镜像电荷的依据是电位满足的方程和边界条件
镜像法的理论依据
镜像法的理论依据
镜像法解题的理论依据是唯一性定理。
其实电像法的目的就是要凑出若干个点电荷代替在分界面的感应电荷描述源所在空间的电势或电场分布，这符合唯一性定理。
根据唯一性定理，镜像电荷的确定应遵循以下两条原则：
1.所有的镜像电荷必须位于所求的场域以外的空间中；
2.镜像电荷的个数位置及电荷量的大小由满足场域边界上的边界条件来确定。
给定几何形状的导体，就是要凑出若干个点电荷使得分界面等势。
2.8 镜像法
第二章 2.8
2.8
Z
0
q
P( x y z)
导体
h
z 0 平面为导体平面，其参考电位为零。
点电荷 q 与导体平面之间的电位满足：
电位 给定
z ＞0
2 0
q所在点除外
4
z0
2014-6-14
0
第二章 2.8
镜像电荷 q 的设置： 将无限大导体平面去 h 掉，整个空间充满介 电常数为 0 的介质， 在 q的镜像位置上置 一电荷 q ，则
2
q
2
第二章 2.8
三、球面导体与点电荷：
1、接地导体球与点电荷如图所示：求球外 ?
a
o
q
P 1
r2
a
P
d1
镜像电荷 ：
0 d 2 q
P2
r 1
q
P1
d1
1
q P2 点
2014-6-14
P点在导体球面上
23
第二章 2.8
26
r2
边界条件： 方法一：
球面： r 如图 1
边界
像电荷
2014-6-14 2
第二章 2.8
镜像法最后将求解有限区域 的边值问题转换为无边界的无限 大均匀媒质中的求解问题。
原电荷
像电荷
镜
如何求镜 像电荷
3
镜像法在静电场边值问题中的应用
0, h ) 点, 电位函数 5 满足的是以 ∆ 函数表示的泊松方程:
2
Υ= -
Ε 0
q
∆( x , y , z - h ) , 这也没有变化 ],
这就保证了条件 ( 2) 。 于是原问题中 Z > 0 空间的点的电位可表示为: Υ=
q 1 ( 4Π Ε 0 r1 q
1
r2
) ( 3)
1 1 = { 2 2 2 2 2 1 2} (z - h ) 2 ]1 2 4Π Ε x + y + (z + h ) ] 0 [x + y +
图1
图 1, 无限大导体平面附近点电荷 + q 的镜像法取直角坐标系, z = 0 的平面与导体平面重合, 并设 此面为 O 电位面, 亦即导体平面接地, 因此点电荷 + q 与导体平面之间的电位必须满足下列条件: ( 1) Z = 0 处 ( 1) 5 = 0 ( 2) Z > 0 的空间里, 除点电荷+ q 所在的点外, 处处满足
r1 = a + d 2 2 2
4Π Ε 0 r1
q
+
4Π Ε 0 r2
q′
= 0
( 5)
2d 1 acosΗ , r2 2 = a 2 + d 2 2 - 2d 1 acosΗ
代入 ( 5) 式并整理得到
2 2 2 ( d 1 2 + a 2 ) ] + 2a ( q ′ [ q2 (d 2 2 + a 2 ) - q ′ d 1 - q d 2 ) cosΗ= 0
2
Υ=
4Π Ε 0
q
[
2
(
1
r1
关于静电场中镜像法的一些讨论
2009 年6 月黔西南民族师范高等专科学校学报June 2009第2 期Jonrnal of Southwest Guizhou Teachers’ College for Nationalities No.2关于静电场中镜像法的一些讨论蔡静李川（黔西南民族职业技术学院，贵州兴义562400；兴义民族师范学院，贵州兴义562400）摘要：强调了镜像法在学习静电场唯一性定理中的重要作用，证明了导体拐角与点电荷镜像数量的关系，并就源电荷与镜像电荷的电量关系进行了讨论。
关键词：镜像法；唯一性定理；镜像电荷文章编号：1009—0673（2009）02—0119—03 中图分类号：O441.1 文献标识码：B除了一些具有对称性的带电体其电场可用叠加原理或高斯定理进行简单的求解外，一般而言，静电场的求解需要解满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程，在空间电场未确定之前，边界表面的感应电荷分布是不知道的，因此直接求解该空间的电场是困难的，甚至是不可能的。
但对于有一类特殊的情况，可以采用一种巧妙的方法求出，这个方法就是镜像法。
在电磁场理论中，最重要的定理是唯一性定理，在教学中，它既是教学的重点，又是教学的难点，但仅通过对唯一性定理的证明，学生很难真正理解唯一性定理，而镜像法就是唯一性定理的具体运用，如果对镜像法进行适当的深入的研究，将有助于对唯一性定理的掌握和理解，镜像法本身也是一种很有用的方法。
但遗憾的是许多相关教材对镜像法的讨论大都篇幅过少，讨论不深入，不利于教学的需要。
故从几个方面对镜像法作一些讨论。
一、镜像法与唯一性定理镜像法的求解思想是：所有研究的区域边界是有规则的导体或介质界面、区域内只有一个或几个点电荷或线电荷时，设法不改变所求区域的电荷分布、在区域的边界外一定位置放置一个或几个镜像电荷来代替导体边界上感应电荷或介质边界上的极化电荷对外的作用。
这样，便把求解泊松方程及边界条件的解的问题，转化为求解几个点电荷及镜像电荷在空间产生场的问题，但这样得到的解是否就是唯一的正确的解，方法本身无法保证。
镜像法
/jp2007/02/wlkc/htm/c_4_p_4.htm§4.4 镜像法镜像法是求解电磁场的一种特殊方法，特别适用于边界面较规则(如平面、球面和柱面等)情况下，点源或线源产生的静态场的计算问题。
例如当一点电荷q 位于一导体附近时，该导体将处于点电荷q产生的静电场中，在导体表面上会产生感应电荷，则空间的电场应为该感应电荷产生的电场和点电荷q产生的电场的叠加。
一般情况下，在空间电场未确定之前，导体表面的感应电荷分布是不知道的，因此直接求解该空间的电场是困难的。
