新课标全国III卷理科数学2016-2020年高考分析函数与导数大题
专题11 导数与定积分(解析版)2016-2020年高考数学(理)真题命题轨迹
第三章 导数专题11 导数与定积分考点1 导数的几何意义1. 【2020年高考全国Ⅰ卷理数6】函数()432f x x x =-的图像在点()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+ 【答案】B 【解析】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+，故选B ．2. 【2020年高考全国Ⅲ卷理数10】若直线l 与曲线y 和圆2215x y +=相切，则l 的方程为（ ） A ．21y x =+ B ．122y x =+ C ．112y x =+ D ．1122y x =+【答案】D【解析】解法一：由与圆相切，故圆心到直线的距离为圆半径，符合条件的只有A ，D ，将答案A 的直线方程带入，无解；将答案AD 的直线方程带入()0,0r =y 210x =y =，有一解．故选D ．解法二：设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +=相切，=，两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+，故选D ． 3. 【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,x y a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=，将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-.故选D ．4. 【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =【答案】D【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以a −1=0，解得a =1，所以f(x)=x 3+x ，f′(x)=3x 2+1， 所以f′(0)=1,f(0)=0，所以曲线y =f(x)在点(0,0)处的切线方程为y −f(0)=f′(0)x ，化简可得y =x . 故选D.5. 【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x x y x x x x x '=+++=++所以切线的斜率0|3x k y ='==， 则曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．10x -=1x =6. 【2018年高考全国Ⅱ卷理数】曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________． 【答案】y =2x【解析】∵y ′=2x+1，∴在点（0,0）处切线的斜率为k =20+1=2，则所求的切线方程为y =2x .7. 【2018年高考全国Ⅲ卷理数】曲线()1e xy ax =+在点()0,1处的切线的斜率为2-，则a =________．【答案】−3【解析】()e 1e xxy a ax =++'，则0|12x y a ='=+=-，所以a =−3.8. 【2016高考新课标3理数】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x = 在点(1,3)-处的切线方程是_______________． 【答案】21y x =--【解析】当0x >时，0x -<，则()ln 3f x x x -=-．又因为()f x 为偶函数，所以()()ln 3f x f x x x =-=-，所以1()3f x x'=-，则切线斜率为(1)2f '=-，所以切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--． 9. 【2018年高考北京理数】设函数()f x =[2(41)43ax a x a -+++]e x ． （Ⅰ）若曲线y= f （x ）在点（1，(1)f ）处的切线与x 轴平行，求a ； （Ⅰ）若()f x 在x =2处取得极小值，求a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）（12，+∞）． 【解析】（Ⅰ）因为()f x =[2(41)43ax a x a -+++]e x ，所以f ′（x ）=［2ax –（4a +1）］e x +［ax 2–（4a +1）x +4a +3］e x =［ax 2–（2a +1）x +2］e x ．f ′(1)=(1–a )e ．由题设知f ′(1)=0，即(1–a )e=0，解得a =1．此时f (1)=3e≠0．所以a 的值为1． （Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x ）=［ax 2–（2a +1）x +2］e x =（ax –1）(x –2)e x ． 若a >12，则当x ∈(1a，2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，+∞)时，f ′(x )>0． 所以f (x )在x =2处取得极小值． 若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x –2<0，ax –1≤12x –1<0， 所以f ′(x )>0．所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是（12，+∞）． 10. 【2018年高考天津理数】已知函数()x f x a =，()log a g x x =，其中a >1. （I ）求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；（II ）若曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线与曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线平行，证明122ln ln ()ln ax g x a+=-； （III ）证明当1ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线.【答案】（I ）函数()h x 的单调递减区间为(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞；（II ）见解析；（III ）见解析. 【解析】（I ）由已知，()ln x h x a x a =-，有()ln ln x h x a a a '=-. 令()0h x '=，解得x =0.由a >1，可知当x 变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表：所以函数()h x 的单调递减区间为(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞.（II ）由()ln xf x a a '=，可得曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线斜率为1ln xa a .由1()ln g x x a '=，可得曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线斜率为21ln x a. 因为这两条切线平行，故有121ln ln xa a x a=，即122(ln )1x x a a =.两边取以a 为底的对数，得21log 2log ln 0a a x x a ++=，所以122ln ln ()ln ax g x a+=-. （III ）曲线()y f x =在点11(,)x x a 处的切线l 1：111ln ()x x y a a a x x -=⋅-. 曲线()y g x =在点22(,log )a x x 处的切线l 2：2221log ()ln a y x x x x a-=-. 要证明当1ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线，只需证明当1eea ≥时，存在1(,)x ∈-∞+∞，2(0,)x ∈+∞，使得l 1与l 2重合.即只需证明当1e e a ≥时，方程组1112121ln ln 1ln log ln x x x a a a x a a x a a x a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩①②有解．由①得1221(ln )x x a a =，代入②，得111112ln ln ln 0ln ln x x a a x a a x a a -+++=. ③ 因此，只需证明当1ee a ≥时，关于x 1的方程③存在实数解.设函数12ln ln ()ln ln ln xxa u x a xa a x a a=-+++，即要证明当1e e a ≥时，函数()y u x =存在零点. 2()1(ln )x u x a xa '=-，可知(,0)x ∈-∞时，()0u x '>；(0,)x ∈+∞时，()u x '单调递减，又(0)10u '=>，21(ln )2110(ln )a u a a ⎡⎤'=-<⎢⎥⎣⎦，故存在唯一的x 0，且x 0>0，使得0()0u x '=，即0201(ln )0x a x a -=.由此可得()u x 在0(,)x -∞上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减.()u x 在0x x =处取得极大值0()u x .因为1ee a ≥，故ln(ln )1a ≥-， 所以0000002012ln ln 12ln ln 22ln ln ()ln 0ln ln (ln )ln ln xx a a a u x a x a a x x a a x a a a+=-+++=++≥≥. 下面证明存在实数t ，使得()0u t <.由（I ）可得1ln xa x a ≥+，当1ln x a>时， 有2212ln ln 12ln ln ()(1ln )(1ln )(ln )1ln ln ln ln a a u x x a x a x a x x a a a a≤+-+++=-++++， 所以存在实数t ，使得()0u t <．因此，当1ee a ≥时，存在1(,)x ∈-∞+∞，使得1()0u x =.所以，当1ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线.。
2016年高考数学真题试卷(理)(新课标Ⅲ)含逐题详解
2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一,选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0},T={x|x＞0},则S∩T=（）A．[2,3]B．（﹣∞,2]∪[3,+∞）C．[3,+∞）D．（0,2]∪[3,+∞）2．（5分）若z=1+2i,则=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i3．（5分）已知向量=（,）,=（,）,则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图,图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃,下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．（5分）若tanα=,则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．6．（5分）已知a=,b=,c=,则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b7．（5分）执行如图程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．68．（5分）在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣9．（5分）如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．8110．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．11．（5分）已知O为坐标原点,F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点．P为C上一点,且PF⊥x轴,过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k 中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个二,填空题：本大题共4小题,每小题5分.13．（5分）若x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．15．（5分）已知f（x）为偶函数,当x＜0时,f（x）=ln（﹣x）+3x,则曲线y=f（x）在点（1,﹣3）处的切线方程是．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=．三,解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n,其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列,并求其通项公式.（2）若S5=,求λ．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（℃）由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以证明.（℃）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01）,预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32,t i y i=40.17,=0.55,≈2.646．参考公式：相关系数r=.回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=,=﹣．19．（12分）如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB.