11.2第1课时 正弦定理(1)-【新教材】苏教版(2019)高中数学必修第二册课件
苏教版高中数学必修五第一学生教案第课时正弦定理(1)
听课随笔第2课时【学习导航】知识网络正弦定理→测量问题中的应用学习要求1．正弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；2．学会用计算器，计算三角形中数据。
【课堂互动】自学评价1．正弦定理：在△ABC 中，===C cB b A a sin sin sin R 2, 变形：（1）A R a sin 2=，_____________，________________.（2）RaA 2sin =，______________，________________.2．三角形的面积公式：（1）C ab s sin 21==_________=_________（2）s=C B A R sin sin sin 22 （3）Rabcs 4=【精典范例】【例1】 如图，某登山队在山脚Ａ处测得山顶Ｂ的仰角为３５°，沿倾斜角为２０°的斜坡前进１０００ｍ后到达Ｄ处，又测得山顶的仰角为６５°，求山的高度ＢＣ（精确到１ｍ）．分析：要求ＢＣ，只要求ＡＢ，为此考虑 解△ＡＢＤ． 【解】【例2】在埃及，有许多金字塔形的王陵，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了，考古人员在研究中测得一座金字塔的横截面如图（顶部已经坍塌了），∠A=050，∠B=055，AB=120m ，如何求得它的高？ （819.055sin ,766.050sin 0≈≈） 分析：本题可以转化成：（1）解三角形，确定顶点C ；（2）求三角形的高。
【解】【例3】一座拦水坝的横断面为梯形，如图所示，求拦水坝的横断面面积。
（请用计算器解答，精确到1.0） 【解】注：本题也可以构造直角三角形来解，过C 作CE ⊥AB 于E ，过D 作DF ⊥AB 于F 即可。
【例4】已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、 ∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积，若听课随笔【师生互动】学生质疑教师释疑a =4，b =5，S =35，求c 的长度。
苏教版高中数学必修五1.1正弦定理(一).docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第1章解三角形 §1.1 正弦定理(一)课时目标 1.熟记正弦定理的内容；2.能够初步运用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝______，A 2＋B 2＋C 2＝π2.2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝________，bc＝_______________________________.3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即______，这个比值是________________．一、填空题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于________．2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为____________．3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 的形状为________________． 4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为________． 5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于______________． 6．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝___________________________.7．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.8．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.9．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝______.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于________．二、解答题11．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．12．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形．能力提升13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．14．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，求ab的取值范围．1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况．A为锐角a<b sin A a＝b sin A b sin A<a<b a≥b无解一解(直角) 两解(一锐角，一钝角) 一解(锐角)A为直角或钝角a≤b a≤b无解一解(锐角)§1.1正弦定理(一)答案知识梳理1．π 2.sin A sin B 4.asin A＝bsin B＝csin C三角形外接圆的直径2R作业设计1．1∶3∶2 2．2 6解析由正弦定理asin A＝bsin B，得4sin 45°＝bsin 60°，∴b＝2 6.3．直角三角形解析sin2A＝sin2B＋sin2C⇔(2R)2sin2A＝(2R)2sin2B＋(2R)2sin2C，即a2＝b2＋c2，由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形．4．A>B解析由sin A>sin B⇔2R sin A>2R sin B⇔a>b⇔A>B.5．45°解析由asin A＝bsin B得sin B＝b sin Aa＝2sin 60°3＝22.∵a>b，∴A>B，B<60°∴B＝45°.6．75°解析 由正弦定理得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22. ∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角．∴A ＝45°.∴C ＝75°. 7.102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0°，180°)，∴sin A ＝1010.由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C ，∴AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102.8．1解析 由正弦定理，得3sin 2π3＝1sin B ，∴sin B ＝12.∵C 为钝角，∴B 必为锐角，∴B ＝π6，∴A ＝π6.∴a ＝b ＝1.9．30°解析 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°，∴sin (A ＋60°)＝2sin A即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°. 10．120°解析 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin (180°－30°－C)＝3sin (30°＋C)＝3⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C.∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.11．解 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C，∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∵C ＝180°－(A ＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3.12．解 a ＝23，b ＝6，a<b ，A ＝30°<90°. 又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a>b sin A ， 所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3. 所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3. 13.π6解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin (π4＋B)＝ 2.∴sin (π4＋B)＝1.又0<B<π，∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝2×222＝12. 又a<b ，∴A<B ，∴A ＝π6.14．解 在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C<90°， 即⎩⎪⎨⎪⎧B<90°，2B<90°，180°－3B<90°，∴30°<B<45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2Bsin B＝2cos B ∈(2，3)，故ab的取值范围是(2，3)．。
高一数学苏教版课件：余弦定理、正弦定理的应用
A，B两点之间的距离（精确到1m）.
