样本空间及其随机事件
1-2节 样本空间和随机事件
A ( B C ) ( A B) ( A C ),
(4)德 摩根律 : A B A B, A B A B.
(对偶律)
A A,
i 1 i i 1 i
样本空间的元素由试验的目的所确定.
二、随机事件
随机事件 在一次试验中可能发生也可能不发
生的结果称为随机事件, 简称事件.事件常用A、
B、C表示. 随机事件是由样本空间的某些样本点构成的. 例如 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出现6 点”, “点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.
空集 和样本空间S都是样本空间S的子集, 在每次试验中 必不发生,称 为不可能事件; S 必发生,称 S为必然事件. 为叙述方便,把不可能事件和必然事件都包括 在随机事件中.
三、事件间的关系及运算
设试验 E 的样本空间为 S , 而 A, B, Ak (k 1,2,) 是 S 的子集.
个事件,称此事件为事件 A与事件B的积事
件. 记作 A I B或AB 显然 A I B {e | e A且e B}.
A AB
B
S
图示:事件A与B 的积事件.
积事件具有如下性质：
(1)若A B, 则A B A; B A, 则A B B.
(2) A B A; A B B.
3. 和事件
“事件 A与事件B至少有一个发生”也是 一 个事件, 称此事件为事件 A 与事件B的和事件. 记作A B，显然A B {e | e A或e B}.
B A
S
样本空间、随机事件
(8) ，，C 都不发生： C 或 C 。
例1.3 设事件A 表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，求其 对立事件A。
解 设B =“甲种产品畅销”，C=“乙种产品滞销”
则
C
故 C C = “甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
概率学与数理统计
4.差事件
“事件A 发生而B 不发生”的事件称为A 与B 的差
事件，简称差，记为 B ，如图1-4。
由事件差的定义，立即得到： 对任一事件A，有
， ，
图1-4
5.互不 相容
如果两个事件A 与B 不可能同时发生，则称事件A
与B 为互不相容(互斥)，记作 B ，如图1-5。
温度，并设这一地区温度不会小于T0 也不会大于T1。
6 :Y,N ，其中Y 表示合格，N 表示不合格；
7 : q q 0
随机事件：随机试验E 的样本空间Ω 的子集称为E 的随机事 件，简称事件，一般用大写字母 A，B，C 表示。
事件发生：在每次试验中，当且仅当一个事件A 中的一个样 本点出现时，称这一(亦即基本结果)，称为基
本事件。例如，试验E1 有两个基本事件H 、T；试验E2 有36个
基本事件 1，1、1，2 、…、6，6。
每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件。样本空间 Ω 包含所有的样本点，它是Ω 自身的子集，每次试验中都必然 发生，故它就是一个必然事件。因而必然事件我们也用Ω 表示。 在每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件。空集 不包 含任何样本点，它作为样本空间的子集，在每次试验中都不可 能发生，故它就是一个不可能事件。因而不可能事件我们也用 表示。
为对立事件。
与集合运算的规律一样，一般事件的运算满足如下关系：
概率与统计中的随机事件与样本空间
概率与统计中的随机事件与样本空间随机事件与样本空间是概率与统计中重要的概念，它们在统计推断、随机模型建立以及实际应用中起着关键的作用。
本文将从理论与实践的角度，探讨随机事件与样本空间的定义、属性及应用。
一、随机事件的定义与性质随机事件是指可以在一次试验中出现，但不能预先确定具体结果的事件。
在概率论中，一般将随机事件用事件的形式表示，如A、B等。
随机事件可以是单个结果，也可以是多个结果的组合。
在概率论的框架下，随机事件具有以下性质：1. 包含性：对于样本空间Ω中的每个结果ω，如果事件A发生，则该结果必定属于事件A，即A⊆Ω。
2. 互斥性：如果事件A与事件B的结果不能同时发生，则事件A与事件B是互斥事件，即A∩B=∅。
3. 全面性：样本空间Ω中的所有结果都属于某个事件，即Ω是必然发生的事件。
二、样本空间的定义与性质样本空间是指一次试验中可能出现的所有结果的集合，通常用Ω表示。
样本空间的定义与试验的性质密切相关，不同试验可能具有不同的样本空间。
例如，投掷一枚硬币的样本空间为{正面, 反面}，抛掷一个骰子的样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
样本空间具有以下性质：1. 互不相容性：样本空间中的每个结果都是不同的，即样本空间中的每个元素都是互不相同的。
2. 穷尽性：样本空间包含了一次试验中所有可能出现的结果，即样本空间涵盖了整个试验范围。
三、随机事件与样本空间的应用随机事件与样本空间在概率论与统计中有着广泛的应用，以下介绍其中几个重要的应用场景。
1. 概率计算：通过对随机事件与样本空间的分析，可以计算事件发生的概率。
通常使用频率或古典概率来估算事件发生的可能性。
2. 统计推断：基于样本空间中获取的一部分数据，可以通过统计推断来对总体进行估计。
例如，通过对样本数据的分析，可以推断总体的均值、方差等参数。
3. 随机模型建立：在随机模型中，随机事件与样本空间的定义是模型建立的基础。
根据具体问题的特点，可以建立相应的随机模型来分析事件的发生规律。
