第7章平均数差异的显著性检验讲义

第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
定义：两个样本内个体之间存在着一一对应的 关系，这两个样本称为相关样本。
（1）用同一测验对同一组被试在试验前后进行 两次测验，所获得的两组测验结果是相关样本。
（2）根据某些条件基本相同的原则，把被试一 一匹配成对，然后将每对被试随机地分入实验组和 对照组，对两组被试施行不同的实验处理之后，用 同一测验所获得的测验结果，也是相关样本。
表示差数的总体平均数 D
D表示观察值的差数 n表示差数的数目
（三）确定检验形式 包括双侧检验、左侧检验和右侧检验 （四）统计决断 当进行t检验时，df=n-1。
一、配对组的情况
例如：有人做了一项分散识字教学法与集中识字 教学法的比较实验。根据研究的需要，实验之前先将 被试配成对。为了控制无关因素的干扰，配对时研究 者考虑了被试以下几方面的情况：智力水平、努力程 度、识字量多少及家庭辅导力量等，然后按照各方面 条件基本相同的原则，将学生配成了10对，再把每对 学生中的一个随机地指派到实验组，另一个指派到对 照组。两组学生分别接受用不同的教学法进行的教学。 经过一段时间的学习之后，两组学生接受统一的测试， 结果如表7.1所示。现在问，两种识字教学法是否有显 著性差异？
25 28 2
25 28
3．确定检验形式 双侧检验 4．统计决断 当自由度df=25+28-2=51时，
t(51)0.05 2.009
因为|t|=0.0509<2.009，P>0.05 所以，要接受零假设，其结论是：在这项 教学实验中男女生英语测验成绩无显著性差异。
2、方差不齐性时
方差不齐性独立样本平均数差异的显著性 检验（自学）
( X1 X 1 )2 ( X 2 X 2 )2 n1 n2
n1 n2 2
n1n2
t
X1 X2
（n1
-
1）S
2 X
1
（n2
-
2）S
2 X
2
n1
n2
n1 n2 2
n1n2
如：
有人在某小学的低年级做了一项英语教学 实验，在实验的后期，分别从男女学生中抽取 一个样本进行统一的英语水平测试，结果如下 表所示。问在这项教学实验中男女生英语测验 成绩有无显著性差异？（假定方差齐性）
t=0.954<1.703，P>0.05 所以，要保留零假设，即一年后儿童的智 商没有显著地提高。
第三节 独立样本平均数差异的显著性检验
定义：两个样本内的个体是随机抽取的， 它们之间不存在一一的对应关系，这样的两个 样本称为独立样本。
一、独立大样本平均数差异的显著性检验
两个样本容量
n1
n2
都大于30的独立样本称为独立大样本。
t(9)0.05 2.262
t(9)0.01 3.250
t 3.456** 3.250
p<0.01，所以，在0.01的显著性水平上拒 绝零假设，接受备择假设。即可得出小学分散
识字教学法与集中识字教学法有极其显著的差 异的结论。
又如：
某小学为了更有效地训练中年级学生掌握有关 计算机操作的基本技能，特对两种训练方法的有效 性进行了比较研究。在四年级学生中，根据智力水 平、兴趣、数学和语文成绩，以及家庭中有无学习 计算机的机会等有关因素都基本相同的条件下，将 学生匹配成34对，然后把每对学生拆开，随机地分 配到不同的训练组中，经训练后，两组学生考核的 分数如下，问两种不同的训练方法是否确实造成学 习效果上的显著性差异？
人数 90 100
平均数 80.50 76.00
标准差 11 12
解：1.提出假设
H :
0
1
2
H1 : 1 2
2．计算检验的统计量
Z X1 X2
2
2
S S X1
X2
n1 n2
80.50 76 2.69 112 122 90 100
3．确定检验形式 右侧检验
4．统计决断 Z=2.69>2.33，P<0.01 所以，要拒绝零假设，接受备择假设，由 此得出结论：高年级思想品德教育的效果极显 著地优于中年级。
二、独立小样本平均数差异的显著性检验
两个样本容量
n1
n2
均小于30，或其中一个小于30的独立样本 称为独立小样本。
独立小样本平均数差异的显著性检验方法：
1、方差齐性时
方法和步骤： 如果两个独立样本的总体方差未知，经方 差齐性检验表明两个总体方差相等，则要用汇 合方差来计算标准误，
公式为：
S合2
独立大样本平均数差异的显著性检验所用
的公式是：