然而，在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷q和所有等效电荷产生的电场叠加得到。
这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。
可见，惟一性定理是镜像法的理论依据。
在镜像法应用中应注意以下几点：(1)镜像电荷位于待求场域边界之外。
(2)将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。
(3)实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界上的边界条件不变。
4.4.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像zqdx设在自由空间有一点电荷位于无限大接地导体平面上方，且与导体平面的距离为d 。
如图4.2(a)所示上半空间的电位分布和电场强度计算可用镜像法解决。
待求场域为0z >空间，边界为0z =的无限大导体平面，边界条件为在边界上电位为零，即(,,)0x y z φ= (4.29)设想将无限大平面导体撤去，整个空间为自由空间。
在原边界之外放置一镜像电荷'q ，当'q q =-，且'q 和q 相对于0z =边界对称时，如图4.2(b)所示。
点电荷q 和镜像电荷'q 在边界上产生的电位满足式(4.29)所示的边界条件。
根据镜像法原理，在0z >空间的电位为点电荷q 和镜像电荷'q 所产生的电位叠加，即1/21/2222222011{}4()()qx y z d x y z d φπε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.30)上半空间任一点的电场强度为E φ=-∇电场强度E 的三个分量分别为3/23/22222220{}4()()x qxxE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31a)3/23/22222220{}4()()y qyyE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31b)3/23/22222220{}4()()z qz dz dE x y z d x y z d πε-+=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31c)可见，在导体表面0z =处，0x y E E ==，只有z E 存在，即导体表面上法向电场存在。
电动力学 镜像法
电动力学镜像法
电动力学中的镜像法是一种常用的解决电荷分布问题的方法。
它利用电荷在电场中的性质，通过引入电荷的镜像来简化问题的求解过程。
在使用镜像法时，我们假设存在一个虚拟的电荷分布，并在实际电荷分布的对称位置放置这个虚拟电荷。
通过选择合适的虚拟电荷和位置，可以使得问题的边界条件得到满足，从而简化计算。
具体来说，镜像法主要包括两种情况：镜像电荷和镜像面。
镜像电荷是指通过放置一个与实际电荷相等但符号相反的虚拟电荷，使得电荷分布在一个导体表面上的电势为零。
这样一来，我们可以将原问题转化为只有真实电荷与虚拟电荷之间的相互作用的问题。
而镜像面是指通过选择一个合适的带电面或者无限大导体板作为镜像面，使得问题的边界条件得到满足。
这样可以简化问题的求解。
镜像法在电动力学中有着广泛的应用。
例如，在求解导体球外部的电场分布时，可以利用球面的镜像电荷来简化计算。
在求解导体平板附近的电场分布时，可以利用无限大导体板的镜像面进行计算。
镜像法不仅可以简化问题的求解过程，还可以帮助我们更好地理解电荷在电场中的行为。
需要注意的是，镜像法只适用于求解满足一定边界条件的问题，并且要根据具体情况选择合适的镜像方式。
在实际
应用中，我们需要结合具体问题的特点和对称性来确定使用哪种镜像法及如何设置虚拟电荷或镜像面。
《电磁场与电磁波第四版》考试试题及答案
1．如果一个矢量场的旋度等于零，则称此矢量场为。
2．电磁波的相速就是传播的速度。
3．实际上就是能量守恒定律在电磁问题中的具体表现。
4．在导电媒质中，电磁波的传播随频率变化的现象称为色散。
5．一个标量场的性质，完全可以由它的来表征。
6．由恒定电流所产生的磁场称为。
7．若电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹是圆，则波称为。
（2）求两种媒质中的磁感应强度 。
五、综合题（10分）
21．设沿 方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体，如图2所示，入射波电场的表达式为
（1）试画出入射波磁场的方向
（2）求出反射波电场表达式。
《电磁场与电磁波》试题（5）
一、填空题（每小题1分，共10分）
1．静电场中，在给定的边界条件下，拉普拉斯方程或泊松方程的解是唯一的，这一定理称为。
四、应用题（每小题10分，共30分）
18．放在坐标原点的点电荷在空间任一点 处产生的电场强度表达式为
（1）求出电力线方程；（2）画出电力线。
19．设点电荷位于金属直角劈上方，如图1所示，求
（1）画出镜像电荷所在的位置
（2）直角劈内任意一点 处的电位表达式
20．设时变电磁场的电场强度和磁场强度分别为：
14．已知麦克斯韦第三方程为 ，试说明其物理意义，并写出其微分形式。
三、计算题（每小题10分，共30分）
15．已知矢量 ，
（1）求出其散度
（2）求出其旋度
16．矢量 ， ，
（1）分别求出矢量 和 的大小
（2）
17．给定矢量函数 ，试
（1）求矢量场 的散度。
（2）在点 处计算该矢量 的大小。
《电动力学第三版》chapter2_4镜像法
感应电荷确实可以用板下方一个假想电荷Q 代替， Q 称为Q的
镜像电荷.
