几类不同增长的函数模型
几类不同增长的函数模型
几类不同增长的函数模型在我们的日常生活和各种科学领域中，函数模型扮演着极其重要的角色。
它们能够帮助我们理解和预测事物的变化趋势，为决策提供有力的依据。
今天，咱们就来聊聊几类常见的不同增长的函数模型。
首先，咱们来谈谈线性函数模型。
这可以说是最简单直观的一种了。
线性函数的表达式通常是 y ＝ kx ＋ b，其中 k 是斜率，b 是截距。
斜率 k 决定了函数的增长速度，如果 k 是正数，函数就会随着 x 的增大而增大；如果 k 是负数，函数就会随着 x 的增大而减小。
比如说，你每天固定工作 8 小时，每小时工资 50 元，那么你的日收入和工作天数之间的关系就是一个线性函数，y ＝ 50x，其中 x 是工作的天数，y 是你的总收入。
这种函数模型的增长速度是恒定的，不会出现突然加快或者减慢的情况。
接下来，再看看指数函数模型。
指数函数的一般形式是 y ＝ a^x ，其中 a 是底数且 a ＞ 0 且a ≠ 1 。
当 a ＞ 1 时，函数呈现出爆炸式的增长；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数则是急剧下降的。
想象一下，把一笔钱存入银行，年利率是 5%，如果按照复利计算，那么多年后你的存款金额和时间的关系就可以用指数函数来表示。
开始的时候增长可能不太明显，但随着时间的推移，增长速度会越来越快。
然后是对数函数模型。
对数函数通常的形式是 y ＝logₐ x ，其中 a是底数。
它的增长速度是相对缓慢的。
比如说，测量声音的强度，就是用对数函数来表示的。
声音强度每增加一定的倍数，人们感觉到的音量变化并不是等比例的，而是相对较小的，这就符合对数函数的特点。
咱们再对比一下这几种函数模型的增长特点。
线性函数是匀速增长，就像你在平坦的道路上以稳定的速度行走。
指数函数则像是跑步冲刺，一开始可能不明显，但很快就会加速飞奔。
而对数函数呢，更像是慢慢爬坡，虽然一直在前进，但速度相对较慢。
在实际应用中，我们要根据具体的问题选择合适的函数模型。
几类不同增长的函数模型
定义与公式
定义
幂函数是一种特殊的函数形式，通常表 示为`f(x) = x^n`，其中n是实数。
VS
公式
幂函数的公式为f(x) = x^n，其中x为底 数，n为指数。
幂函数增长的特点
增长率
幂函数的增长率随着n的增大而增大，即指数越大，函数增长速 度越快峭，随着x的增大，函数值 增长越来越快。
对数增长的应用
01
金融领域
对数增长函数模型被广泛应用于 金融领域，如股票价格、债券收 益率等变量的预测和分析。
02
03
环境科学
生物学
在环境科学领域，对数增长函数 模型被用于描述污染物在环境中 的扩散和稀释过程。
在生物学中，对数增长函数模型 被用于描述细菌生长、人口增长 等生物学过程。
04
幂函数增长模型
。
工业生产
在工业生产中，如果生产速度与 时间成正比，那么可以使用线性 增长函数来描述生产情况。通过 调整参数 k 可以控制单位时间内
生产的数量。
其他应用
线性增长函数还可以应用于描述 某些物理现象，如弹簧的伸长量
与受到的力成正比等。
02
指数增长函数模型
定义与公式
定义
指数增长函数模型是一种特殊的增长函数，其增长速度与时间成正比，通常表 示为 y = ae^rt，其中 a 为初始值，r 为增长率，t 为时间。
经济问题
高次多项式增长函数可以描述经济现象的变化 ，例如收益曲线、成本曲线等。
信号处理
高次多项式增长函数可以用于信号处理领域，例如频谱分析、滤波等。
06
分段函数增长模型
定义与公式
01
分段函数增长模型是指函数在 各个区间内具有不同的增长趋 势和公式。
几类不同增长的函数模型_课件2
【答案】y＝2x(x∈N*)
4．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物 订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯 利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的 函数关系是________．
【答案】y＝a4x(x∈N*) 解析：设新价为 b 元，则销售价为(1－20%)b，进价为 a(1－25%)，则(1－20%)b－(1－25%)a 是每件的纯利，∴b(1
题型二 指数函数模型的应用 【例2】 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增 长率为1.2%，试解答下面的问题： (1) 写 出 该 城 市 人 口 总 数 y( 万 人 ) 与 年 份 x( 年 ) 的 函 数 关 系 式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到 1年)． (1.01210＝1.127,1.01215＝1.196,1.01216＝1.210) 思路点拨：根据指数函数的增长速度进行求解即可．
1．学校商店出售软皮本和精美铅笔，软皮本每本2元，铅 笔每枝0.5元．该店推出两种优惠办法：(1)买一本软皮本，赠 送一枝精美铅笔；(2)按总价的92%付款．某位同学需买软皮本 4本，铅笔若干枝(不少于4枝)，若购买铅笔x枝，总付款为 y(角)，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式．
解：付款分两部分，软皮本款和铅笔款，需要分别计算． 由优惠办法(1)，得函数关系式为 y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4且x∈N*)． 由优惠办法(2)，可得函数关系式为 y2＝(5x＋20×4)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4且x∈N*)．
错因分析：错因在于未读懂图象，从而作出错误判断．对 于②，不能依据图象的位置判断位移大小，要经计算判断；对 于④，乙的位移计算错误．
几类不同增长的函数模型 课件
(2)如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需 要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数 关系图象，根据图象填空：
①通话2分钟，需付电话费________元．
②通话5分钟，需付电话费________元．
③如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间 的函数关系式为________．
几类不同增长的函数模型
常见的增长模型
1．线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不 变．
2．指数函数模型
能 利 用 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _指_ _数_ _函_ _数_ _(_底_ _数_ _a_>_1_)_ _ _ _ 表 达 的 函 数 模 型 叫 指 数 函
数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速 度越来越快，常形象地称为指数爆炸．
3．对数函数模型 能 用 _ _ _ _ _ _ _对_ _数_函_ _数_ _(_底_数_ _a_>_1_)_ _ _ 表 达 的 函 数 模 型 叫 做 对
数函数模型，对数函数增长的特点是随自变量的增大 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _越_ _来_越_ _慢_ _ ， 函 数 值 增 长 速 度 _____________．
函数模型的增长差异
(1)下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝60x
B．y＝x60
C．y＝60x D．y＝log60x(x∈N*) (2)研究函数y＝0.3ex－3，y＝ln(x＋2)，y＝x2－2在[0，＋
∞)上的增长情况．
[思路探究] 1．处理函数模型增长速度差异问题的关键是什么？ 2．对数函数模型和指数函数模型的增长速度有何差异？
几类不同增长的函数模型课件
多项式增长模型
1 定义和特征
多项式增长模型描述的是随着自变量的变化，因变量按照多项式的形式增长。
2 例子和应用
多项式增长模型常用于描述销售额、温度变化等波动性较大的现象。
3 多项式增长的局限性
多项式增长模型的高次项往往会导致过拟合，不适用于长期预测。
总结与展望
1
不同增长模型的比较和选择
选择合适的增长模型需要综合考虑实际情况、数据特征和模型的解释能力。
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# 几类不同增长的函数模型 ## 概述 - 函数模型的基本概念 函数模型是描述现实世界中各种现象和变化规律的数学工具。 - 增长函数模型的意义和应用 增长函数模型可以帮助我们理解不同变化规律，预测未来发展趋势，以及优化决策分析。
线性增长模型
定义和特征
线性增长模型描述的是随 着自变量的变化，因变量 按照恒定的比例增长。
