八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题提高题检测试卷

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人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题提高题检测试卷

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题提高题检测试卷一、选择题1．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点(点P不与点B、D重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③仅有当∠DAP＝45°或67.5°时，△APD是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP：⑤22PD＝EC．其中有正确有()个．A．2 B．3 C．4 D．52．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm，点P从点A 出发，以每秒3cm的速度沿折线A-B-C-D方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动、已知动点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，点P，Q停止运动，设运动时间为t秒，在这个运动过程中，若△BPQ的面积为20cm2，则满足条件的t的值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，在菱形ABCD中，两对角线AC、BD交于点O，AC=8，BD=6，当△OPD是以PD 为底的等腰三角形时，CP的长为（）A．2 B．185C．75D．524．如图，已知直线l//AB，l与AB之间的距离为2．C、D是直线l上两个动点（点C在D 点的左侧），且AB=CD=5．连接AC、BC、BD，将△ABC沿BC折叠得到△A′BC．下列说法：①四边形ABDC的面积始终为10；②当A′与D重合时，四边形ABDC是菱形；③当A′与D不重合时，连接A ′、D ，则∠CA ′D +∠BC A′=180°；④若以A ′、C 、B 、D 为顶点的四边形为矩形，则此矩形相邻两边之和为35或7．其中正确的是( )A ．①②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③ 5．如图，边长为8的正方形ABCD 的对角线交于点O ，点,EF 分别在边,CD DA 上（CE DE <），且90,,EOF OE BC ︒∠=的延长线交于点 ,,G OF CD 的延长线交于点,H E 恰为OG 的中点．下列结论：①OCE ODF ∆∆≌；②OG OH =；③210GH =．其中，正确结论的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．如图，在ABC 中，BD ，CE 是ABC 的中线，BD 与CE 相交于点O ，点F G ，分别是，BO CO 的中点，连接AO ，若要使得四边形DEFG 是正方形，则需要满足条件（）A ．AO BC =B ．AB AC ⊥ C ．AB AC =且AB AC ⊥D ．AO BC =且AO BC ⊥7．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，PD ＝2，下列结论：①EB ⊥ED ；②∠AEB ＝135°；③S 正方形ABCD ＝5+22；④PB ＝2；其中正确结论的序号是（）A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③8．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC 和CD 上，过点A 作GA AE ⊥，CD 的延长线交AG 于点G ，BE DF EF +=，若30DAF ∠=︒，则BAE ∠的度数为（）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°9．如图，平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，∠ADB=20°，∠ACB=50°，过点O 的直线交AD 于点E ，交BC 于点F 当点E 从点A 向点D 移动过程中（点E 与点A 、点D 不重合），四边形AFCE 的形状变化依次是（）A ．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形B ．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形C ．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形D ．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形10．如图，在菱形ABCD 中，5AB cm =，120ADC =∠︒，点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB 、CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止），点E 的速度为1/cm s ，点F 的速度为2/cm s ，经过t 秒DEF ∆为等边三角形，则t 的值为（）A ．34B ．43C ．32D ．53二、填空题11．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D 是BC 边上一点且CD=1，点P 是线段DB 上一动点，连接AP ，以AP 为斜边在AP 的下方作等腰Rt △AOP ．当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径长为_____．12．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，对角线长为1cm ，过点O 任作一条直线分别交AD ，BC 于E ，F ，则阴影部分的面积是_____．13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，E 为BC 边上一动点，作EF ⊥AE ，且EF ＝AE ．连接DF ，AF ．当DF ⊥EF 时，△ADF 的面积为_____．14．如图，Rt ABE ∆中，90,B AB BE ︒∠==, 将ABE ∆绕点A 逆时针旋转45︒，得到,AHD ∆过D 作DC BE ⊥交BE 的延长线于点C ，连接BH 并延长交DC 于点F ，连接DE 交BF 于点O ．下列结论：①DE 平分HDC ∠；②DO OE =； ③CD HF =； ④2BC CF CE -=； ⑤H 是BF 的中点，其中正确的是___________15．在锐角三角形ABC 中，AH 是边BC 的高，分别以AB ，AC 为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接CE ，BG 和EG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，下列结论：①BG=CE ；②BG ⊥CE ；③AM 是△AEG 的中线；④∠EAM=∠ABC ．其中正确的是_________．16．在ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是BC 边上的高．将ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则DEF 的周长为______．17．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处，点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG ＝45°；②S △ABG ＝32S △FGH ；③△DEF ∽△ABG ；④AG+DF ＝FG ．其中正确的是_____．（把所有正确结论的序号都选上）18．如图，矩形纸片ABCD ，AB =5，BC =3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP =OF ，则AF 的值为______．19．如图，长方形ABCD 中AB ＝2，BC ＝4，正方形AEFG 的边长为1．正方形AEFG 绕点A 旋转的过程中，线段CF 的长的最小值为_____．20．如图，在四边形ABCD 中， //,5,18,AD BC AD BC E ==是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动;点Q 同时以每秒3个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，当运动时间为t 秒时，以点,,,P Q E D 为顶点的四边形是平行四边形，则t 的值等于_______．三、解答题21．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若5AE =，3OE =，求线段CE 的长．22．在数学的学习中，有很多典型的基本图形．（1）如图①，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为D 、E ．试说明ABD CAE ≌；（2）如图②，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、A 、F 在同一条直线上，BD DF ⊥，3AD =，4BD =．则菱形AEFC 面积为______．（3）如图③，分别以Rt ABC 的直角边AC 、AB 向外作正方形ACDE 和正方形ABFG ，连接EG ，AH 是ABC 的高，延长HA 交EG 于点I ，若6AB =，8AC =，求AI 的长度．23．综合与实践．问题情境：如图①，在纸片ABCD □中，5AD =，15ABCD S =，过点A 作AE BC ⊥，垂足为点E ，沿AE 剪下ABE △，将它平移至DCE '的位置，拼成四边形AEE D '．独立思考：（1）试探究四边形AEE D '的形状．深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片AEE D '中，在EE '．上取一点F ，使4EF =，剪下AEF ，将它平移至DE F ''的位置，拼成四边形AFF D '，试探究四边形AFF D '的形状；拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形AFF D '的两条对角线长；（4）若四边形ABCD 为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论．24．如图，平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ．（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2） ①当AE 的长为多少时，四边形CEDF 是矩形；②当AE = cm 时，四边形CEDF 是菱形，（直接写出答案，不需要说明理由）．25．综合与探究（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE =．CE 和CF 之间有怎样的关系．请说明理由．（2）如图2，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，如果45GCE ∠=︒，请你利用（1）的结论证明：GE BE CD =+．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3在直角梯形ABCD 中，//()AD BC BC AD >，90B ∠=︒，12AB BC ==，E 是AB 上一点，且45DCE ∠=︒，4BE =，求DE 的长．26．已知：在ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BD 与CF 的位置关系为__________；CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系____________________．（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其它条件不变，请你写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系并加以证明；（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE 、DF ，交点为O ，连接OC ，探究AOC △的形状，并说明理由．27．如图，锐角ABC ∆，AB AC =，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作ADE ∆，使AE AD =，EAD BAC ∠=∠．（1）过点E 作//EF DC 交AB 于点F ，连接CF （如图①）①请直接写出EAB ∠与DAC ∠的数量关系；②试判断四边形CDEF 的形状，并证明；（2）若60BAC ∠=，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，连接EF （如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．28．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，AD BC ∥，连接AC ，点P 、E 分别在AB 、CD 上，连接PE ，PE 与AC 交于点F ，连接PC ，D ∠=BAC ∠，DAE AEP ∠=∠．（1）判断四边形PBCE 的形状，并说明理由；（2）求证：CP AE =；（3）当P 为AB 的中点时，四边形APCE 是什么特殊四边形？请说明理由．29．已知，矩形ABCD 中，4,8AB cm BC cm ==，AC 的垂直平分EF 线分别交AD BC 、于点E F 、，垂足为O ．（1）如图1，连接AF CE 、，求证：四边形AFCE 为菱形；（2）如图2，动点P Q 、分别从A C 、两点同时出发，沿AFB △和CDE △各边匀速运动一周，即点P 自A F B A →→→停止，点O 自C D E C →→→停止．在运动过程中，①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A C P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，则t =____________．②若点P Q 、的运动路程分别为a b 、（单位:,0cm ab ≠），已知AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则a 与b 满足的数量关系式为____________．30．已知：正方形ABCD和等腰直角三角形AEF，AE=AF（AE＜AD），连接DE、BF，P是DE的中点，连接AP．将△AEF绕点A逆时针旋转．（1）如图①，当△AEF的顶点E、F恰好分别落在边AB、AD时，则线段AP与线段BF的位置关系为，数量关系为．（2）当△AEF绕点A逆时针旋转到如图②所示位置时，证明：第（1）问中的结论仍然成立．（3）若AB=3,AE=1，则线段AP的取值范围为．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE 后即可证明①AP=EF；④∠PFE=∠BAP；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得2EC，得出⑤正确，即可得出结论．【详解】过P作PG⊥AB于点G，如图所示：∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，∴GP=EP ，在△GPB 中，∠GBP=45°，∴∠GPB=45°，∴GB=GP ，同理：PE=BE ，∵AB=BC=GF ，∴AG=AB-GB ，FP=GF-GP=AB-GB ，∴AG=PF ，在△AGP 和△FPE 中，90AG PF AGP FPE PG PE ⎧⎪⎨⎪∠∠⎩︒＝＝＝＝，∴△AGP ≌△FPE （SAS ），∴AP=EF ，①正确，∠PFE=∠GAP ，∴∠PFE=∠BAP ，④正确；延长AP 到EF 上于一点H ，∴∠PAG=∠PFH ，∵∠APG=∠FPH ，∴∠PHF=∠PGA=90°，∴AP ⊥EF ，②正确，∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上任意一点，∠ADP=45°，∴当∠PAD=45°或67.5°时，△APD 是等腰三角形，除此之外，△APD 不是等腰三角形，故③正确．