导体板上部空间的电场可以看作原电荷Q与镜像电
荷Q 共同激发的电场. 以r 表示Q到场点P的距离, r 表 示象电荷Q 到P的距离, P点的电势为
(P) 1 4π0
QQ r r'
U inR R 0 ou R tR 0
in 0
▲顺便计算导体对点电荷Q的作用力：
FQE
E n ouetnRaR ouetxRa
F
1
4π 0
Q(q
R0 a
a2
Q)
Q2 ( R0 a
(a R02 a
) )2
ex
1
4π 0
Q a2
q
QR03(2a2 a(a2 R02
(1)球面为等势面(电势待定);
(2)从球面发出的总电场强度通量为Q0 /0. 由上例可知, 若在球外有电荷Q而在球内放置假想电荷Q , 其
位置和大小如前, 则球面上电势为零. 若在球心处再放一个假想电
荷Q0Q ,则导体球所带总电荷为Q0,同时球面仍为等势面. 因此,
条件(1)和(2)都满足.
球外任一点P的电势为
点电荷Q的镜像
Q
Q ++
++
代换没有改变电荷分布 泊松方程不变
代换满足边界条件
假想电荷代替 感应电荷分布
问题解决
注意：
(1) 唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布 所满足的泊松方程或拉普拉斯方程. 因此，在所研究 的场域内不可放置镜像电荷，也就是说，镜像电荷 必须放在研究的场域外.
押题宝典国家电网招聘之通信类高分通关题型题库附解析答案
押题宝典国家电网招聘之通信类高分通关题型题库附解析答案单选题（共48题）1、发端发送纠错码，收端译码器自动发现并纠正错误，传输方式为单向传输，这种差错控制的工作式被称为（）A.FECB.ARQC.B.ARQCIFD.HEC【答案】A2、用镜像法求解静电场边值问题时，判断镜像电荷设置是否正确的依据是（）。
A.镜像电荷的位置是否与原电荷对称B.镜像电荷是否与原电荷等值异号C.待求区域内的电位函数所满足的方程与边界条件是否保持不变D.同时满足A和B【答案】C3、根据以下资料，回答下面的题。
A.2011年我国对外贸易顺差总额低于对欧盟进出口贸易顺差额B.2012年，美国成为我国第二大贸易伙伴和第一大出口市场C.按照2012年的发展趋势，至2014年我国对欧盟的出口将跌破3000亿美元D.2011年，加工贸易进出口额占我国外贸进出口总额的比重不到三分之一【答案】C4、随参信道所具有的特点是（）。
A.多径传播、传输延时随时间变化、衰落B.传输损耗随时间变化、多径传播、衰落C.传输损耗随时间变化、传输延时随时间变化、衰落D.传输损耗随时间变化、传输延时随时间变化、多径传播【答案】D5、以下哪个命令用于测试网络连通?()A.telnetB.nelookupC.pingD.ftp【答案】C6、向家坝—上海特高压直流输电示范工程于2010年7月8日实现双极全压送电投运。
（）A.±600千伏B.750千伏C.±800千伏D.1000千伏【答案】C7、无线局域网采用直序扩频接入技术，使用户可以在()GHz的ISM频段上进行无线Internet连接。
A.2.OB.2.4C.2.5D.5.0【答案】B8、根据《中华人民共和国环境影响评价法》，河北省唐山市人民政府在审批唐山市城市建设规划草案时，应当先召集有关部门代表和专家组成审查小组，对（）进行审查，并提出书面审查意见。
A.环境影响B.环境影响说明C.环境影响报告书D.环境影响评价书【答案】C9、为了解决连0码而无法提取位同步信号的问题，人们设计了:（）A.AMI码B.多进值码C.HDB3码D.差分码【答案】C10、电磁波的特性不可用()表示。
《电动力学第三版》chapter2_4镜像法
P rꞌ b Qꞌ
r
Q
a
V 0
b R0 b R02
R0 a
a
Q'R0 Q a
球外任一点的电势
(P) 1 4π0
QR0Q r ar'
4π Q 0 (R2a22 1ac Ro )1 s/2(R2R a0 2 4R 20 Ra R a 0 2co )1 s/2
镜像电荷.
导体板上部空间的电场可以看作原电荷Q与镜像电
荷Q 共同激发的电场. 以r 表示Q到场点P的距离, r 表 示象电荷Q 到P的距离, P点的电势为
(P) 1 4π0
QQ r r'
具体求解过程如下.