（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点．（℃）若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ.（℃）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）,其中a＞0,记|f（x）|的最大值为A．（℃）求f′（x）.（℃）求A.（℃）证明：|f′（x）|≤2A．请考生在第22-24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）如图,⊙O中的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小.（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明：OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为（α为参数）,以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程.（2）设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时,求不等式f（x）≤6的解集.（2）设函数g（x）=|2x﹣1|,当x∈R时,f（x）+g（x）≥3,求a的取值范围．参考答案一,选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0},T={x|x＞0},则S∩T=（）A．[2,3]B．（﹣∞,2]∪[3,+∞）C．[3,+∞）D．（0,2]∪[3,+∞）【考点】1E：交集及其运算．【专题】37：集合思想,4O：定义法,5J：集合．【分析】求出S中不等式的解集确定出S,找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3,即S=（﹣∞,2]∪[3,+∞）.∵T=（0,+∞）.∴S∩T=（0,2]∪[3,+∞）.故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）若z=1+2i,则=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题,29：规律型,35：转化思想,5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法运算法则,化简求解即可．【解答】解：z=1+2i,则===i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算,考查计算能力．3．（5分）已知向量=（,）,=（,）,则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题,41：向量法,49：综合法,5A：平面向量及应用．【分析】根据向量的坐标便可求出,及的值,从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值,根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：,.∴.又0°≤∠ABC≤180°.∴∠ABC=30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算,根据向量坐标求向量长度的方法,以及向量夹角的余弦公式,向量夹角的范围,已知三角函数值求角．4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图,图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃,下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】31：数形结合,4A：数学模型法,5M：推理和证明．【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上,正确B．七月的平均温差大约在10°左右,一月的平均温差在5°左右,故七月的平均温差比一月的平均温差大,正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同,都为10°,正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7,8两个月,故D错误.故选：D．【点评】本题主要考查推理和证明的应用,根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图,利用图象法进行判断是解决本题的关键．5．（5分）若tanα=,则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题,35：转化思想,4R：转化法,56：三角函数的求值．【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α）,再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=.∴cos2α+2sin2α====．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值,“弦”化“切”是关键,是基础题．6．（5分）已知a=,b=,c=,则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【考点】4Y：幂函数的单调性,奇偶性及其应用．【专题】35：转化思想,4R：转化法,51：函数的性质及应用．【分析】b==,c==,结合幂函数的单调性,可比较a,b,c,进而得到答案．【解答】解：∵a==.b=.c==.综上可得：b＜a＜c.故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性,幂函数的单调性,是函数图象和性质的综合应用,难度中档．7．（5分）执行如图程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．6【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题,27：图表型,4B：试验法,5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行程序,根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a,b,s,n的值,当s=20时满足条件s ＞16,退出循环,输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序,可得a=4,b=6,n=0,s=0执行循环体,a=2,b=4,a=6,s=6,n=1不满足条件s＞16,执行循环体,a=﹣2,b=6,a=4,s=10,n=2不满足条件s＞16,执行循环体,a=2,b=4,a=6,s=16,n=3不满足条件s＞16,执行循环体,a=﹣2,b=6,a=4,s=20,n=4满足条件s＞16,退出循环,输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的a,b,s的值是解题的关键,属于基础题．8．（5分）在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】35：转化思想,44：数形结合法,58：解三角形．【分析】作出图形,令∠DAC=θ,依题意,可求得cosθ===,sinθ=,利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设△ABC中角A,B,C,对应的边分别为a,b,c,AD⊥BC于D,令∠DAC=θ.∵在△ABC中,B=,BC边上的高AD=h=BC= a.∴BD=AD=a,CD= a.在Rt△ADC中,cosθ===,故sinθ=.∴cosA=cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=×﹣×=﹣．故选：C．【点评】本题考查解三角形中,作出图形,令∠DAC=θ,利用两角和的余弦求cosA是关键,也是亮点,属于中档题．9．（5分）如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．81【考点】L!：由三视图求面积,体积．【专题】11：计算题,5F：空间位置关系与距离,5Q：立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱,进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱.其底面面积为：3×6=18.侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18.故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体的形状是解答的关键．10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．【考点】LF：棱柱,棱锥,棱台的体积．【专题】11：计算题,5F：空间位置关系与距离,5Q：立体几何．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为,代入球的体积公式,可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC,AB=6,BC=8.∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2.又由AA1=3.故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为.此时V的最大值=.故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征,根据已知求出球的半径,是解答的关键．11．（5分）已知O为坐标原点,F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点．P为C上一点,且PF⊥x轴,过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想,48：分析法,5D：圆锥曲线的定义,性质与方程．【分析】由题意可得F,A,B的坐标,设出直线AE的方程为y=k（x+a）,分别令x=﹣c,x=0,可得M,E的坐标,再由中点坐标公式可得H的坐标,运用三点共线的条件：斜率相等,结合离心率公式,即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（﹣c,0）,A（﹣a,0）,B（a,0）.设直线AE的方程为y=k（x+a）.令x=﹣c,可得M（﹣c,k（a﹣c））,令x=0,可得E（0,ka）.设OE的中点为H,可得H（0,）.由B,H,M三点共线,可得k BH=k BM.即为=.化简可得=,即为a=3c.可得e==．另解：由△AMF∽△AEO.可得=.由△BOH∽△BFM.可得==.即有=即a=3c.可得e==．故选：A．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,注意运用椭圆的方程和性质,以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等,考查化简整理的运算能力,属于中档题．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k 中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【考点】8B：数列的应用．【专题】16：压轴题,23：新定义,38：对应思想,4B：试验法．【分析】由新定义可得,“规范01数列”有偶数项2m项,且所含0与1的个数相等,首项为0,末项为1,当m=4时,数列中有四个0和四个1,然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知,“规范01数列”有偶数项2m项,且所含0与1的个数相等,首项为0,末项为1,若m=4,说明数列有8项,满足条件的数列有：0,0,0,0,1,1,1,1, 0,0,0,1,0,1,1,1, 0,0,0,1,1,0,1,1, 0,0,0,1,1,1,0,1, 0,0,1,0,0,1,1,1.0,0,1,0,1,0,1,1, 0,0,1,0,1,1,0,1, 0,0,1,1,0,1,0,1, 0,0,1,1,0,0,1,1, 0,1,0,0,0,1,1,1.0,1,0,0,1,0,1,1, 0,1,0,0,1,1,0,1, 0,1,0,1,0,0,1,1, 0,1,0,1,0,1,0,1．共14个．故选：C．【点评】本题是新定义题,考查数列的应用,关键是对题意的理解,枚举时做到不重不漏,是压轴题．二,填空题：本大题共4小题,每小题5分.13．（5分）若x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域,然后将目标函数变形为直线的斜截式,求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分,当直线经过D点时,z最大.由得D（1,）.所以z=x+y的最大值为1+.故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划,一般步骤是：①画出平面区域,②分析目标函数,确定求最值的条件．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】33：函数思想,4R：转化法,57：三角函数的图像与性质．【分析】令f（x）=sinx+cosx=2sin（x+）,则f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）,依题意可得2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣）,由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）,可得答案．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+）,y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣）.∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0）.