几何变换------对称2.doc
几何变换：翻转与对称
几何变换：翻转与对称几何变换是指在平面或者空间内对图形进行移动、旋转和改变形状的操作。
其中，翻转和对称是两种常见的几何变换方式，它们在数学、物理和工程学科中都有着广泛的应用。
在本文中，我们将重点探讨几何变换中的翻转和对称，并在实例中展示其应用。
一、翻转翻转是指将一个图形绕着某一直线旋转180度，并保持图形上的点在翻转后的位置。
常见的翻转方式包括水平翻转、垂直翻转和对角线翻转。
下面，我们将分别介绍这三种翻转方式的特点和应用。
1. 水平翻转水平翻转是指图形绕着水平中心线进行旋转。
例如，当我们将字母“D”进行水平翻转时，它将变成一个镜像的字母“Ɔ”。
对于对称的图形，水平翻转后的图形与原图形保持相同，只是位置相反。
水平翻转在地理学中的应用较多，如绘制地理地图时，将北半球与南半球进行水平翻转可以更好地展示地球的真实形状。
2. 垂直翻转垂直翻转是指图形绕着垂直中心线进行旋转。
例如，当我们将字母“B”进行垂直翻转时，它将变成一个镜像的字母“ᗺ”。
与水平翻转类似，垂直翻转后的图形与原图形保持相同，只是位置相反。
垂直翻转在艺术设计中被广泛应用，如制作海报和广告时，通过垂直翻转可以创造独特的视觉效果。
3. 对角线翻转对角线翻转是指图形绕着对角线进行旋转。
例如，当我们将字母“Z”进行对角线翻转时，它将变成一个镜像的字母“S”。
对角线翻转后的图形与原图形相似，但位置发生了旋转。
对角线翻转在建筑设计和工程测量中有广泛的应用，可用于确定物体的旋转角度和位置。
二、对称对称是指图形中存在一个轴线，使得沿着轴线对称的两部分互为镜像。
常见的对称方式包括水平对称、垂直对称和中心对称。
下面，我们将分别介绍这三种对称方式的特点和应用。
1. 水平对称水平对称是指图形中存在水平轴线，使得轴线上方和下方的图形互为镜像。
例如，当我们将字母“A”进行水平对称时，它将变成一个相同形状的镜像字母“A”。
水平对称经常出现在生活中，如制作对称的家居装饰品、设计对称的衣物图案等。
几何变换中的镜面对称与轴对称
几何变换中的镜面对称与轴对称几何变换是数学中研究图形在平面或空间中变换的方式，其中镜面对称和轴对称是两种常见的变换方式。
本文将介绍镜面对称和轴对称的概念、性质以及它们在几何变换中的应用。
一、镜面对称镜面对称是指一个图形相对于一个镜面进行对称，对称后的图形和原图形相互重合。
镜面对称可以分为平面上的镜面对称和空间中的镜面对称。
1. 平面上的镜面对称平面上的镜面对称是指一个平面图形通过一个平面镜面进行对称。
镜面对称的性质如下：a) 对称轴：镜面对称的镜面是一个直线，称为对称轴。
对称轴将平面分为两个对称的部分。
b) 重合：镜面对称的图形和它的镜像图形重合。
c) 保角：镜面对称保持角度不变。
平面上的镜面对称常用于绘制对称图形，也是设计、美术等领域中常用的构图手法之一。
2. 空间中的镜面对称空间中的镜面对称是指一个空间图形通过一个平面镜面进行对称。
空间中的镜面对称具有与平面上的镜面对称类似的性质，同样有对称轴、重合和保角的特点。
空间中的镜面对称也常常用于艺术创作，如立体雕塑、建筑设计等领域。
二、轴对称轴对称是指一个图形相对于一条轴进行对称，对称后的图形和原图形相互重合。
轴对称是相对于一条线来进行对称的，可以分为平面上的轴对称和空间中的轴对称。
1. 平面上的轴对称平面上的轴对称是指一个平面图形相对于一条直线进行对称。
轴对称的性质如下：a) 对称轴：轴对称的轴是一条直线，称为对称轴。
对称轴将平面分为两个对称的部分。
b) 重合：轴对称的图形和它的轴对称图形重合。
c) 保角：轴对称保持角度不变。
平面上的轴对称经常出现在几何图形中，是数学中常用的概念之一。
2. 空间中的轴对称空间中的轴对称是指一个空间图形相对于一条直线进行对称。
空间中的轴对称具有与平面上的轴对称类似的性质，同样有对称轴、重合和保角的特点。
空间中的轴对称也常常出现在几何图形、三维模型等领域中。
三、镜面对称与轴对称的应用镜面对称和轴对称在几何变换中有着广泛的应用。
几何变换的特点认识平移旋转和对称的性质
几何变换的特点认识平移旋转和对称的性质几何变换的特点：认识平移、旋转和对称的性质几何变换是数学中对图形进行变换、移动或者改变形状的操作。
它是研究几何性质和图像的重要方法之一。
本文将重点讨论几何变换中的平移、旋转和对称三种基本变换，并阐述它们的特点和性质。
一、平移平移是指将图形在平面上沿着某个方向移动一定的距离，保持图形内部各点之间的相对位置不变。
平移的特点有：1. 平移是保形变换，即图形的形状不发生改变，只是位置发生了移动。
例如，一个正方形经过平移后仍然是一个正方形。
2. 平移是等距变换，即原图形和移动后的图形之间的距离保持不变。
例如，一个直角三角形经过平移后，各边之间的夹角大小不变。
3. 平移满足能够叠加的性质，即若干次平移变换的次序可以改变，但最终的结果是相同的。
例如，图形先向右平移再向上平移，与先向上平移再向右平移的结果是相同的。
二、旋转旋转是指将图形围绕某个点进行旋转，使得图形的各点相对于旋转中心点保持一定的角度不变。
旋转的特点有：1. 旋转同样是保形变换，即图形的形状不发生改变，只是位置和旋转方向发生变化。
例如，一个正三角形经过旋转后仍然是一个正三角形。
2. 旋转是等角变换，即旋转前后的角度大小保持不变。
例如，一个矩形经过旋转后，各个顶点之间的角度大小仍然相等。
3. 旋转也满足能够叠加的性质，即若干次旋转变换的次序可以改变，但最终的结果是相同的。
例如，图形先顺时针旋转90°再逆时针旋转90°，与先逆时针旋转90°再顺时针旋转90°的结果是相同的。
在旋转中，旋转中心点的选择对于结果有重要影响。
三、对称对称是指图形围绕某条直线或者点对称，使得图形在这条直线或者点上的两侧是完全相同的。
对称的特点有：1. 对称是保形变换，即图形的形状不发生改变，只是位置发生了变化。
例如，一个圆经过对称后仍然是一个圆。
2. 对称是等距变换，即对称前后图形内部各点之间的距离保持不变。
对称变换的判定
对称变换的判定介绍对称变换是指在空间中对一个图形进行操作，使得变换后的图形与原图形关于某个轴或某个点对称。
在数学和几何学中，对称变换是一个重要的概念，有着广泛的应用。
判定一个图形是否满足对称变换的条件，可以通过一系列方法和定理来进行。
定义对称变换是指，通过某种操作将一个图形变换到另一个位置后，仍然与原图形保持相似或完全一致的变换。
主要有以下几种对称变换：1.垂直轴对称：图形相对于某条垂直轴对称。
2.水平轴对称：图形相对于某条水平轴对称。
3.中心对称：图形相对于一个点对称。
4.对角线对称：图形相对于某条对角线对称。
对称变换的判定方法判定图形是否满足对称变换的条件，需要利用一些特定的判定方法。
以下是常用的判定方法：垂直轴对称的判定方法1.判断图形上的点是否关于垂直轴对称，即这些点与对称轴的关系是否满足对称性。
2.判断图形的每一点到对称轴的距离是否相等，如果相等则满足垂直轴对称。
水平轴对称的判定方法1.判断图形上的点是否关于水平轴对称，即这些点与对称轴的关系是否满足对称性。
2.判断图形的每一点到对称轴的距离是否相等，如果相等则满足水平轴对称。
中心对称的判定方法1.判断图形上的点是否关于中心点对称，即这些点与中心点的关系是否满足对称性。
