复数运算的几何意义及其应用

。若 ， 又是一个实系数一
解由虚根成对定理可知
，代入
得
，故
。
又
，∴
。
又由
得
。
故 是 1 的三次虚数方根，由性质④得
或 6．求复数方根 例 6（1998 年全国高考题）复数-i 的一个立方根是 i，它的另外两个立方根是_______。
解由性质④知
的根 i 与另两个立方根的对应点均匀地分布在以原点为圆心，1
复数运算的几何意义及其应用
郑兴明
设复数
在复平面上分别对应于点 A，B，则
①
的和所对应的向量适合向量加法的平行四边形法则或三角形法则；
②
表示点 A，B 间的距离；
③
的积或商所对应的向量适合向量乘、除法的旋转和伸缩法则；
④方程
的根的对应点均匀地分布在以原点为圆心， 为半径的圆上。
这是复数运算的几何意义，灵活运用它们可给下面几类问题以简捷的解答。
， ，O（其中 O 是原点），如图 1，已知 对应复数 复数。
。求 和 对应的
解由正方形一组邻边垂直且相等和性质①与③得
解得
3．求复数模
例 3（1990 年广东高考题）已知复数
满足
，求
的值。
解设复平面上点 A，B 分别对应于
，由题设和性质②知
显然∠AOB=90°。作矩形 OA-ZB，则由性质①和矩形性质得
1 判断曲线形状
例 1 （1991 年三南高考题）已知
是两个给定的复数，且
，它们在复平面
上分别对应于点 和点 ，如果 z 满足方程 合是_________________。
=0，那么 z 的对应点 Z 的集
解方程变形为
是线段
的中垂线。
2 求复数值
。由性质②知动点 ， 的距离相等，故点 Z 的集合
例 2（1995 年全国高考题）在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为 ，
有两个虚
根 ， ，再设 ， 在复平面内的对应点是 ， 为焦点且经过原点的椭圆的长轴长。
解∵
，
，
故点 ， 关于实轴对称，且椭圆的短轴在实轴上。由椭圆过原点和性质①，②得
短轴长=
，
焦距=
，
故长轴长=
。
综上可知，研究和探讨复数运算的几何意义及其应用，不但可加深对复数知识的理解和 掌握，还可了解高考复数试题的题型，提高应试能力。
为半径的圆上，故另外两个立方根为
。
7．求复数对应点轨迹
例 7 （1991 年上海高考题）设复数 z 满足等式
且 z≠0 ，z≠2I，又复数 w 使
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得
为实数。问复数 ω 在复平面上所对应的点 Z 的集合是什么图形.
解由
。
又
为实数，∴
，
∴
。
∴
。
∴|ω-i|=1，由性质②知点 Z 的集合是以（0，1）为圆心，1 为半径的圆，除去点（0， 2）。
。
4．求最值
例 4 （2001 年全国高考题）已知复数 最大值。
，且复数 z 满足|z|=1，求
的
解化简得
。由性质②知所求最大值是单位圆上的点到点 A（2，-2）的最大距
离。连结 OA，交单位圆的上半圆于点 B，由平面，几何知识得
。 5．解复数方程
例 5 （1997 年上海高考题）设虚数 ， 满足 元二次方程的两个根，求 ， 。
8．解三角问题
例 8 （1997 年全国高考题）若复数
，
，复数
平面上的对应点分别为 P，Q，证明△OPQ 是等腰直角三角形（其中 O 为原点）。
在复
解∵
又|z|=|ω|=1，
∴
。
由性质③得 OP⊥OQ，|OP|=|OQ|。
故结论获证。
9．解解析几何问题
例 9 （1984 年全国高考题）设 p ≠0，实系数一元二次方程