随机事件与样本空间
随机事件与样本空间“随机事件”和“概率”是概率论中最基本的两个概念，“独立性”和“条件概率”是概率论中特有的概念。
一、随机事件的关系与运算[1]样本空间：由一个特定的随机试验所有可能发生的基本结果构成的一个集合，成为该实验的“样本空间”，以大写字母Ω表示；试验的每一个可能发生的基本结果称为“样本点”，用小写字母ω表示。
由Ω的一个样本点组成的单点集合称为“基本事件”；Ω的一个子集称为一个“随机事件”。
样本空间Ω和空集∅为两个特殊的子集，分别称为“必然事件”和“不可能事件”。
[2]事件的关系运算：[3] 事件的运算法则：❶A ∅⊂⊂Ω❷A B A A B ⋃⊃⊃- A A B ⊃ ❸A A ⋃∅= A ⋂∅=∅ ❹A A ⋃=Ω A A ⋂=∅ ❺A A == -Ω=∅-∅=Ω❻A A A ⋃= A A A = ()A B A A B A -⋃=⋃≠ ❼如果A B ⊃,则A B A ⋃=,A B B ⋂= ❽满足交换律：A B B A ⋃=⋃,AB BA =❾满足结合律：()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃ ()()A B C A B C= ❶⓿满足分配率：()A B C AB AC ⋃=⋃ ()()()A BC A B B C ⋃=⋃⋃ ❶❶= =二、随机事件的概率：[1]古典概型：设随机事件的样本空间Ω包含有有限个样本点（此模型称为古典概型），则事件A 发生的概率为： #()#A P A E n==Ω有利于事件A 的样本点数m实验的样本空间所含的样本点数 [2]几何定义： 设Ω是n R （n=1、2、3）中任何一个可度量的区域，从Ω中随机的选择一点，即Ω中任何一点都有相同的机会被选到，则相应的随机试验的样本空间就是Ω，假设事件A 是Ω中任何一个可度量的子集，则：()()()A P A μμ=Ω 此式定义的概率称为几何概率，符合上述假定模型的称为几何概型。
[3]统计定义：对一特定的实验，进行多次重复试验，实验的某一结果A ，即随机试验A ，在大量的重复试验中出现的频率的稳定值p 称为A 的概率。
1.2 样本空间、随机事件
S
A=B，则称事件 相等。 若 A ⊂ B 且 B ⊃ A ，即 A=B，则称事件 A 与事件 B 相等。
2°事件 A U B = { x | x ∈ A 或 x ∈ B }称为事件 A 与 B 的 ° 中至少有一个发生。 和事件，它指的是事件 A 与事件 B 中至少有一个发生。 事件，它指的是事件
如何来研究随机现象? 如何来研究随机现象 随机现象是通过随机试验来研究的！ 随机现象是通过随机试验来研究的！ 随机试验来研究的 研究方法？数学方法？ 研究方法？数学方法？ 将E的结果数量化！---用集合：S={e}，A，B… 的结果数量化！---用集合：S={e}， 用集合 引进（随机）变量、函数（概率、分布函数） 引进（随机）变量、函数（概率、分布函数）… 概率论研究的主线？ 概率论研究的主线？ 1、事件表示：---利用事件间关系、运算表示较复 事件表示：---利用事件间关系、 利用事件间关系 杂事件… 杂事件 计算事件的概率：----利用概率的定义 性质、 利用概率的定义、 2、计算事件的概率：----利用概率的定义、性质、 概率运算公式… 概率运算公式
2. 几点说明
由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 基本事件
S 作为自己的一个子集，在每次试验中必然发生，称为 作为自己的一个子集，在每次试验中必然发生， 必然发生 必然事件; 必然事件; 空集∅ 作为 S 的一个子集，在每次试验中都不会发生，称 的一个子集，在每次试验中都不会发生， 都不会发生 为不可能事件 不可能事件. 事件
子集
事件间关系。。。 随机事件→事件间关系。。。 事件间关系
集合→ 集合→集合间关系运算
定义于集合的函数： 定义于集合的函数：函数
随机事件与样本空间的关系
随机事件与样本空间的关系在概率论中，随机事件与样本空间是密不可分的概念。
理解二者之间的关系对于概率计算和推理至关重要。
本文将介绍随机事件和样本空间的定义、关系以及在概率计算中的应用。
一、随机事件的概念随机事件是指在一次特定的试验中可能发生或不发生的现象。
它是样本空间中的一个子集。
例如，掷一枚硬币，其试验结果可以是正面朝上（事件A）或反面朝上（事件B）。
在这个例子中，事件A和事件B分别是试验的两个随机事件。
二、样本空间的定义样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合。
它包含了实验中的每一个可能结果。
以掷一枚硬币为例，样本空间为{正面，反面}。
样本空间可以有有限个元素，也可以是一个无穷集合。
三、随机事件与样本空间的关系随机事件是样本空间的子集。
它们之间的关系可以用包含关系来描述。
具体而言，一个事件A发生意味着试验的结果属于A所对应的样本点集合。
相反，如果试验结果属于事件A，那么事件A就发生了。
四、概率计算中的应用概率计算是研究随机事件发生可能性的重要方法。
随机事件和样本空间的关系在概率计算中起着关键作用。
1. 计算概率概率可以通过事件发生的样本点数量与样本空间中样本点总数的比值来计算。
例如，假设在掷一枚硬币的试验中，事件A表示正面朝上，那么事件A发生的概率为P(A) = |A| / |样本空间|，其中|A|表示事件A中的样本点数量，|样本空间|表示样本空间中的样本点数量。
2. 事件间的运算根据随机事件和样本空间的关系，可以进行并、交、差等运算。
例如，事件A和事件B的并集为A∪B，表示A和B中至少有一个发生的样本点的集合。
交集为A∩B，表示A和B同时发生的样本点的集合。