R2010 Q(xa, y0,z0) R0 0
(1)
(2) (3)
p QQ'4πQ ε0r4πQ ε0r' '4π1ε0(Q r Q r'')
设想，感应电荷对空间电场的作用用一个假想电荷来代替. 如图,
设想在导体板下方与电荷Q对称的位置上放一个假想电荷Q , 然 后把导体板抽去. 若Q =－Q，则假想电荷Q 与给定电荷Q激发的
总电场如图所示, 由对称性知，边界条件满足. 因此,导体板上的
感应电荷确实可以用板下方一个假想电荷Q 代替， Q 称为Q的
(2) 由于镜像电荷代替了真实的感应电荷或极化电荷 的作用，因此放置镜像电荷后，就认为原来的真实的 导体或介质界面不存在. 也就是把整个空间看成是无 界的均匀空间. 并且其介电常量应是所研究场域的介 电常量.
(3) 镜像电荷是虚构的，它只在产生电场方面与真实 的感应电荷或极化电荷有等效作用. 而其电荷量并不 一定与真实的感应电荷或真实的极化电荷相等，不过 在某些问题中，它们却恰好相等.
整理《电磁场与电磁波》答案(6) 一选择题
《电磁场与电磁波》自测试题整理表姓名:职业工种:申请级别:受理机构:填报日期:A4打印/ 修订/ 内容可编辑《电磁场与电磁波》自测试题1.介电常数为的均匀线性介质中，电荷的分布为，则空间任一点____________,_____________。
2. ；1. 线电流与垂直穿过纸面，如图所示。
已知，试问__ _______；若，则_____ ____。
2. ；1A1. 镜像法是用等效的代替原来场问题的边界，该方法的理论依据是___。
2. 镜像电荷；唯一性定理1. 在导电媒质中，电磁波的相速随频率改变的现象称为_____________，这样的媒质又称为_________ 。
2. 色散；色散媒质1. 已知自由空间一均匀平面波，其磁场强度为，则电场强度的方向为__________，能流密度的方向为__________。
2. ；1. 传输线的工作状态有________ ____、_______ _____、____________三种，其中________ ____状态不传递电磁能量。
2. 行波；驻波；混合波；驻波1. 真空中有一边长为的正六角形，六个顶点都放有点电荷。
则在图示两种情形下，在六角形中心点处的场强大小为图中____________________；图中____________________。
2. ；1. 平行板空气电容器中，电位(其中a、b、c 与d为常数)，则电场强度__________________，电荷体密度_____________________。
2. ；1. 在静电场中，位于原点处的电荷场中的电场强度线是一族以原点为中心的__________________线，等位线为一族_________________。
2. 射；同心圆1. 损耗媒质中的平面波 , 其传播系数可表示为__________ 的复数形式，其中表示衰减的为___________。
2.；1. 在无损耗传输线上，任一点的输入功率都 _______，并且等于_______ 所得到的功率。
2022-2023年国家电网招聘之通信类通关提分题库(考点梳理)
2022-2023年国家电网招聘之通信类通关提分题库(考点梳理)单选题（共60题）1、( )通信利用对流层大气的不均匀性对微波的散射作用，可以进行散射通信，每个接力段可长达数百公里。
A.长波B.中波C.短波D.微波【答案】 D2、下列选项属于码元速率单位的是（）。
A.波特B.比特C.波特/秒D.比特/秒【答案】 A3、智能电网的发展对中低压通信接入网的网络结构、覆盖范围、技术应用、等方面提出了更高的要求。
（）A.人员素质和业务管理B.带宽需求和业务管理C.人员素质和物流管理D.带宽需求和物流管理【答案】 B4、筹算应用了大约两千年，对中国古代数学的发展功不可没。
但筹算有个严重缺点,就是运算过程不保留。
元朝数学家朱世杰能用筹算解四元高次方程，其数学水平居世界领先地位，但是他的方法难懂，运算过程又不能保留_____________ ，因而。
中国古代数学不能发展为现代数学，筹算方法的是个重要原因。
A.形同虚设束缚B.销声匿迹片面C.后继无人限制D.难以为继约束【答案】 C5、根据《环境影响评价公众参与暂行办法》，环境影响评价机构决定以座谈会或者论证会的方式征求公众意见的，应当在会议结束后（）内，根据现场会议记录整理制作座谈会议纪要或者论证结论，并存档备查。
A.5日B.7日C.10日D.15日【答案】 A6、国家电网公司核心价值观中，() 是企业立业、员工立身的道德基石。
A.责任B.诚信C.创新D.奉献【答案】 B7、当7号信令应用于智能网中，可不具有()模块。
A.MAPB.SCCPC.TCAPD.MTP【答案】 A8、某水电站建设项目环评文件经批准后，在（）情况下，根据《中华人民共和国环境影响评价法》，建设单位应当重新报批建设项目的环境影响评价文件。
A.建设项目的性质、地点发生重大变动的B.建设项目的规模发生重大变动的C.建设项目采用的生产工艺发生重大变动的D.建设项目防治污染的措施发生重大变动的E.建设项目防止生态破坏的措施发生重大变动的【答案】 A9、下列分集信号合并方式中，性能最差的是()。
镜像法及其应用
镜像法在静电场中，如果在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用拉普拉斯方程求解场分布；如果在所考虑的区域内有自由电荷分布时，可用泊松方程求解场分布。
如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面时，一般情况下，直接求解这类问题比较困难，通常可采用一种特殊方法—镜象法来求解这类问题。
镜像法是直接建立在唯一性定理基础上的一种求解静电场问题的方法。
适用于解决导体或介质边界前存在点源或线源的一些特殊问题。
