材料力学(单辉组)第十一章压杆稳定问题

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建筑力学课件 第十一章 压杆稳定

建筑力学课件 第十一章 压杆稳定

11.1平衡的三种形态与压杆稳定的概念
1.如图11-3b所示,当杆承受的轴向 压力数值FN小于某一数值FNcr时 ,在撤去干扰力以后,杆能自动 恢复到原有的直线平衡状态而保 持平衡,这种原有的直线平衡状 态称为稳定的平衡。
11.1平衡的三种形态与压杆稳定的概念
2.如图11-3c所示,当杆承 受的轴向压力数值FN逐渐 增大到等于某一数值FNcr 时,即使撤去干扰力,杆 仍然处于微弯形状,不能 再自动恢复到原有的直线 平衡状态,但也不继续弯 曲,这种原有的直线平衡 状态就是临界的平衡。
11.1平衡的三种形态与压杆稳定的概念
压杆经常被应用于各种工程实际中,例如内燃机的连杆 (如图11-4)和液压装置的活塞杆(如图11-5),这 些构件在处于图示位置时,均承受压力。虽然这些受 压构件,不会受人为的干扰力作用,但是由于制造误 差可能造成初始弯曲、轴向力不一定完全与轴线重合 等因素,相当于作用了干扰力。所以此时必须考虑其 稳定性,以免产生压杆失稳破坏。
如图11-9所示,为一端固定一 端自由的细长压杆的挠曲 线形状,其长度为2l的挠 曲线形状,形成一半波正 弦曲线,即当将其原长度 乘以2的长度系数后,就 与长度为2l的两端铰支压 杆相同。所以,一端固定 一端自由的细长压杆的长 度系数等于2。
为方便查用,将几种不同杆 端约束情况下的长度系数 μ值列于表11—1中。
建筑力学 第十一章 压杆稳定
第十一章 压杆稳定
【学习目标】
1.理解稳定与失稳的概念; 2.掌握用欧拉公式计算压杆的临 界荷载与临界应力;
3.了解压杆的临界应力总图; 4.理解压杆稳定条件及其实用计 算。
11.1平衡的三种形态与压杆稳定的概念
在前面各章中,讨论了构件的强度计算问题,现在讨论 稳定问题。

《压杆稳定问题》课件

《压杆稳定问题》课件
软件:用于分析和处理实验数据的软件
测试台:用于固定压杆和压力传感器的测试台
计算机:用于采集和处理实验数据的计算机
压杆:用于进行压杆稳定性实验的杆件
压力传感器:用于测量压杆受力的传感器
实验步骤和结果分析
压杆稳定的工程应用
桥梁工程中的应用
桥梁维护:监测压杆稳定性,及时发现问题
桥梁结构设计:考虑压杆稳定性,确保桥梁安全
压杆稳定问题涉及到许多力学原理和数学方法,是结构力学研究的重要内容
压杆稳定问题在实际工程中经常遇到,如桥梁、高层建筑等结构设计中都需要考虑压杆稳定的问题
压杆稳定问题也是结构力学教学中的重要内容,可以帮助学生理解力学原理和数学方法在工程中的应用
压杆稳定的分类
临界稳定:压杆在临界载荷下,其变形和应力达到临界值
失稳:压杆在超过临界载荷后,其变形和应力迅速增大,导致破坏
线性稳定:压杆在受到外力作用下,其变形和应力保持线性关系
非线性稳定:压杆在受到外力作用下,其变形和应力不再保持线性关系
压杆稳定的理论分析
弹性失稳的概念
弹性失稳是指在受力过程中,杆件的变形超过其弹性极限,导致杆件的稳定性丧失。
弹性失稳的主要原因是杆件的受力超过了其弹性极限,导致杆件的变形过大,无法恢复原状。
压杆稳定问题的研究将更加注重数值模拟和实验研究相结合,以提高研究效率和准确性
压杆稳定问题的研究将更加注重人工智能和大数据技术的应用,以提高研究效率和预测能力
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临界载荷:压杆在弹性范围内所能承受的最大载荷
临界应力与临界应变的关系:临界应力与临界应变成正比
临界载荷与临界应力的关系:临界载荷与临界应力成正比
弹性失稳的预防措施

