1.1.1 任意角 学案(含答案)
高中数学必修4全套学案含答案
第一章三角函数1.1 任意角和弧度制►1.1.1 任意角课前自主学习 KEQIANZIZHUXUEXI[基础自学]一、角的概念1．角的概念(1)角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．(2)角的表示顶点：用O表示；始边：用OA表示，用语言可表示为角的始边；终边：用OB表示，用语言可表示为角的终边．2．角的分类按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按照逆时针旋转而成的角负角按照顺时针旋转而成的角零角当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角1．象限角：若角的顶点在原点，角的始边与x轴非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角．2．轴线角：若角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限．三、终边相同的角设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．[自我小测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点．( )(2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角．( )(3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的．( )提示：(1)×(2)√(3)×2．做一做(1)下列各组角中，终边不相同的是( )A．60°与－300° B．230°与950°C．1050°与－300° D．－1000°与80°答案 C(2)将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________．答案195°＋(－3)×360°课堂合作探究 KETANGHEZUOTANJIU1终边相同的角之间有什么关系？提示：与α终边相同的角，可表示为β＝k·360°＋α(k∈Z)，即两角相差360°的整数倍．2如何表示终边在坐标轴上的角和象限角？提示：终边在x轴非负半轴上的角：α＝k·360°(k∈Z)；终边在y轴上的角：α＝90°＋k·180°(k∈Z)；第二象限角：90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)．题型一正确理解角的概念例1 下列结论：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确的序号为________(把正确结论的序号都写上)．[解析] ①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确；②－330°角是第一象限角，但它是负角，所以②不正确；③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确；④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确．[答案] ①角的概念的理解正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．【跟踪训练1】(1)经过2个小时，钟表上的时针旋转了( )A．60° B．－60°C．30° D．－30°(2)如图∠α＝__________，∠β＝__________. 答案 (1)B (2)－150° 210°解析 (1)钟表的时针旋转一周是－360°，其中每小时旋转－360°12＝－30°，所以经过2个小时应旋转－60°.题型二 终边相同的角的表示及象限角 例2 已知α＝－1910°.(1)把α写成β＋k ·360°(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式，指出它是第几象限的角； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°<θ≤0°. [解] (1)∵－1910°÷360°＝－6余250°， ∴－1910°＝－6×360°＋250°.相应β＝250°，从而α＝－6×360°＋250°是第三象限的角． (2)令θ＝250°＋k ·360°(k ∈Z )，取k ＝－1，－2就得到适合－720°<θ≤0°的角： 250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°. ∴θ＝－110°或θ＝－470°.[变式探究] 与－1560°角终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________．答案 240° －120°解析 与－1560°角终边相同的角的集合为{α|α＝k ·360°＋240°，k ∈Z }，所以最小正角为240°，最大负角为－120°.怎样表示终边相同的角及象限角(1)已知终边所处的位置，写角的集合时，可先写出0°～360°范围内的角，然后再加k ·360°(k ∈Z )组成集合即可．(2)象限角的判定有两种方法：一是根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．二是根据终边相同的角的概念．把角转化到0°～360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角．【跟踪训练2】 在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限的角．(1)－120°；(2)640°；(3)－950°12′.解(1)－120°＝－360°＋240°，∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°角，它是第三象限的角．(2)640°＝360°＋280°，∴在0°到360°范围内与640°终边相同的角是280°角，它是第四象限的角．(3)－950°12′＝－3×360°＋129°48′，∴在0°到360°范围内与－950°12′终边相同的角是129°48′，它是第二象限的角．题型三区域角的表示例3 写出终边落在阴影部分的角的集合．[解] 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|k·180°＋30°≤α<k·180°＋105°，k∈Z}．[变式探究] 将例3改为下图，写出角的终边在图中阴影区域的角的集合(包括边界)．解(1){α|45°＋k·180°≤α≤90°＋k·180°，k∈Z}．(2){α|－150°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角．(3)用不等式表示区域内的角，组成集合．【跟踪训练3】写出终边在如下图所示阴影部分内的角α的取值范围．解(1)与45°角终边相同的角的集合为{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，与30°－180°＝－150°角终边相同的角的集合为{α|α＝－150°＋k·360°，k∈Z}，因此终边在阴影部分内的角α的取值范围为{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}．(2)方法同(1)，可得终边在阴影部分内的角α的取值范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}．[规律小结]1.角的概念的理解(1)弄清角的始边与终边．(2)结合图形明确这个角从始边到终边转过了多少度．(3)注意逆时针旋转与顺时针旋转的区别．2.研究象限角时应注意的问题(1)前提条件：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合；(2)并不是任何角都是象限角，如终边落在坐标轴上的角叫轴线角，轴线角的表示如下表：终边所在的位置角的集合x轴非负半轴{α|α＝k·360°，k∈Z}x轴非正半轴{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}y轴非负半轴{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}y轴非正半轴{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}3.表示与α终边相同的角时应注意的问题(1)k是整数，这个条件不能漏掉；(2)α是任意角；(3)k ·360°与α之间是“＋”号，如k ·360°－30°应看成k ·360°＋(－30°)(k ∈Z )；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同． [走出误区]易错点⊳分角所在象限及范围的确定的误区 [典例] 若α是第三象限的角，则α3是( )A.第一象限的角B.第三象限的角C.第四象限的角D.第一象限或第三象限或第四象限的角[错解档案] 因为α是第三象限的角，所以取α＝210°，得到α3＝70°，是第一象限的角，故选A.[误区警示] 第三象限的角α有无数个，用α＝210°得到α3＝70°而选择答案A ，犯了以偏概全的错误．[规范解答] 因为α是第三象限的角，所以k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°(k ∈Z )，则k ·120°＋60°<α3<k ·120°＋90°(k ∈Z )，取k ＝0，得到α3可在第一象限；取k ＝1，得到α3可在第三象限；取k ＝2，得到α3可在第四象限．故选D.矫正训练 若α为第二象限的角，则α2为第几象限角？解 若α为第二象限角，则有随堂消化吸收 SUITANGXIAOHUAXISHOU1．[2016·吉林实验高一期中]下列叙述正确的是( ) A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B ．钝角是第二象限角 C ．第二象限角比第一象限角大 D ．不相等的角终边一定不同 答案 B解析 三角形的内角是第一象限角、第二象限角或在y 轴非负半轴上的角，故A 错误；钝角是第二象限角，B 正确；象限角不能比较大小，故C 错误；不相等的角终边也可能相同，如40°和400°，故D 错误．2．[2016·山东枣庄模拟]若α是第四象限角，则180°＋α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角答案 B解析 因为α与180°＋α的终边关于点(0,0)对称，所以角180°＋α的终边在第二象限．3．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．答案 －5 －60解析 将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×360°12×60＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×360°60＝60°，所转成的角度是－60°.4．若α为锐角，则－α＋k ·360°(k ∈Z )在第________象限． 答案 四解析 由于0°<α<90°，所以－90°<－α<0°，所以－α是第四象限角，从而－α＋k ·360°(k ∈Z )在第四象限．5．[2016·大连高一检测]写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式－360°≤α≤720°的元素α写出来：(1)60°；(2)－21°.解 第一步：利用终边相同的角的集合公式写出： (1)S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }； (2)S ＝{α|α＝－21°＋k ·360°，k ∈Z }．第二步：在第一步的基础上，利用约束条件对其中的k 值分别采用赋值法求出元素α； (1)－300°，60°，420°；(2)－21°，339°，699°.课后课时精练 KEHOUKESHIJINGLIAN 时间：25分钟满分：60分一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知α＝－130°，则α的终边落在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 C解析∵－130°＝－360°＋230°，而230°是第三象限角，∴α的终边落在第三象限．2．已知角α的终边落在直线y＝x上，则角α的集合S＝( )A．{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}B．{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋225°，k∈Z}D．{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}答案 D解析本题考查终边在特殊直线上的角以及分类讨论的数学思想．由于角α的终边落在直线y＝x上，故角α在0°～360°内所对应的两个角分别为45°及225°，从而角α的集合S＝{α|α＝k·360°＋45°或α＝k·360°＋225°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}，故选D.3．若α是钝角，则θ＝k·180°＋α，k∈Z是( )A．第二象限角B．第三象限角C．第二象限角或第三象限角D．第二象限角或第四象限角答案 D解析当k为偶数时，θ＝k·180°＋α，k∈Z是第二象限角，当k为奇数时，θ＝k·180°＋α，k∈Z是第四象限角．4．已知角α、β的终边互为反向延长线，则α－β的终边在( )A．x轴的非负半轴上B．y轴的非负半轴上C．x轴的非正半轴上D．y轴的非正半轴上答案 C解析由题意知β＋180°应与α终边相同，即α＝β＋180°＋k·360°(k∈Z)，∴α－β＝180°＋k·360°.故选C.5．已知角2α的终边在x轴上方，那么α是( )A．第一象限角B．第一或第二象限角C．第一或第三象限角D．第一或第四象限角答案 C解析由条件知k·360°<2α<k·360°＋180°，(k∈Z)，∴k·180°<α<k·180°＋90°(k∈Z)，当k为偶数时，α在第一象限，当k为奇数时，α在第三象限．二、填空题(每小题5分，共15分)6．[2016·广东佛山一中期中]终边在x轴上的角β的集合是________．答案{β|β＝180°·k，k∈Z}解析 本题考查终边相同的角的概念．终边在x 轴正半轴上的角的集合为{β|β＝360°·k ，k ∈Z }，终边在x 轴负半轴上的角的集合为{β|β＝180°·(2k ＋1)，k ∈Z }，所以终边在x 轴上的角β的集合为{β|β＝180°·k ，k ∈Z }．7．时钟的时针走过了1小时20分钟，则分针转过的角为________． 答案 －480°解析 时针走过了1小时20分钟，则分针转了43圈，又因顺时针旋转的角为负角，∴分针转过的角为－43×360°＝－480°.8．若集合M ＝{x |x ＝k ·90°＋45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k ·45°＋90°，k ∈Z }，则M ________N ．(填“”“”)答案解析 M ＝{x |x ＝k ·90°＋45°，k ∈Z } ＝{x |x ＝45°·(2k ＋1)，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k ·45°＋90°，k ∈Z }＝{x |x ＝45°·(k ＋2)，k ∈Z }，∵k ∈Z ，∴k ＋2∈Z ，且2k ＋1为奇数，∴M N . 三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图所示，试写出终边落在阴影区域内的角的集合S (包括边界)，并指出－950°12′是否是该集合中的角．解 由题图可知，终边落在阴影区域内的角的集合S ＝{β|120°＋k ·360°≤β≤250°＋k ·360°，k ∈Z }．∵－950°12′＝－3×360°＋129°48′，且120°<129°48′<250°，∴－950°12′是该集合中的角． 10．已知α为第二象限角，问2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°，k ∈Z ， ∴180°＋2k ·360°<2α<360°＋2k ·360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k2·360°<α2<90°＋k2·360°. 当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． ►1.1.2 弧度制课前自主学习 KEQIANZIZHUXUEXI[基础自学]一、弧度的概念设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则度量单位类别α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l ＝πr ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪α180l ＝r |α| 扇形的面积S ＝πr 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪α360S ＝12r 2|α|＝12rl1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是相同的，都是用来度量角的单位．( )(2)终边落在x 轴非正半轴上的角可表示为α＝k ·360°＋π(k ∈Z )．( ) (3)1 rad 的角和1°的角大小一样．( )(4)用圆心角所对的弧长与半径的比来度量圆心角是合理的．( ) 提示：(1)× (2)× (3)× (4)√2．做一做(1)半径为2，圆心角为π3的扇形的面积是( )A.4π3 B ．π C.2π3D.π3答案 C解析 由扇形面积公式S ＝12r 2·|α|可得S ＝12×4×π3＝2π3，故选C. (2)角度与弧度互化： ①7π6＝________；②－75°＝________. 答案 ①210° ②－5π12课堂合作探究 KETANGHEZUOTANJIU1角度制与弧度制如何换算？提示：360°＝2π rad,180°＝π rad,1°＝π180rad ，1 rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°≈57.30°.2扇形的弧长与面积的计算公式是什么？ 提示：l ＝|α|·r ，S ＝12l ·r ＝12|α|·r 2.题型一 弧度制的概念例1 下列命题中，假命题是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．一度的角是周角的1360，一弧度的角是周角的12πC ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位．D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关[解析] 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D 是假命题．选项A 、B 、C 均为真命题．[答案] D“度”与“弧度”的区别和联系(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．