卷-附含答案时间:100分钟 总分:120分一、选择题(每题3分 共24分)1.图中是全等的三角形是 ( )A .甲和乙B .乙和丁C .甲和丙D .甲和丁【解析】解:比较三角形的三边长度 发现乙和丁的长度完全一样 即为全等三角形故选:B .【点睛】本题考查全等三角形的判定SSS 三边对应相等 两三角形全等.2.如图 在△ABC 和△DEF 中 AB =DE ∠A =∠D 添加一个条件不能判定这两个三角形全等的是 ( )A .AC =DFB .∠B =∠EC .BC =EFD .∠C =∠F【解析】根据全等三角形的判定定理 结合各选项的条件进行判断即可.解:A 、添加AC =DF 满足SAS 可以判定两三角形全等;B 、添加∠B =∠E 满足ASA 可以判定两三角形全等;C 、添加BC =EF 不能判定这两个三角形全等;D 、添加∠C =∠F 满足AAS 可以判定两三角形全等;故选:C .【点睛】本题考查三角形全等的判定方法 判定两个三角形全等的一般方法有:SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL .注意:AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等 判定两个三角形全等时 必须有边的参与 若有两边一角对应相等时 角必须是两边的夹角.3.BD 、CE 分别是△ABC 中∠ABC 、∠ACB 的平分线 且交于点O 若O 到AB 的距离为1 BC =3 则OCB S △= ( )A .12B .1C .32 D .3【解析】解:∵点O 是△ABC 中∠ABC 、∠ACB 的平分线的交点∴O 到AB 的距离与O 到BC 的距离相等∴O 到BC 的距离为1∴OCB S △ =12×3×1= 32.故选:C .【点睛】本题考查了角平分线的性质 角平分线上的点到角的两边的距离相等 熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.4.如图 已知ABN ACM △≌△ 则下列结论不正确...的是 ( )A .BC ∠=∠ B .BAM CAN =∠∠ C .AMN ANM ∠=∠D .AMC BAN ∠=∠【解析】解:∵ABN ACM △≌△∴B C ∠=∠ A 选项正确;BAN CAM ∠=∠ AN AM = AMC ANB ∠=∠∵BAM MAN CAN MAN ∠+∠=∠+∠∴BAM CAN =∠∠ B 选项正确;∵AN AM =∴AMN ANM ∠=∠ C 选项正确;∵AMC ANB ∠=∠∴AMC BAN ∠=∠ 不一定成立 D 选项不正确.故选:D.【点睛】本题考查全等三角形的性质 解答本题的关键是找准对应边和对应角以及熟悉等腰三角形的性质.5.如图 △ABC ≌△A ′B ′C ′ 边 B ′C ′过点 A 且平分∠BAC 交 BC 于点 D ∠B =27° ∠CDB ′=98° 则∠C ′的度数为 ( )A.60°B.45°C.43°D.34°【解析】解∶∵△ABC≌△A′B′C′∴∠C′=∠C∵∠CDB′=98°∴∠ADB=98°∵∠B=27°∴∠BAD=55°∵B′C′过点A 且平分∠BAC 交BC 于点D∴∠BAC=2∠BAD=110°∴∠C=180°-∠BAD-∠B=43°即∠C′=43°.故选:C【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质三角形的内角和定理熟练掌握全等三角形的性质三角形的内角和定理是解题的关键.6.如图为了估算河的宽度我们可以在河的对岸选定一个目标点A再在河的这一边选定点B和F使AB⊥BF并在垂线BF上取两点C、D使BC=CD再作出BF的垂线DE使点A、C、E在同一条直线上因此证得△ABC≌△EDC进而可得AB=DE即测得DE的长就是AB的长则△ABC≌△EDC的理论依据是()A.SAS B.HL C.ASA D.AAA【解析】解:∵证明在△ABC≌△EDC用到的条件是:CD=BC∠ABC=∠EDC=90°∠ACB=∠ECD∴用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法故C正确.故选:C.【点睛】本题考查了全等三角形的应用判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL 做题时注意选择.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等判定两个三角形全等时必须有边的参与 若有两边一角对应相等时 角必须是两边的夹角.7.如图33 的正方形网格中 ABC 的顶点都在小正方形的格点上 这样的三角形称为格点三角形 则在此网格中与ABC 全等的格点三角形(不含ABC )共有 ( )A .5个B .6个C .7个D .8个【解析】解:如图所示:与ABC 全等的三角形有DEF 、HIJ 、GMN 、IEM △、HAF △、BDG 、CJN △ 共7个故选:C .【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理 能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键 注意:全等三角形的判定定理有SAS ASA AAS SSS 两直角三角形全等还有HL 等.8.如图 BC ⊥CE BC =CE AC ⊥CD AC =CD DE 交AC 的延长线于点M M 是DE 的中点 若AB =8 则CM 的长为 ( )A .3.2B .3.6C .4D .4.8【解析】解:如图 过点E 作EF ⊥AC 交AC 的延长线于点F∵ CD ⊥AC EF ⊥AC∴∠DCM =∠EFM =90°∵M 是DE 的中点∴DM =EM∵∠DMC =∠EMF∴△DCM ≌△EFM (AAS )∴CM =FM CD =FE∵BC ⊥CE EF ⊥AC∴∠BCE =90° ∠CFE =90°∴∠ACB +∠ECF =90° ∠ECF +∠FEC =90°∴∠ACB =∠FEC∵AC =CD∴AC =FE∵BC =CE∴△ABC ≌△FCE (SAS )∴FC =AB =8∵CM =FM∴M 是FC 的中点∴CM =12FC =4故选:C【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质 熟练掌握三角形的判定方法是基础添加辅助线构造全等三角形是关键.二、填空题(每题3分 共24分)9.如图 90B D ∠=∠=︒ AB AD = 130BAD ∠=︒ 则DCA ∠=______°.【解析】解:∵90B D ∠=∠=︒∴△ABC 和△ADC 是直角三角形∵AC =AC AB AD =∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL )∴∠DAC =∠BAC∵130BAD ∠=︒∴∠DAC =12∠BAD =65°∴DCA ∠=90°-∠DAC =25°.故答案为:25.【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质 熟练掌握直角三角形的判定定理是解题的关键.10.如图 ,AC AD BC BD == 连结CD 交AB 于点E F 是AB 上一点 连结FC FD 则图中的全等三角形共有_________对.【解析】解:解:在△ACB 和ADB 中AC AD AB AB BC BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ACB ≌ADB∴∠CAB =∠DAB ∠CBA =∠DBA∵AC =AD ∠CAB =∠DAB AF =AF∴△CAF ≌△DAF CF =DF∵AC =AD ∠CAB =∠DAB AE =AE∴△ACE ≌△ADE CE =DE∵BC =BD ∠CBA =∠DBA BE =BE∴△CBE ≌△DBE∵BC =BD ∠CBA =∠DBA BF =BF∴△FCB ≌△FDB∵CF =DF CE =DE EF =EF∴△CEF ≌△DEF∴图中全等的三角形有6对图中全等三角形有△ACB ≌△ADB △ACF ≌△ADF △ACE ≌△ADE △BCE ≌△BDE△BCF ≌△BDF △FCE ≌△FDE 共6对故答案为:6 .【点睛】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用 注意:全等三角形的判定定理有SAS ASA AAS SSS .11.如图 在△ABC 中 ∠B =∠C =65° BD =CE BE =CF 则∠DEF 的度数是_____.【解析】解:在△DBE 和△ECF 中=C BD CE B BE CF =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩∴△DBE ≌△ECF (SAS )∴∠BDE =∠FEC∵∠DEF +∠FEC =∠B +∠BDE∴∠DEF =∠B =65°故答案为:65°.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识 证明△DBE ≌△ECF 是解题的关键 属于中考常考题型.12.如图 E ABC AD ≅∆∆ BC 的延长线经过点E 交AD 于F 105AED ∠=︒ 10CAD ∠=︒ 50B ∠=︒ 则EAB ∠=__︒.【解析】解:ABC ADE ∆≅∆ 50B ∠=︒ 50D B EAD CAB ∠=∠105AED ∠=︒18025EAD D AED ∴∠=︒-∠-∠=︒25CAB ∴∠=︒10CAD25102560EAB EAD DAC CAB ∴∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒.故答案为:60.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理 能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键 注意:全等三角形的对应边相等 对角角相等.13.如图 在ABC 中 AD 是它的角平分线 8cm AB = 6cm AC = 则:ABD ACD S S =△△______.【解析】解:如图 过D 作DH AB ⊥于,H 作DG AC ⊥于,G∵AD 是它的角平分线,DH DG 而8cm AB = 6cm AC =1842.1632ABDACD AB DH SAB S AC AC DG 故答案为:4∶3【点睛】本题考查的是角平分线的性质 三角形的面积的计算 证明DH DG =是解本题的关键.14.如图 ∠ACB =90° AC =BC BE ⊥CE AD ⊥CE垂足分别为E D AD =25 DE =17 则BE =_____.【解析】解:∵∠ACB =90°∴∠BCE +∠ACD =90°又∵BE ⊥CE AD ⊥CE∴∠E =∠ADC =90°∴∠BCE +∠CBE =90°∴∠CBE =∠ACD在△CBE 和△ACD 中E ADC CBE ACD BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBE ≌△ACD (AAS )∴BE =CD CE =AD =25∵DE =17∴CD =CE ﹣DE =AD ﹣DE =25﹣17=8∴BE =CD =8;故答案为:8.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质;证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键.15.如图 在平面直角坐标系中 点A 的坐标是(4 0) 点P 的坐标是(0 3) 把线段AP 绕点P 逆时针旋转90°后得到线段PQ 则点Q 的坐标是__________.【解析】解:过Q 作QE ⊥y 轴于E 点 如下图所示:∵旋转90°∴∠1+∠2=90°∵EQ ⊥y 轴∴∠3+∠2=90°∴∠1=∠3且∠QEP =∠POA =90° PQ=PA∴△QEP ≌△POA (AAS )∴EQ=PO =3 EP=OA =4∴EO=EP+PO =4+3=7∴点Q 的坐标是(3 7)故答案为:(3 7).【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质 坐标与图形 本题的关键过Q 作QE ⊥y 轴于E 点 证明△QEP ≌△POA .16.如图 ∠ABC =∠ACD =90° BC =2 AC =CD 则△BCD 的面积为_________.【解析】解:如图 作DE 垂直于BC 的延长线 垂足为E∵90ACB BAC ∠+∠=︒ 90ACB DCE ∠+∠=︒∴BAC DCE ∠=∠在ABC 和CED 中∵90BAC DCEABC CED AC CD∠=∠⎧⎪∠==︒⎨⎪=⎩∴()ABC CED AAS ≌∴2BC DE == ∴122BCD S BC DE =⨯⨯=故答案为:2.【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质.解题的关键在于证明三角形全等.三、解答题(每题8分 共72分)17.如图 在四边形ABCD 中 点E 为对角线BD 上一点 A BEC ∠=∠ ABD BCE ∠=∠ 且AD BE = 证明:AD BC ∥.【解析】证明:在ABD ∆与ECB ∆中A BEC ABD BCE AD BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD ECB AAS ∴∆≅∆;ADB EBC ∴∠=∠AD BC ∴;【点睛】本题主要考查了平行线的判定及全等三角形的判定及性质 熟练运用全等三角形的判定及性质是解题的关键.18.如图 点A 、D 、C 、F 在同一条直线上 ,,AD CF AB DE BC EF ===.若55A ∠=︒ 求EDF ∠的度数.【解析】∵AC =AD +DC DF =DC +CF 且AD =CF∴AC =DF在△ABC 和△DEF 中AB DE BC EF AC DF ⎧⎪⎨⎪⎩=== ∴△ABC ≌△DEF (SSS )∴∠A =∠EDF =55︒.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质 解答本题的关键是明确题意 利用数形结合的思想解答.19.已知:如图 AB ⊥BD ED ⊥BD C 是BD 上的一点 AC ⊥CE AB =CD 求证:BC =DE .【解析】证明:∵AB ⊥BD ED ⊥BD AC ⊥CE (已知)∴∠ACE =∠B =∠D =90°(垂直的意义)∵∠BCA +∠DCE +∠ACE =180°(平角的意义)∠ACE =90°(已证)∴∠BCA +∠DCE =90°(等式性质)∵∠BCA +∠A +∠B =180°(三角形内角和等于180°)∠B =90°(已证)∴∠BCA +∠A =90°(等式性质)∴∠DCE =∠A (同角的余角相等)在△ABC 和△CDE 中A DCE AB CD B D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△CDE (ASA )∴BC =DE (全等三角形对应边相等)【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质;熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键.20.如图 在ABC 中 240AB AC B ==∠=︒, 点D 在线段BC 上运动(D 不与B 、C 重合) 连接AD 作40ADE ∠=︒ DE 交线段AC 于E .(1)点D 从B 向C 运动时 BDA ∠逐渐变__________(填“大”或“小”) 但BDA ∠与EDC ∠的度数和始终是__________度.(2)当DC 的长度是多少时 ABD DCE △△≌ 并说明理由.【解析】(1)在△ABD 中 ∠B +∠BAD +∠ADB =180°设∠BAD =x ° ∠BDA =y °∴40°+x +y =180°∴y =140-x (0<x <100)当点D 从点B 向C 运动时 x 增大∴y 减小BDA ∠+EDC ∠=180°-140ADE ∠=︒故答案为:小 140;(2)当DC =2时 △ABD ≌△DCE理由:∵∠C =40°∴∠DEC +∠EDC =140°又∵∠ADE =40°∴∠ADB +∠EDC =140°∴∠ADB =∠DEC又∵AB =DC =2在△ABD 和△DCE 中===ADB DEC B CAB DC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABD ≌△DCE (AAS );【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 三角形外角的性质等知识点的理解和掌握 三角形的内角和公式 解本题的关键是分类讨论.21.如图 已知ABC 中 ,90AC BC ACB =∠=︒ 点D 与点E 都在射线AP 上 且CD CE = 90DCE ∠=︒.(1)说明AD BE =的理由;(2)说明BE AE ⊥的理由.【解析】(1)解:90ACB DCE ∠=∠=︒ACD DCB BCE DCB ∴∠+∠=∠+∠ACD BCE ∠∠∴=在ACD ∆和BCE ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACD BCE SAS ∴∆≅∆AD BE ∴=;(2)解:如图 设AE 和BC 交于点F∆≅∆ACD BCE∴∠=∠CAD CBEEFB FAB FBA FAB∠=∠+∠=∠+︒45EFB FBE FAB FBE∴∠+∠=∠+︒+∠45=∠+︒+∠FAB CAD45=∠+︒CAB45=︒+︒=︒454590∴∠BEF=90°BE AE∴⊥.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、外角的性质解题的关键是能证明出E∆.≅∆ACD BC 22.已知:如图在△ABC△ADE中∠BAC=∠DAE=90°AB=AC AD=AE点C D E 三点在同一直线上连接BD.求证:(1)△BAD≌△CAE;(2)试猜想BD CE有何特殊位置关系并证明.【解析】(1)证明:∠BAC=∠DAE=90°∴∠+∠=∠+∠,BAC CAD CAD DAEBAD CAE∴∠=∠,AB=AC AD=AE≌BAD CAE.BD CE BD CE理由如下:(2)解:,,BAD CAE≌,ABD ACE∴∠=∠,∠=︒90,BACABC ACB90,ABD DBC ACB90,ACE DBC ACB DBC BCD90,BDC BD CE90,.【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用全等三角形的判定与性质掌握“利用SAS证明两个三角形全等及应用全等三角形的性质”是解本题的关键.23.图已知AE⊥AB AF⊥AC.AE=AB AF=AC BF与CE相交于点M.(1)EC=BF;(2)EC⊥BF;(3)连接AM求证:AM平分∠EMF.【解析】(1)证明:∵AE⊥AB AF⊥AC∴∠BAE=∠CAF=90°∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC即∠EAC=∠BAF在△ABF和△AEC中∵AE ABEAC BAF AF AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF≌△AEC(SAS)∴EC=BF;(2)根据(1)∵△ABF≌△AEC∴∠AEC=∠ABF∵AE⊥AB∴∠BAE=90°∴∠AEC+∠ADE=90°∵∠ADE=∠BDM(对顶角相等)∴∠ABF+∠BDM=90°在△BDM中∠BMD=180°﹣∠ABF﹣∠BDM=180°﹣90°=90°所以EC⊥BF.(3)作AP⊥CE于P AQ⊥BF于Q.如图:∵△EAC ≌△BAF∴AP =AQ (全等三角形对应边上的高相等).∵AP ⊥CE 于P AQ ⊥BF 于Q∴AM 平分∠EMF .【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质 根据条件找出两组对应边的夹角∠EAC =∠BAF 是证明的关键 也是解答本题的难点.24.在直线m 上依次取互不重合的三个点,,D A E 在直线m 上方有AB AC = 且满足BDA AEC BAC α∠=∠=∠=.(1)如图1 当90α=︒时 猜想线段,,DE BD CE 之间的数量关系是____________;(2)如图2 当0180α<<︒时 问题(1)中结论是否仍然成立?如成立 请你给出证明;若不成立 请说明理由;(3)应用:如图3 在ABC 中 BAC ∠是钝角 AB AC = ,BAD CAE BDA AEC BAC ∠<∠∠=∠=∠ 直线m 与CB 的延长线交于点F 若3BC FB = ABC 的面积是12 求FBD 与ACE 的面积之和.【解析】(1)解:DE =BD +CE 理由如下∵∠BDA =∠BAC =∠AEC =90°∴∠BAD +∠EAC =∠BAD +∠DBA =90°∴∠DBA =∠EAC∵AB =AC∴△DBA ≌△EAC (AAS )∴AD =CE BD =AE∴DE =AD +AE =BD +CE故答案为:DE =BD +CE .(2)DE =BD +CE 仍然成立 理由如下∵∠BDA =∠BAC =∠AEC =α∴∠BAD +∠EAC =∠BAD +∠DBA =180°﹣α∴∠DBA =∠EAC∵AB =AC∴△DBA ≌△EAC (AAS )∴BD =AE AD =CE∴DE =AD +AE =BD +CE ;(3)解:∵∠BAD <∠CAE ∠BDA =∠AEC =∠BAC∴∠CAE =∠ABD在△ABD 和△CAE 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE (AAS )∴S △ABD =S △CAE设△ABC 的底边BC 上的高为h 则△ABF 的底边BF 上的高为h∴S △ABC =12BC •h =12 S △ABF =12BF •h∵BC =3BF∴S △ABF =4∵S △ABF =S △BDF +S △ABD =S △FBD +S △ACE =4∴△FBD 与△ACE 的面积之和为4.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质 三角形的面积 解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质.25.如图 ∠MAN 是一个钝角 AB 平分∠MAN 点C 在射线AN 上 且AB =BC BD ⊥AC 垂足为D .(1)求证:BAM BCA ∠=∠;(2)动点P Q 同时从A 点出发 其中点Q 以每秒3个单位长度的速度沿射线AN 方向匀速运动;动点P 以每秒1个单位长度的速度匀速运动.已知AC =5 设动点P Q 的运动时间为t 秒. ①如图② 当点P 在射线AM 上运动时 若点Q 在线段AC 上 且52ABP BQC S S =△△ 求此时t 的值;②如图③ 当点P 在直线AM 上运动时 点Q 在射线AN 上运动的过程中 是否存在某个时刻 使得APB 与BQC 全等?若存在 请求出t 的值;若不存在 请说出理由.【解析】(1)证明:∵BD ⊥AC∴90BDA BDC ∠=∠=︒在Rt △BDA 和Rt △BDC 中BD BD AB CB =⎧⎨=⎩, ∴Rt△BDA ≌Rt△BDC (HL )∴∠BAC =∠BCA .∵AB 平分∠MAN∴∠BAM =∠BAC∴∠BAM =∠BCA .(2)解:①如下图所示 作BH ⊥AM 垂足为M .∵BH ⊥AM BD ⊥AC∴∠AHB =∠ADB =90°在△AHB 和△ADB 中AHB ADB BAH BAD AB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,,,∴△AHB ≌△ADB (AAS )∴BH =BD∵S △ABP =52S △BQC ∴151222AP BH CQ BD =⨯∴52AP CQ =∴5(53)2t t =-∴2517t =.②存在 理由如下:当点P 沿射线AM 方向运动 点Q 在线段AC 上时 如下图所示∵AB =BC又由(1)得∠BAM =∠BCA∴当AP =CQ 时 △APB ≌△CQB∴53t t =-∴54t =;当点P沿射线AM 反向延长线方向运动 点Q 在线段AC 延长线上时 如下图所示由(1)得∠BAM=∠BCA∴∠BAP=∠BCQ又∵AB=BC∴当AP=CQ时△APB≌△CQB ∴35t t=-∴52t=.综上所述当54t=或52t=时△APB和△CQB全等.【点睛】本题考查角平分线的定义全等三角形的判定与性质熟练掌握全等三角形的判定方法并注意分类讨论是解题的关键.第21页共21页。
数学八年级上学期《全等三角形》单元测试题(附答案)
所以∠C A D=30°.