差集为A-B，表示A发生而B不发生的样本点的集合。
3. 条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率计算中，样本空间会根据已知事件的发生而被限制在一个子集中，从而影响概率的计算。
例如，已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率可以表示为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
随机事件与样本空间
问题情境
木柴燃烧,产生热量
明天，地球还会转动
实心铁块丢入水中,铁块浮起
在0 C下，这些雪融化
0
在一定条件下: 必然会发生的事件叫必然事件; 必然不会发生的事件叫不可能事件;
试判断这些事件发生的可能性：
（1）木柴燃烧，产生热量 必然发生 （2）明天,地球仍会转动 必然发生
必然事件
（3）实心铁块丢入水中,铁块浮起 不可能发生 （4）在标准大气压00C以下，雪融化 不可能发生
乙同学
布 剪子 石头
． ． ． ． ． ． ． ． ．
石头 剪子 布
甲同学
• • • •
练习 写出下列随机试验的样本空间： （1）种下一粒种子，观察种子是否发芽； （2）甲乙两队进行一场比赛，观察甲队的 胜负结果； • （3）从含有15件次品的100件产品中任取5 件，观察其中的次品数。
Ω１＝｛发芽，不发芽｝ Ω２＝｛胜，负，平｝ Ω３＝｛０，１，２，３，４，５｝
不可能事件
（5）在刚才的图中转动转盘后，指针指向黄色区域
可能发生也可能不发生 （6）两人各买1张彩票，均中奖 可能发生也可能不发生 随机事件
试分析:“从一堆牌中任意抽一张抽到红牌”这一事 件的发生的可能性?
必然发生
必然不会发生
可能发生, 也 可能不发生
三人每次都能摸到红球吗？
思考：
1、样本空间本身表示的事件是必然事件吗？ 2、用空集φ表示的事件是不可能事件吗？举例 说明 3、某同学投篮5次，“他投中6次”和“他投 中的次数小于6”分别是什么事件？
你能列举几个随 机现象的例子吗?
二、随机试验
在实际中,一般通过观察试验来研究随机现象.
对随机现象的观察或试验称为随机试验,简称 试验。
样本空间和随机事件的定义
样本空间和随机事件的定义
样本空间和随机事件是统计学中的常用概念，主要用来表示一种不确
定的结果或者过程。
它们的定义比较特殊，可以概括为以下几个步骤：
#### 一、定义样本空间
样本空间是统计学中表示实验抽样结果集合的概念，可以理解为“实
验集合”，它包含所有可能的实验抽样结果，其中所有元素叫做样本点。
要想定义一个样本空间，需要明确几个要素：样本空间的类型，
即数量上的限制；样本空间元素的表示方式；样本空间元素之间的关系，例如概率。
#### 二、定义随机事件
随机事件是指在某个样本空间里，我们关注的一个特定的实验结果。
它是用来描述一定条件下事件发生的概率。
相对于样本空间，随机事
件一般具有较小的范围，并且只包含满足某一特定条件的样本点。
也
就是说，随机事件是根据样本空间里的某一部分的元素而进一步定义的。
#### 三、样本空间和随机事件的关系
在定义完样本空间和随机事件之后，我们可以把它们两个之间的关系
总结为一句话：随机事件是样本空间的子集。
也就是说，样本空间是
一个完整的集合，而随机事件是它的一部分。
定义好样本空间和随机
事件之后，可以通过求解概率，来推断未知变量的取值情况，或者预
测某个事件是否会发生。
总之，样本空间和随机事件是统计学中经常使用的概念，它们之间的关系是样本空间是随机事件的父集，而随机事件是样本空间的子集，可以用来描述某个事件发生的概率，决定未知事件发生的可能性。
它们的定义和使用是根据不同的应用场景而有所不同，且有其自身的特点。
第2节 样本空间,随机事件
同时发生. 同时发生
6.差事件 设随机试验 的样本空间为 而A,B 差事件 设随机试验E的样本空间为 的样本空间为S,而 的子集,事件 为S的子集 事件 －B = { x | x ∈ A但x ∉ B } 表 的子集 事件A－ 发生而B不发生 示 A发生而 不发生 发生而 不发生. 例如,甲乙二人向同一目标各进行一次射击 例如 甲乙二人向同一目标各进行一次射击 A=“甲命中目标 A=“甲命中目标”, 甲命中目标” B=“乙命中目标 B=“乙命中目标”, 乙命中目标” 甲命中目标而乙未命中目标” 甲命中目标而乙未命中目标 A − B = “甲命中目标而乙未命中目标” 再如,在电话呼叫的例子当中 再如 在电话呼叫的例子当中 A=“10 ≤ X≤30” , B=“20 ≤ X≤ 50” 发生而B不发生 发生而 不发生” A − B = “A发生而 不发生”= “10 ≤ X<20”
再如,向如图所示的平面区域 内任意地投掷 再如 向如图所示的平面区域S内任意地投掷 向如图所示的平面区域 质点 S A=“所投质点落入 a之内”, 所投质点落入S 之内” 所投质点落入 B=“所投质点落入 b之内”, 所投质点落入S 所投质点落入 之内”
Sa
Sb
所投质点落入S 之内” 所投质点落入 A U B = “所投质点落入 a或Sb之内”, 所投质点落入S 之内” 所投质点落入 A I B = “所投质点落入 a且Sb之内”. 说明 A U B , A I B 集合论:两集合 与 集合论 两集合A与B 两集合 的并与交. 的并与交 发生或B发生或 注意 A U B : A发生或 发生或 与B同时发生 发生或 发生或A与 同时发生
设随机试验E的样本空间为 而可列个事件 设随机试验 的样本空间为S,而可列个事件 的样本空间为 A1, A2,…, An,…为S的子集 的子集, 为 的子集
样本空间随机事件
件, 称 Ak为可列个事件A1, A2 , 的积事件 .
