建筑结构抗震设计第三章振型分解反应谱法
振型分解反应谱法
振型分解反响谱法振型分解反响谱法是用来计算多自由度体系地震作用的一种方法。
该法是利用单自由度体系的加速度设计反响谱和振型分解的原理，求解各阶振型对应的等效地震作用，然后按照一定的组合原那么对各阶振型的地震作用效应进展组合，从而得到多自由度体系的地震作用效应。
振型分解反响谱法一般可考虑为计算两种类型的地震作用：不考虑扭转影响的水平地震作用和考虑平扭藕联效应的地震作用。
适用条件〔1〕高度不超过40米，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比拟均匀的结构，以与近似于单质点体系的结构，可采用底部剪力法计算。
〔此为底部剪力法的适用围〕〔2〕除上述结构以外的建筑结构，宜采用“振型分解反响谱法〞。
〔3〕特别不规那么的建筑、甲类建筑和规规定的高层建筑，应采用时程分析法进展补充计算。
刚重比刚重比是指结构的侧向刚度和重力荷载设计值之比，是影响重力二阶效应的主要参数刚重比=Di*Hi/GiDi-第i楼层的弹性等效刚度，可取该层剪力与层间位移的比值Hi-第i楼层层高Gi-第i楼层重力荷载设计值刚重比与结构的侧移刚度成正比关系；周期比的调整将导致结构侧移刚度的变化，从而影响到刚重比。
因此调整周期比时应注意，当某主轴方向的刚重比小于或接近规限值时，应采用加强刚度的方法；当某主轴方向刚重比大于规限值较多时，可采用削弱刚度的方法。
同样，对刚重比的调整也可能影响周期比。
特别是当结构的周期比接近规限值时，应采用加强结构外围刚度的方法重力二阶效应的影响较大，应该予以考虑。
规下限主要是控制重力荷载在水平作用位移效应引起的二阶效应不致过大，防止结构的失稳截面面积。
长细比长细比=计算长度/回转半径。
所以很显然，减小计算长度或者加大回转半径即可。
这里需要注意的是，计算长度并非实际长度，而是实际长度乘以长度系数，长度系数那么与柱子两端的约束刚度有关。
说白了就是要看与柱相连的梁或者根底是否给力，如果这些构件的刚度越高，那么长度系数就越小，柱子的计算长度也就越短。
振型分解反应谱法
说明底部剪力法的计算结果是可靠的。
k2
k1
m2 m1
例 如图已知8度，设计地震分组为一组的地区， 场地条件为Ⅰ类，试用振型分解法及底部剪力法 计算该框架的层间剪力
m1 60t
m2 50t k 2 3 10 4 k n / m
解 ⒈自振特性
k1 5 10 4 k n / m
X 12 m112 k11 60 307 .6 8 10 4 1 X 11 k12 3 10 4 0.488
2 X 12 m1 2 k11 60 1625 .8 8 10 4 1 X 11 k12 3 10 4 1.71 2 T1 0.358 s
8 10 4 60 2 4 3 10
0 4 2 3 10 50 3 10 4
0.00003 4 0.058 2 15 0
12 307 .6 2 2 1625 .8
1 17 .54 rad / s 2 40 .32 rad / s
第二振型参与系数 2 mi x2i 60 1.71 50 (1) i 1 2 2 0.233 2 2 60 1.71 50 (1) 2 m x i 2i
i 1
F21 0.16 0.233 1.71 60 9.8 37.5kN
F22 0.16 0.233 (1) 50 9.8 18.3kN
F11 0.1158 1.23 0.488 60 9.8 40.9kN F12 0.1158 1.23 1 50 9.8 69.8kN
第二振型
F2i 2 2 x2i Gi
2 max 0.16
振型分解反应谱法
振型分解反应谱法振型分解反应谱法是用来计算多自由度体系地震作用的一种方法。
该法是利用单自由度体系的加速度设计反应谱和振型分解的原理，求解各阶振型对应的等效地震作用，然后按照一定的组合原则对各阶振型的地震作用效应进行组合，从而得到多自由度体系的地震作用效应。
振型分解反应谱法一般可考虑为计算两种类型的地震作用：不考虑扭转影响的水平地震作用和考虑平扭藕联效应的地震作用。
适用条件〔1〕高度不超过40米，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构，以及近似于单质点体系的结构，可采用底部剪力法计算。
〔此为底部剪力法的适用范围〕〔2〕除上述结构以外的建筑结构，宜采用“振型分解反应谱法”。
〔3〕特别不规则的建筑、甲类建筑和标准规定的高层建筑，应采用时程分析法进行补充计算。
刚重比刚重比是指结构的侧向刚度和重力荷载设计值之比，是影响重力二阶效应的主要参数刚重比=Di*Hi/GiDi-第i楼层的弹性等效刚度，可取该层剪力与层间位移的比值Hi-第i楼层层高Gi-第i楼层重力荷载设计值刚重比与结构的侧移刚度成正比关系；周期比的调整将导致结构侧移刚度的变化，从而影响到刚重比。