故答案为30.
3.如图是两个全等三角形,图中的字母表示三角形的边长,则∠1的度数是()
A. 76°B. 62°
C. 42°D. 76°、62°或42°都可以
[答案]B
[解析]
[分析]
根据全等三角形的性质求解即可.
[详解]∵对应边的对角是对应角,
∴∠DFB=∠B A D=20°.
故选B.
[点睛]本题主要利用全等三角形对应角相等的性质,准确识图也是考查点之一.
9.如图,OA=OC,OB=OD且OA⊥OB,OC⊥OD,下列结论:①△AOD≌△COB;②C D=A B;③∠C D A=∠A B C;其中正确 结论是()
A. ①②B. ①②③C. ①③D. ②③
A 1个B.2个C.3个D.4个
5.如图,点A,D,C,E在同一条直线上,A B∥EF,A B=EF,∠B=∠F,AE=10,A C=7,则C D的长为( )
A.5.5B.4C.4.5D.3
6.如图所示,将两根钢条 的中点O连在一起,使 可以绕着点O自由转动,就做成了一个测量工具,则 的长等于内槽宽A B,那么判定 的理由是:()
26.问题:如图①,在直角三角形 中, , 于点 ,可知 (不需要证明);
(1)探究:如图②, ,射线 在这个角的内部,点 、 在 的边 、 上,且 , 于点 , 于点 .证明: ;
(2)证明:如图③,点 、 在 的边 、 上,点 、 在 内部的射线 上, 、 分别是 、 的外角.已知 , .求证: ;
17.如图,要测量池塘的宽度A B,在池塘外选取一点P,连接AP、BP并各自延长,使PC=PA,PD=PB,连接C D,测得C D长为25m,则池塘宽A B为________ m,依据是________
2023-2024学年八年级数学上册《第十二章 全等三角形》单元测试卷题含答案(人教版)
2023-2024学年八年级数学上册《第十二章全等三角形》单元测试卷题含答案(人教版)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一、选择题1.如图,已知AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.下列结论不正确的有( )A.∠BAD=∠CAEB.△ABD≌△ACEC.AB=BCD.BD=CE2.如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC.将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是∠PRQ 的平分线.此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构,可得△ABC≌△ADC,这样就有∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是( )A.SASB.ASAC.AASD.SSS3.如图,下面4个正方形的边长都相等,其中阴影部分的面积相等的图形有( )A.0个B.2个C.3个D.4个4.如图,将长方形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在C'处,折痕为EF.若AB=1,BC=2,则△ABE和△BC'F的周长之和为( )A.3B.4C.6D.85.如图,在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA,过点D作DE⊥BC交AB于点E,则有( )A.DE=DBB.DE=AEC.AE=BED.AE=BD6.如图,已知点P到AE、AD、BC的距离相等,下列说法:①点P在∠BAC的平分线上;②点P在∠CBE的平分线上;③点P在∠BCD的平分线上;④点P在∠BAC,∠CBE,∠BCD的平分线的交点上.其中正确的是( )A.①②③④B.①②③C.④D.②③7.小明把一副含45°,30°的直角三角板如图摆放,其中∠C=∠F=90°,∠A=45°,∠D=30°,则∠α+∠β等于( )A.180°B.210°C.360°D.270°8.如图,在△ABC中,AB=AC,点E,F是中线AD上两点,则图中可证明为全等三角形的有( )A.3对B.4对C.5对D.6对9.如图,△ABC中,P、Q分别是BC、AC上的点,作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别是R、S,若AQ=PQ,PR=PS.下面三个结论:①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△QSP.其中正确的是( )A.①③B.②③C.①②D.①②③10.如图,已知在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C,D,E三点在同一条直线上,连接BD,BE.以下四个结论:①BD=CE;②∠ACE+∠DBC=45°;③BD⊥CE;④∠BAE+∠DAC=180°.其中结论正确的个数是( )A.1B.2C.3D.411.如图,已知,BD为△ABC的角平分线,且BD=BC,E为BD延长线上的一点,BE=BA.下列结论:①△ABD≌△EBC;②∠BCE+∠BCD=180°;③AD=AE=EC;④AC=2CD.其中正确的有( ) 个.A.1B.2C.3D.412.如图,已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,AB=6,AC=3,则BE=( )A. 6B. 3C. 2D. 1.5二、填空题13.已知△DEF≌△ABC,AB=AC,且△ABC的周长为22cm,BC=4cm,则DE= cm.14.小明将一块三角形的玻璃棒摔碎成如图所示的四块(即图中标有1,2,3,4的四块),若只带一块配成原来一样大小的三角形,则应该带第_______块.15.下面是“经过已知直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.已知:如图1,直线l和直线l外一点P.求作:直线l的平行直线,使它经过点P.作法:如图2.(1)过点P作直线m与直线l交于点O;(2)在直线m上取一点A(OA<OP),以点O为圆心,OA长为半径画弧,与直线l交于点B;(3)以点P为圆心,OA长为半径画弧,交直线m于点C,以点C为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点D;(4)作直线PD.所以直线PD就是所求作的平行线.请回答:该作图的依据是.16.如图,△ABC是不等边三角形,DE=BC,以D,E为两个顶点作位置不同的三角形,使所作的三角形与△ABC全等,这样的三角形最多可以画出个.17.如图,旗杆AC与旗杆BD相距12 m,某人从点B沿BA走向点A,一段时间后他到达点M,此时他仰望旗杆的顶点C和D,两次视线的夹角为90°,且CM=DM.已知旗杆AC的高为3 m,该人的运动速度为1 m/s,则这个人运动到点M所用时间是 s.18.如图,DE⊥AB于E,DF⊥A于F,若BD=CD,BE=CF.则下列结论:①DE=DF;②AD平分∠BAC;③AE=AD;④AB+AC=2AE中正确的是 .三、解答题19.某段河流的两岸是平行的,数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度,他们是这样做的:①在河流的一条岸边B点,选对岸正对的一棵树A;②沿河岸直走20m有一树C,继续前行20m到达D处;③从D处沿河岸垂直的方向行走,当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走;④测得DE的长为5米.求:(1)河的宽度是多少米?(2)请你证明他们做法的正确性.20.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AB边上一点,过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.(1)求证:△BDE≌△CDF.(2)当AD⊥BC,AE=1,CF=2时,求AC的长.21.如图,点O是线段AB的中点,OD∥BC且OD=BC.(1)求证:△AOD≌△OBC;(2)若∠ADO=35°,求∠DOC的度数.22.如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC.(1)证明:BC=DE;(2)若AC=12,CE经过点D,求四边形ABCD的面积.23.如图,在等腰Rt△ACB中,∠ACB是直角,AC=BC,把一个45°角的顶点放在C处,两边分别与AB交于E,F两点.(1)将所得△ACE以C为中心,按逆时针方向旋转到△BCG,试求证:△EFC≌△GFC;(2)若AB=10,AE∶BF=3∶4,求EF的长.24.如图,在△ABC中,∠ABC=60゜,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,AD、CE交于O.(1)求∠AOC的度数;(2)求证:AC=AE+CD.25.已知点P为∠EAF平分线上一点,PB⊥AE于B,PC⊥AF于C,点M,N分别是射线AE,AF 上的点,且PM=PN.(1)如图1,当点M在线段AB上,点N在线段AC的延长线上时,求证:BM=CN;(2)在(1)的条件下,直接写出线段AM,AN与AC之间的数量关系________;(3)如图2,当点M在线段AB的延长线上,点N在线段AC上时,若AC:PC=2:1,且PC=4,求四边形ANPM的面积.答案1.C2.D3.C4.C5.B6.A7.B8.D.9.C.10.D11.C12.D.13.答案为:9.14.答案为:2.15.答案为:三边分别相等的两个三角形全等;全等三角形的对应角相等;同位角相等,两直线平行.16.答案为:4.17.答案为:3.18.答案为:①②④;19.解:(1)河的宽度是5m;(2)证明:由作法知,BC=DC,∠ABC=∠EDC=90°在Rt△ABC和Rt△EDC中∴Rt△ABC≌Rt△EDC(ASA)∴AB=ED即他们的做法是正确的.20.证明:(1)∵CF∥AB∴∠B=∠FCD,∠BED=∠F∵AD是BC边上的中线∴BD=CD∴△BDE≌△CDF(AAS);(2)解:∵△BDE≌△CDF∴BE=CF=2∴AB=AE+BE=1+2=3∵AD⊥BC,BD=CD∴AC=AB=3.21.证明:(1)∵点O是线段AB的中点∴AO=BO∵OD∥BC∴∠AOD=∠OBC在△AOD与△OBC中∴△AOD≌△OBC(SAS);(2)解:∵△AOD≌△OBC∴∠ADO=∠OCB=35°∵OD∥BC∴∠DOC=∠OCB=35°.22.解:(1)∵∠BAD=∠CAE=90°∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD∴∠BAC=∠EAD.在△ABC和△ADE中∴△ABC≌△ADE(SAS).∴BC=DE(2)∵△ABC≌△ADE∴S△ABC =S△ADE∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =S △ADE +S △ACD =S △ACE =12×122=72.23.解:(1)由旋转知:△BCG ≌△ACE.∴CG =CE ,∠BCG =∠ACE.∵∠ACE +∠BCF =45°∴∠BCG +∠BCF =45°即∠GCF =∠ECF =45°而CF 为公共边∴△EFC ≌△GFC(SAS);(2)连接FG.由△BCG ≌△ACE 知:∠CBG =∠A =45°∴∠GBF =∠CBG +∠CBF =90°由△EFC ≌△GFC 知:EF =GF.设BG =AE =3x ,BF =4x则在Rt △GBF 中,GF =5x∴EF =GF =5x∴AB =3x +5x +4x =10∴AB =56∴EF =5x =256. 24.解:如图,在AC 上截取AF =AE ,连接OF∵AD 平分∠BAC∴∠BAD =∠CAD在△AOE和△AOF中∴△AOE≌△AOF(SAS)∴∠AOE=∠AOF∵∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC,∠ACB∴∠AOC=120°;(2)∵∠AOC=120°∴∠AOE=60°∴∠AOF=∠COD=60°=∠COF在△COF和△COD中∴△COF≌△COD(ASA)∴CF=CD∴AC=AF+CF=AE+CD.25.解:(1)如图1∵点P为∠EAF平分线上一点,PB⊥AE,PC⊥AF∴PB=PC,∠PBM=∠PCN=90°∵在Rt△PBM和Rt△PCN中,PBM=∠PCN=90°,PM=PN,PB=PC∴Rt△PBM≌Rt△PCN(HL)∴BM=CN(2)AM+AN=2AC(3)解:如图2,∵点P为∠EAF平分线上一点,PB⊥AE,PC⊥AF ∴PB=PC,∠PBM=∠PCN=90°∵在Rt △PBM 和Rt △PCN 中,PBM=∠PCN=90°,PM=PN,PB=PC ∴Rt △PBM ≌Rt △PCN (HL )∴BM=CN∴S △PBM =S △PCN∵AC :PC=2:1,PC=4∴AC=8∴由(2)可得,AB=AC=8,PB=PC=4∴S 四边形ANPM =S △APN +S △APB +S △PBM =S △APN +S △APB +S △PCN =S △APC +S △APB = 0.5AC •PC+ 0.5AB •PB= 0.5×8×4+ 0.5×8×4=32。
人教版八年级上册数学全等三角形(全是经典习题)单元测试题附详细解析
人教版八年级上册数学全等三角形(全是经典习题)单元测试题附详细解析一、单选题(共10题;共30分)1.(3分)如图,△ABC△△ADE,△C=40°,则△E的度数为()A.80°B.75°C.40°D.70°2.(3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠CAB的角平分线,DE⊥AB于点E,若BC=6cm,BD=4cm.则DE的长是()A.5cm B.4cm C.3cm D.2cm3.(3分)用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图,能得出△A′O′B′=△AOB的依据是().A.SAS B.AAS C.ASA D.SSS4.(3分)如图是两个全等三角形,图中的字母表示三角形的边长,则△1的度数是()A.76°B.62°C.42°D.76°、62°或42°都可以5.(3分)如图,正方形纸片ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上,这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3(h1>0,h2>0,h3>0),若h1=5,h2=2,则正方形ABCD的面积S等于()A.34B.89C.74D.1096.(3分)下列说法正确的是()A.周长相等的两个三角形全等B.面积相等的两个三角形全等C.三个角对应相等的两个三角形全等D.三条边对应相等的两个三角形全等7.(3分)如图,直线l1,l2,l3表示三条公路。
现要建造一个洗手台P,使P到三条公路的距离都相等,则洗手台P可选择的点有()A.一处B.二处C.三处D.四处8.(3分)如图,一块玻璃被打碎成三块,如果要去玻璃店配一块完全一样的玻璃,那么最合理的办法是()A.带①去B.带②去C.带③去D.带①②③去9.(3分)如图,若要用“HL”证明Rt△ABC△Rt△ABD,则还需补充的条件是()A.AC=AD或BC=BD B.AC=AD且BC=BDC.△BAC=△BAD D.以上都不对10.(3分)如图,边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成,连结AF并延长交CD于点M.若AH=GH,则CM的长为()A.12B.34C.1D.54二、填空题(共5题;共15分)11.(3分)如图所示,AB=AC,AD=AE,△BAC=△DAE,△1=25°,△2=30°,则△3=.12.(3分)如图,△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为30、40、15,点P是三条角平分线的交点,将△ABC分成三个三角形,则SΔAPB︰SΔBPC︰SΔCPA等于13.(3分)如图,AB⊥BC,AD⊥DC,请你添加一个条件,利用“HL”,证明Rt△ABC≌Rt△ADC.14.(3分)如图,△AOB=30°,OP平分△AOB,PD△OB于D,PC△OB交OA于C,若PC=10,则PD=.15.(3分)如图,C 为线段AE 上一动点(不与A、E 重合),在AE 同侧分别作等边△ABC 和等边△CDE,AD 与BE 交于点O,AD 与BC 交于点P,BE 与CD 交于点Q,连接PQ,以下五个结论:①AD=BE;②PQ△AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤△AOB=60°,其中正确的结论是(把你认为正确的结论的序号都填上).三、解答题(共11题;共75分)16.(5分)如图,点E,F在BC上,BE=CF,△A=△D ,△B=△C.求证:△ABF△△DCE。
人教新版 八年级(上)数学 第12章 全等三角形 单元测试卷 (解析版)