2.判断图形的每一点到中心点的距离是否相等，如果相等则满足中心对称。
对角线对称的判定方法1.判断图形上的点是否关于对角线对称，即这些点与对角线的关系是否满足对称性。
2.判断图形的每一点到对角线的距离是否相等，如果相等则满足对角线对称。
对称变换的应用举例对称变换在现实生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下是一些应用举例：建筑设计在建筑设计中，对称变换常被用于设计对称的建筑物和空间。
通过垂直轴对称、水平轴对称或对角线对称来创造一种平衡和和谐感。
图像处理在图像处理中，对称变换可以用于旋转、翻转和缩放图像。
利用对称变换可以改变图像的外观和尺寸，使其满足特定的需求。
物理研究对称变换在物理学中有很多应用，例如对称的物体可以简化物理问题的求解过程。
几何变换之轴对称
几何变换之轴对称（翻折）翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的。
以这个性质为基础，结合圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。
那么碰到这类题型，我们的思路就要以翻折性质为基础，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题！对于翻折和折叠题型分两个题型来讲，一类题型就是直接计算型，另一类是涉及到分类讨论型，由浅入深难度逐步加大，，掌握好分类讨论型的翻折问题，那么拿下中考数学翻折题型就没问题了！解决翻折题型的策略一：利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等。
对应边相等，对应角相等②对应点连线被对称轴垂直平分二：结合相关图形的性质（三角形，四边形等）三：运用勾股定理或者三角形相似建立方程。
翻折折叠题型（一），直接计算型，运用翻折的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题！一般难度小，我们要多做一些这些题型，熟练翻折的性质，以及常见的解题套路！翻折折叠题型（二），分类讨论型，运用翻的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题！般难度较大，需要综合运用题中的条件，多种情况讨论分析，需要准确的画图，才能准确分析！常见的几类类型1. 纸片中的折叠如图，有一条直的宽纸带，按照如图方式折叠，则＝.【解答】【解析】，如图所示：∵∠＝∠1，∠2＝∠1，∴∠＝∠2，∴2∠＋∠AEB＝180º，即2∠＋∠30º＝180º，解得∠＝75º.2. 三角形中的折叠在△ABC中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C’DE，对折叠后产生的夹角进行探究：（1）如图1，把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求∠1+∠2的和；（2）如图2，把△CDE沿DE折叠覆盖∠A，则求∠1+∠2的和；（3）如图3，把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系.【解答】（1）∠1＋∠2＝60º；（2）∠1＋∠2＝50º；（3）∠2－∠1＝2∠C【解析】（1）由图可得∠1＋∠2＝180º－2∠CDE＋180º－2∠CED＝360º－2（∠CDE＋∠CED）＝360º－2（180º－∠C）＝2∠C＝60º（2）连接DG，如图所示：∠1＋∠2＝180º－∠C’－（∠ADG＋∠AGD）＝180º－30º－（180º－80º）＝50º（3）由图可得∠2－∠1＝180º－2∠CED－（2∠CDE－180º）＝360º－2（∠CDE＋∠CED）＝360º－2（180º－∠C）＝2∠C3. 矩形中的折叠如图，沿矩形ABCD的对角线BD折叠，点C落在点E的位置，已知BC＝8，AB＝6，求折叠后重合部分的面积.【解答】阴影部分的面积为【解析】∵点C与点E关于直线BD对称，∴∠1＝∠2，∵AD∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴FB＝FD，设，则，在Rt △BAF 中，，即，解得， ∴阴影部分面积. 4.圆中的折叠 如图，将半径为8的沿AB 折叠，弧AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D ，则折痕AB ＝ .【解答】AB = 【解析】延长CO 交AB 于E 点，连接OB ，如图所示：∵CE ⊥AB ，∴E 为AB 的中点，由题意可得CD=4，OD=4，OB=8，DE = 21(8×2 - 4) = 6，OE=6-4=2，在Rt △OEB 中，根据勾股定理可得：AB = .。
平面几何计算平面形的旋转平移和对称变换
平面几何计算平面形的旋转平移和对称变换平面几何计算平面形的旋转、平移和对称变换在平面几何中，旋转、平移和对称变换是常见且重要的几何变换方法。
通过对平面形进行旋转、平移和对称变换，我们可以得到新的平面形，进而探索其性质和应用。
本文将介绍平面几何中的旋转、平移和对称变换，并进行相关计算。
一、旋转变换旋转变换是指将一个平面形绕着某个点旋转一定角度后得到的新的平面形。
在旋转变换中，我们需要确定旋转的中心点和旋转的角度。
旋转变换的数学表示可以使用矩阵运算来进行计算。
假设原始点的坐标为(x,y)，旋转中心为(a,b)，旋转角度为θ，则经过旋转变换后的点的坐标为(x',y')。
根据旋转矩阵的定义，可以得到以下计算公式：x' = (x-a) * cosθ - (y-b) * sinθ + ay' = (x-a) * sinθ + (y-b) * cosθ + b例如，若给定一个平面形的几个顶点坐标，我们可以通过旋转变换计算出该平面形绕某个点旋转一定角度后的新的顶点坐标。
二、平移变换平移变换是指将一个平面形沿着某个方向移动一定距离后得到的新的平面形。
在平移变换中，我们需要确定平移的方向和平移的距离。
平移变换的数学表示可以使用矢量运算来进行计算。
假设原始点的坐标为(x,y)，平移向量为(a,b)，则经过平移变换后的点的坐标为(x',y')。
根据平移的定义，可以得到以下计算公式：x' = x + ay' = y + b例如，若给定一个平面形的几个顶点坐标，我们可以通过平移变换计算出该平面形沿着某个方向移动一定距离后的新的顶点坐标。
三、对称变换对称变换是指将一个平面形围绕某个直线或点对称后得到的新的平面形。
在对称变换中，我们需要确定对称的直线或点。
对称变换的数学表示既可以使用矩阵运算，也可以使用坐标变换求解。
1. 直线对称变换：假设原始点的坐标为(x,y)，对称直线的方程为ax+by+c=0，则经过直线对称变换后的点的坐标为(x',y')。
几何变换的基本定义
几何变换的基本定义几何变换是指通过改变图形的位置、形状、大小或方向来实现对图形的转换。
在数学和几何学中，几何变换是广泛应用于图像处理、计算机图形学和几何推理等领域的重要概念。
本文将简要介绍几何变换的基本定义，包括平移、旋转、缩放和对称变换。
一、平移变换平移变换是指将图形沿着平行于原始位置的直线方向移动一定距离。
平移变换不改变图形的形状和大小，只改变了其位置。