因此调整周期比时应注意，当某主轴方向的刚重比小于或接近标准限值时，应采用加强刚度的方法；当某主轴方向刚重比大于标准限值较多时，可采用削弱刚度的方法。
同样，对刚重比的调整也可能影响周期比。
特别是当结构的周期比接近标准限值时，应采用加强结构外围刚度的方法标准上限主要用于确定重力荷载在水平作用位移效应引起的二阶效应是否可以忽略不计。
见高规5.4.1和5.4.2及相应的条文说明。
刚重比不满足标准上限要求，说明重力二阶效应的影响较大，应该予以考虑。
标准下限主要是控制重力荷载在水平作用位移效应引起的二阶效应不致过大，防止结构的失稳倒塌。
见高规5.4.4及相应的条文说明。
刚重比不满足标准下限要求，说明结构的刚度相对于重力荷载过小。
但刚重比过分大，则说明结构的经济技术指标较差，宜适当减少墙、柱等竖向构件的截面面积。
振型分解反应谱法
结构设计系列之振型分解反应谱法苏义前言我国规范对于常规结构设计有两个方法：底部剪力法和振型分解反应谱法。
其中，底部剪力法视多质点体系为等效单质点体系，且其地震作用沿高度呈倒三角形分布，当结构层数较高或体系较复杂时，其计算假再用，因部剪时，其计算假定不再适用，因此规范规定底部剪力法仅适用于高度不超过40m、以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构。
因此，一般结构均采用振型分解反应谱法。
振型分解反应谱法的基本步骤：通过体系的模态分析，求出多自由度体系的振型通过体系的模态分析求出多自由度体系的振型向量、参与系数等等；然后把每个振型看作单自由度体系，求出其在规定反应谱的地震加速度作用下产生的地震效应；最后把所有振型的地震效应式进行叠，得到体系震应应按一定方式进行叠加，就会得到体系地震效应的解。
注意注意：振型分解反应谱法只适用于弹性分析，对于弹塑性体系，由于力与位移不再具有对应关系，性体系，由于力与位移不再具有一一对应关系，该法不再适用。
目录一模态分析二反应谱分析三振型组合方法四方向组合方法一、模态分析模态分析也被称作振型叠加法动力分析，是线性体系地震分析中最常用且最有效的方法。
它最主要的优势在于其计算一组正交向量之后，可以将大型整体平衡方程组缩减为相对数量较少的解耦二阶平解阶微分方程，这样就明显减少了用于数值求解这些方程的计算时间。
模态分析为结构相关静力分析提供相关结构性能，包括结构静力地震作用分析和静力风荷载分析。
模态分析是其它动力分析的基础，包括反应谱分析和时程分析。
一、模态分析特征向量分析用于确定体系的无阻尼自由振动的模态和频率，分析这些自振模态是理解结构性能很好的工具。
下面我们以不考虑阻尼的高层建筑为例，了解一下关下面我们以不考虑阻尼的高层建筑为例，了解下关于无阻尼自由振动的一些基本概念。
一、模态分析对于一般的高层建筑，我们可以将其看作多自由度体系。
根据每个质点的力学平衡条件，建立每个质点的振动平衡方程式，联立这些方程式，即为多自由度体系的振动平衡方程组。
建筑结构抗震设计第三章振型分解反应谱法
n
n
1、振型的最大地震作用
F （ ） m X x （ ） （ ） F it i j ji gt jt ji
j 1 j 1 n
由 ，作用在第j 振型第i质点上的 F （ t ） m X x （ t ） （ ） 地震作用绝对最大值Fji为： F ji ji i j ji g jt max max x （ t） （ t） 令 ，G i m ig g
g
2019/3/17 结构抗震设计 7
j
x （ ） （ ） g t j t
max
2．振型组合
jX G 由式 F ji j ji i 可求得某一振型各质点的 最大水平地震作用Fji (i=，1，2，…，n)，再 按照一般结构力学方法可求得结构对应于该振 型的最大地震作用效应Sj (Fji → Sj ) 。 （ t ） m X x （ t ） （ t ） F 根据 F 结构在任一时刻所受的地震作用为该时刻各振 型地震作用之和。但是，各振型的地震作用 (从而相应的地震作用效应)不会同时达到最大 值。 如何组合各振型的最大地震作用效应，合 理地确定结构总的地震作用效应？
2019/3/17
结构抗震设计
2
第三章重点、难点和基本要求
重点和难点： 1、重要术语、概念、定义 2、单（多）自由度体系地震反应和地震作用计算 3、底部剪力法 4、结构抗震验算 基本要求： 掌握结构抗震验算基本方法
2019/3/17
结构抗震设计
3
§3-5 多自由度弹性体系的水平地震作用 ----振型分解反应谱法
F F H G H G Ek j 1 1 j j 1 1 j j
振型分解反应谱法 21页
c 1.5 n1 2n1
n 1 c 1 n c 0.75
抗震规范规定 c0.85
FEK1Geq （底部剪力作用的标准值）
1 基本周期的水平地震影响系数
由T1查设计反应谱
G eq 结构等效重力荷载代表值
结构总的重力荷载代表值的85%
F EK 总的水平地震作用标准值
S
S2j
例 3—4 三层结构，80，北京 Ⅲ类场地。