第12章全等三角形单元测试卷一、选择题(共10小题).1.(2分)在三角形的内部,到三边距离相等的点是三角形的三条()A.中线的交点B.角平分线的交点C.高的交点D.以上都不对2.(2分)如图,若△ABC与△DEF全等,且BC=DF,则下列结论正确的是()A.∠D=66°B.EF=5cm C.∠E=60°D.DE=5cm 3.(2分)如图,已知△ABC≌△BAD,A与B,C与D分别是对应顶点,若AB=3cm,BC=2cm,AC=4cm,则AD的长为()A.2cm B.3cm C.4cm D.不能确定4.(2分)根据下列已知条件,能唯一画出△ABC的是()A.AB=3cm,BC=4cm,AC=8cmB.AB=4cm,BC=3cm,∠A=30°C.∠A=60°,∠B=45°,AB=40cmD.∠C=90°,AB=6cm5.(2分)下列判定直角三角形全等的方法,不正确的是()A.两条直角边对应相等B.斜边和一锐角对应相等C.斜边和一直角边对应相等D.两个直角三角形的面积相等6.(2分)如图所示,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=25°,∠2=30°,则∠3=()A.60°B.55°C.50°D.无法计算7.(2分)如图,AB⊥CD,且AB=CD.E、F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为()A.a+c B.b+c C.a﹣b+c D.a+b﹣c8.(2分)如图是一个4×4的正方形网格,图中所标示的7个角的角度之和等于()A.585°B.540°C.270°D.315°9.(2分)如图,EB交AC于点M,交FC于点D,AB交FC于点N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论:其中正确的结论有()①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN;⑤△AFN≌△AEM.A.2个B.3个C.4个D.5个10.(2分)如图,点B、C、E在同一条直线上,△ABC与△CDE都是等边三角形,则下列结论不一定成立的是()A.△ACE≌△BCD B.△BGC≌△AFC C.△DCG≌△ECF D.△ADB≌△CEA 二、填空题(每小题3分,共30分)11.(3分)如图所示,AD⊥BC,D为BC的中点,若∠B=52°,则∠DAC=.12.(3分)如图,AD=AB,∠C=∠E,∠CDE=60°,则∠ABE=.13.(3分)如图,点D,C,A在同一条直线上,在△ABC中,∠A:∠ABC:∠ACB=3:5:10,若△EDC≌△ABC,则∠BCE的度数为.14.(3分)如图,△ABC和△EBD都是等腰三角形,且∠ABC=∠EBD=100°,当点D 在AC边上时,∠BAE=度.15.(3分)如图,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE于D,AD=2cm,BE=0.5cm,则DE=cm.16.(3分)如图为6个边长相等的正方形的组合图形,则∠1+∠2+∠3=.17.(3分)如图,OP平分∠MON,PE⊥OM于E,PF⊥ON于F,OA=OB,则图中有对全等三角形.18.(3分)如图,AB⊥BC、DC⊥BC,垂足分别为B、C,AB=6,BC=8,CD=2,点P为BC边上一动点,当BP=时,形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等.19.(3分)如图,点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点,且BM=CN,AM交BN于点P.则∠APN=.20.(3分)如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O,则S△ABO:S△BCO:S△CAO=.三、解答题(共50分)21.(4分)如图,在直线MN上求作一点P,点P到射线OA和OB的距离相等.(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不必写作法和证明过程.22.(6分)如图,在△ABC中,点D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足,DE=DF,求证:∠B=∠C.23.(8分)如图,BE=CF,DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,且DB=DC,求证:AD是∠BAC的平分线.24.(8分)已知:如图,△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,D为AB边上的一点,求证:△ACE≌△BCD.25.(6分)已知△ABN和△ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.(1)求证:BD=CE;(2)求证:∠M=∠N.26.(8分)如图,已知M是∠AOB内一点,MD⊥OB于点D,MC⊥OA于点C,且MD =MC作射线OM,在OM上任取一点P,连接PC,PD.找出图中所有相等的线段(MD =MC除外),并加以证明.27.(10分)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D.BE⊥MN于点E.(1)当直线MN绕点C旋转到如图所示位置时,求证:DE=AD+BE;(2)当直线MN绕点C旋转到与线段AB相交(交点不是AB中点)时,画出相应的图形,探求线段DE,AD与BE之间的等量关系,并写出其关系式.四、附加题(共10分)28.有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法,其方法为:(1)如图所示,以O为圆心,任意长为半径画弧交OM、ON于点A、B;(2)以O为圆心,不等于(1)中的半径长为半径画弧交OM、ON于点C、D;(3)连接AD、BC相交于点E;(4)作射线OE,则OE为∠MON的平分线.你认为他这种作法对吗?试说明理由.参考答案一、选择题(每小题2分,共20分)1.(2分)在三角形的内部,到三边距离相等的点是三角形的三条()A.中线的交点B.角平分线的交点C.高的交点D.以上都不对解:在三角形内部到三边距离相等的点是三个内角平分线的交点,故选:B.2.(2分)如图,若△ABC与△DEF全等,且BC=DF,则下列结论正确的是()A.∠D=66°B.EF=5cm C.∠E=60°D.DE=5cm解:∵△ABC与△DEF全等,∠B=∠F,且BC=DF,∴EF=AB=5cm,故选:B.3.(2分)如图,已知△ABC≌△BAD,A与B,C与D分别是对应顶点,若AB=3cm,BC=2cm,AC=4cm,则AD的长为()A.2cm B.3cm C.4cm D.不能确定解:∵△ABC≌△BAD,∴AD=BC=2cm,故选:A.4.(2分)根据下列已知条件,能唯一画出△ABC的是()A.AB=3cm,BC=4cm,AC=8cmB.AB=4cm,BC=3cm,∠A=30°C.∠A=60°,∠B=45°,AB=40cmD.∠C=90°,AB=6cm解:A、AB=3cm,BC=4cm,AC=8cm;不满足三角形三边关系,本选项不符合题意;B、AB=4cm,BC=3cm,∠A=30°;边边角三角形不能唯一确定.本选项不符合题意;C、∠A=60°,∠B=45°,AB=40cm;角边角三角形唯一确定.本选项符合题意;D、∠C=90°,AB=6cm;一边一角三角形不能唯一确定.本选项不符合题意;故选:C.5.(2分)下列判定直角三角形全等的方法,不正确的是()A.两条直角边对应相等B.斜边和一锐角对应相等C.斜边和一直角边对应相等D.两个直角三角形的面积相等解:如果在两个直角三角形中,两条直角边对应相等,那么根据SAS即可判断两三角形全等,故选项A正确;如果如果在两个直角三角形中,斜边和一锐角对应相等,那么根据AAS可判断两三角形全等,故选项B正确;如果如果在两个直角三角形中,斜边和一直角边对应相等,那么根据HL可判断两三角形全等,故选项C正确;如果两个直角三角形的面积相等,那么无法判定两个直角三角形全等,故D错误;故选:D.6.(2分)如图所示,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=25°,∠2=30°,则∠3=()A.60°B.55°C.50°D.无法计算解:∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,∴∠BAD=∠CAE,在△BAD和△CAE中∴△BAD≌△CAE,∵∠2=30°,∴∠ABD=∠2=30°,∵,∠1=25°,∴∠3=∠ABD+∠1=55°,故选:B.7.(2分)如图,AB⊥CD,且AB=CD.E、F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为()A.a+c B.b+c C.a﹣b+c D.a+b﹣c解:∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,∴∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°,∴∠A=∠C,∵AB=CD,∴△ABF≌△CDE,∴AF=CE=a,BF=DE=b,∵EF=c,∴AD=AF+DF=a+(b﹣c)=a+b﹣c,故选:D.8.(2分)如图是一个4×4的正方形网格,图中所标示的7个角的角度之和等于()A.585°B.540°C.270°D.315°解:仔细观察图形,我们可以发现:∵AB=AZ,BC=ZV,∠B=∠Z,∴△ABC≌△AZV(SAS),∴∠1=∠AVZ,∴∠1+∠7=180°,同理可得:∠2+∠6=180°,∠3+∠5=180°,∠4=45°,所以说图示的7个角的度数和为∠1+∠7+∠2+∠6+∠3+∠5+∠4=180°+180°+180°+45°=585°.故选:A.9.(2分)如图,EB交AC于点M,交FC于点D,AB交FC于点N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论:其中正确的结论有()①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN;⑤△AFN≌△AEM.A.2个B.3个C.4个D.5个解:∵∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,∴△ABE≌△ACF(AAS),∴BE=CF,AF=AE,故②正确,∠BAE=∠CAF,∠BAE﹣∠BAC=∠CAF﹣∠BAC,∴∠1=∠2,故①正确,∵△ABE≌△ACF,∴AB=AC,又∠BAC=∠CAB,∠B=∠C△ACN≌△ABM(ASA),故③正确,CD=DN不能证明成立,故④错误∵∠1=∠2,∠F=∠E,AF=AE,∴△AFN≌△AEM(ASA),故⑤正确,故选:C.10.(2分)如图,点B、C、E在同一条直线上,△ABC与△CDE都是等边三角形,则下列结论不一定成立的是()A.△ACE≌△BCD B.△BGC≌△AFC C.△DCG≌△ECF D.△ADB≌△CEA 解:∵△ABC和△CDE都是等边三角形,∴BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD=60°,∴∠BCA+∠ACD=∠ECD+∠ACD,即∠BCD=∠ACE,∴在△BCD和△ACE中,∴△BCD≌△ACE(SAS),故A成立,∴∠DBC=∠CAE,∵∠BCA=∠ECD=60°,∴∠ACD=60°,在△BGC和△AFC中,∴△BGC≌△AFC,故B成立,∵△BCD≌△ACE,∴∠CDB=∠CEA,在△DCG和△ECF中,∴△DCG≌△ECF,故C成立,故选:D.二、填空题(每小题3分,共30分)11.(3分)如图所示,AD⊥BC,D为BC的中点,若∠B=52°,则∠DAC=38°.解:∵D为BC的中点,∴BD=CD,∵AD⊥BC,∠B=52°,∴∠ADB=∠ADC=90°,∠BAD=38°,在△ADB和△ADC中,,∴△ABD≌△ACD(SAS),∴∠DAC=∠BAD=38°,故答案为:38°.12.(3分)如图,AD=AB,∠C=∠E,∠CDE=60°,则∠ABE=120°.解:∵在△ADC和△ABE中,,∴△ADC≌△ABE(AAS),∴∠ADC=∠ABE,∵∠CDE=60°,∴∠ADC=120°,∴∠ABE=120°,故答案为120°.13.(3分)如图,点D,C,A在同一条直线上,在△ABC中,∠A:∠ABC:∠ACB=3:5:10,若△EDC≌△ABC,则∠BCE的度数为20°.解:∵∠A:∠ABC:∠ACB=3:5:10,∴∠ACB=180°×=100°,∵△EDC≌△ABC,∴∠ECD=∠ACB=100°,∴∠ECA=180°﹣∠ECD=180°﹣100°=80°,∠BCE=∠ACB﹣∠ECA=100°﹣80°=20°,故答案为:20°14.(3分)如图,△ABC和△EBD都是等腰三角形,且∠ABC=∠EBD=100°,当点D 在AC边上时,∠BAE=40度.解:∵∠ABC=∠ABD+∠DBC,∠EBD=∠EBA+∠ABD,∠ABC=∠EBD,∴∠DBC=∠EBA,∵△ABC和△EBD都是等腰三角形,∴BE=BD,AB=CB,在△EAB和△DCB中,∴△EAB≌△DCB(SAS),∴∠BAE=∠BCD,∵∠ABC=100°,AB=CB,∴∠BAE=∠BCD==40°,故答案为:40.15.(3分)如图,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE于D,AD=2cm,BE=0.5cm,则DE= 1.5cm.解:∵BE⊥CE,AD⊥CE∴∠E=∠ADC=90°∴∠DAC+∠DCA=90°∵∠ACB=90°∴∠BCE+∠DCA=90°∴∠BAC=∠DAE在△ACD和△CBE中,,∴△ACD≌△CBE∴BE=CD=0.5(cm),EC=AD=2(cm)DE=CE﹣CD=1.5(cm),故答案为1.516.(3分)如图为6个边长相等的正方形的组合图形,则∠1+∠2+∠3=135°.解:∵在△ABC和△DBE中,∴△ABC≌△DBE(SAS),∴∠3=∠ACB,∵∠ACB+∠1=90°,∴∠1+∠3=90°,∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°,故答案为:135°.17.(3分)如图,OP平分∠MON,PE⊥OM于E,PF⊥ON于F,OA=OB,则图中有3对全等三角形.解:OP平分∠MON,PE⊥OM于E,PF⊥ON于F,∴PE=PF,∠1=∠2,在△AOP与△BOP中,,∴△AOP≌△BOP,∴AP=BP,在△EOP与△FOP中,,∴△EOP≌△FOP,在R t△AEP与R t△BFP中,,∴R t△AEP≌R t△BFP,∴图中有3对全等三角形,故答案为:3.18.(3分)如图,AB⊥BC、DC⊥BC,垂足分别为B、C,AB=6,BC=8,CD=2,点P为BC边上一动点,当BP=2时,形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等.解:当BP=2时,Rt△ABP≌Rt△PCD,∵BC=8,BP=2,∴PC=6,∵AB⊥BC、DC⊥BC,∴∠B=∠C=90°,在△ABP和△PCD中,∴△ABP≌△PCD(SAS),故答案为:2.19.(3分)如图,点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点,且BM=CN,AM交BN于点P.则∠APN=108°.解:∵五边形ABCDE为正五边形,∴AB=BC,∠ABM=∠C,在△ABM和△BCN中,,∴△ABM≌△BCN(SAS),∴∠BAM=∠CBN,∵∠BAM+∠ABP=∠APN,∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC==108°,∴∠APN的度数为108°,故答案为108°20.(3分)如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O,则S△ABO:S△BCO:S△CAO=4:5:6.解:过点O作OD⊥AB于点D,作OE⊥AC于点E,作OF⊥BC于点F,∵OA,OB,OC是△ABC的三条角平分线,∴OD=OE=OF,∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60,∴S△ABO:S△BCO:S△CAO=(AB•OD):(BC•OF):(AC•OE)=AB:BC:AC=40:50:60=4:5:6.故答案为:4:5:6.三、解答题(共50分)21.(4分)如图,在直线MN上求作一点P,点P到射线OA和OB的距离相等.(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不必写作法和证明过程.解:如图,点P即为所求.22.(6分)如图,在△ABC中,点D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足,DE=DF,求证:∠B=∠C.【解答】证明:∵点D是BC的中点,∴DB=DC,∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°,∵在Rt△BED和Rt△CFD中,,∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL).∴∠B=∠C.23.(8分)如图,BE=CF,DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,且DB=DC,求证:AD是∠BAC的平分线.【解答】证明:∵DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,∴∠BED=∠CFD,∴△BDE与△CDF是直角三角形,,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴DE=DF,∴AD是∠BAC的平分线.24.(8分)已知:如图,△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,D为AB边上的一点,求证:△ACE≌△BCD.【解答】证明:∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∴EC=DC,AC=CB,∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACB﹣∠3=∠ECD﹣∠3,即:∠1=∠2,在△ACE和△BCD中,∴△ACE≌△BCD(SAS).25.(6分)已知△ABN和△ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.(1)求证:BD=CE;(2)求证:∠M=∠N.【解答】(1)证明:在△ABD和△ACE中,,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE;(2)证明:∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE,即∠BAN=∠CAM,由(1)得:△ABD≌△ACE,∴∠B=∠C,在△ACM和△ABN中,,∴△ACM≌△ABN(ASA),∴∠M=∠N.26.(8分)如图,已知M是∠AOB内一点,MD⊥OB于点D,MC⊥OA于点C,且MD =MC作射线OM,在OM上任取一点P,连接PC,PD.找出图中所有相等的线段(MD =MC除外),并加以证明.解:∵M是∠AOB内一点,MD⊥OB于点D,MC⊥OA于点C,且MD=MC,∴∠BOM=∠AOM,在Rt△DOM与Rt△COM中,∴Rt△DOM≌Rt△COM(HL),∴OD=OC,在△DOP与△COP中,∴△DOP≌△COP(SAS),∴PC=PD.27.(10分)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D.BE⊥MN于点E.(1)当直线MN绕点C旋转到如图所示位置时,求证:DE=AD+BE;(2)当直线MN绕点C旋转到与线段AB相交(交点不是AB中点)时,画出相应的图形,探求线段DE,AD与BE之间的等量关系,并写出其关系式.【解答】(1)证明:如图1,∵AD⊥MN于点D.BE⊥MN于点E,∴∠ADC=90°,∠CEB=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ACD=∠CBE,在△ACD和△CBE中,,∴△ACD≌△CBE(AAS),∴AD=CE,CD=BE,∴DE=CE+CD=AD+BE;(2)如图2,DE=AD﹣BE;如图3,DE=BE﹣AD.四、附加题(共10分)28.有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法,其方法为:(1)如图所示,以O为圆心,任意长为半径画弧交OM、ON于点A、B;(2)以O为圆心,不等于(1)中的半径长为半径画弧交OM、ON于点C、D;(3)连接AD、BC相交于点E;(4)作射线OE,则OE为∠MON的平分线.你认为他这种作法对吗?试说明理由.解:正确,理由:由题意可得;AO=BO,CO=DO,在△OBC和△OAD中,∴△OBC≌△OAD(SAS),∴∠OCB=∠ODA,∠OAD=∠OBC,∴∠CAE=∠DBE,在△CAE和△DBE中,∴△CAE≌△DBE(ASA),∴CE=ED,在△OOE和△DOE中,∴△COE≌△DOE(SSS),∴∠CAE=∠DOE,即OE为∠MON的平分线.。
人教版八年级数学上册试题 第12章 全等三角形 单元测试卷 (含解析)
