第7章平均数差异的显著性检验讲义

第一节 平均数差异显著性检验的基本原理
一、基本原理
两个样本平均数差异的显著性检验与一个 样本平均数显著性检验道理相同。
步骤： 假设检验一般都要从提出零假设和备择假 设开始。 然后，分析在零假设成立的情况下某个统 计量的概率分布的形态。
实验
从两个总体中分别抽取一个样本，计算完 两个样本平均数的差之后，把样本放回各自的 总体，再分别抽取一个样本，计算第二次抽样 的样本平均数之差，然后放回各自的总体，再 做第三次抽样……这种抽样可以一直进行下去。
第一步：提出假设 第二步：选择检验统计量并计算其值 第三步：一般情况下，经常应用的是右侧 F检验。 第四步：统计决断 查附表3 举例（见教材）
两个独立样本的方差齐性检验
例：某市初中毕业班进行了一次数学考试， 为了比较该市毕业班男女生成绩的离散程度， 从男生中抽出一个样本，容量为31，从女考生 中也抽出一个样本，容量为21。男女生成绩的 方差分别为49和36，请问男女生成绩的离散程 度是否一致？
人数 90 100
平均数 80.50 76.00
标准差 11 12
解：1.提出假设
H :
0
1
2
H1 : 1 2
2．计算检验的统计量
Z X1 X2
2
2
S S X1
X2
n1 n2
80.50 76 2.69 112 122 90 100
3．确定检验形式 右侧检验
4．统计决断 Z=2.69>2.33，P<0.01 所以，要拒绝零假设，接受备择假设，由 此得出结论：高年级思想品德教育的效果极显 著地优于中年级。
( X1
X1)2 ( X 2 (n1 1) (n2 1)
X
2 )2
S x1-x2
( X1 X1)2 ( X 2 X 2 )2 n1 n2
n1 n2 2
n1n2
S x1 - x 2
（n1
-1）S
2 X
1Βιβλιοθήκη Baidu
（n2
-1）S
2 X
2
n1 n2 2
n1 n2 n1n2
t
X1 X2
1.F分布是一簇分布，随分子和分母的自 由度不同而有不同的分布曲线（见书P98）。
2.F分布是正偏态的，即一簇正偏态的曲 线（不过，随着分子和分母自由度的增大而逐 渐趋于正态）。
3.F比值都是正的。 4.由于计算F比值时总把大的方差估计值 作为分子，小的作为分母，所以F比值≥1。
F检验的基本步骤：
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
定义：两个样本内个体之间存在着一一对应的 关系，这两个样本称为相关样本。
（1）用同一测验对同一组被试在试验前后进行 两次测验，所获得的两组测验结果是相关样本。
（2）根据某些条件基本相同的原则，把被试一 一匹配成对，然后将每对被试随机地分入实验组和 对照组，对两组被试施行不同的实验处理之后，用 同一测验所获得的测验结果，也是相关样本。
( X1 X 1 )2 ( X 2 X 2 )2 n1 n2
n1 n2 2
n1n2
t
X1 X2
（n1
-
1）S
2 X
1
（n2
-
2）S
2 X
2
n1
n2
n1 n2 2
n1n2
如：
有人在某小学的低年级做了一项英语教学 实验，在实验的后期，分别从男女学生中抽取 一个样本进行统一的英语水平测试，结果如下 表所示。问在这项教学实验中男女生英语测验 成绩有无显著性差异？（假定方差齐性）
-1
27
67
63
4
11
70
68
2
28
64
65
-1
12
65
64
1
29
85
83
2
13
62
60
2
30
81
79
2
14
58
56
2
31
78
75
3
15
73
70
3
32
75
71
4
16
90
88
2
33
67
67
0
17
82
81
1
34
76
73
3
总和
34
76
解：1.提出假设 H0 : D 0, H1 : D 0
2．计算检验的统计量
t=0.954<1.703，P>0.05 所以，要保留零假设，即一年后儿童的智 商没有显著地提高。
第三节 独立样本平均数差异的显著性检验
定义：两个样本内的个体是随机抽取的， 它们之间不存在一一的对应关系，这样的两个 样本称为独立样本。
一、独立大样本平均数差异的显著性检验
两个样本容量
n1
n2
都大于30的独立样本称为独立大样本。
性别
男 女
