江苏省南京市溧水二高、秦淮中学、天印中学2020-2021学年高三上学期期中联考数学试题

江苏省南京市溧水二高、秦淮中学、天印中学2020-2021学年高三上学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合[1,3)M =，(2,5]N =，则M N =（ ）A ．[]1,5B ．()2,3C ．[)1,2D ．(]3,52．已知i 是虚数单位，设复数22ia bi i-+=+，其中,a b ∈R ，则+a b 的值为（ ） A ．75B ．75-C ．15D ．15-3．从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有（ ） A ．20种B ．50种C ．80种D ．100种4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（ ） A ．80里B ．86里C ．90里D ．96里5．若正数a 是一个不等于1的常数，则函数log a y x =与函数(0)a y x x =>在同一个坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设 2.10.3a =，0.32.1b =，0.3log 2.1c =， 2.1log 0.3d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（ ） A ．a b c d >>>B ．d c b a >>>C ．b a c d >>>D ．b a d c >>>7．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:9C x y +=及圆C 内的一点()1,2P ，圆C 的过点P 的直径为MN ，若线段AB 是圆C 的所有过点P 的弦中最短的弦，则()AM BN AB -⋅的值为（ ）A ．8B ．16C ．4D ．8．设()f x 是定义在R 上的函数，()(1)g x f x =+．若函数()g x 满足下列条件：①()g x 是偶函数；②()g x 在区间[)0,+∞上是增函数；③()g x 有一个零点为2，则不等式(1)()x f x +>0的解集是（ ） A ．(3,)+∞ B ．(1,)+∞C ．(,1)(1,)-∞-+∞D ．(,1)(3,)-∞-+∞二、多选题9．在平面直角坐标系xOy 中，为了使方程2220x my +-=表示准线垂直于x 轴的圆锥曲线，实数m 的取值范围可以是（ ） A ．(1,)+∞B ．(,0)-∞C ．(,)-∞+∞D ．(0,)+∞10．若将函数sin()y A x ωϕ=+的图象上所有的点向右平移3π个单位，再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），最后得到函数22sin 33y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，则实数ϕ的值可能是（ ） A ．43πB ．23π C ．23π-D ．43π-11．设0a >，0b >，且24a b +=，则下列结论正确的是（ ）A ．11a b+ B ．21a b+的最小值为2 C ．12a b+的最小值为94D ．111b a a b +≥++12．设常数R a ∈，N n *∈，对于二项式(1n +的展开式，下列结论中，正确的是（ ）A ．若1a n<，则各项系数随着项数增加而减小 B ．若各项系数随着项数增加而增大，则a n >C ．若2a =-，10n =，则第7项的系数最大D ．若a =7n =，则所有奇数项系数和为239三、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线2:C y mx =的焦点F 作斜率为1的直线，与抛物线C 交于A ，B 两点．若弦AB 的长为6，则实数m 的值为__________.14．今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是__________元．（四舍五入，精确到整数）15．数学家研究发现，对于任意的x ∈R ，()357211sin (1)N 3!5!7!(21)!n n x x x x x x n n --*=-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∈-，称为正弦函数的泰勒展开式．在精度要求不高的情况下，对于给定的实数x ，可以用这个展开式来求sin x 的近值．如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心B 的仰角30BAC ∠=︒，气球的视角2α=︒，则该气球的高BC 约为_________米．（精确到1米）16．如图所示，多面体ABCDEFGH 中对角面CDEF 是边长为6的正方形，//AB DC ，//HG DE ，且AB ，GH 到平面CDEF 的距离都是3，则该多面体的体积为___________.四、解答题17．设函数2()4sin cos 1f x x x x =-+. （1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）在锐角ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ．若()1f A =，1a =，求ABC 周长的取值范围．18．阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系①1112n n a a +=+，②12n n a a +=+，③21n n S a =-中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的__________处，使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，对任意的*N n ∈，都有_________；等比数列{}n b 中，对任意的*N n ∈，都有0n b >，2123n n n b b b ++=+，且11b =，问：是否存在*N k ∈，使得：对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤？若存在，试求出k 的值；若不存在，试说明理由．19．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是侧棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ．（1）求PA 的长；（2）求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值．20．在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较，结果如下表所示．（1）从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步研究他们患感冒的原因．记这4人中使用血清的人数为X ，试写出X 的分布列；（2）有多大的把握得出“使用该种血清能预防感冒”的结论？你的结论是什么？请说明理由．附：对于两个研究对象Ⅰ（有两类取值：类A ，类B ）和Ⅱ（有两类取值：类1，类2）统计数据的一个2×2列联表：有22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.临界值表（部分）为21．设M 是定义在R 上且满足下列条件的函数()f x 构成的集合： ①方程()0f x x -=有实数解； ②函数()f x 的导数fx 满足0()1f x '<<．（1）试判断函数sin ()24x x f x =+是否集合M 的元素，并说明理由； （2）若集合M 中的元素()f x 具有下面的性质：对于任意的区间[],m n ，都存在0[,]x m n ∈，使得等式()0()()()f n f m n m f x '-=-成立，证明：方程()0f x x -=有唯一实数解．（3）设1x 是方程()0f x x -=的实数解，求证：对于函数()f x 任意的23,x x R ∈，当211x x-<，311x x-<时，有()()322f x f x-<．22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E与双曲线22:13612y xC-=有共同的中心和准线，且双曲线C的一条渐近线被椭圆E截得的弦长为（1）求椭圆E的方程；（2）若过点(0,)P m存在两条互相垂直的直线都与椭圆E有公共点，求实数m的取值范围．参考答案1．B 【分析】根据交集的定义直接计算即可. 【详解】[1,3)M =，(2,5]N =，()2,3MN ∴=.故选：B. 2．D 【分析】 先化简345ia bi -+=，求出,ab 的值即得解. 【详解】22(2)342(2)(2)5i i ia bi i i i ---+===++-，所以341,,555a b a b ==-∴+=-. 故选：D 3．B 【分析】分去4个人或5个人两种情况进行讨论. 【详解】当去4个人时，则安排方法有425430C C =种，当去5个人时，则安排方法有315220C C =种，综上，不同的安排方法共有50种. 故选：B. 4．D 【分析】由题意得每天行走的路程成等比数列{}n a 、且公比为12，由条件和等比数列的前项和公式求出1a ，由等比数列的通项公式求出答案即可． 【详解】由题意可知此人每天走的步数构成12为公比的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得611[1()]2378112a -=-，解得1192a =，∴此人第二天走1192962⨯=里， ∴第二天走了96里，故选：D ． 5．C 【分析】分01a <<和1a >两种情况画出可能图形，即可判断. 【详解】当01a <<时，图象可能是，当1a >时，图象可能是，故只有C 选项符合. 故选：C. 6．C 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较即可. 【详解】因为 2.100.31a <=<，0.32.11b >=，0.30.30.3101log log 2.1log 103c -=<=<=， 2.10.31log 0.31log 2.1d ==<-，所以b a c d >>>, 故选：C 7．B 【分析】利用勾股定理计算出AB ，用MN ，AB 表示出AM BN -，再计算数量积得解． 【详解】由题意可知AB MN ⊥，圆C 的半径为3r =，OP =∴0NM AB =，4AB =，22()[()]()16AM BN AB AM AN AB AB NM AB AB NM AB AB AB ∴-=--=+=+==．故选：B ．【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是基底法的运用，联想到基底法表示其它向量，用MN ，AB 表示出AM BN -. 8．