镜像法的特点是不直接求解电位函数所满足的泊松或拉普拉斯方程，而是在所求区域外用简单的镜像电荷代替边界面上的感应电荷或极化电荷。
根据唯一性定理，如果引入镜像电荷后，原求解区域所满足的泊松或拉普拉斯方程和边界条件不变，该问题的解就是原问题的解。
下面我们举例说明。
1导体平面的镜像例.1 在无限大的接地导电平面上方h 处有一个点电荷q ，如图3.2.1所示，求导电平板上方空间的电位分布。
解 建立直角坐标系。
此电场问题的待求场区为0z >；场区的源是电量为q 位于(0,0,)P h 点的点电荷，边界为xy 面，由于导电面延伸到无限远，其边界条件为xy 面上电位为零。
导电平板上场区的电位是由点电荷以及导电平面上的感应电荷产生的，但感应电荷是未知的，因此，无法直接利用感应电荷进行计算。
现在考虑另一种情况，空间中有两个点电荷q 和q -，分别位于(0,0,)P h 和点(0,0,)P h '-，使得xy 面的电位为零，如图3.2.2。
这种情况，对于0z >的空间区域，电荷分布与边界条件都与前一种情况相同，根据唯一性定理，这两种情况0z >区域的电位是相同的。
也就是说，可以通过后一种情况中的两个点电荷来计算前种问题的待求场。
对比这两种情况，对0z >区域的场来说，后一种情况位于(0,0,)P h '-点的点电荷与前一种情况导电面上的感应电荷是等效的。
由于这个等效的点电荷与待求场区的点电荷相对于边界面是镜像对称的，所以这个等效的点电荷称为镜像电荷，这种通过场区之内的电荷与其在待求场区域之外的镜像电荷来进行计算电场的方法称为镜像法。
镜像法-高中物理竞赛讲义
镜像法思路用假想的镜像电荷代替边界上的感应电荷。
保持求解区域中场方程和边界条件不变。
使用范围：界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。
使用范围界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。
步骤确定镜像电荷的大小和位置。
去掉界面，按原电荷和镜像电荷求解所求区域场。
求解边界上的感应电荷。
求解电场力。
平面镜像 1点电荷对平面的镜像(a) 无限大接地导体平面上方有（b）用镜像电荷-q 代替导体平面点电荷q上方的感应电荷图4.4.1 点电荷的平面镜像在无限大接地导体平面（YOZ 平面）上方有一点电荷q，距离导体平面的高度为h。
用位于导体平面下方h 处的镜像电荷-q 代替导体平面上的感应电荷，边界条件维持不变，即YOZ 平面为零电位面。
去掉导体平面，用原电荷和镜像电荷求解导体上方区域场，注意不能用原电荷和镜像电荷求解导体下方区域场。
电位：(4.4.2.1)电场强度：(4.4.2.2)其中，感应电荷：=>(4.4.2.3)电场力：(4.4.2.4)图4.4.2 点电荷的平面镜像图4.4.3 单导线的平面镜像无限长单导线对平面的镜像与地面平行的极长的单导线，半径为a，离地高度为h。
用位于地面下方h 处的镜像单导线代替地面上的感应电荷，边界条件维持不变。
将地面取消而代之以镜像单导线（所带电荷的电荷密度为）电位：(4.4.2.5)对地电容：(4.4.2.6平面镜像 2无限长均匀双线传输线对平面的镜像与地面平行的均匀双线传输线，半径为a，离地高度为h，导线间距离为d，导线一带正电荷+ ，导线二带负电荷- 。
用位于地面下方h 处的镜像双导线代替地面上的感应电荷，边界条件维持不变。
图 4.4.4 无限长均匀传输线对地面的镜像将地面取消而代之以镜像双导线。
求解电位：(4.4.2.8)(4.4.2.9)度电容：平行导位长线间单(4.4.2.10)其中小天线的镜像与地面的小天线，长度为l ，离地高度为h 。
镜像法及其应用
镜像法及其应用镜像法在静电场中，如果在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用拉普拉斯方程求解场分布；如果在所考虑的区域内有自由电荷分布时，可用泊松方程求解场分布。
如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面时，一般情况下，直接求解这类问题比较困难，通常可采用一种特殊方法—镜象法来求解这类问题。
镜像法是直接建立在唯一性定理基础上的一种求解静电场问题的方法。
适用于解决导体或介质边界前存在点源或线源的一些特殊问题。
镜像法的特点是不直接求解电位函数所满足的泊松或拉普拉斯方程，而是在所求区域外用简单的镜像电荷代替边界面上的感应电荷或极化电荷。
根据唯一性定理，如果引入镜像电荷后，原求解区域所满足的泊松或拉普拉斯方程和边界条件不变，该问题的解就是原问题的解。
下面我们举例说明。
1导体平面的镜像例.1 在无限大的接地导电平面上方h处有一个点电荷q，如图3.2.1所示，求导电平板上方空间的电位分布。
解 建立直角坐标系。
此电场问题的待求场区为0z >；场区的源是电量为q 位于(0,0,)P h 点的点电荷，边界为xy 面，由于导电面延伸到无限远，其边界条件为xy 面上电位为零。
导电平板上场区的电位是由点电荷以及导电平面上的感应电荷产生的，但感应电荷是未知的，因此，无法直接利用感应电荷进行计算。
现在考虑另一种情况，空间中有两个点电荷q和q -，分别位于(0,0,)P h 和点(0,0,)P h '-，使得xy 面的电位为零，如图3.2.2。
这种情况，对于0z >的空间区域，电荷分布与边界条件都与前一种情况相同，根据唯一性定理，这两种情况0z >区域的电位是相同的。
也就是说，可以通过后一种情况中图3.2.1 导电平面上方的点电荷 图3.2.2 点电荷的镜像电荷的两个点电荷来计算前种问题的待求场。
对比这两种情况，对0z>区域的场来说，后一种情况位于(0,0,)'-点的点电荷与前一种情况导电面上的P h感应电荷是等效的。
《电磁场与电磁波》习题参考标准答案..