k 1
和事件与积事件的运算性质 A A A, A S S, A A,
A A A, A S A, A .
4. 事件A B x x A且x B, 称为事件A与
事件B的差事件 . 当且仅当A发生, B不发生时, 事 件A B发生 .
样本空间S包含所有的样本点, 它是S自身的 子集, 在每次实验中它总是发生的, S称为必然事 件.
空集不包含任何点, 它也作为样本空间的 子集, 它在每次实验中都不发生, 称为不可能事件.
必然事件的对立面是不可能事件, 不可能事 件的对立面是必然事件, 它们互称为对立事件.
随机事件举例
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.
A (B C) (A B) C . (3)分配律 A (B C ) ( A B) ( A C ) ;
A (B C) (A B) (A C) . (4)德.摩根律 A B A B; A B A B .
经常用到下述定律
吸收律 A
与事件B的积事件 .当且仅当A, B同时发生时事件
A B发生 . A B也记作AB .
A和B重叠部分 B
A S
某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径
是否合格所决定, 因此“产品合格”是“长度合格”
与“直径合格”的交或积事件.
n
类似地, 称 Ak为n个事件A1, A2 , , An的积事
k 1
由一个样本点组成的单点集, 称为基本事件.
2. 几点说明
(1) 随机事件可简称为事件, 并以大写英文字母
A, B, C, 来表示事件.
例如 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 可设 A = “点数不大于4”, B = “点数为奇数” 等等.
概率论课件——样本空间、随机事件
互
斥
事件间的运算规律 设 A, B, C 为事件, 则有
(1) 交换律
A B B A, AB BA. (Exchange law)
( 2) 结合律 ( A B ) C A ( B C ),
( AB )C A( BC ).
(Combination law)
k 1
n
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 , 的积事件.
k 1
和事件与积事件的运算性质
A A A, A A A, A S S, A S A, A A,
A .
5. 事件 A 与 B 互不相容 (互斥) (Incompatible events) 若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现, B
直径是否合格所决定,因此 “产品不合格”是“长度 不合格”与“直径不合格”的并. 图示事件 A 与 B 的并.
B A B A
S
推广 称 Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , , An 的和事件;
k 1
n
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 , 的和事件.
k 1
4. 事件 A 与 B 的交 (积事件) (Product of events)
例如 只包含两个样本点的样本空间
S {H , T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模 型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的 模型等.
所以在具体问题的研究
中 , 描述随机现象的第一步
就是建立样本空间.
二、随机事件(Random event ) 的概念
第二节 样本空间、随机事件 (Sampling space, Random event )
概率与统计中的样本空间与随机事件
概率与统计中的样本空间与随机事件概率与统计是数学中非常重要的一个分支，它研究的是在不确定性条件下，通过样本空间和随机事件的概念，对现实世界中事件的发生进行量化和解释。
在本文中，我们将深入探讨概率与统计中的样本空间与随机事件的概念、性质以及其在实际问题中的应用。
一、样本空间的定义与性质在概率与统计中，样本空间指的是一个随机试验所有可能结果的集合。
举个例子来说，如果我们进行一次抛硬币的实验，那么样本空间可以表示为{正面，反面}。
样本空间中的每个元素称为一个样本点，而样本空间的大小称为样本点的个数。
样本空间可以用数学符号Ω表示。
样本空间具有以下性质：1. 样本空间是一个集合，其中的元素表示所有可能的结果。
2. 样本空间中的元素是互斥的，即一个实验结果只能对应样本空间中的一个元素。
3. 样本空间中的元素是完备的，即包含了实验的所有可能结果。
4. 样本空间是随机试验的基本概念，是进行概率计算的起点。
二、随机事件的定义与性质在样本空间的基础上，我们可以定义随机事件。
随机事件是指样本空间的子集，即由样本空间中的若干个样本点构成的集合。
举个例子来说，如果我们定义事件A为抛硬币的结果是正面朝上，那么事件A 可以表示为{正面}，它是样本空间的一个子集。
随机事件具有以下性质：1. 随机事件是样本空间的一个子集，由样本点构成。
2. 随机事件可以是单个样本点，也可以是多个样本点组成的集合。
3. 随机事件可以是空集，即不包含任何样本点的事件。
4. 样本空间本身以及包含所有样本点和空集的事件也是随机事件。
三、样本空间与随机事件在实际问题中的应用概率与统计作为一门应用广泛的学科，其样本空间与随机事件的概念在实际问题中具有重要的应用价值。
以下是一些典型的应用场景：1. 投资决策：在金融领域中，投资决策往往需要对不同投资方案的风险和回报进行评估。
通过建立样本空间和定义相应的随机事件，可以对不同投资方案进行量化和比较，从而做出更明智的决策。
事件与样本空间如何描述随机事件和样本空间
事件与样本空间如何描述随机事件和样本空间随机事件和样本空间是概率论和统计学中的重要概念，用于描述随机现象和可能的结果。
本文将介绍事件和样本空间的概念，并探讨如何准确描述它们。
一、事件的概念事件是指随机现象中的某一个结果或一组结果的集合。
通常用大写字母A、B、C等来表示事件。