设图形上的点坐标为(x, y)，平移变换后的新坐标为(x', y')，则有以下公式：x' = x + ay' = y + b其中，a和b分别表示平移的水平和垂直距离。
在平面几何中，平移变换可以通过将所有点坐标加上相同的位移矢量来实现。
二、旋转变换旋转变换是指将图形绕某一点或绕原点按一定角度旋转。
旋转变换改变了图形的方向和位置，但不改变其大小和形状。
设图形上的点坐标为(x, y)，旋转中心为(cx, cy)，旋转角度为θ，则旋转变换后的新坐标为(x', y')，可以通过以下公式计算：x' = (x - cx) * cosθ - (y - cy) * sinθ + cxy' = (x - cx) * sinθ + (y - cy) * cosθ + cy其中，cosθ和sinθ分别表示旋转角度的余弦和正弦值。
通过调整旋转角度可以实现图形的顺时针或逆时针旋转。
三、缩放变换缩放变换是指通过改变图形的尺寸来实现对图形的变换。
缩放变换可以使图形变大或变小，但图形的形状和位置保持不变。
设图形上的点坐标为(x, y)，缩放中心为(cx, cy)，水平和垂直缩放比例分别为sx和sy，则缩放变换后的新坐标为(x', y')，计算公式如下：x' = (x - cx) * sx + cxy' = (y - cy) * sy + cy通过调整sx和sy的值，可以实现图形的水平或垂直方向上的缩放。
关于原点对称的规律
关于原点对称的规律原点对称是一种基本的几何变换，它在数学、物理、化学等领域都有广泛的应用。
在几何学中，原点对称是指将一个点关于原点对称，即将点(x,y)变为点(-x,-y)。
在本文中，我们将探讨原点对称的规律及其应用。
一、原点对称的基本性质原点对称具有以下基本性质：1. 原点对称是一种对称性，即对于任意一点P(x,y)，它的对称点P'(-x,-y)关于原点对称。
2. 原点对称是一种保距变换，即对于任意两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，它们之间的距离与它们的对称点P'(-x1,-y1)和Q'(-x2,-y2)之间的距离相等。
3. 原点对称是一种保角变换，即对于任意两条直线L1和L2，它们的夹角与它们的对称线L1'和L2'的夹角相等。
二、原点对称的应用原点对称在数学、物理、化学等领域都有广泛的应用，下面我们将分别介绍它们的应用。
1. 数学中的应用原点对称在数学中有着广泛的应用，例如：（1）在坐标系中，原点对称可以用来求解关于原点对称的图形的性质，例如对称中心、对称轴等。
（2）在函数图像中，原点对称可以用来求解关于原点对称的函数的性质，例如奇偶性、零点等。
（3）在向量运算中，原点对称可以用来求解向量的模长、方向等。
2. 物理中的应用原点对称在物理中也有着广泛的应用，例如：（1）在力学中，原点对称可以用来求解物体的运动轨迹、速度、加速度等。
（2）在电学中，原点对称可以用来求解电场、电势等。
（3）在光学中，原点对称可以用来求解光线的传播方向、反射、折射等。
3. 化学中的应用原点对称在化学中也有着广泛的应用，例如：（1）在分子结构中，原点对称可以用来求解分子的对称性、分子轨道等。
（2）在化学反应中，原点对称可以用来求解反应物和产物的对称性、反应速率等。
（3）在晶体学中，原点对称可以用来求解晶体的对称性、晶体结构等。
三、原点对称的规律原点对称具有以下规律：1. 对于任意一点P(x,y)，它的对称点P'(-x,-y)关于原点对称。
初中三大几何变换---对称
初中三⼤⼏何变换---对称对称，我们熟知的三⼤⼏何变换之⼀，⼏何题中往往都有它的⾝影，我们知道它很重要，但有时候可能并不清晰，关于对称我们要了解什么．我们将从基本性质说起，到⼀些常见图形的隐含结论，再到对称的构造．本⽂从性质说起：关于对称的性质，⼤概可以有以下三点，由于对称前后的图形是全等的，所以（1）对应⾓相等；（2）对应边相等；（3）对称点连线被对称轴垂直且平分．以上由对称必然可以得到，选取恰当的性质帮助解题，不仅要了解知识点，也要了解与其相关配套的条件与问题．01对应⾓相等由对称得到的对应⾓相等尤其适合⽤在求⾓度的问题中，练习参考以下1-3题：2019江西中考2019邵阳中考2018兰州中考对称的图形中可能会有特殊⾓，⽽此时特殊⾓带来的不仅仅是其本⾝，也可能会连带其他⾓也变成特殊⾓．4、5有关30°特殊⾓，6、7有关60°特殊⾓．2018毕节中考2019辽阳中考2019潍坊中考2018遵义中考2019黄冈中考02对应边相等但凡涉及到对称，基本上都会⽤到对应边相等，很多内容很难割裂分开，或许按知识点作题⽬分类值得商榷，但此处只需强调⼀点：对应边相等．在某些问题中是解题关键．2019朝阳中考2018威海中考2019杭州中考03对称点连线被对称轴垂直平分连接对称点连线可得垂直，由垂直，或可得直⾓三⾓形，或可得三垂直全等或相似，或可⽤三⾓函数，但终可求线段长．2018襄阳中考2018青海中考2019淮安中考2017资阳中考2019重庆中考【⼩结】以上3个题均是从中点处折叠，连接对称点，可得直⾓三⾓形．知识点都熟，但也要了解与问题的搭配，⽅能有的放⽮．。
几何变换平移旋转翻转与对称的操作与性质
几何变换平移旋转翻转与对称的操作与性质几何变换：平移、旋转、翻转与对称的操作与性质几何变换是数学中的重要概念，它描述了图形在平面上的位置、形状的改变。
其中，平移、旋转、翻转和对称是常见的几何变换操作。
本文将详细介绍这些操作的定义、性质以及它们在几何学中的应用。
1. 平移操作平移是指将图形沿着平行于某个方向的直线移动一定的距离，它不改变图形的形状和大小，只改变其位置。
平移操作可以用向量表示，即将图形的每个点都沿着同一个向量移动。
将图形A进行平移得到的新图形记为A'。
平移操作的性质包括：- 平移是保持距离和角度不变的等距变换，原图形和平移后的图形全等。
- 平移具有可逆性，即进行反向平移可以恢复原图形。
- 平移操作不改变图形的面积和周长。
2. 旋转操作旋转是指将图形围绕某个点旋转一定的角度，使图形绕旋转中心进行转动。
旋转操作可以用一个固定角度和旋转中心表示。
将图形A绕旋转中心O逆时针旋转一定角度得到新图形A'。
旋转操作的性质包括：- 旋转是保持距离不变的等距变换，原图形和旋转后的图形全等。
- 旋转具有可逆性，即进行反向旋转可以恢复原图形。
- 旋转操作不改变图形的面积和周长，但可能改变图形的方向。
3. 翻转操作翻转是指将图形围绕某个直线对称地翻转，使得图形在对称轴两侧具有完全相同的形状和大小。
翻转操作可以用一个对称轴表示。
将图形A沿对称轴翻转得到的新图形记为A'。
翻转操作的性质包括：- 翻转是保持距离不变的等距变换，原图形和翻转后的图形全等。
- 翻转具有可逆性，即进行两次相同方向的翻转可以恢复原图形。
- 翻转操作不改变图形的面积和周长，但可能改变图形的方向。
4. 对称操作对称是指将图形围绕某个中心点对称地翻转，使得图形在对称中心两侧具有完全相同的形状和大小。
对称操作可以用一个中心点表示。
将图形A关于中心点对称得到的新图形记为A'。
对称操作的性质包括：- 对称是保持距离不变的等距变换，原图形和对称后的图形全等。
几何变换的对称与旋转
几何变换的对称与旋转几何变换是对图形进行改变的一种方法，其中对称和旋转是两种常见的变换方式。
