中考数学专题复习之二——胡不归问题
2024成都中考数学二轮复习专题 二次函数——阿氏圆、胡不归问题专项训练(含答案)
2024成都中考数学二轮复习专题二次函数——阿氏圆、胡不归问题专项训练（学生版）课中讲解模型来源“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.模型建立如图1所示，⊙O的半径为R，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知25R OB =，连接PA、PB，则当“25PA PB+”的值最小时，P点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段OB上截取OC使OC=25R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有25PB=PC。
故本题求“PA+25PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。
技巧总结计算PA kPB +的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA kPB +的值最小，解决步骤具体如下：1.如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB2.计算出这两条线段的长度比OP k OB=3.在OB 上取一点C ，使得OC k OP=，即构造△POM ∽△BOP ，则PC k PB=，PC kPB =4.则=PA kPB PA PC AC ++≥，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值例1.已知：如图1，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 为顶点．（1）求抛物线解析式及点D 的坐标；（2）若直线l 过点D ，P 为直线l 上的动点，当以A 、B 、P 为顶点所作的直角三角形有．且只有三个时，求直线l 的解析式；（3）如图2，E 为OB 的中点，将线段OE 绕点O 顺时针旋转得到OE '，旋转角为(090)αα︒<<︒，连接E B '、E C '，当12E B E C '+'取得最小值时，求直线BE '与抛物线的交点坐标．例2.如图，顶点为C 的抛物线2(0)y ax bx a =+>经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，连接OC 、OA 、AB ，已知2OA OB ==，120AOB ∠=︒．（1）求这条抛物线的表达式；（2）过点C 作CE OB ⊥，垂足为E ，点P 为y 轴上的动点，若以O 、C 、P 为顶点的三角形与AOE ∆相似，求点P 的坐标；（3）若将（2）的线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE '，旋转角为(0120)αα︒<<︒，连接E A '、E B '，求12E A E B '+'的最小值．过关检测1.如图，直线:33=-+与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线l y x224(0)=-++<经过点B，交x轴正半轴于点C．y ax ax a a（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M 的横坐标为m，ABM∆的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标；（3）将点A绕原点旋转得点A'，连接CA'、BA'，在旋转过程中，一动点M从点B出发，沿线段BA'以每秒3个单位的速度运动到A'，再沿线段A C'以每秒1个单位长度的速度运动到C后停止，求点M在整个运动过程中用时最少是多少？2.如图，抛物线()20,y ax bx a b a a b =+--<、为常数与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于B 点，直线AB 的函数关系式为81693y x =+．（1）求该抛物线的函数关系式与C 点坐标；（2）已知点M (),0m 是线段OA 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线l 分别与直线AB 和抛物线交于D 、E 两点，当m 为何值时，△BDE 恰好是以DE 为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当BDE D 恰好是以DE 为底边的等腰三角形时，动点M 相应位置记为点M′，将OM′绕原点O 顺时针旋转得到ON （旋转角在0°到90°之间）；i ：探究：线段OB 上是否存在定点P （P 不与O 、B 重合），无论ON 如何旋转，NP NB 始终保持不变，若存在，试求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；ii ：试求出此旋转过程中，34NA NB 骣琪+琪桫的最小值．学习任务1.如图，抛物线2y x bx c =-++与直线AB 交于(4,4)A --，(0,4)B 两点，直线1:62AC y x =--交y 轴于点C ．点E 是直线AB 上的动点，过点E 作EF x ⊥轴交AC 于点F ，交抛物线于点G ．（1）求抛物线2y x bx c =-++的表达式；（2）连接GB ，EO ，当四边形GEOB 是平行四边形时，求点G 的坐标；（3）①在y 轴上存在一点H ，连接EH ，HF ，当点E 运动到什么位置时，以A ，E ，F ，H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点E ，H 的坐标；②在①的前提下，以点E 为圆心，EH 长为半径作圆，点M 为E 上一动点，求12AM CM +它的最小值．2.如图1，抛物线2(3)3(0)y ax a x a =+++≠与x 轴交于点(4,0)A ，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点(E m ，0)(04)m <<，过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM AB ⊥于点M ．（1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；（2）设PMN ∆的周长为1C ，AEN ∆的周长为2C ，若1265C C =，求m 的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE '，旋转角为(090)αα︒<<︒，连接E A '、E B '，求23E A E B '+'的最小值．胡不归问题课中讲解故事介绍从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？模型建立如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BC V V +的值最小．问题分析121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值．问题解决构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，即CH k AC=，CH =kAC ．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．模型总结在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段．例1.如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，过B 的直线交抛物线于E ，且4tan 3EBA ∠=，有一只蚂蚁从A 出发，先以1单位/s 的速度爬到线段BE 上的点D 处，再以1.25单位/s 的速度沿着DE 爬到E 点处觅食，则蚂蚁从A 到E 的最短时间是s ．过关检测1.如图，已知抛物线(2)(4)(8k y x x k =+-为常数，且0)k >与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线33y x b =-+与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为5-，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似，求k 的值；（3）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,0)A -，(0,B ，(2,0)C ，其对称轴与x 轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则12PB PD +的最小值为；（3）(,)M x t 为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点N 共有个；3.直线43y x=与抛物线()2343y x m=--+交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；（3）若CD＝CB．①求点B的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点F，使35BF CF+的值最小，则满足条件的点F的坐标是．学习任务1.如图，抛物线212y x mx n =++与直线132y x =-+交于A ，B 两点，交x 轴于D ，C 两点，连接AC ，BC ，已知(0,3)A ，(3,0)C ．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan BAC ∠的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ PA ⊥交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ACB ∆相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E 为线段AC 上一点（不含端点），连接DE ，一动点M 从点D 出发，沿线段DE 以每秒一个单位速度运动到E 点，再沿线段EA 个单位的速度运动到A 后停止，当点E 的坐标是多少时，点M 在整个运动中用时最少？2.如图1，二次函数21212y x x =-+的图象与一次函数(0)y kx b k =+≠的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为(0,1)，点B 在第一象限内，点C 是二次函数图象的顶点，点M 是一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与x 轴的交点，过点B 作x 轴的垂线，垂足为N ，且:1:48AMO AONB S S ∆=四边形．（1）求直线AB 和直线BC 的解析式；（2）点P 是线段AB 上一点，点D 是线段BC 上一点，//PD x 轴，射线PD 与抛物线交于点G ，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，PF BC ⊥于点F ．当PF 与PE 的乘积最大时，在线段AB 上找一点H （不与点A ，点B 重合），使GH 的值最小，求点H 的坐标和22GH BH +的最小值；3.已知抛物线）0)(1)(3(≠-+=a x x a y ，与x 轴从左至右依次相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，经过点A 的直线b x y +-=3与抛物线的另一个交点为D 。
几何最值之“胡不归”问题（附全国中考真题 解析）
“胡不归”问题属于经典的几何动点最值问题，一直都是中考的热门考点。
该题型因为会涉及到
几何图形、动点问题、最值问题、三角函数等知识点，对于辅助线的构造、求解的计算要求都比较高 ，属于比较难的一类题型。
如果没有进行系统性的学习，考场上遇到该题型往往会容易抓瞎。
在近几年的中考试卷中，天津、四川、江苏、湖北、湖南、山东、贵州、新疆等地，都有该题型的出现。
该题型既有选择题、填空题，比较主流的是和二次函数结合在一起，考察代几综合的内容，综合性非常强。
该题型的特征其实比较明显，当遇到求线段之和的最小值时，而且含有系数时，往往就有可能是胡不归问题。
形如求“ PA + kPB ”这样的式子的最小值，其中 A、B 两点为定值， P 为动点。
当动点 P
在直线上运动时，就是我们今天要说的“胡不归”问题；当动点 P
在圆上运动时，就是另外一个最值问题：阿氏圆问题。
王旭老师总结了“胡不归”问题的背景、模型、解决方案、知识要点，以及近几年中考试卷中出现的“胡不归”真题。
2024年中考数学 --“胡不归”模型拓展
“胡不归”模型拓展趣味故事从前，有个少年外出求学，某天他不幸得知老父亲病危的消息，便立即启程赶路.因为思乡心切，他只考虑了“两点之间，线段最短”的原理，所以选择了路径AB回家，但他忽略了走砂砾地带速度会变慢这个问题.当他赶到家时，老人刚刚咽气.邻居告诉他说，老人在弥留之际不断念叨着：“胡不归?胡不归?”如果他先沿着驿道AC走一段，再走砂砾地带，会不会更早些到家?在这个问题中，由于这个少年在驿道和砂砾地带上前行的速度不同，那么这个少年有没有可能先在驿道上行走一段路程，再走砂砾地带，总用时会变少?如果真有这种情况，那么在驿道和砂砾地带之间的拐点就尤为重要了，请问如何确定这个拐点呢.1模型多维讲解讲解一模型特征1.模型建立：如图11-62-1，A为直线l上一定点，B为直线l外一定点，点P在直线l上运动,试确定点P 的位置,使kAP+BP(0<k<1)的值最小.2.问题分析：求这类带有系数的折线最值问题，通常都是将折线转化成为线段，再利用“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”求解.3.模型总结：该模型就是利用了垂线段最短的性质，具体解题步骤如下：如图11-62-2.一找：找带有系数k的线段kAP.二构：在点 B 的异侧，构造以线段AP 为斜边的直角三角形.Rt△PAC的作法:②以定点A为顶点作∠CAP,使sin∠PAC=k;②过动点 P 作垂线构造 Rt△PAC.三转化：化折为直，将kAP 转化为PC.四求解:使kAP+BP=PC+BP,利用“垂线段最短”转化为求 BD的长.若k>1,则k4P+BP=k(AD+1BD),即构造以BP为斜边的直角三角形.k2模型典例应用例1 (母题)如图11-62-3,△ABC为等边三角形,BD平分∠ABC,AB=2,E为BD上的动点,连接AE,则AE+1BE的2最小值为 ( )A.1B. √2C. √3D.2“3步”秒懂思路【解析】如图11-62-4,过点E作EM⊥BC于点 M,过点 A作AH⊥BC于点H,交 BD 于点 E'.∵△ABC 为等边三角形,∴∠ABH=60°.∵ BD 平分∠ABC,∴∠EBM=30∘,∴EM=12BE,∴AE+12BE=AE+EM.当AE+12BE的值最小时,AE+EM 的值最小,此时点 E 与点 E'重合,点 M 与点 H重合, AE+12BE的最小值即为AH 的长.在 Rt△ABH中,AH=AB⋅sin∠ABH=2sin60∘=√3,∴AE+12BE的最小值为√3.故选 C.【答案】C.一题多变式变式1-1(改编角度：改变已知条件，将“角平分线”改为“垂直”)如图11-62-5,在等边三角形ABC中,AD⊥BC 于点 D,且AD=4,P是AD上一点,则BP+35AP的最小值为 .变式1-2(改编角度：改变图形，将“等边三角形”改为“菱形”)如图11-62-6,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AB=2,P是AC上的动点,则BP+12AP的最小值为 .变式1-3(改编角度：改变图形，将“等边三角形”改为“矩形”)如图11-62-7,在矩形ABCD中,AB=4,对角线AC,BD相交于点 O,∠AOB=60°.(1)如图(1),若P 是BC边上一动点,求DP+12BP的最小值；(2)如图(2),E 是AO 的中点,若P是对角线BD上一点,求EP+√32DP的最小值；(3)如图(3),若P 是对角线BD上一点,求2AP+PD的最小值.例2如图11-62-8,在△ABC中, AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点 E,D 是线段BE 上的一个动点，则CD+√55BD的最小值是 .【解析】如图11-62-9,过点D作DH⊥AB于点H，过点C作( CM⊥AB于点 M.∵ BE⊥根据“胡不归”模型作辅助线.AC,∴∠AEB=90∘.:tanA=BEAE=2,设AE=a,则BE=2a.由勾股定理,得10²=a²+4a2,∴a2=20,∴a=2√5或a=−2√5(舍去),. ∴BE=2a=4√5.:AB=AC,,【链知识】等腰三角形两腰上的高相等.DH≥CM,∴CD+√55BD≥4√5,∴CD+√55BD的最小值为4 √5.【答案】4√5.3模型巩固练习1.如图11-62-10,在△ABC中,∠B=45°,AB=4,P为直线BC上一点.当BP+2AP 有最小值时,∠BAP的度数为 .BP+2.如图11-62-11,在△ABC 中,AB=AC=10,∠A=30°,BD是△ABC的边AC上的高,P是BD 上的动点，则√32CP的最小值是 .3.如图11-62-12,在平行四边形 ABCD 中,∠A=60°,AB=6,AD=2,P 为边CD上一点,则√3PD+2PB的最小值为 .x−√3的图像分别交x轴、y轴于点A,B.若 C 为 x轴4.如图11-62-13，在平面直角坐标系中，一次函数y=√33上的一个动点,则2BC+AC 的最小值为 .5.模型迁移如图11-62-14,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+4与x轴交于A(-4,0),B(2,0)两点,与y轴交于点C,连接AC.(1)求抛物线的解析式.(2)P 是线段AC 上方抛物线上的一个动点，E是x轴上的一个动点,连接PA,PC,PE,当△PAC的面积最大时，求BE的最小值.PE+√22。
2024专题4.3圆---利用“胡不归”模型求最值-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
F
由勾股定理可求得OD= 2 ,∴ D(0, 2 )
B
4
4
D
D
O
C
x
典例精讲
胡不归模型
知识点一
【例3】如图,菱形ABCD的对角线AC上有一动点P,BC=6,△ABC=150º,
则线段AP+BP+PD的最小值为___.
E
A
M
F
D
P
C
B
解析：根据对称性,AP+BP+PD=AP+2PB=2(0.5AP+PB),所以只需求0.5AP+PB
胡不归模型
知识点一
“已知在驿道和沙砾道行走的速度分别为v1和v2,显然v1＜v2,在BC上求
一定点D,使从点A至点D、再从点D至点B的行走时间最短”
不妨假设在AD上行走的速度为1个单位长度/s,在BD上行走的速度为2
A
个单位长度/s,总共用时为：t= AD1+D1H=AD1+BD1sin30º
第一步：在速度快的线段与起点相异的一侧,
1
AF
DF
点M运动的时间为
2
9
1
AF
DF
的最小值.