令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣）.则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）.即φ=﹣2kπ（k∈Z）.当k=0时,正数φmin=.故答案为：．【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0,ω＞0）的图象,得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是关键,也是难点,属于中档题．15．（5分）已知f（x）为偶函数,当x＜0时,f（x）=ln（﹣x）+3x,则曲线y=f（x）在点（1,﹣3）处的切线方程是2x+y+1=0．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】34：方程思想,51：函数的性质及应用,52：导数的概念及应用．【分析】由偶函数的定义,可得f（﹣x）=f（x）,即有x＞0时,f（x）=lnx﹣3x,求出导数,求得切线的斜率,由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）为偶函数,可得f（﹣x）=f（x）.当x＜0时,f（x）=ln（﹣x）+3x,即有x＞0时,f（x）=lnx﹣3x,f′（x）=﹣3.可得f（1）=ln1﹣3=﹣3,f′（1）=1﹣3=﹣2.则曲线y=f（x）在点（1,﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1）.即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程,同时考查函数的奇偶性的定义和运用,考查运算能力,属于中档题．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=4．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题,35：转化思想,49：综合法,5B：直线与圆．【分析】先求出m,可得直线l的倾斜角为30°,再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：由题意,|AB|=2,∴圆心到直线的距离d=3.∴=3.∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°.∵过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.∴|CD|==4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查弦长的计算,考查学生的计算能力,比较基础．三,解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n,其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列,并求其通项公式.（2）若S5=,求λ．【考点】87：等比数列的性质,8H：数列递推式．【专题】34：方程思想,4R：转化法,54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推,结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：（1）∵S n=1+λa n,λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=1+λa n﹣1﹣λa n﹣1=λa n﹣λa n﹣1.即（λ﹣1）a n=λa n﹣1.∵λ≠0,a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1.即=,（n≥2）.∴{a n}是等比数列,公比q=.当n=1时,S1=1+λa1=a1.即a1=.∴a n=•（）n﹣1．（2）若S5=.则若S5=1+λ[•（）4]=.即（）5=﹣1=﹣.则=﹣,得λ=﹣1．【点评】本题主要考查数列递推关系的应用,根据n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（℃）由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以证明.（℃）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01）,预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32,t i y i=40.17,=0.55,≈2.646．参考公式：相关系数r=.回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=,=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题,35：转化思想,5I：概率与统计．【分析】（1）由折线图看出,y与t之间存在较强的正相关关系,将已知数据代入相关系数方程,可得答案.（2）根据已知中的数据,求出回归系数,可得回归方程,2016年对应的t值为9,代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（1）由折线图看出,y与t之间存在较强的正相关关系,理由如下：∵r==≈≈≈0.993.∵0.993＞0.75.故y与t之间存在较强的正相关关系.（2）==≈≈0.103.=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92.∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92.2016年对应的t值为9.故=0.10×9+0.92=1.82.预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程,回归分析,计算量比较大,计算时要细心．19．（12分）如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB.（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【考点】LS：直线与平面平行,MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题,35：转化思想,44：数形结合法,5F：空间位置关系与距离,5G：空间角．【分析】（1）法一,取PB中点G,连接AG,NG,由三角形的中位线定理可得NG∥BC,且NG=,再由已知得AM∥BC,且AM=BC,得到NG∥AM,且NG=AM,说明四边形AMNG为平行四边形,可得NM∥AG,由线面平行的判定得到MN∥平面PAB.法二,证明MN∥平面PAB,转化为证明平面NEM∥平面PAB,在△PAC中,过N作NE⊥AC,垂足为E,连接ME,由已知PA⊥底面ABCD,可得PA∥NE,通过求解直角三角形得到ME∥AB,由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB,则结论得证.（2）连接CM,证得CM⊥AD,进一步得到平面PNM⊥平面PAD,在平面PAD内,过A作AF⊥PM,交PM于F,连接NF,则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一,如图,取PB中点G,连接AG,NG.∵N为PC的中点.∴NG∥BC,且NG=.又AM=,BC=4,且AD∥BC.∴AM∥BC,且AM=BC.则NG∥AM,且NG=AM.∴四边形AMNG为平行四边形,则NM∥AG.∵AG⊂平面PAB,NM⊄平面PAB.∴MN∥平面PAB.法二.在△PAC中,过N作NE⊥AC,垂足为E,连接ME.在△ABC中,由已知AB=AC=3,BC=4,得cos∠ACB=.∵AD∥BC.∴cos,则sin∠EAM=.在△EAM中.∵AM=,AE=.由余弦定理得：EM==.∴cos∠AEM=.而在△ABC中,cos∠BAC=.∴cos∠AEM=cos∠BAC,即∠AEM=∠BAC.∴AB∥EM,则EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD,得PA⊥AC,又NE⊥AC.∴NE∥PA,则NE∥平面PAB．∵NE∩EM=E.∴平面NEM∥平面PAB,则MN∥平面PAB.（2）解：在△AMC中,由AM=2,AC=3,cos∠MAC=,得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=．∴AM2+MC2=AC2,则AM⊥MC.∵PA⊥底面ABCD,PA⊂平面PAD.∴平面ABCD⊥平面PAD,且平面ABCD∩平面PAD=AD.∴CM⊥平面PAD,则平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD内,过A作AF⊥PM,交PM于F,连接NF,则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．在Rt△PAC中,由N是PC的中点,得AN==.在Rt△PAM中,由PA•AM=PM•AF,得AF=.∴sin．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定,考查直线与平面所成角的求法,考查数学转化思想方法,考查了空间想象能力和计算能力,是中档题．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点．（℃）若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ.（℃）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程．【考点】J3：轨迹方程,K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题,35：转化思想,49：综合法,5D：圆锥曲线的定义,性质与方程．【分析】（℃）连接RF,PF,利用等角的余角相等,证明∠PRA=∠PQF,即可证明AR∥FQ.（℃）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求出N的坐标,利用点差法求AB中点的轨迹方程．【解答】（℃）证明：连接RF,PF.由AP=AF,BQ=BF及AP∥BQ,得∠AFP+∠BFQ=90°.∴∠PFQ=90°.∵R是PQ的中点.∴RF=RP=RQ.∴△PAR≌△FAR.∴∠PAR=∠FAR,∠PRA=∠FRA.∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR.∴∠FQB=∠PAR.∴∠PRA=∠PQF.∴AR∥FQ．（℃）设A（x1,y1）,B（x2,y2）.F（,0）,准线为x=﹣.S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|.设直线AB与x轴交点为N.=|FN||y1﹣y2|.∴S△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍.∴2|FN|=1,∴x N=1,即N（1,0）．设AB中点为M（x,y）,由得=2（x1﹣x2）.又=.∴=,即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程与性质,考查轨迹方程,考查学生的计算能力,属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）,其中a＞0,记|f（x）|的最大值为A．（℃）求f′（x）.（℃）求A.（℃）证明：|f′（x）|≤2A．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论,35：转化思想,4J：换元法,51：函数的性质及应用,53：导数的综合应用,56：三角函数的求值．【分析】（℃）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）.（℃）讨论a的取值,利用分类讨论的思想方法,结合换元法,以及一元二次函数的最值的性质进行求解.（℃）由（I）,结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A．【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．（II）当a≥1时,|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）|（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）（|cosx|+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0）,因此A=3a﹣2．当0＜a＜1时,f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1.令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1.则A是|g（t）|在[﹣1,1]上的最大值,g（﹣1）=a,g（1）=3a﹣2.且当t=时,g（t）取得极小值,极小值为g（）=﹣﹣1=﹣,（二次函数在对称轴处取得极值）令﹣1＜＜1,得a＜（舍）或a＞．①当0＜a≤时,g（t）在（﹣1,1）内无极值点,|g（﹣1）|=a,|g（1）|=2﹣3a,|g（﹣1）|＜|g（1）|.∴A=2﹣3a.②当＜a＜1时,由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0,得g（﹣1）＞g（1）＞g（）.又|g（）|﹣|g（﹣1）|=＞0.∴A=|g（）|=.综上,A=．（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|.当0＜a≤时,|f′（x）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A.当＜a＜1时,A==++＞1.∴|f′（x）|≤1+a≤2A.当a≥1时,|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A.综上：|f′（x）|≤2A．【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用,求函数的导数,以及换元法,转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强,难度较大．