九年级数学 25.2.1 平行线分线段成比例的基本事实及推论

知2－导
事实上，对于图25-2-3(1)的情形，如图25-2-4(1)， 过点A作PQ∥EF，那么PQ//EF//BC.依据平行线分线段 成比例的基本事实，即得 AE AF .
EB FC
（来自《教材》）
知2－导
因为
AE EB
AF FC ,所以
EB AE
FC , EB 1 AF AE
知1－讲
1.平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平
行线所截，截得的对应线段成比例．
数学表达式：如图，
∵l3∥l4∥l5，
∴
AB
DE ，AB
DE ，BC

EF .
BC EF AC DF AC DF
可简记为： 上 下

上 下
,
上 全

上 全
,
下 全

下 全
.
（来自《点拨》）
知1－讲
要点精析： (1)一组平行线两两平行，被截直线不一定平行； (2)所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组

AH ，AD HD DF

BC ，AF CE DF

BE CE
，故选项A，B，
D正确．
∵CD∥EF，∴
HC HE
＝
HD HF
，故选项C错误.
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
在题目中如遇到与直线平行相关的问题时，可从 两个方面获取信息：一是位置角之间的关系(同位角相 等、内错角相等、同旁内角互补)；二是线段之间的关 系，即平行线分线段成比例．
E，F，若 AB 1 ，则 DE 等于( BC 2 EF
1 A. 3 B. 1
2
C. 2
3 D．1
)
（来自《典中点》）
知1－练
3 【中考·舟山】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，
l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，
E，F，AC与DF相交于点G，且AG＝2，GB＝1，BC
（来自《典中点》）
平行线除了具备构成“三线八角”相等或互补的功 能外，还可以分线段成比例．利用平行线得线段成比例 的基本思路： (1)善于从较复杂的几何图形中分离出基本图形：“ 型”
或“ 型”，得到相应的比例式； (2)平行是前提条件，没有平行线可以添加辅助线，一般
从分点或中点出发作平行线．
1.必做: 完成教材P64习题A组T1-T2， P67习题 A组T1-T2，B组T1-T2
DE ＝5，则 EF 的值为( )
1 A. 2
B．2
C. 2 5
D．3 5
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 平行线分线段成比例的基本事实推论1
已知：如图25-2-3，直线EF平行于△ABC的边BC，与 BA，CA(或它们的延长线)分别相交于点E，F. 求证：AE AF .
AB AC
（来自《教材》）
2.猜想：在图25-2-1中，
AB BC
与
DE EF
相等吗?
知1－导
事实上，经过观察、测量、验证等过程，我们发现： 一条直线被三条平行线所截得的两条线段之比，都等于 它们所对应的两条平行线之间的距离之比.
（来自《教材》）
归纳
知1－导
基本事实 两条直线被一组平行线所截，截得的对应线 段成比例.
（来自《教材》）
AB BC ∵EF∥BC，EG∥AC，
∴四边形EGCF为平行四边形，从而GC＝EF. ∴ AE GC EF . ∴ AE AF EF .
AB BC BC AB AC BC（来自《教材》）
总结
知2－讲
利用平行线分线段成比例的基本事实的推论求线 段长时，关键要扣住由平行线截得的线段间的对应关 系，相同位置的线段写在相同的位置上．
（来自《点拨》）
知2－练
1 如图，已知AB∥EF∥CD，若AB＝6cm，CD＝9cm， BF＝7cm.则BC＝________．
（来自《点拨》）
知2－练
2 【中考·兰州】如图，在△ABC中，DE∥BC，若
AB 2，则 AE DB 3 EC
等于(
)
A. 1 3
B. 2 5
C. 2
D. 3
3
5
（来自《典中点》）
平行线上的线段无关； (3)当上比下的值为1时，说明这组平行线间的距离相等． 2.易错警示：当被截的两条直线相交时，其交点处可看
作含一条隐形的平行线．
（来自《点拨》）
知1－讲
例1 如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下列结 论中错误的是( C )
A. BH ＝ AH HC HD
B.
AD ＝ BC DF CE
FC 1, AF