第12章《全等三角形》单元测试卷一、单选题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.老师布置了一份家庭作业:用三根小木棍首尾相连拼出一个三角形,三根小木棍的长度分别为5、9、10.5,并且只能对10.5的小木棍进行裁切(裁切后,参与拼图的小木棍的长度为整数),则同学们最多能拼出不同的三角形的个数为( )A .4B .5C .6D .72.如图,点B ,F ,C ,E 在同一条直线上,点A ,D 在直线BE 的两侧,AB ∥DE ,BF =CE ,添加一个适当的条件后,仍不能使得△ABC ≌△DEF ( )A .AC =DFB .AC ∥DF C .∠A =∠D D .AB =DE3.如图,的两条中线AD 、BE 交于点F ,若四边形CDFE 的面积为17,则的面积是( )A .54B .51C .42D .414.已知中,是边上的高,平分.若,,,则的度数等于( )A.B .C .D .5.如图,在四边形中,平分,,,,则面积的最大值为( )cm cm cm cm ABC ABC ABC CD AB CE ACB ∠A m ∠=︒B n ∠=︒m n ≠DCE ∠12m ︒12n ︒()12m n ︒-︒12m n ︒-︒ABDC AD BAC ∠AD DC ⊥2AC AB -=8BC =BDCA .B .C .D .6.如图,,,则下列结论错误的是( )A .≌B .≌C .D .7.如图,在正方形中,对角线相交于点O .E 、F 分别为上一点,且,连接.若,则的度数为( )A .B .C .D .8.如图,在△ABC 中,AB=BC ,,点D 是BC 的中点,BF ⊥AD ,垂足为E ,BF 交AC 于点F ,连接DF.下列结论正确的是()A .∠1=∠3B .∠2=∠3C .∠3=∠4D .∠4=∠59.如图,在四边形ABCD 中,AB =AD ,∠B +∠ADC =180°,E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点,∠EAF=∠BAD ,若DF =1,BE =5,则线段EF 的长为( )6834BE CD =B D ∠=∠∆BEF DCF∆ABC ∆ADE ∆AB AD =DF AC=ABCD AC BD 、AC BD 、OE OF =AF BE EF ,,25AFE ∠=︒CBE ∠55︒65︒45︒70︒90ABC ∠=︒12A .3B .4C .5D .610.如图,∠DAC 与∠ACE 的平分线相交于点P ,且PC =AB +AC ,若,则∠B 的度数是( )A .100°B .105°C .110°D .120°二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)11.已知三角形的两边的长分别为2cm 和8cm ,设第三边中线的长为cm ,则的取值范围是12.如图,在中,的平分线与的外角平分线交于点.(1)当与满足 的关系时,;(2)当时, .13.我们把两个不全等但面积相等的三角形叫做一对偏等积三角形.已知与是一对面积都等于的偏等积三角形,且,,那么的长等于 (结果用含和的代数式表示).14.如图,在中,,以为斜边作,,E 为上一点,连接、,且满足,若,,则 的长为.60PAD ∠=︒x x ABC ABC ∠ACB ∠P A ∠ABC ∠PC AB ∥72A ∠=︒P ∠=ABC DEF S AB AC DE DF ===BC a =EF a S ABC AB AC =AB Rt ADB 90ADB ∠=︒BD AE CE 2BAC DAE ∠=∠17CE =10BE =DE15.如图,和都为等腰直角三角形,,五边形面积为,求 .16.如图,已知等边△ABC ,AB=6,点D 在AB 上,点F 在AC 的延长线上,BD=CF ,DF 交BC 于点P ,作DE ⊥BC 与点E ,则EP 的长是 .17.如图,等腰中,,,为内一点,且,,则 .18.如图,在,中,,,,C ,D ,E 三点在同一直线上,连接,以下四个结论ABC AED △90ABC AED ∠=∠=︒ABCDE S 2BE S =ABC AB AC =70BAC ∠=︒O ABC 5OCB ∠=︒25ABO ∠=︒OAC ∠=ABC ADE V 90BAC DAE ∠=∠=︒AB AC =AD AE =BD BE ,①;②; ③; ④.其中结论正确的是 .(把正确结论的序号填在横线上).三、解答题(本大题共6小题,共58分)19.(8分)已知:,求作一个,使,且.20.(8分)如图,在Rt ∆ABC 中,∠BAC =90°,∠ABC =60°,AD ,CE 分别平分∠BAC ,∠ACB .(1) 求∠AOE 得度数; (2) 求证:AC=AE +CD .BD CE =90ACE DBC ∠+∠=︒BD CE ⊥180BAE DAC ∠+∠=︒ABC BCD △BCD ABC S S =V V AD AB =21.(10分)在四边形中,,,是上一点,是延长线上一点,且.(1)试说明:;(2)在图中,若,,在上且,试猜想、、之间的数量关系并证明所归纳结论;(3)若,,G 在上,满足什么条件时,(2)中结论仍然成立?(只写结果不要证明).22.(10分)已知线段直线于点,点在直线上,分别以,为边作等边和△ADE ,直线交直线于点.(1)当点F 在线段上时,如图1,试说明:(ⅰ).ABDC DC DB =180C ABD ∠+∠=︒E AC F AB CE BF =DE DF =60CAB ∠=︒120CDB ∠=︒G AB 60EDG ∠=︒CE EG BG CAB α∠=180CDB α∠=︒-AB EDG ∠AB ⊥l B D l AB AD ABC CE l F BD BD CE =(ⅱ).(2)当点F 在线段延长线上时,如图2,请写出线段,,之间的关系,并说明理由.23.(10分)在中,,分别过点A 、B 两点作过点C 的直线m 的垂线,垂足分别为点D 、E .(1)如图1,当,点A 、B 在直线m 的同侧时,求证:;(2)如图2,当,点A 、B 在直线m 的异侧时,请问(1)中有关于线段、和三条线段的数量关系的结论还成立吗?若成立,请你给出证明;若不成立,请给出正确结论,并说明理由;(3)如图3,当,,点A 、B 在直线m 的同侧时,一动点M 以每秒的速度从A 点出发沿A →C →B 路径向终点B 运动,同时另一动点N 以每秒的速度从B点出发DF CE CF =-BD DF CE CF ABC 90ACB ∠=︒AC CB =DE AD BE =+AC CB =DE AD BE 16cm AC =30cm CB =2cm 3cm沿B →C →A 路径向终点A 运动,两点都要到达相应的终点时才能停止运动.在运动过程中,分别过点M 和点N 作于P ,于Q .设运动时间为t 秒,当t 为何值时,与全等?24.(12分)在等边的顶点,处各有一只蜗牛,它们同时出发,分别以相同的速度由向和由向爬行,经过分钟后,它们分别爬行到,处,请问:MP m ⊥NQ m ⊥MPC NQC ABC A C A B C A t D E(1)如图1,爬行过程中,和的数量关系是________;(2)如图2,当蜗牛们分别爬行到线段,的延长线上的,处时,若的延长线与交于点,其他条件不变,蜗牛爬行过程中的大小将会保持不变,请你证明:;(3)如图3,如果将原题中“由向爬行”改为“沿着线段的延长线爬行,连接交于”,其他条件不变,求证:.CD BE AB CA D E EB CD Q CQE ∠60CQE ∠=︒C A BC DE AC F DF EF =答案:一、单选题1.C【分析】根据三角形的三边关系列出不等式组求解即可.【详解】解:设从10.5的小木棍上裁剪的线段长度为x ,则,即,∴整数x 的值为5、6 、7 、8、9、10,∴同学们最多能做出6个不同的三角形木架.故选:C .2.A【分析】根据AB ∥DE 证得∠B =∠E ,又已知BF =CE 证得BC =EF ,即已具备两个条件:一边一角,再依次添加选项中的条件即可判断.【详解】∵AB ∥DE ,∴∠B =∠E ,∵BF =CE ,∴BF +FC =CE +FC ,∴BC =EF ,若添加AC =DF ,则不能判定△ABC ≌△DEF ,故选项A 符合题意;若添加AC ∥DF ,则∠ACB =∠DFE ,可以判断△ABC ≌△DEF (ASA ),故选项B 不符合题意;若添加∠A =∠D ,可以判断△ABC ≌△DEF (AAS ),故选项C 不符合题意;若添加AB =DE ,可以判断△ABC ≌△DEF (SAS ),故选项D 不符合题意;故选:A .3.B【分析】连接CF ,依据中线的性质,推理可得 ,进而得出 ,据此可得结论.cm cm 9595x -<<+414x <<cm cm cm cm cm cm BCF BAF ACF S S S == 3ABC BAF S S =【详解】解:如图所示,连接CF ,∵△ABC 的两条中线AD 、BE 交于点F ,∴,∴,∵BE 是△ABC 的中线,FE 是△ACF 的中线,∴,,∴,同理可得,,∴,∴,故选:B .4.D【分析】题目由于在三角形中未确定大小,所以需要进行分类讨论:(1),作出符合题意的相应图形,由图可得:,根据角平分线的性质得:,在中,,故可得;(2)时,由图可得:,,在中,,故可得;综上可得:.【详解】解:(1)如图1所示:时,图1BCE ABD S S = 17ABF CDFE S S == 四边形BCE ABE S S = FCE FAE S S = 17BCF BAF S S == 17ACF BAF S S == 17BCF BAF ACF S S S === 331751ABC BAF S S ==⨯= A B ∠∠、A B ∠<∠DCE BCE BCD ∠=∠-∠()18022m n ACB BCE ︒-︒+︒∠∠==Rt BCD ∆9090BCD B n ∠=︒-∠=︒-︒()12DCE n m ∠=︒-︒A B ∠>∠DCE ACE ACD ∠=∠-∠()18022m n ACB ACE ︒-︒+︒∠∠==Rt ACD ∆9090ACD A m ∠=︒-∠=︒-︒()12DCE m n ∠=︒-︒12DCE m n ∠=︒-︒A B ∠<∠∵CD 是AB 边上的高,∴,,∵,,∴,∵CE 平分,∴,在中,,∴;(2)如图2所示:时,图2∵CD 是AB 边上的高,∴,,∵,,∴,∵CE 平分,∴,在中,,CD AB ⊥90CDB ∠=︒A m ∠=︒B n ∠=︒()180ACB m n ∠=︒-︒+︒ACB ∠()18022m n ACB ACE BCE ︒-︒+︒∠∠=∠==Rt BCD ∆9090BCD B n ∠=︒-∠=︒-︒()()()18019022m n DCE BCE BCD n n m ︒-︒+︒∠=∠-∠=-︒-︒=︒-︒A B ∠>∠CD AB ⊥90CDB ∠=︒A m ∠=︒B n ∠=︒()180ACB m n ∠=︒-︒+︒ACB ∠()18022m n ACB ACE BCE ︒-︒+︒∠∠=∠==Rt ACD ∆9090ACD A m ∠=︒-∠=︒-︒∴;综合(1)(2)两种情况可得:.故选:D .5.D【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,垂线段最短,分别延长与交于点,作交延长线于点,可证明,得到,求面积最大值转化成求线段的最大值即可,解题的关键是作出辅助线,构造出全等三角形.【详解】分别延长与 交于点, 作交 延长线于点 ,∵平分, ,∴,,又∵,∴,∴,,∵,∴,∴,∵,∴当点重合时,最大,最大值为,∴,故选:.6.D【分析】利用全等三角形的判定和性质逐一选项判断即可.【详解】解:在和中,()()()18019022m n DCE ACE ACD m m n ︒-︒+︒∠=∠-∠=-︒-︒=︒-︒12DCE m n ∠=︒-︒CD AB G GH CB ⊥CB H ()ASA ADG ADC ≌2BG =GH CD AB G GH CB ⊥CB H AD BAC ∠AD DC ⊥GAD CAD ∠=∠90ADG ADC ∠==︒AD AD =()ASA ADG ADC ≌AC AG =CD GD =2AC AB -=2BG =111·2222BDC BCG S S BC GH GH ==⨯= GH BC ⊥B H 、GH 224BDC S GH == D ∆BEF DCF ∆,∴≌(),故选项A 正确,不合题意;连接,∵≌(),∴,∴,∵,∴,∴,故选项C 正确,不合题意;∵,证不出,∴选项D 错误,符合题意;在和中,∴≌(),故选项B 正确,不合题意;故选:D7.B【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等,等腰直角三角形的性质,三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可.【详解】解:∵四边形是正方形,∴.∵,B D BFE DFC BE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∆BEF DCF ∆AAS BD ∆BEF DCF ∆AAS BF DF =FBD FDB ∠=∠ABC ADE ∠=∠ABD ADB ∠=∠AB AD =BF DF =DF AC =ABC ∆ADE ∆ABC ADE AB ADA A ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABC ∆ADE ∆ASA ABCD 90AOB AOD OA OB OD OC ∠=∠=︒===,OE OF =∴为等腰直角三角形,∴,∵,∴,∴.在和中,∴(SAS ).∴,∵,∴是等腰直角三角形,∴,∴.故选:B .8.A【分析】如图,过点C 作BC 的垂线,交BF 的延长线于点G ,则,先根据直角三角形两锐角互余可得,再根据三角形全等的判定定理与性质推出,又根据三角形全等的判定定理与性质推出,由此即可得出答案.【详解】如图,过点C 作BC 的垂线,交BF 的延长线于点G ,则,即在和中,OEF 45OEF OFE ∠=∠=︒25AFE ∠=︒70AFO AFE OFE ∠=∠+∠=︒20FAO ∠=︒AOF BOE △90OA OB AOF BOE OF OE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩AOF BOE ≌△△20FAO EBO ∠=∠=︒OB OC =OBC △45OBC OCB ∠=∠=︒65CBE EBO OBC ∠=∠+∠=︒CG BC ⊥BAD CBG ∠=∠1G ∠=∠3G ∠=∠CG BC ⊥90BCG ∠=︒,90AB BC ABC =∠=︒45BAC ACB ∠∴∠==︒904545GCF BCG ACB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒BF AD⊥ 1190BAD CBG ∴∠+∠=∠+∠=︒BAD CBG∴∠=∠BAD ∆CBG ∆90BAD CBG AB BCABD BCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩点D 是BC 的中点在和中,故选:A .9.B【分析】在BE 上截取BG =DF ,先证△ADF ≌△ABG ,再证△AEG ≌△AEF 即可解答.【详解】在BE 上截取BG =DF ,∵∠B +∠ADC =180°,∠ADC +∠ADF =180°,∴∠B =∠ADF ,在△ADF 与△ABG 中,()BAD CBG ASA ∴∆≅∆,1BD CG G∴=∠=∠ CD BD CG∴==CDF ∆CGF ∆45CD CG DCF GCF CF CF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()CDF CGF SAS ∴∆≅∆3G∴∠=∠13∠∠∴=AB AD B ADF BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△ABG (SAS ),∴AG =AF ,∠FAD =∠GAB ,∵∠EAF =∠BAD ,∴∠FAE =∠GAE ,在△AEG 与△AEF 中,∴△AEG ≌△AEF (SAS )∴EF =EG =BE ﹣BG =BE ﹣DF =4.故选:B .10.A【分析】在射线AD 上截取,连接PM ,证明,可得,,然后证明,利用相似三角形的性质进行求解可得到结论.【详解】解:如下图,在射线A D 上截取,连接PM ,∵PA 平分,∴ ,在和中,,∴,∴,.∵,∴,∴.∵PC 平分,∴.12AG AF FAE GAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AM AC =PAM PAC ≌PM PC =PMA PCA ∠=∠BC PM AM AC =DAC ∠60PAM PAC ∠=∠=︒PAM △PAC △PA PA PAM PAC AM AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩PAM PAC SAS ≌()PM PC =PMA PCA ∠=∠PC AB AC =+PC AB MA MB =+=PC PM BM ==ACE ∠PCA PCE ∠=∠如下图,延长MB ,PC 交于点G ,∵,∴.∵,∴,∴,∴,∴,∴,∴,∴,∴.∵,,,∴,∴,∴,∴,∴,∴,∴,∴.GCB PCE ∠=∠PMA GCB ∠=∠BGC PGM ∠=∠BGC PGM ∽GB GC GP GM=··GB GM GC GP =GB GB BM GC GC CP ⋅+=⋅+()()22GB GB BM GC GC CP +⋅=+⋅220GB GC GB BM GC CP -+⋅-⋅=()()()0GB GC GB GC PC GB GC +-+-=()()0GB GC GB GC PC -++=)0GB >0GC >0PC >0GB GC PC ++>0GB GC -=GB GC =∠=∠GBC GCB GBC BMP ∠=∠BC PM 180BMP B ∠+∠=︒180180ABC BMP PCA ∠=︒-∠=︒-∠∵,∴.∵,∴180°-∠PCA=2∠PCA-60°,∴,∴.故选:A .二、填空题11.3<x <5【分析】延长AD 至M 使DM=AD ,连接CM ,先说明△ABD ≌△CDM ,得到CM=AB=8,再求出2AD 的范围,最后求出AD 的范围.【详解】解:如图:AB=8,AC=2,延长AD 至M 使DM=AD ,连接CM在△ABD 和△CDM 中,∴△ABD ≌△MCD (SAS ),∴CM=AB=8.在△ACM 中:8-2<2x <8+2,解得:3<x <5.故答案为3<x <5.12.60PAM PAC ∠=∠=︒60BAC ∠=︒260ABC ACE BAC PCA ∠=∠-∠=∠-︒80PCA ∠=︒180********ABC PAC ∠=︒-∠=︒-︒=∠︒AD MD ADB MDCBD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩A ABC ∠=∠36︒【分析】(1)根据角平分线的性质平分,可得,再由两直线平行线同位角相等,内错角相等可得即可解答;(2)利用角平分线的性质和三角形的外角定理即可求解【详解】(1)解:平分,,,当时,,故答案为:;(2)解:平分,平分,,又,当时,,故答案为:13.【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的面积等知识,由面积相等可得相应等式,作出三角形的高,作出辅助线构造三角形全等,证明三角形全等是是解题的关键.