例子和应用
线性增长模型可以用于描 述时间与距离的关系、人 口增长等方面。
线性增长的局限性
线性增长模型假设变量之 间的关系是直线的，但实 际情况往往更加复杂。
指数增长模型
1
定义和特征
指数增长模型描述的是随着自变量的
例子和应用
2
变化，因变量按照指数倍数增长。
指数增长模型常用于描述物种繁殖、
科技发展等快速增长的现象。
3
理解指数增长的关键因素
指数增长的关键因素包括增长率、初 始值和增长时间。
对数增长模型
定义和特征
对数增长模型描述的是随着自 变量的变化，因变量按照对数 倍数增长。
例子和应用
对数增长模型可以用于描述股 票市场、地震强度等非线性增 长的现象。
对数增长的特点和意义
几种不同增长的函数模型 课件
【自主解答】 (1)用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP处于中等的 地区销售量最多，然后向两边递减．而②，③，④表示的函数在区间上是单调函 数，所以②，③，④都不合适，故用①来模拟比较合适．
(2)因为人均 GDP 为 1 千美元时，年人均 A 饮料的销量为 2 升；人均 GDP 为 4 千美元时，年人均 A 饮料的销量为 5 升，把 x＝1，y＝2；x＝4，y＝5 代入 到 y＝ax2＋bx，得25＝＝a1＋6ab＋4b， 解得 a＝－14，b＝94，
几类不同增长的函数模型
教材整理 几类不同增长的函数模型 1．三种函数模型的性质
性质
函数 y＝ax(a>1)
在(0，＋∞)上 的增减性
增函数
图象的变化
随x的增大逐渐与 y轴平行
y＝logax(a>1)
增函数 随x的增大逐渐与 x轴平行
y＝xn(n>0)
增函数 随n值的不同而不 同
2.三种函数增长速度的比较 (1)在区间(0，＋∞)上，函数 y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和 y＝xn(n>0)都是增 函数，但增长进度不同，且不在同一个“档次”上． (2)随着 x 的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y＝xn(n>0)的增长速度，而 y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢． (3)存在一个 x0，当 x>x0 时，有 ax>xn>logax.
所以函数解析式为 y＝－41x2＋49x.(x∈[0.5,8]) ∵y＝－14x2＋94x＝－41x－922＋8116，∴当 x＝29时，年人均 A 饮料的销售量最 多是8116 L.
函数模型的增长差异
课时达标检测几类不同增长的函数模型
课时达标检测几类不同增长的函数模型在数学中，函数可以用来描述变量之间的关系。
而不同类型的函数模型则可以用来描述这些关系的增长方式。
下面将介绍一些常见的函数模型。
1.线性增长模型：线性函数是最简单的一类函数模型，表示为 f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
线性函数的图像是一条直线，增长速度恒定且呈直线趋势。
这种模型适用于简单的增长关系，比如物体的匀速直线运动。
2.指数增长模型：指数函数是一种常见的非线性增长模型，表示为f(x)=a^x，其中a为常数。
指数函数的图像是递增或递减的曲线，增长速度随着x的增加而指数级增加。
这种模型适用于一些现实世界中的增长现象，如人口增长和电子器件的寿命。
3.幂函数增长模型：幂函数是另一种常见的非线性增长模型，表示为 f(x) = ax^b，其中a和b为常数。
幂函数的图像是典型的S形曲线，增长速度随着x的增加而减缓。
这种模型适用于一些复杂的增长关系，如生物种群的增长和金融市场的发展。
4.对数增长模型：对数函数是一种特殊的非线性增长模型，表示为 f(x) = logax，其中a为常数。
对数函数的图像是一条递增但增长速度逐渐减缓的曲线。
这种模型适用于一些增长趋势相对缓慢的关系，如细菌的增长和信息传输的速度。
需要注意的是，上述的函数模型只是一些常见的例子，并不能穷尽所有的可能性。
实际问题中，可能需要根据具体情况选择不同的函数模型来描述变量之间的关系。
此外，还可以将不同类型的函数模型进行组合和变换，以适应更复杂的增长过程。
在实际应用中，可以通过观察数据的变化趋势来选择合适的函数模型。
并利用统计方法来估计函数模型的参数，从而得到最佳拟合的函数曲线。
同时，还可以利用函数模型来进行预测和推断，以了解变量之间的关系及其未来的发展趋势。
总之，不同类型的函数模型可以用来描述不同的增长方式。
选择合适的函数模型可以更好地理解和解释数据的背后规律，从而对实际问题做出更准确的预测和分析。
高中数学同步学案 几类不同增长的函数模型
3.2.1 几类不同增长的函数模型知识点一常见的增长模型1．线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变．2．指数函数模型能利用指数函数(底数a>1)表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大,函数值的增长速度越来越快,常形象地称为指数爆炸．3．对数函数模型能用对数函数(底数a>1)表达的函数模型叫做对数函数模型,对数函数增长的特点是随自变量的增大,函数值增长速度越来越慢．4．幂函数模型幂函数y＝x n(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．函数模型的选取(1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长到很大时,常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝x n(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化,n值越小(n≤1)时,增长较慢；n值较大(n>1)时,增长较快．知识点二指数函数y＝a x(a>1),对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)增长速度的比较1．在区间(0,＋∞)上,函数y＝a x(a>1),y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数,但增长速度不同,且不在同一个“档次”上．2．在区间(0,＋∞)上随着x的增大,y＝a x(a>1)增长速度越来越快,会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度,而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．[小试身手]1．判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．( )(2)当a>1,n>0时,在区间(0,＋∞)上,对任意的x,总有log a x<x n<a x成立．( )答案：(1)×(2)×2．下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )A．y＝3x B．y＝1 000xC．y＝log2x D．y＝x3解析：指数函数模型增长速度最快．答案：A3．设a＝log123,b＝⎝⎛⎭⎪⎫130.2,c＝213,则( )A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c解析：∵由指数函数、对数函数的性质可知：a＝log123<log121＝0,0<b＝⎝⎛⎭⎪⎫130.2<1,c＝213>1,∴有a<b<c.故选A.答案：A4．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示,则可选择的模拟函数模型是( )A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a·e x＋b D．y＝aln x＋b解析：由散点图和四个函数的特征可知,可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.答案：B类型一几类函数模型的增长差异例1 (1)下列函数中,增长速度最快的是( )A．y＝2 018x B．y＝x2 018C．y＝log2 018x D．y＝2 018x(2)四个自变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表：x 1 5 10 15 20 25 30y1 2 26 101 226 401 626 901y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109y3 2 10 20 30 40 50 60y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是________．【解析】(1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知,指数函数增长速度最快．