材料力学2-11压杆稳定

材料力学2-11压杆稳定

M0
F x M0
令: k2
x L
F EI
EIy k 2 y k 2
M F
yccoskxdsinkx
边界条件为:
F
M0
F
M0
x 0, y y 0; x L, y y 0
c
M , d 0 , kL 2n 并 kL n F
kL2n
材料的σ-ε的关系为非线形,加载时切线弹性模量用Eσ表示, 卸载时弹性模量为初始弹性模量用E表示,得截面弯曲正应力: 受压区: c E y ( x ) y 受拉区: t E
( x )
得折减弹性模量:
E
4 E E E

2
Er
对于 P 的杆为中小柔度杆,其临界力用下式求:
大多数情况下可取b类。
2. 木材: 按照树种的强度等级分别给出了两种计算公式,见9-11----9-12公式。
例6 图示起重机, AB 杆为圆松木,长 L= 6m,[ ] =11MPa,直
径为: d = 0.3m,试求此杆的容许压力。
B T1 解:折减系数法 ①最大柔度 x y面内, =1.0
bh , 12
3
Fcry
2 EI y
L2 2
=0.7 ,
③压杆的临界力
bh 3 Iz , 12
Fcrz
2 EI z
( 0.7 L1 )2
Fcr min( Fcry , Fcrz )
例3 F
求下列细长压杆的临界力。
解:图(a)
F
10
30
I min
30 103 1012 2.5 109 m 4 12
A1 12.74cm 2 ,z0 1.52cm,

材料力学第11章 压杆稳定

材料力学第11章 压杆稳定

8
图11.2
9
上述现象表明,在轴向压力逐渐增大的过程中, 压杆经历了两种不同性质的平衡。当轴向压力F<F cr时,压杆直线形式的平衡是稳定的;而当轴向压 力F>Fcr时,压杆直线形式的平衡则是不稳定的。 使理想压杆直线形式的平衡开始由稳定转变为不稳 定的轴向压力值Fcr称为压杆的临界轴力。
10
三、分叉点失稳和极值点失稳 (1)分叉点失稳 设如图11.2所示理想压杆的轴向压力为F,干 扰去除后杆中点挠度为y0,在Oy0F坐标系下,Fy0 关系曲线如图11.3(a)所示。可见,当F < Fcr时,y 0=0;当F = Fcr时,y0取值视干扰大小而定,在AB 间变化,但AB是微量。
17
这是一个二阶常系数齐次线性微分方程,其通 解为
代入式(f) 可得
18
可见Fcr有一系列的理论取值,但是使压杆保 持微弯平衡状态的最小压力才是临界轴力。但n =0时,Fcr=0,显然无意义。所以式(j)中n的合理最 小值是1,于是
19
第三节不同杆端约束下细长压杆临界轴力的欧拉 公式 当杆端为其他约束情况时,细长压杆的临界轴 力公式可以仿照两端铰支压杆临界轴力公式的推导 方法,根据在不同的杆端约束情况下压杆的挠曲线 近似微分方程式和挠曲线的边界条件来推导。
11
可见,对于理想压杆,当F<Fcr时,Fy0关系曲 线为直线OA;当F≥Fcr时,AD对应无干扰时的直 线位置平衡状态,而AC对应有干扰时的平衡状态。 A点称为分叉点(bifurcation point)。OAC曲线所描 述的失稳现象也称为分叉点失稳(bifurcation buckli ng)。
14
如图11.4(a)所示,设压杆在临界轴力Fcr作用 下处于微弯平衡状态,并设其挠曲线方程为y=y(x)。 从微弯平衡状态的压杆中取分离体如图11.4(b)所 示,在x截面上的弯矩为