.即求
2
9
接下来问题便是如何构造DF/2,考虑BD与x轴夹角
y
为30º,且DF方向不变,故过点D作DM∥x轴,过点F
作FH⊥DM交DM于H点,则任意位置均有FH=DF/2.当
9
D
H
M
F F
A、F、H共线时取到最小值,根据A、D两点坐标可
中考复习之——胡不归问题-胡不归原理
中考复习之——胡不归问题-胡不归原理胡不归问题是中考复习中常见的一个难点，许多考生在面对这个问题时感到困惑。
本文将探讨胡不归问题的本质及其解决方法，帮助考生更好地应对中考复习中的挑战。
一、胡不归问题的本质胡不归问题，又称作胡教育问题，是指在课堂学习中，学生对所学知识的了解不够深入，无法准确地掌握归纳总结的规律，从而无法运用知识解决问题或应对考试。
这种问题常见于记忆型的知识学科，如语文、数学、历史等。
主要表现为对于复杂题目的理解不透彻，解题思路混乱，答案无法准确推导等。
胡不归问题的本质源于学习方法的问题。
许多学生在学习过程中注重记忆和机械式的应用，而忽视了对知识的理解和归纳总结。
当遇到稍微复杂一点的问题时，由于缺乏深入理解，学生往往无法抓住关键点，从而产生迷惑和困惑。
二、胡不归原理及应对方法为了解决胡不归问题，我们需要明确胡不归原理。
胡不归原理主要包括以下几个方面：1. 学习方法的优化：解决胡不归问题的首要任务是改善学习方法。
学生应该注重理解知识的内涵和外延，强调归纳和总结的能力。
在学习过程中，可以采用思维导图、提问法等有效的学习方法，帮助加深对知识的理解和掌握。
2. 多练习、多思考：胡不归问题的产生往往和练习不足、思考不深有关。
学生应该加强对知识的练习，通过大量的例题和习题的解答，逐渐熟悉知识点的应用和运用规律。
同时，要注重思考，通过分析解题方法和思路，总结解题的一般规律，提高解题的能力。
3. 请教和交流：在面对胡不归问题时，学生可以主动请教老师或同学，寻求帮助和解答。
与他人的交流可以促进思维的碰撞和触发，帮助学生开阔思路，减少对问题的迷惑。
4. 坚持和耐心：解决胡不归问题需要时间和耐心。
学生应保持良好的学习习惯，坚持每天定时复习，逐步提高自己的学习效率和能力。
同时，要有耐心，不要因一时困难而放弃，相信坚持下去一定能够取得好的成绩。
三、结语胡不归问题在中考复习中是一个常见的难点，但通过合理的学习方法和坚持不懈的努力，我们完全可以克服这个问题。
中考数学专题复习最值问题(胡不归)练习(解析版)-备战2022年中考数学复习专题最值问题训练
中考数学专题复习最值问题（胡不归）练习1．如图，在ΔABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值（）+6B．6C+3D．4A．【答案】B【分析】作点A关于BC的对称点A'，连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E，易得2DE = CD，AD= A'D，从而得出AD+ DE = A'D+ DE，当A'，D, E在同一直线上时，AD + DE的最小值等于A' E的长是3，进而求出2AD十CD的最小值．【解析】如图所示，作点A关于BC的对称点A',连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E∵∠BAC = 90o，∠B = 60o，AB= 230o∴DE =12∵A与A'关于BC对称∴AD= A'D∴AD+ DE = A'D+ DE∴当A'，D, E在同一直线上时AD + DE的最小值等于A' E的长,在Rt△AA' E中：A' E= sin60o∴AD十DE的最小值为3∴2AD十CD的最小值为6故选B【点睛】本题主要考察了三角形的动点最值问题，做完辅助线后先求出AD + DE的最小值是解题关键．2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y 轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD＋PC的最小值是（）A ．4B ．2＋C ．D ．32+【答案】A【分析】过点P 作PJ ⊥BC 于J ，过点D 作DH ⊥BC 于H+PC =PC =(PD +PJ )，求出DP +PJ 的最小值即可解决问题．【解析】解：过点P 作PJ ⊥BC 于J ，过点D 作DH ⊥BC 于H ．∵二次函数y ＝x 2﹣2x +c 的图象与y 轴交于点B （0，﹣3），∴c ＝﹣3，∴二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3，令y ＝0，x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x ＝﹣1或3，∴A （﹣1，0），B （3，0），∴OB ＝OC ＝3，∵∠BOC ＝90°，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°，∵D （0，1），∴OD ＝1，BD ＝4，∵DH ⊥BC ，∴∠DHB ＝90°，设DH =x ，则BH =x ,∵DH 2+BH 2=BD 2，∴x 2+x 2=42，∴x =∴DH ＝∵PJ ⊥CB ，∴∠PJC ＝90°，∴PJ ，+PC=PC=PD+PJ)，∵DP+PJ≥DH，∴DP+PJ≥∴DP+PJ的最小值为+PC的最小值为4．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．3．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+12CG的最小值为 _____．【答案】5【分析】因为DG＝12EF＝2，所以G在以D为圆心，2为半径圆上运动，取DI＝1，可证△GDI∽△CDG，从而得出GI＝12CG，然后根据三角形三边关系，得出BI是其最小值【解析】解：如图，在Rt△DEF中，G是EF的中点，∴DG＝12EF=2，∴点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动，在CD上截取DI＝1，连接GI，∴DIDG ＝DGCD＝12，∴∠GDI ＝∠CDG ，∴△GDI ∽△CDG ，∴IG CG =DI DG ＝12，∴IG ＝12CG ，∴BG +12CG ＝BG +IG ≥BI ，∴当B 、G 、I 共线时，BG +12CG 最小＝BI ，在Rt△BCI 中，CI ＝3，BC ＝4，∴BI ＝5，故答案是：5．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点G 的运动轨迹是解题的关键．4．如图，△ABC 中，∠BAC ＝75°，∠ACB ＝60°，AC ＝4，则△ABC 的面积为_；点D ，点E ，点F 分别为BC ，AB ，AC 上的动点，连接DE ，EF ，FD ，则△DEF 的周长最小值为_．【答案】+【分析】（1）过点A 作AH ⊥BC 于H ，根据∠BAC ＝75°，∠C ＝60°，即可得到（2）过点B 作BJ ⊥AC 于J ，作点F 关于AB 的对称点M ，点F 关于BC 的对称点N ，连接BM ，BN ，BJ ，MN ，MN 交AB 于E ′，交BC 于D ′，此时△FE ′D ′的周长＝MN 的长，然后证明△BMN 是等腰直角三角形，BM 的值最小时，MN 的值最小，再根据垂线段最短可知，当BF 与BJ 重合时，BM 的值最小，由此求解即可.【解析】解：①如图，过点A 作AH ⊥BC 于H ．∴∠AHB =∠AHC =90°，∵∠BAC ＝75°，∠C ＝60°，∴∠B ＝180°﹣∠BAC ﹣∠C ＝45°，∠HAC=30°∴BH =AH ，HC =12AC =2∴AH ==∴AH ＝BH ＝∴BC ＝BH +CH ＝，∴S△ABC ＝12•BC •AH ＝12•（）②如图，过点B作BJ⊥AC于J，作点F关于AB的对称点M，点F关于BC的对称点N，连接BM，BN，BJ，MN，MN交AB于E′，交BC于D′，此时△FE′D′的周长＝MN的长．∵BF＝BM＝BM，∠ABM＝∠ABJ，∠CBJ＝∠CBN，∴∠MBN＝2∠ABC＝90°，∴△BMN是等腰直角三角形，∴BM的值最小时，MN的值最小，根据垂线段最短可知，当BF与BJ重合时，BM的值最小，∵BJ=2S△ABC==3+AC＝+∴MN∴△DEF的周长的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，垂线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.CP，将线段PC绕点P逆5．如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则12【答案】5【分析】连接AC 、AQ ，先证明△BCP ∽△ACQ 得AQ BP =AQ ＝2，在AD 上取AE ＝1，证明△QAE ∽△DAQ 得EQ ＝12QD ，故12DQ +CQ ＝EQ +CQ ≥CE ，求出CE 即可．【解析】解：如图，连接AC 、AQ ，∵四边形ABCD 是正方形，PC 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ，∴∠ACB ＝∠PCQ ＝45°，∴∠BCP ＝∠ACQ ，cos∠ACB ＝BC AC =PCQ ＝PC QC =∴∠ACB =∠PCO ，∴△BCP ∽△ACQ ，∴AQ BP =∵BP∴AQ ＝2，∴Q 在以A 为圆心，AQ 为半径的圆上，在AD 上取AE ＝1，∵AE AQ =12，AQ AD =12，∠QAE ＝∠DAQ ，∴△QAE ∽△DAQ ，∴EQ QD =12即EQ ＝12QD ，∴12DQ +CQ ＝EQ +CQ ≥CE ，连接CE ，∴CE ==5，∴12DQ +CQ 的最小值为5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键在于能够连接AC 、AQ ，证明两对相似三角形求解.6．如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______.【答案】6【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到AB∥CD，推出PE=1PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利2AB=3，得到2PB+ PD的最小值等于用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=126.【解析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，PD，∴PE=12∵2PB+ PD=2（PB+1PD）=2(PB+PE)，2∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，AB=3，∴PB+PE的最小值=12∴2PB+ PD的最小值等于6，故答案为：6.【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.7．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则AP+的最小值是______．【分析】作∠OCE=120°，过点P作PG⊥CE于点G，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得PG；当A、P、G在同一直线时，AP= AP+PG= AG的值最小，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．【解析】解：∵点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，∴OA=3，OC=3，作∠OCE=120°，∵∠OCB=60°，则∠OCB=∠BCE=∠FCE=60°，过点P作PG⊥CE于点G，如图：在Rt△PCG中，∠PCG=60°，则∠CPG=30°，PC，由勾股定理得PG，∴CG=12∴AP= AP+PG，当A、P、G在同一直线时，AP+PG= AG的值最小，延长AG交y轴于点F，∵∠FCG=60°，∠CGF=90°，∴∠CFG =30°，∴CF =2CG ，GF ，在Rt △OAF 中，∠AOF =90°，∠OFA =30°，∴AF =2OA =6，OF=∴CF =OF -OC =―3，∴GF―3)=92―∴AG =AF -FG =6―92+=32+即AP 的最小值为32+【点睛】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，作出合适的辅助线，得到当A 、P 、G 在同一直线时，AP = AP +PG = AG 的值最小是解题的关键．8．如图，直线y ＝x ﹣3分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，点C （0，1）在y 轴上，点P 在x 轴＋PB 的最小值为___．【答案】4思路引领：过P 作PD ⊥AB 于D ，依据△AOB 是等腰直角三角形，可得∠BAO ＝∠ABO ＝45°＝∠BPD ，进而得到△BDP 是等腰直角三角形，故PD =，当C ，P ，D 在同一直线上时，CD ⊥AB ，PC +PD 的最小值等于垂线段CD 的长，求得CD 的长，即可得出结论．答案解析：如图所示，过P 作PD ⊥AB 于D ，∵直线y ＝x ﹣3分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，令x ＝0，则y ＝﹣3；令y ＝0，则x ＝3，∴A （0，﹣3），B （3，0），∴AO ＝BO ＝3，又∵∠AOB ＝90°，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴∠BAO ＝∠ABO ＝45°＝∠BPD ，∴△BDP 是等腰直角三角形，∴PD =，+PB =PC +）=PC +PD ），当C ，P ，D 在同一直线上，即CD ⊥AB 时，PC +PD 的值最小，最小值等于垂线段CD 的长，此时，△ACD 是等腰直角三角形，又∵点C （0，1）在y 轴上，∴AC ＝1+3＝4，∴CD =＝即PC +PD 的最小值为+PB ×=4，故答案为：4．9．如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC=E 为线段AB 上一动点，连接CE ，则12AE ＋CE 的最小值为___．【答案】3思路引领：在射线AB 的下方作∠MAB ＝30°，过点E 作ET ⊥AM 于T ，过点C 作CH ⊥AM 于H ．易证ET =12AE ，推出12AE +EC ＝CE +ET ≥CH ，求出CH 即可解决问题．答案解析：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，∴tan∠CAB =CB AB =∴∠CAB ＝30°，∴AC ＝2BC ＝在射线AB 的下方作∠MAB ＝30°，过点E 作ET ⊥AM 于T ，过点C 作CH ⊥AM 于H ．∵ET ⊥AM ，∠EAT ＝30°，∴ET =12AE ，∵∠CAH ＝60°，∠CHA ＝90°，AC ＝∴CH ＝AC •sin6°＝×=3，∵12AE +EC ＝CE +ET ≥CH ，∴12AE +EC ≥3，∴12AE +EC 的最小值为3，故答案为3．10．如图，四边形ABCD 是菱形，AB ＝8，且∠ABC ＝60°，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，则AM +12BM 的最小值为_____．【答案】【分析】如图，过点A 作AT ⊥BC 于T ，过点M 作MH ⊥BC 于H ，根据菱形的性质和30°角的直角三角形的性质可得MH ＝12BM ，于是可得AM +12BM 的最小值即为AT 的长，再利用解直角三角形的知识求解即可．【解析】解：如图，过点A 作AT ⊥BC 于T ，过点M 作MH ⊥BC 于H ．∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∴∠DBC＝1∠ABC＝30°，2∵MH⊥BC，∴∠BHM＝90°，BM，∴MH＝12BM＝AM+MH，∴AM+12∵AT⊥BC，∴∠ATB＝90°，∴AT＝AB•sin60°＝∵AM+MH≥AT，∴AM+MHBM∴AM+1BM的最小值为∴AM+1故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质、30°角的直角三角形的性质、垂线段最短以及解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识、明确解答的方法是解题关键．OD的最小值．11．∠AOB＝30°，OM＝2，D为OB上动点，求MD+12思路引领：作∠BON＝∠AOB＝30°，过点M作MC⊥ON于点C，交OB于点D′，当MC⊥ON时，OD＝MD+CD的值最小，最小值是CM的长，（此时点D′即为点D）MD+12答案解析：如图，作∠BON＝∠AOB＝30°，过点M作MC⊥ON于点C，交OB于点D′，OD′∴CD′=12所以当MC⊥ON时，（此时点D′即为点D）MD +12OD ＝MD +CD 的值最小，最小值是CM 的长，∴在Rt△OCM 中，∠OMC ＝30°，OM ＝2∴OC ＝1，∴CM =答：MD +12OD12．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y l 2：y ＋b 相交于y 轴上的点B ，且分别交x 轴于点A 和点C ．（1）求△ABC 的面积；（2）点E 坐标为（5，0），点F 为直线l 1上一个动点，点P 为y 轴上一个动点，求当EF ＋CF最小时，点F 的坐标，并求出此时PF 的最小值．【答案】（1）S△ABC =（2）点F 坐标为（1；PF +【分析】（1）根据l1的解析式可得A 、B 坐标，把点B 坐标代入y ＋b 可求出b 值，进而可得出点C 坐标，即可求出AC 、OB 的长，利用三角形面积公式即可得答案；（2）如图，作点C 关于直线l 1的对称点C ′，连接C ′E ，交l 1于F ，根据A 、B 、C 坐标可得△ABC 是直角三角形，可得点C ′在直线l 2上，根据两点间距离公式可得出C ′坐标，可得C ′E 为EF ＋CF 的最小值，利用待定系数法可得出直线C ′E 的解析式，联立直线C ′E 与l 1解析式即可得出得F 的坐标；作二、四象限对角线l 3，过点F 作FG ⊥l 3于G ，交y 轴于P ，可得∠GOP =45°，可得PG ，可得FG 为PF 的最小值，过点F 作FQ ⊥x 轴，交l 3于Q ，可得△FGQ 为等腰直角三角形，可得FG ，由l 3的解析式为y =-x 及点F 的坐标可得点Q 坐标，进而可得FQ 的长，即可得FG 的长，可得答案．【解析】（1）∵l1：y ∴当x =0时，yy =0时，x =-3，∴A （-3，0），B （0，∵点B 直线l 2：y＋b 上，∴b∴直线l 2的解析式为y∴当y =0时，x =1，∴C （1，0），∴AC =4，OB∴S △ABC =12AC ⋅OB =12×4×（2）如图，作点C 关于直线l 1的对称点C ′，连接C ′E ，交l 1于F ，∵A （-3，0），B （0，C （1，0），∴AB 2=（-3）2+2=12，BC 2=12+2=4，AC 2=42=16，∵AC 2=AB 2+BC 2，∴△ABC 是直角三角形，∴点C ′在直线l 2上，∵点C 与点C ′关于直线l 1的对称，∴CC ′=2BC =4，设点C ′（m）∴（m -1）2+2=42，解得：m 1=-1，m 2=3，∵点C′在第二象限，∴m =-1，∵FC=FC′，∴EF ＋CF =EF+FC′，∴当C ′、F 、E 三点共线时EF ＋CF 的值最小，设直线C ′E 的解析式为y =kx +b ，∴―k +b =5k +b =，解得：k =―b =，∴直线C ′E的解析式为y =―+联立直线C ′E 与l 1解析式得y =―+y =+，解得：x y =，∴F （1．如图，作二、四象限对角线l 3，过点F 作FG ⊥l 3于G ，交y 轴于P ，过点F 作FQ ⊥x 轴，交l 3于Q ，∴直线l 3的解析式为y =-x ，∠GOP =45°，∴△GOP是等腰直角三角形，∴PG，∴G、P、F三点共线时，PF的值最小，最小值为FG的长，∵∠GOP=45°，∠POE=90°，∴∠EOQ=45°，∴∠FQO=45°，∴△FGQ是等腰直角三角形，∴FG，的解析式为y=-x，∵F（1，直线l3∴Q（1，-1），∴FQ（-1），∴FG）+∴PF+【点睛】本题考查一次函数的综合、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式及轴对称的性质是解题关键．13．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数y=―+b的图象与边OC、AB、x轴分别交于点D、E、F，∠DFO=30∘，并且满足OD=BE，点M是线段DF上的一个动点．（1）求b的值；（2）连接OM，若ΔODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3，求点M的坐标；MF的最小值．（3）求OM+12【答案】（1）b =3；（2）；（3）92【分析】（1）利用矩形的性质，用b 表示点E 的坐标，再利用待定系数法即可求解；（2）首先求出四边形OAED 的面积，再根据条件求出△ODM 的面积，即可解决问题；（3）过点M 作MN ⊥x 轴交于点N ，则OM +12MF =OM +MN ，即可转化为求OM +MN 的最小值，作点O 关于一次函数的对称点O ′，过点O ′作x 轴的垂线交x 轴于点N ′，交一次函数于点M ，即OM +MN 的最小值为O ′N ′，算出长度即可．