A 【分析】由题可将不等式化为(1)(1)x g x +->0，再分10x +>和10x +<讨论可得()(1)2g x g ->和()(1)2g x g -<，利用函数单调性即可求解.【详解】()(1)g x f x =+，()()1f x g x ∴=-，()g x 是偶函数，()()g x g x ∴=， ()g x 有一个零点为2，()20g ∴=，则不等式(1)()x f x +>0等价于(1)(1)x g x +->0，当10x +>，即1x >-时，(1)g x ->0，即()(1)2g x g ->，由()g x 在区间[)0,+∞上是增函数可得12x ->，记得1x <-或3x >，3x ∴>；当10x +<，即1x <-时，(1)g x -<0，即()(1)2g x g -<， 由()g x 在区间[)0,+∞上是增函数可得12x -<，记得13x，∴此时不等式无解；综上，不等式(1)()x f x +>0的解集是(3,)+∞. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用解不等式，解题的关键是利用函数性质将不等式化为(1)(1)x g x +->0，进而化为()(1)2g x g ->和()(1)2g x g -<利用单调性求解. 9．AB 【分析】将方程化为22122x y m+=，讨论0m <和0m >的情况即可求出. 【详解】显然0m ≠，方程2220x my +-=可化为22122x y m+=， 当0m <时，22122x y m+=表示焦点在x 轴上的双曲线，满足准线垂直于x 轴， 当0m >时，则由题应满足22m>，解得1m ， 综上，0m <或1m . 故选：AB. 10．AC 【分析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论. 【详解】若将函数sin()y A x ωϕ=+的图象上所有的点向右平移3π个单位，可得sin()3y A x ωπωϕ=-+的图象；再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)得到sin()33y A x ωωπϕ=-+的图象，即22sin()sin()3333y x A x πωωπϕ=+=-+22,2,,33k k Z ωππωϕπ∴=-+=+∈ 令0k =，可得43πϕ=，令1k =-，可得 23πϕ=-， 故选：AC 11．BCD 【分析】根据0a >，0b >，且24a b +=，利用“1”的代换变形，再利用基本不等式逐项求解判断. 【详解】因为0a >，0b <，且24a b +=， A()(11111121123334444b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当242a b b a a b+=⎧⎪⎨=⎪⎩，即44a b =-=-,B. ()212114122414444b a a b a a b a b b ⎛⎛⎫⎛⎫=+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎝+⎭⎝⎭+，当且仅当244a b b a a b +=⎧⎪⎨=⎪⎩，即2,1a b ==时，取等号，故正确；C. ()12112122192554444b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当2422a b b a ab +=⎧⎪⎨=⎪⎩，即44,33==a b 时，取等号，故正确；D. 1111111111111111b a b a b a a b a b a b a b ⎛⎫+-+-+++=+=+-+ ⎪++++++++⎝⎭，()()11111516131211171171717b a b a a b a b a b a b ⎛⎫++++=+-++++=+- ⎪++++++⎝⎭，33177≥-=->，故正确； 故选：BCD 【点睛】方法点睛：（1）利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．（2）有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等． 12．BCD 【分析】求出二项展开式的通项，取0a =即可判断A ；利用反证法可判断B ；依次求出各项系数即可判断C ；直接求出奇数项和即可判断D. 【详解】二项式(1n+的展开式的通项为(211r rr n rr rr nnT C C a x -+=⋅⋅=⋅⋅，对于A ，当0a =时，则任意项的系数均为0（除常数项），故A 错误； 对于B ，若a n ≤，则最后两项为11,n n n n n n C a C a --，有11n n n nn n C a C a --≥，与已知矛盾，故a n >，故B 正确；对于C ，若2a =-，10n =，则各项系数为()001021C -=，()1110220C -=-，()22102180C -=，()33102960C -=-，()441023360C =-，()551028064C -=-，()6610213440C -=，()7710215360C -=-，()8810211520C -=，()991025120C -=-，()10101021024C -=，故第7项的系数最大，故C 正确.对于D ，若a =7n =，则所有奇数项系数和为0022446677771121235478239C a C a C a C a +++=⨯+⨯+⨯+⨯=，故D 正确.故选：BCD.13．