(2)1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小，而1°的角是周角的1360. (3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的值．【跟踪训练1】 下列命题中，真命题是( ) A ．一弧度是一度的圆心角所对的弧B ．一弧度是长度为半径的弧C ．一弧度是一度的弧与一度的角之和D ．一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位 答案 D解析 根据一弧度的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角．对照各选项，可知D 为真命题．故选D.题型二 弧度和角度的换算 例2 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.[解] (1)20°＝20×π180＝π9.(2)－15°＝－15×π180＝－π12.(3)712π＝712π×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝105°.(4)－115π＝－115π×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－396°.角度制与弧度制互化的注意事项(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写．(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．(3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．【跟踪训练2】 (1)－450°化成弧度是________． (2)75π化成角度是________． 答案 (1)－52π (2)252°解析 (1)－450°＝－450×π180＝－52π.(2)75π＝75π×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝252°.题型三 用弧度表示角例3 (1)把下列角化为2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式：①16π3；②－315°. (2)用弧度表示顶点在原点，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)． [解] (1)①16π3＝4π＋4π3.∵0≤4π3<2π，∴16π3＝4π＋4π3.②－315°＝－315×π180＝－7π4＝－2π＋π4.∵0≤π4<2π，∴－315°＝－2π＋π4.(2)330°＝360°－30°＝2π－π6，而60°＝π3，它所表示的区域位于－π6与π3之间且跨越x 轴的正半轴．所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪2k π－π6<θ<2k π＋π3，k ∈Z.弧度制表示角的注意事项(1)用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度的换算．注意单位要统一．可以先写(－π，π)或(0,2π)内的角，再加上2k π，k ∈Z .(2)终边在同一直线上的角可以合并为{x |x ＝α＋k π，k ∈Z }；终边在相互垂直的两直线上的角可以合并为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝α＋k ·π2，k ∈Z.【跟踪训练3】 (1)把－1480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π； (2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1480°＝－1480π180＝－74π9＝－10π＋16π9，又0≤16π9<2π，∴－1480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)由(1)可知α＝16π9.∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0]，令k ＝－1，则β＝－2π9.令k ＝－2, 则β＝－20π9，∴β的值是－2π9，－20π9.题型四 扇形的弧长与面积 例4 扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小； (2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . [解] 设这个扇形的半径为R ，弧长为l ，圆心角为α(α>0)． (1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝8，12lR ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝3，l ＝2.或⎩⎪⎨⎪⎧R ＝1，l ＝6.由|α|＝l R 可得：α＝23或α＝6.(2)扇形的面积 S ＝12lR ＝12(8－2R )R ＝－(R －2)2＋4(0<R <4)，所以，当且仅当R ＝2时，S 取得最大值4. 这时，l ＝8－2R ＝4，可求出：α＝lR＝2. 又∵0<2<π，∴|AB |＝2R ·sin α2＝4sin1.[变式探究] 将例4中扇形周长改为6 cm ，面积改为2 cm 2，求圆心角的大小． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，圆心角为α(α>0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝612lR ＝2解得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝1l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧R ＝2l ＝2，由|α|＝lR得α＝4或α＝1.扇形周长及面积的最值(1)当扇形周长一定时，扇形的面积有最大值．其求法是把面积S 转化为关于r 的二次函数，但要注意r 的取值范围．特别注意一个扇形的弧长必须满足0<l <2πr .(2)当扇形面积一定时，扇形的周长有最小值．其求法是把扇形周长L 转化为关于r 的函数，但要注意r 的取值范围．【跟踪训练4】 已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求： (1) AB ︵的长； (2)弓形AOB 的面积．解 (1)∵120°＝120180π＝23π，∴l ＝6×23π＝4π，∴AB ︵的长为4π.(2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示．又S △OAB ＝12×AB ×OD (D 为AB 中点)＝12×2×6cos30°×6×sin30°＝9 3. ∴S 弓形OAB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3.[规律小结]1.弧度制与角度制的区别与联系 (1)区别①单位不同．弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位； ②定义不同． (2)联系不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值． 2.角度制与弧度制换算时应注意的问题(1)弧度制与角度制的互化是一种比例关系的变形，具体变化时，可牢记以下公式：π180＝弧度角度，只要将已知数值填入相应的位置，解出未知的数值，再添上相应的单位即可； (2)如无特别要求，不必把π写成小数；(3)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度； (4)同一个式子中角度和弧度不能混用． [走出误区]易错点⊳角度制与弧度制的应用误区[典例] 将－1485°化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式为________． [错解档案] 因为－1485°＝－4×360°－45°＝－4×360°＋(－360°＋315°)＝－5×360°＋315°， 所以－1485°化为2k π＋α形式应为－10π＋315°.[误区警示] 只考虑了将－1485°写成了“2k π”的组合形式，而忽视了对α的要求，忽视了角度和弧度的统一，这是初学者极易犯的一个错误．[规范解答] 由－1485°＝－5×360°＋315°， 所以－1485°可以表示为－10π＋74π.矫正训练 将17π4化成k ·360°＋α(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式为________．答案 2·360°＋45° 解析 17π4＝765°＝720°＋45°＝2×360°＋45°， 故17π4＝2·360°＋45°.随堂消化吸收 SUITANGXIAOHUAXISHOU1．1920°转化为弧度数为( ) A.163 B.323 C.16π3D.32π3答案 D解析 ∵1°＝π180弧度，∴1920°＝1920×π180＝323π.2．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析 ∵－3≈－171.9°，∴α＝－3表示的角的终边在第三象限．3．[2016·南昌市高一月考]已知扇形的半径为R ，面积为R 2，那么这个扇形中心角的弧度数是________．答案 2解析 由l ＝|α|·R 及S ＝12lR ，得S ＝12|α|R 2.∴|α|＝2S R 2＝2R2R2＝2.4．用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为________．答案 ⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z解析 若角α的终边落在第二象限，则 2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z .5．将下列各角转化成2k π＋α(k ∈Z )，且0≤α<2π的形式，并指出它们是第几象限角：(1)－1725°；(2)64π3.解 (1)∵－1725°＝－5×360°＋75°＝－10π＋5π12，∴－1725°角与角5π12的终边相同．又∵5π12是第一象限角，∴－1725°是第一象限角． (2)∵64π3＝20π＋4π3，∴角64π3与角4π3的终边相同．又∵4π3是第三象限角，∴64π3是第三象限角． ,课后课时精练 KEHOUKESHIJINGLIAN时间：25分钟满分：60分一、选择题(每小题5分，共25分) 1．－300°化为弧度是( ) A ．－4π3B ．－5π3C ．－7π4D ．－7π6答案 B解析 ∵1°＝π180 rad ，∴－300°＝－5π3 rad.2.8π5弧度化为角度是( ) A ．278° B ．280° C ．288° D ．318°答案 C 解析 ∵1 rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°，∴8π5＝8π5×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝288°.3．[2016·清华附中月考]若角α，β的终边关于y 轴对称，则α，β的关系一定是( ) A ．α＋β＝π B ．α－β＝π2C ．α－β＝(2k ＋1)π(k ∈Z )D ．α＋β＝(2k ＋1)π(k ∈Z ) 答案 D解析 本题考查关于y 轴对称的两个角之间的关系．角α，β的终边关于y 轴对称，则画图可知α＋β＝(2k ＋1)π(k ∈Z )，D 选项正确；也可以用特殊值方法，例如取α＝π4，β＝3π4或α＝－π4，β＝－3π4，结合选项可知D 正确．故选D. 4．[2016·兰州一中高一期末]已知扇形的圆心角的弧度数为2，扇形的弧长为4，则扇形的面积为( )A ．2B ．4C ．8D ．16答案 B解析 由S ＝12lR 及|α|＝l R ，得S ＝12l 2|α|＝12·422＝4.5．[2016·浙江永嘉高一月考]集合⎩⎪⎨⎪⎧α⎪⎪⎪ k π＋π4≤α≤k π＋π2，} k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是()答案 C解析 当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C.二、填空题(每小题5分，共15分) 6．角度制与弧度制间的互化：(1)1095°＝__________rad ；(2)－94π＝__________.答案 (1)7312π (2)－405°解析 (1)1095°＝1095×π180＝73π12.(2)－94π＝－94π×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－405°. 7．若圆的半径为6 cm ，则15°的圆心角所对的弧长为________，扇形面积为________．(用π表示)答案π2 cm 32π cm 2解析 15°＝15×π180＝π12，l ＝|α|·r ＝π12×6＝π2cm ， S ＝12l ·r ＝12×π2×6＝32π cm 2.8．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________．答案 13解析 本题考查弧长公式的应用．设原来圆的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则l ＝αr ，设将圆的半径变为原来的3倍后圆心角为α1，则α1＝l 3r ＝αr 3r ＝α3，故α1α＝13.三、解答题(每小题10分，共20分) 9．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)求角γ，使γ与角α的终边相同，且γ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2. 解 (1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝149π，∴α＝－800°＝149π＋(－3)×2π.∵角α与14π9终边相同，∴角α是第四象限角．(2)∵与角α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z 的形式，而γ与α终边相同，∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z .又γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2<2k π＋14π9<π2，k ∈Z ， 解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.10．已知扇形的周长为20 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为α，半径为R cm ，面积为S cm 2，弧长为l cm ，则有l ＋2R ＝20，∴l ＝20－2R ，∴S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝－R 2＋10R ＝－(R －5)2＋25.故当半径R ＝5时，扇形的面积有最大值25 cm 2.此时扇形的圆心角为α＝l R ＝20－2×55＝2.[基础自学]一、三角函数的定义 1．单位圆中三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： ①y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ； ②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； ③yx 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0)． 2．任意角的三角函数的定义直角坐标系中任意大小的角α终边上一点P 的坐标(x ，y )，它到原点的距离是r (r >0)，r ＝x 2＋y 2，那么任意角的三角函数的定义：tanαyxtanα＝yx⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α≠kπ＋π2，k∈Z记忆口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．三、诱导公式(一)名称符号语言文字语言诱导公式(一)sin(2kπ＋α)＝sinα(k∈Z)cos(2kπ＋α)＝cosα(k∈Z)tan(2kπ＋α)＝tanα(k∈Z)终边相同的角的同名三角函数值相等1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)sinα，cosα，tanα中可以将“α”与“sin”“cos”“tan”分开．( )(2)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应．( )(3)sin253π＝sin⎝⎛⎭⎪⎫π3＋8π＝sinπ3＝32.( )提示：(1)×(2)√(3)√2．做一做(1)若sinα<0，且tanα<0，则角α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案 D解析若sinα<0，则α为第三或第四象限角．若tanα<0，则α为第二或第四象限角，故α为第四象限角，选D.(2)计算：sin180°＋2cos270°的值为________．答案0解析sin180°＋2cos270°＝0＋2×0＝0.(3)tan390°的值为________．答案33解析tan390°＝tan(360°＋30°)＝tan30°＝33.课堂合作探究 KETANGHEZUOTANJIU1三角函数值在各象限的符号有什么规律吗？提示：由三角函数的定义知sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(r >0)，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P (x ，y )的坐标确定的，可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2诱导公式一的作用是什么？提示：公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．题型一 求任意角的三角函数值例1 [2015·黑龙江五校联考]已知角θ的终边上有一点P (－3，m )，且sin θ＝24m ，求cos θ与tan θ 的值．[解] 由已知有24m ＝m3＋m2， 得m ＝0，或m ＝± 5.(1)当m ＝0时，cos θ＝－1，tan θ＝0； (2)当m ＝5时，cos θ＝－64，tan θ＝－153； (3)当m ＝－5时，cos θ＝－64，tan θ＝153. [变式探究] 将例1中的P 点坐标改为(3，m )再去求解． 解 ∵24m ＝mm 2＋3，∴m ＝0或m ＝±5， 当m ＝0时，cos θ＝1，tan θ＝0； 当m ＝5时，cos θ＝64，tan θ＝153； 当m ＝－5时，cos θ＝64，tan θ＝－153.利用三角函数的定义求值的策略(1)求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离．