【解析】（1）在y =―+b 中，令x =0，则y =b ，∴点D 的坐标为(0,b)，∵OD =BE ，，∴―b)，把―b)代入y =―+b 中得：4―b =―×+b ，解得：b =3；（2）由（1）得一次函数为y =―+3，D(0,3)，，∴OD =3，AE =1，OA =∴S四边形OADE =12(OD +AE)⋅OA =12×(3+1)×=∵ΔODM 的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3，∴ΔODM 的面积与四边形OADE 的面积之比为1:4，∴S△ODM =14S 四边形OADE =设点M 的横坐标为a ，则12×3a =解得：a =把x =y =―+3中得：y =73，∴；（3）如图所示，过点M 作MN ⊥x 轴交于点N ，∵∠DFO =30∘，∴MN =12MF ，∴OM +12MF =OM +MN ，作点O 关于一次函数的对称点O ′，且OO’与直线DF 交于Q 点，过点O ′作x 轴的垂线交x 轴于点N ′，∴OM =O ′M ，∴OM +12MF =OM +MN =O ′M +MN ，当O ′、M 、N 在同一直线时O ′M +MN 最小，即OM +12MF =OM +MN =O ′M +MN 的最小值为O ′N ′，∵∠DFO =30°，∴∠ODF =60°，∠DOQ =30°，∠O ′O N ′=90°―30°=60°，在Rt △ODQ 中，OQ =OD ⋅sin60°=3×=∴O O′=2OQ =在Rt △ON ′O ′中．O ′N ′=O O ′sin60°=×=92，∴OM +12MF 的最小值为92．【点睛】本题考查几何图形与函数的综合题，包括一次函数、矩形的性质、四边形的面积，解直角三角形以及胡不归问题，属于中考压轴题．14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A （﹣1，0），B （0，―，C （2，0），其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）点M 为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，求点M 的坐标；（3）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，求12PB ＋PD 的最小值．【答案】（1）yx ―12）2―（12，―；（2）（12，或（12，―或（12，―+）或（12，――）或（12，―；（3思路引领：（1）将A 、B 、C 三点的坐标代入y ＝ax 2+bx +c ，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式，进而得到其顶点坐标；（2）当以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为菱形时，分三种情况：①以A 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM ＝AB ；②以B 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM ＝AB ；③线段AB 的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM ＝BM ，分别列出方程，求解即可；（3）连接AB ，作DH ⊥AB 于H ，交OB 于P ，此时12PB +PD 最小．最小值就是线段DH ，求出DH 即可．答案解析：（1）由题意a ―b +c =―4a +2b 0，解得a =b =c =―，∴抛物线解析式为y =2――∵y =2――=x ―12）2―∴顶点坐标（12，―；（2）设点M 的坐标为（12，y ）．∵A （﹣1，0），B （0，―，∴AB 2＝1+3＝4．①以A 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM ＝AB ，则（12+1）2+y 2＝4，解得y ＝即此时点M 的坐标为（12，）或（12，―；②以B 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM ＝AB ，则（12）2+（y +2＝4，解得y =―+y =――即此时点M 的坐标为（12，―+）或（12，――；③线段AB 的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM ＝BM ，则（12+1）2+y 2＝（12）2+（y +2，解得y =―即此时点M 的坐标为（12，―．综上所述，满足条件的点M 的坐标为（12，）或（12，―）或（12，―+）或（12，――）或（12，―；（3）如图，连接AB ，作DH ⊥AB 于H ，交OB 于P ，此时12PB +PD 最小．理由：∵OA ＝1，OB =∴tan∠ABO =OAOB =∴∠ABO ＝30°，∴PH =12PB ，∴12PB +PD ＝PH +PD ＝DH ，∴此时12PB +PD 最短（垂线段最短）．在Rt△ADH 中，∵∠AHD ＝90°，AD =32，∠HAD ＝60°，∴sin60°=DHAD ，∴DH =∴12PB +PD 15．在平面直角坐标系中，将二次函数y =ax 2(a >0)的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，OA =1，经过点A 的一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，ΔABD 的面积为5．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点E 在一次函数的图象下方，求ΔACE 面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；(3)若点P 为x 轴上任意一点，在(2)的结论下，求PE +35PA 的最小值．【答案】(1)y =12x 2―x ―32；y =12x +12；(2)ΔACE 的面积最大值是2516，此时E ,―(3)PE +35PA 的最小值是3.【分析】(1)先写出平移后的抛物线解析式，再把点A (―1,0)代入可求得a 的值，由ΔABD 的面积为5可求出点D 的纵坐标，代入抛物线解析式可求出横坐标，由A 、D 的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式；(2)作EM ∥y 轴交AD 于M ，如图，利用三角形面积公式，由S ΔACE =S ΔAME ―S ΔCME 构建关于E 点横坐标的二次函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题；(3)作E 关于x 轴的对称点F ，过点F 作FH ⊥AE 于点H ，交x 轴于点P ，则∠BAE =∠HAP =∠HFE ，利用锐角三角函数的定义可得出EP +35AP =FP +HP ，此时FH 最小，求出最小值即可．【解析】解：(1)将二次函数y =ax 2(a >0)的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y =a (x ―1)2―2，∵OA =1，∴点A 的坐标为(―1,0)，代入抛物线的解析式得，4a ―2=0，∴a =12，∴抛物线的解析式为y =12(x ―1)2―2，即y =12x 2―x ―32．令y =0，解得x 1=―1，x 2=3，∴B (3,0)，∴AB =OA +OB =4，∵ΔABD 的面积为5，∴S ΔABD =12AB ⋅y D =5，∴y D =52，代入抛物线解析式得，52=12x 2―x ―32，解得x 1=―2，x 2=4，∴D 4,设直线AD 的解析式为y =kx +b ，∴4k +b =52―k +b =0 ，解得：k =12b =12，∴直线AD 的解析式为y =12x +12．(2)过点E 作EM ∥y 轴交AD 于M ，如图，设E a,12a 2―a ―M a,12a +∴EM =12a +12―12a 2+a +32=―12a 2+32a +2，∴S ΔACE =S ΔAME ―S ΔCME =12×EM ⋅1=―12a 2+32a +2×1=―14(a 2―3a ―4)，=―14a―+2516，∴当a =32时，ΔACE 的面积有最大值，最大值是2516，此时E,―(3)作E 关于x 轴的对称点F ，连接EF 交x 轴于点G ，过点F 作FH ⊥AE 于点H ，交x 轴于点P ，∵OA =1，∴AG =1+32=52，EG =158，∴AG EG =52158=43，∵∠AGE =∠AHP =90∘，∴sin ∠EAG =PHAP =EGAE =35，∴PH =35AP ，∵E 、F 关于x 轴对称，∴PE =PF ，∴PE +35AP =FP +HP =FH ，此时FH 最小，∵EF =158×2=154，∠AEG =∠HEF ，∴sin ∠AEG =sin ∠HEF =AGAE =FHEF =45，∴FH =45×154=3．∴PE +35PA 的最小值是3．【点睛】主要考查了二次函数的平移和待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的有关计算和利用对称的性质求最值问题．解（1）题的关键是熟练掌握待定系数法和相关点的坐标的求解；解（2）题的关键是灵活应用二次函数的性质求解；解（3）题的关键是作E 关于x 轴的对称点F ，灵活应用对称的性质和锐角三角函数的知识，学会利用数形结合的思想和转化的数学思想把求PE +35PA 的最小值转化为求FH 的长度．16．已知抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)过点A (1,0)，B (3,0)两点，与y 轴交于点C ，OC =3．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)过点A 作AM ⊥BC ，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；(3)点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当ΔPBC 面积最大时，求点P 的坐标；(4)若点Q 为线段OC 上的一动点，问：AQ +12QC 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的表达式为：y =x 2―4x +3，顶点D (2,―1)；(2)证明见解析；(3)点P(32,―34)；(4)存在，AQ +12QC 【分析】(1)设交点式y =a (x ―1)(x ―3)，利用待定系数法进行求解即可；(2)先证明四边形ADBM 为菱形，再根据有一个角是直角的菱形是正方形即可得证；(3)先求出直线BC 的解析式，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点N ，设点P (x ,x 2―4x +3)，则点N (x,―x+3)，根据S ΔPBC =12PN ×OB 可得关于x 的二次函数，继而根据二次函数的性质进行求解即可；(4)存在，如图，过点C 作与y 轴夹角为30°的直线CF 交x 轴于点F ，过点A 作AH ⊥CF ，垂足为H ，交y 轴于点Q ，此时HQ =12CQ ，则AQ +12QC 最小值=AQ+HQ=AH ，求出直线HC 、AH 的解析式即可求得H 点坐标，进行求得AH 的长即可得答案.【解析】解：(1)函数的表达式为：y =a (x ―1)(x ―3)=a (x 2―4x +3)，即：3a=3，解得：a=1，故抛物线的表达式为：y =x 2―4x +3，则顶点D(2,―1)；(2)∵OB =OC =3，∴∠OBC =∠OCB =45°，∵A(1,0)，B(3,0)，∴OB=3，OA=1，∴AB=2，∴AM =MB =ABsin 45°=又∵D(2，-1)，=∴AM=MB=AD=BD，∴四边形ADBM 为菱形，又∵∠AMB =90°，∴菱形ADBM 为正方形；(3)设直线BC 的解析式为y=mx+n ，将点B 、C 的坐标代入得：{3m +n =0n =3，解得：{m =―1n =3，所以直线BC 的表达式为：y=-x+3，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点N ，设点P (x ,x 2―4x +3)，则点N (x,―x+3)，则S ΔPBC =12PN ×OB =32(―x +3―x 2+4x ―3)=―32(x 2―3x )，∵―32<0，故S ΔPBC 有最大值，此时x =32，故点P (32,―34)；(4)存在，理由：如图，过点C 作与y 轴夹角为30°的直线CF 交x 轴于点F ，过点A 作AH ⊥CF ，垂足为H ，交y 轴于点Q ，此时HQ =12CQ ，则AQ +12QC 最小值=AQ+HQ=AH ，在Rt△COF 中，∠COF=90°，∠FOC=30°，OC=3，tan∠FCO=FOCO ，0)，利用待定系数法可求得直线HC的表达式为：y=+3…①，∵∠COF=90°，∠FOC=30°，∴∠CFO=90°-30°=60°，∵∠AHF=90°，∴∠FAH=90°-60°=30°，，利用待定系数法可求得直线AH的表达式为：y=―+联立①②并解得：x=故点H，而点A(1,0)，则AH==即AQ+1QC的最小值为AH=2【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法，解直角三角形的应用，正方形的判定，最值问题等，综合性较强，有一定的难度，正确把握相关知识，会添加常用辅助线是解题的关键. 17．已知抛物线y=x2―bx+c（b，c为常数，b>0）经过点A(―1,0)，点M(m,0)是x轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当b=2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点D(b,y D)在抛物线上，当AM=AD，m=5时，求b的值；,y Q)+2QM b的值．（Ⅲ）点Q(b+1―1；（Ⅲ）b=4.【答案】（Ⅰ）(1,―4)；（Ⅱ）b=【分析】（Ⅰ）把b=2和点A(―1,0)代入抛物线的解析式，求出c的值，进行配方即可得出顶点坐标（Ⅱ）根据点A(―1,0)和）点D(b,y D)在抛物线上和b>0得出点D(b,―b―1)在第四象限，且在抛物线对称轴x =b2的右侧．过点D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ，则点E(b,0)，再根据D 、E 两点坐标得出∆ADE 为等腰直角三角形，得出AD =，再根据已知条件AM =AD ，m =5，从而求出b 的值（Ⅲ）根据点Q(b +12,y Q )在抛物线上得出点Q(b +12,―b2―34)在第四象限，且在直线x =b 的右侧；取点N(0,1)，过点Q 作直线AN 的垂线，垂足为G ，QG 与x 轴相交于点M =GM ，+2QM 的值最小；过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，则点H(b +12,0)．再根据QH =MH 得出m 与b 的关系，然后根据两点间的距离公式和+2QM b 的方成即可【解析】解：（Ⅰ）∵抛物线y =x 2―bx +c 经过点A(―1,0)，∴1+b +c =0．即c =―b ―1．当b =2时，y =x 2―2x ―3=(x ―1)2―4，∴抛物线的顶点坐标为(1,―4)．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为y =x 2―bx ―b ―1．∵点D(b,y D )在抛物线y =x 2―bx ―b ―1上，∴y D =b 2―b ⋅b ―b ―1=―b ―1．由b >0，得b >b2>0，―b ―1<0，∴点D(b,―b ―1)在第四象限，且在抛物线对称轴x =b2的右侧．如图，过点D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ，则点E(b,0)．∴AE =b +1，DE =b +1．得AE =DE ．∴在Rt ΔADE 中，∠ADE =∠DAE =45°．∴AD =．由已知AM =AD ，m =5，∴5―(―1)=+1)．∴b =―1．（Ⅲ）∵点Q(b +12,y Q )在抛物线y =x 2―bx ―b ―1上，∴y Q =(b +12)2―b(b +12)―b ―1=―b 2―34．可知点Q(b +12,―b 2―34)在第四象限，且在直线x =b 的右侧．+2QM =+QM)，可取点N(0,1)，如图，过点Q 作直线AN 的垂线，垂足为G ，QG 与x 轴相交于点M ，有∠GAM =45°=GM ，则此时点M 满足题意．过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，则点H(b +12,0)．在Rt ΔMQH 中，可知∠QMH =∠MQH =45°．∴QH =MH ，QM =．∵点M(m,0)，∴0―(―b2―34)=(b +12)―m ．解得m =b2―14．+2QM =[(b2―14)―(―1)]++12)―(b2―14)]=∴b =4．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、勾股定理、等腰三角形的性质与判定等知识，关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想和二次函数的性质解答．18．如图，抛物线y=-x 2+bx+c 与直线AB 交于A(-4，-4)，B(0，4)两点，直线AC ：y=-12x-6交y 轴与点C ．点E 是直线AB 上的动点，过点E 作EF⊥x 轴交AC 于点F ，交抛物线于点G.（1）求抛物线y=-x 2+bx+c 的表达式；（2）连接GB 、EO ，当四边形GEOB 是平行四边形时，求点G 的坐标；（3）①在y 轴上存在一点H ，连接EH 、HF ，当点E 运动到什么位置时，以A 、E 、F 、H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点E 、H 的坐标；②在①的前提下，以点E 为圆心，EH 长为半径作圆，点M 为⊙E 上一动点，求12AM+CM 的最小值.【答案】（1）y=-x 2-2x+4；（2）G(-2，4)；（3）①H(0，-1)分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先利用待定系数法求出直线AB 的解析式，进而利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可；（3）①先判断出要以点A ，E ，F ，H 为顶点的四边形是矩形，只有EF 为对角线，利用中点坐标公式建立方程即可；②先取EG 的中点P 进而判断出△PEM∽△MEA 即可得出PM=12AM ，连接CP 交圆E 于M ，再求出点P 的坐标即可得出结论．解析：（1）（1）∵点A （-4，-4），B （0，4）在抛物线y=-x 2+bx+c 上，∴―16―4b +c ＝―4c ＝4，∴b ＝―2c ＝4，∴抛物线的解析式为y=-x 2-2x+4；（2）设直线AB 的表达式为y=kx+b ∵直线AB 过点A(-4，-4)，B(0，4)，∴―4=―4k +b 4=b ，解得k =2b =4，∴y=2x+4设E(m ，2m+4)，则G(m ，-m 2-2m+4)∵四边形GEOB 是平行四边形，∴GE=OB=4，∴-m 2-2m+4-2m-4=4，解得m=-2∴G(-2，4)（3）①设E(m ，2m+4)，则F(m ，-12m-6)过A 作AN⊥EG，过H 作HQ⊥EG四边形AFHE 是矩形，∴△PFN≌△HEQ，∴AN=QH，∴m+4=-m，解得m=-2，E(-2，0)EQ=FN=-4+12m+6=1∴H(0，-1)②由题意可得，E(-2，0)，H(0∵M 点在⊙E∵A(-4，-4)，E(-2，0)在AE 上截取EP=12EM ，则PM ，在ΔEPM 与ΔEMA中，∵EP EM ==12==EM EA ，∠PEM=∠MEA，∴ΔEPM∽ΔEMA∴PM=12AM∴线段PC 的长即为12AM+CM 的最小值由EP=12EM=14AE=14×2即12AM+CM 点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，极值的确定，解（1）的关键是掌握待定系数法，解（2）的关键是利用平行四边形的对边相等建立方程求解，解（3）①的关键是利用中点坐标公式建立方程求解，解（3）②的关键是构造相似三角形，是一道中等难度的题目．。
2024年中考数学复习 胡不归最值问题(原卷版+答案解析)
胡不归最值问题【专题说明】胡不归模型问题解题步骤如下；1、将所求线段和改写为“PA +b a PB ”的形式b a <1 ，若b a>1，提取系数，转化为小于1的形式解决。