3± 【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，直线AB 的方程为4my x =-，联立直线与抛物线方程可求12x x +，12x x ，代入弦长公式，利用线段AB 的长度，求解m 即可.【详解】抛物线2y mx =上的焦点(4mF ，0)， 直线的斜率为1， 则可设直线AB 的方程为4m y x =-， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y联立方程24y mx m y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，整理得2230216m m x x -+=， 由韦达定理可得：1232m x x +=，21216m x x =，||6AB ∴=，解得3m =±； 故答案为：3±． 【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式12l x =-；（2）利用12l y y =-；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可. 14．367209 【分析】先设每次的还款额为A 元，贷款额为1000000B =元，根据题中条件，逐年列出欠款，根据题中条件，列出方程求解，即可得出结果. 【详解】设每次的还款额为A 元，记贷款额为1000000B =元， 由题意，第一次还款后欠款额为 1.05B A ⨯-； 第二次还款后欠款额为()1.0510.5B A A ⨯-⨯-，第三次还款后欠款额为()1.0510.5 1.05B A A A ⨯-⨯-⨯-⎡⎤⎣⎦， 因为三次将欠款还完，所以()1.0510.5 1.050B A A A ⨯-⨯-⨯-=⎡⎤⎣⎦， 整理得2310000001.05 1.05 1.05A A AB =++=， 解得367209A ≈元. 故答案为：367209. 15．86 【分析】过点B 作切线的垂线交于点D ，在ABD △中，求出AB ，在Rt ABC 中，即可求解. 【详解】由题意过点B 作切线的垂线交于点D ，在ABD △中，3BD =，sin1BD AB =，所以sin1BDAB = 在Rt ABC 中，sin sin 30BCBAC AB ∠==, 联立可得33385.987862sin12sin 2180180BC ππ==≈≈≈，故答案为：86 16．108 【分析】先证明多面体ADE BCF ，HDC GEF -为直三棱柱，根据棱柱的体积公式求解即可得出该多面体的体积. 【详解】由题意可知，////,AB DC EF DCCF ⊥，则多面体ADE BCF 为直三棱柱同理可证多面体HDC GEF -为直三棱柱则该多面体的体积为1163663610822ADE BCF HDC GEF V V V --=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 故答案为：10817．（1）T π=；[3-++；（2）1,3]+. 【分析】（1）根据二倍角公式和两角和的余弦公式化简得()f x =4cos 216x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，再根据周期公式可得周期，根据余弦函数的值域可得值域； （2）由()1f A =，得3A π=，根据正弦定理将,b c 用sin B 表示，用两角和的正弦公式将周长表示为B 的三角函数，利用锐角三角形求出B 的范围，利用三角函数的图象求出周长的取值范围. 【详解】（1）因为1cos 2()2sin 212xf x x +=-+22sin 21x x =-+4cos 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期为22T ππ==. 因为1cos 216x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以34cos 2156x π⎛⎫-+≤++≤+ ⎪⎝⎭所以，函数()f x 的值域为[3-++.（2）由()1f A =，得cos 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 因为A 为锐角，所以72666A πππ<+<，所以5266A ππ+=，即3A π=.因为A B C π++=，所以23C B π=-.由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得b B =，23c C B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以211sin sin 1sin cos sin 33322a b c B B B B B π⎛⎫⎡⎤⎛⎫++=++-=+++ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭31sin cos 12sin 3226B B B π⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 因为ABC 为锐角三角形，所以02B π<<，02C <<π，即022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<<.所以2363B πππ<+<，所以sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭112sin 36B π⎛⎫<++≤ ⎪⎝⎭.