例如，扔一枚硬币的结果可以是正面或反面，我们可以定义事件A为“出现正面”的结果，事件B为“出现反面”的结果。
二、样本空间的概念样本空间是指随机现象的所有可能结果的集合，通常用大写字母Ω表示。
样本空间是事件集合的全集，包含了所有可能的结果。
例如，扔一枚硬币的样本空间可以表示为Ω = {正面, 反面}。
三、事件与样本空间的关系事件是样本空间的子集，即事件中的结果必须属于样本空间。
事件的发生与否取决于实际观察或实验的结果，而样本空间则包含了所有可能的结果。
事件与样本空间之间的关系可以用集合论的概念来描述。
四、描述事件与样本空间的方法1. 列举法通过列举样本空间中的每个结果，以及事件中的部分或全部结果，来描述事件和样本空间。
例如，扔一枚骰子的样本空间可以表示为Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，事件A表示“出现偶数”的结果，则可以表示为A = {2, 4, 6}。
2. 数学符号使用特定的数学符号来描述事件和样本空间。
事件可以用集合论中的符号表示，样本空间可以用Ω表示。
例如，事件A可以表示为A = {ω ∈ Ω | ω 是偶数}，表示事件A是由样本空间中满足条件“是偶数”的结果组成。
3. 文字描述通过文字来描述事件和样本空间。
使用简洁、准确的语言来表达。
例如，事件A可以描述为“扔一枚骰子结果为偶数”，样本空间可以描述为“扔一枚骰子的可能结果为1、2、3、4、5、6”。
五、小节事件和样本空间是描述随机现象和可能结果的重要概念。
事件是样本空间的子集，用于描述随机现象中某个结果或一组结果的集合。
样本空间是所有可能结果的集合，是事件集合的全集。
概率论中的随机事件和样本空间
概率论中的随机事件和样本空间概率论是数学中的一个重要分支，是研究随机事件发生的规律的学科。
在概率论中，随机事件和样本空间是非常基础的概念。
它们的理解对于理解概率论的整个体系以及应用非常重要。
本文将深入解析随机事件和样本空间的概念、性质和应用。
一、随机事件和样本空间的概念随机事件指可能发生也可能不发生的结果，可以用事件的形式来描述。
例如扔一枚硬币，事件可以表示为“正面朝上”或“反面朝上”。
而样本空间指所有可能出现的结果组成的集合，通常用大写字母S来表示。
以扔一枚硬币为例，样本空间可以表示为S={正，反}。
其中正和反为样本点，也可以表示为ω1和ω2。
二、随机事件和样本空间的性质1、不可能事件：事件不会发生，即概率为0。
例如扔一枚硬币出现“正”和“反”的可能性是相等的，所以不可能事件为硬币竖直立着，既不朝上也不朝下。
2、必然事件：事件一定会发生，即概率为1。
例如扔一枚硬币一定朝上或朝下，所以必然事件为“硬币朝上”和“硬币朝下”。
3、事件的互斥性：如果两个事件A和B至少有一个发生的话，那么这个事件的概率就是A和B概率之和。
4、事件的独立性：如果事件A发生与否不影响事件B发生的可能性，那么称A和B是互相独立的。
三、样本空间和事件的应用概率论在现实生活中有广泛应用，例如赌博、证券交易、保险、抽样调查等。
下面以抽样调查为例，说明样本空间和事件的应用。
在抽样调查中，研究对象的总数往往很大，难以全部进行统计和研究。
因此，需要从总体中抽取一部分进行研究，这部分就被称为样本。
在这个过程中，样本空间是指可能被抽到的所有样本组成的集合。
例如，假设要进行某市民的选举调查，抽取1000人作为样本。
样本空间可以表示为S={第1个受访者，第2个受访者，…，第1000个受访者}。
而事件则是针对研究对象的某种特征或情况而定义的，例如这1000个受访者中有多少人会投票选某位政治人物。
事件的概率表示着该事件发生的可能性大小，它是通过概率分布函数（PDF）或概率密度函数（PDF）来计算的。
§1.1 随机事件与样本空间
§1.1 随机事件与样本空间随机事件与样本空间是概率论中的两个最基本的概念。
一、 基本事件与样本空间对于随机试验来说，我们感兴趣的往往是随机试验的所有可能结果。
例如掷一枚硬币，我们关心的是出现正面还是出现反面这两个可能结果。
若我们观察的是掷两枚硬币的试验，则可能出现的结果有（正、正）、（正、反）、（反、正）、（反、反）四种，如果掷三枚硬币，其结果还要复杂，但还是可以将它们描述出来的，总之为了研究随机试验，必须知道随机试验的所有可能结果。
1、 基本事件通常，据我们研究的目的，将随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件。
因为随机事件的所有可能结果是明确的，从而所有的基本事件也是明确的，例如：在抛掷硬币的试验中“出现反面”，“出现正面”是两个基本事件，又如在掷骰子试验中“出现一点”，“出现两点”，“出现三点”，……，“出现六点”这些都是基本事件。
2、 样本空间基本事件的全体，称为样本空间。
也就是试验所有可能结果的全体是样本空间，样本空间通常用大写的希腊字母Ω表示，Ω中的点即是基本事件，也称为样本点，常用ω表示，有时也用A,B,C 等表示。
在具体问题中，给定样本空间是研究随机现象的第一步。
例1、 一盒中有十个完全相同的球，分别有号码1、2、3……10，从中任取一球，观察其标号，令=i {取得球的标号为i }，=i 1,2,3,…,10. 则Ω={1,2,3,…,10},=i ω{标号为i },=i 1,2,3,…,10 1ω,2ω,…, 10ω为基本事件（样本点）例2 在研究英文字母使用状况时，通常选用这样的样本空间： Ω={空格，A,B,C,…,X,Y,Z}例 1，例 2讨论的样本空间只有有限个样本点，是比较简单的样本空间。
例3讨论某寻呼台在单位时间内收到的呼叫次数，可能结果一定是非负整数而且很难制定一个数为它的上界，这样，可以把样本空间取为Ω={0,1,2,3,…}这样的样本空间含有无穷个样本点，但这些样本点可以依照某种顺序排列起来，称它为可列样本空间。
随机事件与样本空间 PPT
第一节 随机事件的概念
一、 随机现象 二、 随机试验 三、样本空间 样本点 四、随机事件的概念
五、事件的关系与运算
一、随机现象
自然界所观察到的现象:
1.确定性现象
确定性现象 随机现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.