2、在PB 的一侧，PA 的异侧，构造一个角度α，使得sin α=b a 3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题【模型展示】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使AC V 2+BC V 1的值最小．ACV 2+BC V 1=1V 1BC +V 1V 2AC ，记k =V 1V 2，即求BC +kAC 的最小值．构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．【模型总结】在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段．【练习】1.如图，AC是圆O的直径，AC=4，弧BA=120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+12BD的最小值为( )A.32B.3C.1+32D.1+32.如图，在ΔABC中，∠A=15°，AB=10，P为AC边上的一个动点(不与A、C重合)，连接BP，则22AP+PB的最小值是( )A.52B.53C.1033 D.83.ΔABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若点D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为( )A.4B.3+3C.6D.23+34.如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为45，P为OB上一动点，则AP+55OP的最小值为( )A.4B.5C.25D.355.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB=16，∠ABC=60°，D为弧AC的中点，M是弦AC上任意一点(不与端点A、C重合)，连接DM，则12CM+DM的最小值是( )A.43B.33C.23D.46.在ΔABC中，∠ACB=90°，P为AC上一动点，若BC=4，AC=6，则2BP+AP的最小值为( )A.5B.10C.52D.1027.【问题探究】在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，AB=2．(1)如图1．E为AD的中点，则点E到AB的距离为 34 ；(2)如图2，M为AD上一动点．则12AM+MC的最小值为 ；【问题解决】如图3，A，B两地相距600km，AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，中转站M应修在距A地 km处．8.如图，在菱形ABCD中，AB=AC=10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM=3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+12PB的最小值是 ．9.如图，直角三角形ABC中，∠A=30°，BC=1，AC=3，BD是∠ABC的平分线，点P是线段BD上的动点，求CP+12BP的最小值 ．10.如图，已知RtΔABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，延长BC至D使CD=BC，连接AD，且AD=4，点P为线段AC上一动点，连接BP．则2BP+AP的最小值为 ．11.如图，▱ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则PB+32PD的最小值等于 ．12.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B．若定点P的坐标为(0，63)，点Q是y轴上任意一点，则12PQ+QB的最小值为 ．13.如图，在ΔABC 中，AB =5，AC =4，sin A =45，BD ⊥AC 交AC 于点D ．点P 为线段BD 上的动点，则PC +35PB 的最小值为 ．14.如图，在ΔABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，那么：(1)AE = 25 ；(2)CD +55BD 的最小值是 ．15.如图，在ΔABC 中，∠A =90°，∠B =60°，AB =2，若D 是BC 边上的动点，则2AD +DC 的最小值为 ．16.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，P 为y 轴上的一个动点，已知A (-2,0)、C (0,-23)，且抛物线的对称轴是直线x =1．(1)求此二次函数的解析式；(2)连接PB ，则12PC +PB 的最小值是 ；17.已知：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D(0,-6)，直线y=-13x+2交x轴于点B，与y轴交于点C．(1)求抛物线的函数解析式；(2)在线段OB上有一动点P，直接写出10DP+BP的最小值和此时点P的坐标．18.如图，已知抛物线y=k8(x+2)(x-4)(k为常数，且k>0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=-33x+b与抛物线的另一交点为D．(1)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；(2)在(1)条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？19.抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且B(-1,0)，C(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，使点D落在点D 处，且DD =2CD，点M是平移后所得抛物线上位于D 左侧的一点，MN⎳y轴交直线OD 于点N，连结CN．当55D N+CN的值最小时，求MN的长．20.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，ΔCOD关于CD的对称图形为ΔCED．(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)连接AE，若AB=6cm，BC=5cm．①求sin∠EAD的值；②若点P为线段AE上一动点(不与点A重合)，连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．胡不归最值问题【专题说明】胡不归模型问题解题步骤如下；1、将所求线段和改写为“PA +b a PB ”的形式b a <1 ，若b a>1，提取系数，转化为小于1的形式解决。
中考数学专题复习之二——胡不归问题
中考数学专题复习之二——胡不归问题从前，有一个小伙子在外地学徒。
当他得知老父亲病危的消息后，便立即启程赶回家。
他只考虑了两点之间线段最短的原理，选择了直线路径A→B（XXX所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况。
当他气喘吁吁地赶到家时，老人已经去世了。
邻居告诉他，老人在弥留之际不断念叨着“胡不归？XXX不归？…”。
这个古老的传说引起了人们的思索，小伙子是否能提前到家？如果可以，他应该选择哪条路线？这就是风靡千百年的“XXX不归问题”。
例1.（2012崇安模拟）如图，平面直角坐标系中，$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$A(0,22)$，$C(1,0)$，$D$为射线$AO$上一点。
一动点$P$从$A$出发，运动路径为$A→D→C$，点$P$在$AD$上的运动速度是在$CD$上的3倍。
为使整个过程运动时间最少，则点$D$的坐标应为（。
2）（。
）（。
）（。
）$A$、$B$、$C$、$D$。
例2.（2016徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像经过点$A(-1,2)$，$B(0,-3)$，$C(2,4)$，其中对称轴与$x$轴交于点$D$。
1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；2）若$P$为$y$轴上的一个动点，连接$PD$，则$PB+PD$的最小值为（）。
3）$M(s,t)$为抛物线对称轴上的一个动点。
①若平面内存在点$N$，使得$A$、$B$、$M$、$N$为顶点的四边形为菱形，则这样的点$N$共有（）个；②连接$MA$、$MB$，若$\angle AMB$不小于$60^\circ$，求$t$的取值范围。
练巩固：1.（2015无锡二模）如图，菱形$ABCD$的对角线$AC$上有一动点$P$，$BC=6$，$\angle ABC=150^\circ$，则$PA+PB+PD$的最小值为（）。
2.（2019长沙中考）在$\triangle ABC$中，$AB=AC=10$，$\tan A=2$，$BE\perp AC$于点$E$，$D$是线段$BE$上的一个动点，则$CD+5$的最小值为（）。
中考数学最值—胡不归问题(解析+例题)
中考数学最值——胡不归问题（点在直线上运动）（PA+k·PB型最值）【历史典故】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”。
这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
【知识储备】①三角形三边关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。
②两点之间线段最短。
③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
【模型分析】①条件：已知A、B为定点，P为射线AC上一动点。
②问题：P在何处时，BP+nm AP最短（nm＜1）。
③方法：第一步在AC的一侧，PB的异侧构造∠CAE=α，使得sinα=nm 第二步做BH⊥AE，交AC于P，点P就是所求位置，BH就是其最小值。
【模型分析】【问题提出】如图①，已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB的长度，C为公路BD上的酒店，从海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为船速的n倍，点D 选在何处时，所用时间最短?个运动过程中用时最少，请求出最少时间和此时点F的坐标。
【巩固训练】练习1：如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M为对角线BD（不含B点）上BM的最小值为_____。
任意一点，则AM＋12练习2：如图，等腰ΔABC中，AB=AC=3，BC=2，BC边上的高为A0，点D为射线A0上一点，一动点P从点A出发，沿AD-DC运动，动点P在AD上运动速度3个单位每秒，动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当 AD= 时，运动时间最短为秒。
2024成都中考数学二轮复习专题：胡不归求最小值
胡不归求最小值内容导航方法点拨从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他得知在家乡的年老父亲病危的消息后，便立即启程日夜赶路。
由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径A--B （如图所示：A 是出发地，B 是目的地，AC 是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地带），当他赶到父亲眼前时，老人已去世了，邻舍告诉小伙子时告诉说，老人在弥留之际还不断喃喃地叨念：胡不归?胡不归？一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BC V V +的值最小．121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值．构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．胡不归模型问题解题步骤如下：1、将所求线段和改写为“PA+a b PB”的形式（a b <1，若ab >1，提取系数，转化为小于1的形式解决）。
2、在PB 的一侧，PA 的异侧，构造一个角度α，使得sinα=a b 3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题例题演练题组1：PA+k•PB例1．如图①，已知抛物线y ＝﹣x 2+x +2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，抛物线的顶点为Q，连接BC．（1）求直线BC的解析式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一点，过点P作PD⊥BC于点D，在直线BC上有一动点M，当线段PD最大时，求PM+MB最小值；【解答】解：（1）令y＝0，﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1和4，∴A（﹣1，0），B（4，0），令x＝0，y＝2，∴C（0，2），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2．（2）如图1中，作PM∥y轴交BC于M．∵∠DPM是定值，∴当PM的值最大时，PD的值最大，设P（m，﹣m2+m+2），则M（m，﹣m+2），∴PM＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2，∵﹣＜0，∴m＝2时，PM的值有最大值，即PD的值最大，此时P（2，3）．在y轴上取一点G，使得sin∠GBC＝，作GK⊥BC于K，∵sin∠GBK＝＝，设GK＝k，BG＝3k，则BK＝2k，∵∠GCK＝∠BCO，∠GKC＝∠BOC＝90°，∴△CKG∽△COB，∴＝＝，∴＝＝，∴CK＝k，CG＝k，∵CK+BK＝BC，∴k+2k＝2，∴k＝，∴OG＝OC﹣CG＝，∴G（0，），∴直线BG的解析式为y＝﹣x+，∵PM+BM＝PM+ME，∴当P．M，E共线，且PE⊥BG时，PM+PE的值最小，∵PE⊥BG，∴直线PE的解析式为y＝y＝x﹣2，由，解得，∴E（，），∴PE＝＝，∴PM+BM的最小值为．练1.1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D，B（﹣3，0），A（0，）（1）求抛物线解析式及D点坐标；（2）如图1，P为线段OB上（不与O、B重舍）一动点，过点P作y轴的平行线交线段AB于点M，交抛物线于点N，点N作NK⊥BA交BA于点K，当△MNK与△MPB的面积相等时，在X轴上找一动点Q，使得CQ+QN最小时，求点Q的坐标及CQ+QN最小值；【解答】解：（1）把B（﹣3，0），A（0，）的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得到，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+，顶点D的坐标为（﹣1，）．（2）如图1中，设P（m，0）则N（m，＝﹣m2﹣m+）．∵A（0，），B（﹣3，0），∴直线AB的解析式为y＝x+，AB用PN的交点M（m，m+），∵∠NMK＝∠BMP，∠NKM＝∠MPB＝90°，∴△NMK∽△BMN，∵△MNK与△MPB的面积相等，∴△NMK≌△BMN，∴MN＝BM，在Rt△ABO中，tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°，∴BM＝2PM＝MN，∴﹣m2﹣m+﹣m﹣＝2（m+），解得m＝﹣2或﹣3（舍弃），∴N（﹣2，），在y轴上取一点F，使得∠OCF＝30°，作QH⊥CF于H，∵QH＝CQ，∴NQ+CQ＝NQ+QH，根据垂线段最短可知，当N、Q、H共线，且NH⊥CF时，NQ+CQ＝NQ+QH的值最小．∵直线CF的解析式为y＝x﹣，直线NH的解析式为y＝﹣x﹣，∴Q（﹣1，0），由，解得，∴H（﹣，﹣），∴NH＝＝3，∴NQ+CQ＝NQ+QH的最小值为3．练1.2如图，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x 轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求直线BD的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，当△DQB面积最大时，在x轴上找一点E，使QE+EB的值最小，求E的坐标和最小值．【解答】解：（1）当y＝0时，x2+x+3＝0，解得x1＝6，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0）、B（6，0），当x＝0时，y＝3，则C（0，3）．∵点D与点C关于x轴对称，∴点D为（0，﹣3）．设直线BD的解析式为y＝kx+b，将D（0，﹣3）和B（6，0）分别代入得，解得：k＝，b＝﹣3．∴直线BD的解析式为y＝x﹣3．（2）设点P的坐标为（m，0），则点Q（m，m2+m+3），M（m，m﹣3）．△QBD的面积＝QM•OB＝×6×（m2+m+3﹣m+3）＝﹣（m﹣2）2+24，∴当m＝2时，△QBD的面积有最大值，此时Q（2，6）．如图1所示：过点E作EF⊥BD，垂足为F．在Rt△OBD中，OB＝6，OD＝3，则BD＝3，∴tan∠EBF＝tan∠OBD＝＝．∴EF＝BE．∴QE+EB＝QE+EF．∴当点Q、E、F在一条直线上时，QE+EB有最小值．过点Q作QF′⊥BC，垂足为F′，QF′交OB与点E′．设QF′的解析式为y＝﹣2x+b，将点Q的坐标代入得：﹣4+b＝6，解得b＝10，∴QF′的解析式为y＝﹣2x+10．由，解得x＝，∴F（，﹣）当y＝0时，﹣2x+10＝0，解得x＝5，∴点E′的坐标为（5，0）．即点E的坐标为（5，0）时QE+EB有最小值．∴QE+EB的最小值＝QF＝＝．练1.3如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D．（1）求直线BC的解析式；（2）如图2，点P为直线BC上方抛物线上一点，连接PB、PC．当△PBC的面积最大时，在线段BC上找一点E（不与B、C重合），使PE+BE的值最小，求点P的坐标和PE+BE的最小值；【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x2+x+＝，∴点C的坐标为（0，）；当y＝0时，有﹣x2+x+＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴点B的坐标为（3，0）．设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（3，0）、C（0，）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+．（2）如图2中，过点P作PM⊥x轴于点M，交直线BC于点F．EN⊥x轴设P（a，﹣a2+a+），则F（a，﹣a+）∴PF＝﹣a2+a＝×PF×3＝﹣a2+a∴S△PBC最大∴当，a＝时，S△PBC∴P（，）∵直线BC的解析式为y＝﹣x+．∴∠CBO＝30°，EN⊥x轴∴EN＝BE∴PE+BE＝PE+EN∴根据两点之间线段最短和垂线段最短，则当P，E，N三点共线且垂直于x轴时，PE+BE值最小．∴PE+BE＝PE+EN＝PN＝题组2：PA+QB+k•PQ例2．如图1，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B（点A在点B左边），O为坐标原点．点D是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点D作DE∥x轴交直线BC于点E．点P为∠CAB角平分线上的一动点，过点P作PQ⊥BC于点H，交x轴于点Q；点F是直线BC上的一个动点．（1）当线段DE的长度最大时，求DF+FQ+PQ的最小值．【解答】解：（1）如图1，当x＝0时，y＝3．当y＝0时，．∴∴AC⊥BC，且∠ABC＝30°，AC＝，且设D（a，），则E（）∴DE＝a﹣∴当a＝﹣时，DE最大．此时D（）∵AP平分∠CAB，∴∠PAB＝∠CAB＝30°，∵PQ⊥BC，∴∠PQB＝60°，∴∠P＝∠PQB﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°＝∠PAB，∵PQ⊥BC，∴∠PQB＝60°，∴AQ＝PQ，∴＝，将射线AB绕A顺时针旋转30°得到直线AM，过点D作AM的垂线于点M，交x轴于点Q′，则．当Q运动到Q′时，有＝DM，过D作DN⊥x轴于点N，可得△AQ′M与△DQ′N相似，DN＝D y＝，AN＝∴Q′N＝，DQ′＝，AQ′＝AN﹣Q′N＝∴Q′M＝，∴DM＝DQ′+Q′M＝＝DM＝．练2.1如图1，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴相交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，连接AD、BD．（1）求△ABD的面积；（2）如图2，连接AC、BC，若点P是直线AC上方抛物线上一动点，过P作PE∥BC交AC于点E，作PQ∥y轴交AC于点Q，当△PQE周长最大时，将△PQE沿着直线AC平移，记移动中的△PQE为△P′Q′E′，连接CP′，求△PQE的周长的最大值及CP′+P′E′+AE′的最小值；【解答】解（1）对于抛物线y＝﹣x2+x+2，令y＝0，得到x＝6或﹣2，∴A（6，0），B（﹣2，0），∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣2）2+，∴D（2，）．＝×8×＝．∴S△ABD（2）∵A（6，0），C（0，2），∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，设P（m，﹣m2+m+2），则Q（m，﹣m+2），∴PQ＝﹣m2+m+2﹣m+2＝﹣（m﹣3）2+，∵△PEQ∽△AOC，∴＝＝，∴PQ的值最大时，△PEQ的周长最大，∵m＝3时，PQ有最大值，此时：＝＝，∴PE＝，QE＝，∴△PQE周长的最大值＝++＝．此时P（3，），E（，）．在Rt△BOC中，tan∠BCO＝＝，∴∠BCO＝30°，同法可得：∠ACO＝60°，∴∠ACB＝90°，如图2中，作P′M⊥BC于M，E′H⊥AB于H，MH′⊥AB于H′，连接ME′、CP′．