多遇地震的层间地震剪力,ζ=0.05
m1 27t0 m1 27t0
解：（1）求T1,T2,T3(方法后面要讲实用方法）
T1 0 .467 s T 2 0 .208 s T3 0 .134 s
X1T 0.334 0.6671.000 XT2 0.667 0.6661.000 XT3 4.019 3.0351.000
总的水平地震作用
n
n
FEK Fl 11 HlGl
F F 于是 i
l1
HiGi
n
EK
l1
HlGl
三、顶部附加地震作用l1的计算
经过计算发现底部剪力法对于层数比较多的结构（自振周期长 T总1≽的1地.4T震g）作，用顶拿部出水一平部地分震，作作用为计集算中结力果作偏用小在，顶所部以。规范规定：将
2 T2 2 0 .156 s
⒉用振型分解反应谱法计算
X X1 12 1 1 0..0 40 8 0 8 X X2 22 1 11 .7 .010 00
第一振型
F1i 11x1iGi
1T T1 g0.9ma x00.3 .255 0.9 80.1 60.1158
x1,x2,....x..j, 1,2,......j,
振型分解反应谱法
附录一 振型分解反应谱法振型分解反应谱法作为弹性多自由体系的主要分析方法，很有必要对振型分解反应谱法有充分的了解。
本文仅作为大家参考之用，如有理解上的错误或者不当，敬请谅解。
1、单自由度体系在地震作用下的运动 如图（1）所示，根据达朗贝尔原理有： 0=++s I c f f f （1）也即：g u m ku u c um -=++ （2） 方程两边同时除以m ，可化为：g u u u u-=++22ωξω （3） 式中，2/k m ω= ，令ωξm c2=，为体系阻尼比。
2、多自由度体系在地震作用下的运动类似于单自由度体系分析过程，体系运动方程为：g u m u k u c u m ][}]{[}]{[}]{[-=++ （4）无阻尼体系自由振动时，0=g u，0=c ，上式即为： }0{}]{[}]{[=+u k um （5） 根据方程解的特征，设其解的形式为：)sin(}{}{ϕωφ+=t u （6）代入（5）式有：}0{)sin(}]){[]([2=+⋅-ϕωφωt m k （7）由于0)sin(≠+ϕωt则}0{}]){[]([2=-φωm k （8）另外，}0{}{≠φ，故特征方程为：0][][2=-m k ω （9）由（9）式可以求出2ω，进而可以求得各阶振型对应的圆频率2i ω，再代入（8）式可求对应于各个2i ω的特征向量}{i φ，即为振型。
振型φ：多自由度体系自由振动时，各质点在任意时刻位移比值是一定的，不随时间变化，即体系自由振动过程中形状保持不变。
振型是结构形状保持不变的振动形式，振型的形状是唯一的。
N 个自由度的体系具有N 个振型。
则结构的变形总可以表示成这N 个振型的线性组合：{}∑==Ni i i q u 1φ （10）其中i q 称为正则坐标。
3、振型的正交性由于}0{}]{[}]{[2=-φωφm k （11） 则}0{}]{[}]{[2=-r r r m k φωφ （12）（12）式两边同时左乘T n }{φ，)(r n ≠，得到：}]{[}{}]{[}{2r T n r r T n m k φφωφφ= （13）同理，}]{[}{}]{[}{2n Tr n n T r m k φφωφφ=，该式两边同时转置一次，得到：}]{[}{}]{[}{2r T n n r T n m k φφωφφ= （14）（13），（14）两式左右对应相减，得到：0}]{[}){22=-r T n n r m φφωω（ )(n r ≠ （15）因为22n r ωω≠所以 0}]{[}{=r Tn m φφ )(n r ≠ （16） 同理亦有 0}]{[}{=r Tn k φφ )(n r ≠ （17）即所说的振型关于质量和刚度矩阵满足正交性质。
振型分解反应谱法
附录一振型分解反应谱法振型分解反应谱法作为弹性多自由体系的主要分析方法，很有必要对振型分解反应谱法如有有充分的了解。
本文仅作为大家参考之用，理解上的错误或者不当，敬请谅解。
1 、单自由度体系在地震作用下的运动如图（1）所示，根据达朗贝尔原理有：f c f I f s 0也即：mu cu ku mu g 方程两边同时除以m ，可化为：2u 2 u u u g (3)2c式中，2k/m ，令2m c，为体系阻尼比。
2 、多自由度体系在地震作用下的运动类似于单自由度体系分析过程，体系运动方程为：[m]{u} [c]{u} [k]{u} [m]u g （4）无阻尼体系自由振动时，u g 0，c 0 ，上式即为：[m]{ u} [k]{u} {0} 5）根据方程解的特征，设其解的形式为：{u} { } sin( t ) 6）代入( 5)式有：([k] 2[ m]){ } sin( t ) {0} (7)由于sin( t ) 0则([k] 2[m]){ } {0} 8）另外，{ } {0} ，故特征方程为：[k] 2[m] 0 9）22由（9）式可以求出2，进而可以求得各阶振型对应的圆频率i2，再代入（8）式可求对应于各个i2的特征向量{ i} ，即为振型。