材料力学-第11章 压杆稳定new

材料力学-第11章 压杆稳定new

引言
压杆稳定的利用 - 柔性电子器件
材料力学-第11章 压杆稳定
引言
基本概念
F
压杆失稳(屈曲): 受压杆件由直线平衡状态变为弯曲平衡状态 临界载荷:
使得受压杆件由直线平衡态转为弯曲平衡态的临界力
材料力学-第11章 压杆稳定 受压杆件为什么会失稳?
F
引言
杆件压力超过临界载荷时,弯曲构型具有更 小的应变能
Fcr
π 2 EI
l
2
这一表达式称为欧拉公式。其中l为不同压杆屈曲后挠曲线上正弦 半波的长度,称为有效长度(effective length);
为反映不同支承影响的系数,称为长度因数(coefficient of
1ength),可由屈曲后的正弦半波长度确定。
材料力学-第11章 压杆稳定
FPcr
π 2 EI
l
2
需要注意的是, 临界载荷公式只有在压杆的微弯 曲状态下仍然处于弹性状态时才是成立的。
材料力学-第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
例题
图示四根压杆,已知杆件横截面和材料完全相同。 试:将压杆按承载能力大小排序
5m
7m
(a)
(b)
3m
(c)
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷 长度因数 由屈曲后的正弦半波长度确定
欧拉公式可写为:
2 EI
正弦半波长
2
两端铰支 =1.0
一端自由, 一端固定 =2.0
一端铰支, 一端固定 =0.7
两端固定 =0.5
材料力学-第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
F
Fcr

(精品)材料力学课件:压杆稳定问题

(精品)材料力学课件:压杆稳定问题

y
l
O
xF
z
h F
b
2. 当两端的约束是圆柱形铰,圆柱销轴线沿z轴。
y
压杆在x-y平面内,Fc(rxy )
2 EIz
l2
压杆在x-z平面内,Fc(rxz )
2 EI y (l )2
边界条件发生变化 其中=0.5 ~1, Iy<Ix
需要判断,杆件总沿临界载荷最小的方向失稳
z
a
x
Iy
hb3 12
Iz
38
压杆稳定问题
谢谢
39
28
压杆稳定问题
例:确定图示压杆的临界载荷(h>b)
y
O
z
xF
l
F
解:临界载荷
Fcr
2 EI
l2
问题:结构在哪个平面内失稳? 临界载荷等于多少?
1. 当两端的约束是球形铰。
2. 当两端的约束是圆柱形铰, 圆柱销轴线沿z轴。
h b
y z
a
x
29
压杆稳定问题
例:确定图示压杆的临界载荷(h>b)
y
O
22
压杆稳定问题
Euler(1707-1783) 生平简介
1720年进入巴塞尔大学,John Bernoulli的学生,16岁取得硕 士学位,20岁发表第一篇科学论文。1727年进入俄国科学院, 1733年成为俄国科学院数学部主任。1741年进入普鲁士科学院, 1759年主持普鲁士科学院工作。1766年回到俄国科学院。 他的一生对数学、刚体力学以及材料力学中的弹性线、稳定 理论等都有重大贡献,出版了“曲线变分法”(1744)、“微积 分导论”(1748)、“微分学”(1755)、积分学(1768)等经典著作, 大部分18世纪末、19世纪初的著名数学家都是欧拉的学生。 是18世纪著述最多的科学家,1735年一眼失明,晚年双目失 明,在助手协助下完成了400多篇论文。

材料力学09(第十一章 压杆稳定问题)

材料力学09(第十一章 压杆稳定问题)

2E E P P P
λP仅与材料有关。 对于Q235钢λP=100。
可以使用欧拉公式计算压杆的临界力的条件是:
P
当:i) p
cr 2 E 2
2E , P
细长杆,大柔度杆
a s , ii) p o b
中长杆,中柔度杆
l
l 2 x
x
B y
B y (b)
w A sin kx 0
失稳!!!
(a)
失稳的条件是: sin kl 0
kl n
Fcr l n EI
n 2 2 EI Fcr 2 l
Fcr Fcr min
EI
2
l2
理想中心压杆的欧拉临界力
M(x)= Fcr(-w) =-Fcrw
F
F(较小) F(较小)
F(特殊值) F(特殊值)
QQ
Q Q
轴压 直线平衡
压弯 曲线平衡
恢复 直线平衡
压弯 曲线平衡
失稳 曲线平衡
保持常态、稳定
失去常态、失稳
压杆失稳的现象:
1. 轴向压力较小时,杆件能保持稳定的直线平衡状态; 2. 轴向压力增大到某一特殊值时,直线不再是杆件唯 一的平衡状态;
稳定:
例2、L=1.5m (两端铰支),d=55mm,A3钢(1=102,2 =56) E=210GPa,P=80KN,n=5,试校核此连杆稳定性。
2、计算Pcr(cr) 2E P A cr 2
解: 1、计算 I d i 13.75mm A 4 L 11.5 103 109 i 13.75 属大柔度杆。
不安全!
讨论: 2)、 若:
0.7 1.5 10 76.4 1 13.75