人数
25 28
平均数
92.2 95.5
样本标准差
13.23 12.46
解：1.提出假设
H 0 : 1 2
H1 : 1 2
2．计算检验的统计量
t
X1 X2
（n1
-1）S
2 X
1
（n2
-
1）S
2 X
2
n1
n2
n1 n2 2
n1n2
92.2 95.5
0.0509
（25-1）13.232 （28-1）12.462 25 28
独立大样本平均数差异的显著性检验所用
的公式是：
S x1-x2
S2 X1
S2 X2
n1 n2
如
假设某小学从某学期刚开学就在中、高年 级各班利用每周班会时间进行思想品德教育， 学期结束时从中、高年级各抽取两个班进行道 德行为测试，结果如下表所示，问高年级思想 品德教育的效果是否优于中年级？
年级 高 中
第七章 平均数差异的 显著性检验
回顾
样本平均数与总体平均数之间差异的假设 检验又叫做总体平均数的显著性检验。如果某 个样本平均数与总体平均数的差异达到了显著 性水平就可以推翻零假设，认为这个样本不是 来自该总体，而是来自其他总体；如果这个样 本平均数与总体平均数的差异未达到显著性水 平，则要接受零假设，这时就得承认这个样本 来自该总体。
D1 X 11 X 21 （第一次抽样） D2 X 12 X 22 （第二次抽样） D3 X 13 X 23 （第三次抽样）
数理统计学的研究表明，假若
1 2
那么两个样本平均数之差的概率分布就是 以0为中心的正态分布：
概 率
保留区间0.95
0 D1
D
临
临
界
界
值
值
要实际地判断样本平均数的差异是否落入 了零假设的拒绝区域里，需要以该抽样分布的 标准差，即平均数之差的标准误为依据。
25 28 2
25 28
3．确定检验形式 双侧检验 4．统计决断 当自由度df=25+28-2=51时，
t(51)0.05 2.009
因为|t|=0.0509<2.009，P>0.05 所以，要接受零假设，其结论是：在这项 教学实验中男女生英语测验成绩无显著性差异。
2、方差不齐性时
方差不齐性独立样本平均数差异的显著性 检验（自学）
展望
本章将介绍如何由两个样本平均数之差检验两个相应 总体平均数之差的显著性。
如果某两个样本平均数之间的差异达到了一定的限度， 即达到了显著性水平，就可以认为这两个样本来自不同的 总体，或者说，这两个样本各自所代表的总体之间有真正 的差异；如果两个样本平均数之间的差异不显著，则可以 认为，这两个样本平均数之间的差异是由抽样误差造成的， 它们所来自的总体的平均数相等或就来自同一个总体。
表示差数的总体平均数 D
D表示观察值的差数 n表示差数的数目
（三）确定检验形式 包括双侧检验、左侧检验和右侧检验 （四）统计决断 当进行t检验时，df=n-1。
一、配对组的情况
例如：有人做了一项分散识字教学法与集中识字 教学法的比较实验。根据研究的需要，实验之前先将 被试配成对。为了控制无关因素的干扰，配对时研究 者考虑了被试以下几方面的情况：智力水平、努力程 度、识字量多少及家庭辅导力量等，然后按照各方面 条件基本相同的原则，将学生配成了10对，再把每对 学生中的一个随机地指派到实验组，另一个指派到对 照组。两组学生分别接受用不同的教学法进行的教学。 经过一段时间的学习之后，两组学生接受统一的测试， 结果如表7.1所示。现在问，两种识字教学法是否有显 著性差异？
相关样本平均数差异的显著性检验方 法和步骤：
（一）提出假设
H 0 : D 0, H1 : D 0
（二）选择检验统计量并计算其值。
在小样本的情况
t
D D
D2 ( D)2 / n
n(n 1)
在大样本的情况
Z
D D
D2 ( D)2 / n
n(n 1)
D表示样本的差数平均数或两个样本平均数之差
学生
X1
X2
D
学生
X1
X2
D
01
86
88
-2
18
78
77
1
02
83
80
3
19
69
70
-1
03
80
76
4
20
65
66
-1
04
75
68
7
21
45
44
1
05
68
65
3
22
66
62
4
06
60
54
6
23
73
71
2
07
56
50
6
24
57
54
3
08
48
43
5
25
74
74
0
09
76
72
4
26
72
70
2
10
77