∵四边形MCE′P′是矩形，∴CP′＝ME′，∵E′H＝AE′，∴CP′+P′E′+AE′＝ME′+E′H+P′E′，∴当M，E′，H共线时，CP′+P′E′+AE′的值最小，最小值＝MH+P′E′，易知M（，），∴CP′+P′E′+AE′的最小值＝+＝．练2.2在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点C 关于抛物线对称轴对称的点为D．（1）求点D的坐标及直线BD的解析式；（2）如图1，连接CD、AD、BD，点E为线段CD上一动点．过E作EF∥BD交线段AD于F 点，当△CEF的面积最大时，在x轴上找一点P，在y轴上找一点Q，使EQ+PQ+BP最小，并求其最小值；【解答】解：（1）对于抛物线y＝x2﹣x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，令y＝0，则x＝2或﹣，故点A、B、C的坐标分别为：（﹣，0）、（2，0）、（0，﹣2），∴抛物线的对称轴x＝（﹣）＝，∵点C关于抛物线对称轴对称的点为D，∴点D（，﹣2）；设直线BD的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，（2）设点E（m，﹣2），∵EF∥BD，∴直线EF表达式中的k值和直线BD表达式中的k值相同，设直线EF的表达式为：y＝2x+b′，将点E的坐标代入上式并解得：b′＝﹣2m﹣2，直线EF的表达式为：y＝2x﹣2m﹣2②，联立①②并解得：，故点F的坐标为：（，﹣），△CEF的面积S＝×CE×（y F﹣y E）＝m×（﹣+2）＝﹣m2+m，∵﹣＜0，故S有最大值，此时m＝，故点E（，﹣2）；过点B作直线BH使tan∠HBO＝，则sin∠HBO＝，作点E关于y轴的对称点E′（﹣，﹣2），过点E′作E′H⊥BH交y轴于Q，交x轴于P，则点P、Q为所求点，此时EQ+PQ+BP最小，∵sin∠HBO＝，则PH＝PB sin∠HBO＝PB，EQ+PQ+BP＝E′Q+PQ+PH＝E′H为最小，∵tan∠HBO＝，故tan∠HPB＝2，即直线E′H表达式中的k值为2，将点E′的坐标代入上式并解得：b″＝﹣，故直线E′H的表达式为：y＝2x﹣，令x＝0，则y＝﹣，令y＝0，则x＝，故点P、Q的坐标分别为：（，0）、（0，﹣），E′P＝＝，PH＝×（2）＝，故EQ+PQ+BP最小值为：；练2.3如图①，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．（1）过点A且平行于BC的直线交于y轴于点D，求AD的解析式；（2）如图②，P是直线BC上方抛物线上的一动点，在抛物线的对称轴l上有一动点M，在x轴上有一动点N，连接PM、MN，当△PAD的面积最大时，求PM+MN+BN的最小值；【解答】解：（1）针对于抛物线y＝﹣x2+x+2，令y＝0，则，∴x1＝﹣1，x2＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0）当x＝0，得y＝2∴C（0，2），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，∵AD∥BC，∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣；（2）由（1）知，直线AD的解析式为y＝﹣x﹣，∴D（0，﹣），最大，过点P作直线l∥AD，当直线l与抛物线只有一个交点时，S△P AD设直线l的解析式为y＝﹣x+b①，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2②，联立①②得，x2﹣4x+2b﹣4＝0，∴△＝16﹣4（2b﹣4）＝0，∴b＝4，∴x1＝x2＝2，∴P（2，3），如图1，在y轴负半轴取一点K，使＝，设OK＝m，则BK＝5m，在Rt△BOK中，（5m）2﹣（m）2＝16，∴m＝或m＝﹣（舍），∴BK＝2，∴OK＝2，∴点K（0，﹣2），则sin∠OBK＝＝，cos∠OBK＝＝＝，过点N作NT⊥BK于T，在Rt△BTN中，sin∠OBT＝＝，∴NT＝BN，作点P（2，3）关于抛物线对称轴x＝的对称的P'，∴P'（1，3），∴点P'，M，N，T在同一条线时，PM+MN+BN最小，最小为P'T，∵B（4，0），∴直线BK的解析式为y＝x﹣2，过P'作P'W⊥x轴交BK与W，∴W（1，﹣），∴P'W＝3+＝，∵∠BNT＝∠P'NO，∴∠WP'T＝∠OBK，∴cos∠WP'T＝cos∠OBK＝，∴P'T＝P'W•cos∠WP'T＝×＝，即：PM+MN+BN的最小值为；。
胡不归模型精讲——冲刺2024年中考几何专项复习(全国通用)(解析版)
胡不归模型知识精讲【知识梳理】1.特殊角的三角函数值：2.点到线间垂线段最短如图所示，点P到直线l的所有连线中，PA的长度最短（直角三角形中，斜边永远大于直角边）.【模型讲解】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家。
由于着急只考虑到了"两点之间线段最短"，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着"胡不归？胡不归？"看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.将这个问题数学化，我们不妨设总时间为由可得，提取一个得，若想总的时间最少，就要使得最小，如图，过定点A在驿道下方作射线AE，夹角为，且，作DG⊥AE于点G，则，将转化为DG＋DB，再过点B作BH⊥AE于点H，交驿道所在直线于点DG＋DB的最小值为BH，，综上，所需时间的最小值为，路线回家，或许还能见到父亲的最后一面.【胡不归模型通解】1.第一步：将所求的线段和改写成的形式；第二步：构造一个角，使得；第三步：过目的地作所构造的角的一边的垂线，该垂线段的长度就是所求的最小值；第四步：计算.2. 型如“”的两定一动型最值问题的解法，：（其中A 、B 为定点，P 为动点，m 、n 为常数）；① 若m 、n 均不为1，则提取较大系数，将其中一个系数先化为1；② 借助三角函数，构造锐角α，将另一个系数也化为1；③ 利用“垂线段最短”原理即可解题.【经典例题】例1：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠CAB ＝30°，AD ⊥BC ，垂足为D ，P 为线段AD 上的一个动点，连接PB ，则12PA +PB 的最小值为 ．解：如图，过点A 作直线AE ，使∠CAE ＝15°，作PQ ⊥AE 于点Q ，作BQ '⊥AE 于点Q '，∵AB ＝AC ，∠CAB ＝30°，AD ⊥BC ，∴∠CAD ＝∠BAD ＝15°，∵∠CAE ＝15°，∴∠P AQ ＝∠CAD +∠CAE ＝30°，∠BAQ '＝∠BAC +∠CAE ＝45°，又∵PQ ⊥AE ，BQ '⊥AE ，AB ＝4，∴PQ =12P A ，BQ '=√22AB =√22×4＝2√2， ∵PB +PQ ≥BQ '，∴当PB +PQ ＝BQ '时值最小，即12P A +PB 的最小值为2√2． 故答案为：2√2．例2：在矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝8，点M 从点D 运动到点C ，运动速度为5个单位长度每秒，同时点N 从B 出发向点A 运动，运动速度为3个单位长度每秒，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，则DN +35AM 的最小值 ．解：延长CB 到E ，使BE ＝3，连接NE ，DE ，∵AD ＝5，∴BE AD =35， 设点M ，点N 运动时间为t 秒，由题意，得DM ＝5t ，BN ＝3t ，∴BN DM =3t 5t =35， ∴BE AD =BN DM ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝∠C ＝∠ADM ＝90°，∴∠EBN ＝∠ADM ，∴△EBN ∽△ADM ，∴EN AM =BE AD =35， ∴EN =35AM ，∴DN +35AM ＝DN +EN ≥DE ，而DE =√EC 2+DC 2=√(3+5)2+82=8√2，∴DN +35AM ≥8√2，故答案为：8√2．。
中考数学复习之胡不归问题
中考数学复习之胡不归问题中考数学复习之胡不归问题中考数学复习是一个关键的阶段，学生需要将过去几年的数学知识进行梳理和复习，以便在中考中取得好成绩。
在复习过程中，有一种问题被称为“胡不归问题”，这类问题通常涉及了速度、时间和距离等概念，需要学生掌握一定的解题技巧和方法。
“胡不归问题”是一种经典的数学问题，通常涉及到运动学中的速度、时间和距离等概念。
这类问题的基本思路是通过已知的速度、时间和距离等量之间的关系，来求解未知量。
在求解过程中，需要学生掌握一定的代数知识和方程构建能力。
针对“胡不归问题”，学生需要掌握以下解题步骤和方法：1、仔细审题，理解题意。
在理解题意的过程中，需要明确已知量和未知量，以及它们之间的关系。
2、根据题意构建方程。
通过分析题意，确定方程的形式和内容，并列出方程。
3、解方程。
通过代数方法或计算工具，解出未知量。
4、验证答案。
根据题意和已知条件，验证所得答案是否合理。
在复习过程中，学生可以通过做一些相关的练习题来加深对“胡不归问题”的理解和掌握。
也可以通过向老师或同学请教，解决自己在解题过程中遇到的问题和困难。
总之，“胡不归问题”是中考数学复习中的一个重要问题，学生需要认真掌握其解题技巧和方法。
在解题过程中，需要审题仔细、构建方程准确、解方程无误、验证答案严谨。
通过不断的练习和思考，相信学生一定可以在中考数学中取得好成绩。
中考数学最值—胡不归问题中考数学最值问题一直是同学们关注的焦点，而胡不归问题又是其中的一种常见类型。
本文将结合实例，详细解析胡不归问题的解决方法，帮助大家更好地掌握这一难点。
首先，需要明确胡不归问题的基本形式。
一般情况下，胡不归问题可以转化为以下形式：在一条直线上有若干个点，求这些点关于某一点对称的点中最远（或最近）的点的距离。
解决这类问题的关键在于如何找到对称点，以及如何运用勾股定理等数学知识进行计算。
下面，我们通过具体例子来解析胡不归问题的解决方法。
例如，在中考数学最值问题中，经常会出现求正六边形内一点到六边形的六条边的距离之和的最小值。
中考数学几何复习---最值系列之胡不归问题
中考数学几何复习--最值系列之“胡不归”问题在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如P A +PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如“P A +kPB ”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．本文简单介绍“胡不归”模型．【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？2驿道【模型建立】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V +的值最小．2M【问题分析】121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =， 即求BC +kAC 的最小值．【问题解决】构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．M将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．M【模型总结】在求形如“P A+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“P A+kPB”型问题转化为“P A+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．【长沙中考】如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD 的最小值是_______．ABCDE【分析】本题关键在于处理”，考虑tan A =2，△ABE三边之比为1:2sin ∠，故作DH ⊥AB 交AB 于H点，则DH =． HEDCBAABCDEH问题转化为CD +DH 最小值，故C 、D 、H共线时值最小，此时CD DH CH BE +===．【小结】本题简单在于题目已经将BA 线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH ，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：EDCB则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．αsin α5HEDC BAEDCB【南通中考】如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB =60°，AB =6，BC =2，P 为边CD 上的一动点，则PB 的最小值等于________．ABCDP【分析】考虑如何构造”，已知∠A =60°，且sin60°，故延长AD ，作PH ⊥AD 延长线于H 点，即可得PH =，将问题转化为：求PB +PH 最小值． M HPDCBA当B 、P 、H 三点共线时，可得PB +PH 取到最小值，即BH 的长，解直角△ABH 即可得BH 长．ABCDPH M【成都中考】如图，已知抛物线()()248ky x x =+-（k 为常数，且k >0）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B的直线y b =+与抛物线的另一交点为D ． （1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？【分析】第一小问代点坐标，求解析式即可，此处我们直接写答案：A （y =+，D 点坐标为(-，故抛物线解析式为)()24y x x +-，化简为：2y =点M 运动的时间为12AF DF ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即求12AF DF ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值．接下来问题便是如何构造2DF，考虑BD 与x 轴夹角为30°，且DF 方向不变，故过点D 作DM ∥x 轴，过点F 作FH ⊥DM 交DM 于H 点，则任意位置均有FH =2DF． 当A 、F 、H 共线时取到最小值，根据A 、D 两点坐标可得结果．【重庆中考】抛物线2y x =x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF ⊥x 轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB 的对应线段是O 1B 1，当12PE EC +的值最大时，求四边形PO 1B 1C 周长的最小值，并求出对应的点O 1的坐标．（为突出问题，删去了两个小问）【分析】根据抛物线解析式得A ()-、B )、C (，直线AC的解析式为：y =+知AC 与x 轴夹角为30°． 根据题意考虑，P 在何处时，PE +2EC取到最大值．过点E 作EH ⊥y 轴交y 轴于H 点，则∠CEH =30°，故CH =2EC，问题转化为PE +CH 何时取到最小值．考虑到PE 于CH并无公共端点，故用代数法计算，设2,P m ⎛- ⎝，则E m ⎛+ ⎝，H ⎛ ⎝，2PE =-，CH =，22=PE CH m +=+sin ABE ∠=当P点坐标为(-时，取到最小值，故确定P 、C 、求四边形面积最小值，运用将军饮马模型解题即可．。
中考数学专题复习最值问题胡不归 (2)
中考数学专题复最值问题胡不归学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则2PD＋PC的最小值是（）A．4B．2＋22C．22D．32223+2．如图，在ABC∆中，90A∠=︒，60B∠=︒，2AB=，若D是BC边上的动点，则2AD DC+的最小值（）A．236+B．6C．33+D．4评卷人得分二、填空题3．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+12CG的最小值为_____．4．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则32AP PC的最小值是______．5．如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P 在x轴上运动，则2PC＋PB的最小值为___．6．如图，矩形ABCD中AB＝3，BC=3，E为线段AB上一动点，连接CE，则12AE ＋CE的最小值为___．7．如图，∠ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝60°，AC＝4，则∠ABC的面积为_；点D，点E，点F分别为BC，AB，AC上的动点，连接DE，EF，FD，则∠DEF的周长最小值为_．8．如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝2．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则12DQ+CQ的最小值为___．9．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+12BM的最小值为_____．10．如图，∠ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______.11．如图，ABC中，10AB AC==，tan2A=，BE AC⊥于点E，D是线段BE上的一个动点，则55CD BD+的最小值是__________．12．如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，过B 的直线交抛物线于E,，且tan ∠EBA=43，有一只蚂蚁从A 出发,先以1单位/s 的速度爬到线段BE 上的点D 处，再以1.25单位/s 的速度沿着DE 爬到E 点处觅食，则蚂蚁从A 到E 的最短时间是________s评卷人 得分三、解答题 13．如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC 中，AB =AC =1，∠BAC =108°，DE 垂直平分AB ，且交BC 于点D ，连接AD ．(1)证明直线AD 是△ABC 的自相似分割线；(2)如图2，点P 为直线DE 上一点，当点P 运动到什么位置时，P A +PC 的值最小？求此时P A +PC 的长度．(3)如图3，射线CF 平分∠ACB ，点Q 为射线CF 上一点，当514AQ CQ -+取最小值时，求∠QAC 的正弦值．14．如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt∠BEF绕点B 旋转，BE＝BF＝10，连接AE，CF．(1)求证：∠ABE∠∠CBF．(2)如图2，连接DE，当DE＝BE时，求S△BCF的值．（S△BCF表示∠BCF的面积）(3)如图3，当Rt∠BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G 时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足2MP+PG的值最小时，求MP的值．15．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝33x＋3和直线l2：y＝﹣3x＋b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C．（1）求∠ABC的面积；（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点F的坐标，并求出此时PF＋22OP的最小值．16．如图，在平面直角坐标系中，直线l 13:33y x =+和直线l 2相交于y 轴上的点B ，分别交x 轴于A 、C 且∠OBC ＝30度．（1）求直线l 2的解析式；（2）点E 坐标为（5，0），点F 为直线l 1上一个动点，点P 为y 轴上一个动点，求当EF ＋CF 最小时，点F 的坐标，并求出此时22PF OP +的最小值．17．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为(23,4)，一次函数33yx b 的图象与边OC 、AB 、x 轴分别交于点D 、E 、F ，30DFO ∠=，并且满足OD BE =，点M 是线段DF 上的一个动点．（1）求b 的值；（2）连接OM ，若ODM ∆的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3，求点M 的坐标；（3）求12OM MF +的最小值．18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，3），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得以A，B，M，N 为顶点的四边形为菱形，求点M的坐标；（3）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求12PB＋PD的最小值．19．∠AOB＝30°，OM＝2，D为OB上动点，求MD1+2OD的最小值．20．