《电磁场与电磁波》习题参考标准答案..《电磁场与电磁波》知识点及参考答案第1章⽮量分析1、如果⽮量场F 的散度处处为0，即0F≡，则⽮量场是⽆散场，由旋涡源所产⽣，通过任何闭合曲⾯S 的通量等于0。
2、如果⽮量场F 的旋度处处为0，即0F ??≡，则⽮量场是⽆旋场，由散度源所产⽣，沿任何闭合路径C 的环流等于0。
3、⽮量分析中的两个重要定理分别是散度定理（⾼斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是：散度（⾼斯）定理：SVFdV F dS ??=??和斯托克斯定理：sCF dS F dl=。
4、在有限空间V 中，⽮量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满⾜的条件唯⼀的确定。
（ √ ）5、描绘物理状态空间分布的标量函数和⽮量函数，在时间为⼀定值的情况下，它们是唯⼀的。
（ √ ）6、标量场的梯度运算和⽮量场的旋度运算都是⽮量。
（ √ ）7、梯度的⽅向是等值⾯的切线⽅向。
（× ）8、标量场梯度的旋度恒等于0。
（ √ ） 9、习题1.12, 1.16。
第2章电磁场的基本规律（电场部分）1、静⽌电荷所产⽣的电场，称之为静电场；电场强度的⽅向与正电荷在电场中受⼒的⽅向相同。
2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/⽶)。
3、静电系统在真空中的基本⽅程的积分形式是：V V sD d S d V Q ρ?==?和0lE dl ?=?。
4、静电系统在真空中的基本⽅程的微分形式是：V D ρ??=和0E=。
5、电荷之间的相互作⽤⼒是通过电场发⽣的，电流与电流之间的相互作⽤⼒是通过磁场发⽣的。
6、在两种媒质分界⾯的两侧，电场→E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；⽽磁场→B 的法向分量B 1n －B 2n ＝0。
7、在介电常数为e 的均匀各向同性介质中，电位函数为 2211522x y z ?=+-,则电场强度E=5x y zxe ye e --+。
8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表⾯为等位⾯；在导体表⾯只有电场的法向分量。
镜像法
分析方法：将导体表面上的电荷用线密
度分别为 l 、且相距为2b 的两根无限长 带电细线来等效替代，如图2所示。
a
b
b
l
l
a
h
h
图2 两平行导体圆柱的等效电荷
第10讲 镜像法
利用线电荷与接地导体圆柱面的镜像确定b 。
a2 由 d d
(h b)(h b) a 2
d2 q2
第10讲 镜像法
1
d1 q d 60° 2
1 d1
q d2
2
75°
2
1
q d1
120°
d2
2
可得出什么结论？
第10讲 镜像法
例1 一个点电荷q与无限大导体平面距离为 d，如果把它移 至无穷远处，需要做多少功？ 解：由镜像法，感应电荷的电场可以用像电荷q′＝－q 替代。当电荷
q 移至 x时，像电荷q'应位于－x，则有
a
=
q
a
+
a
P
r
a ห้องสมุดไป่ตู้" R'
R
q
q'
d' d
a
q′
+
a
q″
a a2 q q, d d d
q q
a q，d 0 a
第10讲 镜像法
a a2 q q, d d d
q q
a q，d 0 a
P
r
a q" R'
R
q
球外任意点的电位为
R d a R a d
a2 d 像电荷的位置 d q q R a 0 q q q 像电荷的电量 R R R d a 1 q q d
镜像法的总结
关于镜像法的总结一、理论依据唯一性定理：它指出了静态场边值问题具有唯一解的条件，在边界面S 上的任一点只需给定ϕ或nϕ∂∂的值，而不能同时给定两者的值。
镜像法的求解思想是：所有研究的区域边界是有规则的导体或介质界面、区域内只有一个或几个点电荷或线电荷时，设法不改变所求区域的电荷分布、在区域的边界外一定位置放置一个或几个镜像电荷来代替导体边界上感应电荷或介质边界上的极化电荷对外的作用。
这样，便把求解泊松方程及边界条件的解的问题，转化为求解几个点电荷及镜像电荷在空间产生场的问题。
二、镜像电荷法求导体球壳电场镜像电荷法是指在待求电场区域之外, 用假想电荷来等效原边界面上的感应电荷或极化电荷的作用, 只要保证求解空间内的全部边值条件得到满足,所得到的解就是唯一正确的解. 运用镜像电荷法求解静电场边值问题的关键根据唯一性定理找出电势满足的全部定解条件, 并由这些边值条件来决定像电荷的量值和位置. 对于平面导体附近有点电荷、球面导体附近有点电荷, 求出空间各点的电势及电场强度问题, 可以采用镜像电荷法来处理, 能够省去一些复杂的数学运算, 使问题巧妙地得到解决.比如, 接地空心导体球的内外半径分别为R1 和R2 , 在球内离球心为a( a< R 1 ) 处置一点电荷Q, 求球腔内的电势。
如图1 所示, 由于接地导体球壳的静电屏蔽作用, 可以得知R \R1的区域电势为零, 依据镜像电荷法规则, 假想点电荷Qc 应代替球壳面上感应电荷对空间电场的作用, 且满足球壳上电势U= 0 的边值条件. 由对称性可知, 假想点电荷Qc 必在OQ 连线上.设P 为球壳内表面上任一点, 由边界条件得'0'Q Q r r +=，式中r 为Q 到P 的距离, r ’为Q ’到P 的距离, 则''r Q r Q==常数 (1) 从图中可以看出, 只要选Qc 在合适的位置就可使'O Q P O P Q∆∆ , 则 1'R r r a==常数 (2)图1 设b 为Q ’到球心的距离, 由两三角形相似条件可得R1 / a= b/ R, 即像电荷Q ’的位置为21R b a= (3)由( 1) 和( 2) 式可求出像电荷Qc 的大小为1'R Q Q a=-(4) 则球腔内任一点P 的电势为10011()4'4QR Q r r a ϕπεπε=-= (5)根据电势与电场强度的关系式E ϕ=-∇, 就可以求出电场强度.通过上面的分析运算可以看出, 采用镜像电荷法不仅解题思路清晰, 而且比分离变量法简单且更容易掌握。