实确例定性现象的特征
条件完全决定结果
HTT , TTH , THT , TTT }.
若观察出现正面的次数 , 则样本空间为
S {0, 1, 2, 3}.
说明
3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现 象的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题.
例如 只包含两个样本点的样本空间
S {H,T} 它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
指挥灯”.
实例6 “一只灯泡的寿命” 可长可 短.
说明
1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联 系 , 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性（也称随机性). 或者说，出现哪个结果“凭机 会而定”.
3.但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现 具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现 象这种本质规律的一门数学学科.
第二次世界大战军事上的需要以及大工业 与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息 论、控制论与数理统计学等学科.
数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、 整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的
问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策
和行动提供依据和建议的 数学分支学科.
统计方法的数学理论要用到很多近代数学 知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数 学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这 样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计
随机事件和样本空间
由此可知，事件 A B 的含意与集合论中的意义是一致的。 因为不可能事件 不含有任何 ，所以对任一事件 A，我们约定 A
图中的阴影部分是事件“AB”如在例 1.2 中，若 A={球的标号为偶数} B={球的标号≤3}
则 A B={球的标号为 1，2，3，4， ，6，8，10} 4．事件 A 与 B 同时发生“，这样的事件称作事件 A 与 B 的交（或 积） ，记作 A B（或ＡＢ） ，它对应图１．３种的阴影部分： 如在例１．２中，若Ａ、Ｂ同上，则
， 也就是说 A 与 B 互不
A
B
Байду номын сангаас图 1.5
7 . 若 A 是一个事件,令 A =
A 是 A 的对立事件或逆事 — A，称
件。容易知道在一次试验中，若 A 发生，则 A 必不发生（反之亦然） 即A与 有 A A =
A
二者只能发生其中之一，并且也必然发生其中之一。因而
A
A
=
（A B） C=（A C）（ B C） （1.5）
（4）德摩根定理（对偶原则）： ________
n
A =
i
_______ n i 1
Ai A = i 1
i i 1
n
__
（1.6）
A
i 1
n
__ i
（1.7）
证明：（略）.
n
Ai
An ；若“ A1 ，A2 ，…，
同时发生” ，这样的事件称作A1 ， A2 ，…，An 的交，记作
A 1
A2 …
An
或 i 1
n
Ai
1.2样本空间随机事件
k 1
件, 称 Ak为可列个事件A1, A2,的积事件 .
k 1
和事件与积事件的运算性质 A A A, A S S, A A, A A A, A S A, A .
4. 事件A B x x A且x B, 称为事件A与
事件B的差事件 . 当且仅当A发生, B不发生时, 事 件A B发生 .
骰子“出现1点”“,出现2点”,… , “出现6点”, “点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.
“出现1点”，“出现2点”，… , “出现6点”等都是 基本事件.
“点数不大于6” 就是必然事件. “点数大于6” 就是不可能事件.
三、随机事件间的关系及运算
设实验E的样本空间为S ，而A, B, Ak (k 1,) 是S的子集 .
(3) A1A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1A2 A3 A4 A1A2 A3 A4; (4) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
A1 A2 A3 A4;
设一个工人生产了四个零件, Ai 表示他生 产的第 i 个零件是正品( i 1,2,3,4), 试用 Ai 表 示下列各事件: (5)恰好有三个是次品; (6)至多有一个是次品.
或ABC ABC ABC ABC
例3 设一个工人生产了四个零件, Ai 表示他生
产的第 i 个零件是正品( i 1,2,3,4), 试用 Ai 表 示下列各事件: (1)没有一个是次品; (2)至少有一个是次品; (3)只有一个是次品; (4)至少有三个不是次品; (5)恰好有三个是次品; (6)至多有一个是次品.
注：试验的样本空间是根据试验的内容确 定的！
例3 观察一个新灯泡的寿命，其样本点也 有无穷多个：t小时，0 t ,样本空间为：
1.1 样本空间与随机事件解析
H→正面，T→反面
S1 { H , T }.