(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化．【答案】(1)A (2)y2,(1)由题意,指数函数增长速度最快．(2)观察变量y1,y2,y3,y4的变化情况→找出增长速度最快的变量→该变量关于x呈指数型函数变化跟踪训练1 分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1,＋∞)上的增长情况．解析：指数函数y＝2x,当x由x1＝1增加到x2＝3时,x2－x1＝2,y2－y1＝23－21＝6；对数函数y＝log2x,当x由x1＝1增加到x2＝3时,x2－x1＝2,而y2－y1＝log23－log21≈1.585 0.由此可知,在区间[1,＋∞)上,指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快,而对数函数y＝log2x 的增长速度缓慢．在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图象,从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：类型二三类函数图象综合运用例2 判断方程2x＝x2有几个实根．【解析】设y1＝x2,y2＝2x,作出这两个函数的图象,由图象知,方程一定有一个负根,当x>0时,开始y1＝x2在y2＝2x图象的下方,但此时由于y1＝x2比y2＝2x增长的速度快,所以存在x0当x>x0时,y1＝x2的图象就会在y2＝2x的上方,故此时产生一个实根x0,但最终还是y2＝2x比y1＝x2增长得快,故存在x1,当x>x1时,y2＝2x的图象又在y1＝x2的上方,故又产生一个实根x1,以后就永远是y2＝2x比y1＝x2增长得快了,故再没有实根了,故此方程有三个实根.(1)根据指数函数与幂函数增减得快慢以及图象的上下位置判断出是否有实根．(2)对于较复杂的方程根的个数问题,利用数形结合法较为方便,其解题步骤为：①先设出两个可画图象的函数；②画出两个函数的图象；③由图象观察,其交点横坐标的个数即为方程实数解的个数．方法归纳由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数．跟踪训练2 函数f(x)＝lg x,g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)指出曲线C1,C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较)．解析：(1)由题图知,C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1,C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x)；当x∈(x1,x2)时,g(x)<f(x)；当x∈(x2,＋∞)时,g(x)>f(x)．f(x)＝lgx图象是曲线．g(x)＝0.3x－1图象是直线．类型三函数模型的选择问题例3 某皮鞋厂今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双．由于产品质量好、款式新颖,前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时,接受订单不至于过多或过少,需要估计以后几个月的产量．厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长,就月份x,产量为y给出三种函数模型： y＝ax＋b,y＝ax2＋bx＋c,y＝ab x＋c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？【解析】由题意,将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37)这4个数据．(1)设模拟函数为y ＝ax ＋b 时,将B,C 两点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝1.3，2a ＋b ＝1.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.1，b ＝1.所以有关系式y ＝0.1x ＋1.由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下,产量会每月上升1 000双,这是不太可能的． (2)设模拟函数为y ＝ax 2＋bx ＋c 时,将A,B,C 三点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1.2，9a ＋3b ＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.05，b ＝0.35，c ＝0.7.所以有关系式y ＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双,比实际产量少700双,而且由二次函数性质可知,产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下 ,对称轴为x ＝3.5),不合实际．(3)设模拟函数为y ＝ab x＋c 时,将A,B,C 三点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，①ab 2＋c ＝1.2，②ab 3＋c ＝1.3.③由①,得ab ＝1－c,代入②③,得⎩⎪⎨⎪⎧b 1－c ＋c ＝1.2，b 21－c ＋c ＝1.3.则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1.2－b 1－b ，c ＝1.3－b21－b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0.5，c ＝1.4.则a ＝1－c b ＝－0.8.所以有关系式y ＝－0.8×0.5x ＋1.4.结论为：当把x ＝4代入得y ＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.比较上述三个模拟函数的优劣,既要考虑到误差最小,又要考虑生产的实际,如：增产的趋势和可能性．经过筛选,以指数函数模拟为最佳,一是误差小,二是由于厂房新建,随着工人技术和管理效益逐渐提高,一段时间内产量会明显上升,但经过一段时间之后,如果不更新设备,产量必然趋于稳定,而该指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y ＝－0.8×0.5x＋1.4模拟比较接近客观实际.通过数据验证,确定系数,然后分析确定函数变化情况,最终找出与实际最接近的函数模型． 方法归纳数学知识来源于客观实际,服务于实际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具,其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问题,选择合适的数学模型是一件非常重要的事情,根据三种不同的增长模型的特点,选择符合自己的模型,才能产生更大的经济效益．跟踪训练3 1626年,有人从印第安人手里以60荷兰基尔特(相当于24美元)的代价借用纽约的曼哈顿岛,并在借据上注明：归还此岛时,对方要还本付息,年利率是6%,但借据上没有注明利息是按单利计算还是按复利计算．事隔354年之后的1980年,双方当事人的后代到法院打官司说是利息支付不公,要求法院判明是非．法官请数学家作了计算,结果使法官大吃一惊．请问按两种方法计算出的本息和分别是多少？解析：若按单利算,本息和是24×6%×354＋24＝533.76(美元)．若按复利算,本息和是24(1＋6%)354≈2.2×1010(美元)．理解单利、复利的概念．利用公式来计算.[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )A．y＝1 B．y＝xC．y＝2x D．y＝log3x解析：结合函数y＝1,y＝x,y＝2x及y＝log3x的图象可知,随着x的增大,增长速度最快的是y＝2x.答案：C2．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么最能拟合诗句“红豆生南国,春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2解析：由散点图可知,与指数函数拟合最贴切,故选A.答案：A3．已知a,b,c,d四个物体沿同一方向同时开始运动,假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)＝x2,f2(x)＝x 12,f3(x)＝log2x,f4(x)＝2x,如果运动时间足够长,则运动在最前面的物体一定是( )A．a B．bC．c D．d解析：根据四种函数的变化特点,指数函数是一个变化最快的函数．当运动时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体．答案：D4．