(2)若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．(3)若已知角，则需确定出角的终边与单位圆的交点坐标．【跟踪训练1】 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则2cos 2θ－1＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则 cos θ＝t5|t |. 当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55. ∴2cos 2θ－1＝25－1＝－35.题型二 三角函数值的符号例2 (1)α是第四象限角，判断sin α·tan α的符号； (2)若sin α|sin α|＋|cos α|cos α＝0，试判断α所在象限．[解] (1)∵α是第四象限角，∴sin α<0，tan α<0，∴sin α·tan α>0. (2)由条件知，sin α与cos α异号． ∴α是第二象限角或第四象限角．[变式探究] 将例2(1)中α改为第三象限角，则sin α·tan α的符号如何？ 解 ∵α是第三象限角，∴sin α<0，tan α>0，∴sin α·tan α<0.熟记各象限函数值的符号准确确定三角函数中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号并牢记记忆口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”是解决这类问题的关键．【跟踪训练2】 (1)若sin α＝－2cos α，判断sin α·tan α的符号；(2)判断符号：sin3·cos4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4.解 (1)∵sin α＝－2cos α，∴sin α与cos α异号． ∴α是第二或第四象限角．当α是第二象限角时，tan α<0，sin α>0，∴sin α·tan α<0. 当α是第四象限角时，tan α<0，sin α<0，∴sin α·tan α>0.(2)∵π2<3<π，π<4<3π2，∴sin3>0，cos4<0.∵－23π4＝－6π＋π4，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4>0. ∴sin3·cos4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－234π<0.题型三 诱导公式(一)的应用 例3 计算下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan4π. [解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.利用诱导公式化简(1)将已知角化为k ·360°＋α(k 为整数，0°≤α<360°)或2k π＋β(k 为整数，0≤β<2π)的形式．(2)将原三角函数值化为角α的同名三角函数值．(3)借助特殊角的三角函数值或任意角三角函数的定义达到化简求值的目的．【跟踪训练3】 求值： (1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π； (2)sin810°＋ta n765°＋tan1125°＋cos360°. 解 (1)原式＝cos(8π＋π3)＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋0°)＝sin90°＋tan45°＋tan45°＋cos0°＝1＋1＋1＋1＝4.[规律小结]1.对三角函数定义的理解(1)三角函数也是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从一个角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应，并且对任意一个角，在比值集合中都有唯一确定的象与之对应．三角函数的自变量是角α，比值是角α的函数．(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．如在求正切时，若点P 的横坐标x 等于0，则tan α无意义．(3)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．2.三角函数值在各象限内的符号(1)三角函数值的符号是根据三角函数的定义，由各象限内点的坐标的符号得出的． (2)对正弦、余弦、正切函数值的符号可用下列口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，该口诀表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值．3.诱导公式一的理解及其应用(1)公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等．(2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边的角为α＋k ·2π，右边的角为α.(3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．[走出误区]易错点⊳求三角函数定义域的误区[典例] 求满足y ＝sin x ·tan x 的x 的取值范围． [错解档案] 由题意知，只需要sin x ·tan x ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0tan x ≥0①或⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤0tan x ≤0②对①可知x 为第一象限角或终边在x 轴或y 轴上的角． 对②可知x 为第四象限角或终边在x 轴或y 轴上的角． 因此x的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ 2k π－π2≤x <2k π或2k π<x ≤2k π＋π2或x ＝⎭⎬⎫k π2，k ∈Z .[误区警示] 求y ＝sin x ·tan x 的x 取值范围时没有考虑tan x 的条件，致使思考问题不周全而出错．[规范解答] 所求x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧sin x ·tan x ≥0，x ≠k π＋π2k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2k ∈Z ，或⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤0，tan x ≤0，x ≠k π＋π2k ∈Z .根据x 所在象限情况可判断x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2k π－π2<x <2k π或2k π<x <2k π＋π2或x ＝k π，k ∈Z .矫正训练 求y ＝cos xsin x的x 的取值范围． 解 ∵cos x ≥0∴x 为第一、四象限角或x 轴非负半轴上的角或y 轴上 又∵sin x ≠0 ∴x 不能在x 轴上∴x 为第一或第四象限角或y 轴上．x 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ －π2＋2k π≤x <2k π或2k π<x ≤2k π＋⎭⎬⎫π2，k ∈Z。
人教a版必修4学案：1.1.1任意角(含答案)
第一章三角函数§1.1任意角和弧度制1.1.1任意角自主学习知识梳理1．角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内________________绕着________从一个位置________到另一个位置所成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按______________________形成的角负角按________________形成的角零角一条射线________________，称它形成了一个零角2.象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是______________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝____________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与____________的和．4．终边落在坐标轴上角的集合终边所在的位置角的集合x轴正半轴x轴负半轴x轴y轴正半轴y轴负半轴y轴自主探究终边落在各个象限的角的集合.α终边所在的象限角α的集合第一象限第二象限第三象限第四象限对点讲练知识点一终边相同的角与象限角例1在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.回顾归纳 解答本题可先利用终边相同的角的关系：β＝α＋k ·360°，k ∈Z ，把所给的角化归到0°～360°范围内，然后利用0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角． 变式训练1 判断下列角的终边落在第几象限内： (1)1 400°； (2)－2 010°.知识点二 终边相同的角的应用例2 已知，如图所示，(1)写出终边落在射线OA ，OB 上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．回顾归纳 解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．变式训练2 如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．知识点三 角的象限的判断例3 已知α是第二象限角，试确定2α，α2的终边所在的位置．回顾归纳 若已知角α是第几象限角，判断α2，α3等是第几象限角，主要方法是解不等式并对k 进行分类讨论．考查角的终边的位置．变式训练3 已知α为第三象限角，则α2所在的象限是( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．2．关于终边相同角的认识一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．注意：(1)α为任意角．(2)k ·360°与α之间是“＋”号，k ·360°－α可理解为k ·360°＋(－α)．(3)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．(4)k ∈Z 这一条件不能少.课时作业一、选择题 1．与405°角终边相同的角是( ) A ．k ·360°－45°，k ∈Z B ．k ·180°－45°，k ∈Z C ．k ·360°＋45°，k ∈Z D ．k ·180°＋45°，k ∈Z 2．若α＝45°＋k ·180° (k ∈Z )，则α的终边在( ) A ．第一或第三象限 B ．第二或第三象限 C ．第二或第四象限 D ．第三或第四象限 3．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在( ) A ．x 轴的正半轴 B ．x 轴的负半轴 C ．y 轴的正半轴 D ．y 轴的负半轴 4．若α是第四象限角，则180°－α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 5. 如图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是( )A ．{α|－45°≤α≤120°}B ．{α|120°≤α≤315°}C ．{α|k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z }D ．{α|k ·360°＋120°≤α≤k ·360°＋315°，k ∈Z }二、填空题6．经过10分钟，分针转了________度．7．下列命题：①第一象限角都是锐角；②锐角都是第一象限角；③第一象限角一定不是负角；④第二象限角大于第一象限角；⑤第二象限角是钝角；⑥小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中判断错误的是______．(把有关命题的序号写上即可)8．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________.三、解答题9．在与角－2 010°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－720°～720°内的角．10．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．第一章三角函数§1.1任意角和弧度制1．1.1任意角知识梳理1．(1)一条射线端点旋转(2)类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角3．α＋k·360°，k∈Z整数个周角4.终边所在的位置角的集合x轴正半轴{α|α＝k·360°，k∈Z}x轴负半轴{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}x轴{α|α＝k·180°，k∈Z}y轴正半轴{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}y轴负半轴{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}y轴{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}自主探究α终边所在的象角α的集合限第一{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}象限第二{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}象限第三{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}象限第四{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}象限对点讲练例1解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．变式训练1解(1)1 400°＝3×360°＋320°，∵320°是第四象限角，∴1 400°也是第四象限角．(2)－2 010°＝－6×360°＋150°，∴－2 010°与150°终边相同．∴－2 010°是第二象限角．例2解(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．(2)终边落在阴影部分(含边界)角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．变式训练2解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．(1){α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．(2){α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合(1)与(2)的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|k ·180°＋30°≤α<k ·180°＋105°，k ∈Z }． 例3 解 因为α是第二象限角， 所以k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z . 所以2k ·360°＋180°<2α<2k ·360°＋360°，k ∈Z ，所以2α的终边在第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上． 因为k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z ，所以k ·180°＋45°<α2<k ·180°＋90°，k ∈Z ，所以当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°，即α2的终边在第一象限； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，即α2的终边在第三象限．所以α2的终边在第一或第三象限．变式训练3 D [由于k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z ， 得k 2·360°＋90°<α2<k 2·360°＋135°. 当k 为偶数时，α2为第二象限角；当k 为奇数时，α2为第四象限角．]课时作业 1．C 2.A3．A [∵α＝β＋k ·360°，k ∈Z ， ∴α－β＝k ·360°，k ∈Z .]4．C [可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．]5．C [与边界终边相同的角为k ·360°＋120°或k ·360°－45°.故阴影部分的角为k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z .] 6．－607．①③④⑤⑥解析 ①390°角是第一象限角，可它不是锐角，所以①不正确．②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以②正确． ③－330°角是第一象限角，但它是负角，所以③不正确．④120°角是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以④不正确． ⑤480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以⑤不正确．⑥0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑥不正确． 8．－110°或250°解析 ∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，∴θ＝k ·360°＋250°，k ∈Z .∵－360°<θ<360°， ∴k ＝－1或0. ∴θ＝－110°或250°.9．解(1)∵－2 010°＝－6×360°＋150°，∴与角－2 010°终边相同的最小正角是150°.(2)∵－2 010°＝－5×360°＋(－210°)，∴与角－2 010°终边相同的最大负角是－210°.(3)∵－2 010°＝－6×360°＋150°，∴与－2 010°终边相同也就是与150°终边相同．由－720°≤k·360°＋150°<720°，k∈Z，解得：k＝－2，－1,0,1.代入k·360°＋150°依次得：－570°，－210°，150°，510°.10．解(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|k·180°＋30°≤x≤k·180°＋60°，k∈Z}．。
数学必修4互动课堂学案：1.1.1任意角 含解析 精品