振型：多自由度体系自由振动时，各质点在任意时刻位移比值是一定的，不随时间变化，10)即体系自由振动过程中形状保持不变。
振型是结构形状保持不变的振动形式， 振型的形状是 唯一的。
N 个自由度的体系具有 N 个振型。
则结构的变形总可以表示成这 N 个振型的线性组合：Nu q i ii1其中qi 称为正则坐标。
3、振型的正交性由于 [k]{ }2[m]{ } {0}（11） 则 [k]{ r } r 2[m]{ r } {0}（12）（12）式两边同时左乘 { n }T ， （n r ） ，得到：{ n }T[k]{ r }r 2{ n } T[m]{ r }（13）同理，{ r }T [k]{ n }n 2{ r }T[m]{ n } ，该式两边同时转置一次，得到：{ n }T[k]{ r } n 2{ n } T[m]{ r }（14）（ 13），（ 14）两式左右对应相减，得到：（ r 2n 2）{ n }T [m]{ r }0 （r n ） （15）因为 r 2n 2所以 { n }T [m]{ r }（r n ） （16） 同理亦有{ n }T[k]{ r } 0（r n ）（17）即所说的振型关于质量和刚度矩阵满足正交性质。
振型分解反应谱法
振型分解反应谱法振型分解反应谱法就是用来计算多自由度体系地震作用得一种方法、该法就是利用单自由度体系得加速度设计反应谱与振型分解得原理,求解各阶振型对应得等效地震作用,然后按照一定得组合原则对各阶振型得地震作用效应进行组合,从而得到多自由度体系得地震作用效应。
振型分解反应谱法一般可考虑为计算两种类型得地震作用:不考虑扭转影响得水平地震作用与考虑平扭藕联效应得地震作用。
适用条件(1)高度不超过４0米,以剪切变形为主且质量与刚度沿高度分布比较均匀得结构,以及近似于单质点体系得结构,可采用底部剪力法计算、(此为底部剪力法得适用范围)(2) 除上述结构以外得建筑结构,宜采用“振型分解反应谱法”。
(3) 特别不规则得建筑、甲类建筑与规范规定得高层建筑,应采用时程分析法进行补充计算。
刚重比刚重比就是指结构得侧向刚度与重力荷载设计值之比,就是影响重力二阶效应得主要参数刚重比=Di*Hｉ/GiDi—第i楼层得弹性等效刚度,可取该层剪力与层间位移得比值Hi－第i楼层层高Ｇi-第i楼层重力荷载设计值刚重比与结构得侧移刚度成正比关系;周期比得调整将导致结构侧移刚度得变化,从而影响到刚重比。
因此调整周期比时应注意,当某主轴方向得刚重比小于或接近规范限值时,应采用加强刚度得方法;当某主轴方向刚重比大于规范限值较多时,可采用削弱刚度得方法、同样,对刚重比得调整也可能影响周期比。
特别就是当结构得周期比接近规范限值时,应采用加强结构外围刚度得方法规范上限主要用于确定重力荷载在水平作用位移效应引起得二阶效应就是否可以忽略不计。
见高规5.４。
1与5、4.２及相应得条文说明。
刚重比不满足规范上限要求,说明重力二阶效应得影响较大,应该予以考虑。
规范下限主要就是控制重力荷载在水平作用位移效应引起得二阶效应不致过大,避免结构得失稳倒塌。
见高规５、4.4及相应得条文说明。
刚重比不满足规范下限要求,说明结构得刚度相对于重力荷载过小。
但刚重比过分大,则说明结构得经济技术指标较差,宜适当减少墙、柱等竖向构件得截面面积。
振型分解反应谱法课程课件
（3-72）
式中, SEk ----水平地震作用标准值的效应； Sj---j振型水平地震作用标准值的效应 ，一般可取2～3个振型, 当基本自
振周期 T1>1.5s 或房屋高宽比大于5时，振型个数可适当增加；
2020/10/27
第8讲 振型分解反应谱法
12
---体系j振型i质点水平地震作用标准值计算公式 ---相应于j振型自振周期的地震影响系数；
2020/10/27
第8讲 振型分解反应谱法
7
3.5.1 水平地震作用 多自由度弹性体系的水平地震作用可用各质点所受惯性力来
代表，故质点上的水平地震作用为：
Fi (t) mi[xg (t) ui (t)]
n
n
Fi (t) mi j ji ( xg (t) j (t)) Fji (t)
72)
20)
地震特征周期分组的特征周期值（s）
场地类别
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
第一组
0.25
0.35
0.45 0.65
第二组 0.30
0.40
0.55 0.75
2020/10/27
第三组 0.35
第8讲 振型分解反应谱法
0.45
0.65 0.90
14
例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。
结构地震反应
2020/10/27