电磁场镜像法知识分享
电磁场镜像法知识分享电磁场镜像法§1-8 镜像法⼀、镜像法1. 定义：是解静电场问题的⼀种间接⽅法，它巧妙地应⽤唯⼀性定理，使某些看来棘⼿的问题很容易地得到解决。
该⽅法是把实际上分区均匀媒质看成是均匀的，对于研究的场域⽤闭合边界处虚设的简单的电荷分布，代替实际边界上复杂的电荷分布来进⾏计算。
即镜像法处理问题时不直接去求解电位所满⾜的泊松⽅程，⽽是在不改变求解区域电荷分布及边界条件的前提条件下，⽤假想的简单电荷分布（称为镜像电荷）来等效地取代导体⾯域（电介质分界⾯）上复杂的感应（半极化）电荷对电位的贡献，从⽽使问题的求解过程⼤为简化。
2. 应⽤镜像法应主意的问题应主意适⽤的区域，不要弄错。
在所求电场区域内：①不能引⼊镜像电荷；②不能改变它的边界条件；③不能改变电介质的分布情况；④在研究区域外引⼊镜像电荷，与原给定的电荷⼀起产⽣的电荷满⾜所求解（讨论）的边界条件；⑤其求得的解只有在所确定的区域内正确且有意义。
3. 镜像法的求解范围应⽤于电场E 和电位?的求解；也可应⽤于计算静电⼒F ；确定感应电荷的分布(),,ρστ等。
⼆、镜像法应⽤解决的问题⼀般是边界为平⾯和球⾯的情况1. 设与⼀个⽆限⼤导电平板（置于地⾯）相距h 远处有⼀点电荷q ，周围介质的介电常数为ε，求解其中的电场E 。
解：在电介质ε中的场E ，除点电荷q 所引起的场外，还应考虑⽆限⼤导电平板上的感应电荷的作⽤，但其分布不知（σ未知），因此⽆法直接求解。
⽤镜像法求解该问题。
对于ε区域，除q 所在点外，都有20??= 以⽆限远处为参考点()0θ?= 在边界上有：044q qrrπεπε+--=+=+= 即边界条件未变。
由唯⼀性定理有11444q q q r r r r ?πεπεπε+-+-??=-=-对于⼤场E 不存在()0E =推⼴到线电荷τ的情况，对于⽆限长线电荷也适合上述⽅法求解。
例1-15. P54求空⽓中⼀个点电荷q 在地⾯上引起的感应电荷分布情况。
镜像电荷的依据是电位满足的方程和边界条件
* 上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因 为在上半空间中，源及边界条件未变。
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜 像法。但是为了保证这种劈形边界的电位为零，必须 引入几个镜像电荷。
例如，夹角为 π的导电劈需引入 5 个镜像电荷。
3
q /3
q
q
上，那么球面上任一点电位
为 q q 4π r 4π r
为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像
电荷为
q r q r
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求
比值 r 对于球面上任一点均具有同一数值。
r
P
a r
r
O q d f
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
电场线与等位面的分布特性与电偶极子的上半部分 完全相同。
z
电场线
等位线
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
P r q
介质
导体
P r
q
h
r 介质
h
介质
q
* 根据电荷守恒定律，镜像点电荷的电荷量应该等 于导体表面上感应电荷的总电荷量。（怎么去证明）
er
因此，离线电荷 r 处，以 为r0 参考点的电位为
r r0
Edr
l 2π
ln
r0 r
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
若令镜像线电荷 产 生l 的电位也取相同的 r0作为参考点，则 及l 在 圆l 柱面上P点共同产生的 电位为
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电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
若静电场的边界为导体，此时给定导体上的电位就
是第一类边界。
已知
S n
可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。
因此，若给定导体表面上的电荷量就是第二类边界。
因此，对于导体边界，当边界上的电位，或电位 的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的 静电场即被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性 定理。
电磁场与电Leabharlann 波第三章 静电场的边值问题
2. 镜像法 实质: 以一个或几个等效电荷代替边界的影响，
将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自 由空间，从而使计算过程大为简化。
这些等效电荷通常处于原电荷的镜像位置，因此 称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
依据：惟一性定理。等效电荷的引入不能改变原 来的边界条件。
关键：确定镜像电荷的大小及其位置。
局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊的电 荷分布才有可能确定其镜像电荷。
镜像法所得结果仅适用于原电荷所在的区域，称为 有效区域。对于镜像电荷所在的区域，所得结果是不 适用的，该区域称为无效区域。
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
（1）点电荷与无限大的导体平面
第三章 静电场的边值问题
第三章 静电场的边值问题