所以ABC周长的取值范围为区间1,3]+. 【点睛】关键点点睛：利用正弦定理将边化角，利用三角函数的图象求取值范围是解题关键，属于中档题.18．答案见解析 【分析】先求出132n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，存在*n ∈N ，使得对任意的*n ∈N ，都有n k k n a b a b ≤，即n kn ka ab b ≤． ①求出1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得1123n n n n n a c b --==，从而()1112321n n n n c c ++-=-．证明存在1k =，2，使得：对任意的*n ∈N ，都有n k k n a b a b ≤；②求出21n a n =-，可得12(21)03n n n n a c n b -⎛⎫==-> ⎪⎝⎭，从而12(21)3(21)n n c n c n ++=-．证明存在3k =，使得对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤；.③先求出12n na ，可得1304n n n n a c b -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，存在1k =，使得对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤.【详解】解：设等比数列{}n b 的公比为q ．因为对任意的*n ∈N ，都有2123n n n b b b ++=+， 所以223q q =+，解得1q =-或32. 因为对任意的*n ∈N ，都有0n b >，所以0q >，从而32q =． 又11b =，所以132n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭.显然，对任意的*n ∈N ，0n b >．所以，存在*n ∈N ，使得对任意的*n ∈N ，都有n k k n a b a b ≤，即n kn ka ab b ≤． 记nn na cb =，*n ∈N ．下面分别就选择①②③作为条件进行研究． ①因为对任意的*n ∈N ，都有1112n n a a +=+，即()11222n n a a +-=-．又11a =，即1210a -=-≠，所以20n a -≠，从而12122n n a a +-=-， 所以数列{}2n a -是等比数列，公比为12，得1122n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以1123n n n n n a c b --==，从而()1112321n n n n c c ++-=-． 由()1121122132n nn n +--≤⇔≥⇔≥，得：12c c =，当1n ≥时，1n n c c +<， 所以，当1n =或2时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大值． 所以对任意的*n ∈N ，都有2121n n a a a b b b ≤=，即11n n a b a b ≤，22n n a b a b ≤， 所以存在1k =，2，使得：对任意的*n ∈N ，都有n k k n a b a b ≤.②因为对任意的*n ∈N ，都有12n n a a +=+，即12n n a a +-=， 所以数列{}n a 是等差数列，公差为2． 又11a =，所以12(1)21n a n n =+-=-.所以12(21)03n n n n a c n b -⎛⎫==-> ⎪⎝⎭，从而12(21)3(21)n n c n c n ++=-． 由2(21)51253(21)2n n n n +≤⇔≥⇔≥-，得：当2n ≤时，1n n c c +>；当3n ≥时，1n n c c +<，所以，当3n =时，n c 取得最大值，即n na b 取得最大值．所以对任意的*n ∈N ，都有33n n a a b b ≤，即33n n a b a b ≤． 所以存在3k =，使得对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤.③因为对任意的*N n ∈，都有21n n S a =-，所以1121n n S a ++=-， 从而()1111212122n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=---=-，即12n n a a +=． 又110a =>，所以0n a >，且12n na a +=， 从而数列{}n a 是等比数列，公比为2，得12n na .所以1304n n n n a c b -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，从而1314n n c c +=<，所以1n n c c +<， 所以，当1n =时，n c 取得最大值，即nn a b 取得最大值．所以对任意的*N n ∈，都有11n n a a b b ≤，即11n n a b a b ≤． 所以存在1k =，使得对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤. 【点睛】方法点睛：求数列的最值常用的方法有函数法、数形结合法、基本不等式法、导数法、单调性法等，特殊的方法有夹逼法等.要根据已知条件灵活选择合适的方法求解.19．（1）1；（2. 