基本振型
第8讲 振型分解反应谱法
二阶振型
3
多自由度体系地震反应： 结构运动方程：
{I}：指示向量，对剪切型结构 结构地震反应：
2020/10/27
第8讲 振型分Байду номын сангаас反应谱法
振型分解法
振型分解法
振型分解法
modal analysis method
以结构的各阶振型为广义坐标分别求出对应的结构地震反应，然后将对应于各阶振型的结构反应相组合，以确定结构地震内力和变形的方法。
又称振型叠加法。
振型分解反应谱法
1、定义
振型分解反应谱法是用来计算多自由度体系地震作用的一种方法。
该法是利用单自由度体系的加速度设计反应谱和振型分解的原理，求解各阶振型对应的等效地震作用，然后按照一定的组合原则对各阶振型的地震作用效应进行组合，从而得到多自由度体系的地震作用效应。
振型分解反应谱法一般可考虑为计算两种类型的地震作用：不考虑扭转影响的水平地震作用和考虑平扭藕联效应的地震作用。
2、适用条件
（1）高度不超过40米，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构，以及近似于单质点体系的结构，可采用底部剪力法计算。
（此为底部剪力法的适用范围）
（2）除上述结构以外的建筑结构，宜采用“振型分解反应谱法”。
（3）特别不规则的建筑、甲类建筑和规范规定的高层建筑，应采用时程分析法进行补充计算。
振型分解反应谱法在抗震设计中的应用
ｗ Ｊ
式中
， ， 已 １ 为相对位移反应谱 。
Ｊ
这样， 通过 振 型分解 反应 谱法 就可 以得 到抗 震规 范 的公式 ， 从 而 求 出某 阶 振 型下 的地震 作用 。 注 意到 地震 作用 不是 结构 的动 力反 应 ， 而且 不满 足线 弹性 关 系 ，即不满 足振 型分 解 的关 系 ，所 以各 阶振 型下 的地 震作 用不 能按 振 型叠 加 。只有先 通过 静力 计算 求得 结构 效应 ， 再 将效 应按 振 型组合 。 但 因为取 的是
振型分解反应谱法作为弹性多 自由体系的主要分析方法 ， 是 国内外抗震
设计 中普遍 采用 的 分析 方法 。《 建 筑抗 震设 计 规范 》 （ Ｇ Ｂ ５ ０ ０ １ １ － ２ ０ １ ０ ） （ 以下 简 称《 抗规》 ） 规定： 除 了较 矮 的房屋 ， 以剪 切变 形 为 主且 质量 和 刚度 沿 高 度分 布
建筑 结构
四日圈囵
振型分解反应 谱法在抗震设 计中的应 用
摘要 ： 本 文通过 对 振 型分解 反 应谱 法 中的 要 点进行 较 为深入 的 阐述 ， 加 强 对规 范 相关 内容 的理 解 ， 并 提 出在 实 际抗 震 设 计 中一
点应用 。
关键 词 ： 振 型分 解 反应 谱 法 ； 正 交 向量 ； 抗震 设 计
， 、
， ，
２ ． 振 型分 解 法理论 ：
“ （ ｆ ） ｝ ＋ Ｊ ｛ ） ｊ ＝｛ ｏ ｊ
式 中［ Ｍ ］ 为 与 结 构质 量 有关 的矩 阵 ， ［ Ｋ ］ 为 与 结 构 刚度 有 关 的矩 阵 ， （ ｕ （ ｔ ） ） 为结 构位 移 向量 。 从 而求 得 结构 体 系的振 型 。振 型 的维数 等 于振 型 的 阶数 ， 等 于结 构 的 自 由度 。 由于振 型 向量 之 间线性 无关 ， 那 么根 据线 性代 数 的知 识 ， 则ｎ 阶振 型 向 量 可 以构 成一 个ｎ 维空间， 而且 这些 向量是 该空 间 的一 位 移 反应 谱 。
实振型分解反应谱法
实振型分解反应谱法
1.振型分解原理
实振型分解反应谱法是一种基于结构振动特性的地震反应分析方法。
该方法将结构振动响应分解为若干个振型（模态）的叠加，从而在各个振型上单独求解地震反应。
2.反应谱理论
反应谱理论是研究结构在地震作用下的动力反应的重要工具。
它通过分析地震动输入的加速度、速度和位移反应谱，来描述结构在不同地震动频率下的响应。
3.地震动输入
地震动输入是地震反应分析的基础，包括地震动的峰值加速度、峰值速度和峰值位移等参数。
这些参数决定了结构在地震作用下的动力响应。
4.结构动力特性
结构动力特性包括结构的自振频率、阻尼比和振型等参数。
这些参数反映了结构在地震作用下的动力响应特性，是进行实振型分解反应谱法分析的基础。
5.阻尼模型
阻尼模型用于描述结构在振动过程中的能量耗散机制。
在实振型分解反应谱法中，通常采用阻尼比来描述结构在不同频率下的阻尼效应。
6.数值计算方法
实振型分解反应谱法的数值计算方法包括有限元法、有限差分法等。
这些方法通过离散化结构振动方程，求解结构在地震作用下的动力响应。
7.计算结果分析
通过对实振型分解反应谱法的计算结果进行分析，可以了解结构在不同地震动频率下的响应特征，从而评估结构的抗震性能。
8.工程应用
实振型分解反应谱法在工程结构抗震设计中得到广泛应用，可以用于评估结构的抗震性能、优化结构设计等方面。
同时，该方法也可以用于研究结构在地震作用下的动力响应和损伤机理。