【详解】解:如图:,过作于,过作 交延长线于,延长到使,PC ACM ∠ACP PCM ∠=∠ABC PCM A ACP ∠=∠∠=∠,PC ACM ∠ACP PCM ∴∠=∠ PC AB ∥ABC PCM A ACP∴∠=∠∠=∠,ABC A∠=∠∴∴ABC A ∠=∠PC AB ∥ABC A ∠=∠ BP ABC ∠PC ACM ∠12ABP PBC ABC ∴∠=∠=∠,12ACP PCM ACM ∠=∠=∠ACM ABC A ∠=∠+∠ ,22PCM PBC A∴∠=∠+∠ PCM PBC P ∠=∠+∠222PBC P PBC A∴∠+∠=∠+∠2P A ∴∠=∠72A ∠=︒36P ∴∠=︒36︒4saAB AC DE DF ===C C M A B ⊥M F FN ED ⊥ED N BA K AK AB=12ABC S AB CM S == 12DEF S DE FN S ==,,,.故答案为:.14.【分析】延长至O 点,使得,连接,先证明,再证明CM FN∴=AC DF= Rt Rt (HL)AMC DNF ∴≌ MAC NDF∴∠=∠180CAK MAC ︒∠=-∠ 180EDF NDF︒∠=-∠CAK EDF∴∠=∠AK AC DE DF=== (SAS)ACK DFE ∴≌ EF CK ∴=2KBC S S= AK AC DE DF=== ABC ACB ∴∠=∠K ACK∠=∠1180902ACB ACK ABC K ︒︒∴∠+∠=∠+∠=⨯=90BCK ︒∴∠=122KBC S BC CK S ∴== BC a= 4S CK a ∴=4S EF a∴=4S a72ED OD DE =AO ≌ADO ADE V V,问题随之得解.【详解】延长至O 点,使得,连接,如图,∵,∴,∵,,∴△ADO ≌△ADE ,∴,,∴,∵,∴,∴,∵,,∴,∴,∵,,∴,∴,∵,∴,故答案为:.15.【分析】过点作,且,连接、,交于点,则是等腰直角三角形,证明,则,,则,根据EAC OAB ≌△△ED OD DE =AO 90ADB ∠=︒18090ADO ADB ∠=︒-∠=︒AD AD =OD DE =OAD EAD ∠=∠OA AE =2OAE EAD ∠=∠2BAC DAE ∠=∠BAC OAE ∠=∠EAC OAB ∠=∠OA AE =AB AC =EAC OAB ≌△△OB EC =17CE =10BE =17OB EC ==7OE OB EB =-=OD DE =1722DE OE ==722B BF BE ⊥BF BE =CF EF ,EF CD G BFE △ABE CBF △≌△ABE CBF S S =△△CGF DGE ≌CGF DGE S S =,即可求解.【详解】解:如图所示,过点作,且,连接、,交于点,则是等腰直角三角形,∵和都为等腰直角三角形,,∴∵,∴∴∴∴,则∴,∴,∵∴又∴∴∴五边形面积∴故答案为:2.212BEF S S BE == B BF BE ⊥BF BE =CF EF ,EF CD G BFE △ABC AED △90ABC AED ∠=∠=︒,BA BC AE AD==BF BE ⊥90FBE ∠=︒ABE EBC FBC EBC∠+∠=∠+∠ABE CBF∠=∠ABE CBF △≌△ABE CBFS S =△△AE CF =AEB CFB∠=∠DE CF =45,45AEB GED CFB CFG∠=︒-∠∠=︒-∠CFG DEG∠=∠CGF DGE∠=∠CGF DGE≌CGF DGES S = ABCDE 212BEF S S BE == 2BE S =216.3【详解】如图,过点D 作DH ∥AC 交BC 于H ,∵△ABC 是等边三角形,∴△BDH 也是等边三角形,∴BD=HD ,∵BD=CF ,∴HD=CF ,∵DH ∥AC ,∴∠PCF=∠PHD ,在△PCF 和△PHD 中,∴△PCF ≌△PHD (AAS ),∴PC=PH ,∵△BDH 是等边三角形,DE ⊥BC ,∴BE=EH ,∴EP=EH+HP= BC ,∵等边△ABC ,AB=6,∴EP=╳6=3.故答案是:3.17.【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质,延长交 的角平PCF PHD CPF HPD HD CF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===121265︒BO BAC ∠分线于点,连结,根据等腰三角形的性质及角平分线定义求出,,进而得出,利用证明,根据全等三角形的性质求出,,根据角的和差及三角形内角和定理求出,结合平角定义求出,利用证明,根据全等三角形的性质得出,再根据等腰三角形的性质及角的和差求解即可.【详解】如图,延长交 的角平分线于点,连接.平分,,,,,,,,在和中,,,,,,,,,,,在和中,P CP 55ABC ACB ∠=∠=︒35BAP CAP ∠=∠=︒30OBC ∠=︒SAS APB ACP ≌△△25ABP ACP ∠=∠=︒APB APC ∠=∠120BPC ∠=︒120APC BPC ∠=︒=∠ASA APC OPC ≌△△AP OP =BO BAC ∠P CP AP BAC ∠70BAC ∠=︒35BAP CAP ∴∠=∠=︒AB AC = 70BAC ∠=︒55ABC ACB ∴∠=∠=︒25ABO ∠=︒ 30OBC ABC ABO ∴∠=∠-∠=︒APB △ACP △AB AC BAP CAP AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)APB ACP ∴ ≌25ABP ACP ∴∠=∠=︒APB APC ∠=∠30BCP ACB ACP ∴∠=∠-∠=︒180120BPC PBC BCP ∴∠=︒-∠-∠=︒360120240APB APC ∴∠+∠=︒-︒=︒120APB APC BPC ∴∠=∠=︒=∠5OCB ∠=︒ 25OCP BCP OCB ACP ∴∠=∠-∠=︒=∠APC △OPC,,,,,故答案为:.18.①③④【分析】由 ,利用等式的性质得到夹角相等,从而得出三角形 与三角形全等,由全等三角形的对应边相等得到,本选项正确;由三角形与三角形全等,得到一对角相等,由等腰直角三角形的性质得到,进而得到 ,本选项不正确;再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到,本选项正确;利用周角减去两个直角可得答案;【详解】解: ,即:在 和 中,本选项正确;为等腰直角三角形,,本选项不正确;ACP OCP CP CPAPC OPC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA)APC OPC ∴ ≌AP OP ∴=1(180)302OAP AOP APO ∴∠=∠=⨯︒-∠=︒65OAC OAP CAP ∴∠=∠+∠=︒65︒①AB AC =AD AE =ABD ACE BD CE =②ABD ACE 45ABD DBC ∠+∠=︒45ACE DBC ∠+∠=︒③BD CE ⊥④90BAC DAE ∠=∠=︒① BAC CAD DAE CAD∴∠+∠=∠+∠BAD CAE∠=∠BAD CAE V AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS BAD CAE ∴≌ BD CE ∴=ABC ②45ABC ACB ∴∠=∠=︒45ABD DBC ∴∠+∠=︒BAD CAE ≌ ABD ACE ∴∠=∠45ACE DBC ∴∠+∠=︒即,∴,本选项正确;,本此选项正确;故答案为:①③④.三、解答题19.解:如图过点A 作BC 的平行线AE ,再在AE 上截取,交AE 于点D ,连接BD ,CD 即可得到△BCD .20.(1)解:∵,∴,∵平分,平分,∴,,∵是的外角,∴;(2)证明:在上截取,连接,45ABD DBC ∠+∠=︒③ 45ACE DBC ∴∠+∠=︒90DBC DCB DBC ACE ACB ∴∠+∠=∠+∠+∠=︒90BDC ∠=︒BD CE ⊥90BAC DAE ∠=∠=︒④ 3609090180BAE DAC ∴∠+∠=︒-︒-︒=︒AD AB =9060BAC ABC ∠=︒∠=︒,30ACB ∠=︒AD BAC ∠CE BAC ∠CAD ∠=1245BAC ∠=︒ACE ∠=1215ACB ∠=︒AOE ∠AOC 60AOE CAD ACE ∠=∠+∠=︒AC CF CD =OF∵平分,∴,在和中,,∴ ,∴,∵,∴,∴,∴,∵平分,∴,在和中, ∴ ,∴,∵,∴.21.(1),,(2)猜想:CE ACB ∠DCO FCO ∠=∠DCO FCO CD CF DCO FCO OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()DCO FCO SAS ≌COD COF ∠=∠60AOE =︒∠60COD COF ∠=∠=︒18060AOF AOE COF ∠=︒-∠-∠==︒AOE AOF ∠=∠AD BAC ∠EAO FAO ∠=∠EAO FAO EAO FAO AO AOAOE AOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()EAO FAO ASA ≌AE AF =AC AF CF =+=+AC AE CD 180ABD DBF ∠+∠= 180C ABD ∠+∠= C DBF∴∠=∠CE BF = DC DB=CED BFD∴ ≌DE DF∴=CE BG EG+=由(1)可知,,,,得证;(3)当成立由(1)可知,,,,得证.22.(1)(ⅰ)证明:和都是等边三角形,,,,CED BFD≌CDE BDF ∴∠=∠ED FD =CE BF=120CDB ∠= 60EDG ∠=1206060CED BDG CDB EDG ∴∠+∠=∠-∠=-=60BDG BDF ∴∠+∠=60GDF EDG∴∠==∠ DG DG= EDG FDG∴ ≌EG GF∴=GF BG BF=+ EG BG CE∴=+1902EDG α∠=- CED BFD≌CDE BDF ∴∠=∠ED FD =CE BF=180CDB α∠=- 90EDG α∠=-o 11(180)(90)9022CED BDG CDB EDG ααα∴∠+∠=∠-∠=---=- 1902BDG BDF α∴∠+∠=- 1902GDF EDG α∴∠=-=∠ DG DG= EDG FDG∴ ≌EG GF∴=GF BG BF=+ EG BG CE∴=+ABC ADE V AB AC ∴=AD AE =60BAC DAE ACB ABC ∠=∠=∠=∠=︒.在和中,,.(ⅱ),,.直线,,,.点,,在一条线上,,,,.,,即;(2)解:同理证明,,,,,,,即.23.(1)证明:∵,∴,∵于D ,于E ,∴,,∴,在和中,BAD CAE ∴∠=∠ABD △ACE △,,,AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABD ACE ∴ ≌BD CE ∴=ABD ACE ≌BD CE ∴=ABD ACE ∠=∠AB ⊥Q l 90ABD ∴∠=︒90ACE ∠=︒30CBF ∠=︒ E C F 60ACB ∠=︒30BCF ∴∠=︒CBF BCF ∴∠=∠BF CF ∴=BD DF BF =+ BD DF CF CE ∴=+=DF CE CF=-ABD ACE ≌△△90ABD ACE ∴∠=∠=︒30FBC FCB ∠=∠=︒BD CE =BF CF ∴=BF BD DF ∴=+CF BD DF ∴=+DF CF CE =-90ACB ∠=︒90ACD BCE ∠∠+=︒AD m ⊥BE m ⊥90ADC CEB ∠∠==︒90BCE CBE ∠∠+=︒ACD CBE ∠∠=ADC CEB,∴,∴,,∴;(2)解:结论:;理由:∵,,∴,∵,∴,∴,在和中,,∴,∴,,∴;(3)解:①当时,点M 在上,点N 在上,如图,∵,∴,解得:,不合题意;②当时,点M 在上,点N 也在上,如图,ADC CEB ACD CBE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ADC CEB ≌AD CE =DC BE =DE DC CE BE AD =+=+DE AD BE =-AD m ⊥BE m ⊥90ADC CEB ∠∠==︒90ACB ∠=︒90ACD CAD ACD BCE ∠∠∠∠+=+=︒CAD BCE ∠∠=ACD CBE ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ACD CBE ≌AD CE =CD BE =DE CE CD AD BE =-=-08t ≤<AC BC MC NC =162303t t -=-14t =810t ≤<BC BC∵,∴点M 与点N 重合,∴,解得:;③当时,点M 在上,点N 在上,如图,∵,∴,解得:;④当时,点N 停在点A 处,点M 在上,如图,∵,∴,解得:;综上所述:当或14或16秒时,与全等.24.(1)解:,理由如下:为等边三角形,MC NC =216303t t =﹣﹣9.2t =46103t ≤<BC AC MC NC =216330t t -=-14t =46233t ≤<BC MC NC =21616t -=16t =9.2t =MPC NQC CD BE = ABC,,由题意得:,在和中,,,;(2)证明如下:由(1)可知,,,,;(3)证明:过点作交于,,为等边三角形,为等边三角形,,,,在和中,,,.∴60A ACB ∠=∠=︒AC BC =AD CE =ADC △CEB AD CE A ACB AC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ADC CEB ≌∴CD BE =()SAS ADC CEB ≌∴ADC E ∠=∠ 60E ABE BAC ∠+∠=∠=︒DBQ ABE ∠=∠∴60CQE ADC DBQ ∠=∠+∠=︒D DH BC ∥AC H ∴HDF CEF ∠=∠ ABC ∴ADH ∴HD AD = AD CE =∴DH CE =DFH EFC HDF CEF DFH EFC DH CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS DFH EFC ≌∴DF EF =。
人教版八年级数学上册 第12章 全等三角形 单元综合测试(配套练习附答案)
故答案为:70°.
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质和三角形内角和和外角性质,解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的性质和三角形的内角和和外角性质.
12.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=20°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于P,连接AP并延长交BC于点D,则∠ADB=________.
【答案】7
【解析】
分析】
先过点P作PF⊥AB于G,由于∠ABC和∠ACB的外角平分线BP,CP交于P,根据角平分线的性质可得PF=PG=PE=2,根据 ,可得 ,解得BC=2,再根据△ABC的周长为11,可得AC+AB=11-2=9,继而可得 = =7.
【详解】如图,
过点P作PF⊥AB于G,
因为∠ABC和∠ACB的外角平分线BP,CP交于P,
【点睛】本题主要考查全等图形的定义,解决本题的关键是要熟练掌握全等图形的定义.
2.如图,在直角坐标系中,AD是Rt△OAB的角平分线,点D的坐标是(0,-3),那么点D到AB的距离是( )
A. 3B. -3C. 2D. -2
【答案】A
【解析】
【分析】
过点D作DE⊥AB于E,由于AD是∠OAB的平分线,根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得:DE=OD=3,即点D到AB的距离是3.
【答案】16
【解析】
四边形FBCD周长=BC+AC+DF;当 时,四边形FBCD周长最小为5+6+5=16
三、解答题(共52分)
17.如图,已知 ,用尺规过点 作直线 ,使得 .(保留作图痕迹,不写做法)
【答案】见解析
八年级上册数学《全等三角形》单元综合检测(含答案)
10.如图所示,点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点,AB⊥OP于点E,BC⊥MN于点C,AD⊥MN于点D,下列结论错误的是()
A.AD+BC=ABB.与∠CBO互余的角有两个
C.∠AOB=90°D.点O是CD的中点
【答案】B
【解析】
故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16
故S= (6+4)×16−3×4−6×3=50.
故选A.
【点睛】此题考查全等三角形的性质与判定,解题关键在于证明△EFA≌△AGB和△BGC≌△CHD.
9.已知一等腰三角形的腰长为5,底边长为4,底角为β.满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是()
①②④为条件,根据SSS,可判定 ;可得结论③;
①③④为条件,SSA不能证明 ,
②③④为条件,SSA不能证明 ,
最多可以构成正确结论2个,故选B.
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定,可根据全等三角形的判定定理和性质进行求解.
6.如图所示,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=25°,∠2=30°,则∠3=()
A.60°B.55°C.50°D. 无法计算
【答案】B
【解析】
试题解析:∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
∴∠1=∠EAC,
在△BAD和△EAC中,
,
∴△BAD≌△EAC(SAS),
∴∠2=∠ABD=30°,
∵∠1=25°,
∴∠3=∠1+∠ABD=25°+30°=55°,
B. 两个角是β,它们的夹边为4
人教版八年级上册数学《全等三角形》单元综合检测卷(含答案)
选项D、添加BF=EC可得出BC=EF,然后可用ASA进行判定,故本选项错误.
故选C.
考点:全等三角形的判定.
4.如图,直线L上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为1和9,则b的面积为()
A 8B. 9C. 10D. 11
【答案】C
人教版数学八年级上学期
《全等三角形》单元测试
时间:90分钟总分:100
一.选择题(本大题共8小题,共24.0分)
1.如图所示,△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形,且PA⊥PD,有下列四个结论:①∠PBC=15°,②AD∥BC,③PC⊥AB,④四边形ABCD是轴对称图形,其中正确的个数为( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据周角 定义先求出∠BPC的度数,再根据对称性得到△BPC为等腰三角形,∠PBC即可求出;根据题意:有△APD是等腰直角三角形;△PBC是等腰三角形;结合轴对称图形的定义与判定,可得四边形ABCD是轴对称图形,进而可得②③④正确.
【详解】根据题意, ,
∴∠A=∠2,故B正确;
∴∠A+∠D=90°,故A正确;
在△ABC和△CED中,
,
∴△ABC≌△CED(AAS),故C正确;
故选D.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,等角的余角相等的性质,熟练掌握三角形全等的判定方法并确定出全等的条件∠A=∠2是解题的关键.