请考生在第22-24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）如图,⊙O中的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小.（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明：OG⊥CD．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】35：转化思想,49：综合法,5M：推理和证明．【分析】（1）连接PA,PB,BC,设∠PEB=∠1,∠PCB=∠2,∠ABC=∠3,∠PBA=∠4,∠PAB=∠5,运用圆的性质和四点共圆的判断,可得E,C,D,F共圆,再由圆内接四边形的性质,即可得到所求∠PCD的度数.（2）运用圆的定义和E,C,D,F共圆,可得G为圆心,G在CD的中垂线上,即可得证．【解答】（1）解：连接PB,BC.设∠PEB=∠1,∠PCB=∠2,∠ABC=∠3.∠PBA=∠4,∠PAB=∠5.由⊙O中的中点为P,可得∠4=∠5.在△EBC中,∠1=∠2+∠3.又∠D=∠3+∠4,∠2=∠5.即有∠2=∠4,则∠D=∠1.则四点E,C,D,F共圆.可得∠EFD+∠PCD=180°.由∠PFB=∠EFD=2∠PCD.即有3∠PCD=180°.可得∠PCD=60°.（2）证明：由C,D,E,F共圆.由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心,即有GC=GD.则G在CD的中垂线,又CD为圆G的弦.则OG⊥CD．【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断,以及圆的垂径定理的运用,考查推理能力,属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为（α为参数）,以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程.（2）设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程,QH：参数方程化成普通方程．【专题】34：方程思想,48：分析法,5D：圆锥曲线的定义,性质与方程,5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系,即可得到C1的普通方程,运用x=ρcosθ,y=ρsinθ,以及两角和的正弦公式,化简可得C2的直角坐标方程.（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时,|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0,代入椭圆方程,运用判别式为0,求得t,再由平行线的距离公式,可得|PQ|的最小值,解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα,sinα）,由点到直线的距离公式,结合辅助角公式和正弦函数的值域,即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数）.移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1.即有椭圆C1：+y2=1.曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2.即有ρ（sinθ+cosθ）=2.由x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得x+y﹣4=0.即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0.（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时.|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0.联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0.由直线与椭圆相切,可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0.解得t=±2.显然t=﹣2时,|PQ|取得最小值.即有|PQ|==.此时4x2﹣12x+9=0,解得x=.即为P（,）．另解：设P（cosα,sinα）.由P到直线的距离为d==.当sin（α+）=1时,|PQ|的最小值为.此时可取α=,即有P（,）．【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化,极坐标和直角坐标的互化,同时考查直线与椭圆的位置关系,主要是相切,考查化简整理的运算能力,属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时,求不等式f（x）≤6的解集.（2）设函数g（x）=|2x﹣1|,当x∈R时,f（x）+g（x）≥3,求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题,35：转化思想,49：综合法,59：不等式的解法及应用．【分析】（1）当a=2时,由已知得|2x﹣2|+2≤6,由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3,得|x﹣|+|x﹣|≥,由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时,f（x）=|2x﹣2|+2.∵f（x）≤6,∴|2x﹣2|+2≤6.|2x﹣2|≤4,|x﹣1|≤2.∴﹣2≤x﹣1≤2.解得﹣1≤x≤3.∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|.∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3.2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3.|x﹣|+|x﹣|≥.当a≥3时,成立.当a＜3时,|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0.∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2.解得2≤a＜3.∴a的取值范围是[2,+∞）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法,考查实数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意不等式性质的合理运用．。
新课标全国III卷理科数学2016-2020年高考分析数列、框图、圆锥曲线小题
新课标全国III卷理科数学2016-2020年高考分析数列、框图、圆锥曲线小题一、数列小题：全国3理数的数列解答题和三角函数解答题每年只考一个，考解答题时一般不再考小题，不考解答题时，就考两个小题，交错考法不一定分奇数年或偶数年．（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,ka a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有 （A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个解析：由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：二、框图小题：5年3考。
考含有循环体的较多，都比较简单，一般与数列求和联系较多．10a =81a =题目年份答案2019年9．执行右边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值为A．4122-B．5122-C．6122-D．7122-9．C2017 7．执行右图的程序框图，为使输出S的值小于91，D 则输入的正整数N的最小值为A．5B．4C．3D．22016B年（7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（A）3（B）4（C）5（D）6三、圆锥曲线小题：5年11考。
太重要了！！全国卷注重考查基础知识和基本概念，综合一点的小题侧重考查圆锥曲线与直线位置关系，多数题目比较单一,一般一个容易的，一个较难的．年份题目答案5a=，22PF-= (1PF∴-解得（16）已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则_____________. 解析：因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．l 330mx y m ++-=2212x y +=,A B ,A B l x,C D||CD =||23AB =23(0,0)330mx y m ++-=22||()32AB R -=2|33|31m m -=+33m =-l 3233y x =+l 30︒ABDC ||||4cos30AB CD ==︒。
(完整word版)2016全国三卷理科数学高考真题及答案.docx
2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .（1）设集合 S= S x P(x2)(x3)0 ,T x x 0，则 S I T=(A) [2 ，3](B) （-， 2]U [3,+）(C) [3,+ ）(D) （0， 2] U[3,+ ）（2）若 z=1+2i ，则4izz1(A)1(B)-1(C) i(D)-iuuv( 1uuuv(3,1),（3）已知向量BA, 2 ) , BC则 ABC=2222(A)30 0(B)450(C) 60 0(D)120 0（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C， B 点表示四月的平均最低气温约为50C。
下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同(D)平均气温高于 200C 的月份有 5 个（5）若tan3，则 cos22sin 26444816(B)(C) 1(A)25(D)2525 431（6）已知a23， b44， c253，则（A ）b a c（ B）a b c （C） b c a （D） c a b（7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4， b=6，那么输出的n=（A ） 3（B ） 4（C） 5（D ） 6（8）在 △ABC 中，B = πBC1cos A =，边上的高等于则43 BC ,（ A ）3 10（ B ）101010（ C ） -10 （ D ） - 3 1010 10 (9) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ） 18 36 5（B ） 54 18 5（C ） 90 （D ） 81(10) 在封闭的直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 内有一个体积为 V 的球，若AB BC ， AB=6 ，BC=8， AA 1 =3，则 V 的最大值是（A ） 4π （ B ）9（ C ） 6π（D ）3223x 2 y 2 1(a b 0) 的左焦点， A ， B 分别为 C 的左，右顶点 .P 为（11）已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C ：b 2 a 2C 上一点，且 PF ⊥ x 轴 .过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则C 的离心率为（A ）1（ B ）1（ C ）2（ D ）33 2 3 4（12）定义 “规范 01 数列 ”{a n } 如下： { a n } 共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对任意 k 2m ， a 1 , a 2, L , a k 中 0 的个数不少于 1 的个数 .若 m=4，则不同的“规范 01 数列”共有 （A ） 18 个（ B ） 16 个（C ） 14 个（D ） 12 个二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分（13）若 x ， y 满足约束条件 错误 ! 未找到引用源。
2016高考全国3卷理科数学解析版
0 0
(A) 各月的平均最低气温都在 0 C 以上 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 4．答案：D
4i z z 1
(B) -1 (C) i (D)-i
4i 4i i z z 1 (1 2i )(1 2i ) 1
评析：本题主要考查复数的基本概念和加减乘除基本运算. （3）已知向量 BA （ ， ）， BC （ (A)300 3.答案:A (B) 450
0
(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (D)平均气温高于 20 C 的月份有 5 个
0
解析：由图可知平均气温高于 20 C 的月份至多有 3 个，故 D 不正确. 评析：本题考查学生识别统计图形，分析图形的能力. （5）若 tan (A)
0
3 2 ，则 cos 2 sin 2 4
4 3 2 3 2 5 1 3 2 3 2 3
（B） a b c
（C） b c a
（D） c a b
（A）3 7.答案：B
（B）4
（C）5
（D）6
解析：第一次循环，得 a 2, b 4, a 6, s 6, n 1; 第二次循环，得 a 2, b 6, a 4, s 10, n 2; 第三次循环，得 a 2, b 4, a 6, s 16, n 3; 第四次循环，得 a 2, b 6, a 4, s 20 16, n 4 ，退出循环，输出 n 4. 评析：本题主要考查了程序框图的基础知识． （8）在 △ABC 中， B = （A） 8.答案：C 解析：设 BC 边上的高线为 AD ，则 BC 3 AD ，将三角形三边都用 AD 表示，得
2016全国高考理科数学试题与答案-全国卷3
