柯西积分定理的一个简单证明

柯西积分定理的一个简单证明

摘要：本文用到零的同源环给出了柯西定理的一个证明。证明运用了解析函数基本的局部性质，没有额外的几何以及拓扑论证。

本文的目的是给出关于柯西定理for circuits homologous to 0的一个简洁明了的证明。

柯西定理：假设D 是C 的一个开子集，γ是D 中的一个环。假设γ是与零同源的，并且每个E 中的D ω∉都是确定的。那么对于每一个D 中解析函数f ：

（1）()0f z dz γ=⎰

（2）对于任意与γ无关且属于D 的w ，有11(,)()(2)

()()Ind w f w i z w f z dz γγπ--=-⎰

证明：考虑D D C ⨯→的函数g ，且对z w ≠满足(,)(()())/()g w z f z f w z w =--，(,)'()g w w f w =。可知g 是连续的，并且对每个,z w ，(,)g w z 是解析的。给定:h C C →，并且在D 上()(,)h w g w z dz γ=⎰，在E 上1()()()h w z w f z dz γ-=-⎰。假设C D E =⋂，由

于(,)0Ind w γ=，则这两种()h w 的表示在D E ⋂是相等的。

那么可知h 在D 和E 上都是可导的，所以h 是整函数。由于γ的映射是有限的，并且E 包含了∞的一个邻域，()0h w →时有w →∞。这表明h 是连续的（刘伟尔定理），并且h=0.则对于所有D ω∈不依赖于γ，(,)g w z dz γ⎰=0。这样就证明了（2）

。最后设u 是D 中不依赖于γ的定点。将（2）用于函数()()z f z z u →-，计算w u =的情况，便得到（1）。