6.如图,在△PAB中,PA=PB,M,N,K分别是PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK,若∠MKN=42°,则∠P的度数为( )
2024-2025学年八年级数学上册 第十二章 全等三角形 单元测试题(含答案)
第十二章全等三角形考试范围:全章的内容;考试时间:120分钟;总分:120分一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.下列说法中,正确的有( )①形状相同的两个图形是全等形;②面积相等的两个图形是全等形;③全等三角形的周长相等,面积相等;④若△ABC≌△DEF,则∠A=∠D.A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列各组图形中,是全等形的是()A.B.C.D.3.如图,点B在线段AD上,△ABC≌△EBD,AB=2cm,BD=5cm,则CE的长度为()A.2cm B.2.5cm C.3cm D.5cm4.小红用如图所示的方法测量小河的宽度.她利用适当的工具,使AB⊥BC,CD⊥BC,BO=OC,点A、O、D在同一直线上,就能保证△ABO≌△DCO,可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是( )A.SSS B.ASA C.SAS D.HL5.如图,在△ABC和△DEF中,点A,E,B,D在同一直线上,AC∥DF,AC=DF,只添加一个条件,能判定△ABC≌△DEF的是()A.BC=DE B.AE=DB C.∠A=∠DEF D.∠ABC=∠D6.如图,OP平分∠MON,PE⊥OM于点E,PF⊥ON于点F,OA=OB,则图中全等三角形有()A.1对B.2对C.3对D.4对7.现要在一块三角形形状的草坪上安装一个洒水龙头,要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等,洒水龙头的位置应选在()处A.三角形三边的垂直平分线的交点B.三角形的三条角平分线的交点C.三角形的三条高所在直线的交点D.三角形的三条中线的交点8.如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,DE⊥BC于点E,S△ABC=30,DE=4,BC=10,则AC 的长是( )A.5B.6C.7D.89.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC,垂足为E,BF∥AC交ED的延长线于点F,若BC恰好平分∠ABF,AE=2BF,给出下列五个结论:①DE=DF;②BC=2DB;③AD⊥BC;④AB=3BF;⑤S△ADB=2S△BDF;其中正确的结论共有()A.4个B.3个C.2个D.1个10.新定义:已知三条平行直线,相邻两条平行线间的距离相等,我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”.如图,a∥b∥c,相邻两条平行线间的距离为m,等腰Rt△ABC为“格线三角形”,且∠BAC=90°,则△ABC的面积为()m2B.2m2C.5m2D.4m2A.52二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)11.如图,AD=AB,∠C=∠E,∠CDE=50°,则∠ABE=.12.如图,四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′.若∠B=90°,∠C=60°,∠D′=105°,则∠A的大小为度.13.如图,D,E是边BC上的两点,BD=CE,∠ADB=∠AEC,现要直接用“AAS”定理来证明△ABD≌△ACE,请你再添加一个条件:.14.已知△ABC面积为24,将△ABC沿BC的方向平移到△A′B′C′的位置,使B′和C重合,连接AC′交A′C于D,则△C′DC的面积为.15.如图,△ABC中∠A=66°,点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点,则∠BMN的度数是.16.如图,CA⊥AB,垂足为点A,射线BM⊥AB,垂足为点B,AB=15cm,AC=6cm.动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动,动点D在射线BM上,随着E点运动而运动,始终保持ED=CB.若点E的运动时间为t秒(t>0),则当t=秒时,△DEB与△BCA全等.三、(本大题共4小题,每小题6分,共24分)17.已知:如图,AB=AE,∠1=∠2,∠C=∠D.求证:BC=ED.18.如图,已知AB∥CD,AB=CD.(1)求证:△ABC≌△CDA;(2)判断BC与AD的位置关系,并说明理由.19.如图,已知AB=CD,AD=BC,O为AC的中点,过O作一条直线分别与AB,CD交于点M,N,点E,F在直线MN上,且OE=OF.(1)图中共有几对全等三角形?请把它们都写出来;(2)求证:∠MAE=∠NCF.20.如图,B、C、E三点在同一条直线上,AC∥DE,AC=CE,∠ACD=∠B(1)求证:△ABC≌△CDE(2)若∠A=55°,求∠BCD的度数.四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分)21.如图,△ABC中,点D在边BC延长线上,∠ACB=106°,∠ABC的平分线交AD于点E,过点E作EH⊥BD,垂足为H,且∠CEH=53°.(1)求∠ACE的度数;(2)求证:AE平分∠CAF;(3)若AC+CD=16,AB=10,且S△ACD=24,则△ABE的面积.22.问题提出:如图1,在四边形ABCD中,∠BAD与∠BCD互补,∠B与∠D互补,AB=AD,∠BAD=x°(0<x<180),∠ACB=y°,数学兴趣小组在探究y与x的数量关系时,经历了如下过程:实验操作:(1)数学兴趣小组通过电脑软件“几何画板”进行探究,测量出部分结果如下表所示:x…304050607080β130y757065α555040θ这里α= ,β= ,θ= .猜想证明:(2)根据表格,猜想:y与x之间的关系式为;数学兴趣小组发现证明此猜想的一种方法:如图2,延长CB到E,使BE=DC,连接AE,…,请你根据其思路将证明过程补充完整,并验证(1)中结论的正确性.应用拓广:(3)如图3,若x+y=135,AC=10,求四边形ABCD的面积.23.(1)【问题解决】如图①,∠AOB=∠DFE=90°,OC平分∠AOB,点F在OC上,∠DFE的两边分别与OA,OB交于点D,E.当FE⊥OB,FD⊥OA时,则FD与FE的数量关系为;(2)【问题探究】如图②,在(1)的条件下,过点F作两条相互垂直的射线FM,FN,分别交OA,OB于点M,N,判断FM与FN的数量关系,说明理由;(3)【迁移应用】某学校有一块四边形的空地ABCD,如图③所示,∠DAB=∠DCB=90°,AC是∠DAB的平分线,AB=50m,AD=30m,直接写出该空地的面积.五、(本大题共2小题,每小题12分,共24分)24.综合探究:如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法,在OA、OB上分别取点C、E、D、F,使得OC=OD,OE=OF,连接CF、DE,交点为P,则射线OP为∠AOB的角平分线.【验证】(1)试说明OP平分∠AOB,且PE=PF;【应用】(2)如题图2,若C、E、D、F分别为OA、OB上的点,且OC=OD,CF⊥OA,DE⊥OB,试用(1)中的原理说明OP平分∠AOB;【猜想】(3)如题图3,P是∠AOB角平分线上一点,C、D分别为OA、OB上的点,且PC=PD,请补全图形,并直接写出∠PCO与∠PDO的数量关系.25.【模型呈现】(1)如图1,∠BAD=90°,AB=AD,BC⊥CA于点C,DE⊥AE于点E.求证:BC=AE.【模型应用】(2)如图2,EA ⊥AB 且AE =AB ,BC ⊥CD 且BC =CD ,请按照图中所标注的数据,计算图中实线所围成的图形ABCDE 的面积.【深入探究】(3)如图3,∠BAD =∠CAE =90°,AB =AD ,AC =AE ,连接BC 、DE ,且BC ⊥AF 于点F ,DE 与直线AF 交于点G .①求证DG =GE ;②若BC =21,AF =12,求△ADG 的面积.参考答案:1.B2.B3.C4.B5.B6.C7.B8.A9.A10.A11.130°12.10513.∠BAD=∠CAE14.1215.52°16.3或7或1017.证明:∵∠1=∠2,∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD,即∠EAD=∠BAC,在△EAD和△BAC中,{∠C=∠D∠BAC=∠EAD,AB=AE∴△ABC≌△AED(AAS),∴BC=ED.18.(1)证明:∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD,在△ABC与△CDA中,{AB=CD∠BAC=∠ACD,AC=CA∴△ABC≌△CDA(SAS);(2)解:BC∥AD,理由如下:∵△ABC≌△CDA,∴∠BCA=∠CAD,∴BC∥AD.19.(1)解:有4对全等三角形,分别为:△ABC≌△CDA,△AMO≌△CNO,△OAE≌△OCF,△AME≌△CNF,(2)证明:∵AB=CD,BC=AD=DA,AC=CA,∴△ABC≌△CDA(SSS),∴∠BAC=∠DCA,即∠MAO=∠NCO,∵O为AC的中点,∴OA=OC,又∵∠AOM=∠CON,∴△AMO≌△CNO(ASA),∴AM=CN,OM=ON,∵OA=OC,∠AOE=∠COF,OE=OF,∴△OAE≌△OCF(SAS),∴AE=CF,∵OE=OF,OM=ON,∴OE−OM=OF−ON,即ME=NF,又∵AM=CN,∴△AME≌△CNF(SSS),∴∠MAE=∠NCF.20.(1)证明∶∵AC∥DE,∴∠ACD=∠CDE,∠ACB=∠CED,∵∠ACD=∠B,∴∠B=∠CDE,∵AC=CE,∴△ABC≌△CDE (AAS).(2)解:∵ ∠A =55°,∵△ABC≌△CDE ,∴∠A =∠ECD =55°,∴ ∠BCD =180°−∠ECD =180°−55°=125°.21.(1)解:∵∠ACB =106°,∴∠ACD =180°−106°=74°,∵EH ⊥BD ,∴∠CHE =90°,∵∠CEH =53°,∴∠ECH =90°−53°=37°,∴∠ACE =∠ACD−∠ECH =74°−37°=37°.(2)证明:如图:过E 点分别作EM ⊥BF 于M ,EN ⊥AC 与N ,∵BE 平分∠ABC ,∴EM =EH ,∵∠ACE =∠ECH =37°,∴CE 平分∠ACD ,∴EN =EH ,∴EM =EN ,∴AE 平分∠CAF .(3)解:∵AC +CD =16,S △ACD =24,EM =EN =EH ,∴ S △ACD =S △ACE +S △CED =12AC ⋅EN +12CD ⋅EH =12(AC +CD)⋅EM =24,即12×16⋅EM =24,解得EM =3,∵AB =10,∴ S △ABE =12AB ⋅EM =15.22.(1)观察表格发现:x每增加10,y减小5,∴α=65−5=60,β=80+2×10=100,θ=40−3×5=15.故答案为:60,100,15,x.(2)根据表格猜想:y=90−12证明:如图2,延长CB到E,使BE=DC,连接AE,则∠ABC+∠ABE=180°,又∵∠ABC+∠D=180°,∴∠ABE=∠D,又∵AB=AD,∴△ABE≌△ADE(SAS),∴AE=AC,∠EAB=∠CAD,∴∠E=∠ACB=y°,∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠CAD+∠BAC=∠BAD=x°.在△AEC中,∠EAC+∠E+∠ACE=180°,∴x°+2y°=180°,x.y=90−12(3)如图,延长CB到E,使BE=DC,连接AE.由(2)得△ABE≌△ADE,∴S△ABE=S△ADE,∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ABE+S△ABC=S△AEC,x,∵x+y=135,y=90−12∴x +90−12x =135,解得x =90,y =45,∴∠EAC =90°,∠AEC =∠ACE =45°,∴AE =AC =10,∴S △AEC =12×10×10=50,∴S 四边形ABCD =50.23.(1)解:∵OC 平分∠AOB , 点 F 在OC 上,且FE ⊥OB , FD ⊥OA ,∴FD =FE .(2)解:FD =FE ,理由如下:∵FD ⊥OA ,FE ⊥OB ,∴∠FDO =∠FEO =∠FEN =90°,∵四边形DOEF 中,∠FDO =∠FEO =∠AOB =90°,∴∠DFE =360°−∠FDO−∠FEO−∠AOB =90°,∴∠DMF +∠MFE =90°,又∵FM ⊥FN ,∴∠FMN =90°,∴∠DFM =∠EFN ,在△DFM 和△EFN 中,{∠FDM =∠FEN FD =FE ∠DFM =∠EFN,∴△DFM≌△EFN(ASA),∴FM =FN .(3)解:如图,过C 点作CE ⊥AB 于E 点,CF ⊥AD 的延长线于F 点,由(2)得△CFD≌△CEB ,∴FD =EB ,S △CFD =S △CEB ,∴S 四边形ABCD =S 四边形AECF,∵AC是∠DAB的平分线,∴∠DAC=∠CAB,又∵∠CFB=∠CEA=90°,AC=AC,∴△ACF≌△ACE(AAS),∴AF=AE,又∵AE=AB−BE,AF=AD+DF,∴AB−BE=AD+DF,∴50−BE=30+BE,解得BE=10,∴AF=AE=40,∴S四边形AECF=40×40=1600m2,∴S四边形ABCD=1600m2,答:该空地的面积为1600m2.24.解:(1)∵OC=OD,∠DOE=∠COF,OE=OF,∴CE=DF,△DOE≌△COF(SAS),∴∠PEC=∠PFD,∵∠CPE=∠DPF,CE=DF,∴△CPE≌△DPF(AAS),∴PE=PF,∵OE=OF,PE=PF,OP=OP,∴△OPE≌△OPF(SSS),∴∠POE=∠POF,即∠POA=∠POB,∴射线OP平分∠AOB;(2)∵CF⊥OA,DE⊥OB,∴∠OCF=∠ODE=90°,∴∠COF=∠DOE,OC=OD,∴△OCF≌△ODE(ASA),∴OF=OE,由(1)可得OP平分∠AOB;(3)补全图形如下,过点P 分别作PM ⊥OA 于M ,PN ⊥OB 于N ,∵OP 是∠AOB 的平分线,∴PM =PN ,∠PMC =∠PND =90°,当PC =PD 1时,在Rt △PMC 和Rt △PND 1中,{PC =PD 1PM =PN ,∴Rt △PMC≌Rt △PND 1(HL),∴∠PCO =∠PD 1O ;当PC =PD 2时,同理得Rt △PMC≌Rt △PND 2(HL),∴∠PCM =∠PD 2N ;∵∠PD 2N +∠PD 2O =180°,∴∠PCO +∠PD 2O =180°,综上所述,∠PCO 与∠PDO 的数量关系为∠PCO =∠PDO 或∠PCO +∠PDO =180°;25.解:(1)证明:∵∠BAD =90°,∴∠BAC +∠DAE =90°,∵BC ⊥CA ,DE ⊥AE ,∴∠ACB =∠DEA =90°,∴∠BAC +∠ABC =90°,∴∠ABC =∠DAE ,在△ABC 和△DAE 中,{∠ACB =∠DEA ∠ABC =∠DAE BA =AD∴△ABC≌△DAE (AAS),∴BC =AE .(2)由模型呈现可知,△AEP≌△BAG ,△CBG≌△DCH ,∴AP =BG =3,AG =EP =6,CG =DH =4,CH =BG =3,则S 实线围成的图形=12×(4+6)×(3+6+4+3)−12×3×6−12×3×6−12×3×4−12×3×4=50.(3)①过点D 作DP ⊥AG 于P ,过点E 作EQ ⊥AG 交AG 的延长线于Q .图3由【模型呈现】可知,△AFB≌△DPA ,△AFC≌△EQA ,∴DP =AF ,EQ =AF∴DP =EQ ,∵DP ⊥AG ,EQ ⊥AG∴∠DPG =∠EQG =90°,在△DPG 和△EQG 中,{∠DPG =∠EQG ∠DGP =∠EGQ DP =EQ∴△DPG≌△EQG (AAS),∴DG =GE .②由①可知,BF =AP ,FC =AQ ,∴BC =BF +FC =AP +AQ ,∵BC =21,∴AP +AQ =21,∴AP +AP +PG +GQ =21,由①△DPG≌△EQG 得∴PG =GQ ,∴AP +AP +PG +PG =21,∴AP+PG=10.5,∴AG=10.5,×10.5×12=63.∴S△ADG=12。
第12章 全等三角形 人教版数学八年级上册单元测试卷(含答案)
第十二章 全等三角形时间:60分钟 满分:100分一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)1.(2022·浙江杭州余杭区期末)下列各组图形中,是全等三角形的是( ) A B C D2.(2022·山西运城盐湖区期中)如图,△ABC≌△DEC,点B,C,D在同一直线上.若CE=4,AC=7,则BD=( ) A.3B.8C.11 D.10(第2题)(第3题)3.如图是由边长为1的小正方形组成的网格,若△MNP≌△MEQ,则点Q(与点P不重合)可能是图中的( ) A.点A B.点B C.点C D.点D4.已知∠AOB,用尺规作∠A'O'B'等于∠AOB的作图痕迹如图所示,则判断∠AOB=∠A'O'B'所用到的三角形全等的判断方法是( )A.SSSB.SASC.ASAD.AAS5.(2022·北京东城区期末)下列已知条件,不能唯一确定△ABC的是( )A.∠A=60°,∠B=45°,AB=4B.∠A=30°,AB=5,BC=3C.∠B=60°,AB=6,BC=10D.∠C=90°,AB=5,BC=36.(2022·河南许昌期中)已知△ABC的三边长分别为3,5,7,△DEF的三边长分别为3,3x-2,2x-1,若这两个三角形全等,则x的值为( )B.4C.3D.无法确定A.737.(2022·甘肃武威凉州区期末改编)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB交BC 于点D,DE⊥AB于点E,且AB=5cm,AC=3cm,BC=4cm,则△DEB的周长为( ) A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm(第7题)(第8题)8.如图,在△ABC中,∠B=∠C,BF=CD,BD=CE,∠FDE=65°,则∠A=( )A.50°B.55°C.60°D.65°9.(2022·湖南衡阳期末改编)如图,OA平分∠NOP,OB平分∠MOP,AB⊥OP于点E,BC⊥MN于点C,AD⊥MN于点D,下列结论错误的是( )A.AD+BC=ABB.点O是CD的中点C.∠AOB=90°D.∠CBO=∠BAO10.如图,在△ACD和△BCE中,AC=BC,AD=BE,CD=CE,∠ACE=55°,∠BCD=155°,AD与BE相交于点P,则∠BPD=( )A.110°B.125°C.130°D.155°二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)11.(2022·广东广州越秀区期中)如图为打碎的一块三角形玻璃,现在要去玻璃店配一块完全相同的玻璃,如果带了两块玻璃,其中有一块是②,那么另一块是 .(第11题)(第12题)12.(2022·北京东城区期末)如图,点B,D,E,C在同一直线上,若△ABD≌△ACE,BC=12,BD=3,则DE的长为 .13.(2022·安徽合肥蜀山区期末)如图,在△ABC中,点D,E分别为边AC,BC上的点,若AD=DE,AB=BE,∠A=70°,则∠CED= .(第13题)(第14题)14.(2022·广东珠海香洲区期末)如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF ⊥AC于点F.若S△ABC=21,DE=3,AB=9,则AC的长为 .15.(2022·湖北黄冈期中改编)已知在△ABC中,AB=4,中线AD=4,则AC的取值范围是 .16.(2022·江苏盐城段考改编)如图,已知四边形ABCD中,AB=12cm,BC=8cm,CD=14cm,∠B=∠C,点E为线段AB的中点.如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CD上由点C向点三、解答题(共6小题,共52分)17.(6分)(2021·江苏扬州邗江区期末)如图,点C,F在线段BE上,∠ABC=∠DEF= 90°,BC=EF,请添加一个合适的条件使△ABC≌△DEF.(1)根据“ASA”进行判定,需添加的条件是 ;根据“HL”进行判定,需添加的条件是 ;(2)请从(1)中选择一种,加以证明.18.(7分)(2021·重庆綦江区期末)如图,AD=CB,AB=CD,BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F.求证:(1)△ABC≌△CDA;(2)BE=DF.19.