互动课堂疏导引导1.将角的概念推广后要注意区分锐角与第一象限角，锐角集合为（0°,90°）第一角限角的集合是（k·360°，k·360°+90°）（k∈Z），显然锐角集合仅是第一象限角的一个真子集.2.与角α终边相同的角的集合为S={β|k·360°+α,k∈Z}，这里的角α应理解为任意角，从这个集合的描述我们可以得以下结论：①与角α终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；②与角α终边相同的角与α不一定相等，但相等的角终边一定相同.3.对于象限界角，应分别搞清终边落在坐标轴的哪一个半轴上，x轴（或y轴），以上这三种情况的角的集合的表示，如：终边落在x轴的正半轴上的角的集合为{β|β=k·360°，k∈Z}；终边落在x轴上的角的集合为{β|β=k·180°，k∈Z}；终边落在坐标轴上的角的集合为{β|β=k·90°，k∈Z}.4.本节的主要内容包括：角的概念及角的实际意义；在平面直角坐标系下研究角，对于前一个问题，首先应抓住用运动的观点理解概念这个根本；其次应理解各种角的现实意义，为数学知识的应用奠定基础，对于后一个问题，首先，应明确直角坐标系的建立方法，这是用坐标法研究问题的基础；其次应正确区分各类角，并能用符号语言准确地加以描述.活学巧用【例1】画出下列各角，并指出各是第几象限角.(1)420°；（2）-510°.解:如右图所示.由图可知：420°是第一象限角，-510°是第三象限角.【例2】在角的集合{α|α=k·90°+45°，k∈Z}中：（1）有几种终边不相同的角？（2）有几个属于区间（-360°，360°）内的角？（3）写出其中是第三象限的角的一般表示法.解:（1）在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种.（2）由-360°＜k·90°+45°＜360°得-92＜k＜72，又k∈Z，故k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3.∴在给定的角集合中属于区间（-360°，360°）内的角共有8个.（3）其中是第三象限的角可表示成k·360°+225°,k∈Z.【例3】若α是第四象限角，则180°-α为第几象限角？解法一:由α是第四象限角知，270°+k·360°＜α＜360°+k·360°(k∈Z),由此可得-180°-k·360°＜180°-α＜-90°-k·360°(k∈Z),因此180°-α是第三象限角.解法二:如图所示，在平面直角坐标系内先画出任一第四象限角α，因此画出-α,把-α终边按逆时针方向旋转180°得180°-α角的终边，可知180°-α是第三象限角.。
数学人教A版4导学案：1.1.1任意角含解析
1.1.1 任意角1。
了解任意角的概念，能区分各类角的概念。
2。
掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角。
3.理解终边相同的角的含义及表示，并能解决有关问题。
1.角(1）定义：平面内一条射线绕着 从一个位置旋转到另一个位置所成的图形称为角，所旋转射线的端点叫做角的 ，开始位置的射线叫做角的 ,终止位置的射线叫做角的 .如图所示.(2）分类：如下表.(3)3个大写的英文字母表示(字母前面要写“∠”)，其中中间字母表示角的顶点，如∠AOB ，∠DEF ，…。
(1）确定任意角的大小要明确其旋转方向和旋转量；(2）零角的始边和终边重合，但始边和终边重合的角不一定是零角，如周角等;(3）角的范围由0°～360°推广到任意角后,角的加减运算类似于实数的加减运算；（4)画图表示角时，应注意箭头的方向不可丢掉，箭头方向代表角的正负.【做一做1】将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为( )A。
120°B。
－120°C。
60°D.240°2.象限角使角的顶点与重合，角的始边与轴的非负半轴重合。
那么，角的（除原点外)在第几象限，就说这个角是第几,即象限角的终边在第一或第二或第三或第四象限内，不与重合.如果角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限.【做一做2】－30°是（）A。
第一象限角B。
第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角3.终边相同的角(1)研究终边相同的角的前提条件是:角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.（2)终边相同角的集合：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝,k∈Z}，即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.理解集合S＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝要注意以下几点：(1）式中角α为任意角;（2）k∈Z这一条件必不可少;(3)k·360°与α之间是“＋”，如k·360°－30°应看成k·360°＋（－30°),即与－30°角终边相同；（4)当α与β的终边相同时，α－β＝k·360°（k∈Z）。
高一数学人教A版必修4学案：111任意角含答案1.doc
THE FIRST CHAPTER第一章三角函数1. 1任意角和弧度制1. 1.1任意角［学习目标］1•了解角的概念2掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.尹预习导学全挑战自我•点点落实________________________________________________ ［知识链接］1.手表慢了5分钟，如何校准？手表快了1.5小吋，又如何校准？答可将分针顺时针方向旋转30。
；可将时针逆时针方向旋转45。
.2.在初中角是如何定义的？答定义1：有公共端点的两条射线组成的儿何图形叫做角.定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角.3.初中所学角的范围是什么？答角的范围是［0。
，360°］.［预习导引］1.角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)角的表示方法：①常用大写字母儿3, C等表示:②也可以用希腊字母$、匸匕等表示；③特别是当角作为变量时，常用字母丄表示.(3)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：2.象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边（除端点外）在第儿象限，就说这个角是第儿象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.3.终边相同的角所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S=｛0|0=a+E36O。
，MZ｝, 即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和.戸课堂讲义/ 重点难点，个个击破 ____________________________________________________________要点一任意角概念的辨析例1在下列说法中：①0。
〜90。
的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90。
高中数学第一章三角函数1.1.1任意角学案含解析新人教A版必修
1．1.1 任意角[提出问题]问题1：当钟表慢了(或快了)，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确．在调整的过程中，分针转动的角度有什么不同？提示：旋转方向不同．问题2：在体操或跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作，做上述动作时，运动员分别转体多少度？提示：顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°，顺时针方向旋转了900°.[导入新知]角的分类1．按旋转方向2.(1)角的终边在第几象限，则称此角为第几象限角；(2)角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限．[化解疑难]1．任意角的概念认识任意角的概念应注意三个要素：顶点、始边、终边．(1)用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．(2)对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字．①要明确旋转方向；②要明确旋转角度的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．2．象限角的前提条件角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.[提出问题]在条件“角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合”下，研究下列角：30°，390°，－330°.问题1：这三个角的终边位置相同吗？提示：相同．问题2：如何用含30°的式子表示390°和－330°？提示：390°＝1×360°＋30°，－330°＝－1×360°＋30°.问题3：确定一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？提示：不唯一．[导入新知]终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{}β|β＝α＋k·360°，k∈Z，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[化解疑难]所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下几点．(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°，k∈Z与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°，k∈Z应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍；相等的角终边一定相同．[例1] 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.[解] 作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图①可知：－75°是第四象限角．(2)由图②可知：855°是第二象限角．(3)由图③可知：－510°是第三象限角．[类题通法]象限角的判断方法(1)根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．(2)根据终边相同的角的概念把角转化到0°～360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角．[活学活用]在直角坐标系中，作出下列各角，在0°～360°范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角．(1)360°；(2)720°；(3)2 012°；(4)－120°.解：如图所示，分别作出各角，可以发现：(1)360°＝0°＋360°，(2)720°＝0°＋2×360°，因此，在0°～360°范围内，这两个角均与0°角终边相同．所以这两个角不属于任何一个象限．(3)2 012°＝212°＋5×360°，所以在0°～360°范围内，与2 012°角终边相同的角是212°，所以2 012°是第三象限角．(4)－120°＝240°－360°，所以在0°～360°范围内，与－120°角终边相同的角是240°，所以－120°是第三象限角．[例2] (1)720°≤β＜360°的元素β写出来．(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．[解](1)与角α＝－ 1 910°终边相同的角的集合为{}β|β＝－1 910°＋k ·360°，k ∈Z . ∵－720°≤β＜360°，∴－720°≤－1 910°＋k ·360°＜360°， ∴31136≤k ＜61136， 故k ＝4,5,6.k ＝4时，β＝－1 910°＋4×360°＝－470°. k ＝5时，β＝－1 910°＋5×360°＝－110°. k ＝6时，β＝－1 910°＋6×360°＝250°.(2)①在0°～360°范围内，终边在直线y ＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S 1＝{β|β＝0°＋k ·360°，k ∈Z}，而所有与180°角终边相同的角构成集合S 2＝{β|β＝180°＋k ·360°，k ∈Z}，于是，终边在直线y ＝0上的角的集合为S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝k ·180°，k ∈Z}．②由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y ＝－x 上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y ＝－x 上的角的集合为S ＝{β|β＝135°＋k ·360°，k ∈Z}∪{β|β＝315°＋k ·360°，k ∈Z}＝{β|β＝135°＋k ·180°，k ∈Z}．③终边在直线y ＝x 上的角的集合为{β|β＝45°＋k ·180°，k ∈Z}，结合②知所求角的集合为S ＝{β|β＝45°＋k ·180°，k ∈Z}∪{β|β＝135°＋k ·180°，k ∈Z}＝{β|β＝45°＋2k ·90°，k ∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k ＋1)·90°，k ∈Z}＝{β|β＝45°＋k ·90°，k ∈Z}．(3)终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k ·360°，k ∈Z}＝{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}，终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}，故阴影部分角的集合可表示为{α|－30°＋k ·360°≤α≤135°＋k ·360°，k ∈Z}． [类题通法]1．常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．2．区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；(3)用不等式表示区域内的角，组成集合．[活学活用]1．将下列各角表示为α＋k·360°(k∈Z,0°≤α＜360°)的形式，并指出是第几象限角．(1)420°；(2)－495°；(3)1 020°.答案：(1)420°＝60°＋360°第一象限角(2)－495°＝225°－2×360°第三象限角(3)1 020°＝300°＋2×360°第四象限角2．已知角α的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角α的取值范围．答案：{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}分别是第几象限角？[例3] 若α是第二象限角，则2α，2[解] (1)∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，∴180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°(k∈Z)，∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上．(2)∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，∴45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z)．①当k ＝2n (n ∈Z)时，45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(n ∈Z)，即α2是第一象限角； ②当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°(n ∈Z)，即α2是第三象限角． 故α2是第一或第三象限角． [类题通法]1．n α所在象限的判断方法确定n α终边所在的象限，先求出n α的范围，再直接转化为终边相同的角即可． 2.αn所在象限的判断方法已知角α所在象限，要确定角αn所在象限，有两种方法：(1)用不等式表示出角αn的范围，然后对n 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n 除余2；……；被n 除余n －1.从而得出结论．(2)作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就是根据α终边所在的象限确定αn 的终边所落在的区域．如此，αn所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．[活学活用]已知角α为第三象限角，试确定角2α，α2分别是第几象限角．答案：2α可能是第一象限角、第二象限角或终边在y 轴非负半轴上的角 α2可能是第二象限角或第四象限角1.角的概念的易错点[典例] 下列说法中正确的是( )A．三角形的内角必是第一、二象限角B．第一象限角必是锐角C．不相等的角终边一定不相同D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则α和β终边相同[解析] 90°角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象限角；390°角是第一象限角，但它不是锐角；390°角和30°角不相等，但终边相同，故A、B、C均不正确．对于D，由终边相同的角的概念可知正确．[答案] D[易错防范]1．若三角形是直角三角形，则有一个角为直角，且直角的终边在y轴的非负半轴上，不属于任何象限．若忽视此点，则易错选A.2．锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角，如380°角为第一象限角，但它不是锐角．若混淆这两个概念，则易误选B.3．当角的范围扩充后，相差k·360°(k∈Z)的角的终边相同．若忽视此点，易错选C.4．解决好此类问题应注意以下三点：(1)弄清直角和象限角的区别，把握好概念的实质内容．(2)弄清锐角和象限角的区别．(3)对角的认识不能仅仅局限于0°～360°.[成功破障]下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③第二象限角大于第一象限角；④第二象限角是钝角；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确命题的序号为________．答案：①[随堂即时演练]1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角的大小是( )A．120°B．－120°C．240° D．