绝密★启封并使用完毕前试题类型：2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合S ={}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=I > ，则ST =(A) [2，3] (B)（-∞ ，2] [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2] [3,+∞）（2）若z=1+2i ，则41izz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i（3）已知向量1(2BA = ,31(),2BC = 则∠ABC= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。
下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200C 的月份有5个 （5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625（6）已知432a =，344b =，1325c =，则（A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ,则cos A（A ）310 （B ）10（C ）10（D ）310(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ）185+（B ）54185+ （C ）90 （D ）81 (10)在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是 （A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 （A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）若x ，y 满足约束条件 则z=x+y 的最大值为_____________.（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。
2016年高考新课标Ⅲ卷理科数学 【答案加解析】
绝密★启封并使用完毕前试题类型：2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合S ={}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=I >P ，则S I T =(A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） （2）若z=1+2i ，则41izz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i （3）已知向量12(,)22BA =uu v,31(,),22BC =uu u v 则∠ABC= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。
下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200C 的月份有5个 （5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625（6）已知432a =，344b =，1325c =，则（A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A = （A ）31010 （B ）1010 （C ）1010- （D ）31010-(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ）18365+ （B ）54185+ （C ）90 （D ）81(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是（A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 （A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,ka a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有 （A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）若x ，y 满足约束条件错误！未找到引用源。
2020年高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅲ卷)及答案
绝密★启用前2020年高考数学（理科）（全国新课标Ⅲ）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=(){}*,,,x y x y N y x ∈≥，B=(){},8x y x y +=，则A B 中元素个数为（）A.2B.3C.4D.62.复数113i -的虚部是（）A.310- B.110-C.110D.3103.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1p ，2p ，3p ，4p ，且411ii p==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A.14230.1,0.4p p p p ====B ．14230.4,0.1p p p p ====C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531t K I t e--=+，其中K 为的最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ln19≈3）（）A.60B.63C.66D.695.设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（）A.（41，0） B.（12，0） C.（1，0） D.（2，0）6.已知向量，a b 满足5||=a ，6||=b ，6-=⋅b a ，则>+<b a a ，cos =（）A.3135-B.1935-C.1735D.19357.在△ABC 中，2cos =3C ，4AC =，3BC =，则cos B =（）A.91 B.31 C.21 D.328.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.6+42B.442+C.623+D.423+9.已知7)4tan(tan 2=--πθθ，则tan θ=（）A.﹣2B.﹣1C.1D.210.若直线l 与曲线y x =和圆2215x y +=都相切，则l 的方程为（）A.12+=x yB.212+=x y C.121+=x y D.2121+=x y11.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上的一点，且12F P F P ⊥.若△12PF F 的面积为4，则a =（）A ．1B ．2C ．4D ．812.已知5458<，45138<，设，，，8log 5log 3log 1385===c b a 则（）A.cb a ＜＜ B.ca b ＜＜ C.ac b ＜＜ D.ba c ＜＜二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
新课标全国III卷理科数学2016-2020年高考分析函数、框图、排列组合二项式定理小题
新课标全国III卷理科数学2016-2020年高考分析函数、框图、排列组合二项式定理小题
一、函数小题：
5年15考，可见其重要性！主要考查基本初等函数图象和性质，包括：定义域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、平移、导数、切线、定积分（理科）、零点等，分段函数是重要载体！函数已经不是值得学生“恐惧”的了吧？
1=
+19=，
2- ⎝x π⎫
++
7．函数3
222
x x
x y -=+在[6,6]-的图象大致为
11．设是定义域为R 的偶函数，且在单调递减，
7．函数的图像大致为
2y 0,A B C D
x =>解析：根据时，=-1+1+2可以排除，而图象显然中间不会“水平”，排除，选
422y x x =-++
0.30.30.2log 2log 0.2log 2
=<0.30.30.31
log 0.2log 2log 0.4log b
=+=<)+∞
--
x
二、排列组合二项式定理：
5年4考，在全国各卷中二项式定理出现较多，这一点很
合理，因为排列组合可以在概率统计和分布列中考查．排列组合
考题的难度不大，无需投入过多时间（无底洞），而且排列组合
难题无数，只要处理好分配问题及掌握好分类讨论思想即可！二
项式定理“通项问题”出现较多.。
新课标全国III卷理科数学2016-2020年高考分析三角函数和立体几何大题
新课标全国III卷理科数学2016-2020年高考分析三角函数和立体几何大题一、三角函数大题和数列大题：在全国3卷中每年只考一个类型，交错考法不分奇偶数年．不考的那一个一般用两道小题代替．三角函数大题侧重于考解三角形，重点考查正、余弦定理，小题中侧重于考查三角函数的图象和性质．数列一般考求通项、求和．数列应用题已经多年不考了，总体来说数列的地位已经降低，题目难度小．交错考法不一定分奇数年或偶数年．(2n++(22⨯++-⋅n(12)2nsin6，所以ABD ∆（17）（12分）已知数列的前n 项和，，其中λ0（I ）证明是等比数列，并求其通项公式 （II ）若，求λ解：（Ⅰ）由题意得1111a S a λ+==，故1≠λ，λ-=111a ，01≠a . 由n n a S λ+=1，111+++=n n a S λ得n n n a a a λλ-=++11，即n n a a λλ=-+)1(1.由01≠a ，0≠λ得0≠n a ，所以11-=+λλn n a a . 因此}{n a 是首项为λ-11，公比为1-λλ的等比数列，于是1)1(11---=n n a λλλ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S )1(1--=λλ，由32315=S 得3231)1(15=--λλ，即=-5)1(λλ321， 解得1λ=-．二、立体几何大题：5年5考，每年1题．第1问多为证明平行垂直问题，第2问多为计算问题，求空间角较多；特点：证明中一般要用到初中平面几何的重要定理．平行的传递性考查较多． 19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）427. 【解析】【分析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --余弦值，进而可求得二面角1A EF A --的正弦值.【详解】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，在长方体1111ABCD A B C D -中，//AD BC 且AD BC =，11//BB CC 且11BB CC =，112C G CG =，12BF FB =，112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =，的120z =取()1,1,1-，20z =，取()1,4,2=，37cos ,7321m n m n m n⋅<>===⨯⋅， 设二面角1A EF A --的平面角为θ，则7cos 7θ=，242sin 1cos 7θθ∴=-=. 因此，二面角1A EF A --的正弦值为427. 【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19．（12分） 图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE ＝BF ＝2，∠FBC ＝60°．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2． （1）证明：图2中的A ，C ，D ，G 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；（2）求图2中的二面角B －CG －A 的大小．19．（12分）（1）由已知AD ∥BE ，CG ∥BE ，所以AD ∥CG ， 故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，D ，G 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ． 又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ． （2）作EH ⊥BC ，垂足为H ，因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ，所以EH ⊥平面ABC ．由已知，菱形BFGC 的边长为2，∠EBC ＝60°，可求得1BH =，．以H 为坐标原点，HC 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，则(1,1,0)A -，(1,0,0)C ，3EH =所以可取19．（12分）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．解：（1）由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .因为BC ⊥CD ,BC 平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故BC ⊥DM .因为M 为上异于C ，D 的点,且DC 为直径，所以 DM ⊥CM .又 BC CM =C ,所以DM ⊥平面BMC .而DM 平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC .（2）以D 为坐标原点,的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz .ABCD CD M CD C D AMD ⊥BMC M ABC -MAB MCD ⊂CD ⊂DA当三棱锥M −ABC 体积最大时，M 为的中点. 由题设得，设是平面MAB 的法向量,则即 可取.是平面MCD 的法向量,因此， ， 所以面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值是. CD (0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,1,1)D A B C M (2,1,1),(0,2,0),(2,0,0)AM AB DA =-==(,,)x y z =n 0,0.AM AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 20,20.x y z y -++=⎧⎨=⎩(1,0,2)=n DA 5cos ,5||||DA DA DA ⋅==n n n 25sin ,5DA =n 255ACD⊥的中点O(1,0,0),(0,3,0),B1,设(,,)n x y z =是平面DAE 的法向量，则7|||n m = AE C -的余弦值为2016年 （19）（12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，PA⊥地面ABCD ，AD ∥BC ，AB=AD=AC =3，PA=BC =4，M为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点.（I ）证明MN ∥平面PAB ;（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.解：（Ⅰ）由已知得232==AD AM ，取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，221==BC TN . 又BC AD //，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //.因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB . （Ⅱ）取BC 的中点E ，连结AE ，由AC AB =得BC AE ⊥，从而AD AE ⊥，且。