在这篇文章中，我们将探讨几何变换中的对称和旋转，并深入了解它们的定义、性质以及在实际生活中的应用。
一、对称变换对称变换是指将一个图形进行镜像翻转的操作。
具体来说，对称变换将图形中的每个点关于某一条直线、平面或中心点翻转，使得原图形与翻转后的图形完全重合。
对称变换有以下几个重要的性质：1. 线对称：当图形的每个点关于某一条直线进行翻转后，原图形与翻转后的图形重合。
2. 平面对称：当图形的每个点关于某一平面进行翻转后，原图形与翻转后的图形重合。
对称变换在生活中广泛应用，例如在建筑设计中，对称结构可以增加建筑物的稳定性和美观性。
另外，在艺术和设计领域，对称变换也经常被运用于图案设计和装饰。
二、旋转变换旋转变换是指将一个图形绕某一中心点进行旋转的操作。
旋转变换可以按照顺时针或逆时针方向进行，具体角度可以是任意值。
通过旋转变换，图形将保持形状不变，但位置及方向发生改变。
旋转变换有以下几个重要的性质：1. 中心旋转：旋转变换是以一个中心点为基准进行的，图形中的每个点都绕着该中心点进行旋转。
2. 旋转角度：通过改变旋转的角度，可以实现不同程度的旋转变换，包括90度、180度、270度以及任意角度。
旋转变换在科学研究和实践中具有广泛的应用。
例如，在地图制作中，通过旋转变换可以将地图上的各个实际位置与相对方向准确展示出来。
此外，在计算机图形学中，旋转变换也是三维模型呈现和动画效果实现的重要手段之一。
三、对称与旋转的联系和区别对称变换与旋转变换在几何变换中有着密切的关系，同时也存在一些区别。
对称变换是将图形镜像翻转，通过直线或平面来实现；而旋转变换是围绕中心点进行旋转，改变图形的位置和方向。
对称变换保持图形的形状不变，只是改变了位置；而旋转变换保持图形的形状和位置不变，只是改变了方向。
四、几何变换的实际应用几何变换在现实生活中有着广泛的应用，以下是部分例子：1. 建筑设计：对称变换可以帮助设计师创造对称美感的建筑结构，旋转变换可以实现建筑物在不同角度的呈现。
对称、平移和旋转变换
对称、平移和旋转变换在平面几何的解证题中，往往由条件的隐蔽和分散，以至找不到解证题的途径，而恰当地运用几何变换，就可以使“分散”变为“集中”，“隐蔽”变为“明显”，使解证题思路清晰起来。
这一讲我们着重学习三种主要的合同变换——对称变换、平移变换、旋转变换及其在解证几何题中的运用。
一、对称变换对称变换包括轴对称变换和中心对称变换。
将一个图形以一条定直线为轴作对称图形，这种变换是轴对称变换。
将一个图形以一个定点为中心作对称图形，这种变换是中心对称变换（也是旋转变换的特殊情况）。
对称变换的特点是不改变图形的形状和大小，只是改变了图形的位置。
一条直线或一个点就确定了一个对称变换。
例1：试证：等腰三角形的底角相等。
已知：如图（1），在△ABC 中，AB=AC ，求：∠B=∠C分析：（1）由于等腰三角形是一个轴对称图形，则可添加对称轴证之，如作AD ⊥BC 于D ，再证△ABD ≌△ACD 即可。
（2）更妙的是，把△ABC 看作是以AD 为轴的两个重叠在一起的三角形由△ABC ≌△ACB 换出∠B=∠C 。
例2：如图（2），四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且有AB=AC=AD=213cm ，BC=5cm ，求BD 的长。
分析：由于△ACD 是等腰三角形，以底边CD 中垂线NM 为轴补全图形，做出△ABC 关于MN 的对称△AED ，则AB=AD=AE=213，所以∠BDE=Rt ∠，而DE=BC=5，所以BD=12。
例3：如图（3），在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是CD 的中点，EF ⊥A B 于F ，则S ABCD 梯形=AB •EF 。
分析：由于DE=EC ，因此，以E 为定点作A 的对称点G ，则△ADE 与△GCE 关于点E 对称，且B ，C ，G 三点共线，所以S BEG ∆=S ABE ∆=21AB •EF ，故S ABCD 梯形= AB •EF 。
二、平移变换平移变换是将一个图形向某一个方向移动一个距离得到一个新的图形，其平移前后的线段保持相等且平行，角也保持相等。
对称性的变换规律
对称性的变换规律对称性是自然界中一种很普遍的现象，从小到大，无处不在。
最为常见的对称性形式是几何对称，即轴对称和中心对称，它们被广泛应用于自然科学、数学、美学等领域中。
在这篇文章中，我们将着重探讨对称性的变换规律及其应用。
一、轴对称和中心对称轴对称和中心对称是最为常见的对称性形式。
轴对称是指将一个物体按照一条直线进行镜面反射后，得到的新物体和原物体完全重合；而中心对称则是指将一个物体按照一个点进行镜面反射后，得到的新物体和原物体完全重合。
例如，镜子就是一个常见的轴对称体。
在几何学中，我们使用坐标系来表示空间中的一些点，这样方便我们研究各种几何形状。
轴对称和中心对称的变形可以用数学中的矩阵来表示。
以轴对称为例，对于任意一个点(x,y)，它关于以原点为轴的轴对称变换后的坐标为(x,-y)。
类似地，在中心对称变换中，原点对称后的坐标为(-x,-y)。
二、对称性的变换规律对于给定的一个几何形状，我们可以通过其对称性来探究其变换规律。
若一个几何形状存在对称性，那么它经过对称变换后的形状必须和原形状相同。
换言之，对于原形状上的每个点，我们都可以找到一个对称变换后的对应点。
对称性的变换规律在很多领域中得到了广泛应用，如物理领域中的对称性原理、数学领域中的群论等。
对称变换可以被看做一种简单而又有规律的运动，通过对称性的观察和把握，我们可以更好地理解许多复杂的现象。
三、应用案例除了在几何学和数学中的应用外，对称性的变换规律还被广泛应用于自然科学、工程技术以及艺术美学等领域。
以自然科学为例，对称性在物理学中被称为对称性原理，指的是一个系统的物理性质在相应的对称操作下不变。
比如说，电荷守恒定律就是一种对称性原理，它表明在一个物理过程中电荷的总量不变。
同样地，在静力学领域中，受力分析常常会利用到匀称力的对称性，以简化问题。
在工程技术领域中，对称性的变换规律有着广泛的应用。
比如，在雕塑、建筑、设计等领域中，设计师常常会运用对称性的变换规律来构思出更加优美的造型。
点关于任意直线的对称点公式
点关于任意直线的对称点公式在数学中，对称是一种重要的几何变换。
对称点公式是指在平面上给定一点P和一条直线l，求P关于直线l的对称点的方法。
这个公式可以帮助我们快速找到直线l上关于点P对称的点，从而进行几何问题的解答。
我们先来了解一下什么是对称。
在平面几何中，点P关于直线l的对称点是指在直线l上存在一个点P'，使得直线l把线段PP'分为两个相等的部分，并且线段PP'的中点在直线l上。
换句话说，点P 关于直线l的对称点在直线l上的投影点与点P的距离与点P'的距离相等。
那么，我们如何求点P关于直线l的对称点呢？这里就需要用到对称点公式。
根据对称点公式，我们可以通过直线l的方程和点P的坐标来求得对称点P'的坐标。
下面我们来详细介绍一下对称点公式的求解方法。
我们假设直线l的方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0, y0)。
要求P关于l的对称点P'，我们需要找到P'的坐标(x', y')。