(9分)(2022·天津红桥区期末)如图,在△ABC中,AD是△ABC的中线,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别为E,F.(1)若BE=CF,求证:AD是△ABC的角平分线.(2)若AD是△ABC的角平分线,求证:BE=CF.20.(9分)(2022·山东聊城期末)课间,小明拿着老师的等腰直角三角板(AC=CB,AC⊥BC)玩,不小心掉到两墙之间(墙与地面垂直),三角板的直角顶点恰好着地,且D,C,E三点在同一直线上,如图所示.(A,B,C,D,E五点在同一平面内)(1)求证:△ADC≌△CEB.(2)已知DE=35cm,且图中每块砖的厚度为a cm,请你帮小明求出每块砌墙砖块的厚度.21.(10分)(2022·重庆巴南区期中)(1)教材回顾:在人教版八年级上册数学教材P53的数学活动2中有这样一段描述:我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.如图(1),四边形ABCD是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB,猜想筝形的对角线有什么性质(写出一条即可).并用全等三角形的知识证明你的猜想.(2)知识拓展:如图(2),如果D为△ABC内一点,BD平分∠ABC,AD=CD,证明:∠BAD=∠BCD. 图(1) 图(2)22.(11分)(2022·湖北天门期中)在△ABC中,AB=AC,点D是线段CB上的一动点(不与点B,C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.(1)如图(1),当点D在线段CB上,∠BAC=90°时,∠DCE= °;(2)设∠BAC=α,∠DCE=β.①如图(2),当点D在线段CB上,∠BAC≠90°时,请你探究α与β之间的数量关系,并证明你的结论;②如图(3),当点D在线段CB的延长线上,∠BAC≠90°时,请将图(3)补充完整,并直接写出此时α与β之间的数量关系(不需要证明).图(1) 图(2)图(3)第十二章 全等三角形选择填空题答案速查12345678910B C D A B C B A D C11.①12.613.110°14.515.4<AC<1216.3或921.B B选项可根据“SAS”判定两三角形全等.2.C ∵△ABC≌△DEC,CE=4,AC=7,∴BC=CE=4,CD=AC=7,∴BD=BC+CD=4+7=11.3.D 图示速解4.A 如图,连接CD,C'D',因为在△COD和△C'O'D'中,CO=C'O',DO=D'O',CD=C'D',所以△COD≌△C'O'D'(SSS),所以∠AOB=∠A'O'B'.故选A.5.B 逐项分析如下.选项已知条件判定方法正误A∠A,∠B,AB 两角及其夹边“ASA”√B∠A,AB,BC 两边及其一边的对角✕C∠B,AB,BC 两边及其夹角“SAS”√D∠C=90°,AB,BC斜边和直角边“HL”√6.C ∵△ABC与△DEF全等,∴3+5+7=3+3x-2+2x-1,解得x=3.【题眼】若两个三角形全等,则这两个三角形的周长相等一题多解(分类讨论思想)△ABC 与△DEF 全等,可分以下两种情况讨论.(1)当边长为5的边的对应边长为3x-2时,则3x -2=5,2x -1=7,无解,不符合题意舍去.(2)当边长为5的边的对应边长为2x-1时,则2x -1=5,3x -2=7,解得x=3,符合题意.综上所述,x 的值为3.7.B ∵AD 平分∠CAB 交BC 于点D ,DE ⊥AB ,DC ⊥AC ,∴DC=DE.在Rt △ADC和Rt △ADE 中,AD =AD ,DC =DE ,∴Rt △ADC ≌Rt △ADE (HL),∴AE=AC=3cm,∴BE=AB-AE=5-3=2(cm),∴△DEB 的周长=BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=2+4=6(cm).8.A 在△BDF 和△CED 中,BF =CD ,∠B =∠C ,BD =CE ,∴△BDF ≌△CED (SAS),∴∠BFD=∠CDE.∵∠FDE+∠EDC=∠B+∠BFD ,∴∠B=∠FDE=65°,∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-65°-65°=50°.9.D (排除法)∵OA 平分∠NOP ,OB 平分∠MOP ,∴∠AOD=∠AOP=12∠DOE ,∠COB=∠EOB=12∠COE ,∴∠AOB=12(∠COE+∠DOE )=90°,故选项C 不合题意.在△AOD 和△AOE 中,∠AOD =∠AOE ,∠ADO =∠AEO ,AO =AO ,∴△AOD ≌△AOE (AAS),∴AE=AD ,OE=OD ,∠OAE=∠OAD.同理可得BC=BE ,CO=OE ,∴AB=AE+BE=AD+BC ,CO=OE=OD ,∴点O 是CD 的中点,故选项A,B 不合题意.故选D .10.C 在△ACD 和△BCE 中,AC =BC ,AD =BE ,CD =CE ,∴△ACD ≌△BCE (SSS),∴∠ACD=∠BCE ,∠A=∠B ,∴∠BCA+∠ACE=∠ACE+∠ECD ,∴∠ACB=∠ECD=12(∠BCD-∠ACE )=12×(155°-55°)=50°.∵∠B+∠ACB=∠A+∠APB ,∴∠APB=∠ACB=50°,∴∠BPD=180°-50°=130°.11.① 带①②去,符合全等三角形的“ASA”判定方法.带②③去,仅保留了原三角形的一个角和部分边,带②④去,仅保留了原三角形的两个角和部分边,均不符合全等三角形的判定方法.故另一块是①.12.6 ∵△ABD ≌△ACE ,BD=3,∴CE=BD=3.∵BC=12,∴DE=BC-BD-CE=6.13.110° 在△ADB 与△EDB 中,AD =DE ,AB =BE ,DB =DB ,∴△ADB ≌△EDB (SSS),∴∠DEB=∠A=70°,∴∠CED=180°-∠DEB=110°.14.5 ∵AD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,∴DF=DE=3.∵S △ABD +S △ACD =S △ABC ,∴12·AB ·DE+12·AC ·DF=21,即12×9×3+12×AC×3=21,∴AC=5.【注意】角平分线的性质15.4<AC<12 图示速解(“倍长中线”模型)如图,延长AD 到点E ,使DE=AD=4,连接CE.∵AD 是BC 边上的中线,∴BD=CD.在△ABD 和△ECD 中,BD =CD ,∠ADB =∠EDC ,AD =ED ,∴△ABD ≌△ECD (SAS),∴CE=AB=4.在△AEC 中,AE-CE<AC<AE+EC ,即8-4<AC<8+4,∴4<AC<12.16.3或92 (分类讨论思想)设点P 运动的时间为t s,则BP=3t cm,CP=(8-3t )cm,由∠B=∠C ,可分以下两种情况讨论.①当BE=CP=6cm,BP=CQ 时,△BPE ≌△CQP ,此时6=8-3t ,解得t=23,所以BP=CQ=2cm,此时点Q 的运动速度为2÷23=3(cm/s).②当BE=CQ=6cm,BP=CP 时,△BPE ≌△CPQ ,此时3t=8-3t ,解得t=43,此时点Q 的运动速度为6÷43=92(cm/s).17.【参考答案】(1)∠ACB=∠DFE AC=DF (4分)(2)选择添加条件AC=DF.证明:∵∠ABC=∠DEF=90°,∴在Rt△ABC和Rt△DEF中,AC=DF,BC=EF,∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).(6分)一题多解(2)选择添加条件∠ACB=∠DFE.证明:在△ABC和△DEF中,∠ABC=∠DEF,BC=EF,∠ACB=∠DFE,∴△ABC≌△DEF(ASA).(6分) 18.【参考答案】证明:(1)在△ABC和△CDA中,CB=AD,AB=CD,AC=CA,∴△ABC≌△CDA(SSS).(3分) (2)∵△ABC≌△CDA,∴∠ACB=∠DAC.∵BE⊥AC,DF⊥AC,∴∠BEC=∠DFA=90°.(4分)在△AFD和△CEB中,∠DFA=∠BEC,∠DAF=∠BCE,DA=BC,∴△AFD≌△CEB(AAS),∴BE=DF.(7分) 19.(1)BD=CD,BE=CF Rt△BDE≌Rt△CDF→DE=DF→证得结论(2)Rt△BDE≌ Rt△CDF→BE= CF【参考答案】证明:(1)∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴△BDE,△CDF都是直角三角形.在Rt△BDE与Rt△CDF中,BD=CD,BE=CF,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴DE=DF.(2分)∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴AD是△ABC的角平分线.(4分)【关键】角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上(2)∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.【关键】角平分线的性质∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD.(6分)在Rt△BDE和Rt△CDF中,BD=CD,DE=DF,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴BE=CF.(9分) 20.【参考答案】(1)证明:由题意得AC=BC,∠ACB=90°,∠ADC=∠CEB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+∠DAC=90°,∴∠BCE=∠DAC. 【关键】同角的余角相等在△ADC和△CEB中,∠ADC=∠CEB,∠DAC=∠BCE,AC=CB,∴△ADC≌△CEB(AAS).(5分)(2)由题意知,一块砌墙砖块的厚度为a cm,∴AD=4a,BE=3a.由(1)得△ADC≌△CEB,∴DC=BE=3a,CE=AD=4a,∴DC+CE=7a=35,解得a=5.答:每块砌墙砖块的厚度为5cm.(9分) 21.思路导图(1) △ADB≌△CDB(SSS)→∠ADO=∠CDO(2)过点D作DE⊥AB,DF⊥BC DE=DF Rt△ADE≌Rt△CDF→∠BAD=∠BCD【参考答案】(1)猜想:BD⊥AC,AO=OC.(写出一个即可)(2分)证明:在△ADB和△CDB中,AB=CB, AD=CD, BD=BD,∴△ADB≌△CDB(SSS),∴∠ADO=∠CDO.(3分)在△AOD和△COD中,AD=CD,∠ADO=∠CDO, OD=OD,∴△AOD≌△COD(SAS),(4分)∴∠AOD=∠COD,OA=OC,∴∠COD=90°,∴BD⊥AC.(5分) (2)证明:如图,分别过点D作DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F.(6分)∵BD平分∠ABC,∴DE=DF.(7分)在Rt△ADE和Rt△CDF中,DE=DF, AD=CD,∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠BAD=∠BCD.(10分)22.思路导图【参考答案】(1)90(2分)解法提示:∵∠BAD+∠DAC=90°,∠DAC+∠CAE=90°,∴∠BAD=∠CAE,在△BAD和△CAE中,AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴∠ACE=∠B.∵∠B+∠ACB=90°,∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°.(2)①α+β=180°.证明:∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,∴∠BAD=∠CAE,(3分)在△BAD和△CAE中,AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,∴△BAD≌△CAE(SAS),(5分)∴∠B=∠ACE.∵∠B+∠ACB=180°-α,∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=∠B+∠ACB=180°-α=β,∴α+β=180°.(7分)②如图所示.(9分)α=β.(11分)。
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人教版八年级数学上册 全等三角形单元测试卷(含答案解析)一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)1.如图,在锐角△ABC 中,AB=5,∠BAC=45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ,M ,N 分别是AD ,AB 上的动点,则BM+MN 的最小值是______.【答案】5【解析】【分析】作BH ⊥AC ,垂足为H ,交AD 于M 点,过M 点作MN ⊥AB ,垂足为N ,则BM+MN 为所求的最小值,再根据AD 是∠BAC 的平分线可知MH=MN ,再由等腰直角三角形的性质即可得出结论.【详解】如图,作BH ⊥AC ,垂足为H ,交AD 于M 点,过M 点作MN ⊥AB ,垂足为N ,则BM+MN 为所求的最小值.∵AD 是∠BAC 的平分线,∴MH=MN ,∴BH 是点B 到直线AC 的最短距离(垂线段最短).∵AB=5,∠BAC=45°,∴BH== 5.∵BM+MN 的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=5.故答案为5.【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题,解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考,通过角平分线性质,垂线段最短,确定线段和的最小值.2.如图,ABC ∆中,90BAC ∠=︒,AD BC ⊥,ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ,AG 平分DAC ∠.给出下列结论:①BAD C ∠=∠;②EBC C ∠=∠;③AE AF =;④//FG AC ;⑤EF FG =.其中正确的结论是______.【答案】①③④【解析】【分析】①根据等角的余角相等即可得到结果,故①正确;②如果∠EBC=∠C ,则∠C=12∠ABC ,由于∠BAC=90°,那么∠C=30°,但∠C 不一定等于30°,故②错误;③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线,得到∠ABF=∠EBD .由于∠AFE=∠BAD+∠FBA ,∠AEB=∠C+∠EBD ,得到∠AFE=∠AEB ,可得③正确;④连接EG ,先证明△ABN ≌△GBN ,得到AN=GN ,证出△ANE ≌△GNF ,得∠NAE=∠NGF ,进而得到GF ∥AE ,故④正确;⑤由AE=AF ,AE=FG ,而△AEF 不一定是等边三角形,得到EF 不一定等于AE ,于是EF 不一定等于FG ,故⑤错误.【详解】∵∠BAC=90°,AD ⊥BC ,∴∠C+∠ABC=90°,∠C+∠DAC=90°,∠ABC+∠BAD=90°,∴∠ABC=∠DAC ,∠BAD=∠C ,故①正确;若∠EBC=∠C ,则∠C=12∠ABC , ∵∠BAC=90°,那么∠C=30°,但∠C 不一定等于30°,故②错误;∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线,∴∠ABF=∠EBD ,∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ,∠AEB=∠C+∠EBD ,又∵∠BAD=∠C ,∴∠AFE=∠AEF ,∴AF=AE ,故③正确;∵AG 是∠DAC 的平分线,AF=AE ,∴AN ⊥BE ,FN=EN ,在△ABN 与△GBN 中,∵90ABN GBN BN BN ANB GNB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩,∴△ABN ≌△GBN (ASA ),∴AN=GN ,又∵FN=EN ,∠ANE=∠GNF ,∴△ANE ≌△GNF (SAS ),∴∠NAE=∠NGF ,∴GF ∥AE ,即GF ∥AC ,故④正确;∵AE=AF ,AE=FG ,而△AEF 不一定是等边三角形,∴EF 不一定等于AE ,∴EF 不一定等于FG ,故⑤错误.故答案为:①③④.【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理,全等三角形的判定和性质定理,直角三角形的性质定理,掌握掌握上述定理,是解题的关键.3.在ABC ∆中,边AB 、AC 的垂直平分线分别交边BC 于点D 、点E ,20DAE ∠=︒,则BAC ∠=______°.【答案】80或100【解析】【分析】根据题意,点D 和点E 的位置不确定,需分析谁靠近B 点,则有如下图(图见解析)两种情况:(1)图1中,点E 距离点B 近,根据垂直平分线性质可知,,BD AD AE CE ==,从而有1,2B DAE C DAE ∠=∠+∠∠=∠+∠,再根据三角形的内角和定理可得180B C BAC ∠+∠+∠=︒,联立即可求得;(2)图2中,点D 距离点B 近,根据垂直平分线性质可知,,BD AD AE CE ==,从而有3,4B C ∠=∠∠=∠,由三角形的内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒,联立即可求得.【详解】由题意可分如下两种情况:(1)图1中,根据垂直平分线性质可知,,BD AD AE CE ==,1,2B DAE C DAE ∴∠=∠+∠∠=∠+∠(等边对等角),两式相加得12B C DAE DAE ∠+∠=∠+∠+∠+∠,又12DAE BAC ∠+∠+∠=∠20B C BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠+︒,由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒,20180BAC BAC ∴∠+︒+∠=︒,80BAC ∴∠=︒;(2)图2中,根据垂直平分线性质可知,,BD AD AE CE ==,3,4B C ∴∠=∠∠=∠(等边对等角),两式相加得34B C ∠+∠=∠+∠,又34DAE BAC ∠+∠+∠=∠,3420BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠-∠=∠-︒,20B C BAC ∴∠+∠=∠-︒由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒,20180BAC BAC ∴∠-︒+∠=︒,100BAC ∴∠=︒.故答案为80或100.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质(垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)、等腰三角形的定义和性质(等边对等角)、以及三角形内角和定理,本题的难点在于容易漏掉第二种情况,出现漏解.4.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=30°,点D在边AB上,∠ACD=15°,则ADBC____.【答案】22.【解析】【分析】根据题意作CE⊥AB于E,作DF⊥AC于F,在CF上截取一点H,使得CH=DH,连接DH,并设AD=2x,解直角三角形求出BC(用x表示)即可解决问题.【详解】解:作CE⊥AB于E,作DF⊥AC于F,在CF上截取一点H,使得CH=DH,连接DH.设AD=2x,∵AB=AC,∠A=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°,DF 12=AD=x ,AF 3=x , ∵∠ACD=15°,HD=HC ,∴∠HDC=∠HCD=15°, ∴∠FHD=∠HDC+∠HCD=30°,∴DH=HC=2x ,FH 3=x ,∴AB=AC=2x+23x ,在Rt △ACE 中,EC 12=AC=x 3+x ,AE 3=EC 3=x+3x , ∴BE=AB ﹣AE 3=x ﹣x ,在Rt △BCE 中,BC 22BE EC =+=22x , ∴2222AD BC x ==. 故答案为:22. 【点睛】本题考查的等腰三角形的性质和解直角三角形以及直角三角形30度角的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.5.