【分析】（1）利用已有的垂直关系建立空间直角坐标系，设PA a =，由AM ⊥平面PBD ，得线线垂直，有数量积可得a 的值；（2）求平面PBD 的法向量，法向量与PC 所成角的余弦即PC 与平面AMD 所成角的正弦值. 【详解】设PA a =．在四棱锥P ABCD -中，因为底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)D ，(0,0, )P a .因为M 是侧棱PC 的中点，所以M 的坐标为11,,222a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以11,,222a AM ⎛⎫=⎪⎝⎭，(1,1,0)BD =-，(1,0,)BP a =-. （1）因为AM ⊥平面PBD ，即AM ⊥平面PBD ， 所以0AM BD AM BP ⋅=⋅=．所以21022a -+=，解得1a =．所以1PA =.（2）设平面AMD 的法向量为(,,)n x y z =，因为(0,1,0)AD =，111,,222AM ⎛⎫=⎪⎝⎭， 由00n AD n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得01()02y x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，即00y x z =⎧⎨+=⎩. 取1z =，得1x =-，从而得到平面AMD 的一个法向量(1,0,1)n =-. 又(1,1,1)CP =--，所以cos ,||||2n CP n CP n CP ⋅〈〉===⋅. 设PC 与平面AMD 所成角的为θ，则6sin |cos ,|n CP θ=〈〉=. 因此，PC 与平面AMD . 【点睛】利用题设垂直关系建立空间直角坐标系是解决立体几何问题的常用方法，此题为常规题, 20．（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【分析】（1）根据题中条件，确定X 的可能取值为0，1，2，3；分别求出其对应的概率，即可得出分布列；（2）先将题中所给的列联表整理，根据公式，求出2χ，结合临界值表，即可得出结论.【详解】（1）因为使用血清的人中感冒的人数为3，未使用血清的人中感冒的人数为6，一共9人，从这9人中选4人，其中使用血清的人数为X ，则随机变量X 的可能值为0，1，2，3．因为0436495(0)42C C P X C ===，13364910(1)21C C P X C ===， 2236495(2)14C C P X C ===，3136491(3)21C C P X C ===， 所以随机变量X 的分布列为（2）将题中所给的2×2列联表进行整理，得提出假设0H ：是否使用该种血清与感冒没有关系.根据2χ公式，求得2240(176314) 1.29032020319χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.因为当0H 成立时，“20.708χ≥”的概率约为0.40，“21.323χ≥”的概率约为0.25，所以有60%的把握认为：是否使用该种血清与感冒有关系，即“使用该种血清能预防感冒”，得到这个结论的把握不到75%．由于得到这个结论的把握低于90%，因此，我的结论是：没有充分的证据显示使用该种血清能预防感冒，也不能说使用该种血清不能预防感冒. 【点睛】 思路点睛：求离散型随机变量的分布列的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；21．（1）是集合M 中的元素．理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）判定函数sin ()24x xf x =+是否满足：“①方程()0f x x -=有实数根；②函数()f x 的导数()f x '满足0()1f x <'<．”（2）可利用反正法进行证明，假设方程()0f x x -=存在两个实数根α，()βαβ≠，然后寻找矛盾，从而肯定结论．（3）构造()f x x -，研究函数()f x x -的单调性，从而得到2332())|||(|x f x x x f -<-，再利用绝对值不等式即可证得． 【详解】（1）函数sin ()24x x f x =+是集合M 中的元素．理由如下： ①方程()0f x x -=，即sin 042x x-=． 显然0x =是方程sin 042x x-=的实数解，因此，方程()0f x x -=有实数解. ②由于1cos ()24x f x '=+，又1cos 1x -≤≤，即11cos 32244x ≤+≤，所以0()1f x '<<. 综上，函数sin ()24x xf x =+是集合M 中的元素.（2）（反证法）由条件①知方程()0f x x -=有实数解.假设方程()0f x x -=有两个不相等的实数解α，β，不妨设αβ<，则()fαα=，()f ββ=.由函数()f x 的性质知，存在0[,]x αβ∈，使得()0()()()f f f x βαβα'-=-， 即()0()f x βαβα-=-．又由条件②知()001f x '<<，所以0βα-=，即αβ=，这与αβ<矛盾． 因此，方程()0-=f x x 有唯一实数解.（3）对任意的23,x x R ∈，当211x x -<且311x x -<时， 不妨设23x x ≤，则123111x x x x -<≤<+．因为0()1f x '<<，所以()f x 在R 上是增函数，所以()()23f x f x ≤.