78
二、平均数之差的标准误
两个样本平均数差的抽样误差称为平均数之差的 标准误，用一切可能的样本平均数之差在抽样分 布上的标准差来表示。
D
2 1
2 2
-
2r1
2
（相关总体）
N
S S12 S22 2rS1S2 （相关样本）
D
n
2 1
2 2
D
n
S
S2 1
S2 2
D
n 1
（独立总体，r=0） （独立样本，r=0）
表7.1 10对学生在两种识字教学法中的测验分数和差数
组别
实验组
X1
对照组 X2
差数值
D
D2
1
93
76
17
289
2
72
74
-2
4
3
91
80
11
121
4
65
52
13
169
5
81
63
13
324
6
77
62
15
225
7
89
82
7
40
8
84
85
-1
1
9
73
64
9
81
10
70
72
-2
4
总和
795
710
85
1267
解：1.提出假设
H0 : D 0, H1 : D 0
2．计算检验的统计量
t
D
D2 (D)2 / n
n(n 1)
85
10
3.456
1267 852 /10
10(10 1)
3．确定检验形式 双侧检验
4．统计决断 因为是t检验，所以要根据自由度df=n-1 =10-1=9查t值表(即附表2)，找双侧检验的临 界值。
t(9)0.05 2.262
t(9)0.01 3.250
t 3.456** 3.250
p<0.01，所以，在0.01的显著性水平上拒 绝零假设，接受备择假设。即可得出小学分散
识字教学法与集中识字教学法有极其显著的差 异的结论。
又如：
某小学为了更有效地训练中年级学生掌握有关 计算机操作的基本技能，特对两种训练方法的有效 性进行了比较研究。在四年级学生中，根据智力水 平、兴趣、数学和语文成绩，以及家庭中有无学习 计算机的机会等有关因素都基本相同的条件下，将 学生匹配成34对，然后把每对学生拆开，随机地分 配到不同的训练组中，经训练后，两组学生考核的 分数如下，问两种不同的训练方法是否确实造成学 习效果上的显著性差异？
D
2.2353 0
Z
D
6.031
D2 ( D)2 / n 324 762 34
n(n 1)
34(34 1)
3．确定检验形式 双侧检验 4．统计决断 Z=6.031**>2.58，P<0.01 所以，要在0.01的显著性水平上拒绝零假 设，接受备择假设。
二、同一组对象的情况
例子：某小学在新生入学时对28名儿童进行了 韦氏智力测验，结果平均智商=99，标准差=14， 一年后再对这些被试施测，结果平均智商=101， 标准差=15，已知两次测验结果的相关系数r=0.72， 问能否说随着年龄的增长与一年的教育，儿童智商 有了显著提高？
2 1
表示第一个变量总体方差
2 2
表示第二个变量总体方差
r 表示第一个与第二个变量的相关系数
n表示样本容量
S2 1
表示第一个变量样本方差
S2 2
表示第二个变量样本方差
对两个总体平均数差异的显著性检验涉及 到两个总体，要考虑到如下五个因素：
样本是相关的还是独立的； 总体是正态分布还是非正态分布； 总体方差是已知还是未知； 总体方差是否齐性； 样本的大小。
第四节 方差齐性检验
定义：对两个总体的方差是否有显著性差异 所进行的检验称为方差齐性（相等）检验。
一、F分布
从方差相同的两个正态总体中，各随机抽 取一个样本，分别求出各自所属总体方差的估 计值，并计算这两个总体方差估计值的比值， 这个比值叫做F比值，用公式表示为：
F S12
S
2 2
F分布的特点是：
二、独立小样本平均数差异的显著性检验
两个样本容量
n1
n2
均小于30，或其中一个小于30的独立样本 称为独立小样本。
独立小样本平均数差异的显著性检验方法：
1、方差齐性时
方法和步骤： 如果两个独立样本的总体方差未知，经方 差齐性检验表明两个总体方差相等，则要用汇 合方差来计算标准误，
公式为：
S合2
解：1.提出假设
H0 : D 0, H1 : D 0
2．计算检验的统计量
t
X1 X2
S2 X1
S
2 X
2
2rS X1 S X2
n 1
99 101
0.954
142 152 2 0.721415
28 1
3．确定检验形式 左侧检验 4．统计决断 当df=27时，
t(27)0.05 1.703