重点探究
解：在△ADC中，∠ADC=85°，∠ACD=47°，则∠DAC=48°.
又DC=100m，由正弦定理，得 =
∙∠
∠
=
°
°
≈ . （m）
30 2
sin ACB
sin 45
3
10 6
3
，在 Rt
PCB
中， PCB 90 。 PBC 30 ，则
（m）所以建筑物的高度为10 6 m.故答案为：10
6
随堂练习
6．如图所示，为测算某自然水域的最大宽度（即 A，B 两点间的距离），现取与 A，B 两
点在同一平面内的两点 C，D，测得 C，D 间的距离为 1500 米，ADB 135 ，BDC DCA 15 ，ACB 120 ，
PB 2
30( 6 2)
6 2
4
，由正弦定理得： sin 30 sin15 ，
树的高度为 PB sin 45 30 (
6 2)
2
(30 30 3)
2
(m).故选：A．
，
随堂练习
2．已知轮船 A 和轮船 B 同时从 C 岛出发， A 船沿北偏东 30 的方向航行， B 船沿正北方向航行
. ( )所以AB≈57(m)
答：A，B两点之间的距离约为57m.
探究新知
核心知识点：二
高度问题
类型一：底部可达
如图，测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝
a·
tan C.
探究新知
类型二：底部不可达
第一种情况：点B与C，D共线
苏教版高中数学11.2正弦定理课件(28张)
【答案】
3 2
.
【详解】如图，
分别取 AB ， AC 的中点 D ， E ，连接OD ，OE ，则 AB OA AB 1 AB 1 c2 ； AC OA AC 1 AC 1 b2 ，因为
2
2
2
2
，设 cos B AB cosC AC 2OA
sin C
sin B
ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理可得 a b c 2R ，所以两边同 sin A sin B sin C
2
2
c cos B b cosC 2R
c
a2
c2 b2 2ac
b
a2
b2 c2 2ab
2 R
a 2R
.故答案为： . a sin A sin 3
3
2R
32
2
随堂练习
9．在
ABC
中，
A
0
π 2
，b
m．分别根据下列条件，求边长
a
的取值范围．
(1) ABC 有一解；
又 ，所以 ， ，则 mn sin 2C
sin 2C 2sin Ccos C sin C
0Cπ
sin C 0
所以cosC 1 ．又0 C π ，所以C π ；
2
3
（2）由已知sin Asin B 2sin C 及正弦定理得2c a b ．
因为CA AB AC CACB 18 ，所以 abcosC 18 ，所以 ab 36 ．
(2) ABC 有两解；
(3) ABC 无解．
随堂练习
【详解】（1）由正弦定理
a sin A
b sin B
可得，sin
B
b sin a
苏教版数学必修五1《正弦定理》ppt课件
步，下结论．
栏
(1)若所得值不在(0，1]内，则此三角形不存在．
目 链
接
(2)若所得值在(0，1]内，①若是特殊角的三角函数值，
求出所对应的角，注意用∠A＋∠B<180°判断解的
个数；②若所求角的三角函数值不是特殊值，则利用
单位圆中的三角ห้องสมุดไป่ตู้数线判断解的个数．
典例解析
栏 目 链
接
题型1 利用正弦定理解三角形
苏教版数学必修五
1．1 正弦定理
情景导入
栏 目 链
接
在雷达兵的训练中，有一个项目叫“捉鬼”(战士语)，即准确
地发现敌台的位置．在该项目训练中，追寻方的安排都是两
个小组作为一个基本单位去执行任务，用战士的话说就是两
条线(即两台探测器分别探出了敌台的方向)一交叉就把敌人给 栏
叉出来了，想藏想跑，门都没有．其实这里面不仅仅是两线
栏
目
当 C＝π3 时，B＝51π2 ，b＝assiinnAB＝ 3＋1；
链 接
当 C＝2π3 时，B＝π12，b＝assiinnAB＝ 3－1.