令()()g x f x x =-，则()()10g x f x ''=-<，所以()()g x f x x =-是R 上的减函数，所以()()23g x g x ≥，即()()2233f x x f x x -≥-， 所以()()()()3232110112f x f x x x x x ≤-≤-<+--=.因此，对任意的23,x x R ∈，当211x x -<，且311x x -<时，有()()322f x f x -<． 【点睛】反证法的适用范围：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．22．（1）22196y x +=或2231248y x +=；（2）答案不唯一见解析. 【分析】（1）根据椭圆和双曲线有共同准线可得2a =，22b c =-，利用截直线所得弦长求出；（2）设过点(0,)P m 的两条互相垂直的直线中一条的斜率为k ，方程为y kx m =+，联立椭圆方程，直线与椭圆E 有公共点可得2222m a k b -≥，同理可得22221m a k b -≥，根据两不等式同时成立有解可得m 的范围. 【详解】（1）因为椭圆E 与双曲线22:13612y x C -=有共同的中心和准线，所以设椭圆E 的方程为22221(0)y x a b a b+=>>.令c2a c =，得2a =，22b c =-， 由双曲线C 的方程2213612y x -=得双曲线C的渐近线的方程为y =.根据对称性，不妨设椭圆E与渐近线y =的交点为()11,A x y ，()22,B x y .由221y ⎧==⎩，消去y，整理得2x =所以12x x -=，所以12AB x ==-=，由=，2110c -+=，解得c =所以椭圆E 的方程为22196y x +=或2231248y x +=.（2）方法一：对于椭圆2222:1(0)y x E a b a b+=>>，设过点(0,)P m 的两条互相垂直的直线中一条的斜率为k ，方程为y kx m =+．由22221y x a b y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，整理得 22222221210k mkx m x a b a a ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，由22222222222222114140mk k m k m a a b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆=-+⨯-=+-≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2222m a k b-≥① 当0k ≠时，同理得22221m a k b -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即22221m a k b -≥．② 当2220m a b-≤，即||m a ≤时，满足①②的k 存在，所以||m a ≤满足条件． 当2220m a b ->，即||m a >时，满足①②的k 存在22201m a b -⇔<≤，即||a m <≤． 当0k =时，2220m a b-≤，即||m a ≤，满足条件．综上，||m ≤，即m的取值范围是区间⎡⎣.若椭圆C 的方程为22196y x +=，则实数m的取值范围是区间[；若椭圆C 的方程为2231248y x +=，则实数m的取值范围是区间,33⎡-⎢⎣⎦.方法二：对于椭圆2222:1(0)y x E a b a b+=>>，设过点(0,)P m 的两条互相垂直的直线都与椭圆E 有公共点，如果其中的一条斜率为0，那么另一条一定垂直于x 轴；反之亦然．由平面几何知识知道：[,]m a a ∈-满足条件.当m a >时，设其中一条的斜率k ，显然0k =不满足条件，所以0k ≠，那么另一条的斜率为1k-．设其中一条直线的方程为y kx m =+．由22221y x a b y kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，整理得22222221210k mkx m x a b a a ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭. 由22222222222222114140mk k m k m a a b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆=-+⨯-=+-≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2222m a k b-≥.① 同理，得22221m a k b -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即22221m a k b -≥．②因为2220m a b ->，所以，满足①②的k 存在22201m a b-⇔<≤，即||a m <≤.综上，||m ≤，即m 的取值范围是区间⎡⎣.若椭圆C 的方程为22196y x +=，则实数m 的取值范围是区间[；若椭圆C 的方程为2231248y x +=，则实数m 的取值范围是区间,33⎡-⎢⎣⎦.【点睛】关键点点睛;本题根据直线与椭圆有公共点，联立方程后消元得一元二次方程，利用判别式0∆≥得2222m a k b -≥，同理可得22221m a k b -≥，关键就是对这两个不等式怎么理解，这两个式子的含义是存在k ，使这两个不等式都成立，这是后续做法的关键.。