－240°答案：D2．与－457°角的终边相同的角的集合是( )A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}答案：C3．下列说法中正确的序号有________．①－65°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．答案：①②③④4．在0°～360°范围内与－1 050°终边相同的角是________，它是第________象限角．答案：30°一5.试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．答案：S＝{α|α＝120°＋k·180°，k∈Z} 适合不等式－180°≤α＜180°的元素α为－60°，120°[课时达标检测]一、选择题1．－435°角的终边所在的象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：D2．终边在第二象限的角的集合可以表示为( )A．{α|90°<α<180°}B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}答案：D3．若α是第四象限角，则－α一定是( )A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角答案：A4．集合M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}中各角的终边都在( )A．x轴非负半轴上B．y轴非负半轴上C．x轴或y轴上D．x轴非负半轴或y轴非负半轴上答案：C5．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为( )A．α＋β＝k·360°，k∈ZB．α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC．α－β＝k·360°＋180°，k∈ZD．α－β＝k·360°，k∈Z答案：B二、填空题6．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是________．答案：240°7．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．答案：－5 －608．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第________象限角．答案：一或三三、解答题9．如果θ为小于360°的正角，这个角θ的4倍角的终边与这个角的终边重合，求θ的值．解：由题意得4θ＝θ＋k·360°，k∈Z，∴3θ＝k·360°，θ＝k·120°，又0°＜θ＜360°，∴θ＝120°或θ＝240°.10．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.取k＝1，得α＋β＝80°.①α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，∵α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°.取k＝－2，得α－β＝－50°.②由①②，得α＝15°，β＝65°.11．写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合．解：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}；(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．。
学案7：1.1.1 任意角
1.1.1 任意角预习导引区核心必知1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题．(1)阅读教材“思考”的内容，你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25个小时，你应当如何将它校准？在你调整的过程中，分针转动的方向有什么区别？(2)体操中有“转体720°”(即“转体2周”)，“转体1 080°”(即“转体3周”)这样的动作名称，而旋转的方向也有顺时针与逆时针的不同；又如图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．这样，OA绕O旋转所成的角与O′B绕O′旋转所成的角就会有不同的方向．利用我们以前学过的0°～360°范围的角，还能描述以上现象吗？(3)阅读教材“探究”的内容，请思考：对于直角坐标系内任一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么这些终边相同的角有什么关系？2．归纳总结，核心必记(1)角的有关概念其中O为，OA为，OB为角α或∠α，或简记为α(2)①②按角的终边位置(ⅰ)角的终边在第几象限，则此角称为第几；(ⅱ)角的终边在上，则此角不属于任何一个象限．(3)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与的和．[问题思考](1)你能说出角的三要素吗？(2)如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？(3)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大，这样说对吗？(4)在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°，这种说法是否正确？(5)当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？(6)初中我们学过对顶角相等．依据现在的知识试判断一下图中角α，β是否相等？课堂互动区知识突破知识点1——终边相同的角及区域角的表示[思考1]终边相同的角一定是相等的角吗？它们之间有什么关系？如何把这一类角表示出来？[思考2]区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，区域角如何表示？讲一讲1．(1)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．类题·通法(1)在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法①把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．②要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．(2)区域角的写法可分三步①按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；②由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；③用不等式表示区域内的角，组成集合．练一练1．在与角1 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角．知识点2——象限角的判断[思考1]若α为第一象限角，则α的顶点、始边、终边各有什么特点？[思考2] 如何判定象限角？ 讲一讲2．已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x 轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.类题·通法给定角α所处象限的判定方法法一：第一步，将α写成α＝k ·360°＋β(k ∈Z ，0°≤β＜360°)的形式． 第二步，判断β的终边所在的象限．第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．法二：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角． 练一练2．已知角α的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角α的取值范围．知识点3——nα或αn 所在象限的判定讲一讲3．若α是第二象限角，则2α，α2分别是第几象限的角？类题·通法(1)nα所在象限的判断方法确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可． (2)αn所在象限的判断方法 已知角α所在象限，要确定角αn所在象限，有两种方法：①用不等式表示出角αn 的范围，然后对n 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n除余2；…；被n 除余n －1.从而得出结论．②作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1，2，3，4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是αn 的终边所落在的区域．如此，αn 所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出． 练一练3．在直角坐标系中，作出下列各角，在0°～360°范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角．(1)360°；(2)720°；(3)2 016°；(4)－120°.4．已知角α为第三象限角，试确定角2α，α2是第几象限角．———————————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————— 1．本节课的重点是象限角的判断、终边相同角及区域角的表示，难点是nα及αn 所在象限的判定．2．本节课要重点掌握以下规律方法(1)求终边相同的角及区域角的表示，见讲1； (2)象限角及nα、αn 所处象限的判断，见讲2和讲3.3．本节课的易错点有以下几点(1)对于角的理解，要明确该角是按顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角．(2)把任意角化为α＋k ·360°(k ∈Z ，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k ，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可以用除法．(3)已知角的终边范围，求角的集合时，先写出边界对应的角，再写出0°～360°内符合条件的角的范围，最后都加上k ·360°，得到所求．参考答案预习导引区核心必知1．【答案】(1)当手表慢了5分钟时，通常将分针顺时针旋转进行调整；当手表快了1.25小时时，通常将分针逆时针旋转进行调整．故在调整的过程中两种情形分针的转动方向相反． (2)要准确地描述这些现象，不仅要知道角形成的结果，而且要知道角形成的过程，即必须既要知道旋转量，又要知道旋转方向．故利用0°～360°范围的角，无法描述以上现象． (3)不唯一．它们之间相差360°的整数倍，即相差k ·360°(k ∈Z )． 2．归纳总结，核心必记(1)一条射线端点图形顶点始边终边(2)②(ⅰ) 象限角(ⅱ)坐标轴(3) {β|β＝α＋k·360°，k∈Z} 整数个周角[问题思考](1)【答案】角的三要素是顶点、终边、始边．(2)【答案】不一定，零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°，－360°等．(3)【答案】不对，如果一条射线绕端点按顺时针方向旋转，则它形成负角，旋转的圈数越多，则这个角越小．(4) 【答案】不正确，在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转的，故它形成的角为－90°.(5)【答案】不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小并没有确定，所以角也就不能确定．(6)【答案】不相等．角α为逆时针方向形成的角，α为正角；角β为顺时针方向形成的角，β为负角．课堂互动区知识突破知识点1——终边相同的角及区域角的表示[思考1]名师指津：不一定．相等的角的终边一定相同，但终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍．可以用集合{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}表示．[思考2]名师指津：区域角可以看作是某一范围内的终边相同角的集合．故可把区域的起始、终止边界表示出来，然后组成集合即可．讲一讲1．解：(1)与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝－1 910°＋k·360°，k∈Z}．∵－720°≤β＜360°，∴－720°≤－1 910°＋k·360°＜360°，31136≤k＜61136.故k＝4，5，6，k＝4时，β＝－1 910°＋4×360°＝－470°.k＝5时，β＝－1 910°＋5×360°＝－110°.k＝6时，β＝－1 910°＋6×360°＝250°.(2)①在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，而所有与180°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．②由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．③终边在直线y＝x上的角的集合为{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}，结合②知所求角的集合为S ＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}．(3)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．故阴影部分角的集合可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．练一练1．解：1 030°÷360°＝2……310°，所以1 030°＝2×360°＋310°，所以与角1 030°终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋310°，k∈Z}．(1)所求的最小正角为310°.(2)取k＝－1得所求的最大负角为－50°.知识点2——象限角的判断[思考1]【答案】若α为第一象限角，则α的顶点为坐标原点、始边与x轴的正半轴重合，终边处在第一象限．[思考2]【答案】(1)根据图形判定；(2)根据终边相同的角的概念判定．讲一讲2．解：作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图①可知：－75°是第四象限角．(2)由图②可知：855°是第二象限角．(3)由图③可知：－510°是第三象限角．练一练2．解：终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此终边在图中阴影部分的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α＜105°＋k·180°，k∈Z}．知识点3——nα或αn 所在象限的判定讲一讲3．解：(1)∵α是第二象限角， ∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )， ∴180°＋k ·720°<2α<360°＋k ·720°，∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上． (2)∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，∴45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )．法一：①当k ＝2n (n ∈Z )时，45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(n ∈Z )，即α2是第一象限角；②当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°(n ∈Z )，即α2是第三象限角．故α2是第一或第三象限角．法二：∵45°＋k ·180°表示终边为一、三象限角平分线的角，90°＋k ·180°(k ∈Z )表示终边为y 轴的角，∴45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )表示如图中阴影部分图形．即α2是第一或第三象限角．练一练3．解：如图所示，分别作出各角．可以发现(1)360°＝0°＋360°，(2)720°＝0°＋2×360°，因此，在0°～360°范围内，这两个角均与0°角终边相同．所以这两个角不属于任何一个象限．(3)2 016°＝216°＋5×360°，所以在0°～360°范围内，与2 016°角终边相同的角是216°，所以2 016°是第三象限角．(4)－120°＝240°－360°，所以在0°～360°范围内，与－120°角终边相同的角是240°，所以－120°是第三象限角．4．解：∵α为第三象限角，∴k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°(k ∈Z )．(1)(2k ＋1)·360°<2α<(2k ＋1)·360°＋180°(k ∈Z )，则2α可能是第一象限角、第二象限角或终边在y 轴非负半轴上的角．(2)k ·180°＋90°<α2<k ·180°＋135°(k ∈Z )， 当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°＋90°<α2<n ·360°＋135°(n ∈Z )， 此时α2为第二象限角； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋270°<α2<n ·360°＋315°(n ∈Z )， 此时α2为第四象限角． 综上所述，α2可能是第二象限角或第四象限角．。
1.1.1 任意角 学案(含答案)人教A版数学必修4