在同一坐标系中画出函数y＝log a x,y＝a x,y＝x＋a的图象,可能正确的是( )解析：函数y＝a x与y＝log a x的单调性相同,由此可排除C；直线y＝x＋a在y轴上的截距为a,则选项A中0<a<1,选项B中a>1,显然y＝a x的图象不符,排除A,B,选D.答案：D5．y1＝2x,y2＝x2,y3＝log2x,当2<x<4时,有( )A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2,y1＝2x,y3＝log2x,故y2>y1>y3.答案：B二、填空题(每小题5分,共15分)6．已知函数f(x)＝3x,g(x)＝2x,当x∈R时,f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x,g(x)＝2x的图象,如图所示,由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方,则f(x)>g(x)．答案：f(x)>g(x)7．据报道,青海湖水在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2013年的湖水量为m,从2013年起,过x年后湖水量y与x的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q%,则(q%)50＝0.9,所以q%＝0.9150,所以x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.950x.答案：y ＝0.950x ·m8．某工厂8年来某种产品总产量C 与时间t(年)的函数关系如图所示,以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变,其中说法正确的序号是________．解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0<α<1),反应了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知,总产量C 没有变化,即第三年后停产,所以②③正确．答案：②③三、解答题(每小题10分,共20分)9．每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动,某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,现有两种方案如下：方案一：每年植树1万平方米； 方案二：每年树木面积比上一年增加9%. 哪个方案较好？解析：方案一：5年后树木面积为：10＋1×5＝15(万平方米)． 方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米), 因为15.386>15,所以方案二较好．10．某公司拟投资100万元,有两种投资方案可供选择：一种是年利率为10%,按单利计算,5年后收回本金和利息；另一种是年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)解析：本金100万元,年利率为10%,按单利计算,5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)． 本金100万元,年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)． 由此可见,按年利率为9%每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为10%单利计算的更有利,5年后多得利息3.86万元． [能力提升](20分钟,40分)11．四个函数在第一象限中的图象如图所示,a 、b 、c 、d 所表示的函数可能是( )∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45,∴x>45.45.故经过46 h,细胞总数超过1010个．14．某医疗研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服用,据监测：服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定,每毫升血液中含药量不少于4 μg 时治疗疾病有效,假若某病人一天中第一次服药为上午7：00,问：一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？解析：(1)依题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧6t ，0≤t≤1，－23t ＋203，1<t≤10.(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时,则－23t 1＋203＝4,解得t 1＝4,因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t 2小时,则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和,即有－23t 2＋203－23(t 2－4)＋203＝4,解得t 2＝9,故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t 3小时(t 3>10),则此时第一次服进的药已吸收完,血液中含药量应为第二、第三次的和,即有－23(t 3－4)＋203－23(t 3－9)＋203＝4,解得t 3＝13.5,故第四次服药应在20：30.。
几类不同增长的函数模型教案
几类不同增长的函数模型教案不同的增长函数模型可以涵盖各种实际问题和数学概念。
以下是几个常见的函数模型以及它们的教学案例。
一、线性函数模型线性函数模型是最简单也是最容易理解的增长模型之一、在这个模型中，函数的增长率是恒定的，即每单位自变量增加都会导致固定的因变量增加。
这种模型可以用来解释一些日常生活中的现象，例如物体的匀速直线运动。
教学案例：以匀速直线运动为例，教师可以带领学生观察一个滚动的球，并记录下球滚动的时间和球滚动的距离。
通过分析数据，学生可以发现球滚动的距离与时间成正比，即球滚动的距离是时间的线性函数。
教师可以引导学生使用公式来表示这种线性关系，并使用此关系预测未来的球滚动距离。
二、指数函数模型指数函数模型中，增长率是以指数的形式增加或减少的。
这种模型适用于许多和复利相关的问题，如存款利息、细菌繁殖等。
教学案例：以细菌繁殖为例，教师可以给学生一个初始细菌数量，并告诉他们每小时细菌数量翻倍。
学生可以使用指数函数模型来表示细菌数量随时间的增长。
他们可以计算出不同时间点的细菌数量，并观察到数量的指数增长。
通过这个案例，学生可以理解指数函数模型的概念，并应用这个概念解决实际问题。
三、对数函数模型对数函数模型与指数函数模型相反，其增长率是逐渐减少的。
这种模型适用于许多与收益递减相关的问题，如广告效果的衰减、物种灭绝等。
教学案例：以广告效果的衰减为例，教师可以让学生观察一则广告的点击次数随时间的变化。
学生可以发现广告的点击次数一开始会快速增加，但随着时间的推移增长速度逐渐减慢。
通过绘制折线图并使用对数函数模型来拟合数据，学生可以更好地理解对数函数模型的特点，并预测广告点击数的未来情况。
四、多项式函数模型多项式函数模型是基于多项式函数的增长模型，适用于许多实际问题，如多项式曲线拟合、物体的轨迹等。
教学案例：以轨迹为例，教师可以引导学生观察一个投掷物体的轨迹，并记录下物体在不同时间点的位置信息。
学生可以通过数据拟合一条多项式曲线来表示物体的轨迹，并通过这个模型来预测物体下一步的位置。
几类不同增长的函数模型
(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
思路分析：由题意写出函数关系式，利用配方法求得最大值， 列不等式求k的范围．
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m－ x 解：(1)由题意得 y＝ kx( ) m x ＝ kx(1－ )(0≤x<m)． m k k m km (2)y＝－ x2＋ kx＝－ (x－ )2＋ . 2 4 m m m km ∴当 x＝ 时， y 最大＝ ， 2 4 即鱼群年增长量的最大值为 km t. 4
∴y＝f(x)＝13(1＋1%)x是增函数，
即只要递增率为正数时，随着时间的推移，人口的总数总在增 长．
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温馨提示：在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题， 如果原来产值的基础为N，平均增长率为p，则对于时间x的产值y， 可以用下面的公式y＝N(1＋p)x表示，解决平均增长率的问题，要用 到这个函数式．
＝13(1＋1%)3(亿)． ∴经过年数与(1＋1%)的指数相同， ∴经过x年人口数：13(1＋1%)x(亿)． ∴y＝f(x)＝13(1＋1%)x.