∵GF ∥BC ，∴∠DPF=∠DBC ，又∵∠DPF=∠DBC=45°，∴∠PDF=∠DPF=45°，∴PF=EC ，∴在Rt △DPF 中，DP 2=DF 2+PF 2=EC 2+EC 2=2EC 2，∴2EC ，即22PD=EC ，⑤正确．∴其中正确结论的序号是①②③④⑤，共有5个．故选D ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．2．B解析：B【解析】【分析】过A 作AH ⊥DC ，由勾股定理求出DH 的长．然后分三种情况进行讨论：即①当点P 在线段AB 上，②当点P 在线段BC 上，③当点P 在线段CD 上，根据三种情况点的位置，可以确定t 的值．【详解】解：过A 作AH ⊥DC ，∴AH =BC =8cm ，DH =22AD AH - =10064-=6． i ）当P 在AB 上时，即1003t ≤≤时，如图，1110382022BPQ S BP BC t =⋅=-⨯=（），解得：53t =；ii ）当P 在BC 上时，即103＜t ≤6时，BP =3t -10，CQ =16-2t ，113101622022BPQ S BP CQ t t =⋅=-⨯-=（）（），化简得：3t 2-34t +100=0，△=-44＜0，∴方程无实数解．iii ）当P 在线段CD 上时，若点P 在线段CD 上，若点P 在Q 的右侧，即6≤t ≤345，则有PQ =34-5t ，13458202BPQ S t =-⨯=（），295t =＜6（舍去）；若点P 在Q 的左侧时，即3485t ≤＜，则有PQ =5t -34，15348202BPQ S t =-⨯=（）； t =7.8．综上所述：满足条件的t 存在，其值分别为153t =，t 2=7.8．故选B ．【点睛】本题是平行四边形中的动点问题，解决问题时，一定要变动为静，将其转化为常见的几何问题，再进行解答．3．C解析：C【解析】【分析】过O 作OE ⊥CD 于E ．根据菱形的对角线互相垂直平分得出OB ，OC 的长，AC ⊥BD ，再利用勾股定理列式求出CD ，然后根据三角形的面积公式求出OE ．在Rt △OED 中，利用勾股定理求出ED ．根据等腰三角形三线合一的性质得出PE ，利用CP =CD -PD 即可得出结论．【详解】过O 作OE ⊥CD 于E ．∵菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∴OB 12=BD 12=⨯6=3，OA =OC 12=AC 12=⨯8=4，AC ⊥BD ，由勾股定理得：CD 2222OD OC 34=+=+=5． ∵12OC ×OD =12CD ×OE ，∴12=5OE ，∴OE =2.4．在Rt △ODE 中，DE =22OD OE -=223 2.4-=1.8．∵OD =OP ，∴PE =ED =1.8，∴CP =CD -PD =5-1.8-1.8=1.4=75．故选C ．【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，求出OE 的长是解题的关键．4．A解析：A【解析】【分析】①根据平行四边形的判定方法可得到四边形ABCD 为平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式计算；②根据折叠的性质得到AC=CD ，然后根据菱形的判定方法可判断四边形ABDC 是菱形； ③连结A′D ，根据折叠性质和平行四边形的性质得到CA′=CA=BD ，AB=CD=A′B ，∠1=∠CBA=∠2，可证明△A′CD ≌△A′BD ，则∠3=∠4，然后利用三角形内角和定理得到得到∠1=∠4，则根据平行线的判定得到A′D ∥BC ；④讨论：当∠CBD=90°，则∠BCA=90°，由于S △A1CB =S △ABC =5，则S 矩形A′CBD =10，根据勾股定理和完全平方公式进行计算；当∠BCD=90°，则∠CBA=90°，易得BC=2，而CD=5，于是得到结论．【详解】①∵AB=CD=5，AB ∥CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴四边形ABDC 的面积=2×5=10；故①正确；②∵四边形ABDC 是平行四边形，∵A′与D 重合时，∴AC=CD ，∵四边形ABDC 是平行四边形，∴四边形ABDC 是菱形；故②正确；③连结A′D ，如图，∵△ABC 沿BC 折叠得到△A′BC ，∴CA′=CA=BD ，AB=CD=A′B ，在△A′CD 和△A′BD 中CA BD CD BA A D A D ＝＝＝'⎧⎪'⎨⎪''⎩，∴△A′CD ≌△A′BD （SSS ），∴∠3=∠4，又∵∠1=∠CBA=∠2，∴∠1+∠2=∠3+∠4，∴∠1=∠4，∴A′D ∥BC ，∴∠CA′D+∠BCA′=180°；故③正确；④设矩形的边长分别为a ，b ，当∠CBD=90°，∵四边形ABDC 是平行四边形，∴∠BCA=90°，∴S △A′CB =S △ABC =12×2×5=5， ∴S 矩形A′CBD =10，即ab=10，而BA′=BA=5，∴a 2+b 2=25，∴（a+b ）2=a 2+b 2+2ab=45，∴当∠BCD=90°时，∵四边形ABDC 是平行四边形，∴∠CBA=90°，∴BC=3，而CD=5，∴（a+b ）2=（2+5）2=49，∴a+b=7，∴此矩形相邻两边之和为或7．故④正确．故选A ．【点睛】本题考查了四边形综合题：熟练掌握平四边形的判定与性质以及特殊平行四边形的判定与性质；会运用折叠的性质确定相等的线段和角．5．C解析：C【分析】①直接利用角边角判定定理判断即可；②证明ODH OCG ∆≅∆即可；③在Rt CGH ∆中求解即可判断此答案错误．【详解】解：①∵四边形ABCD 是正方形，,AC BD 是对角线，∴OD OC =，45ODF OCE ∠=∠=︒，90DOC ∠=︒，∵90EOF ∠=︒，∴DOC DOE EOF DOE ∠-∠=∠-∠，即：EOC DOF ∠=∠，在ODF ∆和OCE ∆中，∵ODF OCE OD OC DOF COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ODF OCE ∆≅∆，故①正确；②∵45ODF OCE ∠=∠=︒，∴90=90=135ODF OCE ∠+︒∠+︒︒，即：ODH OCG ∠=∠，在ODH ∆和OCG ∆中，∵GOC DOH OD OC ODH OCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ODH OCG ∆≅∆，∴OH OG =，故②正确；③过点O 作OM CD ⊥于点M ，∵OM CD ⊥，∴在等腰Rt OCD ∆中，118422OM CD ==⨯=, 在Rt ECG ∆和Rt EMO ∆中 ∵OME GCE OEM GEC OE GE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴4CG OM ==，由②中知：ODH OCG ∆≅∆，∴DH CG =，∴=4DH CG =，∴8412CH CD DH =+=+=，∴在Rt CGH ∆中，由勾股定理得：GH =，故③错误；综上所述：只有两个正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分每组对角．6．D解析：D【分析】根据三角形中位线定理得到12DE BC =，//DE BC ，12FG BC =，//FG BC ，得到四边形DEFG 为平行四边形，根据正方形的判定定理解答即可．【详解】解：点E 、D 分别为AB 、AC 的中点，12DE BC ∴=，//DE BC ，点F 、G 分别是BO 、CO 的中点，12FG BC ∴=，//FG BC ， DE FG ∴=，//DE FG ，∴四边形DEFG 为平行四边形，点E 、F 分别为AB 、OB 的中点，12EF OA ∴=，//EF OA ，当EF FG =，即AO BC =时平行四边形DEFG 为菱形，当AO BC ⊥时，DE OA ⊥，//EF OA ，EF FG ∴⊥，∴四边形DEFG 为正方形，则当AO BC =且AO BC ⊥时，四边形DEFG 是正方形，故选：D ．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、正方形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．7．D解析：D【分析】先证明△APD≌△AEB得出BE＝PD，∠APD＝∠AEB，由等腰直角三角形的性质得出∠APE ＝∠AEP＝45︒，得出∠APD＝∠AEB＝135︒，②正确；得出∠PEB＝∠AEB﹣∠AEP＝90︒，EB⊥ED，①正确；作BF⊥AE交AE延长线于点F，证出EF＝BF，得出AF＝AE+EF＝1，由勾股定理得出ABS正方形ABCD＝AB2＝5+，③正确；EPAE，由勾股定理得出BP，④错误；即可得出结论．【详解】解：∵∠EAB+∠BAP＝90︒，∠PAD+∠BAP＝90︒，∴∠EAB＝∠PAD，在△APD和△AEB中，AP AEPAD EAB AD AB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APD≌△AEB（SAS），∴BE＝PD，∠APD＝∠AEB，∵AE＝AP，∠EAP＝90︒，∴∠APE＝∠AEP＝45︒，∴∠APD＝135︒，∴∠AEB＝135︒，②正确；∴∠PEB＝∠AEB﹣∠AEP＝135︒﹣45︒＝90︒，∴EB⊥ED，①正确；作BF⊥AE交AE延长线于点F，如图所示：∵∠AEB＝135︒，∴∠EFB＝45︒，∴EF＝BF，∵BE＝PD＝2，∴EF＝BF，∴AF＝AE+EF＝1，AB∴S正方形ABCD＝AB22＝5+，③正确；EPAE，BP，④错误；故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键．8．A解析：A【分析】根据已知条件先证明△ABE ≌△ADG ，得到AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，得到EAF GAF ∠=∠,根据30DAF ∠=︒，设BAE ∠=x,利用GA AE ⊥得到方程求出x 即可求解．【详解】在正方形ABCD 中，AB=AD,90ABE ADG BAD ∠=∠=∠=︒∵GA AE ⊥∴90EAD DAG ∠+∠=︒又90EAD BAE ∠+∠=︒∴DAG BAE ∠∠=∴△ABE ≌△ADG （ASA ）∴AE=AG ，BE=DG,∵BE DF EF +=∴BE DF DG DF EF +=+=∴EF=GF∴△AEF ≌△AGF （SSS ）∴EAF GAF ∠=∠∵30DAF ∠=︒，设BAE ∠=x,∴EAF GAF ∠=∠=x+30°∵GA AE ⊥∴90EAF GAF ∠+∠=︒故x+30°+ x+30°=90°解得x=15°故选A ．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知正方形的性质及全等三角形的判定定理．9．C解析：C【分析】先判断出点E在移动过程中，四边形AECF始终是平行四边形，当∠AFC=80°时，四边形AECF是菱形，当∠AFC=90°时，四边形AECF是矩形，即可求解．【详解】解：∵点O是平行四边形ABCD的对角线得交点，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠ACF=∠CAD，∠ADB=∠DBC=20°∵∠COF=∠AOE，OA=OC，∠DAC=∠ACF∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ADB=∠DBC=20°，∠ACB=50°，∴∠AFC＞20°当∠AFC=80°时，∠FAC=180°-80°-50°=50°∴∠FAC=∠ACB=50°∴AF=FC∴平行四边形AECF是菱形当∠AFC=90°时，平行四边形AECF是矩形∴综上述，当点E从D点向A点移动过程中（点E与点D，A不重合），则四边形AFCE的变化是：平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和推理能力，题目比较好，难度适中．10．D解析：D【分析】连接BD，证出△ADE≌△BDF，得到AE=BF，再利用AE=t，CF=2t，则BF=BC-CF=5-2t求出时间t的值．【详解】解：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，∴AB=AD，∠ADB=12∠ADC=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，又∵△DEF是等边三角形，∴∠EDF=∠DEF=60°，又∵∠ADB=60°，∴∠ADE=∠BDF，在△ADE和△BDF中，AD BDA DBCADE BDF=⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE≌△BDF(ASA)，∴AE=BF，∵AE=t，CF=2t，∴BF=BC−CF=5−2t，∴t=5−2t∴t=53，故选：D.【点睛】本题考查全等三角形，等边三角形，菱形等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质为解题关键．二、填空题11．2【解析】分析：过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，易得四边形OECF为矩形，由△AOP为等腰直角三角形得到OA=OP，∠AOP=90°，则可证明△OAE≌△OPF，所以AE=PF ，OE=OF ，根据角平分线的性质定理的逆定理得到CO 平分∠ACP ，从而可判断当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径为一条线段，接着证明CE=12（AC+CP ），然后分别计算P 点在D 点和B 点时OC 的长，从而计算它们的差即可得到P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径长．详解：过O 点作OE ⊥CA 于E ，OF ⊥BC 于F ，连接CO ，如图，∵△AOP 为等腰直角三角形，∴OA=OP ，∠AOP=90°，易得四边形OECF 为矩形，∴∠EOF=90°，CE=CF ，∴∠AOE=∠POF ， ∴△OAE ≌△OPF ，∴AE=PF ，OE=OF ，∴CO 平分∠ACP ，∴当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径为一条线段，∵AE=PF ，即AC-CE=CF-CP ，而CE=CF ，∴CE=12（AC+CP ）， ∴2CE=22（AC+CP ），当AC=2，CP=CD=1时，OC=22×（2+1）=322，当AC=2，CP=CB=5时，OC=22×（2+5）=722， ∴当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径长=22-3222．故答案为2 点睛：本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定轨迹的几何特征，然后进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与性质．12．218cm【分析】根据正方形的性质可以证明△AEO≌CFO，就可以得出S△AEO=S△CFO，就可以求出△AOD面积等于正方形面积的14，根据正方形的面积就可以求出结论．【详解】解：如图：∵正方形ABCD的对角线相交于点O，∴△AEO与△CFO关于O点成中心对称，∴△AEO≌CFO，∴S△AEO＝S△CFO，∴S△AOD＝S△DEO+S△CFO，∵对角线长为1cm，∴S正方形ABCD＝1112⨯⨯＝12cm2，∴S△AOD＝18cm2，∴阴影部分的面积为18cm2．故答案为：18cm2．【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用正方形的面积及三角形的面积公式的运用，在解答时证明△AEO≌CFO是关键．13．3﹣32 2【分析】作辅助线，构建全等三角形和矩形，利用面积法可得AE的长，根据勾股定理可得BE的长，设AE＝x，证明△ABE≌△EQF（AAS），得FQ＝BE2，最后根据三角形面积公式可得结论．【详解】解：如图，过D作DH⊥AE于H，过E作EM⊥AD于M，连接DE，∵EF⊥AE，DF⊥EF，∴∠DHE＝∠HEF＝∠DFE＝90°，∴四边形DHEF是矩形，∴DH＝EF＝AE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝90°，∵∠AME＝90°，∴四边形ABEM是矩形，∴EM＝AB＝2，设AE＝x，则S△ADE＝11AD EM AE DH 22⋅=⋅，∴3×2＝x2，∴x6，∵x＞0，∴x6，即AE6，由勾股定理得：BE22(6)2-2，过F作PQ∥CD，交AD的延长线于P，交BC的延长线于Q，∴∠Q＝∠ECD＝∠B＝90°，∠P＝∠ADC＝90°，∵∠BAE＋∠AEB＝∠AEF＝∠AEB＋∠FEQ＝90°，∴∠FEQ＝∠BAE，∵AE＝EF，∠B＝∠Q＝90°，∴△ABE≌△EQF（AAS），∴FQ＝BE2，∴PF＝22，∴S△ADF＝1AD PF2⋅＝13(22)2⨯⨯＝3﹣322．