题型2 利用正弦定理进行边角转换题
例 3 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a
＝2bsin A，求角 B.
解析：由正弦定理sina
c＝sina A·sin C＝sin 425°·sin 15°＝
6－ 2
2 .
＝25( 6＋ 2)．
名师点评：已知三角形两边和其中一边的对角解三角 形时的方法．
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边 对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为
苏教版必修第二册112正弦定理课件_1
故选 A．
2．在△ABC 中，A＝60°，sin B＝12，a＝3，求三角形中其他边与角的大小． 解：因为 sin B＝12，所以 B＝30°或 150°，当 B＝30°时，由 A＝60°得 C＝ 90°；当 B＝150°时，不合题意，舍去． 所以由正弦定理sinb B＝sinc C＝sina A，得 b＝ssiinn AB·a＝ssiinn 3600°°×3＝ 3，c ＝ssiinn AC·a＝ssiinn 9600°°×3＝2 3.
2．在△ABC中，若(a－a cos B)sin B＝(b－c cos C)sin A，试判断△ABC的形 状． 解：因为(a－a cos B)sin B＝(b－c cos C)sin A， 所以a sin B－a cos Bsin B＝b sin A－c cos C sin A， 而由正弦定理可知a sin B＝b sin A，所以a cos B sin B＝c cos C sin A. 即sin A cos B sin B＝sin C cos C sin A， 所以cos B sin B＝sin C cos C，即sin 2B＝sin 2C， 所以2B＝2C或2B＋2C＝180°，即B＝C或B＋C＝90°， 故△ABC是等腰三角形或直角三角形．
1．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝3，b＝6，
sin A＝ 43，则 B＝(
)
A．π3
B．23π
√C．π3或23π
D．π6或56π
解析：因为
a＝3，b＝6，sin
A＝
43，所以由正弦定理可得
sin
B＝b
sin a
A＝
6× 3
3 4＝
23，又
sin
A＝
高一数学苏教版2019必修第二册同步备课课件112正弦定理(第2课时)
．
2
2
2
2
2
课堂总结
求边
求角
解三角形
求理
余弦定理
题型
求周长
判断三角形形状
解四边形
课堂达标
2 3
1．在△ABC 中，若 a＝c＝2，B＝120°，则边 b＝________.
2．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a2
60
＝b2－bc＋c2，则 A＝________.
(1)求 B ；(2)a = 1, c = 4，角 B 的平分线交 AC 于 D ，求 AD．
解：(1)由正弦定理及 2a cos B sin C c sin A 0 ，得 2ac cos B ac 0 ，
1
2
B
0,
π
B
π．
．因为
，所以
3
2
2π
2
2
2
2
b
a
c
2
ac
cos
,
cos A cos B cos C
tan A tan B tan C , 又A, B, C （0，），
A B C ,ABC为正三角形.
数学应用
变2.在 ABC中，若
a
cos
A.等腰三角形
A
2
b
cos
B
2
B.等腰直角三角形
c
cos
，则 ABC是( D )
C
2
C.直角三角形
的形状．
解:结合正弦定理及余弦定理知,原等式可化为
b2＋c2－a2
11.2正弦定理(第1课时)(课件)高一数学(苏教版2019必修第二册)
c
b c sin B
B
a
b
c
sin A sin B
sin C 1
a
b
c
sin A sin B sin C
结论:对于直角三角形，结论也成立
a
b
C
数学证明
在钝角三角形中
证明：作AD垂直BC于点D，则
A
sin =
, sin ∠ = sin ∠
∴ = sin
=
=
数学建构
正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
即
a
b
c
sin A sin B sin C
正弦定理是揭示三角形边、角之间数量关系的重要公式。
数学应用
例1. 在△ABC中，已知A=600，C=450，c=1，解三角形.