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(2)理论上指数函数定义域为R. ∵此问题以年作为单位时间，∴N*是此函数的定义域． (3)y＝f(x)＝13(1＋1%)x是指数函数， ∵1＋1%>1,13>0，
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际 问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的
单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等
问题．
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2 某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入) 为 0.5 万元， 但 每生产 100 台，需要追加可变成本(即另增加投入)0.25 万元．市场对 x2 此产品的年需求量为 500 台，销售收入的函数为 R(x) ＝ 5x － ( 万 2 元)(0≤x≤ 5)，其中 x 是年产量(单位：百台) ． (1)把利润表示为年产量的函数； (2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？ (3)年产量是多少时，工厂才不亏本？
高中数学几类不同增长的函数模型
3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型【知识提炼】三种函数模型的性质y=a x(a>1)y=log x(a>1)y=x n(n>0)a在(0,+∞)上增函数增函数 增函数的增减性______________图象的变化随x 增大逐渐近似 随x 增大逐渐近随n 值而不同 趋势与 y 轴 平行 似与 x 轴平行②存在一个x0,当x>x0时,有x n a【即时小测】1.思考下列问题(1)在区间(0,+∞)上,当a>1,n>0时,是否总有log a x<x n<a x成立?提示:不是,但总存在x0,使得当a>1,n>0,x>x0时,log a x<x n<a x成立.(2)能否举例说明“指数爆炸”增长的含义?提示:如1个细胞分裂x次后的数量为y=2x,此为“指数增长”,其“增长量”是成倍增加的,从图象上看出,存在x0,当x>x0时,数量增加特别快,足以体现“爆炸”的效果.2.已知变量y=1+2x,当x减少1个单位时,y的变化情况是()A.y减少1个单位B.y增加1个单位C.y减少2个单位D.y增加2个单位【解析】选C.由y=1+2x可知,当x减少1个单位时,y相应减少2个单位.3.某超市每月的利润的平均增长率为2%,若12月份的利润是当年1月份利润的m倍,则m等于()A.(1.02)12B.(1.02)11C.(0.98)12D.(0.98)11【解析】选B.设1月份的利润为a,则当年12月份的利润为a(1+2%)11,故m=(1.02)11.4.在函数y=3x,y=log3x,y=3x,y=x3中增长速度最快的是. 【解析】由指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异可判断出y=3x的增长速度最快.答案:y=3x5.如图所示曲线反映的是函数模型的增长趋势.【解析】由图象知,此函数的增长速度越来越慢,因此反映的是幂函数模型或对数型函数模型的增长速度.答案:幂函数或对数型【知识探究】知识点几类函数模型的增长差异观察图形,回答下列问题:问题1:函数t(x),f(x),g(x),h(x)随着x的增大,函数值有什么共同的变化趋势?问题2:函数t(x),f(x),g(x),h(x)增长的速度有什么不同?【总结提升】1.四类不同增长的函数模型(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型.(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型.(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型.2.几类函数模型的选择(1)一次函数模型:当x增加一个单位时,y增加或减少的量为定值,则y是x的一次函数,一次函数的图象为直线.(2)二次函数模型:二次函数是常用的重要模型,y是x或其他量的二次函数,常用来求最大值或最小值问题,要注意定义域.(3)指数函数模型、对数函数模型:当问题中每期(或每年、每段等)的增长率相同,则为指数函数模型或对数函数模型,一般与增长率、衰减率、利息等现实生活联系紧密.【知识拓展】求解数学应用题必须突破的三关(1)阅读理解关:一般数学应用题的文字阅读量都比较大,要通过阅读审题,找出关键词、句,理解其意义.(2)建模关:即建立实际问题的数学模型,将其转化为数学问题.(3)数理关:运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.【题型探究】类型一几类函数模型的增长差异【典例】1.(2015·怀柔高一检测)四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:关于x呈指数函数变化的变量是.2.函数f(x)=1.1x,g(x)=lnx+1,h(x)=的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,e,a,b,c,d为分界点).【解题探究】1.典例1表格中四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化最快的是哪一组?提示:由表中的数据可以看出y2随着x变化,数值增长的速度最快.2.典例2中判断各曲线对应的函数的关键是什么?1,e,a,b,c,d的含义是什么?提示:关键是依据指数函数、对数函数、幂函数的增长速度,判断各曲线对应的函数.1,e,a,b,c,d的含义是相应曲线交点的横坐标.【解析】1.从表格观察函数值y1,y2,y3,y4的增加值,哪个变量的增加值最大,则该变量关于x呈指数函数变化.从表格中可以看出,变量y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,根据指数函数变化的特点,可知变量y2随着x变化呈指数函数变化.答案:y22.由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)= ,曲线C3对应的函数是g(x)=lnx+1.由题图知,当0<x<1时,f(x)>h(x)>g(x);当1<x<e时,f(x)>g(x)>h(x);当e<x<a时,g(x)>f(x)>h(x);当a<x<b时,g(x)>h(x)>f(x);当b<x<c时,h(x)>g(x)>f(x);当c<x<d时,h(x)>f(x)>g(x);当x>d 时,f(x)>h(x)>g(x).【方法技巧】常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升, 其增长速度不变.(2)指数函数模型:能用指数型函数f(x)=ab x+c(a,b,c为常数,a>0,b>1)表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增长的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.(3)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlog a x+n(m,n,a为常数,m>0,x>0,a>1)表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.(4)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0, α≠1)表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值确定,常见的有二次函数模型和反比例函数模型.【变式训练】有一组数据如下表:现准备用下列函数中的一个近似表示这些数据满足的规律,则其中最接近的一个是()A.v=log2tB.v=tC.v=D.v=2t-2【解析】选C.取t=1.99≈2,代入A,得v=log22=1≠1.5,代入B,得v==-1≠1.5,代入C,得v==1.5,代入D,得v=2×2-2≠1.5.经计算可知最接近的一个是选项C.类型二指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【典例】(2015·赤峰高一检测)函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数.(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2011),g(2011)的大小.【解题探究】本例图中两图象分别过哪几个关键点?增加的速度怎样?它们交点的横坐标x1,x2大约在什么范围内?提示:曲线C1过原点,曲线C2与y轴有交点,曲线C2增加的速度快.又因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10.【解析】(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.(2)因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<6<x2,2011>x2.从图象上可以看出,当x1<x<x2 时,f(x)<g(x),所以f(6)<g(6).当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2011)>g(2011).又因为g(2011)>g(6),所以f(2011)>g(2011)> g(6)>f(6).【延伸探究】1.(改变条件)若将“函数f(x)=2x”改为“f(x)=3x”,又如何求解(1) 呢?【解析】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知:C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=3x.2.