【点睛】此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，有难度，正确作辅助线构建全等三角形是关键，并用方程的思想解决问题．14．①②④⑤【分析】根据∠B=90°，AB=BE，△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，可得△ABE≅△AHD，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，可证AD//BC，根据DC⊥BC，可得∠HDE=∠CDE，根据三角形的内角和可得∠HDE=∠CDE，即DE平分∠HDC，所以①正确；利用∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，得到四边形ABCD是矩形，有∠ADC=90°，∠HDC=45°，由①有DE平分∠HDC，得∠HDO=22.5°，可得∠AHB=67.5°，∠DHO=22.5°，可证OD=OH，利用 AE=AD易证∠OHE=∠HEO=67.5°，则有OE=OH，OD=OE，所以②正确；利用AAS证明ΔDHE≅ΔDCE，则有DH=DC，∠HDE=∠CDE=22.5°，易的∠DHF=22.5°，∠DFH=112.5°，则△DHF不是直角三角形，并DH≠HF，即有：CD≠HF，所以③错误；根据△ABE是等腰直角三角形，JH⊥JE，∵J是BC的中点，H是BF的中点，得到2JH=CF，2JC=BC，JC=JE+CE，易证BC−CF=2CE，所以④正确；过H作HJ⊥BC于J，并延长HJ交AD于点I，得IJ⊥AD，I是AD的中点，J是BC的中点，H是BF的中点，所以⑤正确；【详解】∵Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE，∴∠BAE=∠BEA=45°，又∵将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，∴△ABE≅△AHD，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，∴∠EAD=45°，AE=AD ，∠AHD=90°，∴∠ADE=∠AED，∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=45°+45°=90°，∴AD//BC，∴∠ADE=∠DEC，∴∠AED=∠DEC，又∵DC⊥BC，∴∠DCE=∠DHE=90°∴由三角形的内角和可得∠HDE=∠CDE，即：DE平分∠HDC，所以①正确；∵∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠HDC=45°，由①有DE平分∠HDC，∴∠HDO=12∠HDC=12×45°=22.5°，∵∠BAE=45°，AB=AH，∴∠OHE=∠AHB= 12(180°−∠BAE)=12×(180°−45°)=67.5°，∴∠DHO=∠DHE−∠FHE=∠DHE−∠AHB=90°−67.5°=22.5°，∴OD=OH ，在△AED 中，AE=AD ，∴∠AED=12(180°−∠EAD)=12×(180°−45°)=67.5°， ∴∠OHE=∠HEO=67.5°，∴OE=OH ，∴OD=OE ，所以②正确；在△DHE 和△DCE 中，DHE DCE HDE CDE DE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ΔDHE ≅ΔDCE(AAS)，∴DH=DC ，∠HDE=∠CDE=12×45°=22.5°， ∵OD=OH ，∴∠DHF=22.5°，∴∠DFH=180°−∠HDF−∠DHF=180°−45°−22.5°=112.5°，∴△DHF 不是直角三角形，并DH≠HF ，即有：CD≠HF ，所以③不正确；如图，过H 作HJ ⊥BC 于J ，并延长HJ 交AD 于点I ，∵△ABE 是等腰直角三角形，JH ⊥JE ，∴JH=JE ，又∵J 是BC 的中点，H 是BF 的中点，∴2JH=CF ，2JC=BC ，JC=JE+CE ，∴2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC ，即有：BC−CF=2CE ，所以④正确；∵AD//BC ，∴IJ ⊥AD ，又∵△AHD 是等腰直角三角形，∴I 是AD 的中点，∵四边形ABCD是矩形，HJ⊥BC，∴J是BC的中点，∴H是BF的中点，所以⑤正确；综上所述，正确的有①②④⑤，故答案为：①②④⑤．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．15．①②③④【分析】根据正方形的性质和SAS可证明△ABG≌△AEC，然后根据全等三角形的性质即可判断①；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE＝∠AGB，然后根据三角形的内角和定理可得∠CNG＝∠CAG＝90°，于是可判断②；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，根据余角的性质即可判断④；利用AAS即可证明△ABH≌△EAP，可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP ＝GQ，再利用AAS可证明△EPM≌△GQM，可得EM＝GM，从而可判断③，于是可得答案．【详解】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，即∠CAE＝∠BAG，∴△ABG≌△AEC（SAS），∴BG＝CE，故①正确；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，∵△ABG≌△AEC，∴∠ACE＝∠AGB，∵∠AKG＝∠NKC，∴∠CNG＝∠CAG＝90°，∴BG⊥CE，故②正确；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，∵AH ⊥BC ，∴∠ABH +∠BAH ＝90°，∵∠BAE ＝90°，∴∠EAP +∠BAH ＝90°，∴∠ABH ＝∠EAP ，即∠EAM ＝∠ABC ，故④正确；∵∠AHB =∠P =90°，AB =AE ，∴△ABH ≌△EAP （AAS ），∴EP ＝AH ，同理可得GQ ＝AH ，∴EP ＝GQ ，∵在△EPM 和△GQM 中，90P MQG EMP GMQ EP GQ ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EPM ≌△GQM （AAS ），∴EM ＝GM ，∴AM 是△AEG 的中线，故③正确．综上所述，①②③④结论都正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造出全等三角形是难点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．16．15.5【分析】先根据折叠的性质可得,AE DE EAD EDA =∠=∠，再根据垂直的定义、直角三角形的性质可得B BDE ∠=∠，又根据等腰三角形的性质可得BE DE =，从而可得6DE AE BE ===，同理可得出5DF AF CF ===，然后根据三角形中位线定理可得1 4.52EF BC ==，最后根据三角形的周长公式即可得．【详解】由折叠的性质得：,AE DE EAD EDA =∠=∠AD 是BC 边上的高，即AD BC ⊥90B EAD ∴∠+∠=︒，90BDE EDA ∠+∠=︒B BDE ∴∠=∠BE DE ∴=1112622DE AE BE AB ∴====⨯= 同理可得：1110522DF AF CF AC ====⨯= 又,AE BE AF CF ==∴点E 是AB 的中点，点F 是AC 的中点EF ∴是ABC 的中位线119 4.522EF BC ∴==⨯= 则DEF 的周长为65 4.515.5DE DF EF ++=++=故答案为：15.5．【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知识点，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得出BE DE =是解题关键．17．①②④．【分析】利用折叠性质得∠CBE=∠FBE ，∠ABG=∠FBG ，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH ，则可得到∠EBG=12∠ABC ，于是可对①进行判断；在Rt △ABF 中利用勾股定理计算出AF=8，则DF=AD-AF=2，设AG=x ，则GH=x ，GF=8-x ，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到x 2+42=（8-x ）2，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可对②④进行判断；接着证明△ABF ∽△DFE ，利用相似比得到43DE AF DF AB ==，而623AB AG ==，所以AB DE AG DF≠，所以△DEF 与△ABG 不相似，于是可对③进行判断.【详解】解：∵△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，∴∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，BF ＝BC ＝10，BH ＝BA ＝6，AG ＝GH ，∴∠EBG ＝∠EBF+∠FBG ＝12∠CBF+12∠ABF ＝12∠ABC ＝45°，所以①正确；在Rt △ABF 中，AF ＝8，∴DF ＝AD ﹣AF ＝10﹣8＝2，设AG ＝x ，则GH ＝x ，GF ＝8﹣x ，HF ＝BF ﹣BH ＝10﹣6＝4，在Rt △GFH 中，∵GH2+HF2＝GF2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴GF＝5，∴AG+DF＝FG＝5，所以④正确；∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，∴∠BFE＝∠C＝90°，∴∠EFD+∠AFB＝90°，而∠AFB+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠EFD，∴△ABF∽△DFE，∴ABDF＝AFDE，∴DEDF＝AFAB＝86＝43，而ABAG＝63＝2，∴ABAG≠DEDF，∴△DEF与△ABG不相似；所以③错误．∵S△ABG＝12×6×3＝9，S△GHF＝12×3×4＝6，∴S△ABG＝32S△FGH，所以②正确．故答案是：①②④．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算线段的长．也考查了折叠和矩形的性质．18．20 7【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由“AAS”可证△OEF≌△OBP，可得出OE=OB、EF=BP，设EF=x，则BP=x、DF=5-x、BF=PC=3-x，进而可得出AF=2+x，在Rt△DAF中，利用勾股定理可求出x的值，即可得AF的长．【详解】解：∵将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，∴DC =DE =5，CP =EP ．在△OEF 和△OBP 中，90EOF BOP B E OP OF ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩, ∴△OEF ≌△OBP （AAS ），∴OE =OB ，EF =BP ．设EF =x ，则BP =x ，DF =DE -EF =5-x ，又∵BF =OB +OF =OE +OP =PE =PC ，PC =BC -BP =3-x ，∴AF =AB -BF =2+x ．在Rt △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，∴（2+x ）2+32=（5-x ）2，∴x =67∴AF =2+67=207故答案为：207 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．19．【分析】连接AF ，CF ，AC ，利用勾股定理求出AC 、AF ，再根据三角形的三边关系得到当点A ，F ，C 在同一直线上时，CF 的长最小，最小值为.【详解】解：如图，连接AF ，CF ，AC ，∵长方形ABCD 中AB ＝2，BC ＝4，正方形AEFG 的边长为1，∴AC ＝AF，∵AF +CF ≥AC ，∴CF ≥AC ﹣AF ，∴当点A ，F ，C 在同一直线上时，CF 的长最小，最小值为，故答案为：．。

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题提高题学能测试试题

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题提高题学能测试试题一、选择题1．如图，菱形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，DE BC ⊥于点E ，连接OE ，若50BCD ∠=︒，则OED ∠的度数是（）A ．35°B ．30°C ．25°D ．20°2．如图，四边形,ABCD AD 与BC 不平行，AB CD =．,AC BD 为四边形ABCD 的对角线，,,E F ,G H 分别是,,,BD BC AC AD 的中点下列结论：①EG FH ⊥；②四边形EFGH 是矩形；③HF 平分;EHG ∠④()1 2EG BC AD =-；⑤四边形EFGH 是菱形．其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，依次连结第一个菱形各边的中点得到一个矩形，再依次连结矩形各边的中点得到第二个菱形，按此方法继续下去．已知第一个菱形的面积为1，则第4个菱形的面积是（）A ．14B ．116C ．132D ．164 4．如图，正方形ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BD 、CE 交于点H ，BE 、AH 交于点G ，则下列结论：①AG ⊥BE ；②5:2；③S △BHE =S △CHD ；④∠AHB=∠EHD ．其中正确的个数是A ．1B ．2C ．3D ．45．矩形纸片ABCD 中，AB ＝5，AD ＝4，将纸片折叠，使点B 落在边CD 上的点B '处，折痕为AE ．延长B E '交AB 的延长线于点M ，折痕AE 上有点P ，下列结论中：①M DAB '∠∠＝；②PB PB '＝；③AE ＝552；④MB CD '＝；⑤若B P CD '⊥，则EB B P ''＝．正确的有（）个A ．2B ．3C ．4D ．56．如图，在平行四边形ABCD 中，按以下步骤作图：①以A 为圆心，AB 长为半径画弧，交边AD 于点；②再分别以B ，F 为圆心画弧，两弧交于平行四边形ABCD 内部的点G 处；③连接AG 并延长交BC 于点E ，连接BF ，若BF ＝3，AB ＝2.5，则AE 的长为（）A ．2B ．4C ．8D ．57．如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝185．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，在菱形ABCD 中，AB=AC=1，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的点，且AE=BF ，连接CE 、AF 交于点H ，连接DH 交AC 于点O ，则下列结论：①△ABF ≌△CAE ；②∠FHC=∠B ；③△ADO ≌△ACH ；④=3ABCD S 菱形；其中正确的结论个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，一个四边形花坛ABCD ，被两条线段MN , EF 分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，若MN ∥AB ∥DC ，EF ∥DA ∥CB ，则有（）A ．S 1= S 4B ．S 1 + S 4 = S 2 + S 3C ．S 1 + S 3 = S 2 + S 4D ．S 1·S 4 = S 2·S 310．如图，正方形ABCD 中，延长CB 至E 使2CB EB =，以EB 为边作正方形EFGB ，延长FG 交DC 于M ，连接AM ，AF ，H 为AD 的中点，连接FH 分别与AB ，AM 交于点,N K ．则下列说法：①ANH GNF △≌△；②DAM NFG ∠=∠；③2FN NK =；④:2:7AFN DMKH S S =△四边形．其中正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题11．