根据对称点的定义，我们可以得到以下两个条件：1. 点P'在直线l上，即满足直线l的方程。
2. 点P关于直线l的投影点与点P'的距离与点P'的距离相等。
根据这两个条件，我们可以列出以下方程组：Ax'+By'+C=0 （1）d(P, l) = d(P', l) （2）其中，d(P, l)表示点P到直线l的距离，d(P', l)表示点P'到直线l的距离。
我们先来解方程（1）。
由于点P'在直线l上，所以满足直线l的方程。
我们将方程（1）代入直线l的方程Ax+By+C=0中，可以得到：A(x0 + x') + B(y0 + y') + C = 0化简上述方程，可以得到：Ax0 + By0 + C = -Ax' - By'由于点P在直线l上，所以满足直线l的方程。
探索简单的几何变换镜像与对称
探索简单的几何变换镜像与对称光学中的镜像与对称是一个重要的概念，它们在几何变换中起着重要的作用。
本文将探索简单的几何变换，包括镜像和对称，以及它们在不同情境下的应用。
一、镜像变换镜像变换是一种通过镜子或反射面将图形进行翻转的几何变换。
当一个图形相对于镜面翻转时，它的每个点都与镜面上相应的点对称。
在平面几何中，镜像变换有两种类型：水平镜像和垂直镜像。
1. 水平镜像水平镜像是指将图形绕水平轴进行翻转。
比如，当我们将一个字母"U"进行水平镜像时，它将变成一个字母"N"。
这种变换保持了图形的大小和形状，只是改变了它的方向。
2. 垂直镜像垂直镜像是指将图形绕垂直轴进行翻转。
比如，当我们将一个字母"M"进行垂直镜像时，它将变成一个字母"W"。
与水平镜像相似，垂直镜像保持了图形的大小和形状，只是改变了它的方向。
镜像变换在日常生活中有很多应用。
例如，在设计中，我们经常使用镜像变换来创建对称的图案和艺术品。
在医学影像学中，镜像变换用于产生影像的对称副本，以便进行正确的病理分析和治疗。
二、对称变换对称变换是指通过某个中心轴将图形进行翻转。
与镜像变换不同，对称变换不需要借助反射面或镜子。
对称变换有两种类型：中心对称和旋转对称。
1. 中心对称中心对称是指通过一个中心点将图形进行翻转。
当一个图形的每个点关于中心点对称时，我们称这个图形具有中心对称性。
比如，一个正方形就是中心对称的，因为它的每个对边都可以通过中心点对称。
2. 旋转对称旋转对称是指将图形绕某个点进行旋转后与原来的图形完全一致。
在旋转对称中，旋转的轴可以是图形上的任意点。
例如，一个正六边形具有旋转对称，因为它可以通过将它绕其中一个顶点旋转60度，使其与原来的图形一致。
对称变换在数学和物理中有着广泛的应用。
在几何学中，对称变换是一种重要的概念，它用于描述图形和物体的对称性质。
在物理学中，对称变换是很多物理定律的基础，例如旋转对称的自旋系统。
几何变换
§22几何变换一、 平移变换1． 定义 设PQ 是一条给定的有向线段，T 是平面上的一个变换，它把平面图形F 上任一点X 变到'X ，使得PQ XX ='，则T 叫做沿有向线段PQ 的平移变换。
记为')(X X PQ T −−→−，图形')(F F PQ T −−→− 。
2． 主要性质 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。
两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。
二、 轴对称变换1． 定义 设l 是一条给定的直线，S 是平面上的一个变换，它把平面图形F 上任一点X 变到'X ，使得X 与'X 关于直线l 对称，则S 叫做以l 为对称轴的轴对称变换。
记为')(X X l S −−→−，图形')(F F l S −−→− 。
2． 主要性质 在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。
三、 旋转变换1． 定义 设α是一个定角，O 是一个定点，R 是平面上的一个变换，它把点O 仍变到O （不动点），而把平面图形F 上任一点X 变到'X ，使得OX OX ='，且α=∠'XOX ，则R 叫做绕中心O ，旋转角为α的旋转变换。
记为'),(X X O R −−→−α，图形'),(F F O R −−→−α 。
其中0<α时，表示'XOX ∠的始边OX 到终边X O '的旋转方向为顺时针方向；0>α时，为逆时针方向。
2． 主要性质 在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。
四、 位似变换1． 定义 设O 是一个定点，H 是平面上的一个变换，它把平面图形F 上任一点X 变到'X ，使得k OX ⋅='，则H 叫做以O 为位似中心，k 为位似比的位似变换。
几何变换之对称
几何变换之对称一、从性质说起性质一：对应角相等1.如图，在ABC ∆中，点D 是BC 上的点，40BAD ABC ∠=∠=︒，将ABD ∆沿着AD 翻折得到AED ∆，则CDE ∠= ︒．2.如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，36B ∠=︒，AD 是斜边BC 上的中线，将ACD ∆沿AD 对折，使点C 落在点F 处，线段DF 与AB 相交于点E ，则BED ∠等于( )A ．120︒B ．108︒C ．72︒D ．36︒3.如图，将ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，交BC 于点F ，若48ABD ∠=︒，40CFD ∠=︒，则E ∠为( )A ．102︒B ．112︒C ．122︒D ．92︒4.如图，在矩形ABCD 中，3AD =，M 是CD 上的一点，将ADM ∆沿直线AM 对折得到ANM ∆，若AN 平分MAB ∠，则折痕AM 的长为( )A ．3 B． C．D ．6EDCBAF EDCBAFEDCBADCBAMN5.如图，直线EF 是矩形ABCD 的对称轴，点P 在CD 边上，将BCP ∆沿BP 折叠，点C 恰好落在线段AP 与EF 的交点Q处，BC =AB 的长是( )A ．8B．C．D ．106.如图，在矩形ABCD 中，2AD =．将A ∠向内翻折，点A 落在BC 上，记为A '，折痕为DE ．若将B ∠沿EA '向内翻折，点B 恰好落在DE 上，记为B '，则AB = ．7.如图，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，将菱形折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G 处（不与B 、D 重合），折痕为EF ，若2DG =，6BG =，则BE 的长为 ．8.如图，AC ，BD 在AB 的同侧，2AC =，8BD =，8AB =，点M 为AB 的中点，若120CMD ∠=︒，则CD 的最大值是 ．QPFE DCBAB'A'E DCBAGF EDCBADC BAM性质二、对应边相等1.如图，把三角形纸片折叠，使点A 、点C 都与点B 重合，折痕分别为EF ，DG ，得到60BDE ∠=︒，90BED ∠=︒，若2DE =，则FG 的长为 ．2.如图，将矩形ABCD （纸片）折叠，使点B 与AD 边上的点K 重合，EG 为折痕；点C 与AD 边上的点K 重合，FH 为折痕．