建筑结构设计：运用振型分解反应谱法进行烟囱抗震设计步骤有？
建筑结构设计：运用振型分解反应谱法进行烟囱抗震设计步骤有？
第一，根据结构动力学的方法（精确法或近似法）计算出烟囱的自振特性。
第二，根据计算出的烟囱自振特性，应用反应谱理论计算烟囱的各个振型下的水平地震作用。
第三，按照结构动力学的方法，进行计算各个振型水平地震作用标准值作用下的水平地震作用效应Sj（剪力和弯矩）。
第四，将各个振型水平地震作用效应Sj按照平方和的平方根方法进行组合，即得出所求地震作用效应
1。
振型分解法
振型分解法
modal analysis method
以结构的各阶振型为广义坐标分别求出对应的结构地震反应，然后将对应于各阶振型的结构反应相组合，以确定结构地震内力和变形的方法。
又称振型叠加法。
振型分解反应谱法
1、定义
振型分解反应谱法是用来计算多自由度体系地震作用的一种方法。
该法是利用单自由度体系的加速度设计反应谱和振型分解的原理，求解各阶振型对应的等效地震作用，然后按照一定的组合原则对各阶振型的地震作用效应进行组合，从而得到多自由度体系的地震作用效应。
振型分解反应谱法一般可考虑为计算两种类型的地震作用：不考虑扭转影响的水平地震作用和考虑平扭藕联效应的地震作用。
2、适用条件
（1）高度不超过40米，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构，以及近似于单质点体系的结构，可采用底部剪力法计算。
（此为底部剪力法的适用范围）
（2）除上述结构以外的建筑结构，宜采用“振型分解反应谱法”。
（3）特别不规则的建筑、甲类建筑和规范规定的高层建筑，应采用时程分析法进行补充计算。
振型分解反应谱法分析
振型分解反应谱法分析振型分解反应谱法振型分解反应谱法是用来计算多自由度体系地震作用的一种方法。
该法是利用单自由度体系的加速度设计反应谱和振型分解的原理，求解各阶振型对应的等效地震作用，然后按照一定的组合原则对各阶振型的地震作用效应进行组合，从而得到多自由度体系的地震作用效应。
振型分解反应谱法一般可考虑为计算两种类型的地震作用: 不考虑扭转影响的水平地震作用和考虑平扭藕联效应的地震作用。
适用条件(1) 高度不超过40 米，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构，以及近似于单质点体系的结构，可采用底部剪力法计算。
( 此为底部剪力法的适用范围)(2) 除上述结构以外的建筑结构，宜采用“振型分解反应谱法”。
(3) 特别不规则的建筑、甲类建筑和规范规定的高层建筑，应采用时程分析法进行补充计算。
刚重比刚重比是指结构的侧向刚度和重力荷载设计值之比，是影响重力二阶效应的主要参数刚重比=Di*Hi/GiDi- 第i 楼层的弹性等效刚度，可取该层剪力与层间位移的比值Hi- 第i 楼层层高Gi-第i楼层重力荷载设计值刚重比与结构的侧移刚度成正比关系; 周期比的调整将导致结构侧移刚度的变化，从而影响到刚重比。
因此调整周期比时应注意，当某主轴方向的刚重比小于或接近规范限值时，应采用加强刚度的方法; 当某主轴方向刚重比大于规范限值较多时，可采用削弱刚度的方法。
同样，对刚重比的调整也可能影响周期比。
特别是当结构的周期比接近规范限值时，应采用加强结构外围刚度的方法规范上限主要用于确定重力荷载在水平作用位移效应引起的二阶效应是否可以忽略不计。
见高规5.4.1 和 5.4.2 及相应的条文说明。
刚重比不满足规范上限要求，说明重力二阶效应的影响较大，应该予以考虑。
规范下限主要是控制重力荷载在水平作用位移效应引起的二阶效应不致过大，避免结构的失稳倒塌。
见高规 5.4.4 及相应的条文说明。
刚重比不满足规范下限要求，说明结构的刚度相对于重力荷载过小。
振型分解反应谱法基础知识
3 质点 i 在任意时刻的地震惯性力
i 质点在任意时刻的水平相对位移反应为
n
xi (t ) j j (t ) ji
j 1
求二阶到，可得任意时刻的水平相对加速度反应为
(t ) xi (t ) j j } 的线性组合，有
由方程 {i }T [ K ]{i } i2 {i }T [M ]{i } 可知 i2 如果令 2i i
{i }T [ K ]{i } {i }T [M ]{i }
{i }T [C ]{i } {i }T [M ]{1} ， ，(*)式可化简为 i {i }T [M ]{i } {i }T [M ]{i }
n j 1 n j 1
{x(t )} j j (t ){ j } {x j (t )}
其中 {x j (t )} j j (t ){ j } 为体系第 j 阶振型的地震反应。 质点 i 在第 j 阶振型下的水平相对位移为
xij (t ) j j (t ) ji
{ j }T [ K ]{i } i2 { j }T [ M ]{i } T 2 T 两边转置 { j }T [ K ]{i } 2 j }T [ M ]{i } j{ {i } [ K ]{ j } j {i } [ M ]{ j }