解：
A 60 , C 45, c 1
=
∴
sin
=
sin
c
= sin ∠
∴ b sin = sin
即同理可证
D
sin
=
sin
结论:对于钝角三角形，结论也成立
b
B
a
C
2、正弦定理的用法
活动体验
(多选)下列哪些条件可以直接使用正弦定理来解三角形？答案： (1)(2)
(1)
��
=
=
(2)
=
=
(3)
高中数学苏教版必修第二册第十一章《余弦定理、正弦定理的应用》示范公开课教学课件
如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号．我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为、距离为的处，并测得该渔轮正沿方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救．求舰艇的航向和靠拢渔轮所需的时间（角度精确到，时间精确到）．
判断正误并说明理由？
∵三角形内角和为，∴每个内角都要大于小于．分以下两种情况讨论：①如果，根据正弦函数的性质，当时，单调递增，所以时，成立；②如果时，因为三角形内角和为，所以，即，根据诱导公式可转换：，同样根据正弦函数的增减性质，，所以有，即．
∵三角形有两个解，∴，即，解得的取值范围是．
那么利用正弦定理和余弦定理，我们可以解决哪些与三角形有关的实际问题？
用余弦定理、正弦定理解三角形
几何应用
实际应用
求角度、边长
判断三角形形状
求面积
距离问题
高度问题
角度问题
（1）在△ABC中，A>B必有sinA>sinB． （2）在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC是等腰三角形．（3）若满足条件C=60°，AB=，BC=a的△ABC有两个解，则实数a的取值范围是(，2)．
因为舰艇从到与渔轮从到的时间相同，所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出到；再根据正弦定理求出．
作用于同一点的三个力，，平衡，已知，，与之间的夹角是，求的大小与方向（精确到）
根据余弦定理可求出，再根据正弦定理求出
解：应和，的合力平衡，所以和在同一直线上，并且大小相等，方向相反如图，在中，由余弦定理，得 再由正弦定理，得，，所以，从而答：为，和的夹角为
2019-2020年高中数学 第一章 解三角形 第一课时 正弦定理教案 苏教版必修5
2019-2020年高中数学第一章解三角形第一课时正弦定理教案苏教版必修5教学目标：掌握正弦定理推导过程，会利用正弦定理证明简单三角形问题，会利用正弦定理求解简单斜三角形边角问题，能利用计算器进行运算；通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.教学重点：正弦定理证明及应用.教学难点：正弦定理的证明，正弦定理在解三角形时应用思路.教学过程：Ⅰ.课题导入在初中，我们已经会解直角三角形.就是说，已会根据直角三角形中已知的边与角求出未知的边与角，而在直角三角形中，有如下的边角关系.a sin A ＝bsin B＝csin C那么，在任意三角形中，这一关系式是否成立呢?这也是我们这一节课将要研究的问题. Ⅱ.讲授新课对于asin A ＝bsin B＝csin C这一关系的证明，我们一起来看下面的证法.如图，在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，作△ABC 的外接圆，O为圆心，连接BO并延长交圆于B′，设BB′＝2R. 则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到：∠BAB′＝90°，∠C＝∠B′∴sin C＝sin B′＝c2R ∴csin C＝2R同理可得asin A ＝2R，bsin B＝2R∴asin A＝bsin B＝csin C＝2R这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立.因此，我们得到下面的定理. 正弦定理在一个三角形中，各边和它所对的正弦的比相等，即a sin A ＝bsin B＝csin C说明：上述证法采用了初中所学的平面几何知识，将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证，此证法在巩固平面几何知识的同时，易于被学生理解和接受，并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路，又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫.接下来，我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出，定理反映的是三角形的边角关系，而在向量知识中，哪一处知识点体现边角关系呢?向量的数量积的定义式：a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos θ，其中θ为两向量的夹角.但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系，这两者之间能否转化呢?可以通过三角函数的诱导公式sin θ＝cos(90°－θ)进行转化.这一转化产生了新角90°－θ，这就为辅助向量j 的添加提供了线索，为方便进一步的运算，辅助向量选取了单位向量j ，而j 垂直于三角形一边，且与一边夹角出现了90°－θ这一形式，这是作辅助向量j 垂直于三角形一边的原因.在向量方法证明过程中，构造向量是基础，并由向量的加法原则可得AC →＋CB →＝AB →.