材料力学第11章 压杆稳定

材料力学第11章 压杆稳定

长度系数
一端固定,另一端自由 两端铰支
2 1
一端固定,另一端铰支
2 0.7
3
两端固定
1 0.5
2
第十一章 压杆稳定
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
一、欧拉临界应力公式及其使用范围 二、中柔度压杆的临界应力 三、小柔度压杆的临界应力 四、临界应力总图
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
2E 2
O 小 0 中 p 大
柔柔

度度

压压

杆杆

可见:压杆的临界应力随着其柔度的增大而减小
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
例1 图示用No.28a工字钢制成的立柱,两端固定,
试求立柱的临界压力。
解:1.求
F
查表:i imin iy 2.50 cm, A 55.4 cm2
ymax
欧拉公式适用于小变形情况
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
二、其他约束下细长压杆的临界压力
解法:比较变形法
1.一端固定、另一端自由
Fcr
Fcr
2EI
Fcr (2l)2
l
l
l
Fcr
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
二、其他约束下细长压杆的临界压力
解法:比较变形法
2.两端固定
b=20
b 2.57 MPa
h=45
cr a b y 289.6 MPa
Fcr cr A 261 kN y
n
Fcr F
4.35
nst
∴ 连杆安全
l 1=800

材料力学--压杆稳定问题 ppt课件

材料力学--压杆稳定问题  ppt课件


F

Fcr nst

151.47 3
50.5KN
所以起重机架的最大起重量取决于杆AC的强度,为
Fmax 26.7KN
材料力学
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42
例8-4 图示托架结构,梁AB与圆杆BC 材料相同。梁AB为16号工字 钢,立柱为圆钢管,其外径D=80 mm,内径d=76mm,l=6m,a=3 m, 受均布载荷q=4 KN/m 作用;已知钢管的稳定安全系数nw=3,试对立
n Fcr Fp
269 150
1.793 nst 1.8
所以压杆的稳定性是不安全的.
材料力学
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38
例8-3 简易起重架由两圆钢杆组成,杆AB:d1 30mm,杆
AC:d2 20mm,两杆材料均为Q235钢, E 200GPa, s 240MPa p 100,0 60 ,规定的强度安全系数ns 2,稳定安全系 数 nst 3,试确定起重机架的最大起重量 Fmax 。
柱进行稳定校核。
l
q
B
A
F
a
C
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43
压杆稳定问题/提高压杆稳定性的措施
五、提高压杆稳定性的措施
材料力学
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44
压杆稳定问题/提高压杆稳定性的措施
1、合理选择材料
细长杆: cr与E成正比。
普通钢与高强度钢的E大致相同,但比铜、铝合金的 高,所以要多用钢压杆。
中长杆: cr随 s 的提高而提高。
压杆稳定问题/细长压杆的临界力
2) 一端固定,一端铰支
C w
BC段,曲线上凸,
1 0;

材料力学第11章试题及答案 压杆稳定

材料力学第11章试题及答案  压杆稳定
11-2
11-1
11-5
图示铰接杆系 ABC 由两根截面和材料均相同的细长杆组
成。若由于杆件在 ABC 平面内失稳而引起毁坏,试确定载荷 F 为最 大时的 θ 角(假设 0 < θ < π / 2 )。
FN = F 2 cos 45o = F
(
)
2
手轮
对 CD 杆,由 ∑ M C = 0 : 可得 F = 7 FB 6
500
F d
πd 2 4
E
λp = π
λ0 =
σp

200 × 103 = 99.3 200
查表得: a = 304 MPa ,b = 1.12 MPa , λp = 100 , λ0 = 62 ∴ λ0 < λ < λp ,AB 杆为中柔度压杆, 故有
C
FN
θ
F
a − σ s 304 − 235 = = 61.6 b 1.12 μl μa 1 × 1 × 103 = = 80 λ= = i d 4 50 / 4
i min =
欧拉公式适用于 λmax
I min = A ≥ λp ,即
hb 3 12 = b bh 2 3
E
解: 最合理的情况为 AB、BC 两杆同时失稳,此时 F 最大。 π 2 EI π 2 EI FcrAB = F cosθ = 2 = 2 l AB l AC cos 2 β FcrBC = F sin θ = 两式相除得到
11-8
图示托架,AB 杆的直径 d = 4 cm ,长度 l = 80 cm ,两端铰
支,材料为 Q235 钢。 (1) 试根据杆 AB 的稳定条件确定托架的临界力 Fcr ; (2) 若已知实际载荷 F = 70 kN ,杆 AB 规定的稳定安全因数