专题03 导数及其应用 解析版(2016-2020)高考数学(理)真题分项详解
专题03 导数及其应用【2020年】1.（2020·新课标Ⅰ）函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A. 21y x =-- B. 21y x =-+ C. 23y x =- D. 21y x =+【答案】B 【解析】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 2.（2020·新课标Ⅲ）若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1 B. y =2x +12 C. y =12x +1 D. y =12x +12【答案】D【解析】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +==， 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 【2019年】1．（2019·全国Ⅲ卷】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,x y a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．2．（2019·天津卷）已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]0,eD ．[]1,e【答案】C【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立，令2()1x g x x =-，则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x x x x -----+=-=-=----112201x x ⎛⎫⎛⎫=--+-≤-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 当111x x-=-，即0x =时取等号， ∴max 2()0a g x ≥=，则0a >.当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln xa x≤恒成立， 令()ln xh x x=，则2ln 1()(ln )x h x x -'=，当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =，∴min ()e a h x ≤=，综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 故选C.3．（2019浙江卷）已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ，则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b x 3（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增， 令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：∴0且，解得b ＜0，1﹣a ＞0，b （a +1）3，则a >–1，b <0. 故选C ．4．（2019·全国Ⅰ卷）曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x x y x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=． 5．（2019·江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ▲ .【答案】4 【解析】由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-， 设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0004(,)x x x +，由20411x -=-得02x =02x =-∴曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=4=.故答案为4．6．（2019·江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ . 【答案】(e, 1)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标. 设点()00,A x y ，则00ln y x =. 又1y x'=， 当0x x =时，01y x '=， 则曲线ln y x =在点A 处的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 将点()e,1--代入，得00e1ln 1x x ---=-， 即00ln e x x =，考察函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()ln 1H x x '=+，当1x >时，()()0,H x H x '>单调递增， 注意到()e e H =，故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =， 此时01y =，故点A 的坐标为()e,1.7．（2019·北京卷）设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0x xa -++=对任意的x 恒成立， 则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x x f x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立， 又2e 0x >，则0a ≤， 即实数a 的取值范围是(],0-∞. 【2018年】1．（2018·全国Ⅰ卷）设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =【答案】D 【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得.故选D.2．（2018·全国Ⅱ卷）函数()2e e x xf x x --=的图像大致为【答案】B【解析】()()()2e e 0,,x xx f x f x f x x--≠-==-∴为奇函数，舍去A ； ()11e e 0f -=->，∴舍去D ； ()()()()()243e e e e 22e 2e ,xx x x x x x xx x f x x x ---+---++=='2x ∴>时，()0f x '>，()f x 单调递增，舍去C. 因此选B.3．（2018·全国Ⅲ卷）函数422y x x =-++的图像大致为【答案】D【解析】函数图象过定点(0,2)，排除A ，B ；令42()2y f x x x ==-++，则32()422(21)f x x x x x '=-+=--，由()0f x '>得22(21)0x x -<，得22x <-或202x <<，此时函数单调递增， 由()0f x '<得22(21)0x x ->，得22x >或202x -<<，此时函数单调递减，排除C.故选D.4．（2018·全国Ⅱ卷）曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________． 【答案】【解析】则所求的切线方程为.5．（2018·全国Ⅲ卷）曲线()1e xy ax =+在点()0,1处的切线的斜率为2-，则a =________． 【答案】-3【解析】()e 1e xxy a ax =++'，则0|12x y a ='=+=-，所以.6．（2018·全国Ⅰ卷）已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【答案】【解析】，所以当时函数单调递减，当时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ， 函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.7．（2018·江苏卷）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________． 【答案】–3【解析】由()2620f x x ax =-='得0x =或3a x =， 因为函数()f x 在()0,+∞上有且仅有一个零点且()0=1f ，所以0,033a a f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭， 因此32210,33a a a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得3a =.从而函数()f x 在[]1,0-上单调递增，在[]0,1上单调递减，所以()()max 0,f x f =()()(){}()min min 1,11f x f f f =-=-，则()()max min f x f x +=()()0+114 3.f f -=-=- 故答案为-3. 【2017年】1．（2017·全国Ⅲ卷）已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =A ．12- B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】函数()f x 的零点满足()2112e e x x x x a --+-=-+，设()11eex x g x --+=+，则()()21111111e1eeee e x x x x x x g x ---+----'=-=-=，当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.设()22h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点， 即21a -⨯=-，解得12a =.故选C. 2．（2017·全国Ⅱ卷）若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为A ．1-B ．32e -- C ．35e - D ．1【答案】A【解析】由题可得12121()(2)e (1)e [(2)1]e x x x f x x a x ax x a x a ---'=+++-=+++-， 因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)e x f x x x -=--，故21()(2)e x f x x x -'=+-， 令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞上单调递增，在(2,1)-上单调递减， 所以()f x 的极小值为11()(111)e 11f -=--=-.故选A ．3．（2017·浙江卷）函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．11．（2017·江苏卷）已知函数31()2e e x xf x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若(1)f a -+2(2)0f a ≤，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】1[1,]2- 【解析】因为31()2e ()ex x f x x f x x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数， 因为22()32e e 322e e 0x x x x f 'x x x --=-++≥-+⋅，所以函数()f x 在R 上单调递增，又21)02()(f f a a +-≤，即2())2(1a a f f ≤-，所以221a a ≤-，即2120a a +-≤， 解得112a -≤≤， 故实数a 的取值范围为1[1,]2-．12．（2017·山东卷）若函数e ()x f x （e 2.71828=是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -= ②()3x f x -= ③3()f x x = ④2()2f x x =+ 【答案】①④ 【解析】①ee ()e 2()2x x x x f x -=⋅=在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②ee ()e 3()3x x x x f x -=⋅=在R 上单调递减，故()3x f x -=不具有M 性质； ③3e ()e x x f x x =⋅，令3()e x g x x =⋅，则322()e 3e e (3)x x xg x x x x x '=⋅+⋅=+，∴当3x >-时，()0g x '>，当3x <-时，()0g x '<，∴3e ()e x x f x x =⋅在(,3)-∞-上单调递减，在(3,)-+∞上单调递增，故3()f x x =不具有M 性质；④2e ()e (2)x x f x x =+，令2()e (2)x g x x =+，则22()e (2)2e e [(1)1]0x x x g x x x x '=++=++>，则2e ()e (2)x x f x x =+在R 上单调递增，故2()2f x x =+具有M 性质．【2016年】1. 【2016高考山东理数】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）（A ）sin y x =（B ）ln y x = （C ）e x y = （D ）3y x =【答案】A【解析】当sin y x =时，cos y x '=，cos 0cos 1⋅π=-，所以在函数sin y x =图象存在两点，使条件成立，故A 正确；函数3ln ,e ,x y x y y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A 。