1.1.1 任意角学案（含答案）人教A版数学必修41.1任意角和弧度制任意角和弧度制11.1任意角任意角学习目标1.了解角的概念.2.掌握正角.负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角.终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角知识点一角的相关概念1.角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB所成的图形点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角的始边和终边2按照角的旋转方向，分为如下三类类型定义正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角思考始边与终边重合的角是零角，这句话正确吗答案不正确，当射线旋转整数圈时，始边与终边也重合，但此时形成的角不是零角知识点二象限角.轴线角在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合象限角终边在第几象限就是第几象限角；轴线角终边落在坐标轴上的角知识点三终边相同的角终边相同角的表示所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和1经过1小时，时针转过30.提示因为是顺时针旋转，所以时针转过30.2小于90的角是锐角提示锐角是指大于0且小于90的角3钝角是第二象限角4第一象限角都是锐角题型一任意角概念的理解例11给出下列说法锐角都是第一象限角；第一象限角一定不是负角；小于180的角是钝角或直角或锐角其中正确说法的序号为________把正确说法的序号都写上2将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________考点任意角的概念题点对任意角概念的理解答案12120解析1锐角指大于0小于90的角，都是第一象限角，所以对；由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，小于180的角还有负角.零角，所以错误2分针每分钟转6，由于顺时针旋转，所以20分钟转了120.反思感悟解决此类问题要正确理解锐角.钝角.090角.象限角等概念角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小跟踪训练11若角的顶点在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，给出下列四个命题0角是第一象限角；相等的角的终边一定相同；终边相同的角有无限多个；与30角终边相同的角都是第四象限角其中正确的有A1个B2个C3个D4个2时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________考点任意角的概念题点对任意角概念的理解答案1C2960解析1错误，0角是轴线角；正确2分针按顺时针方向转动，则转过的角度是负角为360223960.题型二象限角的判定例21已知下列各角120；240；180；495.其中是第二象限角的是ABCD考点象限角题点对象限角的判断答案D解析120为第三象限角，错；240360120，120为第二象限角，240也为第二象限角，故对；180为轴线角；495360135，135为第二象限角，495为第二象限角，故对故选D.2若角是第三象限角，则角2的终边所在的区域是如图所示的区域不含边界ABCD考点象限角题点判断角所在象限答案A解析是第三象限角，k360180k360270kZ，k180902k180135kZ当k2nnZ 时，n360902n360135，nZ，其终边在区域内；当k2n1nZ时，n3602702n360315，nZ，其终边在区域内角2的终边所在的区域为.反思感悟1判断象限角的步骤当0360时，直接写出结果当0或360时，将化为k360kZ，0360，转化为判断角所属的象限2一般地，要确定n所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次标上1,2,3,4，，1,2,3,4，标号为几的区域，就是根据所在第几象限时，n的终边所落在的区域，如此，n所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出跟踪训练2xx河南郑州高二期末若k18045，kZ，则终边所在的象限是A第一.三象限B第一.二象限C第二.四象限D第三.四象限考点对角所在象限的判断题点象限角判断答案A解析由题意知k18045，kZ，当k2n1，nZ时，2n18018045n360225，nZ，其终边在第三象限；当k2n，nZ时，2n18045n36045，nZ，其终边在第一象限综上，终边所在的象限是第一或第三象限题型三终边相同的角例3在与角10030终边相同的角中，求满足下列条件的角1最大的负角；2最小的正角；3范围360720内的角考点终边相同的角题点终边相同的角表示方法解与10030终边相同的角的一般形式为k36010030kZ，1由360k360100300，得10390k36010030，解得k28，故所求的最大负角为50.2由0k36010030360，得10030k3609670，解得k27，故所求的最小正角为310.3由360k36010030720，得9670k3609310，解得k26，故所求的角为670.反思感悟求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值跟踪训练3已知315.1把改写成k360kZ,0360的形式，并指出它是第几象限角；2求，使与终边相同，且1080360.考点终边相同的角题点终边相同的角.象限角解1因为31536045.又045360，所以把写成k360kZ,0360的形式为3604545，它是第一象限角2与315终边相同的角为k36045kZ，所以当k3，2时，1035，675，满足1080360.即得所求角为1035和675.求终边在给定直线上的角的集合典例写出终边在直线y3x上的角的集合考点终边相同的角题点任意角的综合应用解终边在y3xx0上的角的集合是S1|120k360，kZ；终边在y3xx0上的角的集合是S2|300k360，kZ因此，终边在直线y3x上的角的集合是SS1S2|120k360，kZ|300k360，kZ，即S|1202k180，kZ|1202k1180，kZ|120n180，nZ故终边在直线y3x上的角的集合是S|120n180，nZ素养评析1可以先画出直线y3x，借助几何直观理解问题.建立形与数的联系，通过学习提升直观想象的数学核心素养2在具体操作时，要注意把直线y3x分成两部分y3xx0和y3xx0进行讨论.1下列说法正确的是A第一象限的角一定是正角B三角形的内角不是锐角就是钝角C锐角小于90D终边相同的角相等考点任意角的概念题点任意角的概念的理解答案C解析355是第一象限的角，但不是正角，所以A错误；三角形的内角可能是90，所以B错误；锐角小于90，C正确；45与405角的终边相同，但不相等，所以D错误故选C.22018是A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角考点象限角.轴线角题点象限角答案C解析20185360218，故2018是第三象限角3与457角终边相同的角的集合是A|k360457，kZB|k36097，kZC|k360263，kZD|k360263，kZ考点终边相同的角题点终边相同的角答案C解析4572360263，故选C.4已知角的终边在直线3xy0上则角的集合S为__________考点终边相同的角题点任意角的综合应用答案|60n180，nZ解析如图，直线3xy0过原点，倾斜角为60，在0360范围内，终边落在射线OA上的角是60，终边落在射线OB上的角是240，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为S1|60k360，kZ，S2|240k360，kZ，所以，角的集合SS1S2|60k360，kZ|60180k360，kZ|602k180，kZ|602k1180，kZ|60n180，nZ5已知角的集合M|30k90，kZ，回答下列问题1集合M中大于360且小于360的角是哪几个2写出集合M中的第二象限角的一般表达式考点终边相同的角题点象限角.终边相同的角解1令36030k90360，得133k113，又kZ，k4，3，2，1,0,1,2,3，集合M中大于360且小于360的角共有8个，分别是330，240，150，60，30，120，210，300.2集合M中的第二象限角与120角的终边相同，120k360，kZ.1对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”2关于终边相同的角的认识一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和注意1为任意角；2k360与之间是“”号，k360可理解为k360；3相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍；4kZ这一条件不能少。
2019-2020学年数学高中人教A版必修4学案：1.1.1任意角 Word版含解析
第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角学习目标1.理解任意角的概念,学会在平面内建立适当的坐标系讨论任意角.2.能在0°到360°范围内,找出一个与已知角终边相同的角,并判定其为第几象限角.3.能写出与任一已知角终边相同的角的集合.学习过程一、课前准备每两位同学准备一套螺丝,复习初中有关角的知识.二、新课导学探索新知问题1:在初中我们是如何定义一个角的?角的范围是什么?问题2:两位同学一组将螺丝帽拧在螺母上,并观察螺丝帽转过的角度,是0°~360°的角吗?应该怎样重新定义角?问题3:请同学们再重做一次,注意观察,把螺丝帽拧紧到螺母上的过程中形成的角和在螺母上把螺丝帽卸下所成的角是否相同?怎样表示这种不同?问题4:我们用数轴上的点表示实数起到了什么作用?应该如何表示角?问题5:我们发现30°,390°,-330°终边相同,和它们终边相同的角还有吗?它们之间有什么关系?能不能表示出所有与30°终边相同的角的集合?典型例题【例1】30°,390°,-330°分别是第几象限角?【例2】在0°~360°内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它是哪个象限的角?(1)-120°(2)640°(3)-950°12'变式训练:(1)终边落在x轴正半轴上的角的集合如何表示?终边落在x轴上呢?(2)终边落在坐标轴上的角的集合如何表示?当堂检测1.下列说法中,正确的是()A.第一象限的角一定是锐角B.锐角一定是第一象限的角C.小于90°的角一定是锐角D.第一象限的角一定是正角2.-50°的角的终边在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.一角为30°,其终边按逆时针方向旋转两周后的角度数为.4.已知角的顶点与坐标系原点重合,始边落在x轴的正半轴上,作出下列各角,并指出它们是哪个象限的角?(1)420°,(2)-75°,(3)855°,(4)-510°.5.分针一分钟转过的角度是度;时针一小时转过的角度是度;分针一昼夜转过的角度是度.小结反思参考答案课前准备角是从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.角的范围是0°~360°.新课导学探究新知:问题1:角是从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.角的范围是0°~360°.问题2:螺丝转过的角度是1080°,角应该是旋转形成的图形.问题3:旋转方向不同所得到的角应该不同.可以用角的正负表示旋转方向的不同.问题4:用数轴上的点表示实数可以直观地反映出数的正负和大小关系.因为角有始边和终边两条射线,可以用平面直角坐标系来表示角.问题5:30°,390°,-330°是终边相同的角.和30°,390°,-330°终边相同的角有无数个,它们之间相差360°的整数倍,所有与30°终边相同的角的集合为{α|α=30°+k·360°,k∈Z}.典型例题【例1】30°,390°,-330°都是第一象限角.【例2】解:-120°=-1×360°+240°,所以-120°与240°终边相同,是第三象限角.640°=1×360°+280°,所以640°与280°终边相同,是第四象限角.-950°12'=-3×360°+129°48',所以-950°12'与129°48'终边相同,是第二象限角.变式训练:(1)终边在x轴正半轴上的角的集合为{α|α=k·360°,k∈Z};终边落在x轴上的角的集合为{α|α=k·360°,或α=180°+k·360°,k∈Z}={α|α=k·180°,k∈Z}.(2)终边在坐标轴上的角的集合为{α|α=k·90°,k∈Z}.当堂检测1.B2.D3.750°4.作图略.(1)420°=1×360°+60°,第一象限角;(2)第四象限角;(3)855°=2×360°+135°,第二象限角;(4)-510°=-2×360°+210°,第三象限角;5.-6,-30,-8640.小结反思:本节课我们学习了正角、负角和零角的概念,象限角的概念,要注意如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.本节课重点是学习终边相同的角的表示法.严格区分“终边相同”和“角相等”,“轴线角”“象限角”和“区间角”,“小于90°的角”“第一象限角”“0°到90°的角”和“锐角”的不同意义.。
高中数学：1.1.1 任意角的概念 Word版含答案
1.1.1任意角的概念一、三维目标：知识与技能：理解任意角的概念、象限角”、“终边相同的角”的含义，体会角的概念推广的必要性和实际意义，会表示终边相同的角，能在0360o o :的角找出与已知角终边相同的角。
过程与方法：通过实例理解用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义，同时培养数形结合的思想和用运动变化观点思考问题的意识。
情感态度与价值观：通过学习，体会数学的发展源于实际的需要，从而激发学习热情和求知欲。
二、学习重、难点：重点：理解正角、负角、象限角、终边相同的角的含义，将0360o o :的角推广到任意角。
难点：角的概念的推广；终边角相同的角的表示，象限角的集合。
三、学法指导：认真阅读教材,对教材的相关概念进行标注。
通过具体的实例来领会概括任意角的概念，象限角”、“终边相同的角”的含义 。
四、知识链接：初中角的定义：从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形 。
五、学习过程：阅读教材P2-3,回答下面问题(一～二)：（一）、正角、负角、零角概念：注：如何理解角的概念？高中数学中的角是以动态的观点来刻画的，对其理解要紧紧抓住“旋转”二字，用运动的观点来看待：既有旋转方向，又有旋转大小，同时注意即使不旋转也是一个角，从而得到正角、负角、零角的定义及范围超出0360o o :的角。
A 例1： 你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了 1.50小时，你应当如何将它校准？当时间校准后，分针旋转了多少度？（二）、象限角概念C 思考问题：在直角坐标系内讨论角有什么好处？是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？B 例2：{90}A =o 小于的角，{}B =第一象限的角，{}C =锐角，={090{090}}D θθ≤<o o o o :间（即）的角）.下列选项中正确的有 （填序号）。
①A=C=D ⊆B ； ②C ⊆ D ⊆A ； ③C ⊆ D ⊆B④C ⊆ D ⊆ B ⊆A ； ⑤B ∩D=C ；⑥A ∩B=C 。
高一数学人教A版必修四教案：1.1.1 任意角 Word版含答案
第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角一、教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法通过创设情境：“转体720︒，逆（顺）时针旋转”，角有大于360︒角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.三、学法与教学用具之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.教学用具:电脑、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1．初中时，我们已学习了0360︒︒~角的概念，它是如何定义的呢？[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒” （即转体2周），“转体1080︒”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?[展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750︒；图1.1.3(2)中，正角210α︒=，负角150,660βγ︒︒=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle ）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。
【人教版】下期高一数学必修四《1.1.1任意角》导学案(含答案)
1.1.1任意角预习课本P2～5，思考并完成以下问题(1)角是如何定义的？角的概念推广后，分类的标准是什么？(2)象限角的含义是什么？判断角所在的象限时，要注意哪些问题？(3)终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？[新知初探]1．任意角(1)角的概念：角可以看成平面内一条绕着端点从一个位置到另一个位置所成的．(2)角的表示：如图，OA 是角α的，OB 是角α的，O 是角α的．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类：名称定义图示正角按方向旋转形成的角负角按方向旋转形成的角零角一条射线作任何旋转形成的角[点睛]对角的概念的理解关键是抓住“旋转”二字：①要明确旋转的方向；②要明确旋转量的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．2．象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的在第几象限，就说这个角是第几；如果角的终边在，就认为这个角不属于任何一个象限．[点睛]象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[点睛]对终边相同的角的理解(1)α为任意角，“k ∈Z ”这一条件不能漏．(2)k ·360°与α中间用“＋”连接，k ·360°－α可理解成k ·360°＋(－α)．(3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．终边不同，则表示的角一定不同[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)－30°是第四象限角．()(2)钝角是第二象限的角．()(3)终边与始边重合的角是零角．()2．与－457°角终边相同的角的集合是()A ．{α|α＝k ·360°＋457°，k ∈Z}B ．{α|α＝k ·360°＋97°，k ∈Z}C ．{α|α＝k ·360°＋263°，k ∈Z}D ．{α|α＝k ·360°－263°，k ∈Z}3．下列说法正确的是()A ．锐角是第一象限角B ．第二象限角是钝角C ．第一象限角是锐角D ．第四象限角是负角4．与－1560°角终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是_______．任意角的概念[典例]下列结论：①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③小于90°的角为锐角；④钝角比第三象限角小；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确的结论为________(填序号)．理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．[活学活用]若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为()A ．120°B ．－120°C ．－60°D ．60°终边相同角的表示[典例]已知α＝－315°.