而添加垂直于AC →的单位向量j 是关键，为了产生j 与AB →、AC →、CB →的数量积，而在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算，也就在情理之中了.下面，大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程，并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点.说明：(1)在给予学生适当自学时间后，应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提，以及两向量垂直的充要条件的运用.(2)要求学生在巩固向量知识的同时，进一步体会向量知识的工具性作用.向量法证明过程：(1)△ABC 为锐角三角形，过点A 作单位向量j 垂直于AC →，则j 与AB →的夹角为90°－A ，j 与CB →的夹角为90°－C.由向量的加法原则可得：AC →＋CB →＝AB →为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算，得到：j ·(AC →＋CB →)＝j ·AB →由分配律可得：j ·AC →＋j ·CB →＝j ·AB →∴｜j ｜｜AC →｜cos90°＋｜j ｜｜CB →｜cos(90°－C )＝｜j ｜｜AB →｜cos(90°－A )∴a sin C ＝c sin A∴a sin A ＝csin C 另外，过点C 作与CB →垂直的单位向量j ，则j 与AC →的夹角为90°＋C ，j 与AB →的夹角为90°＋B ，可得c sin C ＝b sin B. (此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提，防止误解为j 与AC →的夹角为90°－C ，j 与AB →的夹角为90°－B )∴a sin A ＝b sin B ＝csin C . (2)△ABC 为钝角三角形，不妨设A ＞90°过点A 作与AC →垂直的单位向量j ，则j 与AB →的夹角为A －90°，j 与CB →的夹角为90°－C.由AC →＋CB →＝AB →得：j ·AC →＋j ·CB →＝j ·AB →即a ·cos(90°－C )＝c ·cos(A －90°)∴a sin C ＝c sin A∴a sin A ＝csin C 另外，过点C 作与CB →垂直的单位向量j ，则j 与AC →夹角为90°＋C ，j 与AB →夹角为90°＋B ，同理可得b sin B ＝c sin C ∴a sin A ＝b sin B ＝csin C 综上所述，正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立.在证明了正弦定理之后，我们来进一步学习正弦定理的应用.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形问题.(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角.这类问题由于两角已知，故第三角确定，三角形唯一，解唯一，相对容易.(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.此类问题变化较多。
高中数学苏教版必修第二册第十一章《正弦定理(1)》示范公开课教学课件
C
在中, ，，，若有两解， 则的取值范围为( )． A. B. C. 2 D.
解：因为有两解，所以，即，得2故选C．
B
解：由正弦定理，可得，即，故或．由，得，所以，故，由勾股定理得．故选B．
对于钝角三角形（2），锐角三角形（3），上述结论还成立吗？
在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比等于其外接圆的直径．
A
在中，已知，，，则 ( )．A. B. C. D.
解，因为，所以 .故选A．
相关公式
正弦定理的应用
正弦定理
已知两角与任一边，解三角形．（解是唯一确定的）
已知两边与其中一边的对角，解三角形．（需判断三角形解的个数）
变式
实现边与角的正弦互换．
教材92页练习第1-4题．
判断正误并说明理由？
正弦定理的公式正弦定理的应用．
判断依据
பைடு நூலகம்
正弦定理适用于任意三角形．
根据正弦定理可知， ，而不是 ；
因为，故此三角形有两个解．
根据正弦定理可知，当三角形确定时，则各边与其所对的角的正弦的比值是定值．
如图，在中，，，，求，（精确到）．
解：∵，，∴∵，∴．．因此，，的长分别为和．
向量方法
如图在中，、、的长分别为、、．则：，两边同时平方，得，即，．
这节课我们继续探索三角形的边角关系．
在中，不妨设为最大角，过点作于点，与的夹角为．∴即，，①
∵，
当为锐角时，，当为直角时，，当为钝角时，．
当为锐角或直角时，，当为钝角时，．即，无论为锐角、直角或钝角，都有．
（2）当为直角或钝角时，同理可得当时，无解；当时，一个解．
a
综上可得：若为锐角时， ；若为直角或钝角时，．
苏教版高中数学必修五教案正弦定理
