数学物理方法习题

（1） ；
（2）
6、已知等势线族的方程为 常数，求复势。
第三章：
1、计算环路积分：
2、证明： 其中 是含有 的闭合曲线。
3、估计积分值
第四章：
1、泰勒展开
（1） 在 （2） 在 （3）函数 在
2、（1） 在区域 展成洛朗级数。
（2） 按要求展开为泰勒级数或洛朗级数：①以 为中心展开；②在 的邻域展开；③在奇点的去心邻域中展开；④以奇点为中心展开。
数学物理方法习题
第一章：
应用矢量代数方法证明下列恒等式
1、
2、
ห้องสมุดไป่ตู้3、
4、
5、
第二章：
1、下列各式在复平面上的意义是什么?
（1）
（2） ;
2、把下列复数分别用代数式、三角式和指数式表示出来。
3、计算数值（ 和 为实常数， 为实变数）
4、函数 将 平面的下列曲线变为 平面上的什么曲线？
（1）
（2）
5、已知解析函数 的实部 或虚部 ，求解析函数。
3、在本来均强的静电场 中，放置半径为 的导体球，使求解球外的静电场。
4、将 按照求函数 展开。
5、设有一均匀球体，在球面上温度为 ，试在稳定状态下球球内的温度分布。
6、求证：
7、试证平面波能用柱面波展开，即
其中 为平面波的振幅因子。
8、计算积分（反复利用递推关系）
9、半径为 ，高位 的圆柱体，其下底和侧面保持零度，上底温度分布为 求解柱体内各点的温度分布。
（1） （2） （3）
第六章：
1、在 的邻域上求解
2、在 的邻域上求解
3、在 的邻域上求解
第七章：
1、长为 的均匀弦，两端 和 固定，弦中张力为 。在 点以横向力 拉弦，达到稳恒后放手任其自由振动，写出初始条件。
2、一均匀细棒长 ，其一端固定在电梯的天花板上，另一端自由，杆身竖直向下，当电梯速度达到 时突然停止，问此时细棒振动的初始条件是什么？
第八章：
1、长为 的均匀弦，两端 和 固定，弦中张力为 。在距一端为 的一点以力 把弦拉开平衡位置，然后突然撤除此力，求弦的自由振动。
2、一均匀细棒长 ，其一端固定在电梯的天花板上，另一端自由，杆身竖直向下，当电梯速度达到 时突然停止，秋节竿的振动。
3、求解薄膜限定浓度的扩散问题
薄膜厚度为 ，杂质从两面进入薄膜，设单位表面积下杂质总量为 ，此外不再有杂质进入薄膜。在半导体扩散工艺中，有的工序是只让硅片表面已有的杂质向硅片内部扩散，但不让新的杂质通过硅片，这就是所谓的限定源扩散。
8、一均匀细棒长 ，一端固定，另一端在纵向力 的长期作用下，求解杆的稳恒振动。
9、用冲量定理法求解
10、用冲量定理法求解 为常数
第十章：
1、用一层不导电的物质把半径为 的导体球壳分隔为两个半球壳，并分别充电到 和 ，计算电势分布。
2、一空心圆球区域，内半径为 ，外半径为 ，内球面上有恒定电势 外球面上有电势保持为 均为常数，试求内外球壳之间、空心球区域中的电势分布。
10、有均匀圆柱，半径为 ，高位 ，柱侧面绝热，上下底温度分别保持为 和 ，求柱内稳定的温度分布。
3、确定下列函数的奇点和奇点性质
第五章：
1、计算留数
（1） 在 点。
（2） ，在 点；
（3） 在孤立奇点和无穷远点（不是非孤立奇点）；
（4） 在孤立奇点和无穷远点（不是非孤立奇点）；
2、计算围道积分
（1）
（2）
3、计算实变函数的定积分
（1） （2） （3）
4、计算实变函数的定积分
（1） （2）
5、计算实变函数的定积分
4、在矩形区域 上求解拉普拉斯方程，并满足边界条件
5、细圆环，半径为 ，初始温度分布已知为 ， 是以环心为极点的极角，环表面绝热，求解环内的温度变化。
6、求解绕圆柱的水流问题。在远离圆柱出水流是均匀的，流速为 ，圆柱半径为 。
7、半圆形薄板，半径为 ，板面绝热，边界直线上保持为零度，圆周上保持为 ，求稳定状态下的板上温度分布。