(1)把α改写成k ·360°＋β(k ∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－1080°＜θ＜－360°.1．终边落在直线上的角的集合的步骤(1)写出在0°～360°范围内相应的角；(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；(3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁．2．终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．如图所示，求终边落在直线y ＝3x 上的角的集合．象限角的判断[典例]找出与下列各角终边相同的最小正角和最大负角，并判断它们是第几象限角．(1)660°；(2)－950°8′；(3)10030°.象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．已知α是第四象限角，则270°－α是()A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角角αn，nα(n ∈N *)所在象限的确定[典例]已知α是第二象限角，求角α2所在的象限．[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求角2α的终边的位置．2．[变条件]若本例条件中角α变为第三象限角，求角α2是第几象限角．[新知初探]1．任意角（1）射线旋转图形．(2)始边终边顶点(3)逆时针顺时针没有2．象限角原点终边象限角坐标轴上[小试身手]1．答案：(1)√(2)√(3)×2．解析：选C263°＝－457°＋360°×2，所以263°角与－457°角的终边相同，所以与－457°角终边相同的角可写为{α|α＝k ·360°＋263°，k ∈Z }.3．答案：A4．解析：与－1560°角终边相同的角的集合为{α|α＝k ·360°＋240°，k ∈Z}，所以最小正角为240°，最大负角为－120°.答案：240°－120°任意角的概念[典例][解析]①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；③小于90°的角可以是0°角，也可以是负角，故③不正确；④钝角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故④不正确；⑤0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确．[答案]②[活学活用]解析：选B由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－412×360°＝－120°.[解](1)因为－315°＝－360°＋45°.又0°＜45°＜360°，所以把α写成k ·360°＋β(k ∈Z,0°≤β＜360°)的形式为α＝－360°＋45°(β＝45°)，它是第一象限角．(2)与－315°终边相同的角为θ＝k ·360°＋45°(k ∈Z)，所以当k ＝－3，－2时，θ＝－1035°，－675°，满足－1080°＜θ＜－360°.即得所求角θ为－1035°和－675°.[活学活用]解：终边落在射线y ＝3x (x >0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z}，终边落在射线y ＝3x (x ≤0)上的角的集合是S 2＝{α|α＝240°＋k ·360°，k ∈Z}，于是终边落在直线y ＝3x 上的角的集合是S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z}∪{α|α＝240°＋k ·360°，k ∈Z}＝{α|α＝60°＋2k ·180°，k ∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z}＝{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z}.象限角的判断[典例][解](1)∵660°＝360°＋300°＝2×360°－60°，∴与660°角终边相同的最小正角是300°，最大负角是－60°，它们是第四象限角．(2)∵－950°8′＝－3×360°＋129°52′＝－2×360°－230°8′，∴与－950°8′角终边相同的最小正角是129°52′，最大负角是－230°8′，它们是第二象限角．(3)∵10030°＝27×360°＋310°＝28×360°－50°，∴与10030°角终边相同的最小正角是310°，最大负角是－50°，它们是第四象限角．[活学活用]解析：选D由题意知－90°＋360°·k ＜α＜360°·k (k ∈Z)，则－360°·k ＜－α＜－360°·k ＋90°(k∈Z)，270°－360°·k ＜270°－α＜360°－360°·k (k ∈Z)，显然270°－α是第四象限角.角αn，nα(n ∈N *)所在象限的确定[典例][解]法一：∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z)．∴k 2·360°＋45°<α2<k2·360°＋90°(k ∈Z)．n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°，这表明α2是第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z)，得n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，这表明α2是第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．法二：如图，先将各象限分成2等份，再从x 轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为α2的终边所在的区域，故α2为第一或第三象限角．[一题多变]1．解：∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z)．∴k ·720°＋180°<2α<k ·720°＋360°(k ∈Z)．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上．2．解：如图所示，先将各象限分成2等份，再从x 轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的区域即为角α2的终边所在的区域，故角α2为第二或第四象限角．。
人教版高中数学必修四第一章1-1-1任意角《学案》
1.1.1 任意角班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒学习目标1．了解任意角的概念及角的分类.2．理解象限角的概念.3．理解终边相同的角的概念，并能熟练写出终边相同的角的集合表示.学习重点1．将0度到360度范围的角推广到任意角2．终边相同的角的集合学习难点用集合来表示终边相同的角自主学习1．任意角的概念2．象限角(1)前提：①角的顶点：________________，②角的始边：_______________.(2)结论：角的终边在第几象限，就说这个角是______________.3．终边相同的角的表示所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝_____________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.预习评价1．下列说法正确的是B.小于90°的角一定是第一象限角C.180°是第二象限角D.330°是第四象限角2．下列各角中与330°角终边相同的角是°°C.－150° D.－390°3．从13：00到14：00，时针转过的角度为____________，分针转过的角度为____________. 4．与60°角终边相同的角的集合为____________.要点互动探究♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．任意角的概念回忆初中学过的角的定义(从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形)再结合角的旋转定义，思考下列问题.(1)将一条射线OΑ绕其端点O按逆时针旋转α角到OB位置，结合图形完成下列填空.①角α的顶点为_________，始边为_________，终边为_________ .②角α是_________(填“正角”“负角”“零角”之一).(2)若将该射线OΑ绕其端点O按顺时针旋转α角到OB位置，则α是正角还是负角？若射线OΑ不旋转所形成的角又是什么呢？2．将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60°所形成的角，与按顺时针方向旋转60°所形成的角是否相等？3．(1)观察如图所示的象限角的图形表示，其中α的始边是x轴的非负半轴，终边是OΑ,β的始边是x轴的非负半轴，终边是OB，思考下面的问题：①如图所示的角α是第_______象限角，角β是第_______象限角.②结合α，β所在象限的判断方法，思考怎样判断一个角是第几象限角？(2)若已知角α所在的象限，如何判断2α，所在的象限？4．结合如图所示图形分析角－32°，328°，－392°的终边是否相同？5．根据终边相同的角的概念，思考下列问题：(1)如何用－32°表示328°,－392°?(2)所有与－32°角终边相同的角，连同－32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？推广到一般与角α终边相同的角如何表示？教师点拨1．对任意角的概念的三点说明(1)角的正负的规定纯属习惯.(2)零角无正负，始边与终边重合.(3)确定一个角的关键：①方向：顺时针，逆时针；②旋转量：圈数；③终边位置.2．终边相同的角的三点说明(1)α为任意角，可为正角、负角或零角，一般选用0°〜360°的角.(2)终边相同的角不一定相等，相等的角若共始边，则终边一定相同.(3)终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍，在写终边相同的角的集合表示时一定要有k∈Z.交流展示——任意角的概念1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是()A.120°B.-120°C.240°D.-240°2．与405°角终边相同的角是A.k·360°－45°，k∈ZB.k·180°－45°，k∈ZC.k·360°＋45°，k∈ZD.k·180°＋45°，k∈Z3．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与角的终边相同的角的集合为__________.变式训练1．若角和角的终边关于轴对称，则角可以用角表示为A.B.C.D.2．若与的终边互为反向延长线，则有A.=+180°B.=180°C.=D.=+()·180°，3．已知，且与120°角终边相同，则______．交流展示——象限角的判断4．下列四个命题中，正确的是5．已知下列各角(1)787°,(2)-957°,(3)-289°,(4)1711°,其中在第一象限的角是A.(1)、(2)B.(2)、(3)C.(1)、(3)D.(2)、(4)6．若是第四象限角，则180°是第____象限角.变式训练4．已知α是第四象限角,则270°-α是()5．已知是第三象限角，则所在的象限是交流展示——终边相同的角的表示7．在与终边相同的角是A. B. C. D.8．在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并指出它们是第几象限角:(1)549°;(2)-60°;(3)-503°36'.变式训练6．把表示成的形式，则可以是A. B. C. D.7．若角α=2 013°,则与角α具有相同终边的最小正角为_____,最大负角为______.学习小结求解任意角问题的步骤(1)定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，否则为负角.(2)定大小：根据旋转角度的绝对量确定角的大小.当堂检测1．已知角2的终边落在轴的上方，那么角是C.第三、四象限角D.第一、三象限角2．在“①-160°,②488°,③-1 008°,④-1 637°”这四个角中,属于第二象限的是A.①②B.①③C.②③D.②④3．(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤α<720°的元素α写出来:①60°;②-21°.(2)试写出终边在直线y=-x上的角的集合S,并把S中适合不等式-180°≤α<180°的元素α写出来.知识拓展1．终边与坐标轴重合的角的集合是A. B.C. D.2．已知角，则符合条件的最大负角为A.−26°B.−224°C.−206°D.−162°3．一角为30°,其终边按逆时针方向旋转三周后得到的角的度数为.1.1.1 任意角详细答案♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒【自主学习】1．逆时针顺时针2．(1)①坐标原点②x轴的非负半轴(2)第几象限角3．{β|β＝α+k·360°，k∈Z}【预习评价】1．D2．D3．-30°-360°4．{α|α＝k·360°+60°，k∈Z}♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒【合作探究】1．(1)①O OA OB②正角(2)提示：α是负角，不旋转所形成的角是零角.2．不相等，度量一个角的大小，既要考虑旋转量，又要考虑旋转方向.故原题中两种旋转方法所形成的角不相等.3．(1)①一三②判断方法是将角的顶点与原点重合、角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就说该角是第几象限角. (2)方法一：取特殊值法，可以取角α所在的象限内的某一特殊角，把2α，求出进行判断.方法二：写出角α的范围，从而把2α，的范围写出，再对k的范围进行讨论，从而确定2α，所在的象限.4．由图可知，它们的终边是同一条射线，即终边相同.5．(1)328°=360°-32°，-392°=-360°-32°.(2)所有与-32°角终边相同的角，连同-32°角在内的集合可表示为：S={β|β＝-32°+k·360°，k∈Z}；与角α终边相同的角记为β,构成的集合记为S，则S＝{β|β=α+k·360°，k∈Z}.【交流展示——任意角的概念】1．D【解析】一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是-240°,故选D.2．C终边相同的角可表示为，由此可得与角终边相同的角为，即，所以选C3．{56°，176°，296°}【解析】本题考查终边相同角的表示.，所以在0°～360°内与其终边相同的角为56°，176°，296°.【备注】终边相同的角的大小相差360°的整数倍.【变式训练】1．B【解析】本题主要考查角的概念和的对称性.因为角和角的终边关于轴对称，所以，所以．故选B2．D3．【解析】题主要考查角的概念.由与120°角终边相同，故，∵，∴．又，∴，此时．【交流展示——象限角的判断】4．B，故一定在第一象限.【备注】象限角根据终边所在的象限来决定，可正可负.5．C【解析】本题考查象限角的定义.. ∴在第一象限的角是(1)、(3). 6．三【解析】因为β是第四象限角，所以是，，则，.故180°−β是第三象限角.【变式训练】4．D【解析】∵α是第四象限角,∴-α是第一象限,则由任意角的定义知,270°-α是第四象限角. 5．D【解析】本题主要考查角的概念.因为是第三象限角，所以，，从而当为偶数时，位于第二象限；当为奇数时，位于第四象限．选D.【交流展示——终边相同的角的表示】7．D【解析】本题考查终边相同角的表示方法..8．(1)549°=189°+360°,而180°<189°<270°,因此,549°角为第三象限角,且在0°~360°范围内,与189°角有相同的终边.(2)-60°=300°-360°,而270°<300°<360°,因此,-60°角为第四象限角,且在0°~360°范围内,与300°角有相同的终边.(3)-503°36'=216°24'-2×360°,而180°<216°24'<270°,因此,-503°36'角是第三象限角,且在0°~360°范围内,与216°24'角有相同的终边.【变式训练】6．C【解析】本题考查终边相同角的表示方法..7．213°-147°【解析】∵2 013°=5×360°+213°,∴与角α终边相同的角的集合为{α|α=213°+k·360°,k∈Z},∴最小正角是213°,最大负角是-147°.【当堂检测】1．D2．D【解析】-160°=-360°+200°;488°=360°+128°;-1 008°=-3×360°+72°;-1 637°=-5×360°+163°,故①是第三象限角,②④是第二象限角,③是第一象限角.【备注】判断角所在的象限,其关键就是利用终边相同的角将其化为0°~360°范围内的角,然后进行判断.3．(1)①S={α|α=60°+k·360°,k∈Z},其中适合不等式-360°≤α<720°的元素α为:-300°,60°,420°;②S={α|α=-21°+k·360°,k∈Z},其中适合不等式-360°≤α<720°的元素α为:-21°,339°,699°.(2)终边在直线y=-x上的角的集合S={α|α=k·360°+120°,k∈Z}∪{α|α=k·360°+300°,k∈Z}={α|α=k·180°+120°,k∈Z},其中适合不等式-180°≤α<180°的元素α为:-60°,120°.【知识拓展】1．C2．A3．1 110°【解析】按逆时针方向旋转得到的角是正角,旋转三周则得30°+3×360°=1 110°.。
2016-2017学年高中数学新课标必修4同步学案：1.1.1任意角 含答案
第1章1。
1第1课时1.1.1任意角课前准备温故知新：在过去我们所学的角都是在003600--之间的角,如果把角局限到这样一个范围之内,有很多问题无法解决，比如时钟分针顺时针和逆时针方向分别转半圈，所形成的角是否相等，跳水运动员转体2周半是转了多少，这些都无法表示。
这些都要求角的范围必须在原有的基础上扩大.学习目标：了解任意角的概念，会表示终边相同的角，并能结合图示了解象限角和轴上角。
课前思索：正角和负角的区别是什么？终边相同的角一定相等吗？课堂学习一、学习引领1．角的概念进行推广的导因:在初中学习数学时，我们认识了在003600≤≤α范围内的角，但是在现实生活中会接触到不在该范围内的角，这样对角进行了推广就急切的被提出来.为了使按不同方向旋转所得角有所区别,规定：在直角坐标系中，将角α的始边绕原点O 逆时针方向旋转，则可以得到所有的正角；如果按照顺时针方向旋转，则得到所有的负角。
另外，对于角的概念推广之后要注意几个问题:（1)注意旋转方向不同产生正角、负角和零角;(2)要注意角的集合形式不唯一;（3）按终边位置不同产生象限角和轴线角;(4)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同；（5）要注意{}090|<=ααA ,=B {α是锐角｝，=C ｛α是第一象限角｝这三者之间的联系；（6）要注意区间角：如[]0090,0，注意它与象限角和轴线角的区别;α不一定是第一象限角，α2也不一定是第四象（7)若α是第二象限角,2限角。