材料力学(单辉祖)第十一章压杆稳定问题

材料力学(单辉祖)第十一章压杆稳定问题
形心主惯矩I的选取准则
Pcr
=
π 2EI
l2
若杆端在各个方向的约束情况相同(如球形 铰),I 应取最小的形心主惯矩,得到直杆 的实际临界力
若杆端在不同方向的约束情况不同, I 应取 挠曲时横截面对其中性轴的惯性矩。即此 时要综合分析杆在各个方向发生失稳时的 临界压力,得到直杆的实际临界力(最小值)。
25
欧拉公式
求解上述非线性微分方程,得挠曲线中
点挠度δ 与压力P之间的近似关系
δ = 2 2l π
其图形为
P Pcr
⎡ − 1⎢1 −

1 2
⎛⎜⎜⎝
P Pcr
−1⎞⎟⎟⎠⎤⎥⎦
P
A
Pcr
可见,只有当P ≥Pcr时,压杆 B 才可能存在非直线的平衡态,
即直杆发生失稳,并且挠度δ
与压力P之间存在一对一关系,
M (x) = Pcrv(x) − Q(l − x)
x Pcr
Q A
M(x)
m
m
l
x
BQ MB y Pcr
39
Example-1
x
代入挠曲线近似微分方程
Pcr
EI
d 2v dx 2
=
−M
(x)
=
− Pcr v( x)
+
Q(l

x)
令 k 2 = Pcr
EI
则控制微分方程化简为
d 2v dx 2
+
k 2v
28
欧拉公式
思考题
29
不同约束下压杆临界力的 欧拉公式 • 压杆长度系数
30
长度系数
问题:
考虑下端固定、上端 自由并在上端承受轴 向压力作用等截面细 长杆,几何尺寸见图 确定此压杆临界压力

材料力学第11章压杆稳定[精]

材料力学第11章压杆稳定[精]

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材料力学
出版社 理工分社
因λ s<λ y<λ p,杆件属中柔度杆,所以可采用直线经验公式(式(11.7) )计算其临界应力。由表11.2查得松木材料,a=29.3,b=0.194,所以临界 应力为 临界压力为 (2)若压杆在xy平面内失稳 杆端约束为两端铰支,所以长度因数μ z=1.0。 横截面对z轴的惯性矩为 所以横截面对z轴的惯性半径为 根据式(11.3),在xy平面内的柔度为 因λ z>λ p,杆件属大柔度杆,所以用欧拉公式(11.4)计算其临界应力, 即
式中nst称为稳定安全因数。稳定安全因数一般比强度安全因数大。在静载 荷作用下,钢材nst=1.8~3.0,铸铁nst=5.0~5.5,木材nst=2.8~3.2。 将[Fcr]作为压杆具有稳定性的F的比值为压杆的工作稳定因数n,于是得到用
轴向压力的量变,将引起压杆平衡状态的质变。压杆从稳定平衡过渡到非稳
定平衡时的压力临界值称为临界压力,以Fcr表示。显然,当压杆所受的压
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材料力学
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力达到临界值时,压杆开始丧失稳定。由此可见,确定压杆临界压力的大小 ,将工作压力控制在临界压力范围内,是解决压杆稳定问题的关键。 当然,除了压杆以外,某些其他构件也存在稳定性问题。例如,薄壁球形容 器在径向压力作用下的变形(见图11.4(a));狭长矩形截面梁在弯曲时 的侧弯失稳(见图11.4(b));两铰拱在竖向载荷作用下变为虚线所示形 状而失稳(见图11.4(c))等。这些都是稳定性问题,在工程设计中应当 注意。本章仅讨论中心受压直杆的稳定性问题。
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当λ ≤λ s时,其临界应力将达到或超过材料的屈服极限,已属于强度问题 ,而不会出现失稳现象。若将这类杆也按稳定形式处理,则材料的临界应力 σ cr可表示为 这类压杆称为小柔度杆或短粗杆。 (2)抛物线型经验公式 抛物线型经验公式把临界应力σ cr与压杆的柔度λ 表示为以下的抛物线关系