(改变问法)本例条件不变,(2)中结论若改为:试结合图象,判断f(8),g(8),f(2015),g(2015)的大小.【解析】因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<8<x2,2015>x2.从图象上可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x),所以f(8)<g(8).当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2015)>g(2015).又因为g(2015)>g(8),所以f(2015)>g(2015)>g(8)>f(8).【方法技巧】由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.【补偿训练】(2015·包头高一检测)函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图象如图所示:(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数.(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).【解析】(1)曲线C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lgx.(2)当0<x<x1时,g(x)>f(x);当x1<x<x2时,f(x)>g(x);当x>x2时,g(x)>f(x);当x=x1或x=x2时,g(x)=f(x).【延伸探究】1.(改变问法)本题条件不变,试根据图象确定x1与1,x2与10的大小关系 .【解析】根据C2对应的函数关系式为f(x)=l gx,结合图象与x的交点为(1,0)可知,x1<1;由于f(10)=l g10=1,g(10)=0.3×10-1=2,g(10)>f(10),根据图象,可知x2<10.2.(改变问法)本题条件不变,试根据图象比较f(1.5),g(1.5),f(2015),g(2015)的大小.【解析】由于f(3)=lg3>0,g(3)=0.3×3-1<0,f(10)=lg10=1,g(10)=0.3×10-1=2,g(10)>f(10),结合图象可知3<x2<10,由于当1<x<3时,f(x)>g(x),故f(1.5)>g(1.5);由于x2<10,故当x>10时,g(x)>f(x),故g(2015)>f(2015),又因为f(2015)>f(1.5),所以g(2015)>f(2015)>f(1.5)>g(1.5).类型三函数模型的选择问题【典例】1.(2015·临汾高一检测)某公司为了适应市场需求,对产品结构做了重大调整.调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系,则可选用()A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数2.(2015·邯郸高一检测)某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为50元,其成本价为25元,因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出,为了净化环境,工厂设计两套方案对污水进行处理,并准备实施.方案一:工厂的污水先净化处理后再排出,每处理1立方米污水所用原料费2元,并且每月排污设备损耗费为30000元;方案二:工厂将污水排到污水处理厂统一处理,每处理1立方米污水需付14元的排污费.问:(1)工厂每月生产3000件产品时,你作为厂长,在不污染环境,又节约资金的前提下应选择哪种方案?通过计算加以说明.(2)若工厂每月生产6000件产品,你作为厂长,又该如何决策呢?【解题探究】1.典例1中由“初期利润增长迅速,后来增长越来越慢”,联想到哪类函数的增长特性?提示:符合对数函数的增长特点.2.典例2中要进行两种方案的选择,需对两种方案进行什么比较?提示:需分为每月生产3000件产品,每月生产6000件产品两种情况下分别计算出两种方案的利润,进行比较利润大小,作出选择.【解析】1.选D.一次函数保持均匀的增长,不符合题意;二次函数在对称轴的两侧有增也有降;而指数函数是爆炸式增长,不符合“增长越来越慢”;因此,只有对数函数最符合题意,先快速增长,后来越来越慢.2.设工厂每月生产x件产品时,依方案一的利润为y1,依方案二的利润为y2,由题意知y1=(50-25)x-2×0.5x-30000=24x-30000,y2=(50-25)x-14×0.5x=18x.(1)当x=3000时,y1=42000,y2=54000,因为y1<y2,所以应选择方案二处理污水.(2)当x=6000时,y1=114000,y2=108000,因为y1>y2,所以应选择方案一处理污水.【方法技巧】解函数应用题的四个步骤第一步:阅读、理解题意,认真审题.读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质.审题时要抓住题目中的关键量,善于联想、化归,实现应用问题向数学问题的转化.。
几类不同增长的函数模型 课件
第三步：利用数学方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予 以解答，求得结果． 第四步：再转译成具体问题作出解答．
题型一 一次函数模型的应用 【例 1】 某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为 50 元， 其成本价为 25 元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有 0.5 立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水 进行处理，并准备实施．
2．解函数应用题的步骤 第一步：阅读理解、认真审题． 读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背 景中概括出来的数学实质．在此基础上，分析出已知什么，求 什么，涉及哪些知识．审题时要抓住题目中的关键量，善于联 想、化归，实现应用问题向数学问题的转化． 第二步：引进数学符号，建立数学模型． 一般地设自变量为 x，函数为 y，并用 x 表示各相关量，然后根 据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知 识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问 题的数学化，即所谓建立数学模型．
题型三 对数函数的模型 【例 3】 (12 分)燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究 燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v＝ 5log21Q0，单位是 m/s，其中 Q 表示燕子的耗氧量． (1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位； (2)当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时，它的飞行速度是多少？ 审题指导 由题意可知飞行速度是耗氧量的函数，由函数表达式 分别给变量赋值，求出另外的量．
方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理 1 立方米污 水所用原料费 2 元，并且每月排污设备损耗费为 30 000 元； 方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理 1 立方 米污水需付 14 元的排污费．问： (1)工厂每月生产 3 000 件产品时，你作为厂长，在不污染环境， 又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明． (2)若工厂每月生产 6 000 件产品，你作为厂长，又该如何决策 呢？
几类不同增长的函数模型 课件
探究二 函数模型的应用 [典例 2] 电信局为了满足客户的不同需要，设有 A、B 两种优惠方案，这两种方 案的应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)．(注：图中 MN∥CD)试问：
(1)若通话时间为 2 小时，按方案 A、B 各付话费多少元？ (2)方案 B 从 500 分钟以后，每分钟收费多少元？ (3)通话时间在什么范围内，方案 B 才会比方案 A 优惠．
探究三 增长率与利率问题 [典例 3] 某城市现有人口总数为 100 万人，如果年自然增长率为 1.2%，试解答 以下的问题： (1)写出该城市人口总数 y(万人)与年份 x(年)的函数关系式； (2)计算 10 年后该城市人口总数(精确到 0.1 万人)； (3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到 120 万人(精确到 1 年)； (4)如果 20 年后该城市的人口总数不超过 120 万人，年自然增长率应该控制在多 少？
几种不同增长的函数模型
一、三种函数模型的性质
函数 性质
在(0，＋∞) 上的增减性 增长的速度
y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
增函数 先慢后快
增函数 先快后慢
增函数 相对平稳
二、三种函数模型的增长速度比较
在区间(0，＋∞)上，尽管函数 y＝ax(a>1)、y＝logax(a>1)和 y＝xn(n>0)都是增函 数，但它们的增长 速度不同 ，而且不在同一个 “档次” 上．随着 x 的增大，y ＝ax(a>1)的增长速度越来越 快 ，会 超过 并远远 大于 y＝xn(n>0)的增长 速度 ，而 y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越 慢 ．因此，总会存在一个 x0， 当 x>x0 时，就有 logax < xn< ax.