2．正角、零角、负角的形成：正角是指一条射线按逆时针方向旋转（一定要注意方向）所形成的角．对于它的理解首先是要旋转，不旋转不行，同时要注意旋转方向，一定是逆时针方向，至于旋转多少没有限制．所以任意的正角是存在的，正角越大说明按逆时针旋转的量也越大(或者圈数越多)．零角则是一条射线没有做任何旋转所形成的角，有的同学对这个会出现理解上的误差，他认为不旋转就形不成角．负角则是指一条射线按顺时针方向旋转（一定要注意方向）所形成的角．有了负角之后，角的范围就可以任意得到扩充．3．理解好象限角与轴上角（有的称为轴线角）：象限角：角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的非负半轴,那么角的终边落在第几象限,就说这个角是第几象限的角；终边在第二象限的角可表示为:{}Z⋅,180+360090<360k<kk∈⋅+0αα，同学们，你能表示出终边在第一、三、四象限的角吗？请你试一试．轴上角（有的称为轴线角）：角的顶点合于坐标原点，角的始边是x轴的非负半轴，那么角的终边落在坐标轴上，称为轴上角（也可称为轴线角）,此时这个角不属于任何一个象限．终边在y非负半轴的角的集合为{}Z903600=,⋅k∈+kββ，你能写出其它轴上角吗？请同学们试一试．4．终边相同的角：所有与α角终边相同的角内可以构成一个集合：S={β|β=α+k·360°,k∈Z｝,也就是说任意与角α终边相同的角，都可以表示成角α与0360的整数倍的和．同学们要记住终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同.终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．一定要注意终边相同的角的大小表示中一定要有k Z ∈。
学案6：1.1.1 任意角
1.1.1 任意角课标解读：1.了解任意角的概念．2．理解终边相同角的含义及其表示．(重点)知识点1 任意角【问题导思】将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？1．定义角可以看成是平面内一条绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．2．分类正角、负角与零角正角：按时针方向旋转形成的角；负角：按时针方向旋转形成的角；零角：一条射线形成的角．知识点2 象限角【问题导思】把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．象限角：在第几象限就是第几象限角；轴线角：落在坐标轴上的角．知识点3 终边相同的角【问题导思】30°，390°，750°，…，30°＋k·360°(k∈Z)的角的终边有什么关系？所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个的和．课堂互动探究类型1 角的基本概念例1下列命题①第一象限角一定不是负角；②第二象限角大于第一象限角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中不正确的序号为________．[规律方法]1．解决此类问题关键在于正确理解象限角及锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别．2．判断结论正确与否时，若要说明结论正确，需要严格的推理论证，若要说明结论错误，只需举出反例即可．变式训练1 下列说法正确的是()A．锐角是第一象限角B．钝角比第三象限角小C．三角形的内角必为第一、二象限角D．小于90°的角都是锐角类型2 终边相同的角例2已知角α＝2 010°(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.[规律方法]1．把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)也可用除法．2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．变式训练2 若将例题中“角α＝2 010°”，改为“α＝－315°”，其他条件不变，结果如何？类型3 象限角与区域角的表示例3 如图，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是( )A ．{α|k ·360°＋30°<α<k ·360°＋45°，k ∈Z }B ．{α|k ·180°＋150°<α<k ·180°＋225°，k ∈Z }C ．{α|k ·360°＋150°<α<k ·360°＋225°，k ∈Z }D ．{α|k ·360°＋30°<α<k ·180°＋45°，k ∈Z }[规律方法]1．先在－360°～360°范围内确定区域角起止边界处角，再把端点处加上360°的整数倍即得．2．区域角的表示问题，遵循先从特殊再到一般的规律写出，即先选择一个合适的角度为360°区间，写出落在阴影部分的角的集合，然后再在端点处加上周角的整数倍表示终边落在阴影区域内的角的集合．注意结果尽量表示为一个连续区间．变式训练3 写出下图中阴影部分(不含边界)表示的角的集合．易错易误辨析 忽视象限角范围致误典例 若α是第二象限角，试确定2α、α2是第几象限角． 【错解】 由题意得90°<α<180°，所以有180°<2α<360°，45°<α2<90°. 故有2α为第三象限角、第四象限角或终边在y 轴非正半轴上角，α2为第一象限角．【错因分析】 致错原因是把α是第二象限角范围误认为是大于90°而小于180°，而应是{α|90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°，k ∈Z }才完整．【防范措施】 正确理解象限角的含义及范围是避免此类错误的关键．【正解】 (1)由题意得90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )， ①∴180°＋2k ·360°<2α<360°＋2k ·360°(k ∈Z )．故2α是第三或第四象限角或终边落在y 轴非正半轴上的角．(2)由①得45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )， 当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，得45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(n ∈Z )， 故α2是第一象限角． 当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z )得45°＋180°＋n ·360°<α2<90°＋180°＋n ·360°(n ∈Z )， 即225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°(n ∈Z )，故α2为第三象限角． 综上可知α2为第一或第三象限角． 课堂小结1．理解任意角的概念要抓住四个要素：顶点、始边、终边和射线的旋转方向．2．象限角的确定依赖于角的终边位置的确定，要注意对表达式中的k 进行分类讨论，以确定角的终边的位置．3．熟练掌握终边相同的角的公式及应用，明确象限角的概念与内涵是解题的依据.当堂双基达标1．将射线OM 绕端点O 按逆时针方向旋转120°所得的角为( )A ．120°B ．－120°C ．60°D ．240°2．下列各角中，与角330°的终边相同的角是( )A ．510°B ．150°C ．－150°D ．－390°3．将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式是________．4．如果θ为小于360°的正角，θ的4倍角的终边与θ的终边重合，求θ的值．参考答案知识点1 任意角【提示】有顺时针和逆时针两种旋转方向．1．射线2．逆顺没有作任何旋转知识点2 象限角【提示】终边可能落在坐标轴上或四个象限内．终边终边知识点3 终边相同的角【提示】相同．周角课堂互动探究类型1 角的基本概念例1①②③④【解析】①－330°角是第一象限角，但它是负角，所以①不正确．②120°角是第二象限角，390°角是第一象限角，显然390°＞120°，所以②不正确．③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确．④0°角是小于180°角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确．变式训练1 A【解析】－100°是第三象限角，但－100°<90°，故B错；90°角是直角三角形的内角，但它既不在第一象限，也不在第二象限，故C错；－30°小于90°，不是锐角，故D错．类型2 终边相同的角例2【解】(1)由2 010°除以360°，得商为5，余数为210°.∴取k＝5，β＝210°，α＝5×360°＋210°.又β＝210°是第三象限角，∴α为第三象限角．(2)与2 010°终边相同的角：k·360°＋2 010°(k∈Z)．令－360°≤k·360°＋2 010°<720°(k∈Z)，解得－6712≤k<－3712(k∈Z)．所以k＝－6，－5，－4.将k的值代入k·360°＋2 010°中，得角θ的值为－150°，210°，570°.变式训练2【解】 (1)用－315°除以360°商为－1，余数为45°，∴k ＝－1，β＝45°，因此α＝－360°＋45°，∴α是第一象限角．(2)与－315°终边相同的角：k ·360°－315°(k ∈Z )，令－360°≤k ·360°－315°<720°(k ∈Z )，解得－18≤k <238(k ∈Z )， 所以k ＝0,1,2.将k 值代入k ·360°－315°中，得所求角为－315°，45°和405°.类型3 象限角与区域角的表示例3 C【解析】在0°～360°内落在阴影部分角的范围为大于150°而小于225°，所以在终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为{α|k ·360°＋150°<α<k ·360°＋225°，k ∈Z }．变式训练2 【解】 在－180°～180°内落在阴影部分角集合为大于－45°小于45°，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角集合为{α|－45°＋k ·360°<α<45°＋k ·360°，k ∈Z }．当堂双基达标1．A【解析】 由于射线OM 绕O 逆时针旋转，故所得角为正角120°.2．D【解析】 与330°终边相同的角的集合为S ＝{β|β＝330°＋k ·360°，k ∈Z }，当k ＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，故选D.3．195°＋(－3)×360°【解析】 －885°＝－1080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.4．【解】 依题意4θ＝k ·360°＋θ，且0°<θ<360°，∴θ＝k ·120°.取k ＝1或k ＝2，∴θ＝120°或θ＝240°.。
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1.1.1 任意角学案（含答案）
1.1任意角.弧度
11.1任意角学习目标
1.了解角的概念.
2.掌握正角.负角和零角的概念，理解任意角的意义.
3.熟练掌握象限角.终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角知识点一角的相关概念
1.角的概念一个角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB所形成的图形点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角的始边和终边2按照角的旋转方向，分为如下三类类型定义正角按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角负角按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角零角如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角思考始边与终边重合的角是零角，这句话正确吗答案不正确，当射线旋转整数圈时，始边与终边也重合，但此时形成的角不是零角知识点二象限角.轴线角以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系这样，角的终边除端点外在
第几象限，就说这个角是第几象限角如果角的终边在坐标轴上，则称这个角为轴线角知识点三终边相同角的表示一般地，与角终边相同的角的集合为|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和1终边与始边重合的角是零角提示终边与始边重合的角是k360kZ2小于90的角是锐角提示锐角
是指大于0且小于90的角3钝角是第二象限角4第二象限角是钝角提示第二象限角不一定是钝角530的终边与330的终边相同题型一任意角概念的理解例11给出下列说法锐角都是第一象限角；第一象限角一定不是负角；第二象限角是钝角；小于180的角是钝角.直角或锐角其中正确命题的序号为________；2将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________答案12120解析1锐角指大于0小于90的角，都是终边在第一象限的角，所以对；由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，第二象限角不一定是钝角，小于180的角还有负角.零角，所以错误2分针每分钟转6，由于顺时针旋转，所以20分钟转了1
20.反思感悟解决此类问题要正确理解锐角.钝角.090角.象限角等概念角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小跟踪训练11若角的顶点在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，给出下列四个命题0角是第一象限角；相等的角的终边一定相同；终边相同的角有无限多个；与30角终边相同的角都是第四象限角其中正确的有A1个B2个C3个D4个2时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________考点任意角的概念题点对任意角概念的理解答案1C2960解析1错误，0角是轴线角；正确2分针按顺时针方向转动，则转过的角度是负角为36029
60.题型二象限角的判定例21已知下列各角120；240；180；4
95.其中是第二象限角的是________填序号考点象限角题点对象限角的判断答案解析120为第三象限角，错；240360120，120为第二象限角，240也为第二象限角，故对；180为轴线角；495360135，135为第二象限角，495为第二象限角，故对2若角是第三象限角，则角的终边所在的区域是如图所示的区域不含边界ABCD考点象限角题点判断角所在象限答案A解析是第三象限角，k360180k360270kZ，k18090k180135kZ当k2nnZ时，
n36090n360135，nZ，其终边在区域内；当k2n1nZ时，
n360270n360315，nZ，其终边在区域内角的终边所在的区域为.反思感悟1
判断象限角的步骤当0360时，直接写出结果当0或360时，将化为k360kZ，0360，转化为判断角所属的象限2一般地，要确定所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次标上1,2,3,4，，1,2,3,4，标号为几的区域，就是根据所在第几象限时，的终边所落在的区域，如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出跟踪训练2xx河南郑州高二期末若k18045，kZ，则终边所在的象限是A 第一.三象限B第一.二象限C第二.四象限D第三.四象限考点对角所在象限的判断题点象限角判断答案A解析由题意知k18045，kZ，当k2n1，nZ时，2n18018045n360225，nZ，其终边在第三象限；当k2n，nZ时，2n18045n36045，nZ，其终边在第一象限综
上，终边所在的象限是第一或第三象限题型三终边相同的角命题角度1区域角的表示例31如图所示1写出终边落在射线OA，OB 上的角的集合；2写出终边落在阴影部分包括边界的角的集合解1终边落在射线OA上的角的集合是|k360210，kZ终边落在射线OB 上的角的集合是|k360300，kZ2终边落在阴影部分含边界的角的集合是|k360210k360300，kZ反思与感悟解答此类题目应先在0360上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简命题角度2求与已知角终边相同的角例32在与角10030终边相同的角中，求满足下列条件的角1最大的负角；2最小的正角；3范围360720内的角解与10030终边相同的角的一般形式为k36010030kZ，1由
360k360100300，得10390k36010030，解得k28，故所求的最大负角为
50.2由0k36010030360，得10030k3609670，解得k27，故所求的最小正角为3
10.3由360k36010030720，得9670k3609310，解得k26，故所求的角为6
70.反思与感悟求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值命题角度3求终边在给定直线上的角的集合例33写出终边在直线yx上的角的集合解终边在yxx0上的角的集合是S1|120k360，kZ；终边在yxx0上的角的集合是S2|300k360，
kZ因此，终边在直线yx上的角的集合是SS1S2|120k360，
kZ|300k360，kZ，即S|1202k180，kZ|1202k1180，kZ|120n180，nZ故终边在直线yx上的角的集合是S|120n180，nZ反思与感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x0和x0两种情况讨论，最后再进行合并.1下列说法正确的是A 第一象限的角一定是正角B三角形的内角不是锐角就是钝角C 锐角小于90D终边相同的角相等考点任意角的概念题点任意角的概念的理解答案C解析355是第一象限的角，但不是正角，所以A 错误；三角形的内角可能是90，所以B错误；锐角小于90，C正确；45与405角的终边相同，但不相等，所以D错误故选
C.2与457角终边相同的角的集合是________答案|k360263，kZ解析4572360263，与457角终边相同的角的集合是|k360263，kZ32019是第________象限角答案三解析因为20195360219，故2019是第三象限角4与1692终边相同的最大负角是________答案252解析16924360252，与1692终边相同的最大负角为2
52.5写出终边落在坐标轴上的角的集合S.解终边落在x轴上的角的集合S1|k180，kZ；终边落在y轴上的角的集合
S2|k18090，kZ终边落在坐标轴上的角的集合SS1S2|k180，
kZ|k18090，kZ|2k90或2k190，kZ|n90，nZ1对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”2关于终边相同的角的认识
一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和注意1为任意角2k360与之间是“”号，k360可理解为k3603相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍4kZ这一条件不能少.。