几类不同增长的函数模型

0
60
10
70
10
80
10
90
10
100 10
…
…
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300 10
12.8 25.6 51.2 102.4 204.8
…
6.4 12.8 25.6 51.2 102.4
…
214748364.8 107374182.4
我们看到，底为
2的指数函数模
y
型比线性函数模
y0.型得增多4长.2从速x中度你要1对快
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例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种 投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前 一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的 奖励比前一天翻一番.
请问：你会选择哪种回报方案？
选择回报方案 的标准
回报量
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日 回报 量累计回报量
方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前 一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的 回报比前一天翻一番.
思考：在本例中涉及哪些数量关系？如何 用函数描述这些数量关系？
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X
1
2
3
4
5
方案一 40
40
40
Hale Waihona Puke Baidu40
40
方案二 10
10+10 10+10+10 =10×2 =10×3
詹姆斯·西蒙斯是世界级的数学家，也是最伟大的对冲基金经理之一。2005年，西 蒙斯成为全球收入最高的对冲基金经理，净赚15亿美元，差不多是索罗斯的两倍。从 1988年开始，他所掌管的大奖章基金年均回报率高达34％，15年来资产从未减少过。 去年西蒙斯以40亿美元跻身《福布斯》400富人榜第64 位。 詹姆斯·西蒙斯(James Simons)几乎从不雇用华尔街的分析师，他的“文艺复兴科 技公司”（Renaissance Technologies Corp.）里坐满了数学和自然科学的博士。 用数学模型捕捉市场机会，由电脑作出交易决策，是这位超级投资者成功的秘诀
还原 （答）
数学化 （列）
解答数学问题
寻找解题思路
构建数学模型
（解）
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例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备
制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到
10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万 元)随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但资
金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有
三
0.4 1.2 2.8 6 12 25 50.8 102 204 409 819 … 429496729
1~6天，应选择方案一；
结 7天，应选择方案一或方案二； 论 8~10天，应选择方案二；
11天（含11天）以上，应选择方案三. 实用文档
220
三个投资方案日奖金图
方案一 方案二 方案三
200 180
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学以致用，用以致优
老师殷切希望同学们学好数学， 将来为社会创造更多财富，象“指数 爆炸”一样，为祖国的繁荣富强作出 更大的贡献……
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情景问题解答
假如某公司每天给你投资1万元，共投资30天。公司 要求你给他的回报是：第一天给公司1分钱，第二天 给公司2分钱，以后每天给的钱都是前一天的2倍，共 30天，你认为这样的交易对你有利吗？
“指数爆炸”的
140
含义有什么新的
120
理解？
100
y 10x
80
60
y 40
40
20
x
24
6
8
10 12
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三种方案的累计回报量
天数
回报/元
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
方案 一 二
40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 … 1200 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 … 4650
解答如下：公司30天内为你的总投资为: 30万元
你30天内给公司的回报为:0.01+0.01×2+0.01×22+…+0.01×229 =10737418.23 ≈1074(万元)
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★ 解答例1的过程实际上就是建立函数模型的过程， 建立函数模型的程序大概如下：
实际应用问题
审 （题设）
分析、联想、抽象、转化
10+10+10+10 =10×4
10+10+10+10+10 =10×5
方案三 0.4 0.4×2 0.4×2×2 =0.4×22
0.4×2×2×2 0.4×2×2×2×2
=0.4×23
=0.4×24
设第x天的回报是y元， 则方案一可以用函数__y_=_4_0___(_x_∈__N_*_)__进行描述； 方案二可以用函数__y_=_1_0_x____(_x_∈__N_*_)__描述； 方案三可以用__y_=_0_._4_×__2_x-_1__实_(用_x文_∈档__N_*)___描述。
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在书本第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉 戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑 筋。1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由 于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔 子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整 个澳大利亚，数量达到75亿只。可爱的兔子变得 可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所 吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳 大利亚的主要牲口。这使澳大利亚头痛不已，他 们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五 十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九 十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气
x 天
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 图像 30
方案一 方案二 方案三
y 元 增加量 元 y 元 增加量 元 y 元 增加量 元
40
10
0.4
40
0
40
0
40
0
40
0
20
10
0.8
0.4
30
10
1.6
0.8
40
10
3.2
1.6
50
10
6.4
3.2
40
0
40
0
40
0
40
0
40
0
…
…
40
y=0.4*2x-1
每 160
天 的
140
回 120
报 100
y=10x
元 80 60
40
y=40
20
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
天数
()
几种常见函数的增长情况：
常数函数
一次函数
指数型函数
没有增长 保持不变
匀速增长 直实线用文上档
急剧增长 指数爆炸
巴菲特是世人景仰的“股神”，但是在投资领域，其实有一个人的收益率在连续17年 里远远超过了他。这个人不是索罗斯，也不是罗杰斯，而是同著名数学家陈省身一起 提出“陈一西蒙斯理论”的世界级数学家詹姆斯·西蒙斯。