1.3 地震影响系数与地震反应谱的关系
a(Tn ) mSa (Tn ) Sa (Tn ) G g
具体涉及到设计反应谱的编制内容将另外撰文总结
2 质点 i 在任意时刻的水平相对位移反应
由振型的正交性可知， {1} 、 {2 } ，……， {n } 相互独立，故体系的位移反应向量 {x} 可表示成
n
振型分解反应谱法
振型分解反应谱法振型分解反应谱法是用来计算多自由度体系地震作用的一种方法。
该法是利用单自由度体系的加速度设计反应谱和振型分解的原理，求解各阶振型对应的等效地震作用，然后按照一定的组合原则对各阶振型的地震作用效应进行组合，从而得到多自由度体系的地震作用效应。
振型分解反应谱法一般可考虑为计算两种类型的地震作用：不考虑扭转影响的水平地震作用和考虑平扭藕联效应的地震作用。
适用条件（1）高度不超过40米，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构，以及近似于单质点体系的结构，可采用底部剪力法计算。
（此为底部剪力法的适用范围）（2）除上述结构以外的建筑结构，宜采用“振型分解反应谱法”。
（3）特别不规则的建筑、甲类建筑和规范规定的高层建筑，应采用时程分析法进行补充计算。
刚重比刚重比是指结构的侧向刚度和重力荷载设计值之比，是影响重力二阶效应的主要参数刚重比=Di*Hi/GiDi-第i楼层的弹性等效刚度，可取该层剪力与层间位移的比值Hi-第i楼层层高Gi-第i楼层重力荷载设计值刚重比与结构的侧移刚度成正比关系；周期比的调整将导致结构侧移刚度的变化，从而影响到刚重比。
因此调整周期比时应注意，当某主轴方向的刚重比小于或接近规范限值时，应采用加强刚度的方法；当某主轴方向刚重比大于规范限值较多时，可采用削弱刚度的方法。
同样，对刚重比的调整也可能影响周期比。
特别是当结构的周期比接近规范限值时，应采用加强结构外围刚度的方法规范上限主要用于确定重力荷载在水平作用位移效应引起的二阶效应是否可以忽略不计。
见高规5.4.1和5.4.2及相应的条文说明。
刚重比不满足规范上限要求，说明重力二阶效应的影响较大，应该予以考虑。
规范下限主要是控制重力荷载在水平作用位移效应引起的二阶效应不致过大，避免结构的失稳倒塌。
见高规5.4.4及相应的条文说明。
刚重比不满足规范下限要求，说明结构的刚度相对于重力荷载过小。
但刚重比过分大，则说明结构的经济技术指标较差，宜适当减少墙、柱等竖向构件的截面面积。
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最大水平地震作用Fji (i=，1，2，…，n)，再
按照一般结构力学方法可求得结构对应于该振
型的最大地震作用效应Sj (Fji → Sj ) 。
根据 n F （ i t） m i
jX ji x （ gt） （ j t） nFji
j 1
j 1
结构在任一时刻所受的地震作用为该时刻各振
型地震作用之和。但是，各振型的地震作用
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第三章重点、难点和基本要求
重点和难点： 1、重要术语、概念、定义 2、单（多）自由度体系地震反应和地震作用计算 3、底部剪力法 4、结构抗震验算
基本要求： 掌握结构抗震验算基本方法
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§3-5 多自由度弹性体系的水平地震作用 ----振型分解反应谱法
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j振型i质点水平地震作用标准值计算公式
Fji jjXjiGi ( i=1,2,…,n；j=1,2,…,n)
为对应于j振型i质点水平地震作用标准值计算公式。
式中： Fji—j 振型i质点的水平地震作用标准值； rj—j 振型的振型参与系数；Xji—j 振型i质点的振型位移 幅值；Gi—集中于i质点的重力荷载代表值； αj—相应于j 振型自振周期Tj 的地震影响系数。
是第j j
x（ g t）（ j t）max g
振型对应的振子(单质点体系)的最
大绝对加速度与重力加速度之比，故αj是相应第j 振型的 地震影响系数，而这时的自振周期为与第j 振型相对应的
振子的周期Tj，即为第j 振型的自振周期。
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2．振型组合
由式 Fji jjXjiGi 可求得某一振型各质点的
F
（
ji
t
）
为作用在第j振型质点i上的水平地震作用。
根据上式可以作出随时间变化的曲线，以求出供设计 用的最大地震作用。但计算太繁，一般采用简化方法。