课题：11.1 正弦定理教学目标：(1)掌握正弦定理及其证明,会初步运用正弦定理解斜三角形,培养数学应用意识; (2)在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力;(3)提供适当的问题情境,激发学生的学习热情,培养学生学习数学的兴趣;在合作学习中,学会学习,学会交流,相互评价,提高学生的合作意识与交流能力. 教学重点：正弦定理及其证明过程 教学难点：正弦定理的推导与证明 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：几何画板 教学过程： 一.问题情境引言：从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量,从大禹治水到都江堰的修建,从天文观测 到精密仪器的制造,人们都离不开对几何图形的测量,设计和计算.测量河流两岸码头之间的 距离,确定待建隧道的长度,确定卫星的角度与高度等等问题,都可以转化为求三角形的边与 角的问题,这就需要我们进一步探索三角形的边角关系. 探索1:在Rt △ABC,C=900,那么边角之间有哪些关系? sinA=c a ,sinB=c b,sinC=cc =1,…… 即c=A a sin ,c=B b sin ,c=C csin ． ∴A a sin =B b sin =Ccsin 探索2:在任意三角形里, A a sin =B b sin =Ccsin 还成立吗? (几何画板演示) 二.学生活动 数学实验:分组一:对于锐角三角形验证结论是否成立?c b a DBA C分组二:对于钝角三角形验证结论是否成立?数学猜想:A a sin =B b sin =Ccsin ; 三.建构数学:数学证明: 证法一:证明二：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ABC =A bc B ac C ab sin 21sin 21sin 21==两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =Ccsin证明三：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴R CD Da A a 2sin sin ===同理B b sin =2R ，Ccsin ＝2R 证明四：（向量法）探索活动3:观察正弦定理的结构,看它有什么特点?你能用语言把它叙述出来吗?定理中的正弦改成余弦,结论还成立吗?正弦定理具有结构和谐,对称,体现了数学的和谐美与对称美; 若改成余弦,除正三角形外,其余三角形都不成立.探索活动4:这个式子包含了哪些等式?每个等式有几个量?它可以解决斜三角形中的哪些类型的问题?三个等式:A a sin =B b sin ,B b sin =C c sin ,A a sin =Ccsin ; 每个式子中有四个量,如果知道其中三个可以求出第四个? 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:(原因是三角形全等的判定定理) ⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b ababab a baa 已知边a,b 和∠A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a ≥b CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinAAC B ACB1ABACB2CHHH⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a四.数学运用：例1 :在△ABC 中,A=300,C=1000,a=10,求b,c注:这是已知两角以及其中一角的对边,求另一角对边,方法:直接用正弦定理. 例2:在△ABC 中:(1)已知a=16,b=26,A=300,求B,C,c; (2)已知a=30,b=26,A=300,求B,C,c; (3)已知a=25,b=11,B=300,解这个三角形;注:这是已知两边以及其中一边的对角,求另一边对角,方法:直接用正弦定理,注意比较确 定几解. 五.巩固练习： 1 P9 练习2在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( ) A2R B R C4R D R 21(R 为△ABC 外接圆半径)3△ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为( )A 直角三角形B 等腰直角三角形C 等边三角形D 等腰三角形p 六.回顾小结本节课通过自己的努力发现并证明了正弦定理，我们经历了数学实验→数学猜想→数学证明的科学治学历程,得到了正弦定理,其表达式具有和谐性,对称性的特点.通过本节课的学习,我们应该感受到数学的确是一个神奇的世界,不同的人可以用不同的方法去解决相同的问题,一个人也可以用不同的方法解决同一个问题,只要你肯探索并善于探索,总会有丰厚的回报.七.课后作业八.教后感:。
江苏省高中数学必修五 正弦定理1
四队中学教案纸 （备课人： 吴利霞 学科： 高二数学 ）备课时间教学课题教时计划1教学课时 1教学 目标1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容和推导过程；2.能解决一些简单的三角形度量问题（会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题）；能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；重点 难点 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