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，点G 是EF 的中点，连接CG ，BG ，BD ，DG ，下列结论：①BC=DF ；②135DGF ︒∠=；③BG DG ⊥；④34AB AD =，则254BDG FDG S S =，正确的有__________________．12．如图，在正方形ABCD 中，点,E F 将对角线AC 三等分，且6AC =．点P 在正方形的边上，则满足5PE PF +=的点P 的个数是________个．13．如图，四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝48°，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，则∠DHO ＝_____度．14．已知在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC ==点P 在直线BC 上，点Q 在直线CD 上，且,AP PQ ⊥当AP PQ =时，AP =________________．15．如图正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，将△ABE 沿 AE 对折至△AFE ，延长 EF 交 CD 于 G ，接 CF ，AG ．下列结论：① AE ∥FC ; ②∠EAG = 45°，且BE + DG = EG ；③ABCD 19CEF S S ∆=正方形；④ AD = 3DG ，正确是_______ (填序号)．16．如图，直线1l ，2l 分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y 轴．OABC 的顶点A ，C 分别在直线1l 和2l 上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为_________．17．如图,在平面直角坐标系中,直线112y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ，则D 点坐标是_______；在y 轴上有一个动点M ，当MDC △的周长值最小时，则这个最小值是_______．18．如图，点E 、F 分别在平行四边形ABCD 边BC 和AD 上（E 、F 都不与两端点重合），连结AE 、DE 、BF 、CF ，其中AE 和BF 交于点G ，DE 和CF 交于点H ．令AF n BC=，EC m BC=．若m n =，则图中有_______个平行四边形（不添加别的辅助线）；若1m n +=，且四边形ABCD 的面积为28，则四边形FGEH 的面积为_______．19．如图，在四边形ABCD 中， //,5,18,AD BC AD BC E ==是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动;点Q 同时以每秒3个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，当运动时间为t 秒时，以点,,,P Q E D 为顶点的四边形是平行四边形，则t 的值等于_______．20．如图所示，在四边形ABCD 中，顺次连接四边中点E 、F 、G 、H ，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD 添加一个条件，使四边形EFGH 成一个菱形，这个条件是__________．三、解答题21．如图，在Rt ABC ∆中，090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F（1）求证：四边形ADCF 是菱形（2）若4,5AC AB ==，求菱形ADCF 的面积22．如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点,,A B E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接,PG PC ．（1）求证：,PG PC PG PC ⊥=．简析：由Р是线段DF 的中点，//DC CF ，不妨延长GP 交DC 于点M ，从而构造出一对全等的三角形，即_______≅________．由全等三角形的性质，易证CMG 是_______三角形，进而得出结论；（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD 和正方形BEFG 换成菱形ABCD 和菱形BEFG ，且60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PG PC的值，写出你的猜想并加以证明；（3）当6,2AB BE ==时，菱形ABCD 和菱形BEFG 的顶点都按逆时针排列，且60ABC BEF ∠=∠=︒．若点A B E 、、在一条直线上，如图2，则CP =________；若点A B G 、、在一条直线上，如图3，则CP =________．23．如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，过点E 作EF ∥AB 交PQ 于F ，连接BF ．（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随着移动．①当点Q与点C重合时，（如图2），求菱形BFEP的边长；②如果限定P、Q分别在线段BA、BC上移动，直接写出菱形BFEP面积的变化范围．24．如图．正方形ABCD的边长为4，点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD运动，运动时间为t秒（t＞0），以AE为一条边，在正方形ABCD左侧作正方形AEFG，连接BF．（1）当t＝1时，求BF的长度；（2）在点E运动的过程中，求D、F两点之间距离的最小值；（3）连接AF、DF，当△ADF是等腰三角形时，求t的值．25．如图①，已知正方形ABCD的边长为3，点Q是AD边上的一个动点，点A关于直线BQ的对称点是点P，连接QP、DP、CP、BP，设AQ=x．（1）BP＋DP的最小值是_______，此时x的值是_______；（2）如图②，若QP的延长线交CD边于点M，并且∠CPD=90°．①求证：点M是CD的中点；②求x的值．（3）若点Q是射线AD上的一个动点，请直接写出当△CDP为等腰三角形时x的值．26．如图1，在OAB 中，OAB 90∠=，30AOB ∠=,8OB =，以OB 为边，在OAB Λ外作等边OBC Λ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于E ．（1）求证：四边形ABCE 是平行四边形；（2）连接AC ，BE 交于点P ，求AP 的长及AP 边上的高BH ；（3）在（2）的条件下，将四边形OABC 置于如图所示的平面直角坐标系中，以E 为坐标原点，其余条件不变，以AP 为边向右上方作正方形APMN ：①M 点的坐标为．②直接写出正方形APMN 与四边形OABC 重叠部分的面积（图中阴影部分）．27．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，AD BC ∥，连接AC ，点P 、E 分别在AB 、CD 上，连接PE ，PE 与AC 交于点F ，连接PC ，D ∠=BAC ∠，DAE AEP ∠=∠．（1）判断四边形PBCE 的形状，并说明理由；（2）求证：CP AE =；（3）当P 为AB 的中点时，四边形APCE 是什么特殊四边形？请说明理由．28．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。

八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题测试提优卷试题

八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题测试提优卷试题一、解答题1．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一点（不与点A ，D 重合），ABE ∆沿BE 折叠，得BEF ，点A 的对称点为点F ．（1）当AB AD =时，点F 会落在CE 上吗？请说明理由．（2）设()01AB m m AD=<<，且点F 恰好落在CE 上． ①求证：CF DE =．②若AE n AD=，用等式表示m n ，的关系． 2．如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点,,A B E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接,PG PC ．（1）求证：,PG PC PG PC ⊥=．简析：由Р是线段DF 的中点，//DC CF ，不妨延长GP 交DC 于点M ，从而构造出一对全等的三角形，即_______≅________．由全等三角形的性质，易证CMG 是_______三角形，进而得出结论；（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD 和正方形BEFG 换成菱形ABCD 和菱形BEFG ，且60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PG PC的值，写出你的猜想并加以证明；（3）当6,2AB BE ==时，菱形ABCD 和菱形BEFG 的顶点都按逆时针排列，且60ABC BEF ∠=∠=︒．若点A B E 、、在一条直线上，如图2，则CP =________；若点A B G 、、在一条直线上，如图3，则CP =________．3．在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD （含端点）上，落点记为E ，这时折痕与边BC 或者边CD （含端点）交于点F （如图1和图2），然后展开铺平，连接BE ，EF ．（1）操作发现：①在矩形ABCD 中，任意折叠所得的△BEF 是一个三角形；②当折痕经过点A 时，BE 与AE 的数量关系为．（2）深入探究：在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝23．①当△BEF 是等边三角形时，求出BF 的长；②△BEF 的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF 的长；若不存在，请说明理由．4．如图，在长方形ABCD 中，8,6AB AD ==．动点P Q 、分别从点、D A 同时出发向点C B 、运动，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位，当点P 运动到点C 时，两个点都停止运动，设运动的时间为()t s ．（1）请用含t 的式子表示线段PC BQ 、的长，则PC ________，BQ =________．（2）在运动过程中，若存在某时刻使得BPQ ∆是等腰三角形，求相应t 的值．5．已知正方形,ABCD 点F 是射线DC 上一动点(不与,C D 重合)．连接AF 并延长交直线BC 于点E ，交BD 于,H 连接CH ．在EF 上取一点,G 使ECG DAH ∠=∠．（1）若点F 在边CD 上，如图1，①求证：CH CG ⊥．②求证：GFC 是等腰三角形．（2）取DF 中点,M 连接MG ．若3MG =，正方形边长为4，则BE = ．6．（解决问题）如图1，在ABC ∆中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．（1）若3PE =，5PF =，则ABP ∆的面积是______，CG =______．（2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．（3）（变式探究）如图2，在ABC ∆中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ∆内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求PE PF PG ++的值．（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．7．如图，等腰直角三角形OAB 的三个定点分别为(0,0)O 、(0,3)A 、(3,0)B -，过A 作y 轴的垂线1l .点C 在x 轴上以每秒3的速度从原点出发向右运动，点D 在1l 上以每秒332+的速度同时从点A 出发向右运动，当四边形ABCD 为平行四边形时C 、D 同时停止运动，设运动时间为t .当C 、D 停止运动时，将△OAB 沿y 轴向右翻折得到△1OAB ，1AB 与CD 相交于点E ，P 为x 轴上另一动点.(1)求直线AB 的解析式，并求出t 的值.(2)当PE+PD 取得最小值时，求222PD PE PD PE ++⋅的值.(3)设P 的运动速度为1，若P 从B 点出发向右运动，运动时间为x ，请用含x 的代数式表示△PAE 的面积.8．如图，ABCD 中，60ABC ∠=︒，连结BD ，E 是BC 边上一点，连结AE 交BD于点F ．（1）如图1，连结AC ，若6AB AE ==，:5:2BC CE =，求ACE △的面积；（2）如图2，延长AE 至点G ，连结AG 、DG ，点H 在BD 上，且BF DH =，AF AH =，过A 作AM DG ⊥于点M ．若180ABG ADG ∠+∠=︒，求证：3BG GD AG +=．9．问题背景若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．如图1，四边形ABCD 中，BC 是一条对角线，AB AC =，DB DC =，则点A 与点D 关于BC 互为顶针点；若再满足180A D +=︒∠∠，则点A 与点D 关于BC 互为勾股顶针点．初步思考(1)如图2，在ABC 中，AB AC =，30ABC ∠=︒，D 、E 为ABC 外两点，EB EC =，45EBC ∠=︒，DBC △为等边三角形．①点A 与点______关于BC 互为顶针点；②点D 与点______关于BC 互为勾股顶针点，并说明理由．实践操作(2)在长方形ABCD 中，8AB =，10AD =．①如图3，点E 在AB 边上，点F 在AD 边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E 、F ，使得点E 与点C 关于BF 互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹)思维探究②如图4，点E 是直线AB 上的动点，点P 是平面内一点，点E 与点C 关于BP 互为勾股顶针点，直线CP 与直线AD 交于点F ．在点E 运动过程中，线段BE 与线段AF 的长度是否会相等？若相等，请直接写出AE 的长；若不相等，请说明理由．10．已知，矩形ABCD 中，4,8AB cm BC cm ==，AC 的垂直平分EF 线分别交AD BC 、于点E F 、，垂足为O ．（1）如图1，连接AF CE 、，求证：四边形AFCE 为菱形；（2）如图2，动点P Q 、分别从A C 、两点同时出发，沿AFB △和CDE △各边匀速运动一周，即点P 自A F B A →→→停止，点O 自C D E C →→→停止．在运动过程中，①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A C P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，则t =____________．②若点P Q 、的运动路程分别为a b 、（单位:,0cm ab ≠），已知AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则a 与b 满足的数量关系式为____________．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②²²20m n n =+-【分析】（1）根据BEF BEA ≅得到BF BA =，根据三角形的三边关系得到BC BF BA >=，与已知矛盾；（2）①根据90BFC BFE ∠=∠=︒、DEC FCB ∠=∠和BF=CD ，利用AAS 证得BCF CED ≅，根据全等三角形的性质即可证明；②设1AD =，则可表示出AE 和AB ，然后根据等角对等边证得CE=CB ，然后在Rt CDE ∆中应用勾股定理即可求解．【详解】（1）由折叠知BEF BEA ≅ ，所以90BF BA BFE A =∠=∠=︒，．若点F 在CE 上，则90BFC ∠=︒，BC BF BA >=，与AB AD =矛盾，所以点F 不会落在CE 上．（2）①因为()01AB m m AD=<<，则AB AD < ，因为点F 落在CE 上，所以90BFC BFE ∠=∠=︒ ，所以BF BA CD == ．因为//AD BC ，所以DEC FCB ∠=∠ ，所以BCF CED ≅ ，所以CF DE =．②若AE n AD=，则AE nAD =．设1AD =，则AE n AB m ==，．因为//AD BC ，所以BEA EBC ∠=∠ ．因为BEF BEA ∠=∠ ，所以EBC BEC ∠=∠ ，所以1CE CB AD === ．