2020年高考数学试题解析分项版 专题3 函数与导数 理
2020年高考试题解析数学（理科）分项版03 函数与导数一、选择题:1. (2020年高考山东卷理科5)对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要 【答案】B【解析】由奇函数定义,容易得选项B 正确. 2. (2020年高考山东卷理科9)函数2sin 2xy x =-的图象大致是【答案】C【解析】因为'12cos 2y x =-,所以令'12cos 02y x =->,得1cos 4x <,此时原函数是增函数;令'12cos 02y x =-<,得1cos 4x >,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C 正确.3. (2020年高考山东卷理科10)已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 【答案】B【解析】因为当02x ≤<时, 3()f x x x =-,又因为()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且(0)0f =,所以(6)(4)(2)(0)0f f f f ====,又因为(1)0f =,所以(3)0f =,(5)0f =,故函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为7个,选B.4．(2020年高考安徽卷理科3)设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，则()f 1=（A ）-3 (B) -1 （Ｃ）１ （Ｄ）３6．(2020年高考辽宁卷理科9)设函数f （x ）=⎩⎨⎧≤，＞，，，1x x log -11x 22x -1则满足f （x ）≤2的x 的取值范围是（ ）（A ）[-1，2] （B ）[0，2] （C ）[1，+∞） （D ）[0，+∞） 答案： D解析：不等式等价于11,22xx -≤⎧⎨≤⎩或21,1log 2,x x >⎧⎨-≤⎩解不等式组，可得01x ≤≤或1x >，即0x ≥，故选D.7．(2020年高考辽宁卷理科11)函数f （x ）的定义域为R ，f （-1）=2，对任意x ∈R ，f ’(x)＞2，则f （x ）＞2x+4的解集为（ ）（A ）（-1，1） （B ）（-1，+∞） （C ）（-∞，-1） （D ）（-∞，+∞） 答案： B解析：设g(x)= f(x)-(2x+4), g ’(x)= f ’(x)-2.因为对任意x R ∈，f ’（x ）＞2，所以对任意x R ∈，g ’(x)>0，则函数g(x)在R 上单调递增.又因为g(-1)= f(-1)-(-2+4)=0，故g(x)>0,即f(x)＞2x+4的解集为(-1，+∞).8．(2020年高考浙江卷理科1)设函数2,0,()()4,0.x x f x f x x α-≤⎧==⎨>⎩若,则实数α=（A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2 【答案】 B【解析】：当2042,a a a >=⇒=时,044a a a ≤=⇒=-当时,-，故选B9. (2020年高考全国新课标卷理科2)下列函数中，既是偶函数又是区间),0(+∞上的增函数的是（ ）A 3x y = B 1+=x y C 12+-=x y D xy -=2【答案】B解析：由偶函数可排除A ，再由增函数排除C,D,故选B ；点评：此题考查复合函数的奇偶性和单调性，因为函数x y x y -==和都是偶函数，所以，内层有它们的就是偶函数，但是，它们在),0(+∞的单调性相反，再加上外层函数的单调性就可以确定。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)及答案解析
试题第1页，总21页绝密★启用前2020年全国统一高考数学试题（理科)（新课标Ⅲ)试题副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B ⋂=（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合B 再求出交集. 【详解】21,x ≤∴11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B ⋂=-， 故选A ． 【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. 2．若(1i)2i z +=，则z =（ ） A ．1i -- B ．1+i - C ．1i - D ．1+i【答案】D 【解析】 【分析】根据复数运算法则求解即可.试题第2页，总21页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【详解】()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ． 【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题． 3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解. 【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ． 【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．4．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24【答案】A 【解析】 【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数． 【详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．试题第3页，总21页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C 【解析】 【分析】利用方程思想列出关于1,a q 的方程组，求出1,a q ，再利用通项公式即可求得3a 的值． 【详解】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键。
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2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年全国Ⅲ，理1，5分】设集合()(){}{}|230,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S T =I （ ）（A ）[]2,3 （B ）(][),23,-∞+∞U （C ）[)3,+∞ （D ）(][)0,23,+∞U 【答案】D【解析】由()()230x x --≥解得3x ≥或2x ≤，{}23S x x ∴=≤≥或，所以{}023S T x x x =<≤≥I 或，故选D ． 【点评】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．（2）【2016年全国Ⅲ，理2，5分】若i 12z =+，则4i1zz =-（ ）（A ）1 （B ）1- （C ）i （D ）i - 【答案】C【解析】4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，故选C ． 【点评】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成1-．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．（3）【2016年全国Ⅲ，理3，5分】已知向量13(,)2BA =uu v ，31(,)2BC =uu u v ，则ABC ∠=（ ）（A ）30︒ （B ）45︒ （C ）60︒ （D ）120︒ 【答案】A【解析】由题意，得133132222cos 11BA BC ABC BA BC⨯+⨯⋅∠===⨯u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以30ABC ∠=︒，故选A ． 【点评】（1）平面向量a r 与b r 的数量积为·cos a b a b θr r r r＝，其中θ是a r 与b r 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒；（2）由向量的数量积的性质有||=a a a ·r r r ，·cos a ba b θ=r rr r ，·0a b a b ⇔⊥r r r r ＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．（4）【2016年全国Ⅲ，理4，5分】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ︒，B 点表示四月的平均最低气温约为5C ︒．下面叙述不正确的是（ ）（A ）各月的平均最低气温都在0C ︒以上 （B ）七月的平均温差比一月的平均温差大 （C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D ）平均气温高于20C ︒的月份有5个 【答案】D【解析】由图可知0C ︒均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0C ︒以上，A 正确；由图可在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在5C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20C ︒的月份有3个或2个，所以不正确，故选D ．【点评】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．（5）【2016年全国Ⅲ，理5，5分】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） （A ）6425（B ）4825（C ）1 （D ）1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【点评】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． （6）【2016年全国Ⅲ，理6，5分】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ）（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．【点评】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．（7）【2016年全国Ⅲ，理7，5分】执行下图的程序框图，如果输入的46a b ==，，那么输出的n =（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B【解析】第一循环，得2,4,6,6,1a b a s n =====；第二循环，得2,6,4,10,2a b a s n =-====；第三循环，得2,4,6,16,3a b a s n =====；第四循环，得2,6,4,2016,4a b a s n =-===>=； 退出循环，输出4n =，故选B ．【点评】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．（8）【2016年全国Ⅲ，理8，5分】在ABC D 中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ，则cos A = ( )（A ）310 （B ）10 （C ）10- （D ）310-【答案】C【解析】设BC 边上的高线为AD ，则3BC AD =，所以225AC AD DC AD =+=，2AB AD =．由余弦定理，知22222210cos 2225AB AC BC A AB AC AD AD+-===-⋅⨯⨯，故选C ．【点评】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．（9）【2016年全国Ⅲ，理9，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A ）18365+ （B ）54185+ （C ）90 （D ）81 【答案】B【解析】由三视图该集合体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积236233233554185S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ．【点评】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立 未知量与已知量间的关系，进行求解．（10）【2016年全国Ⅲ，理10，5分】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）（A ）4π （B ）92π （C ）6π （D ）323π【答案】B【解析】要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R πππ==，故选B ．