教学过程 一、问题情境在直角三角形中的边角关系是怎样的？这种关系在任意三角形中也成立吗？ 二、互动探究 1．正弦定理的推导（1）在直角三角形中：c a A =sin ,1sin ,sin ==C CBB ， 即 =c A a sin ，=c B b sin ，=cC c sin ∴A a sin =B b sin =Ccsin能否推广到斜三角形？ （2）斜三角形中证明一：（等积法，利用三角形的面积转换）在任意斜△ABC 中，先作出三边上的高AD 、BE 、CF ，则sin AD c B =，sin BE a C =，sin CF b A =．所以111sin sin sin 222ABCS ab C ac B bc A ∆===，每项同除以12abc 即得：sin sin sin a b cA B C==． 证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D∴R CD D aA a 2sin sin === 同理B b sin R 2=，Cc sin R 2=证明三：（向量法）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即abcOB CAD。
2019-2020学年苏教版数学必修五：1.1正弦定理(一)【教师版】
2019-2020学年苏教版数学精品资料课题：§1.1 正弦定理（一）总第____课时班级_______________姓名_______________【学习目标】1．掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2．引导学生发现数学规律，让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用，培养学生的创新意识.【重点难点】学习重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.学习难点：利用正弦定理解三角形.【学习过程】一、自主学习与交流反馈：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ΔABC 中，设BC=a ,AC=b ,AB=c , 则：问题1：那么对于任意三角形，以上关系式是否仍然成立？（分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论：）OCBAOCBA问题2：是否可以用其它方法证明这一等式？cba CB A二、知识建构与应用：正弦定理：三角形的各边和它所对角的正弦之比相等，即 _________________________ .正弦定理的基本作用为：①已知三角形的两角及任一边，求其他两边和一角；②已知三角形的两边与其中一边的对角，求其他角的正弦值.【解斜三角形是指由六个元素知三(至少有一条边)求三的过程.】一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.三、例题讲解例1 在ABC 中，10,45,30aCAoo,求c b,.例2 根据下列条件解三角形:（1）16a ,216b ,o30A;（2）30a ,215b ,o45A .例3 （1）在C A a cB b ABC ,,1,60,30和求中，.（2）C B b aA c ABC ,,2,45,60和求中，.四、巩固练习1．在ABC 中，5,15,135aCBoo,则此三角形的最大边长为_ ____.2．60,3,6,ABC A BC ABC中，则3．已知30,34,4,A b a ABC 中，则B4．______,sin 2C B c b ABC 则中，若在五、回顾反思:六、作业批改情况记录及分析。
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·
8
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情 景
2．在△ABC 中，已知 A＝30°，B＝60°，a＝10，则 b 等于(
课
)堂
导
小
学
A．5 2
B．10 3
·
结
探
提
新
素
知
C．103 3
D．5 6
养
合 作 探 究
释
B
[由正弦定理得，b＝assiinnAB＝10×1
3 2 ＝10
3.]
课 时 分 层 作
疑 难
2
业
返 首 页
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9
·
情 景
第11章 解三角形
11.2 正弦定理 第1课时 正弦定理(1)
2
·
情
学习目标
核心素养
课
景 导
1.通过对任意三角形边长和角
1.通过对正弦定理的推导及应用
堂 小
学
结
·
探 度关系的探索，掌握正弦定理的 正弦定理判断三角形的形状，培养 提
新
素
知 内容及其证明．(难点)
逻辑推理的核心素养．
养
合
作 探
2．能运用正弦定理与三角形内 2．借助利用正弦定理求解三角形
课 时
究
思考 2：正弦定理的主要功能是什么？
分 层
释
作
疑 难
提示： 正弦定理实现了三角形中边角关系的转化．
业
返 首 页
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6
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
探
2．应用正弦定理解三角形
·
提
新
素
知
应用正弦定理可以解两类三角形：
养
合 作
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；
课
探
时
究
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.
课
探
时
究
释 疑
＝5×sin
60°cos
45°＋cos sin 30°
60°sin
45°
分 层 作 业
难
＝52( 6＋ 2).
返
首
页
·
·
17
用正弦定理解三角形
情
课
景
堂
导 学
【例 2】
已知△ABC 中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角 B，
小 结
·
探 新
边 b，c.
提 素
知
养
合
[思路点拨] ①角 A，B，C 满足什么关系；
时 分 层
释
作
疑 难
∴B＝105°，b＝5( 6＋ 2)，c＝10 2.