在Rt CDE ∆中，11DE n CE CD m ===一，，，所以22211()n m -+= ，所以²²20m n n =+-．故答案为（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②²²20m n n =+-．【点睛】本题考查了三角形全等的性质和判定，和等边对等角，此题属于矩形的折叠问题类综合题，熟练掌握三角形全等的性质，和做出示意图是本题的关键．2．（1）ΔDPM,ΔFPG；等腰直角；（2）线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；PG PC＝；（3）2【分析】（1）延长GP交DC于点M，由Р是线段DF的中点，//DC CF，可得∠MDP=∠GFP，DP=FP，利用ASA可证明△DPM≌△FPG；可得DM=GF，MP=GP，根据正方形的性质可得CM=CG，即可证明△CMG是等腰直角三角形，即可得答案；（2）如图，延长GP交DC于点H，利用ASA可证明△GFP≌△HDP，可得GP＝HP，GF＝HD，进而根据菱形的性质可证明△CHG是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得PG⊥PC，∠HCP=∠GCP，由∠ABC=60°可得∠HCG=120°，进而可得∠CGP=30°，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理即可得答案；（3）利用线段的和差关系可求出图2中CG的长，由（2）可知∠CGP=30°，根据含30°角的直角三角形的性质即可求出CP的长；在图3中，延长GP到N，使GP=PN，连接DN、CN、CG，过N作NK⊥CD，交CD延长线于K，利用SAS可证明△FGP≌△DNP，可得GF=DN，∠GFP=∠NDP，根据角的和差关系可得∠CDN=120°，根据平角的定义可得∠GBC=120°，利用菱形的性质及等量代换可得DN=GB，利用SAS可证明△NDC≌△GBC，可得CN=CG，∠DCN=∠BCG，根据等腰三角形的性质可得PC⊥GN，根据角的和差关系可得∠NCG=120°，进而可得出∠CNP=30°，可得PC=12CG，根据平角的定义可得∠KDN=60°，即可得出∠KND=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得得出KD的长，利用勾股定理可求出KN的长，再利用勾股定理可求出CN的长，根据含30°角的直角三角形的性质即可得出PC的长．【详解】（1）如图，延长GP交DC于点M，∵Р是线段DF的中点，四边形ABCD、BEFG是正方形，点,,A B E在同一条直线上，∴//DC CF，DP=FP，CD=BC，FG=BG，在△DPM和△FPG中，MDP GFPDP FPDPM FPG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DPM≌△FPG，∴DM=FG，KP=GP，∴CD-DM=BC-BC，即CM=CG，∴△CMG是等腰直角三角形，∴PG⊥PC，PG=PC．故答案为：ΔDPM，ΔFPG；等腰直角（2）猜想：线段PG 与PC 的位置关系是PG ⊥PC ；PG PC 3．如图，延长GP 交DC 于点H ，∵P 是线段DF 的中点，∴FP ＝DP ，∵四边形ABCD 和四边形BEFG 是菱形，∴CD//AB ，CF//BE ，CD ＝CB ，GF=GB ，∵点A B E 、、在一条直线上，∴DC ∥GF ，∴∠GFP ＝∠HDP ，在△GFP 和△HDP 中，GFP HDP FP DP GPF HPD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△GFP ≌△HDP ，∴GP ＝HP ，GF ＝HD ，∴CD-DH ＝CB-GB ，即CG ＝CH ，∴△CHG 是等腰三角形．∴PG ⊥PC ，（三线合一），∠HCP=∠GCP ，∵∠ABC ＝∠BEF ＝60°，∴∠HCG=120°，∴∠CGP=12（180°-120°）=30°， ∴CG=2PC ，∴2222(2)3CG PC PC PC PC -=-=， ∴PG PC 3（3）如图2，∵AB=6，BE=2，∴CG=AB-BE=4，由（2）可知∠CGP=30°，PG⊥PC，∴PC=12CG=2，如图3，延长GP到N，使GP=PN，连接DN、CN、CG，过N作NK⊥CD，交CD延长线于K，在△DNP和△FGP中，DP FPNPD GPF PN PG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DNP≌△FGP，∴DN=GF=BG=BE=2，∠NDP=∠GFP，∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，∴CD//AB，EF//BC，∵点A、B、G在一条直线上，∴DC∥EF，∴∠CDP=∠EFP，∵∠ABC=∠BEF=60°，∴∠EFG=∠CBG=120°，∴∠NDP+CDP=∠GFP+∠EFP=∠EFG=120°，即∠NDC=120°，∴∠KDN=60°，∠KND=30°，∴KD=12DN=1，223DN KD-=，∴CK=CD+KD=7，∴22CK NK+213在△CDN和△CBG中，CD BCCDN CBG ND BG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CN=CG，∠DCN=∠BCG，∴PC⊥GN，∠DCN+∠NCB=∠BCG+∠NCB=∠DCB=120°，即∠NCG=120°，∴∠CNP=12（180°-∠NCG）=30°，∴PC=12CN=13．故答案为：213【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，正确作出辅助线、熟记30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质及全等三角形的判定定理是解题关键．3．（1）①等腰；②2BE ；（2）①2；②存在，351 2【分析】（1）①由折叠的性质得EF＝BF，即可得出结论；②当折痕经过点A时，由折叠的性质得AF垂直平分BE，由线段垂直平分线的性质得AE＝BE，证出ABE是等腰直角三角形，即可得出BE2AE；（2）①由等边三角形的性质得BF＝BE，∠EBF＝60°，则∠ABE＝30°，由直角三角形的性质得BE＝2AE，AB33，则AE＝1，BE＝2，得BF＝2即可；②当点F在边BC上时，得S△BEF≤12S矩形ABCD，即当点F与点C重合时S△BEF最大，由折叠的性质得CE＝CB＝3EF＝3当点F在边CD上时，过点F作FH∥BC交AB于点H，交BE于点K，则S△EKF＝1 2KF•AH≤12HF•AH＝12S矩形AHFD，S△BKF＝12KF•BH≤12HF•BH＝12S矩形BCFH，得S△BEF≤12S矩形ABCD ＝3，即当点F为CD的中点时，BEF的面积最大，此时，DF＝12CD＝32，点E与点A重合，由勾股定理求出EF即可．【详解】解：（1）①由折叠的性质得：EF＝BF，∴BEF是等腰三角形；故答案为：等腰；②当折痕经过点A时，由折叠的性质得：AF垂直平分BE，∴AE＝BE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠A＝90°，∴ABE是等腰直角三角形，∴BE＝2AE；故答案为：BE＝2AE；（2）①当BEF是等边三角形时，BF＝BE，∠EBF＝60°，∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，∵∠A＝90°，∴BE＝2AE，AB＝3AE＝3，∴AE＝1，BE＝2，∴BF＝2；②存在，理由如下：∵矩形ABCD中，CD＝AB＝3，BC＝23，∴矩形ABCD的面积＝AB×BC＝3×23＝6，第一种情况：当点F在边BC上时，如图1所示：此时可得：S△BEF≤12S矩形ABCD，即当点F与点C重合时S△BEF最大，此时S△BEF＝3，由折叠的性质得：CE＝CB＝23，即EF＝23；第二种情况：当点F在边CD上时，过点F作FH∥BC交AB于点H，交BE于点K，如图2所示：∵S△EKF＝12KF•AH≤12HF•AH＝12S矩形AHFD，S△BKF＝12KF•BH≤12HF•BH＝12S矩形BCFH，∴S△BEF＝S△EKF+S△BKF≤12S矩形ABCD＝3，即当点F 为CD 的中点时，BEF 的面积最大，此时，DF ＝12CD ＝2，点E 与点A 重合，BEF 的面积为3，∴EF ＝2；综上所述，BEF 的面积存在最大值，此时EF 的长为2．【点睛】此题考查的是矩形与折叠问题，此题难度较大，掌握矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质和勾股定理是解决此题的关键．4．（1）8-2t ，8-t ；（2）83或74 【分析】（1）根据P 、Q 的运动速度以及AB 和CD 的长即可表示；（2）分PQ=PB 、BP=BQ 和QP=QB 三种情况进行分析即可．【详解】解：（1）由题意可得：DP=2t ，AQ=t ，∴PC=8-2t ，BQ=8-t ，故答案为：8-2t ，8-t ；（2）当PQ=PB 时，如图①，QH=BH ，则t+2t=8，解得，t=83，当PQ=BQ 时，（2t-t ）2+62=（8-t ）2，解得，t=74，当BP=BQ 时，（8-2t ）2+62=（8-t ）2，方程无解；∴当t=83或74时，△BPQ 为等腰三角形．【点睛】本题考查的是矩形的性质、等腰三角形的判定，掌握性质并灵活运用性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．5．（1）①见解析；②GFC 是等腰三角形，证明见解析；（2）4+4﹣【分析】（1）①只要证明△DAH ≌△DCH ，即可解决问题；②只要证明∠CFG=∠FCG ，即可解决问题；（2）分两种情形解决问题：①当点F 在线段CD 上时，连接DE ．②当点F 在线段DC 的延长线上时，连接DE ．分别求出EC 即可解决问题．【详解】（1）①证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADB ＝∠CDB ＝45°，DA ＝DC ，在△DAH 和△DCH 中，DA DC ADH CDH DH DH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAH ≌△DCH ，∴∠DAH ＝∠DCH ；∵∠ECG=∠DAH ，∴∠ECG=∠DCH ，∵∠ECG+∠FCG=∠FCE=90°，∴∠DCH+∠FCG=90°，∴CH ⊥CG.②∵在Rt △ADF 中，∠DFA+∠DAF ＝90°，由①得∠DCH+∠FCG=90°，∠DAH ＝∠DCH ；∴∠DFA ＝∠FCG ，又∵∠DFA ＝∠CFG ，∴∠CFG ＝∠FCG ，∴GF ＝GC ，∴△GFC 是等腰三角形（2）BE 的长为 4+25425- ．①如图①当点F 在线段CD 上时，连接DE ．∵∠GFC＝∠GCF，又∵在Rt△FCG中，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，∴∠GCE＝∠GEC，∴EG＝GC＝FG，∴G是EF的中点，∴GM是△DEF的中位线∴DE＝2MG＝6，在Rt△DCE中，CE＝2264-＝25，-＝22DE DC∴BE＝BC+CE＝4+25．②当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．同法可知GM是△DEC的中位线，∴DE＝2GM＝5，在Rt△DCE中，CE2264-5-22DE DC∴BE＝BC﹣CE＝4﹣5综上所述，BE的长为4+54﹣25【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．+=，见解析；（3）534）46．（1）15，8；（2）PE PF CG【分析】解决问题（1）只需运用面积法：ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，即可解决问题；（2）解法同（1）；（3）连接PA 、PB 、PC ，作AM BC ⊥于M ，由等边三角形的性质得出152BM BC ==，由勾股定理得出2253AM AB BM =-=，得出ABC ∆的面积12532BC AM =⨯=，由ABC ∆的面积BCP =∆的面积ACP +∆的面积APB +∆的面积1111()2532222BC PE AC PF AB PG AB PE PF PG =⨯+⨯+⨯=++=，即可得出答案；（4）过点E 作EQ BC ⊥，垂足为Q ，易证BE BF =，过点E 作EQ BF ⊥，垂足为Q ，由解决问题（1）可得PG PH EQ +=，易证EQ DC =，BF DF =，只需求出BF 即可．【详解】解：（1）∵PE AB ⊥，10AB =，3PE =，∴ABP ∆的面积111031522AB PE =⨯=⨯⨯=， ∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CG AB ⊥，且ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，∴AB CG AB PE AC PF ⋅=⋅+⋅，∵AB AC =，∴358CG PE PF =+=+=.故答案为：15，8.（2）∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CG AB ⊥，且ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，∴AB CG AB PE AC PF ⋅=⋅+⋅，∵AB AC =，∴CG PE PF =+.（3）连接PA 、PB 、PC ，作AM BC ⊥于M ，如图2所示：∵10AB AC BC ===，∴ABC ∆是等边三角形，∵AM BC ⊥， ∴152BM BC ==， ∴222210553AM AB BM =-=-=，∴ABC ∆的面积11105325322BC AM =⨯=⨯⨯=， ∵PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥， ∴ABC ∆的面积BCP =∆的面积ACP +∆的面积APB +∆的面积111222BC PE AC PF AB PG =⨯+⨯+⨯1()2AB PE PF PG =++ 253=，∴225353PE PF PG ⨯++==. （4）过点E 作EQ BC ⊥，垂足为Q ，如图3所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC =，90C ADC ∠=∠=︒，∵8AD =，3CF =，∴5BF BC CF AD CF =-=-=，由折叠可得：5DF BF ==，BEF DEF ∠=∠，∵90C ∠=︒，∴2222534DC DF FC =-=-=，∵EQ BC ⊥，90C ADC ∠=∠=︒，∴90EQC C ADC ∠=︒=∠=∠，∴四边形EQCD 是矩形，∴4EQ DC ==，∵//AD BC ，∴DEF EFB ∠=∠，∵BEF DEF ∠=∠，∴BEF EFB ∠=∠，∴BE BF =，由解决问题（1）可得：PG PH EQ +=，∴4PG PH +=，即PG PH +的值为4.【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质与判定、等边三角形的性质、勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．7．（1）2t =；（2）222=24PD PE PD PE ++⋅-； (3)①当06x ≤≤时，S △PAE ②当6x ≥时, S △PAE 【解析】【分析】（1）设直线AB 为3y kx =+，把B(-3,0)代入，求得k ，确定解析式；再设设t 秒后构成平行四边形，根据题意列出方程，求出t 即可；（2）过E 作关于x 轴对于点E ',连接EE′交x 轴于点P ,则此时PE+PD 最小.由（1）得到当t=2时，有C 0），D(3+,3)，再根据AB ∥CD ，求出直线CD 和AB 1的解析式，确定E 的坐标；然后再通过乘法公式和线段运算，即可完成解答.（3）根据（1）可以判断有06x ≤≤和6x ≥两种情况，然后分类讨论即可.【详解】（1）解：设直线AB 为3y kx =+，把B(-3,0)代入得：033k =-+∴1k =∴3y x由题意得：设t 秒后构成平行四边形，则33222t t ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭解之得：2t =，（2）如图:过E 作关于x 轴对于点E ',连接EE′交x 轴于点P ,则此时PE+PD 最小.