已知167.5∠=︒，275∠=︒，1EF =，求BC 的长．3.如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠（点E ，H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A '点，D 点的对称点为D '点，若90FPG ∠=︒，△A EP '的面积为4，△D PH '的面积为1，则矩形ABCD 的面积等于 ．GFEDCB AKGHFE D CBAD 'A 'ABCDEH P性质三：对称点连线被对称轴垂直且平分1.如图，将面积为ABCD 沿对角线BD 折叠，点A 的对应点为点P ，连接AP 交BC 于点E ．若BE AP 的长为 ．2.如图，把直角三角形ABO 放置在平面直角坐标系中，已知30OAB ∠=︒，B 点的坐标为(0,2)，将ABO ∆沿着斜边AB 翻折后得到ABC ∆，则点C 的坐标是( )A．4) B ．(2， C． D．3.如图，在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，H 是AB 的中点，将CBH ∆沿CH 折叠，点B 落在矩形内点P 处，连接AP ，则tan HAP ∠= ．4.如图，在矩形ABCD 中，2AB =，AD =点E 是CD 的中点，连接AE ，将ADE ∆沿直线AE 折叠，使点D 落在点F 处，则线段CF 的长度是( )A ．1 BC ．23D5.如图，在ABC ∆中，D 是AC 边上的中点，连结BD ，把BDC ∆沿BD 翻折，得到BDC '∆，DC '与AB 交于点E ，连结AC '，若2AD AC ='=，3BD =，则点D 到BC '的距离为( )ABCDP EDC BAPDCB AHFE D CB AC 'EDCBA二、矩形的对称1.如图，四边形ABCD 是矩形纸片，将BCD ∆沿BD 折叠，得到BED ∆，BE 交AD 于点F ，3AB =．:1:2AF FD =，则AF = ．2.如图，在矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，那么sin EFC ∠的值为 ．3.如图，在矩形ABCD 中，6AB =，10BC =，将矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落在A '处，若EA '的延长线恰好过点C ，则sin ABE ∠的值为 ．4.如图，在矩形ABCD 中，5AB =，6BC =，点M ，N 分别在AD ，BC 上，且13AM AD =，13BN BC =， E 为直线BC 上一动点，连接DE ，将DCE ∆沿DE 所在直线翻折得到△DC E '，当点C '恰好落在直线MN上时，CE 的长为 ．5.如图，在矩形ABCD 中，4AB =，BC =，E 为CD 边上一点，将BCE ∆沿BE 折叠，使得C 落到矩形内点F 的位置，连接AF ，若1tan 2BAF ∠=，则CE = ． 6.如图，矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 为AD 上一点，且30ABE ∠=︒，将ABE ∆沿BE 翻折，得到△A BE '，连接CA '并延长，与AD 相交于点F ，则DF 的长为 ．7.如图，在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的动点，将AMN ∆沿MN 所在直线折叠，得到△A MN '，连接A C '，则A C '的最小值是 ．A 'AB CDEA 'DCBAM NAB C DEFFED C BANMEDCBAC 'A BCDEFA'EF AB CD8.如图，矩形ABCD中，AB =12BC =，E 为AD 中点，F 为AB 上一点，将AEF ∆沿EF 折叠后，点A 恰好落到CF 上的点G 处，则折痕EF 的长是 ．9.将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，BE 、EG 、FG 为折痕，若顶点A 、C 、D 都落在点O 处，且点B 、O 、G 在同一条直线上，同时点E 、O 、F 在另一条直线上，则ADAB的值为( ) A ．65BC ．32D10.如图，矩形纸片ABCD ，4AB =，3BC =，点P 在BC 边上，将CDP ∆沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP OF =，则cos ADF ∠的值为( )A ．1113B ．1315C ．1517D ．171911.如图，在矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，M 为AD 上一点，将ABM ∆沿BM 翻折至EBM ∆，ME 和BE 分别与CD 相交于O ，F 两点，且OE OD =，则AM 的长为 ．FED CB AOMGOFED CBA F EDCBAGABCDEF OP三、构造对称：将军饮马问题1.如图，在Rt ABO ∆中，90OBA ∠=︒，(4,4)A ，点C 在边AB 上，且13AC CB =，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为( )A ．（2，2）B ．55,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．88,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．（3，3）2.如图，在矩形ABCD 中，6AB =，3AD =，动点P 满足13PAB ABCD S S ∆=矩形，则点P 到A 、B 两点距离之和PA PB +的最小值为( )A．B．C．D3.如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且12PAB PCD S S ∆∆=，则PC PD +的最小值为 ．4.如图，60AOB ∠=︒，点P 是AOB ∠内的定点且OP =，若点M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则PMN ∆周长的最小值是( )ABC ．6D ．35.如图，在正方形ABCD 中，8AB =，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且6BM =．P 为对角线BD 上一点，则PM PN -的最大值为 ．AB CDPABCDO P MNAB CDPAB OPMN四、其他问题【折叠形成的垂直关系】1.如图，在Rt ABC ∆的纸片中，90C ∠=︒，5AC =，13AB =．点D 在边BC 上，以AD 为折痕将ADB ∆折叠得到ADB ∆'，AB '与边BC 交于点E ．若DEB ∆'为直角三角形，则BD 的长是 ．2.如图，已知Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，60A ∠=︒，4AC =，点M 、N 分别在线段AC 、AB 上，将ANM ∆沿直线MN 折叠，使点A 的对应点D 恰好落在线段BC 上，当DCM ∆为直角三角形时，折痕MN 的长为 ．