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接BC，且tan∠CBD4=3，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．∠过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF∠PE交抛物线于点F，连接FB、FC，求∠BCF的面积的最大值；∠连接PB，求35PC＋PB的最小值．21．在平面直角坐标系中，将二次函数()20y ax a=>的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B 的左侧)，1OA=，经过点A的一次函数()0y kx b k=+≠的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，ABD∆的面积为5．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求ACE∆面积的最大值，并求出此时点E的坐标；(3)若点P为x轴上任意一点，在(2)的结论下，求35PE PA+的最小值．22．已知抛物线2(0)y ax bx c a=++≠过点(1,0)A，(3,0)B两点，与y轴交于点C，=3OC．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)过点A作AM BC⊥，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当PBC∆面积最大时，求点P的坐标；(4)若点Q为线段OC上的一动点，问：12AQ QC+是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．23．如图，在平面在角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+13PC 的最小值；（2）在（1）中，当MN 取得最大值HF +FP +1/3PC 取得小值时，把点P 向上平移个22单位得到点Q ，连结AQ ，把∠AOQ 绕点O 瓶时针旋转一定的角度α（0°<α<360°），得到∠AOQ ，其中边AQ 交坐标轴于点C 在旋转过程中，是否存在一点G 使得''Q Q OG ∠=∠？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．24．已知抛物线2y x bx c =-+（b c ，为常数，0b >）经过点(1,0)A -，点(,0)M m 是x 轴正半轴上的动点．（∠）当2b =时，求抛物线的顶点坐标；（∠）点(,)D D b y 在抛物线上，当AM AD =，5m =时，求b 的值；（∠）点1(,)2Q Q b y +在抛物线上，当22AM QM +的最小值为3324时，求b 的值．25．如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A(-4，-4)，B(0，4)两点，直线AC：y=-1x-6交y轴与点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF∠x轴交AC于点F，2交抛物线于点G.（1）求抛物线y=-x2+bx+c的表达式；（2）连接GB、EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）∠在y轴上存在一点H，连接EH、HF，当点E运动到什么位置时，以A、E、F、H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E、H的坐标；∠在∠的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为∠E上一动点，求12AM+CM的最小值.26．如图，已知抛物线()()248k y x x =+-（k 为常数，且0k >）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与ｙ轴交于点C ，经过点B 的直线33yx b 与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与∠ABC 相似，求k 的值；（3）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止．当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少．参考答案：1．A【解析】【分析】过点P作PJ∠BC于J，过点D作DH∠BC于H．根据()22222PD PC PD PC PD PJ⎛⎫+=+=+⎪⎪⎝⎭，求出DP PJ+的最小值即可解决问题．【详解】解：过点P作PJ∠BC于J，过点D作DH∠BC于H．∠二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），∠c＝﹣3，∠二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∠A（﹣1，0），B（0，-3），∠OB＝OC＝3，∠∠BOC＝90°，∠∠OBC＝∠OCB＝45°，∠D（0，1），∠OD＝1，BD＝4，∠DH∠BC，∠∠DHB＝90°，设DH x=，则BH x=,∠222DH BH BD+=，∠2224x x+=，∠22x=，∠22DH ＝，∠PJ ∠CB ，∠90PJC ∠︒＝，∠22PJ PC ＝， ∠()22222PD PC PD PC PD PJ ⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭， ∠DP PJ DH +≥，∠22DP PJ +≥，∠DP +PJ 的最小值为22，∠2PD PC +的最小值为4．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．2．B【解析】【分析】作点A 关于BC 的对称点A'，连接AA', A'D,过D 作DE∠AC 于E ，易得2DE = CD ，AD= A'D ，从而得出AD+ DE = A'D+ DE ，当A'，D, E 在同一直线上时，AD + DE 的最小值等于A' E 的长是3，进而求出2AD 十CD 的最小值．【详解】如图所示，作点A 关于BC 的对称点A',连接AA', A'D,过D 作DE∠AC 于E∠∠BAC = 90o ，∠B = 60o ，AB= 2∠BH=1,AH=3,AA'=23，∠C= 30o∠DE =12CD,即2DE = CD∠A 与A'关于BC 对称∠AD= A'D∠AD+ DE = A'D+ DE∠当A'，D, E 在同一直线上时AD + DE的最小值等于A' E的长,在Rt∠AA' E中：A' E= sin60o×AA'=32×23= 3∠AD十DE的最小值为3∠2AD十CD的最小值为6故选B【点睛】本题主要考察了三角形的动点最值问题，做完辅助线后先求出AD + DE的最小值是解题关键．3．5【解析】【分析】因为DG＝12EF＝2，所以G在以D为圆心，2为半径圆上运动，取DI＝1，可证∠GDI∠∠CDG，从而得出GI＝12CG，然后根据三角形三边关系，得出BI是其最小值【详解】解：如图，在Rt∠DEF中，G是EF的中点，∠DG＝122EF ，∠点G 在以D 为圆心，2为半径的圆上运动，在CD 上截取DI ＝1，连接GI ，∠DI DG ＝DG CD＝12， ∠∠GDI ＝∠CDG ，∠∠GDI ∠∠CDG ，∠IG DI CG DG=＝12， ∠IG ＝12CG ， ∠BG +12CG ＝BG +IG ≥BI ， ∠当B 、G 、I 共线时，BG +12CG 最小＝BI ， 在Rt∠BCI 中，CI ＝3，BC ＝4，∠BI ＝5，故答案是：5．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点G 的运动轨迹是解题的关键．4．3332+##3332+ 【解析】【分析】作∠OCE =120°，过点P 作PG ∠CE 于点G ，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得PG =32PC ；当A 、P 、G 在同一直线时，AP +32PC = AP +PG = AG 的值最小，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．【详解】解：∠点A 、C 的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，∠OA =3，OC =3，作∠OCE =120°，∠∠OCB =60°，则∠OCB =∠BCE =∠FCE =60°，过点P 作PG ∠CE 于点G ，如图：在Rt△PCG中，∠PCG=60°，则∠CPG=30°，∠CG=12PC，由勾股定理得PG=32PC，∠AP+32PC= AP+PG，当A、P、G在同一直线时，AP+PG= AG的值最小，延长AG交y轴于点F，∠∠FCG=60°，∠CGF=90°，∠∠CFG=30°，∠CF=2CG，GF=32CF，在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OF A=30°，∠AF=2OA=6，OF=333OA=，∠CF=OF-OC=333-，∠GF=32(333-)=93322-，∠AG=AF-FG=93333362222-+=+，即AP+32PC的最小值为33322+．故答案为：3332+．【点睛】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，作出合适的辅助线，得到当A、P、G在同一直线时，AP+32PC= AP+PG= AG的值最小是解题的关键．5．4【解析】【分析】【详解】思路引领：过P作PD∠AB于D，依据∠AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，进而得到∠BDP是等腰直角三角形，故PD22=PB，当C，P，D在同一直线上时，CD∠AB，PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论．答案详解：如图所示，过P作PD∠AB于D，∠直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，∠A（0，﹣3），B（3，0），∠AO＝BO＝3，又∠∠AOB＝90°，∠∠AOB是等腰直角三角形，∠∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，∠∠BDP是等腰直角三角形，∠PD22=PB，∠2PC+PB2=（PC22+PB）2=（PC+PD），当C，P，D在同一直线上，即CD∠AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，此时，∠ACD是等腰直角三角形，又∠点C（0，1）在y轴上，∠AC ＝1+3＝4，∠CD 22=AC ＝22， 即PC +PD 的最小值为22，∠2PC +PB 的最小值为222⨯=4，故答案为：4．6．3【解析】【分析】【详解】思路引领：在射线AB 的下方作∠MAB ＝30°，过点E 作ET ∠AM 于T ，过点C 作CH ∠AM 于H ．易证ET 12=AE ，推出12AE +EC ＝CE +ET ≥CH ，求出CH 即可解决问题． 答案详解：∠四边形ABCD 是矩形，∠∠B ＝90°，∠tan∠CAB 33CB AB ==， ∠∠CAB ＝30°，∠AC ＝2BC ＝23，在射线AB 的下方作∠MAB ＝30°，过点E 作ET ∠AM 于T ，过点C 作CH ∠AM 于H ． ∠ET ∠AM ，∠EAT ＝30°，∠ET12=AE，∠∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝23，∠CH＝AC•sin6°＝2332⨯=3，∠12AE+EC＝CE+ET≥CH，∠12AE+EC≥3，∠12AE+EC的最小值为3，故答案为3．7．6+23326+【解析】【分析】（1）过点A作AH∠BC于H，根据∠BAC＝75°，∠C＝60°，即可得到（2）过点B作BJ∠AC于J，作点F关于AB的对称点M，点F关于BC的对称点N，连接BM，BN，BJ，MN，MN交AB于E′，交BC于D′，此时∠FE′D′的周长＝MN的长，然后证明∠BMN是等腰直角三角形，BM的值最小时，MN的值最小，再根据垂线段最短可知，当BF与BJ重合时，BM的值最小，由此求解即可.【详解】解：∠如图，过点A作AH∠BC于H．∠∠AHB=∠AHC=90°，∠∠BAC＝75°，∠C＝60°，∠∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝45°，∠HAC=30°∠BH=AH，122HC AC==∠2223AH AC HC=-=∠AH＝BH＝23，∠BC＝BH+CH＝23+2，∠S△ABC＝12•BC•AH＝12•（23+2）3＝6+23．∠如图，过点B作BJ∠AC于J，作点F关于AB的对称点M，点F关于BC的对称点N，连接BM，BN，BJ，MN，MN交AB于E′，交BC于D′，此时∠FE′D′的周长＝MN的长．∠BF＝BM＝BM，∠ABM＝∠ABJ，∠CBJ＝∠CBN，∠∠MBN＝2∠ABC＝90°，∠∠BMN是等腰直角三角形，∠BM的值最小时，MN的值最小，根据垂线段最短可知，当BF与BJ重合时，BM的值最小，∠21243==334ABCSBJAC+=+△,∠MN的最小值为2BJ＝326+，∠∠DEF的周长的最小值为326+．故答案为：6+23，326+．【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，垂线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.8．5【解析】【分析】连接AC 、AQ ，先证明∠BCP ∠∠ACQ 得22AQ BP =即AQ ＝2，在AD 上取AE ＝1，证明∠QAE ∠∠DAQ 得EQ ＝12QD ，故12DQ +CQ ＝EQ +CQ ≥CE ，求出CE 即可． 【详解】解：如图，连接AC 、AQ ，∠四边形ABCD 是正方形，PC 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ，∠∠ACB ＝∠PCQ ＝45°，∠∠BCP ＝∠ACQ ，cos∠ACB ＝22BC AC =，cos∠PCQ ＝22PC QC =， ∠∠ACB =∠PCO ，∠∠BCP ∠∠ACQ ，∠22AQ BP = ∠BP ＝2，∠AQ ＝2，∠Q 在以A 为圆心，AQ 为半径的圆上，在AD 上取AE ＝1，∠12AE AQ =，12AQ AD =，∠QAE ＝∠DAQ ， ∠∠QAE ∠∠DAQ ，∠12EQ QD =即EQ ＝12QD ， ∠12DQ +CQ ＝EQ +CQ ≥CE ，连接CE ，∠225CE DE CD =+=，∠12DQ +CQ 的最小值为5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键在于能够连接AC、AQ，证明两对相似三角形求解.9．43【解析】【分析】如图，过点A作AT∠BC于T，过点M作MH∠BC于H，根据菱形的性质和30°角的直角三角形的性质可得MH＝12BM，于是可得AM+12BM的最小值即为AT的长，再利用解直角三角形的知识求解即可．【详解】解：如图，过点A作AT∠BC于T，过点M作MH∠BC于H．∠四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∠∠DBC＝12∠ABC＝30°，∠MH∠BC，∠∠BHM＝90°，∠MH＝12BM，∠AM+12BM＝AM+MH，∠AT∠BC，∠∠ATB＝90°，∠AT＝AB•sin60°＝43，∠AM+MH≥AT，∠AM+MH≥43，∠AM+1BM≥43，2BM的最小值为43，∠AM+12故答案为：43．【点睛】本题考查了菱形的性质、30°角的直角三角形的性质、垂线段最短以及解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识、明确解答的方法是解题关键．10．6【解析】【分析】过点P作PE∠AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E AB∠CD，推出PE=12三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=12 AB=3，得到2PB+ PD的最小值等于6.【详解】过点P作PE∠AD交AD的延长线于点E，∠四边形ABCD是平行四边形，∠AB∠CD，∠∠EDC=∠DAB＝30°，PD，∠PE=12PD）=2(PB+PE)，∠2PB+ PD=2（PB+12∠当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，∠∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∠PB+PE的最小值=1AB=3，2∠2PB+ PD的最小值等于6，故答案为：6.【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD 转化为三点共线的形式是解题的关键.11．45【解析】【分析】过点D 作DH AB ⊥于H ，过点C 作CM AB ⊥于M ，首先通过勾股定理及tan 2A =求出AE,BE 的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出CM BE =，然后通过锐角三角函数得出55DH BD =，进而可得出55CD BD CD DH +=+，最后利用CD DH CM +即可求值．【详解】解：如图，过点D 作DH AB ⊥于H ，过点C 作CM AB ⊥于M ．∠BE AC ⊥，∠90AEB =︒∠，∠tan 2BE A AE==， 设AE a =，2BE a =，222AB AE BE =+∠221004a a =+，∠220a =，∠25a =或25-（舍弃），∠245BE a ==，∠AB AC =，BE AC ⊥，CM AB ⊥，∠45CM BE ==（等腰三角形两腰上的高相等）∠DBH ABE ∠=∠，BHD BEA ∠=∠，∠5sin 5DH AE DBH BD AB ∠===， ∠55DH BD =， ∠55CD BD CD DH +=+，∠CD DH CM +，∠5455CD BD +， ∠55CD BD +的最小值为45, 故答案为：45．【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键．12．649【解析】【详解】过点E 作EF ∠AB ，过点A 作AH ∠EF 于点H ，交EF 于点D ，易知A （-1，0），B （3，0），又4tan 3EBA ∠=，则4:43BE l y x =-+，所以E （73-，649）， 因为EF ∠AB ，所以∠DEH =∠ABE ，所以4tan 3DEH ∠=，则4sin 5DH DEH DE ∠==，故1.25DE DH =. 蚂蚁从A 到H 所用的时间t =1 1.25AD DE +=1AD DH AD DH AH +=+=. 因为AH =649，所以t 的最小值是649.点晴：本题是一个求最小时间的胡不归问题，解题的关键是化12v DE v =DH ，一般的以目的地E 为角的顶点，以12sin v BEF v ∠=构造直角三角形，得到直角边EF ，再过A 作AH ∠EF 交BE 于点D ，则可解决问题. 13．(1)直线AD 是∠ABC 的自相似分割线；(2)当点P 运动到D 点时，P A +PC 的值最小，此时512PA PC ++=； (3)∠QAC 的正弦值为514+ 【解析】【分析】（1）根据定义证明∠DBA ∠∠ABC 即可得证；（2）根据垂直平分线的性质可得PA PC PB PC BC +=+≥，当点P 与D 重合时，PA PC PB PC BC +=+=,此时PA PC +最小，设BD x =，则1BC x =+ 根据DBA ABC ∽，列出方程，解方程求解即可求得BD ，进而即可求得BC 的长，即PA PC +最小值；（3）过点A 作AH BC ⊥于点H ，过点Q 作QG BC ⊥于点G ，连接AG ，设CF 与AD 交于点M ，根据已知条件求得514GQ CQ -=，进而转化为514AQ CQ AQ GQ -+=+，则当Q 点落在AG 上时，点G 与点H 重合，此时514AQ CQ -+的值最小，最小值为AH ，进而根据sin sin CH QAC HAC AC ∠=∠=求解即可． (1)∠∠ABC 中，AB =AC =1，∠BAC = 108°∠∠B =∠C =12（180°-∠BAC ）= 36° ∠DE 垂直平分AB∠AD = BD∠∠B =∠BAD = 36°∠∠C =∠BAD又∠∠B =∠B∠∠DBA ∠∠ABC∠直线AD 是∠ABC 的自相似分割线．(2)如图，连接PB ，AD ，DE 垂直平分AB ，PA PB ∴=PA PC PB PC BC ∴+=+≥ 当点P 与D 重合时，PA PC PB PC BC +=+=,此时PA PC +最小， 72ADC B BAD ∠=∠+∠=︒，72DAC BAC BAD ∠=∠-∠=︒ ADC DAC ∴∠=∠1CD CA ∴==设BD x =，则1BC x =+ DBA ABC ∽ BD AB AB BC∴= 111x x ∴=+ 210x x ∴+-=解得：152x -±=0x x ∴=152-+ 5112BC x +∴=+= ∴P A +PC =512+ ∴当点P 运动到D 点时，P A +PC 的值最小，此时512PA PC ++=； (3)如图，过点A作AH BC⊥于点H，过点Q作QG BC⊥于点G，连接AG，设CF与AD交于点M，AB AC=，15124CH BC+∴==由（2）知，1DC AC==CF平分ACB∠CM AD∴⊥15124DM AM AD-===sinGQMCDCQ∴∠=514DMCD-==514GQ CQ-∴=514AQ CQ AQ GQ AG-∴+=+≥AG AH≥Q∴点落在AG上时，点G与点H重合，即此时514AQ CQ-+的值最小，最小值为AHQAC HAC∴∠=∠,AB AC AH BC=⊥15124CH BC+∴==51sin sin4CHQAC HACAC+∴∠=∠==∴∠QAC的正弦值为514+【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求角的正弦，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，胡不归问题，转化线段是解题的关键．