由（1）t=2得：∴C 30），D(33,3)∵AB ∥CD∴设CD 为1y x b =+把C 30）代入得b 1=3∴CD 为：y x 3=-易得1AB 为：3y x =-+ ∴33y x y x ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩解之得：33+33- ∴22222233332()32433PD PE PD PE PD PE E D '⎛-+++⋅=+==++=- ⎝⎭⎝⎭ (3)①当06x ≤≤时S △PAE =S △PAB1-S △PEB1=133(6)(33)(6)32x x ⎛--+--= ⎝⎭②当6x ≥时：S △PAE =S △PAB1-S △PEB1=133(6)(33)(6)32x x ⎛--+--= ⎝⎭【点睛】本题是一次函数的综合题型，主要考查了用待定系数求一次函数的关系式，点的坐标的确定，动点问题等知识点.解题的关键是扎实的基本功和面对难题的自信.8．（1）32）见详解．【分析】（1）根据所给的60°，判断出等边三角形，得出BE=6，根据所给比例关系，求出CE ，然后求出三角形面积；（2）利用已知条件能够求出ABF ≌ADH ，之后需要构造全等图形，使所求的BG+GD 转化在同一直线上，然后根据含有30°的特殊直角三角形的关系，即可证明出结果．【详解】解：（1）如图：过A 点作AN ⊥BE ，交BE 于N ．∵60ABC ∠=︒，6AB AE ==∴△ABE 为等边三角形，∴AB=BE=AE=6即：AN=33∵:5:2BC CE =∴:5:3BC BE =∵BE=6∴BC=10∴EC=4 ∴113346322ACE S AN EC ==⨯=即：ACE △的面积为3．（2）如图：延长GD 至P 使DP=BG ，连接AP ，∵AH=AF ，∴∠AFH=∠AHF即：∠AFB=∠AHD ，又∵AF=AH ，BF=DH ，∴ABF ≌ADH∴AB=AD又∵180ABG ADG ∠+∠=︒，180ADP ADG ∠+∠=︒，∴∠ABG=∠ADP∵BG=DP ，∴ABG ≌ADP △∴AG=AP ，∠BAG=∠DAP∵∠ABC=60°∴∠BAD=120°即：∠GAP=120°∴∠AGP=∠APG=60°，又∵AM ⊥GD∴3，∵BG=GP∴BG+GD=GD+DP=GP即：3．【点睛】本题重点考察在平行四边形中利用平行四边形的性质证明图形面积，以及构造全等图形求多边之间的关系，构造全等三角形是本题的解题关键．9．（1）①D 、E ，②A ，理由见解析；（2）①作图见解析；②BE 与AF 可能相等，AE 的长度分别为43，367，2或18．【分析】（1）根据互为顶点，互为勾股顶针点的定义即可判断．（2）①以C 为圆心，CB 为半径画弧交AD 于F ，连接CF ，作∠BCF 的角平分线交AB 于E ，点E ，点F 即为所求．②分四种情形：如图①中，当BE AF =时；如图②中，当BE AF =时；如图③中，当BE BC AF ==时，此时点F 与D 重合；如图④中，当BE CB AF ==时，点F 与点D 重合，分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）根据互为顶点，互为勾股顶针点的定义可知：①点A 与点D 和E 关于BC 互为顶针点；②点D 与点A 关于BC 互为勾股顶针点，理由：如图2中，∵△BDC 是等边三角形，∴∠D ＝60°，∵AB ＝AC ，∠ABC ＝30°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝120°，∴∠A ＋∠D ＝180°，∴点D 与点A 关于BC 互为勾股顶针点，故答案为：D 和E ，A ．（2）①如图，点E 、F 即为所求(本质就是点B 关于CE 的对称点为F ，相当于折叠)．②BE 与AF 可能相等，情况如下：情况一：如图①，由上一问易知，,BE EP BC PC ==，当BE AF =时，设AE x =，连接EF ，∵,,90BE EP AF EF EF EAF FPE ===∠=∠=︒，∴()EAF FPE HL ∆∆≌，∴AE PF x ==，在Rt CDF ∆中，()1082DF AD AF x x =-=--=+，10CF PC PF x =-=-，∴2228(2)(10)x x ++=-，解得43x =，即43AE =；情况二：如图②当BE AF =时，设AE x =，同法可得PF AE x ==，则8BE AF x ==-，FP FG GP EG AG AE x =+=+==，则18DF x =-，10CF x =+，在Rt CDF ∆中，则有2228(18)(10)x x +-=+，解得：367x =；情况三：如图③，当BE BC AF ==时，此时点D 与F 重合，可得1082AE BE AB =-=-=；情况四：如图④，当BE CB AF ==时,此时点D 与F 重合，可得18AE AB BE AB BC =+=+=．综上所述，BE 与AF 可能相等，AE 的长度分别为43，367，2或18．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．10．（1）见解析；（2）①43t =；②12a b += 【分析】(1)先证明四边形AFCE 为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；(2)①分情况讨论可知，当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；②分三种情况讨论可知a 与b 满足的数量关系式.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥∴,CAD ACB AEF CEF ∠=∠∠=∠，∵EF 垂直平分AC ，垂足为O ，∴OA OC =，∴AOE COF △≌△，∴OE OF =，∴四边形AFCE 为平行四边形，又∵EF OF ⊥∴四边形AFCE 为菱形，（2）①43t =秒．显然当P 点在AF 上时，Q 点在CD 上，此时AC P Q 、、、四点不可能构成平行四边形；同理P 点在AB 上时，Q 点在DE 或CE 上，也不能构成平行四边形．因此只有当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形．∴以AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC QA = ∴点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，∴5,4124PC t QA CD AD t t ==+-=-，∴5124t t =-，解得43t = ∴以AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，43t =秒． ②a 与b 满足的数量关系式是12a b +=，由题意得，以AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P Q 、在互相平行的对应边上，分三种情况：i ）如图1，当P 点在AF 上、Q 点在CE 上时，AP CP =，即12a b =-，得12a b +=． ii ）如图2，当P 点在B 上、Q 点在DE 上时，AQ CP =，即12b a -=，得12a b +=． iii ）如图3，当P 点在AB 上、Q 点在CD 上时，AQ CP =，即12a b -=，得12a b +=．综上所述，a 与b 满足的数量关系式是()120a b ab +=≠．【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，解题中注意分类讨论的思想.。

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题提优专项训练试题

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题提优专项训练试题一、选择题1．已知点A （4，0），B （0，﹣4），C （a ，2a ）及点D 是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD 的长的最小值为（） A ．655B ．1255C ．32D ．422．如图，△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝2，点D 是BC 上的一个动点，点D 关于AB ，AC 的对称点分别是点E ，F ，四边形AEGF 是平行四边形，则四边形AEGF 面积的最小值是（）A ．1B ．6 C ．2 D ．33．如图，菱形ABCD 中，∠A 是锐角，E 为边AD 上一点，△ABE 沿着BE 折叠，使点A 的对应点F 恰好落在边CD 上，连接EF ，BF ，给出下列结论： ①若∠A =70°，则∠ABE =35°；②若点F 是CD 的中点，则S △ABE 13S 菱形ABCD 下列判断正确的是（）A ．①，②都对B ．①，②都错C ．①对，②错D ．①错，②对4．如图，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD ，小明从顶点A 沿着花坛间小路直到走到长边中点O ，再从中点O 走到正方形OCDF 的中心1O ，再从中心1O 走到正方形1O GFH 的中点2O ，又从中心2O 走到正方形2O IHJ 的中心3O ，再从中心3O 走到正方形3O KJP 的中心4O ，一共走了312，则长方形花坛ABCD 的周长是（）A ．36mB ．48mC ．96mD ．60m5．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C =90°，AB =8，AD =CD =5，点M 为BC 上异于B 、C 的一定点，点N 为AB 上的一动点，E 、F 分别为DM 、MN 的中点，当N 从A 到B 的运动过程中，线段EF 扫过图形的面积为 ( )A ．4B ．4.5C ．5D ．66．如图，正方形ABCD 的边长为10，8AG CH ==，6BG DH ==，连接GH ，则线段GH 的长为（）A ．83B ．22C ．145D ．1052-7．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，△ABD ，△ACE ，△BCF 都是等边三角形，下列结论中：①AB ⊥AC ；②四边形AEFD 是平行四边形；③∠DFE ＝150°；④S 四边形AEFD ＝5．正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE ＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为（）A．0.5 B．2.5 C．2D．19．如图，正方形ABCD的边长为2，Q为CD边上（异于C，D）的一个动点，AQ交BD于点M．过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下面结论：①AM=MN；②MP=2；③△CNQ的周长为3；④BD+2BP=2BM，其中一定成立的是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．①④10．如图，△ABC中，AB＝24，BC＝26，CA＝14．顺次连接△ABC各边中点，得到△A1B1C1；再顺次连接△A1B1C1各边中点，得到△A2B2C2…如此进行下去，得到n n nA B C，则△A8B8C8的周长为（）A．1 B．12C．14D．18二、填空题11．在平行四边形ABCD 中， BC边上的高为4 ，AB=5 ，25AC ，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO、OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处．若OA＝8，CF＝4，则点E的坐标是_____．13．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为边CD 的中点，点P 在线段AB 上运动，F 是CP 的中点，则CEF ∆的周长的最小值是____________．14．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．15．如图，以Rt ABC 的斜边AB 为一边，在AB 的右侧作正方形ABED ，正方形对角线交于点O ，连接CO ，如果AC=4，CO=62，那么BC=______．16．如图，四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝48°，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，则∠DHO ＝_____度．17．如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线EF 交对角线AC 于点F ，垂足为点E ，若27CDF ∠=︒，则DAB ∠的度数为____________．18．如图，正方形ABCD 面积为1，延长DA 至点G ，使得AG AD =，以DG 为边在正方形另一侧作菱形DGFE ，其中45EFG ︒∠=，依次延长, , AB BC CD 类似以上操作再作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点, , , ,F H M N 则四边形FHMN 的面积为___________．19．如图，矩形ABCD 中，CE CB BE ==，延长BE 交AD 于点M ，延长CE 交AD 于点F ，过点E 作EN BE ⊥，交BA 的延长线于点N ，23FE AN ==，，则BC =_________．20．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若点D 是斜边AB 的中点，则CD ＝12AB ，运用：如图2，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED 连接BE ，CE ，DE ，则CE 的长为_____．三、解答题21．如图，在Rt ABC ∆中，090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F （1）求证：四边形ADCF 是菱形（2）若4,5AC AB ==，求菱形ADCF 的面积22．如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别为OB 、OD 的中点，延长AE 至G ，使EG AE =，连接CG ．（1）求证：AOE COF ∆≅∆；（2）四边形EGCF 是平行四边形吗？请说明理由；（3）若四边形EGCF 是矩形，则线段AB 、AC 的数量关系是______．23．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC ，AD 于点E ，F ，连接BF ．（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE ＝OF ；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF 的形状，并证明你的结论；（3）若AB ＝1，BC ＝5，且BF ＝DF ，求旋转角度α的大小．24．在矩形ABCD 中，连结AC ，点E 从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿着B A →的路径运动，运动时间为t （秒）．以BE 为边在矩形ABCD 的内部作正方形BEHG ．（1）如图，当ABCD 为正方形且点H 在ABC ∆的内部，连结,AH CH ，求证：AH CH =；（2）经过点E 且把矩形ABCD 面积平分的直线有______条；（3）当9,12AB BC ==时，若直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1：3两部分，求t 的值．25．已知在ABC 和ADE 中， 180ACB AED ∠+∠=︒，CA CB =，EA ED =，3AB =．（1）如图1，若90ACB ∠=︒，B 、A 、D 三点共线，连接CE ： ①若522CE =，求BD 长度； ②如图2，若点F 是BD 中点，连接CF ，EF ，求证：2CE EF =；（2）如图3，若点D 在线段BC 上，且2CAB EAD ∠=∠，试直接写出AED 面积的最小值．26．共顶点的正方形ABCD 与正方形AEFG 中，AB =13，AE =52．（1）如图1，求证：DG =BE ；（2）如图2，连结BF ，以BF 、BC 为一组邻边作平行四边形BCHF ． ①连结BH ，BG ，求BHBG的值； ②当四边形BCHF 为菱形时，直接写出BH 的长．27．（解决问题）如图1，在ABC ∆中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．（1）若3PE =，5PF =，则ABP ∆的面积是______，CG =______．（2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．（3）（变式探究）如图2，在ABC ∆中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ∆内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求PE PF PG ++的值．