EB AE FC AF , AB AC ,即 AE AF .
AE
AF AE AF AB AC
对于图25-2-3(2)的情形，如图25-2-4(2)，同理可得
（来自《教材》）
归纳
知2－导
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延 长线)，所得的对应线段成比例.
（来自《点拨》）
知3－练
1 【中考·雅安】如图，在 ABCD中，E在AB上，CE， BD交于F，若AE ∶ BE＝4 ∶ 3，且BF＝2，则DF＝ ______.
（来自《点拨》）
知3－练
2 如图所示，在 ABCD中，点E为AD的中点，连 接BE，交AC于点F，则AF ∶ CF等于( ) A．1 ∶ 2 B．1 ∶ 3 C．2 ∶ 3 D．2 ∶ 5
（来自《点拨》）
知1－练
1 如图，直线l1∥l2∥l3，若AB＝2，BC＝3，DE=1，则 EF的值为( )
A． 2 3
B． 3 2
C．6
D．1 6
ห้องสมุดไป่ตู้
l1 l2
C l3
AD B
E
F
知1－练
2 【中考·杭州】如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线
a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
知2－练
3 如图，已知AB∥CD，AC与BD交于点O，则下列比 例式中不成立的是( ) A．OC∶OD＝OA ∶ OB B．OC ∶ OD＝OB ∶ OA C．OC ∶ AC＝OD ∶ DB D．BD ∶ AC＝OD ∶ OC
（来自《典中点》）
知3－导
知识点 3 平行线分线段成比例的基本事实推论2
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线， 所截得的三角形与原三角形的对应边成比例．
（来自《教材》）
知3－讲
例3 如图，在△ABC中，EF∥BC， AE 1 ，BC＝9，
AB 3
则 AF AC
和EF分别是(
A
)
A. 1 ，3 3
B. 1 ，6 3
C. 1 ，9 2
D．无法确定
（来自《点拨》）
C.
HC ＝ HD HE DF
D. AF ＝ BE DF CE
（来自《点拨》）
知1－讲
导引：本题中利用平行线分线段成比例的基本事实的图形 主要有“A”型和“X”型，从每种图形中找出比例线 段即可判断．
根据AB∥CD∥EF，结合平行线分线段成比例 的基本事实可得解．
∵ AB∥CD∥EF，
∴
BH HC
使得这两部分的比是2 ∶ 3?
知1－导
知识点 1 平行线分线段成比例的基本事实
问题
1.在下图中，所有已知条件如前所述，结合下列条件回答：
线段AB，BC之间具有什么关系? DE
AB BC
等于多少?
AB 与 BC
EF 相等吗? 请说明理由.
(1)在图(1)中，d1＝1，d2＝2.
(2)在图(2)中，d1＝2，d2＝3.
（来自《教材》）
知2－讲
1.数学表达式：如图，
∵DE∥BC，
∴
AD DB
AE ，AD EC AB
AE ，BD＝ CE . AC AB AC
2.要点精析：
(1)本推论实质是平行线分线段成比例的基本事实中一组
平行线中的一条过三角形一顶点，一条在三角形一边
上的一种特殊情况．
(2)成比例线段不涉及平行线所在的边上的线段．
第二十五章 图形的相似
25.2 平行线分线段成比例
第1课时 算平行线分线段成 比例的基本事实及 推论
1 课堂讲解 平行线分线段成比例的基本事实
平行线分线段成比例的基本事实推论1 平行线分线段成比例的基本事实推论2
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
1.什么是线段的比? 2.什么是成比例线段? 3.你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，
（来自《点拨》）
知2－讲
例2 已知：如图，在△ABC中，EF∥BC，EF与两边AB， AC分别相交于点E，F. 求证：AE AF EF . AB AC BC
（来自《教材》）
证明：∵EF∥BC, ∴ AE AF . AB AC
如图，过点 E作EG∥AC，
知2－讲
EG与边BC相交于点G， 则 AE GC .
分析：因为EF∥BC，所以 AE AF EF ， AB AC BC
又因为 AE 1 ，BC＝9， AB 3
所以 AE 1 ，EF 1 ， AC 3 BC 3
所以EF＝3.
答案：A
知3－讲
（来自《点拨》）
总结
知3－讲
本题运用了方程思想解答，利用平行线分线段成 比例基本事实的推论建立有关线段的比例式，通过比 例式把线段的长代入，通过解方程求出线段的长．