3.如图，在菱形ABCD 中，4sin 5B =，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，将四边形AEFB 沿EF 翻折，使AB 的对应线段MN 经过顶点C ，当MN BC ⊥时，AEAD的值是 ．B'E D CBADCBAMNA BCDE FMN正方形问题5．（2019•ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则(OM = )A ．12B C 1 D 16．（2019•攀枝花）如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，4BE =，8EC =，将正方形边AB 沿AE 折叠到AF ，延长EF 交DC 于G ，连接AG ，FC ，现在有如下4个结论：①45EAG ∠=︒；②FG FC =；③//FC AG ；④14GFC S ∆=． 其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．412．（2018•湖北）如图，正方形ABCD 中，6AB =，G 是BC 的中点．将ABG ∆沿AG 对折至AFG ∆，延长GF 交DC 于点E ，则DE 的长是( )A ．1B ．1.5C ．2D ．2.529．（2019•天津）如图，正方形纸片ABCD 的边长为12，E 是边CD 上一点，连接AE 、折叠该纸片，使点A 落在AE 上的G 点，并使折痕经过点B ，得到折痕BF ，点F 在AD 上，若5DE =，则GE 的长为 ．。
二维几何形的旋转与对称
二维几何形的旋转与对称在几何学中，旋转和对称是两个重要的概念。
通过旋转和对称操作，我们可以改变二维平面上的图形，使其呈现出不同的形态和特点。
本文将介绍二维几何形的旋转与对称，并讨论它们的性质和应用。
一、旋转操作旋转是指将一个图形绕一个固定点旋转一定角度后得到的新图形。
在二维平面上，旋转操作通常以原点(0, 0)作为旋转中心，角度按逆时针方向测量。
当我们将一个图形逆时针旋转90度时，每个点的新位置可以通过坐标的变换来描述。
对于一个点P(x, y)，逆时针旋转90度后的新坐标为P'(-y, x)。
通过这个变换规则，我们可以绘制出旋转后的图形。
旋转操作不仅可以改变图形的方向，还可以改变图形的位置。
我们可以通过平移操作，将旋转中心移到需要的位置，然后再执行旋转操作。
这样，我们就可以控制旋转的中心和角度，从而实现更灵活的变换。
旋转操作在几何学中有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，旋转用于实现三维模型在屏幕上的显示。
在建筑设计中，旋转用于展示建筑物在不同角度下的外观。
无论是在科学研究还是实际生活中，旋转操作都发挥着重要的作用。
二、对称操作对称是指将一个图形以某条直线(称为对称轴)为中心进行翻转，得到的新图形与原图形完全一致。
在二维平面上，常见的对称轴包括x轴、y轴和直线y=x。
对于以x 轴为对称轴的对称操作，每一个点P(x, y)的新坐标为P'(x, -y)。
对于以y轴为对称轴的对称操作，每一个点的新坐标为P'(-x, y)。
对于以直线y=x为对称轴的对称操作，每一个点的新坐标为P'(y, x)。
对称操作可以使图形保持不变或变换位置。
我们可以通过平移操作，控制对称轴的位置，从而实现对称的效果。
对称操作在几何学中有广泛的应用。
例如，在艺术设计中，对称被广泛运用于图案和装饰的制作。
在生物学中，对称性是许多生物体体态美的表现。
无论是在艺术还是科学领域，对称操作为人们带来了美感和启示。
平移变换和对称变换
平移变换和对称变换平移变换和对称变换是数学中常见的两种几何变换方式。
它们在图形的移动和对称性研究中扮演着重要角色。
本文将介绍平移变换和对称变换的概念、性质以及在实际应用中的意义。
一、平移变换平移变换是指将一个图形沿着同一方向移动一定的距离，移动前后保持图形的大小、形状和相对位置不变。
平移变换可以用向量来表示，即将所有点的坐标都加上一个相同的位移向量。
设图形上任一点的坐标为(x, y)，位移向量为(a, b)，则平移变换后该点的新坐标为(x+a, y+b)。
平移变换具有以下性质：1. 保持图形的大小和形状不变；2. 保持图形内部的点仍然属于图形本身；3. 保持图形上任意两点之间的距离和夹角不变。
平移变换在几何学中的应用十分广泛。
例如，在计算机图形学中，平移变换用于移动、平移图形对象；在地理学中，平移变换用于研究地壳板块的相对运动等。
二、对称变换对称变换是指将一个图形围绕着某个中心轴进行镜像反转，使得图形的左右两侧完全对称。
对称变换可以分为对称轴为直线的对称变换和对称轴为点的对称变换两种形式。
1. 对称轴为直线的对称变换：对称轴为直线的对称变换就是常见的镜像变换。
其图形在对称轴两侧完全一致，对称轴上的点不发生变化。
例如，以x轴为对称轴进行对称变换，任一点(x, y)变换后的坐标为(x, -y)。
2. 对称轴为点的对称变换：对称轴为点的对称变换是将图形围绕着某个点进行反转，使得图形的每个点与该点的连线关于该点对称。
例如，以原点(0, 0)为对称中心进行对称变换，任一点(x, y)变换后的坐标为(-x, -y)。
对称变换的性质如下：1. 保持图形上的任意两点与对称轴的距离相等；2. 保持图形上的任意两点与对称轴的夹角不变。
对称变换在数学、物理和工程等领域都有广泛应用。
例如，在建筑设计中，对称变换可以用于设计具有对称美感的建筑物；在密码学中，对称加密算法利用对称变换实现数据加密和解密等。
三、平移变换与对称变换的关系平移变换和对称变换都是几何变换的重要内容，它们有一定的联系和区别。
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为折痕，当D'
F_LCD时，空的值为【
FD
一、选择题
1.如图，在左ABC中，ZC=90° ,将ZXABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN//AB, MC=6, NC=2V3 ,则四边形MABN的面积是【
2.如图，菱形纸片ABCD +, ZA=60°,将纸片折叠，点A、D分别落在A'、D'处，且A' D'经过B, EF
r
2V3-1
6
3.如图，正方形纸片ABCD的边长为3,点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点
B、D恰好都将在点G处,已知BE=1,则EF的长为[
4.如图，矩形ABCD中,E是AD的中点,将ZSABE沿BE折叠后得到ZSGBE,延长BG交CD于F点,若CFF, FD=2,则BC的长为【
A. 3^2
B. 2y[6
C. 275
D. 2心
5.如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH, EH=12厘米，EF=16
厘米，则边AD的长是【】
几何变换对称2
A. 2
B.
4D. 2A
/6
A. 12
厘米 B. 16厘米 C. 20厘米 D. 28厘米
6.如图,在矩形ABCD中，AD>AB,将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合,