（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．28．在正方形中，连接，为射线上的一个动点（与点不重合），连接，的垂直平分线交线段于点，连接，.提出问题：当点运动时，的度数是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点的两个特殊位置：①当点与点重合时，如图1所示，____________②当时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：__________；（填“变化”或“不变化”）（2）然后考察点的一般位置：依题意补全图3，图4，通过观察、测量，发现：（1）中①的结论在一般情况下_________；（填“成立”或“不成立”）（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由.29．如图，矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD于点E，F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）若四边形DEBF是菱形，则需要增加一个条件是_________________，试说明理由；（3）在（2）的条件下，若AB=8，AD=6，求EF的长．30．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝；（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；（3）若AG517DE的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据题意可判定此题需分两种情况讨论，如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，根据垂直及F点坐标可先求的直线FC的函数解析式，进而通过求得点C坐标来求CD；如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝42，对比两种情况即可求得CD最小值.【详解】解：如图，由题意点C在直线y＝2x上，如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，易知直线AB为y＝x﹣4，∵AF＝FB，∴点F坐标为（2，﹣2），∵CF⊥直线y＝2x，设直线CF为y＝﹣12x+b′F（2，﹣2）代入得b′＝﹣1∴直线CF为y＝﹣12x﹣1，由2112y xy x=⎧⎪⎨=--⎪⎩解得2545xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴点C坐标（25-，45-）．∴CD＝2CF＝2．如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝5，∴CD的最小值为5．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与平行四边形的综合题，解本题的关键是找到何时CD最短. 2．D解析：D【解析】【分析】由对称的性质和菱形的定义证出四边形AEGF是菱形，得出∠EAF=2∠BAC=120°，当AD⊥BC最小时，AD的值最小，即AE的值最小，即菱形AEGF面积最小，求出，即可得出四边形AEGF的面积的最小值．【详解】由对称的性质得：AE=AD=AF，∵四边形AEGF是平行四边形，∴四边形AEGF是菱形，∴∠EAF=2∠BAC=120°，当AD⊥BC最小时，AD的值最小，即AE的值最小，即菱形AEGF面积最小，∵∠ABC=45°，AB=2，∴，∴四边形AEGF的面积的最小值=212⨯=．故选：D【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、对称的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．3．A解析：A【解析】【分析】只要证明BF BC =，可得ABF BFC C 70∠∠∠===，即可得出ABE 35∠=；延长EF 交BC 的延长线于M ，只要证明DEF ≌CMF ，推出EF FM =，可得EMB BCDE S S =四边形，BEF MBE 1S S 2=，推出ABE ABCD 1S S 3菱形=．【详解】 ①∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∠C=∠A=70°．∵BA=BF=BC ，∴∠BFC=∠C=70°，∴∠ABF=∠BFC=70°，∴∠ABE 12=∠ABF=35°，故①正确；②如图，延长EF 交BC 的延长线于M ，∵四边形ABCD 是菱形，F 是CD 中点，∴DF=CF ，∠D=∠FCM ，∠EFD=∠MFC ，∴△DEF ≌△CMF ，∴EF=FM ，∴S 四边形BCDE =S △EMB ，S △BEF 12=S △MBE ，∴S △BEF 12=S 四边形BCDE ，∴S △ABE 13=S 菱形ABCD ．故②正确，故选A ．【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．4．C解析：C【解析】设正方形O 3KJP 的边长为a ，根据正方形的性质知：O 3O 42a ，正方形O 2IHJ 的边长为2a ，O 2O 32a ，正方形O 1GFH 的边长为4a ，O 1O 22a ，正方形OCDF 的边长为8a ，OO 12a ，∵AO=2OO 12am ，∴2222222，解得：a=2m ，∴FD=8a=16m ，∴长方形花坛ABCD 的周长是2×（2FD+CD ）=6FD=96m ，故选C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线与边长的关系，正方形的中心到顶点的距离等于到边的距离的2倍，熟记性质是解题的关键． 5．A 解析：A 【分析】取MB 的中点P ，连接FP ，EP ，DN ，由中位线的性质，可得当N 从A 到B 的运动过程中，点F 在FP 所在的直线上运动，即：线段EF 扫过图形为∆EFP ，求出当点N 与点A 重合时，FP 的值，以及FP 上的高，进而即可求解．【详解】取MB 的中点P ，连接FP ，EP ，DN ，∵FP 是∆MNB 的中位线，EF 是∆DMN 的中位线，∴FP ∥BN ，FP=12BN ，EF ∥DN ，EF=12DN ， ∴当N 从A 到B 的运动过程中，点F 在FP 所在的直线上运动，即：线段EF 扫过图形为∆EFP ．∴当点N 与点A 重合时，FP=12BN =12BA =4，过点D 作DQ ⊥AB 于点Q ，∵AB ∥CD ，∠C =90°，AB =8，AD =CD =5，∴AQ=8-5=3，∴DQ=2222534AD AQ -=-=，∴当点N 与点Q 重合时，EF=11222DN DQ ==，EF ∥DQ ，即：EF ⊥AB ，即：EF ⊥FP ， ∴∆EFP 中，FP 上的高=2，∴当N 从A 到B 的运动过程中，线段EF 扫过图形的面积=12×4×2=4．故选A ．【点睛】本题主要考查中位线的性质定理，勾股定理以及三角形的面积公式，添加合适的辅助线，构造三角形以及三角形的中位线，是解题的关键．6．B解析：B【分析】延长DH 交AG 于点E ，利用SSS 证出△AGB ≌△CHD ，然后利用ASA 证出△ADE ≌△DCH ，根据全等三角形的性质求出EG 、HE 和∠HEG ，最后利用勾股定理即可求出HG ．【详解】解：延长DH 交AG 于点E∵四边形ABCD 为正方形∴AD=DC=BA=10，∠ADC=∠BAD=90°在△AGB 和△CHD 中AG CH BA DC BG DH =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△AGB ≌△CHD∴∠BAG=∠DCH∵∠BAG ＋∠DAE=90°∴∠DCH ＋∠DAE=90°∴CH 2＋DH 2=82＋62=100= DC 2∴△CHD 为直角三角形，∠CHD=90°∴∠DCH ＋∠CDH=90°∴∠DAE=∠CDH ，∵∠CDH ＋∠ADE=90°∴∠ADE=∠DCH在△ADE 和△DCH 中ADE DCH AD DCDAE CDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△DCH∴AE=DH=6，DE=CH=8，∠AED=∠DHC=90°∴EG=AG －AE=2，HE= DE －DH=2，∠GEH=180°－∠AED=90°在Rt △GEH 中，2222EG HE +=故选B ．【点睛】此题考查是正方形的性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握正方形的性质、全等三角形的判定及性质和利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键．7．C解析：C【分析】由222AB AC BC +=，得出∠BAC =90°，则①正确；由等边三角形的性质得∠DAB =∠EAC =60°，则∠DAE =150°，由SAS 证得△ABC ≌△DBF ，得AC =DF =AE =4，同理△ABC ≌△EFC （SAS ），得AB =EF =AD =3，得出四边形AEFD 是平行四边形，则②正确；由平行四边形的性质得∠DFE=∠DAE =150°，则③正确；∠FDA =180°－∠DFE =30°，过点A 作AM DF ⊥于点M ，1143622AEFD SDF AM DF AD ===⨯⨯=，则④不正确；即可得出结果．【详解】解：∵22234=5+，∴222AB AC BC +=，∴∠BAC=90°，∴AB ⊥AC ，故①正确； ∵△ABD ，△ACE 都是等边三角形，∴∠DAB=∠EAC=60°，又∴∠BAC=90°，∴∠DAE=150°，∵△ABD 和△FBC 都是等边三角形，∴BD=BA ，BF=BC ，∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，∴∠DBF=∠ABC ，在△ABC 与△DBF 中，BD BA DBF ABC BF BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DBF （SAS ），∴AC=DF=AE=4，同理可证：△ABC ≌△EFC （SAS ），∴AB=EF=AD=3，∴四边形AEFD 是平行四边形，故②正确；∴∠DFE=∠DAE=150°，故③正确；∴∠FDA=180°-∠DFE=180°－150°=30°，过点A 作AM DF ⊥于点M ， ∴1143622AEFD S DF AM DF AD ===⨯⨯=，故④不正确；∴正确的个数是3个，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平角、周角、平行是四边形面积的计算等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．8．B解析：B【分析】由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．【详解】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，如图，将ΔEFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到ΔEFB≅ΔEHG，从而可知ΔEBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，如图，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则1351=2.5222CM MP CP HE EC=+=+=+=.故选B．【点睛】本题考查了线段极值问题，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是解本题的关键．9．C解析：C【分析】连接AC交BD于O，作ME⊥AB于E，MF⊥BC于F，延长CB到H，使得BH=DQ．①正确．只要证明△AME≌△NMF即可；②正确．只要证明△AOM≌△MPN即可；③错误．只要证明∠ADQ≌△ABH，由此推出△ANQ≌△ANH即可；④正确．只要证明△AME≌△NMF，证得四边形EMFB是正方形即可解决问题；【详解】连接AC交BD于O，作ME⊥AB于E，MF⊥BC于F，延长CB到H，使得BH=DQ．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，222，∠DBA=∠DBC=45°，∴ME=MF，∵∠MEB=∠MFB=∠EBF=90°，∴四边形EMFB是矩形，∵ME=MF，∴四边形EMFB是正方形，∴∠EMF=∠AMN=90°，∴∠AME=∠NMF，∵∠AEM=∠MFN=90°，∴△AME≌△NMF（ASA），∴AM=MN，故①正确；∵∠OAM+∠AMO=90°，∠AMO+∠NMP=90°，∴∠AMO=∠MNP，∵∠AOM=∠NPM=90°，∴△AOM≌△MPN（AAS），∴，故②正确；∵DQ=BH，AD=AB，∠ADQ=∠ABH=90°，∴∠ADQ≌△ABH（SAS），∴AQ=AH，∠QAD=∠BAH，∴∠BAH+∠BAQ=∠DAQ+∠BAQ=90°，∵AM=MN，∠AMN=90°，∴∠MAN=45°，∴∠NAQ=∠NAH=45°，∴△ANQ≌△ANH（SAS），∴NQ=NH=BN+BH=BN+DQ，∴△CNQ的周长=CN+CQ+BN+DQ=4，故③错误；∵BD+2BP=2BO+2BP=2AO+2BP=2PM+2BP，∴BD+2BP=2BM，故④正确．故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．10．C解析：C【分析】根据三角形中位线定理求出△A1B1C1的周长，根据计算总结规律，根据规律解答.【详解】根据三角形中位线定理求出△A1B1C1的周长，根据计算结果总结规律，根据规律解答．解：∵A1、C1分别为AB、AC的中点，∴A1C1＝BC＝13，同理，A1B1＝12AC＝7，B1C1＝12AB＝12，∴△A1B1C1的周长＝7+12+13＝32，∴△A1B1C1的周长＝△ABC的周长×12，则△A2B2C2的周长＝△A1B1C1的周长×12＝△ABC的周长×（12）2，……∴△A8B8C8的周长＝△ABC的周长×（12）8＝64×1256＝14，故选：C．【点睛】本题考查三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键.二、填空题11．12或20【分析】根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．【详解】解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=25，在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222CE AC AE，(25)42在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222BE AB AE543=-=-=,∴BC=BE+CE=3+2=5,此时平行四边形ABCD的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4，AB=5，AC=25在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222CE AC AE，(25)42在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222-=-,BE AB AE543∴BC=BE-CE=3-2=1,∴平行四边形ABCD的周长为2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,综上所述，平行四边形ABCD的周长等于12或20．故答案为：12或20．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部讨论是解题关键．12．(-10，3)【解析】试题分析：根据题意可知△CEF∽△OFA，可根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得OF=2CE，设CE=x，则BE=8-x，然后根据折叠的性质，可得EF=8-x，根据勾股定理可得2224(8)x x+=-，解得x=3，则OF=6，所以OC=10，由此可得点E的坐标为（-10，3）.故答案为：（-10，3）13．222+【分析】由题意根据三角形的中位线的性质得到EF=12PD，得到C△CEF=CE+CF+EF=CE+12（CP+PD）=12（CD+PC+PD）=12C△CDP，当△CDP的周长最小时，△CEF的周长最小；即PC+PD的值最小时，△CEF的周长最小；并作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于P，进而分析即可得到结论．