321《几类不同增长的函数模型》.docx
课题：§3.2.1儿类不同增长的函数模型教学目标：知识与技能 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性.过程与方法 能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对儿种常见增长类型的两 数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差界性；收集一些社会生活中普遍使用的函数 模型（指数函数、对数函数、幕函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用.情感、态度、价值观 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函 数、对数函数等函数与现实批界的密切联系及其在刻呦现实问题屮的作用. 教学重点：重点 将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模 型的增长差界，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.难点怎样选择数学模型分析解决实际问题. 教学程序与环节设计:选择变址、建立模型，利用数据表格、函数图象讨论 模型，体会不同函数模型增长的含义及其差界.总结例题的探究方法，并进一步探索研究幕函数、指 数函数、对数函数的增反差异，形成结论性报告.师生交流共同小结，归纳一般的应用题的求 解方法步骤. 强化基木方法，规范基木格式.收集一些社会住活■ I 噌遍使丿U 的函数模型, 模型的广泛应川.实际问题引入，激发学生兴趣.了解函数教学过程与操作设计:环节教学内容设计师生双边互动材料：澳大利亚兔了数“爆炸”师：指出：一般而言，在在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、理想条件（食物或养料充嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了足，空间条件充裕，气候创脑筋.1859年，冇人从欧洲带进澳洲儿只兔子，适宜，没有敌害等）下，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，利|群在一定时期内的增长设兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了大致符合“J”型曲线；在整个澳大利亚，数量达到75亿只.对爱的兔子变有限环境（空间有限，食情得可恶起来，75亿只兔了吃掉了相当于75亿只物有限，有捕食者存在等）羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊中,种群增长到一定程度境是澳人利亚的主要牲口.这使澳人利亚头痛不已，后不增长，曲线呈“S”他们采用各种方法消灭这些兔了，直至二十世纪型.可用指数函数描述一五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分Z个种群的前期增长，用对九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气. 数函数描述后期增长的例1.假设你有一•笔资金用于投资，现有三师：创设问题情境，以问种投资方案供你选择，这三种方案的冋报如下：题引入能激起学生的热方案一：每天冋报40元；情，使课堂里的有效思维方案二：笫一天回报10元，以后每天比前一天多回报1（）元；增强.方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回生：阅读题目，理解题意，组报比前•天翻•番. 思考探究问题.请问，你会选择哪种投资方案？师：引导学生分析本例中织探究：的数量关系，并思考应当1）在本例中涉及哪些数量关系？如何用函选择怎样的函数模型來描数描述这些数量关系？述.探究生：观察表格，获取信息，体会三种函数的增长差界，特别是指数爆炸，说2）分析解答（略）出白己的发现，并进行交流.师：引导学生观察表格中3）根据例1表格中所提供的数据，你对三三种方案的数量变化情种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么况，对于“增加量”进行认识？比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等.环节教学内容设计师生双边互动组织探究4）你能借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点吗？5）根据以上分析，你认为就作出如何选择？师：引导学生利用函数图象分析三种方案的不同变化趋势.生：对三种方案的不同变化趙势作出描述，并为方案选择捉供依据.师：引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每犬的收益，还要考虑一段时间内的总收益.生：通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出木全的完整解答，然后全班进行交流.例2.某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到1（）万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润兀（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y = 0.25x y = log7 x + ly = 1.002、・问：其屮哪个模型能符合公司的要求？探究：1）本例涉及了哪儿类函数模型？本例的实质是什么？2）你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？师：引导学生分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的彫响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况.生：进一步体会三种基本函数模型在实际中的广泛应用，体会它们的增长差异.师：引导学生分析问题使学生得出：要对每一个奖励模烈的奖金总额是否超出5万元,以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择.环节呈现教学材料师生互动设计组织探究3)通过对三个函数模型增长差异的比较，写出例2的解答.生：分析数据特点与作用判定每一个奖励模型是否符合耍求.师：引导学生利用解析式，结合图象，对三个模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解答过程.生：进一步认识三个函数模型的增长差异，对问题作出具体解答.探究与发现幕函数、指数函数、对数函数的增长差异分析：你能否仿照前面例题使用的方法，探索研究幕函数y = x n (n > 0) >指数函数y = a ' (a>l)、对数函数y = log。
§3.2.1 几类不同增长的函数模型
第三章 函数的应用 3.2 函数模型及其应用 §3.2.1 几类不同增长的函数模型【学习目标】1.认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长。
2.应用函数模型解决简单问题。
【预习提纲】1.请你在同一直角坐标系中做出三个函数xy 2=，2x y =，x y 2log =的图象。
观察：在图中分别标出使不等式222log x x x<<，xx x 2log 22<<成立的自变量x 的取值范围。
我们知道，对数函数)1(log >=a x y a ，指数函数 与幂函数 在区间),0(+∞上都是增函数，这三类函数的增长有差异吗？结合上面的图像进行探究。
2.三个变量321,,y y y 随着变量x 的变化情况如下表：则与x 呈对数型函数、呈指数型函数、呈幂函数型函数变化的变量依次是（ ）A. 321,,y y yB. 312,,y y yC. 123,,y y yD. 213,,y y y3.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经3小时后，这种细菌可由1个分裂 成 。
yOx4.假设银行1年定期的年利率为%2。
某人为观看2008年的奥运会，从2001年元旦开始在银行存款1万元，存期1年，第二年元旦再把1万元和前一年的存款本利和一起作为本金再存1年定期存款，以后每年元旦都这样存款，则到2007年年底，这个人的银行存款共有（精确到0.01万元） 。
【例题精讲】例1. 按复利计算利率的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和为y ，存期为x ，写出本利和y 随x 的变化的函数式。
如果存入本金1000元，每期利率%25.2，试计算5期后的本利和是多少？例2.某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的%25.现有三个奖励模型：xy x y x y 002.1,1log ,25.07=+==，其中哪个模型能符合公司的要求？【归纳点拨】 1.复利及应用复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息。
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例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种 投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前 一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的 奖励比前一天翻一番.