14．(1)见解析(2)2或6(3)1152- 【解析】【分析】（1）由“SAS ”可证∠ABE ∠∠CBF ；（2）由“SSS ”可证∠ADE ∠∠ABE ，可得∠DAE ＝∠BAE ＝45°，可证AH ＝EH ，由勾股定理可求BE 的长，即可求解；（3）先确定点P 的位置，过点B 作BQ ∠CF 于Q ，由勾股定理可求CE 的长，由平行线分线段成比例可求解．(1)证明：∠四边形ABCD 是正方形，∠AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，∠∠EBF ＝90°＝∠ABC ，∠∠ABE ＝∠CBF ，又∠BE ＝BF ，AB ＝BC ，在∠ABE 和∠CBF 中， AB CB ABE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABE ∠∠CBF （SAS ）；(2)解：如图2，过点E 作EH ∠AB 于H ，∠∠ABE∠∠CBF，∠S△ABE＝S△CBF，∠AD＝AB，AE＝AE，DE＝BE，∠∠ADE∠∠ABE（SSS），∠∠DAE＝∠BAE＝45°，∠EH∠AB，∠∠EAB＝∠AEH＝45°，∠AH＝EH，∠BE2＝BH2+EH2，∠10＝EH2+（4﹣EH）2，∠EH＝1或3，当EH＝1时∠S△ABE＝S△BCF＝12AB×EH＝12×4×1＝2，当EH＝3时∠S△ABE＝S△BCF＝12AB×EH＝12×4×3＝6，∠S△BCF的值是2或6；(3)解：如图3，过点P作PK∠AE于K，由（1）同理可得∠ABE∠∠CBF，∠∠EAB＝∠BCF，∠∠BAE+∠CAE+∠ACB＝90°，∠∠BCF+∠CAE+∠ACB＝90°，∠∠AGC＝90°，∠∠AGC＝∠ADC＝90°，∠点A，点G，点C，点D四点共圆，∠∠ACD＝∠AGD＝45°，∠PK∠AG，∠∠PGK＝∠GPK＝45°，∠PK＝GK＝22PG，∠MP+22PG＝MP+PK，∠当点M，点P，点K三点共线时，且点E，点G重合时，MP+22PG值最小，即2 MP+PG最小，如图4，过点B作BQ∠CF于Q，∠BE＝BF＝10，∠EBF＝90°，BQ∠EF，∠EF＝25，BQ＝EQ＝FQ＝5，∠CQ＝2216511BC BQ-=-=，∠CE＝CQ﹣EQ＝115-，∠MK∠AE，CE∠AE，∠MK∠CE，∠DM MPDC CE=，又∠M是CD的中点，∠DC＝2DM，∠MP＝12CE＝1152-．【点睛】本题主要考查勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质，熟练掌握勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质是解题的关键．15．（1）S△ABC=23；（2）点F坐标为（1，433）；PF＋22OP的最小值为26232+．【解析】【分析】（1）根据l1的解析式可得A、B坐标，把点B坐标代入y＝﹣3x＋b可求出b值，进而可得出点C坐标，即可求出AC、OB的长，利用三角形面积公式即可得答案；（2）如图，作点C关于直线l1的对称点C′，连接C′E，交l1于F，根据A、B、C坐标可得∠ABC是直角三角形，可得点C′在直线l2上，根据两点间距离公式可得出C′坐标，可得C′E为EF＋CF的最小值，利用待定系数法可得出直线C′E的解析式，联立直线C′E与l1解析式即可得出得F的坐标；作二、四象限对角线l3，过点F作FG∠l3于G，交y轴于P，可得∠GOP=45°，可得PG=22OP，可得FG为PF＋22OP的最小值，过点F作FQ∠x轴，交l3于Q，可得∠FGQ为等腰直角三角形，可得FG=22FQ，由l3的解析式为y=-x及点F的坐标可得点Q坐标，进而可得FQ的长，即可得FG的长，可得答案．【详解】（1）∠l1：y＝33x＋3，∠当x=0时，y=3，当y=0时，x=-3，∠A（-3，0），B（0，3），∠点B直线l2：y＝﹣3x＋b上，∠b=3，∠直线l2的解析式为y＝﹣3x＋3，∠当y=0时，x=1，∠C（1，0），∠AC=4，OB=3，∠S△ABC=12AC OB⋅=1432⨯⨯=23．（2）如图，作点C关于直线l1的对称点C′，连接C′E，交l1于F，∠A（-3，0），B（0，3），C（1，0），∠AB2=（-3）2+（3）2=12，BC2=12+（3）2=4，AC2=42=16，∠AC 2=AB 2+BC 2，∠∠ABC 是直角三角形，∠点C ′在直线l 2上，∠点C 与点C ′关于直线l 1的对称，∠CC ′=2BC =4，设点C ′（m ，﹣3m ＋3，）∠（m -1）2+（﹣3m ＋3）2=42，解得：m 1=-1，m 2=3，∠点C ′在第二象限，∠m =-1，∠﹣3m ＋3=23，∠FC=FC′，∠EF ＋CF =EF+FC′，∠当C ′、F 、E 三点共线时EF ＋CF 的值最小，设直线C ′E 的解析式为y =kx +b ，∠2350k b k b ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩， 解得：33533k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∠直线C ′E 的解析式为35333y x =-+， 联立直线C ′E 与l 1解析式得35333333y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 解得：1433x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∠F （1，433）． 如图，作二、四象限对角线l 3，过点F 作FG ∠l 3于G ，交y 轴于P ，过点F 作FQ ∠x 轴，交l 3于Q ，∠直线l3的解析式为y=-x，∠GOP=45°，∠∠GOP是等腰直角三角形，∠PG=22OP，∠G、P、F三点共线时，PF＋22OP的值最小，最小值为FG的长，∠∠GOP=45°，∠POE=90°，∠∠EOQ=45°，∠∠FQO=45°，∠∠FGQ是等腰直角三角形，∠FG=22FQ，∠F（1，433），直线l3的解析式为y=-x，∠Q（1，-1），∠FQ=433-（-1）=433+1，∠FG=22FQ=22×（433+1）=26232+，∠PF＋22OP的最小值为26232+．【点睛】本题考查一次函数的综合、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式及轴对称的性质是解题关键．16．（1）33y x=-+；（2）F（1，433），PF+22OP的最小值为22623+；【解析】【分析】（1）求出B（0，3），再由OC=BO•tan30°=1，求出C（1，0），再由待定系数法求直线解析式即可；（2）先确定∠ABC=90°，则可知C点关于直线l2的对称点C'在l2上，过点C'作C'K∠y轴交K点，易证△C'KB∠∠COB（AAS），则C'的纵坐标为23，即可求C'（-1，23），连接C'E交l1于F，因为EF+CF=EF+C'F≥C'E，所以当C'、E、F三点共线时，EF+CF的值最小为C'E；当P、F、Q三点共线时，PF+22OP的值最小，过F作FG∠x轴交l3，于点G，易证△FQG为等腰直角三角形，然后求出最小值即可．【详解】解：（1）令x=0，则y=3，∠B（0，3），∠OB=3，∠∠OBC=30°，∠OC=BO•tan30°=3×313=，∠C（1，0），设直线l2的解析式为y=kx+b，则3bk b⎧=⎪⎨+=⎪⎩，∠33kb⎧=-⎪⎨=⎪⎩，∠直线l2的解析式为33y x=-+；（2）令y=0，则3303x+=，∠x=-3，∠A（-3，0），∠OA=3，∠tan∠ABO=333AOBO==，∠∠ABO=60°，∠∠ABC=90°，∠C点关于直线l1的对称点C'在l2上，如图1，过点C '作C 'K ∠y 轴交K 点，∠∠KBC '=∠CBO ，∠C 'KB =∠BOC ，BC =BC '，∠∠C 'KB ∠∠COB （AAS ），∠BK =BO =3，∠C '的纵坐标为23，∠3323x -+=，∠x =-1，∠C '（-1，23），连接C 'E 交l 1于F ，∠EF +CF =EF +C 'F ≥C 'E ，∠当C '、E 、F 三点共线时，EF +CF 的值最小为C 'E ，设直线C 'E 的解析式为y =kx +b ，∠E （5，0），C '（-1，23），则5023k b k b +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， ∠33533k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∠35333y x =-+，∠35333333y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 解得x =1，∠F （1，433）， 作第二、四象限的角平分线l 3，，过点F 作FQ ∠l 3，，交y 轴于点P ，交l 3，于点Q ， 在Rt △PQO 中，∠POQ =45°，∠22OP PQ =， ∠PF +22OP =PF +PQ ≥FQ ， 当P 、F 、Q 三点共线时，PF +22OP 的值最小， 过F 作FG ∠x 轴交l 3，于点G ，∠∠FQG 为等腰直角三角形，∠FQ =22FG ， ∠l 3，的解析式为y =-x ，∠G （1，-1），∠FG =1+433， ∠FQ =22+263， ∠PF +22OP 的最小值为22+263． 【点睛】本题考查一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象及性质，通过构造坐标象限的角平分线将22PF OP 转化为求FQ 的长是解（2）问的关键，数形结合，利用坐标平移的性质是解题关键．17．（1）3b =；（2）237(,)33M ；（3）92 【解析】【分析】（1）利用矩形的性质，用b 表示点E 的坐标，再利用待定系数法即可求解；（2）首先求出四边形OAED 的面积，再根据条件求出ODM △的面积，即可解决问题；（3）过点M 作MN x ⊥轴交于点N ，则12OM MF OM MN +=+，即可转化为求OM MN +的最小值，作点O 关于一次函数的对称点O '，过点O '作x 轴的垂线交x 轴于点N '，交一次函数于点M ，即OM MN +的最小值为O N ''，算出长度即可．【详解】（1）在33y x b 中，令0x =，则y b =， ∴点D 的坐标为(0,)b ，OD BE =，(23,4)B ，(23,4)E b ∴-，把(23,4)E b -代入33yx b 中得：34233b b -=-⨯+， 解得：3b =； （2）由（1）得一次函数为333y x =-+，(0,3)D ，(23,1)E ， 3OD ∴=，1AE =，23=OA ，11=()(31)234322OADE S OD AE OA ∴+⋅=⨯+⨯=四边形， ODM ∆的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3， ODM 的面积与四边形OADE 的面积之比为1:4，134ODM OADE S S ∴==四边形， 设点M 的横坐标为a ，则1332a ⨯=， 解得：233a =， 把233x =代入333y x =-+中得：73y =， 237(,)33M ∴； （3）如图所示，过点M 作MN x ⊥轴交于点N ， 30DFO ∠=，12MN MF ∴=， 12OM MF OM MN ∴+=+，作点O 关于一次函数的对称点O '，且OO’与直线DF 交于Q 点，过点O '作x 轴的垂线交x 轴于点N '，OM O M '∴=，12OM MF OM MN O M MN '∴+=+=+，当O '、M 、N 在同一直线时O M MN '+最小，即12OM MF OM MN O M MN '+=+=+的最小值为O N ''，30DFO ∠=︒，60ODF ∴∠=︒，30DOQ ∠=︒，903060O ON ''∠=︒-︒=︒，在Rt ODQ 中，333sin 60322OQ OD =⋅︒=⨯=， 233OO OQ ∴=='，在Rt ON O ''中．39sin 603322O N OO =︒='⨯=''， 12OM MF ∴+的最小值为92．【点睛】本题考查几何图形与函数的综合题，包括一次函数、矩形的性质、四边形的面积，解直角三角形以及胡不归问题，属于中考压轴题． 18．（1）y =32（x 12-）2938-，（12，938-）；（2）（12，72）或（12，72-）或（12，153+2-）或（12，1532--）或（12，36-）；（3）334【解析】 【分析】 【详解】思路引领：（1）将A 、B 、C 三点的坐标代入y ＝ax 2+bx +c ，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式，进而得到其顶点坐标；（2）当以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为菱形时，分三种情况：∠以A 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM ＝AB ；∠以B 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM ＝AB ；∠线段AB 的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM ＝BM ，分别列出方程，求解即可；（3）连接AB ，作DH ∠AB 于H ，交OB 于P ，此时12PB +PD 最小．最小值就是线段DH ，求出DH 即可．答案详解：（1）由题意03420a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩，解得 32323a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎪⎩，∠抛物线解析式为y 32=x 232-x 3-， ∠y 32=x 232-x 332-=（x 12-）2938-，∠顶点坐标（12，938-）； （2）设点M 的坐标为（12，y ）．∠A （﹣1，0），B （0，3-）， ∠AB 2＝1+3＝4．∠以A 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM ＝AB ， 则（12+1）2+y 2＝4，解得y ＝±72，即此时点M 的坐标为（12，72）或（12，72-）；∠以B 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM ＝AB ， 则（12）2+（y 3+）2＝4，解得y 1532=-+或y 1532=--，即此时点M 的坐标为（12，1532-+）或（12，1532--）；∠线段AB 的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM ＝BM ， 则（12+1）2+y 2＝（12）2+（y 3+）2，解得y 36=-，即此时点M 的坐标为（12，36-）．综上所述，满足条件的点M 的坐标为（12，72）或（12，72-）或（12，1532-+）或（12，1532--）或（12，36-）；（3）如图，连接AB ，作DH ∠AB 于H ，交OB 于P ，此时12PB +PD 最小．理由：∠OA ＝1，OB 3=，∠tan∠ABO 33OA OB ==， ∠∠ABO ＝30°， ∠PH 12=PB ， ∠12PB +PD ＝PH +PD ＝DH ， ∠此时12PB +PD 最短（垂线段最短）．在Rt∠ADH 中，∠∠AHD ＝90°，AD 32=，∠HAD ＝60°， ∠sin60°DHAD=， ∠DH 334=， ∠12PB +PD 的最小值为334． 19．3 【解析】 【分析】【详解】思路引领：(胡不归经典)作∠BON ＝∠AOB ＝30°，过点M 作MC ∠ON 于点C ，交OB 于点D ′，当MC ∠ON 时，（此时点D ′即为点D ）MD 12+OD ＝MD +CD 的值最小，最小值是CM的长，答案详解：如图，作∠BON ＝∠AOB ＝30°，过点M 作MC ∠ON 于点C ，交OB 于点D ′，∠CD ′12=OD ′ 所以当MC ∠ON 时，（此时点D ′即为点D ）MD 12+OD ＝MD +CD 的值最小，最小值是CM 的长，∠在Rt∠OCM 中，∠OMC ＝30°，OM ＝2 ∠OC ＝1， ∠CM 3=．答：MD 12+OD 的最小值为3．20．（1）241620999x x -++；（2）∠32；∠245【解析】 【分析】 【详解】思路引领：（1）设抛物线的解析式为：y ＝a （x +1）（x ﹣5），可得对称轴为直线x ＝2，由锐角三角函数可求点C 坐标，代入解析式可求解析式；（2）∠先求出直线BC 解析式，设P （2，t ），可得点E （534-t ，t ），点2315244F t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，可求EF 的长，由三角形面积公式和二次函数性质可求解；∠根据图形的对称性可知∠ACD ＝∠BCD ，AC ＝BC ＝5，过点P 作PG ∠AC 于G ，可得PG35=PC ，可得35PC PB PG PB +=+，过点B 作BH ∠AC 于点H ，则PG +PB ≥BH ，即BH 是35PC +PB 的最小值，由三角形面积公式可求解． 答案详解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：y ＝a （x +1）（x ﹣5）， ∠抛物线的对称轴为直线x ＝2， ∠D （2，0）， 又∠43CDtan CBD DB∠==， ∠CD ＝BD •tan∠CBD ＝4， 即C （2，4），代入抛物线的解析式，得4＝a （2+1）（2﹣5）， 解得 49a =-，∠二次函数的解析式为 ()()441599y x x =-+-=-x 2162099x ++； （2）∠设P （2，t ），其中0＜t ＜4， 设直线BC 的解析式为 y ＝kx +b ，∠0542.k b k b =+⎧⎨=+⎩，， 解得 4320.3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线BC 的解析式为 42033y x =-+，令y ＝t ，得：354x t =-，∠点E （534-t ，t ），把354x t =- 代入()()4159y x x =-+-，得 24t y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2315244F t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， ∠221244t EF t t t t ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，∠∠BCF 的面积12=⨯EF ×BD 32=（t 24t -）()223334(2)882t t t =--=--+，∠当t ＝2时，∠BCF 的面积最大，且最大值为32；∠如图，据图形的对称性可知∠ACD ＝∠BCD ，AC ＝BC ＝5，∠35AD sin ACD AC ∠==， 过点P 作PG ∠AC 于G ，则在Rt∠PCG 中，35PG PC sin ACD PC =⋅∠=，∠35PC PB PG PB +=+， 过点B 作BH ∠AC 于点H ，则PG +PB ≥BH ， ∠线段BH 的长就是35PC PB +的最小值，∠11641222ABCSAB CD =⨯⨯=⨯⨯=， 又∠1522ABCSAC BH BH =⨯⨯=， ∠5122BH =， 即245BH =， ∠35PC PB +的最小值为245．21．(1)21322y x x =--；1122y x =+；(2)ACE ∆的面积最大值是2516，此时E 点坐标为315,28⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)35PE PA +的最小值是3.【解析】 【分析】(1)先写出平移后的抛物线解析式，再把点()1,0A -代入可求得a 的值，由ABD ∆的面积为5可求出点D 的纵坐标，代入抛物线解析式可求出横坐标，由A 、D 的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式； (2)作EMy 轴交AD 于M ，如图，利用三角形面积公式，由ACE AME CME S S S ∆∆∆=-构建关。
备考2024年中考数学专题突破(全国通用)专题2-5 最值模型之阿氏圆与胡不归(原卷版)