业
返 首 页
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·
情
课
景
堂
导
小
学
结
探 新
正弦定理实际上是三个等式：sina A＝sinb B，sinb B＝sinc C，sina A＝
·
提 素
提 素
养
课 时 分 层 作 业
·
返 首 页
13
·
根据正弦函数的定义知：
情
课
景 导 学
CbD＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sin A，CaD＝sin B．
·
堂 小 结
探
提
新
∴CD＝bsin A＝asin B．
素
知
养
合 作
∴sina A＝sinb B.
课
探
时
究 释
同理，sinb B＝sinc C.
提 素 养
合 自等于什么？对于斜三角形类似关系成立么？
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
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5
·
情 景 导 学
1．正弦定理：三角形的各边与它所对角的正弦之比相等．即sina A
课 堂 小 结
·
探 新 知
＝sinb B＝sinc C.
提 素 养
合
思考 1：正弦定理的适用范围是什么？
作 探
提示： 正弦定理对任意三角形都成立．
分 层 作
疑
业
难
故sina A＝sinb B＝sinc C.
返
首
页
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14
·
情
课
景 导
1．本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联
堂 小
学
结
·
探 系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．
提
新
素
知
养
合 作
2．要证sina A＝sinb B，只需证 asin B＝bsin A，而 asin B，bsin A 课
探 究
都对应 CD．初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会
时 分
层
释
疑 思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．
作 业
难
返 首 页
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15
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新
素
知
[跟进训练]
养
合 作
1．在△ABC 中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边 c.课探时来自究分层
释
作
疑
业
难
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16
[解] 由三角形内角和定理知 A＋B＋C＝180°，
·
情
课
景
所以 A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.
堂
导
小
学
探 新
由正弦定理sina A＝sinc C，
·
结
提 素
知
养
合 作
得
c＝a·ssiinn
CA＝5×ssiinn13005°°＝5×sin
60°＋45° sin 30°
·
10
·
情 景 导
4．在△ABC 中，若 a＝3，b＝ 3，A＝π3，则 C＝________.
课 堂 小
学
结
探 新
π 2
[由正弦定理得：
3 π＝sin3B，所以 sin B＝12.
·
提 素
知
sin 3
养
合
作 探 究
又 a>b，所以 A>B，所以 B＝π6，
课 时 分
层
释 疑 难
所以 C＝π－π3＋π6＝π2.]
分 层
释
作
疑
业
难
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7
·
情
课
景
堂
导 学
探
1．在△ABC 中，下列式子与sina A的值相等的是( )
·
小 结
提
新
素
知
A．bc
B．ssiinn
B A
养
合
作
课
探 究
C．sinc C
D．sinc C
时 分 层
释
作
疑
难
C
[由正弦定理得，sina
A＝sinc
C，所以sina
A＝sinc
C .]
业
返 首 页
作
课
探
②105°可拆分成哪两个特殊角的和；
究
时 分
层
释 疑
③由正弦定理如何求得 b，c 的值．
作 业
难
·
返 首 页
18
·
情
课
景
[解] ∵A＝30°，C＝45°，
堂
导
小
学 探
∴B＝180°－(A＋C)＝105°，
·
结 提
新
素
知
又由正弦定理得：c＝assiinnAC＝10 2.
养
合
作
课
探 究
b＝assiinnAB＝10s·isnin3100°5°＝20sin(60°＋45°)＝5( 6＋ 2)．
3．在△ABC 中，A＝π3，BC＝3，AB＝ 6，则 C＝(
)
课 堂
导
小
学
探 新
A．π4或34π
B．34π
·
结
提 素
知
养
合 作
C．π4
D．π6
课
探 究
释
C
[由sBinCA＝siAnBC，得 sin C＝ 22.∵BC＝3，AB＝
时
6，∴A>C，
分 层
作
疑
难 则 C 为锐角，故 C＝π4.]
业
返
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作 业
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11
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
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探
提
新 知
合
合作
探究
释疑
难
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
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定理证明
情
课
景
堂
导 学
【例 1】 在钝角△ABC 中，证明正弦定理．
小 结
·
探 新
[证明]
知
一点，
合
作
探
究
释 疑 难
如图，过 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，D 是 BA 延长线上
课 时
究
角和定理解决简单的解三角形
的边长或角的大小的学习，培养数
分 层