(2)抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
可能结果为: “1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.
S2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
(3)4件产品，2正，2次，从中任取3件，观察正次品出 现情况.
“点数不大于4”, “点数为偶数” 等均为随机事件
例2：将一枚硬币抛两次，事件A表示“第一次出现正 面”，事件B表示“两次出现同一面”，事件C表示“至 少出现一次正面”。试写出该试验的样本空间、随机 事件A,B,C。 练习：同时投掷两枚骰子，试写出该试验的样本空间、 随机事件A,B,C。事件A表示“出现的点数之和大于 10”, 事件B表示“出现的点数均为奇数”，事件C表示“出 现 的点数之差的绝对值小于2”。
习题3：袋中装有6个球，4白(a,b,c,d)，2红 (x,y)，试用列举法写出下列试验的样本空间。
E1( 放回抽样)：取一个，放回后，再取一个。
{(i1 , i2 ) 1 i1 , i2 6} 1 i1 i2 6}
n 6 6 n 65
65 n 15 1 2
练习4：观察某时间段内某交通路口的机动车流量情况。
综合习题：
试用列举法写出下列试验的样本空间、随机事件。 习题1：同时掷两枚硬币，观察正反面出现情况，事 件A表示掷出同一面，事件B表示其中一枚掷出正面。
习题2：将一枚骰子连续掷两次，记录骰子点数出现 情况，事件A表示点数之和等于7，事件B表示两枚 骰子点数之差等于1。
S5 {t t 0}. 其中t表示灯泡的使用寿命
注 1. 试验不同, 对应的样本空间一般不同. eg S={H,T} 可以作为抛掷硬币试验的样本空间
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则A是随机事件．
第一节 样本空间与随机事件
22
注意
为方便起见，我们把必然事件 与不可能事件 也看作是随机事 件．
我们把必然事件与不可能事件看 作是随机事件的两种极端情形．
第一节 样本空间与随机事件
23
三．随机事件间的 关系与运算
第一节 样本空间与随机事件
A1 A2 An
或
An
n 1
表示 “ A1, A2, A3, 这些随机事件至少 有 一个发生”这样一个随机事件．
第一节 样本空间与随机事件
32
并事件的例子
• 在本节例4中，若定义 A={通过的汽车数介于20辆与150辆之间 } B={通过的汽车数介于80辆与300辆之间 }
则： A∪B ={通过的汽车数介于20辆与300辆
第一节 样本空间与随机事件
20
随机事件的例子
• 在本节例4中，我们定义了在某一时间 间隔内观察通过某交通路口的车辆数这 一随机试验的样本空间，若定义 A={ 至少通过50辆汽车 } B={至多通过200辆汽车} 则A、B都是随机事件．
第一节 样本空间与随机事件
21
随机事件的例子
• 在本节例5中，我们定义了观察某一电 子元件使用寿命这一随机试验的样本空 间，若定义为 n 个随机事件，则
A1 A2 An
或
n
Ak
k 1
表示“ A1, A2, , An 这 n 个随机事件至少 有一个发生”这样一个随机事件．
第一节 样本空间与随机事件
31
可列无穷多个随机事件的并事件
设 A1, A2, A3, 为可列无穷多个随机事 件，则
第一节 样本空间与随机事件
10
例2
掷一枚骰子，令：
ω i出现 i 点
i 1， 2， ， 6
则该试验的样本空间为
Ω ω1 , ω2 , ω3 , ω4 , ω5 , ω6
第一节 样本空间与随机事件
11
例3
袋中有2 个白球，4 个黑球，从中任意取出2 球．
记 2个白球分别为1号球和2号球；
• A∩B也可记为 AB．
第一节 样本空间与随机事件
35
多个随机事件的交事件
设 A1, A2, , An 为 n 个随机事件，则
A1 A2 An
或
n
Ak
k 1
表示“ A1, A2, , An 这 n 个随机事件同时 发生”这样一个随机事件．
第一节 样本空间与随机事件
36
可列无穷多个随机事件的交事件
例如，自然数是可列无穷多个；整数是可列无穷多个；有理 数是可列无穷多个．但是无理数是不可列无穷多个，实数也是 不可列无穷多个．
第一节 样本空间与随机事件
16
二．随机事件
第一节 样本空间与随机事件
17
随机事件
• 定义了样本空间与样本点，我们 可以把随机事件看作是某些样本 点组成的集合．
• 我们称一个随机事件发生当且仅 当它所包含的一个样本点在试验 中出现．
第一节 样本空间与随机事件
52
5．De Morgan定律
A A
A A
第一节 样本空间与随机事件
53
De Morgan公式说明
• 任意多个事件至少有一个发生 的反面是这些事件都不发生；
• 任意多个事件都发生的反面是 这些事件中至少有一个不发 生．
第一节 样本空间与随机事件
54
例6
• 设A、B、C为三个随机事件，试用A、B、C表示下列随机 事件
第一节 样本空间与随机事件
40
互不相容事件的例子
• 在本节例4中，若定义 A={ 至少通过30辆汽车 } B={ 至多通过20辆汽车 }
则A与B为互不相容的随机事件．