S x1-x2
S2 X1
S2 X2
n1 n2
如
假设某小学从某学期刚开学就在中、高年 级各班利用每周班会时间进行思想品德教育， 学期结束时从中、高年级各抽取两个班进行道 德行为测试，结果如下表所示，问高年级思想 品德教育的效果是否优于中年级？
年级 高 中
-1
27
67
63
4
11
70
68
2
28
64
65
-1
12
65
64
1
29
85

83
2
13
62
60
2
30
81
79
2
14
58
56
2
31
78
75
3
15
73
70
3
32
75
71
4
16
90
88
2
33
67
67
0
17
82
81
1
34
76
73
3
总和
34
76
解：1.提出假设 H0 : D 0, H1 : D 0
2．计算检验的统计量
相关样本平均数差异的显著性检验方 法和步骤：
（一）提出假设
H 0 : D 0, H1 : D 0
（二）选择检验统计量并计算其值。
在小样本的情况
t
D D
D2 ( D)2 / n
n(n 1)
在大样本的情况
Z
D D
D2 ( D)2 / n
n(n 1)
D表示样本的差数平均数或两个样本平均数之差
二、平均数之差的标准误
两个样本平均数差的抽样误差称为平均数之差的 标准误，用一切可能的样本平均数之差在抽样分 布上的标准差来表示。
D
2 1
2 2
-
2r1
2
（相关总体）
N
S S12 S22 2rS1S2 （相关样本）
D
n
2 1
2 2
D
n
S
S2 1
S2 2
D
n 1
（独立总体，r=0） （独立样本，r=0）
1.F分布是一簇分布，随分子和分母的自 由度不同而有不同的分布曲线（见书P98）。
2.F分布是正偏态的，即一簇正偏态的曲 线（不过，随着分子和分母自由度的增大而逐 渐趋于正态）。
3.F比值都是正的。 4.由于计算F比值时总把大的方差估计值 作为分子，小的作为分母，所以F比值≥1。
F检验的基本步骤：
( X1
X1)2 ( X 2 (n1 1) (n2 1)
X
2 )2
S x1-x2
( X1 X1)2 ( X 2 X 2 )2 n1 n2
n1 n2 2
n1n2
S x1 - x 2
（n1
-1）S
2 X
1
（n2
-1）S
2 X
2
n1 n2 2
n1 n2 n1n2
t
X1 X2
第一步：提出假设 第二步：选择检验统计量并计算其值 第三步：一般情况下，经常应用的是右侧 F检验。 第四步：统计决断 查附表3 举例（见教材）
两个独立样本的方差齐性检验
例：某市初中毕业班进行了一次数学考试， 为了比较该市毕业班男女生成绩的离散程度， 从男生中抽出一个样本，容量为31，从女考生 中也抽出一个样本，容量为21。男女生成绩的 方差分别为49和36，请问男女生成绩的离散程 度是否一致？
2 1
表示第一个变量总体方差
2 2
表示第二个变量总体方差
r 表示第一个与第二个变量的相关系数
n表示样本容量
S2 1
表示第一个变量样本方差
S2 2
表示第二个变量样本方差
对两个总体平均数差异的显著性检验涉及 到两个总体，要考虑到如下五个因素：
样本是相关的还是独立的； 总体是正态分布还是非正态分布； 总体方差是已知还是未知； 总体方差是否齐性； 样本的大小。
展望
本章将介绍如何由两个样本平均数之差检验两个相应 总体平均数之差的显著性。
如果某两个样本平均数之间的差异达到了一定的限度， 即达到了显著性水平，就可以认为这两个样本来自不同的 总体，或者说，这两个样本各自所代表的总体之间有真正 的差异；如果两个样本平均数之间的差异不显著，则可以 认为，这两个样本平均数之间的差异是由抽样误差造成的， 它们所来自的总体的平均数相等或就来自同一个总体。
D
2.2353 0
Z
D
6.031
D2 ( D)2 / n 324 762 34
n(n 1)
34(34 1)
3．确定检验形式 双侧检验 4．统计决断 Z=6.031**>2.58，P<0.01 所以，要在0.01的显著性水平上拒绝零假 设，接受备择假设。
二、同一组对象的情况
例子：某小学在新生入学时对28名儿童进行了 韦氏智力测验，结果平均智商=99，标准差=14， 一年后再对这些被试施测，结果平均智商=101， 标准差=15，已知两次测验结果的相关系数r=0.72， 问能否说随着年龄的增长与一年的教育，儿童智商 有了显著提高？