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二、简化计算步骤
利用单自由度体系的设计反应谱，按 n F （ i t） m i
jX ji x （ gt） （ j t） nFji
j 1
j 1
F 地震作用绝对最大值
为： ji
F ji F （ jit） m am x i jX ji x （ gt） （ j t） max
令
j
x（ g t）（ j t）max g
， Gi mig
则 Fji jjXjiGi ( i=1,2,…,n；j=1,2,…,n)为
为对应于j 振型i 质点水平地震作用标准值计算公式
S
S
2 j
j 1
Sj——j振型水平地震作用产生的作用效应(弯矩、剪力、
轴力和变形等)
m——参与组合的振型的个数，可只取前2～3个振型(因为
高阶振型随着其自振频率ωj的增加，Sj在S中的贡献 迅速减少)，当基本自振周期大于1.5s或房屋高宽比大
于5时，振型个数可适当增加。
必须注意，不能先将各振型的地震作用Fji采用“平 方和开方”法进行组合，求出总的地震作用，再求地
式中
mi——质点i的质量； x（g t）——地面运动加速度； x（i t）——质点i的相对加速度。
根据振型分解法， x（ i t） n j （ j t）Xji
这样，
j1
n
F （ i t） m i
jXjix （ gt） （ j t） nFji
j 1
j 1
其中 x（ g t） （ j t） 为与j振型相应振子的绝对加速度。
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一、底部剪力法
按振型分解反应谱法计算房屋结构的水平地震作用 时，运算过程较繁。为了简化计算，《抗震规范》规定， 当房屋结构满足下列条件时，可采用近似计算法---底部剪力法： (1)房屋结构的质量和刚度沿高度分布比较均匀； (2)房屋的总高度不超过40m； (3)房屋结构在地震作用时的变形以剪切变形为主(房屋 高宽比小于4时)； (4)房屋结构在地震作用时的扭转效应可忽略不计。 满足上述条件的结构，在水平地震作用下振动时，其位 移反应通常以基本振型为主，且基本振型近似于直线。
振型分解反应谱法是在振型分解法的基础上，结合运 用单自由度体系反应谱理论得出的一种计算方法。 一、基本方法简介 二、简化计算步骤 1、振型的最大地震作用 2．振型组合和地震作用效应组合
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结构抗震设计
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一、基本方法简介
多自由度弹性体系在地震时的水平地震作用就是质点 所受的惯性力，故质点i上的地震作用为 ： F （ it） m i x （ gt） x （ it）
第三章 地震作用和结构抗震验算
一、课程内容 二、重点、难点和基本要求
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第三章 课程内容
§3-1 概述 §3-2 单自由度弹性体系的地震反应 §3-3 单自由度弹性体系的水平地震作用——地震反应谱法 §3-4 多自由度弹性体系的地震反应 §3-5 多自由度弹性体系的水平地震作用——振型分解反应谱法 §3-6 底部剪力法和时程分析法 §3-7 水平地震作用下的扭转效应 §3-8 结构的竖向地震作用 §3-9 结构自振周期的近似计算 §3-10 地震作用计算的一般规定 §3-11 结构抗震验算
j 1
j 1
先求出对应于每一振型各质点的最大水平地震作用(同时
达到最大值)及相应的地震作用效应，然后对这些效应进
行振型组合，以求得结构的最大地震作用效应。
具体步骤如下：
1、振型的最大地震作用
由 ，作用在第j 振型第i质点上的 n F （ i t） m i
jX ji x （ gt） （ j t） nFji
震作用效应。因为高阶振型中的地震作用有正有负，
经平方后，全为正值，这样将夸大结构所受的地震作
用效应。
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§3-6 底部剪力法和时程分析法
一、底部剪力法 1、底部剪力法示意图
2、结构底部剪力的计算（ FEk ）
3、各质点水平地震作用标准值的计算（ Fi ） 4、顶部附加地震作用的计算（ △Fn ） 二、时程分析法
(从而相应的地震作用效应)不会同时达到最大
值。
如何组合各振型的最大地震作用效应，合 理地确定结构总的地震作用效应？
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地震作用效应组合
根据随机振动理论，如假定地震时地面运动为平稳随
机过程，则对于各平动振型产生的地震作用效应可近
似地采用“平方和开方”法确定，即 m
式中 S——结构水平地震作用效应，