《材料力学》11压杆稳定

《材料力学》11压杆稳定
nst
[ ]st
(稳定许用应力)
稳定安全因数 一般要高于强度安全因数
(P 293)
表 常用压杆的稳定安全因数
压杆 种类
金属 结构
机床 丝杠
精密 水平 磨床油缸 高速发动机 矿冶
丝杠 长丝杠 活塞杆
挺杆
设备
nst 1.8—3.0 2.5—4.0 > 4
>4
2—5
2019/9/1
2—5
4—8
25
压杆稳定性计算除要考虑强度计算所须考虑因素(主观认识-实际 情况的差异、不测的不利、风险因素……)外,
一. 两端铰支——Euler公式
Column for Simply Supported 考虑微弯状态, 求临界力
x
① 挠曲近似微分方程:
F Fcr
F M
w
x
F M Fw
w
d 2w dx 2


M EI
Fw EI
d 2w dx 2

F EI
w

0
令 : k2 F
w
EI
d 2w dx 2
2019/9/1
16
临界力- Euler公式 (细长压杆) 表1
支承
两端铰支 固定一自由 固定一铰支 两端固定
Fcr 失 稳 挠 曲 形 状
l l l
Fcr
Fcr
Fcr

临界力 Fcr 长度因数 μ
2 EI
l2
1
(Factor of Length )
2 EI
(2l ) 2
2
2 EI
(0.7l )2
因而工程实践中,应参照各种设计规范的具体规定,也可参 考上述典型形式,根据实际情况定出适当的长度系数
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23
欧拉公式
2n2EI
Fcr l 2
w x Asin nπx
l
屈 曲 模 态
n=1
n=2
n=3
n=4
不同屈曲模态对应的临界载荷不一样
24
结论
对两端铰支的等截面细长 中心受压直杆临界压力
Байду номын сангаас
Pcr

2EI
l2
---欧拉公式
13岁巴塞尔大学,15岁毕业, 16岁获硕士学位






第十一章 压杆稳定问题
主 讲人: 张能辉
1
压杆稳定性概念
2
工程实例
1995年韩国汉城三丰百货大楼,立柱失稳破坏 死502人,伤930人,失踪113人
3
工程实例
2010年智利地震中剪力墙破坏,纵筋屈曲
4
工程实例
2013年四川庐山空间钢网架震害,连杆屈曲
5
工程实例
高压输电线路保持 相间距离受压构件
Pcr
min 1 n
Pcrn
Pcr1
l2
22
0 A+1 B 0 sinkl A coskl B 0
此时直杆挠曲线 w(x) Asin x l
B0
Pcr
A
ld
其中A为待定常数,代表中点挠度 B
表明屈曲挠度是不确定的量 与模型假设压杆处于任意微弯状态一致
A xw Pcr
l
M(x) m
压力Pcr取正值 位移w(x)以沿y轴正向为正
内力是在变形前/后位置求解?
x
B
y
Pcr
挠度向下为正,与前面坐标轴不一样
19
将M(x)代入挠曲轴微分方程
d2w EI dx2 M (x) Pcrw(x) 令 k 2 Pcr
EI
xv Pcr
M(x) m
x
则挠曲轴微分方程变为
B'
原因:缺陷敏感性
d
若只关心临界载荷,则采用线性理论
(较好描述临界载荷,但无法扑捉屈曲状态)
若还关心屈曲状态,则采用非线性理论
30
思考题

Fcr

2n2EI
l2
空间失稳的取向性
31
不同约束下压杆临界力的 欧拉公式 • 压杆长度系数
32
问题1
下端固定, 上端自由 在上端承受轴向压力作用
P P
Q
P
P
13
撤去干扰Q后
P 若弯曲变形消失, 杆恢复到原来的直线平衡 状态,则称杆的直线平衡态是稳定的平衡态 若弯曲变形不能消失,杆不能保持直线状态, 则称杆的直线平衡态是不稳定的平衡态
直线平衡态由稳定平衡转化为不稳定平衡时 所受的轴向压力称为杆的临界压力
14
P Q
当P较小
P
P Q
当P较大
P
d 2 2l
P 1 P
Pcr
1 1
2