专题2-5最值模型之阿氏圆与胡不归知识点梳理模块一胡不归模型【题型1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线【题型2】胡不归模型·构造相关角再作垂线【题型3】胡不归模型·取最值时对其它量进行计算模块二阿氏圆模型【题型4】点在圆外：向内取点（系数小于1）【题型5】点在圆内：向外取点（系数大于1）【题型6】一内一外提系数【题型7】隐圆型阿氏圆知识点梳理一、胡不归模型讲解如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1＜V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V 的值最小．2MM121121=V AC BC BC AC V V V V，记12V k V ，即求BC ＋kAC 的最小值．构造射线AD 使得sin ∠DAN ＝k ，CH /AC ＝k ，CH ＝kA C ．将问题转化为求BC ＋CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC ＋CH 取到最小值，即BC ＋kAC 最小．二、阿氏圆模型讲解【模型来源】所谓阿圆，就是动点到两定点距离之比为定值，那么动点的轨迹就是圆，这个圆，称为阿波罗尼斯圆，简称为阿圆．其本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似．【模型建立】如图1所示，⊙O 的半径为R ，点A 、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知R ＝25OB ，连接PA 、PB ，则当“PA ＋25PB ”的值最小时，P 点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段OB上截取OC使OC＝25R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有25PB＝PC。
故本题求“PA＋25PB”的最小值可以转化为“PA＋PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA＋PC”值最小。
模块一胡不归模型【题型1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线2023·西安·二模2023·保定·一模2．如图，在矩形ABCD中，对角线2AM ．点P为线段OB（1）OBC2023·湘西·中考真题4．如图，AB AC ，A 为A D C ，在AD 最少时，D 的坐标为2023·江苏宿迁中考模拟5．如图，二次函数22y ax ax 23．点P 为直线l 上一动点，P ，再以每秒1个单位长度的速度沿2023·四川自贡·统考中考真题2023·成都市七中校考7．如图，在矩形ABCD 中，AB EF 翻折，点A 的对应点A 动点，则55EM A M的最小值为【题型2】胡不归模型·构造相关角再作垂线8．如图，在长方形ABCD 中，AB 2BE DE 的最小值为2023·广西二模9．如图所示，在ABC 中，30A ，M 为线段AB 上一定点，P 为线段AC 上一动点．当点P 在运动的过程中，满足12PM AP的值最小时，则APM ．10．如图，90ACB ，2AC ，4AB ，点P 为AB 上一点，连接PC ，则12PC PB的最小值为3．11．如图，AC 是圆O 的直径，4AC ，弧120BA ，点D 是弦AB 上的一个动点，那么12OD BD的最小值为()A ．32B ．3C ．312D ．1312．如图，在ABC 中，15A ，10AB ，P 为AC 边上的一个动点（不与A 、C 重合），连接BP ，则22AP PB 的最小值是()D．8A．B．C【题型3】胡不归模型·取最值时对其它量进行计算2023·广东深圳·统考三模15．如图，在△ACE中，（1）试说明CE是⊙O（2）若△ACE中AE边上的高为16．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，COD关于CD的对称图形为CED．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）连接AE ，若6AB cm ，BC ．①求sin EAD 的值；②若点P 为线段AE 上一动点（不与点A 重合），连接OP ，一动点Q 从点O 出发，以1/cm s 的速度沿线段OP 匀速运动到点P ，再以1.5/cm s 的速度沿线段PA 匀速运动到点A ，到达点A 后停止运动，当点Q 沿上述路线运动到点A 所需要的时间最短时，求AP 的长和点Q 走完全程所需的时间．17．抛物线2y x bx c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且(1,0)B ，(0,3)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，使点D 落在点D 处，且2DD CD ，点M 是平移后所得抛物线上位于D 左侧的一点，//MN y 轴交直线OD 于点N ，连结CN ．当5D N CN 的值最小时，求MN 的长．模块二阿氏圆模型【题型4】点在圆外：向内取点（系数小于1）18．如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．A B CDP19．如图，在Rt ABC 中，90ACB ，4CB ，6CA ，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ，BP ．求①12AP BP；②2AP BP ；③13AP BP ；④3AP BP 的最小值．B为______．DCBA22．如图，等边三角形ABC边长为43，圆O是△ABC的内切圆，P是圆O上一动点，连接PB、PC，则BP＋12CP的最小值为______________．CB23．如图，在平面直角坐标系中，M(6，3)，N(10，0)，A(5，0)，点P为以OA为半径的圆O上一动点，则PM＋12PN的最小值为_______________2023·山东烟台·统考中考真题25．如图1，抛物线y ＝ax 2＋(a ＋3)x ＋3与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，点E 是线段OA上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当MN NE ＝65时，求点E 的坐标；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE′，连接E′A 、E′B ，求E′A ＋23E′B 的最小值．yB O A EP MN 图1y B O AE P M N图2E′【题型5】点在圆内：向外取点（系数大于1）27．如图，∠AOB =90________．B A PO28．已知扇形COD 中，∠COD =90°，OC =6，OA =3，OB =5，点P 是弧CD 上一点，2PA +PB 的最小值为________．O DAB P C【题型6】一内一外提系数29．如图，在ABC 中，90ABC ，26AB BC ，1BD ，P 在以B 为圆心3为半径的圆上，则6AP PD 的最小值为【解答】解：在AB 上取点E ，使32BE ，26AB BC ∵， 12BP BE AB BP ，PBE ABP ∵，PBE ABP ∽， 12PE BP PA AB ，12PE PA，在BD 延长线上取9BF ，1BD ∵，则3BF BP PB BD，又PBD FBP ∵，PBD FBP ∽， 3PF PB PD BD，3PF PD ，162(3)2()2PA PD PA PD PE PF ， 当P 为EF 和圆的交点时PE PF 最小，即6PA PD 最小，且值为2EF ，3372EF ∵，6PA PD 的最小值为2EF故答案为：．30．如图，正方形ABCD 边长为4，L 是CD 的中点，Y 在C |YA 的最大值是YA的最小值是【题型7】隐圆型阿氏圆2023·咸阳·三模2023·宿迁·三模32．如图，在平面直角坐标系中，135APB，则33．如图，在Rt ABC中，90ACB，6AC ，8BC ，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且4DE ，P是DE的中点，连接PA，PB，则14PA PB的最小值为．35．如图，在平面直角坐标系中，(2,0)D，P是AOBB、(4,0)A、(0,2)C、(3,2)外部的第一象限内一动点，且135BPA的最小值是．，则2PD PC。
专题二、“胡不归”模型
专题二、“胡不归”模型[中考真题]（2019•（（（如图，平行四边形[思路解析]PD=PB+PE，则当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE．[考点提炼]胡不归问题，在初中数学里考的不多，分值一般在3分左右，这类问题对大多数同学来说，尤其是平时复习中接触较少，没有归纳过的同学，还是有一定难度的。
什么是胡不归？老师帮大家再回顾一下。
从前，有一个姓胡的小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况。
当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”。
这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”，一直到十七世纪中叶，才由法国著名科学家费马尔揭开了它的面纱。
“胡不归”模型如图，已知D 为射线AB 上一动点，∠BAC=30°，AC=32，当AD= 时，AD+2CD 取最小值为 .[解析]如图所示，过点A 作∠BAE=30°，过点D 作DG ⊥AE在Rt △ADG 中，AD=2DG ，∴AD+2CD=2DG+2CD=2（DG+CD ）过点C 作CH ⊥AE ，∵CD+DG ≥CH ，∴AD+2CD 的最小值为2CH.AD B C在Rt △ACH 中，CH=AC ·sin60°=3，AH=AC ·cos60°=√3在Rt △AD’H 中，AD’=AH cos30°=2,∴当AD=2时，AD+2CD 的最小值为6.[反思]“胡不归”模型是形如“m ·AD+n ·CD ”的“两定一动型”最值问题，其中A 、C 是定点，D 是动点，m 、n 均为正的常数；解决的关键是“两次系数化为1”：①若m 、n 均不为1，则提取较大系数，将其中一个系数先化为1,；②借助特殊角的三角函数值，构造一锐角，将另一个系数化为1，从而达到等线段转化的目的.最后利用“垂线段最短”即可解决问题.[举一反三]1、如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC=6，∠ABC=150°，则PA+PB+PD 的最小值为 .AP DC B A解：如图所示，过点A 作∠CAE=15°，过点P 作PH ⊥AE ，过点D 作DG ⊥AE.在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DAB+∠ABC=180°， ∵∠ABC=150°，∴∠DAB=30°，又∵∠BAC=21∠DAB=15°， ∴∠CAE=∠BAC+∠CAE=30°，∠DAE=45°，∴PH=21PA ， 又PB=PD ，∴PA+PB+PD=2PH+2PD=2（PH+PD ）∴当D 、P 、H 三点在同一直线且垂直于AE 时，PA+PB+PD 可取得最小值.即PA+PB+PD 的最小值2PG=2AD ·sin45°=2×6×22=62.2、如图，抛物线y=ax 2-2ax+c 的图象经过点C （0，-2），顶点D 的坐标为（1，（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC ，E 为直线AC 上一点，当△AOC ∽△AEB 时，求点E 的坐标和求出这个最小值．A（2（（（AC（（（（（（y=-2x -2（（（AOC（（AEB（AEB AOC S S ΔΔ=2)(AB AC =2)45(=165 ∵AOC S Δ=1∴516=ΔAEB S ∴58-,451621===×E E y AB y AB 则， ∴E （58-51-，） 由△AOC ∽△AEB 得:51==AB AE AC AO ∴55=AB AE（3）（（2（（（BF（（（F（FG（AC（G（当折线段BFG 与BE 重合时，取得最小值，由（2）可知∠ABE=∠ACO3、如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；（1）直线y=-5x+5，x=0时，y=5∴C（0，5）y=-5x+5=0时，解得：x=1∴A（1，0）∵抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点∴抛物线解析式为y=x2-6x+5当y=x2-6x+5=0时，解得：x1=1，x2=5∴B（5，0）（2）如图1，过点M 作MH ⊥x 轴于点H ∵A （1，0），B （5，0），C （0，5）∴AB=5-1=4，OC=5∴S △A BC =21AB•OC=21×4×5=10 ∵点M 为x 轴下方抛物线上的点∴设M （m ，m 2-6m+5）（1＜m ＜5）∴MH=|m 2-6m+5|=-m 2+6m-5∴S △A BM =21AB•MH=21×4（-m 2+6m-5）=-2m 2+12m-10=-2（m-3）2+8 ∴S 四边形A M BC =S △A BC +S △A BM =10+[-2（m-3）2+8]=-2（m-3）2+18∴当m=3，即M （3，-4）时，四边形AMBC 面积最大，最大面积等于18 如图2，在x 轴上取点D （4，0），连接PD 、CD∴BD=5-4=1∵AB=4，BP=2∴21==AB BP BP BD∵∠PBD=∠ABP∴△PBD ∽△ABP∴21==PB PD AP PD ∴PD=21AP ∴PC+21PA=PC+PD ∴当点C 、P 、D 在同一直线上时，PC+21PA=PC+PD=CD 最小 ∵CD=22OD OC +=41， ∴PC+21PA 的最小值为41.。
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中考数学专题复习之二——胡不归问题
从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”。
这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
例1.（2012崇安模拟），如图，ABC
∆在平面直角坐标系中，AB=AC，A(0，2
2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个过程运动时间最少，则点D的坐标应为-------------------------------------------------（）A.）
，
（2
0 B. ）
，
（
2
2
0 C. ）
，
（
3
2
0 D. ）
，
（
4
2
例2.（2016徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（-1，0），B（0，-3）、C（2，0），其中对称轴与x轴交于点D。
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PD
PB+
2
1
的最小值为。
（3）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点。
①若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个；
②连接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围。
A D
B
C
沙砾地带
练习巩固：
1.（2015无锡二模）如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC=6,∠ABC=150°,则PA+PB+PD 的最小值为 。
2.（2019长沙中考）在△ABC 中，AB=AC=10，tanA=2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD+√5
5BD 的最小值为------------------------------------------------------------------------（ ） A.2√5 B.4√5 C.5√5 D.16
3.（2015内江）如图，在ACE ∆中，CA=CE ，∠CAE=30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上。
（1）试说明CE 是⊙O 的切线。
（2）若ACE ∆中AE 边上的高为h,试用含 h 的代数式表示⊙O 的直径AB; （3）设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当
2
1
CD+OD 的最小值为6时，求⊙O 的AB 的长。
4．(2017广州)如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△COD 关于CD 的对称图形为△CED ．
（1）求证：四边形OCED 是菱形； （2）连接AE ，若AB=6cm ，BC=5cm ． ①求sin ∠EAD 的值；
②若点P 为线段AE 上一动点（不与点A 重合），连接OP ，一动点Q 从点O 出发，以1cm/s 的速度沿线段OP 匀速运动到点P ，再以1.5cm/s 的速度沿线段PA 匀速运动到点A ，到达点A 后停止运动．当点Q 沿上述路线运动到点A 所需要的时间最短时，求AP 的长和点Q 走完全程所需的时间．
5.（2015日照）如图，抛物线n mx x y ++=
221与直线32
1
+-=x y 交于A 、B 两点，交x 轴于D 、C 两点，连接AC 、BC ，已知A （0，3），C （3，0）。
（1）抛物线的函数关系式为 ，tan ∠BAC= 。
（2）P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出所有符合条件的P 点坐标，若不存在，请说明理由。
（3）设E 为线段AC 上一点（不含端点），连接DE ，一动点M 从点D 出发，沿线段DE 以每秒一个单位的速度运动到E 点，再沿线段EA 以每秒2个单位的速度运动到点A 后停止，当点E 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？
6.（2014成都）如图，已知抛物线）
＞为常数，0)(4)(2(8
k k x x k
y -+=
与x 轴从左至右依次交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线b x y +-
=3
3
与抛物线的另一个交点为D 。
（1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数关系式。
（2）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标为多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？
（3）若在第一象限内的抛物线上有点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求k 的值。
7.（2017徐州二模）二次函数c x ax y +-=22
图象与x 轴交于A 、C 两点，点C （3，0），与y 轴交于点B （0，-3）。
（1）=a ，=c ；
（2）如图①，P 是x 轴上一动点，点D （0，1）在y 轴上，连接PD ，求PC PD +2的最小值。
（3）如图②，点M 在抛物线上，若3=MBC S △，求点M 的坐标。
8.（2016随州）已知抛物线）0)(1)(3(≠-+=a x x a y ，与x 轴从左至右依次相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，经过点A 的直线b x y +-=3与抛物线的另一个交点为D 。
（1）若点D 的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为 。
（2）若在第三象限内的抛物线上有一点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标。
（3）在（1）的条件下，设点E 是线段AD 上一点（不含端点），连接BE ，一动点Q 从点B 出发，沿线段BE 以每秒1个单位的速度运动到点E ，再沿线段ED 以每秒3
3
2个单位运动到点D 停止，问当点E 的坐标为多少时，点Q 运动的时间最少？
x y
x
y
M
9.（2018徐州二模）二次函数y =√3x 2−6√3x +5√3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，连接BC 。
（1）直接写出点B 坐标 ，点C 坐标 。
（2）点P 是y 轴右侧抛物线上的一点，连接PB 、PC ，若△PBC 的面积为15√3，求点P 的坐标。
（3）设E 为线段BC 上一点（不含端点），连接AE ，一动点M 从点A 出发，沿线段AE 以每秒1个单位的速度运动到点E ，再沿线段EC 以每秒2个单位的速度运动到点C 后停止，当点E 的坐标为 时，点M 在整个运动中用时最少，最少用时 秒。
（4）若点Q 在y 轴上，当∠AQB 取最大值时，直接写出Q 点的坐标 。
10.（19徐州模拟）已知：如图，二次函数y =ax²+bx +c 的图象交x 轴于A （-1，0），交y 轴于点C （0，3），D 是抛物线的顶点，对称轴DF 经过x 轴上的点F （1，0）。
（1）求二次函数关系式；
（2）对称轴DF 与BC 交于点M ，点P 为对称轴DF 上一动点。
①求AP +
√5
5
PD 的最小值及取得最小值时点P 的坐标；
②在①的条件下，把△APF 沿着x 轴向右平移t 个单位长度(0≤t ≤4)时，设△APF 与△MBF 重叠部分的面
积为S ，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值。
y
x
O x y x y 备用图。