第一节 样本空间与随机事件
41
6．差事件
设 A 与 B 是两个随机事件，则 A 与 B 的 差事件 A B表示“随机事件 A 发生，但 是随机事件 B 不发生”这样一个随机事 件．
第一节 样本空间与随机事件
18
随机事件的表示
•我们常用大写的英文字 母 A、B、C、… 等来 表示随机事件．
第一节 样本空间与随机事件
19
随机事件的例子
• 在本节例2中，我们定义了掷一颗骰子这一 随机试验的样本空间，若定义 A={ 出现偶数点 } 则A就是一个随机事件． 事件A发生当且仅当在试验中或者出现2点， 或者出现4点，或者出现6点．
A 的逆事件 A 表示“随机事件 A 不发 生”这样一个随机事件．
第一节 样本空间与随机事件
44
随机事件A与B互为逆事件
若随机事件 A 与 B 满足： A B ，且 A B ，
则称 A 与 B 为互不相容的随机事件． 如果 A 与 B 为互不相容的随机事件，
显然 B A ， B A ．因此 A A．
第一节 样本空间与随机事件
4
随机试验
•对随机现象的 观察和试验称为 随机试验．
第一节 样本空间与随机事件
5
随机试验的例子
• 掷一枚硬币； • 掷一颗骰子； • 观察某交通路口在某时间间隔内
通过的汽车数； • 观察某电子元件的使用寿命；
•……
第一节 样本空间与随机事件
6
随机试验的特点
• 试验可以在相同条件下重复进行；
第一章
随机事件及其概率
第一节 样本空间与随机事件
1
目录
• §1.1 样本空间与随机事件 • §1.2 频率与概率 • §1.3 古典概型与几何概型 • §1.4 条件概率 • §1.5 随机事件的独立性
第一节 样本空间与随机事件
2
§1.1 样本空间和随机事件
第一节 样本空间与随机事件
3
一．随机试验与样本 空间
第一节 样本空间与随机事件
8
说明
• 由于随机试验的所有结果是明确的， 从而样本点也是明确的；
• 样本空间与随机试验有关，即不同 的随机试验有不同的样本空间；
• 刻画一个随机试验的样本空间是学 好概率论的基础．
第一节 样本空间与随机事件
9
例1
掷一枚硬币，令：
1 出现正面 ，2 出现反面
则该随机试验的样本空间为： 1, 2 ．
则： A∩B ={通过的汽车数介于80辆与150辆
之间 }
第一节 样本空间与随机事件
38
5．互不相容事件
若随机事件 A 与 B 满足：
AB
则称随机事件 A 与 B 为互不相容 的随机事件
第一节 样本空间与随机事件
39
注意
如果随机事件 A 与 B 互不相容，则随机 事件 A 与 B 中没有公共的样本点．此时， 若随机事件 A 发生，则随机事件 B 必然不 发生，反之亦然．但是，有可能随机事件 A 与 B 都不发生．
随机事件 A 发生，但随机事件 B 与C 都 不发生：
ABC ；
随机事件 A 、 B 、 C 恰好发生一个： ABC ABC ABC ；
第一节 样本空间与随机事件
55
例6（续）
随机事件 A 、 B 、 C 至少发生一个： ABC ；
随机事件 A 、 B 、 C 至多发生一个： ABC ABC ABC ABC ；
• 试验的所有可能结果是明确可知的， 并且不止一个；
• 每次试验总是恰好出现这些可能结 果中的一个，但在一次试验之前却 不能肯定会出现哪一个结果．
第一节 样本空间与随机事件
7
样本点与样本空间
• 随机试验的每一个可能结果称为样本 点，或为基本事件，样本点常用字母ω 来表示．
• 样本点的全体所成集合称为样本空间， 或称为基本事件空间，通常用字母Ω来 表示．
B 2, 4, 6
则
A B
第一节 样本空间与随机事件
29
3．并事件
• 设A与B为两个随机事件，则 A∪B
表示A与B这两个随机事件至少有一个发生这 样一个随机事件，称其为随机事件A与B的 并事件． • 随机事件A与B 的并事件是由随机事件A与B 中所有的样本点组成的随机事件．
第一节 样本空间与随机事件
设 A1, A2, A3, 为可列无穷多个随机事 件，则
A1 A2 An
或
An
n 1
表示 “ A1, A2, A3, 这些随机事件同时 发 生”这样一个随机事件．
第一节 样本空间与随机事件
37
交事件的例子
• 在本节例4中，若定义 A={通过的汽车数介于20辆与150辆之间 } B={通过的汽车数介于80辆与300辆之间 }
24
1．事件的包含关系
• 若随机事件A的所有样本点都包 含在随机事件B中，这时随机事 件A发生必然导致随机事件B发 生，我们称随机事件A包含在随 机事件B中，或者称随机事件B 包含随机事件A，记作：
A B
第一节 样本空间与随机事件
25
事件包含关系的例子
• 在本节例4中，若定义 A={ 至少通过200辆汽车 } B={ 至少通过100辆汽车 } 则： A B
第一节 样本空间与随机事件
45
逆事件的例子
• 在本节例2中，若定义 A={ 出现偶数点 }
则 A 出现奇数点
第一节 样本空间与随机事件
46
逆事件的例子
• 在本节例4中，若定义 A={ 至少通过30辆汽车 }
则 A 至多通过 29 辆车
第一节 样本空间与随机事件
47
四．随机事件的 运算规律
第一节 样本空间与随机事件
令：n 在该时间间隔内通过n 辆车
则该试验的样本空间为
n ： n 0， 1， 2， ，
第一节 样本空间与随机事件