Pcr
1
P
A
B
Pcr
d
载荷位移图
只有当P >Pcr时,压杆才可能存在非直线的平衡态,
即直杆失稳,挠度d 与压力P之间存在一对一关系
不存在随遇平衡状态!!!
29
线性理论、非线性理论
与实际压杆比较
P
B
Pcr A
实际临界载荷小于理论预测
y
d2w dx2

k
2
w(
x)

0
Pcr
这是一个二阶线性齐次常微分方程
20
微分方程通解 w ( x ) A s in k x B c o s k x A、B和k为待定常数
边界条件 x 0,l, w(x) 0
A
0 A+1 B 0
sinkl A coskl B 0
B
由线性代数知,使A、B不全为零的条件
01
0
sinkl coskl
21
由行列式为零,得 sin kl 0
kl n (n 1, 2,3, )
k 2 Pcr EI
n2 2EI
Pcrn l 2
(n 1, 2,3, )
Pcrn中最小值称为直杆临界压力,记为Pcr
2EI
则称中心受压细长直杆稳定性
问题为线弹性稳定性问题
w Pcr P
17
问题
等截面细长直杆 两端铰支,长度l , 在临界压力Pcr作用下 直杆失稳 即产生微弯状态
求杆件临界载荷Pcr
Pcr A
l B
思路:微弯状态~挠度~挠曲轴近似微分方程
18
求解
Pcr
设失稳后轴线的挠度w(x) 则任一横截面上弯矩
M (x) Pcr w(x)
内燃机挺杆 油缸中活塞杆
6
工程实例
压杆
压杆
共同特点 细长压杆受力过大后造成一种新的破坏形式
7
实验现象 (1)粗短压杆 塑性材料(Steel)
脆性材料(Iron)
压力增加
压力增加
强度问题
8
(2)扭转轴
强度满足情况下 变形不能过大
刚度问题
变形特点:连续性
9
(3)细长压杆
P
P<Pcr
P
P
P
P>Pcr
P
稳定性问题
P
变形特点:突发性
10
细长压杆弯曲原因---缺陷
• 在杆件轴向压缩变形过程中,
往往伴随着横向弯曲变形 几何缺陷
实际压杆轴线存在着初始曲率
载荷缺陷
外力作用线也不与杆件轴线重合
材料缺陷
材料达不到理想的均匀性
11
如果杆件抗弯刚度较大,且轴 向压力在一定范围内,杆件的 变形可分别由杆件压缩和弯曲 变形叠加而得到——组合变形


25
稳定性问题在数学上归结为什么问题?
d2w dx2

k
2w(x)

0
x 0, w(x) 0, x l, w(x) 0
Pcr A
ld
归结为求齐次线性代数方程组非零解
B
26
随遇平衡问题
稳定平衡:微扰撤销后, 小球回到原平衡位置
不稳定平衡:微扰撤销后, 小球远离原来平衡位置

撤去干扰Q 稳定的

P定
P

临界压力 Pcr
P


撤去干扰Q
不稳定的



P
临界压力: 保持直线状态的最大压力 维持曲线状态的最小压力
15
细长中心受压直杆 临界力的欧拉公式
16
压杆线弹性稳定性问题
在临界力作用下中心受压细长 直杆处于不稳定平衡直线形态
如果此时材料仍处于理想线弹 性范围内(即胡克定理成立),
轴向压力逐渐增大,轴向压力 对杆件弯曲变形影响不可忽略; w 现在 当轴向压力达到某一特定值时, 以前 杆件变形极度增大,导致受压 杆件丧失承载能力
Pcr P
12
受压杆件理想力学模型
李雅普诺夫观点
受轴向压力P作用一理想直杆, 则其直线形态是一个平衡态
假想微小干扰Q作用(替代缺陷) , 则在力P和Q作用下, 直杆发生压缩和弯曲组合变形
随遇平衡:微扰撤销后, 小球在任意平衡位置
27
临界压力Pcr下,直杆失稳挠曲线
w(x) d sin x
l
d 未知量, 小量即可
表明在线性弹性稳定性理论范畴, 受压直杆在临界压力处是随遇平衡
实际这种随遇平衡状态时不存在 不合理原因:采用近似线性理论
Pcr A ld B
28
非线性弹性稳定性理论
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