【点评】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．（11）【2016年全国Ⅲ，理11，5分】已知O 为坐标原点，F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF x ⊥轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】A 【解析】由题意设直线l 的方程为()y k x a =+，分别令x c =-与0x =得点()FM k a c =-，OE ka =，由~OBE ∆CBM ∆，得12OE OB FM BC=，即()2ka a k a c a c =-+，整理得13c a =，所以椭圆离心率为1e 3=，故选A ． 【点评】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ba或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．（12）【2016年全国Ⅲ，理12，5分】定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数．若4m =，则不同的“规范01数列”共有（ ） （A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个【答案】C【解析】由题意，得必有0a =，1a =，则具体的排法列表如下：，故选C ．往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2016年高考全国Ⅲ理科数学试题及答案(word解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2016年全国Ⅲ，理1，5分】设集合 ，则（ ）()(){}{}|230,|0S x x x T x x =--≥=>S T =（A ） （B ） （C ）（D ）[]2,3(][),23,-∞+∞ [)3,+∞(][)0,23,+∞ 【答案】D【解析】由解得或，，所以，故选()()230x x --≥3x ≥2x ≤{}23S x x ∴=≤≥或{}023S T x x x =<≤≥ 或D ．【点评】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．（2）【2016年全国Ⅲ，理2，5分】若，则（ ）i 12z =+4i1zz =-（A ）1 （B ） （C ） （D ）1-i i -【答案】C【解析】，故选C ．4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---【点评】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多i 项式的乘法相类似，只是在结果中把换成．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减2i 1-法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．（3）【2016年全国Ⅲ，理3，5分】已知向量，，则（ ）1(2BA =u u v 1)2BC =u u u v ABC ∠=（A ） （B ） （C ） （D ）30︒45︒60︒120︒【答案】A【解析】由题意，得，所以，故选A ．cos BA BC ABC BA BC⋅∠=== 30ABC ∠=︒【点评】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值a b ·cos a b a b θ或θa b 范围：；（2）由向量的数量积的性质有，，因此，0180θ︒≤≤︒|a ·cos a ba bθ=·0a b a b ⇔⊥ 或利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．（4）【2016年全国Ⅲ，理4，5分】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中点表示十月的平均最高气温约为A ，点表示四月的平均最低气温约为．下面叙述不正确的是（ ）15C ︒B 5C ︒（A ）各月的平均最低气温都在以上 （B ）七月的平均温差比一月的平均温差大 0C ︒（C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D ）平均气温高于的月份有5个20C ︒【答案】D【解析】由图可知均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在以上，A 正确；由图0C ︒0C ︒可在七月的平均温差大于，而一月的平均温差小于，所以七月的平均7.5C ︒7.5C ︒温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在，基本相同，5C ︒C 正确；由图可知平均最高气温高于的月份有3个或2个，所以不正确，故选D ．20C ︒【点评】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B．（5）【2016年全国Ⅲ，理5，5分】若，则（）3tan4α=2cos2sin2αα+=（A）（B）（C）1 （D）642548251625【答案】A【解析】由，得或，所以，3tan4α=34sin,cos55αα==34sin,cos55αα=-=-2161264cos2sin24252525αα+=+⨯=故选A．【点评】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．（6）【2016年全国Ⅲ，理6，5分】已知，，，则（）432a=254b=1325c=（A）（B）（C）（D）b a c<<a b c<<b c a<<c a b<<【答案】A【解析】因为，，所以，故选A．422335244a b==>=1223332554c a==>=b a c<<【点评】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．（7）【2016年全国Ⅲ，理7，5分】执行下图的程序框图，如果输入的，那么输出的46a b==或（）n=（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】B【解析】第一循环，得；第二循环，得；2,4,6,6,1a b a s n=====2,6,4,10,2a b a s n=-====第三循环，得；第四循环，得2,4,6,16,3a b a s n=====；2,6,4,2016,4a b a s n=-===>=退出循环，输出，故选B．4n=【点评】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．（8）【2016年全国Ⅲ，理8，5分】在中，，边上的高等于，则 ( )ABCDπ4B=BC13BC cos A=（A（B（C）（D）--【答案】C【解析】设边上的高线为，则，所以，．由余弦定理，BC AD3BC AD=AC==AB=知，故选C．222cos2AB AC BCAAB AC+-===⋅【点评】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．（9）【2016年全国Ⅲ，理9，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A）（B）（C）90 （D）8118+54+【答案】B【解析】由三视图该集合体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积B．2362332354S=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+【点评】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．（10）【2016年全国Ⅲ，理10，5分】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，111ABC A B C -V AB BC ⊥，，，则的最大值是（ ）6AB =8BC =13AA =V （A ） （B ） （C ） （D ）4π92π6π323π【答案】B【解析】要使球的体积最大，必须球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半V R 径取得最大值，此时球的体积为，故选B ．32334439(3322R πππ==【点评】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．（11）【2016年全国Ⅲ，理11，5分】已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分O F 2222:1(0)x y C a b a b+=>>,A B 别为的左，右顶点．为上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于C P C PF x ⊥A l PF M y 点．若直线经过的中点，则的离心率为（ ）E BM OE C （A ） （B ） （C ） （D ）13122334【答案】A【解析】由题意设直线的方程为，分别令与得点，，由l ()y k x a =+x c =-0x =()FM k a c =-OE ka=~OBE ∆，得，即，整理得，所以椭圆离心率为，故选A ．CBM ∆12OE OB FM BC=()2ka ak a c a c=-+13c a =1e 3=【点评】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得的值，进而求得的值；（2）建立,a c e 的齐次等式，求得或转化为关于的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出．,,a b c ba e e （12）【2016年全国Ⅲ，理12，5分】定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为{}n a {}n a 2m m m 1，且对任意，中0的个数不少于1的个数．若，则不同的“规范01数列”共有（2k m ≤12,,,k a a a 4m =）（A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个【答案】C【解析】由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：，故选C ．10a =81a =011101101111001101011001110100110101100101010101【点评】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
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新课标全国III卷理科数学2016-2020年高考分析函数与导数大题
一、函数与导数大题：
函数与导数大题5年5考，每年1题．第1问一般考查导数的几何意义或函数的单调性，第2问考查利用导数讨论函数性质．若是在小题中考查了导数的几何意义，则在大题中一般不再考查．函数载体上：无论文科理科，基本放弃纯3次函数，对数函数很受“器重”！指数函数也较多出现！两种函数也会同时出现！但是，无论怎么考，讨论单调性永远是考查的重点，而且仅仅围绕分类整合思想的考查．在考查分离参数还是考查不分离参数上，命题者会大做文章！分离（分参）还是不分离（部参），的确是一个问题！！一般说来，主要考查不分离问题（部参）．另外，函数与方程的转化也不容忽视，如函数零点的讨论．函数题设问灵活，多数考生做到此题，时间紧，若能分类整合，抢一点分就很好了．还有，灵活性问题：有些情况下函数性质是不用导数就可以“看出”的，如增函数+增函数=增函数，复合函数单调性，显然成立的不等式，放缩法等等，总之，导数是很重要，但是有些解题环节，不要“吊死”在导数上，不要过于按部就班！还有，数形结合有时也是可以较快得到答案的，虽然应为表达不严谨不得满分，但是在时间紧的情况下可以适当使用．
2016年我在考前曾经改编了一个导数为(1)()
x
--的题目，和当
x e a
年全国1高考题的导数(1)(2)
x
-+完全类似.
x e a
值得一提的是2017年（作为山东文科卷的关门题，还是给下一步的导数命题提供了一个新的思路，留下了一些回忆，也列在表中）山东文科的考法，学习了2016全国1的考法，却比全国1卷更上一层，这个导数为()()(sin ).f x x a x x '=--
以上告诉大家，导数题命题关键是如何构造一个导数，使这个导数的讨论层次体现选拔性，达到压轴的目的．
(,
3
+∞单调递增，在)
)单调递增，在
（21）（12分）
设函数f（x）=a cos2x+（a-1）（cos x+1），其中a＞0，记的最大值为A.
（Ⅰ）求f ＇（x ）； （Ⅱ）求A ； （Ⅲ）证明
≤2A .
解：（Ⅰ）'()2sin 2(1)sin f x a x a x =---． （Ⅱ）当1a ≥时，
'|()||sin 2(1)(cos 1)|f x a x a x =+-+2(1)a a ≤+-32a =-(0)f =
因此，32A a =-． ………4分
当01a <<时，将()f x 变形为2()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--．
令2()2(1)1g t at a t =+--，则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值，(1)g a -=，
(1)32g a =-，且当14a
t a
-=
时，()g t 取得极小值，极小值为221(1)61()1488a a a a g a a a
--++=--=-． 令1114a a --<
<，解得13a <-（舍去）
，1
5
a >． （ⅰ）当1
05
a <≤时，()g t 在(1,1)-内无极值点，|(1)|g a -=，|(1)|23g a =-，
|(1)||(1)|g g -<，所以23A a =-．
（ⅱ）当115a <<时，由(1)(1)2(1)0g g a --=->，知1(1)(1)(
)4a
g g g a
-->>． 又1(1)(17)
|()||(1)|048a a a g g a a
--+--=>，所以2161|()|48a a a A g a a -++==．。