折痕为MN,连结CN.若ZiCDN的而积与Z\CMN的而积比为1 ： 4,则世的值为【
BM
二、填空题
1.如图，在 RtAABC'K /C=90° , ZA=30° , BC=1,点 D 在AC±,将Z\ADB 沿直线 BD 翻折后，将点 A 落在点E处，如果AD1ED,那么线段DE的长为▲.
B
2.如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数.若在此平面直角坐标系内移动点A,使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为▲
3.点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示.若P是x
轴上使得|PA-PB|的值最大的点,Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，则OP OQ = ▲.
4.已知A (1, 5), B (3, —1)两点，在x轴上取一点M,使AM-BN取得最大值时，则M的坐标为▲
5.把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF,若AB=3cm, BC= 5cm, 则重叠部分ADEF的面积为 A cm七
6.如图，将AABC纸片的一角沿DE向下翻折，使点A落在BC边上的A '点处，且DE〃BC ,下列结论:
① ZAED=ZC；
C
.
cm
.
A'D A'F
②■JT R -
- T7T ；
③BC= 2DE ;④S 四边形AD A ，E =S^BD A ，+S/SE A ，C 。
其中正确结论的个数是 - ▲
U D J D C
个。
7. 如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最 短距离为
8. 如图，.在Rt^ABC 中，ZC=90°, ZB=30°, BC =3,点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE±BC 交AB 边于点E,将/B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当ZiAEF 为直角三角形时, BD 的长为 ▲
9. 长为20,宽为a 的短形纸片（10<a<20）,如图那样折一下，剪下一个边长等于俺形宽度的正方形（称 为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二 次操作）；如此反复操作下去，若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止.当n=3时，&的 值为 ▲.
三、解答题
蚂蚁3
C
缝蜜
第一海作 第二次操作
1.如图，在停形纸片ABCD中，AB二6, BC=8.把ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD 于点G； E、F分别是C' D和BD上的点，线段EF交AD于点H,把Z\FDE沿EF折叠，使点D落在D'处, 点D，恰好与点A重合.
(1)求证：△ABG£Z\C' DG；
(2)求 tanZABG 的值;
(3)求EF的长.
2.如图，已知矩形纸片ABCD, AD=2, AB=4.将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与
AB, CD交于点G, F, AE与FG交于点0.
(1)如图1,求证：A, G, E, F四点围成的四边形是菱形;
(2)如图2,当Z^AED的外接圆与BC相切于点N时,求证：点N是线段BC的中点;
(3)如图2,在(2)的条件下，求折痕FG的长.
D r
3.在直角坐标系中，C(2, 3), C (一4, 3), C" (2,1), D(—4, 1), A(0, a), B(a, 0) ( a >0).
（1）结合坐标系用坐标填空. 点C与（7关于点对称；点C与C"关于点对称;
点C与D关于点对称（2）设点C关于点（4, 2）的对称点是点P,若APAB的面积等于5,求a值.
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4.矩形ABCD'p, AD=5, AB =3,将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对应点A'落在线段BC±,再打开得
到折痕EE.
（1）当A'与B重合时（如图1）, EF=；当折痕EF过点D时（如图2）,求线段EF的长；
（2）观察图3和图4,设BA' =x,①当x的取值范围是时，四边形AEA' F是菱形；②在① 5的条件下，利用图4证明四边形AEA' F是菱形.
5 （2012广西贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = ax2+bx + 3的顶点为M （2, —1），交x轴于A、B两点，交y轴于点C,其中点B的坐标为（3, 0）。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设经过点C的直线与该抛物线的另一•个交点为D,且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式;
（3）在该抛物线的对称轴上存在点P,满足PM2+PB2+PC2=35,求点P的坐标；并直接写出此时直线
0P与该抛物线交点的个数。
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6.(2012青海省)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x6 7 8+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A 点在原点的左侧，B点的坐标为(3, 0),与y轴交于C (0, -3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)连接P0、PC,并把APOC沿CO翻折，得到四边形POP' C,那么是否存在点P,使四边形POP' C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
7.(2012湖北潜江)如图，抛物线y=ax%bx+2交x轴于A ( - 1, 0), B (4, 0)两点，交y轴于点C, 与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D,点P是抛物线上一动点.
6 求抛物线解析式及点D坐标；
7 点E在x轴上，若以A, E, D, P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；
8 过点P作直线CD的垂线，垂足为Q,若将ACPC｝沿CP翻折，点Q的对应点为Q'.是否存在点P, 使Q'恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由.。