请问：你会选择哪种回报方案？
选择回报方案 的标准
回报量
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还原 （答）
数学化 （列）
解答数学问题
寻找解题思路
构建数学模型
（解）
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例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备
制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到
10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万 元)随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但资
金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有
0
60
10
70
10
80
10
90
10
100 10
…
…
实用文档
300 10
12.8 25.6 51.2 102.4 204.8
…
6.4 12.8 25.6 51.2 102.4
…
214748364.8 107374182.4
我们看到，底为
2的指数函数模
y
型比线性函数模
y0.型得增多4长.2从速x中度你要1对快
10+10+10+10 =10×4
10+10+10+10+10 =10×5
方案三 0.4 0.4×2 0.4×2×2 =0.4×22
0.4×2×2×2 0.4×2×2×2×2
=0.4×23
=0.4×24
设第x天的回报是y元， 则方案一可以用函数__y_=_4_0___(_x_∈__N_*_)__进行描述； 方案二可以用函数__y_=_1_0_x____(_x_∈__N_*_)__描述； 方案三可以用__y_=_0_._4_×__2_x-_1__实_(用_x文_∈档__N_*)___描述。
“指数爆炸”的
140
含义有什么新的
120
理解？
100
y 10x
80
60
y 40
40
20
x
Hale Waihona Puke 246810 12
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三种方案的累计回报量
天数
回报/元
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
方案 一 二
40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 … 1200 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 … 4650
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学以致用，用以致优
老师殷切希望同学们学好数学， 将来为社会创造更多财富，象“指数 爆炸”一样，为祖国的繁荣富强作出 更大的贡献……
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情景问题解答
假如某公司每天给你投资1万元，共投资30天。公司 要求你给他的回报是：第一天给公司1分钱，第二天 给公司2分钱，以后每天给的钱都是前一天的2倍，共 30天，你认为这样的交易对你有利吗？
詹姆斯·西蒙斯是世界级的数学家，也是最伟大的对冲基金经理之一。2005年，西 蒙斯成为全球收入最高的对冲基金经理，净赚15亿美元，差不多是索罗斯的两倍。从 1988年开始，他所掌管的大奖章基金年均回报率高达34％，15年来资产从未减少过。 去年西蒙斯以40亿美元跻身《福布斯》400富人榜第64 位。 詹姆斯·西蒙斯(James Simons)几乎从不雇用华尔街的分析师，他的“文艺复兴科 技公司”（Renaissance Technologies Corp.）里坐满了数学和自然科学的博士。 用数学模型捕捉市场机会，由电脑作出交易决策，是这位超级投资者成功的秘诀
日 回报 量累计回报量
方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前 一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的 回报比前一天翻一番.
思考：在本例中涉及哪些数量关系？如何 用函数描述这些数量关系？
实用文档
X
1
2
3
4
5
方案一 40
40
40
40
40
方案二 10
10+10 10+10+10 =10×2 =10×3
解答如下：公司30天内为你的总投资为: 30万元
你30天内给公司的回报为:0.01+0.01×2+0.01×22+…+0.01×229 =10737418.23 ≈1074(万元)
实用文档
★ 解答例1的过程实际上就是建立函数模型的过程， 建立函数模型的程序大概如下：
实际应用问题
审 （题设）
分析、联想、抽象、转化
三
0.4 1.2 2.8 6 12 25 50.8 102 204 409 819 … 429496729
1~6天，应选择方案一；
结 7天，应选择方案一或方案二； 论 8~10天，应选择方案二；
11天（含11天）以上，应选择方案三. 实用文档
220
三个投资方案日奖金图
方案一 方案二 方案三
200 180
实用文档
在书本第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉 戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑 筋。1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由 于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔 子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整 个澳大利亚，数量达到75亿只。可爱的兔子变得 可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所 吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳 大利亚的主要牲口。这使澳大利亚头痛不已，他 们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五 十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九 十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气
y=0.4*2x-1
每 160
天 的
140
回 120
报 100
y=10x
元 80 60
40
y=40
20
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
天数
()
几种常见函数的增长情况：
常数函数
一次函数
指数型函数
没有增长 保持不变
匀速增长 直实线用文上档
急剧增长 指数爆炸
巴菲特是世人景仰的“股神”，但是在投资领域，其实有一个人的收益率在连续17年 里远远超过了他。这个人不是索罗斯，也不是罗杰斯，而是同著名数学家陈省身一起 提出“陈一西蒙斯理论”的世界级数学家詹姆斯·西蒙斯。
x 天
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 图像 30
方案一 方案二 方案三
y 元 增加量 元 y 元 增加量 元 y 元 增加量 元
40
10
0.4
40
0
40
0
40
0
40
0
20
10
0.8
0.4
30
10
1.6
0.8
40
10
3.2
1.6
50
10
6.4
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