主要内容 电位微分方程、镜像法、分离变量法。
1. 电位微分方程 2. 镜像法 3. 直角坐标系中的分离变量法 4. 圆柱坐标系中的分离变量法 5. 球坐标系中的分离变量法
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
1. 电位微分方程
已知电位 与电场强度 E 的关系为
/3
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
仅当这种导体劈的夹角等于 的整数分之一时，才可求 出其镜像电荷。 为什么？ 镜像电荷的依据是电位满足的方程和边界条件，为了不改变电 位所满足的方程，镜像电荷不能放在所求电位的区域（或称为 有效区）内。
电位所满足的方程 2 q (rr rr)
已知分布在V 中的电荷 在(r无) 限大的自由空间
产生的电位为
(r) 1
(r) dV
4π V | r r |
上式为泊松方程在自由空间的特解。 利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的
通解。
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
数学物理方程描述物理量随时间和空间的变化特性。
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
电场线与等位面的分布特性与电偶极子的上半部分 完全相同。
z
电场线
等位线
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
P r q
介质
导体
P r
q
h
r 介质
h
介质
q
* 根据电荷守恒定律，镜像点电荷的电荷量应该等 于导体表面上感应电荷的总电荷量。（怎么去证明）
（1）点电荷与无限大的导体平面
P r q
介质
导体
P r
q
h
r 介质
h
介质
q
以一个镜像点电荷q'代替边界的影响，使整个空间变
成均匀的介电常数为 的空间，则空间任一点 P 的电位
由 q 及 q' 共同产生，即
q q 4π r 4π r
q q
无限大导体平面的电位为零
* 上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因 为在上半空间中，源及边界条件未变。
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜 像法。但是为了保证这种劈形边界的电位为零，必须 引入几个镜像电荷。
例如，夹角为 π的导电劈需引入 5 个镜像电荷。
3
q /3
q
E
对上式两边取散度，得
E 2
对于线性各向同性的均匀介质，电场强度E 的
散度为
E
那么，电位满足的微分方程式为
2
泊松方程
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
2
对于无源区， ，0 上式变为
2 0
拉普拉斯方程
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
解的存在、稳定及惟一性问题。 存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的 解是否变化很大。 惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否是 惟一的。 静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在 确信无疑。 泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经 得到证明。 可以证明电位微分方程解具有惟一性。
P r q
介质
导体
P r
q
h
r 介质
h
介质
q
以一个镜像点电荷q'代替边界的影响，使整个空间变
成均匀的介电常数为 的空间，则空间任一点 P 的电位
由 q 及 q' 共同产生，即
q q 4π r 4π r
q q
无限大导体平面的电位为零
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
定解条件
初始条件
边界条件
静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及
拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。
根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静
电场的边值问题。
此处边界条件实际上是指给定的边值，它不同于 前一章描述静电场的边界上场量变化的边界条件。
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
边界条件有三种类型： 第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边 值问题又称为狄里赫利问题。 第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值， 这种边值问题又称为诺依曼问题。 第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另 一部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又 称为混合边界条件。
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
对于线性各向同性的均匀介质，有源区中的电位满
足泊松方程方程
2
在无源区，电位满足拉普拉斯方程
2 0 静电场的边值问题 —— 根据给定的边界条件求解
静电场的电位分布。
利用格林函数，可以求解泊松方程。
利用分离变量法可以求解拉普拉斯方程。
求解静电场边值问题的另一种简单方法是镜像法。