如图,A,B,C 三点在同一直线上,分别以AB,BC (AB>BC )为边,在直线AC 的同侧作等边ΔABD 和等边ΔBCE,连接AE 交BD 于点M,连接CD 交BE 于点N,连接MN. 以下结论:①AE=DC ,②MN//AB ,③BD ⊥AE ,④∠DPM=60°,⑤ΔBMN 是等边三角形.其中正确的是__________(把所有正确的序号都填上).【答案】①②④⑤【解析】【分析】①由三角形ABD 与三角形BCE 都为等边三角形,利用等边三角形的性质得到两条边对应相等,两个角相等都为60°,利用SAS 即可得到三角形ABE 与三角形DBC 全等即可得结论; ②由①中三角形ABE 与三角形DBC 全等,利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等,再由∠ABD=∠EBC=60°,利用平角的定义得到∠MBE=∠NBC=60°,再由EB=CB ,利用ASA 可得出三角形EMB 与三角形CNB 全等,利用全等三角形的对应边相等得到MB=NB ,再由∠MBE=60°,利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形BMN 为等边三角形;可得∠BMN=60°,进行可得∠BMN=∠ABD,故MN//AB,从而可判断②,⑤正确;③无法证明PM=PN,因此不能得到BD⊥AE;④由①得∠EAB=∠CDB,根据三角形内角和和外角的性质可证得结论.【详解】①∵等边△ABD和等边△BCE,∴AB=DB,BE=BC,∠ABD=∠EBC=60°,∴∠ABE=∠DBC=120°,在△ABE和△DBC中,∵AB DBABE DBC BE BC⎪∠⎪⎩∠⎧⎨===,∴△ABE≌△DBC(SAS),∴AE=DC,故①正确;∵△ABE≌△DBC,∴∠AEB=∠DCB,又∠ABD=∠EBC=60°,∴∠MBE=180°-60°-60°=60°,即∠MBE=∠NBC=60°,在△MBE和△NBC中,∵AEB DCB EB CBMBE NBC ∠∠∠⎧⎪⎪⎩∠⎨===,∴△MBE≌△NBC(ASA),∴BM=BN,∠MBE=60°,则△BMN为等边三角形,故⑤正确;∵△BMN为等边三角形,∴∠BMN=60°,∵∠ABD=60°,∴∠BMN=∠ABD,∴MN//AB,故②正确;③无法证明PM=PN,因此不能得到BD⊥AE;④由①得∠EAB=∠CDB,∠APC+∠PAC+∠PCA=180°,∴∠PAC+∠PCA=∠PDB+∠PCB=∠DBA=60°,∵∠DPM =∠PAC+∠PCA∴∠DPM =60°,故④正确,故答案为:①②④⑤. 【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质,以及全等三角形的判定与性质,熟练掌握判定与性质是解本题的关键.6.等腰三角形顶角为30°,腰长是4cm ,则三角形的面积为__________【答案】4【解析】如图,根据30°角所对直角边等于斜边的一半的性质,可由等腰三角形的顶角为30°,腰长是4cm ,可求得BD=12AB =4×12=2,因此此三角形的面积为:S=12AC•BD=12×4×2=8×12=4(cm 2).故答案是:4.7.如图,在△ABC 中,P ,Q 分别是BC ,AC 上的点,PR ⊥AB ,PS ⊥AC ,垂足分别是R ,S ,若AQ PQ =,PR PS =,那么下面四个结论:①AS AR =;②QP //AR ;③△BRP ≌△QSP ;④BRQS ,其中一定正确的是(填写编号)_____________.【答案】①,②【解析】【分析】连接AP ,根据角平分线性质即可推出①,根据勾股定理即可推出AR=AS ,根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA,推出∠QPA=∠BAP,根据平行线判定推出QP∥AB即可;在Rt△BRP和Rt△QSP中,只有PR=PS.无法判断△BRP≌△QSP也无法证明BR QS.【详解】解:连接AP①∵PR⊥AB,PS⊥AC,PR=PS,∴点P在∠BAC的平分线上,∠ARP=∠ASP=90°,∴∠SAP=∠RAP,在Rt△ARP和Rt△ASP中,由勾股定理得:AR2=AP2-PR2,AS2=AP2-PS2,∵AP=AP,PR=PS,∴AR=AS,∴①正确;②∵AQ=QP,∴∠QAP=∠QPA,∵∠QAP=∠BAP,∴∠QPA=∠BAP,∴QP∥AR,∴②正确;③在Rt△BRP和Rt△QSP中,只有PR=PS,不满足三角形全等的条件,故③④错误;故答案为:①②.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与勾股定理的应用,熟练掌握根据垂直与相等得出点在角平分线上是解题的关键.8.如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内的两点,AE平分∠BAC,∠D=∠DBC=60°,若BD=5cm,DE=3cm,则BC的长是 ______cm.【答案】8.【解析】【分析】作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM 为等边三角形,△EFD 为等边三角形,从而得出BN 的长,进而求出答案.【详解】解:延长DE 交BC 于M ,延长AE 交BC 于N ,作EF ∥BC 于F ,∵AB=AC ,AE 平分∠BAC ,∴AN ⊥BC ,BN=CN ,∵∠DBC=∠D=60°,∴△BDM 为等边三角形,∴△EFD 为等边三角形,∵BD=5,DE=3,∴EM=2,∵△BDM 为等边三角形,∴∠DMB=60°,∵AN ⊥BC ,∴∠ENM=90°,∴∠NEM=30°,∴NM=1,∴BN=4,∴BC=2BN=8(cm ),故答案为8.【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.9.如图,已知AB AC =,AD 平分BAC ∠,60DEB EBC ∠=∠=︒,若3BE =,3DE =BC =____________.【答案】33+【解析】【分析】延长ED 交BC 于点M ,延长AD 交BC 于点N ,作DF ∥BC 于点F.由已知条件推出△BEM 是等边三角形,△FDE 是等边三角形,在△DNM 中求出NM 的长度,即可求出BC 的长度.【详解】如图,延长ED 交BC 于点M ,延长AD 交BC 于点N ,作DF ∥BC 于点F ,∵AB AC =,AD 平分BAC ∠,∴AN ⊥BC ,BN=CN ,∵60DEB EBC ∠=∠=︒,∴△BEM 是等边三角形,∴△FDE 是等边三角形, ∵3BE =,3DE =33DM =-∵△BEM 是等边三角形,∴∠EMB=60°,∵AN ⊥BC ,∴∠DNM=90°,∴∠NDM=30°,∴13322NM DM ==, ∴33333BN BM NM -+=-=-= ∴233BC BN ==+【点睛】本题考查了等边三角形的性质,解题的关键是作出辅助线构造等边三角形.10.如图,在3×3的正方形网格中,格线的交点称为格点,以格点为顶点的三角形称为格点三角形.图中的△ABC 为格点三角形,在图中最多能画出_____个格点三角形与△ABC 成轴对称.【答案】6【解析】【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴,然后作出轴对称三角形即可得解.【详解】如图,最多能画出6个格点三角形与△ABC 成轴对称.故答案为:6.【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图,熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键,本题难点在于确定出不同的对称轴.二、八年级数学轴对称三角形选择题(难)11.如图所示,OP 平分AOB ∠,PA OA ⊥,PB OB ⊥,垂足分别为A 、B .下列结论中不一定成立的是( ).A .PA PB =B .PO 平分APB ∠C .OA OB =D .AB 垂直平分OP【答案】D【解析】【分析】 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB ,再利用“HL ”证明△AOP 和△BOP 全等,可得出APO BPO ∠=∠,OA=OB ,即可得出答案.【详解】解:∵OP 平分AOB ∠,PA OA ⊥,PB OB ⊥∴PA PB =,选项A 正确;在△AOP 和△BOP 中,PO PO PA PB =⎧⎨=⎩, ∴AOP BOP ≅∴APO BPO ∠=∠,OA=OB ,选项B ,C 正确;由等腰三角形三线合一的性质,OP 垂直平分AB ,AB 不一定垂直平分OP ,选项D 错误. 故选:D .【点睛】本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质,熟记性质定理是解此题的关键.12.如图,坐标平面内一点A(2,-1),O 为原点,P 是x 轴上的一个动点,如果以点P 、O 、A 为顶点的三角形是等腰三角形,那么符合条件的动点P 的个数为( )A .2B .3C .4D .5【答案】C【解析】 以O 点为圆心,OA 为半径作圆与x 轴有两交点,这两点显然符合题意.以A 点为圆心,OA 为半径作圆与x 轴交与两点(O 点除外).以OA 中点为圆心OA 长一半为半径作圆与x轴有一交点.共4个点符合,13.平面直角坐标系中,已知A(2,0),B(0,2)若在坐标轴上取C点,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是()A.4 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】【详解】解:如图,①以A为圆心,AB为半径画圆,交坐标轴于点B,C1,C2,C5,得到以A为顶点的等腰△ABC1,△ABC2,△ABC5;②以B为圆心,AB为半径画圆,交坐标轴于点A,C3,C6,C7,得到以B为顶点的等腰△BAC3,△BAC6,△BAC7;③作AB的垂直平分线,交x轴于点C4,得到以C为顶点的等腰△C4AB∴符合条件的点C共7个故选C14.如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于12AB的长为半径画弧,两弧相交于点M、N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,若△ADC的周长为14,BC=8,则AC 的长为A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】根据题意可得MN是直线AB的中点,所以可得AD=BD,BC=BD+CD,而△ADC为AC+CD+AD=14,即AC+CD+BD=14,因此可得AC+BC=14,已知BC即可求出AC.【详解】∴=根据题意可得MN是直线AB的中点AD BD++=AC CD ADADC的周长为14∴++=AC CD BD14=+BC BD CD∴+14AC BC=BD=已知8∴=,故选BAC6【点睛】本题主要考查几何中的等量替换,关键在于MN是直线AB的中点,这样所有的问题就解决了.⨯的正方形网格中,A,B是如图所示的两个格点,如果C也是格点,且15.在一个33ABC是等腰三角形,则符合条件的C点的个数是()A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】【分析】根据题意、结合图形,画出图形即可确定答案.【详解】解:根据题意,画出图形如图:共8个.故答案为C.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定,根据题意、画出符合实际条件的图形是解答本题的关键.16.如图,C 是线段 AB 上一点,且△ACD 和△BCE 都是等边三角形,连接 AE、BD 相交于点O,AE、BD 分别交 CD、CE 于 M、N,连接 MN、OC,则下列所给的结论中:①AE=BD;②CM=CN;③MN∥AB;④∠AOB=120º;⑤OC 平分∠AOB.其中结论正确的个数是()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】由题意易证:△ACE≅△DCB,进而可得AE=BD;由△ACE≅△DCB,可得∠CAE=∠CDB,从而△ACM ≅△DCN,可得:CM=CN;易证△MCN是等边三角形,可得∠MNC=∠BCE,即MN∥AB;由∠CAE=∠CDB,∠AMC=∠DMO,得∠ACM=∠DOM=60°,即∠AOB=120º;作CG⊥AE,CH⊥BD,易证CG=CH,即:OC 平分∠AOB.【详解】∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形,∴AC=DC,CE=CB,∠ACE=∠DCB=120°,∴△ACE≅△DCB(SAS)∴AE=BD,∴①正确;∵△ACE≅△DCB,∴∠CAE=∠CDB,∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形,∴∠ACD=∠BCE=∠DCE=60°,AC=DC,在△ACM 和△DCN 中,∵60CAE CDB AC DCACD DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴△ACM ≅△DCN (ASA ),∴CM =CN ,∴②正确;∵CM =CN ,∠DCE=60°,∴△MCN 是等边三角形,∴∠MNC=60°,∴∠MNC=∠BCE ,∴MN ∥AB ,∴③正确;∵△ACE ≅△DCB ,∴∠CAE=∠CDB ,∵∠AMC=∠DMO ,∴180°-∠CAE-∠AMC=180°-∠CDB-∠DMO ,即:∠ACM=∠DOM=60°,∴∠AOB =120º,∴④正确;作CG ⊥AE ,CH ⊥BD ,垂足分别为点G ,点H ,如图,在△ACG 和△DCH 中,∵90?AMC DHC CAE CDB AC DC ∠=∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACG ≅△DCH (AAS ),∴CG =CH ,∴OC 平分∠AOB ,∴⑤正确.故选D.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理和性质定理,等边三角形的性质定理以及角平分线性质定理的逆定理,添加合适的辅助线,是解题的关键.17.如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形,那么称这个三角形为特异三角形.若△ABC 是特异三角形,∠A=30°,∠B 为钝角,则符合条件的∠B 有( )个. A .1B .2C .3D .4【答案】B【解析】【分析】【详解】如下图,当30°角为等腰三角形的底角时有两种情况:∠B=135°或90°,当30°角为等腰三角形的顶角时有一种情况:∠B=112.5°,所以符合条件的∠B 有三个.又因为∠B 为钝角,则符合答案的有两个,故本题应选B.点睛:因为不确定这个等腰三角形的底边,所以应当以点A 为一个确定点进行分类讨论:①当以B 为顶点时,即以B 为圆心,AB 长为半径画弧交AC 于点D ,构成等腰△BAD ;②当以点A 为顶点时,即以点A 为圆心,AB 长为半径画弧,交AC 于点D ,构成等腰△ABD ;或作线段AB 的垂直平分线交AC 于点D 构成等腰△DAB.18.如图,ABC △是等边三角形,ABD △是等腰直角三角形,∠BAD =90°,AE ⊥BD 于点E .连CD 分别交AE ,AB 于点F ,G ,过点A 做AH ⊥CD 交BD 于点H ,则下列结论:①∠ADC =15°;②AF =AG ;③AH =DF ;④△ADF ≌△BAH ;⑤DF =2EH .其中正确结论的个数为( )A .5B .4C .3D .2【答案】B【解析】【分析】 ①根据△ABC 为等边三角形,△ABD 为等腰直角三角形,可以得出各角的度数以及DA=AC ,即可作出判断;②分别求出∠AFG 和∠AGD 的度数,即可作出判断;④根据三角形内角和定理求出∠HAB 的度数,求证EHG DFA ∠=∠,利用AAS 即可证出两个三角形全等;③根据④证出的全等即可作出判断;⑤证明∠EAH=30°,即可得到AH=2EH ,又由③可知AH DF =,即可作出判断.【详解】①正确:∵ABC △是等边三角形,∴60BAC ︒∠=,∴CA AB =.∵ABD △是等腰直角三角形,∴DA AB =.又∵90BAD ︒∠=,∴150CAD BAD BAC ︒∠=∠+∠=,∴DA CA =,∴()1180150152ADC ACD ︒︒︒∠=∠=-=; ②错误:∵∠EDF=∠ADB-∠ADC=30°∴∠DFE=90°-∠EDF=90°-30°=60°=∠AFG∵∠AGD=90°-∠ADG=90°-15°=75°∠AFG≠∠AGD∴AF≠AG③,④正确,由题意可得45DAF ABH ︒∠=∠=,DA AB =,∵AE BD ⊥,AH CD ⊥.∴180EHG EFG ︒∠+∠=.又∵180?DFA EFG ∠+∠=,∴EHG DFA ∠=∠,在DAF △和ABH 中 ()AFD BHA DAF ABHAAS DA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DAF △≌ABH .∴DF AH =.⑤正确:∵150CAD ︒∠=,AH CD ⊥,∴75DAH ︒∠=,又∵45DAF ︒∠=,∴754530EAH ︒︒︒∠=-=又∵AE DB ⊥,∴2AH EH =,又∵=AH DF ,∴2DF EH =【点睛】本题考查了等边三角形的性质,等腰三角形的性质,三角形的内角和定理,三角形外角的性质,全等三角形的判定与性质,综合性较强,属于较难题目.19.已知等边△ABC中,在射线BA上有一点D,连接CD,并以CD为边向上作等边△CDE,连接BE和AE,试判断下列结论:①AE=BD;②AE与AB所夹锐夹角为60°;③当D在线段AB或BA延长线上时,总有∠BDE-∠AED=2∠BDC;④∠BCD=90°时,CE2+AD2=AC2+DE2,正确的序号有()A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④【答案】C【解析】【分析】由∠BCD=∠ACD+60°,∠ACE=∠ACD+60°可得∠BCD=∠ACE,利用SAS可证明△BCD≌△ACE,可得AE=BD,①正确;∠CBD=∠CAE=60°,进而可得∠EAD=60°,②正确,当∠BCD=90°时,可得∠ACD=∠ADC=30°,可得AD=AC,即可得CE2+AD2=AC2+DE2,④正确;当D点在BA延长线上时,∠BDE-∠BDC=60°,根据△BCD≌△ACE可得∠AEC=∠BDC,进而可得∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°,即可证明∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED,即∠BDE-∠AED=2∠BDC,当点D在AB上时可证明∠BDE-∠AED=120°,③错误,综上即可得答案.【详解】∵∠BCA=∠DCE=60°,∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD,∴∠BCD=∠ACE,又∵AC=BC,CE=CD,∴△BCD≌△ACE,∴AE=BD,∠CBA=∠CAE=60°,∠AEC=∠BDC,①正确,∴∠BAE=120°,∴∠EAD=60°,②正确,∵∠BCD=90°,∠BCA=60°,∴∠ACD=∠ADC=30°,∴AC=AD,∵CE=DE,∴CE2+AD2=AC2+DE2,④正确,当D点在BA延长线上时,∠BDE-∠BDC=60°,∵∠AEC=∠BDC,∴∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°,∴∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED∴∠BDE-∠AED=2∠BDC,如图,当点D在AB上时,∵△BCD≌△∠ACE,∴∠CAE=∠CBD=60°,∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=120°,∴∠BDE-∠AED=∠DAE=120°,③错误故正确的结论有①②④,故选C.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握20.等腰三角形中有一个角是40°,则另外两个角的度数是()A.70°,70°B.40°,100°C.70°,40°D.70°,70°或40°,100°【答案】D【解析】分析:由等腰三角形的一个角是40度,可以分为若40°的角是顶角与若40°的角是底角去分析求解,小心别漏解.详解:若40°的角是顶角,则底角为:(180°﹣40°)=70°,∴此时另外两个角的度数是70°,70°;若40°的角是底角,则另一底角为40°,∴顶角为:180°﹣40°﹣40°=100°,∴此时另外两个角的度数是100°,40°.∴另外两个角的度数是:70°、70°或40°、100°.故选:D.点睛:此题考查了等腰三角形的性质.解题的关键是注意分类讨论思想的应用,注意别漏解.。