【详解】解：∵E为CD中点，F为CP中点，∴EF=12 PD，∴C△CEF=CE+CF+EF=CE+12（CP+PD）=12（CD+PC+PD）=12C△CDP∴当△CDP的周长最小时，△CEF的周长最小；即PC+PD的值最小时，△CEF的周长最小；如图，作D关于AB的对称点T，连接CT，则PD=PT，∵AD=AT=BC=2，CD=4，∠CDT=90°，∴22224442CT CD DT++=∵△CDP的周长=CD+DP+PC=CD+PT+PC，∵PT+PC≥CT，∴PT+PC≥42∴PT+PC的最小值为2，∴△PDC的最小值为4+42∴C△CEF=12C△CDP=222．故答案为：222．【点睛】本题考查轴对称-最短距离问题以及三角形的周长的计算等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题．14．4:9【分析】设DP ＝DN ＝m ，则PN m ，PC ＝2m ，AD ＝CD ＝3m ，再求出FG=CF=12BC=32m ，分别求出两个阴影部分的面积即可解决问题．【详解】根据图形的特点设DP ＝DN ＝m ，则PN m ，∴m=MC ，，∴BC ＝CD ＝PC+DP=3m ，∵四边形HMPN 是正方形，∴GF ⊥BC∵∠ACB ＝45︒，∴△FGC 是等腰直角三角形，∴FG=CF=12BC=32m ， ∴S 1＝12DN×DP=12m 2，S 2＝12FG×CF=98m 2， ∴12:S S =12m 2: 98m 2=4:9，故答案为4：9．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．15．8【分析】通过作辅助线使得△CAO ≌△GBO ，证明△COG 为等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG 后，即可求出BC 的长．【详解】如图，延长CB 到点G ，使BG=AC ．∵根据题意，四边形ABED 为正方形，∴∠4=∠5=45°，∠EBA=90°，∴∠1+∠2=90°又∵三角形BCA 为直角三角形，AB 为斜边，∴∠2+∠3=90°∴∠1＝∠3∴∠1+∠5=∠3+∠4，故∠CAO ＝∠GBO ，在△CAO 和△GBO 中，CA GB CAO GBO AO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩故△CAO ≌△GBO ，∴CO ＝GO=627=∠6，∵∠7+∠8=90°，∴∠6+∠8=90°，∴三角形COG 为等腰直角三角形，∴()()2222=6262CO GO ++， ∵CG=CB+BG ，∴CB=CG －BG=12－4=8，故答案为8．【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据题意建立正确的辅助线以及掌握正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．16．24【分析】由菱形的性质可得OD＝OB，∠COD＝90°，由直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，可得OH＝12BD＝OB，可得∠OHB＝∠OBH，由余角的性质可得∠DHO＝∠DCO，即可求解．【详解】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°，∠DAB＝∠DCB＝48°，∵DH⊥AB，∴OH＝12BD＝OB，∴∠OHB＝∠OBH，又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC，在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO＝90°，在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO＝12∠DCB＝24°，故答案为：24．【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，余角的性质，是几何综合题，判断出OH是BD的一半，和∠DHO＝∠DCO是解决本题的关键．17．102【分析】根据菱形的性质求出∠DAB=2∠DAC，AD=CD；再根据垂直平分线的性质得出AF=DF，利用三角形内角和定理可以求得3∠CAD+∠CDF=180°，从而得到∠DAB的度数．【详解】连接BD，BF，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∴∠DAC=∠DCA．∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，∴AF=BF，BF=DF，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∴∠DAC+∠FDA+∠DCA+∠CDF=180°，即3∠DAC+∠CDF=180°，∵∠CDF=27°，∴3∠DAC+27°=180°，则∠DAC=51°，∴∠DAB=2∠DAC=102°．故答案为：102°．【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用以及菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD，BF，这是解答本题的突破口．18．1382+【分析】如图所示，延长CD交FN于点P，过N作NK⊥CD于点K，延长FE交CD于点Q，交NS于点R，首先利用正方形性质结合题意求出AD=CD=AG=DQ=1，然后进一步根据菱形性质得出DE=EF=DG=2，再后通过证明四边形NKQR是矩形得出QR=NK=2，进一步可得2221382=+=+，再延长NS交ML于点Z，利用全等三角形性质与判定证FN FR NR明四边形FHMN为正方形，最后进一步求解即可.【详解】如图所示，延长CD交FN于点P，过N作NK⊥CD于点K，延长FE交CD于点Q，交NS于点R，∵ABCD为正方形，∴∠CDG=∠GDK=90°，∵正方形ABCD面积为1，∴AD=CD=AG=DQ=1，∴DG=CT=2，∵四边形DEFG为菱形，∴DE=EF=DG=2，同理可得：CT=TN=2，∵∠EFG=45°，∴∠EDG=∠SCT=∠NTK=45°，∵FE∥DG，CT∥SN，DG⊥CT，∴∠FQP=∠FRN=∠DQE=∠NKT=90°，∴FQ=FE+EQ=2+∵∠NKT=∠KQR=∠FRN=90°，∴四边形NKQR是矩形，∴，∴FR=FQ+QR=2+，NR=KQ=DK−11=，∴22213=+=+FN FR NR再延长NS交ML于点Z，易证得：△NMZ≅△FNR(SAS)，∴FN=MN，∠NFR=∠MNZ，∵∠NFR+∠FNR=90°，∴∠MNZ+∠FNR=90°，即∠FNM=90°，同理可得：∠NFH=∠FHM=90°，∴四边形FHMN为正方形，∴正方形FHMN的面积=213FN=+故答案为：13+【点睛】本题主要考查了正方形和矩形性质与判定及与全等三角形性质与判定的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.19．663【分析】==，得到△FEM是等边三角形，根据含30°直通过四边形ABCD是矩形以及CE CB BE角三角形的性质以及勾股定理得到KM，NK，KE的值，进而得到NE的值，再利用30°直角三角形的性质及勾股定理得到BN，BE即可．【详解】解：如图，设NE交AD于点K，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠MFE=∠FCB，∠FME=∠EBC==，∵CE CB BE∴△BCE为等边三角形，∴∠BEC=∠ECB=∠EBC=60°，∵∠FEM=∠BEC，∴∠FEM=∠MFE=∠FME=60°，∴△FEM是等边三角形，FM=FE=EM=2，∵EN⊥BE，∴∠NEM=∠NEB=90°，∴∠NKA=∠MKE=30°，∴KM=2EM=4，NK=2AN=6，∴在Rt△KME中，KE=2223KM EM-=，∴NE=NK+KE=6+23，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=30°，∴BN=2NE=12+43，∴BE=22663BN NE-=+，∴BC=BE=663，故答案为：663【点睛】本题考查了矩形，等边三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用30°直角三角形的性质．20513【分析】根据12•BC•AH＝12•AB•AC，可得AH＝1313，根据12AD•BO＝12BD•AH，得OB＝13 13，再根据BE＝2OB＝121313，运用勾股定理可得EC．【详解】设BE交AD于O，作AH⊥BC于H．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，由勾股定理得：BC13∵点D是BC的中点，∴AD＝DC＝DB 13，∵12•BC•AH＝12•AB•AC，∴AH613∵AE＝AB，DE＝DB，∴点A 在BE 的垂直平分线上，点D 在BE 的垂直平分线上，∴AD 垂直平分线段BE ， ∵12AD •BO ＝12BD •AH ， ∴OB ＝61313， ∴BE ＝2OB ＝121313， ∵DE ＝DB=CD ， ∴∠DBE=∠DEB ，∠DEC=∠DCE ，∴∠DEB+∠DEC=12×180°=90°，即：∠BEC=90°， ∴在Rt △BCE 中，EC ＝22BC BE - ＝221213(13)()13-=513．故答案为：513．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，勾股定理以及翻折的性质，掌握“直角三角形斜边长的中线等于斜边的一半”以及面积法求三角形的高，是解题的关键．三、解答题21．（1）见解析（2）10【分析】（1）先证明AFE DBE ∆≅∆，得到AF DB =，AF CD =，再证明四边形ADCF 是平行四边形，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到12AD DC BC ==，即可证明四边形ADCF 是菱形。

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题提高题学能测试试卷

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题提高题学能测试试卷一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，30, 6, 63,BCD BC CD E ︒∠===是AD 边上的中点，F 是AB 边上的一动点，将AEF ∆沿EF 所在直线翻折得到A EF '∆,连接A C '，则A C '的最小值为( )A ．319B ．313C ．3193-D ．632．如图，矩形ABCD 中，AB ＝23，BC ＝6，P 为矩形内一点，连接PA ，PB ，PC ，则PA +PB +PC 的最小值是（）A ．43+3B ．221C ．23+6D ．453．如图，菱形ABCD 的边长为4，∠DAB =60°，E 为BC 的中点，在对角线AC 上存在一点P ，使△PBE 的周长最小，则△PBE 的周长的最小值为 ( )A ．23B ．4C ．232+D ．423+ 4．平行四边形的对角线分别为 x 、y ，一边长为 12，则 x 、y 的值可能是（） A ．8 与 14B ．10 与 14C ．18 与 20D ．4 与 285．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 是边CD 上一点，且BC ＝EC ，CF ⊥BE 交AB 于点F ，P 是EB 延长线上一点，下列结论：①BE 平分∠CBF ；②CF 平分∠DCB ；③BC ＝FB ；④PF ＝PC ．其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE BC⊥交对角线BD于E点，已知134A∠=︒，则BEC∠的大小为( )A．23︒B．28︒C．62︒D．67︒7．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD＝12AC，M、N、P分别是OA、OB、CD的中点，下列结论：①CN⊥BD；②MN＝NP；③四边形MNCP是菱形；④ND平分∠PNM．其中正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的长的最小值是( )A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．29．如图，△ABC中，AB＝24，BC＝26，CA＝14．顺次连接△ABC各边中点，得到△A1B1C1；再顺次连接△A1B1C1各边中点，得到△A2B2C2…如此进行下去，得到n n nA B C，则△A8B8C8的周长为（）A ．1B ．12C ．14D ．1810．如图，己知正方形ABCD 的边长为4， P 是对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ， PF ⊥CD 于点F ，连接AP ， EF ，给出下列结论：①PD=2EC ；②四边形PECF 的周长为8；③△APD 一定是等腰三角形；④AP=EF ；⑤EF 的最小值为22；⑥AP ⊥EF ，其中正确结论的序号为（）A ．①②④⑤⑥B ．①②④⑤C ．②④⑤D ．②④二、填空题11．在平行四边形ABCD 中，30,23,2A AD BD ∠=︒==，则平行四边形ABCD 的面积等于_____．12．如图，以Rt ABC 的斜边AB 为一边，在AB 的右侧作正方形ABED ，正方形对角线交于点O ，连接CO ，如果AC=4，CO=62，那么BC=______．13．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝OB ，点E ，F 分别是OA ，OD 的中点，连接EF ，EM ⊥BC 于点M ，EM 交BD 于点N ，若∠CEF ＝45°，FN ＝5，则线段BC 的长为_____．14．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，∠A ＝120°，E 是AB 的中点，点F 在平行四边形ABCD 的边上，若△AEF 为等腰三角形，则EF 的长为_____．15．如图正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，将△ABE 沿 AE 对折至△AFE ，延长 EF 交 CD 于G ，接 CF ，AG ．下列结论：① AE ∥FC ; ②∠EAG = 45°，且BE + DG = EG ；③ABCD 19CEF S S ∆=正方形；④ AD = 3DG ，正确是_______ (填序号)．16．在ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是BC 边上的高．将ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则DEF 的周长为______．17．已知：一组邻边分别为6cm 和10cm 的平行四边形ABCD ，DAB ∠和ABC ∠的平分线分别交CD 所在直线于点E ，F ，则线段EF 的长为________cm ．18．如图，菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，若将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，则第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为__________．19．如图，矩形纸片ABCD ，AB =5，BC =3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP =OF ，则AF 的值为______．20．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若点D 是斜边AB 的中点，则CD ＝12AB ，运用：如图2，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED 连接BE ，CE ，DE ，则CE 的长为_____．三、解答题21．已知，四边形ABCD 是正方形，点E 是正方形ABCD 所在平面内一动点（不与点D 重合），AB ＝AE ，过点B 作DE 的垂线交DE 所在直线于F ，连接CF ．提出问题：当点E 运动时，线段CF 与线段DE 之间的数量关系是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点E 的一个特殊位置：当点E 与点B 重合（如图①）时，点F 与点B 也重合．用等式表示线段CF 与线段DE 之间的数量关系：；（2）然后考察点E 的一般位置，分两种情况：情况1：当点E 是正方形ABCD 内部一点（如图②）时；情况2：当点E 是正方形ABCD 外部一点（如图③）时．在情况1或情况2下，线段CF 与线段DE 之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；拓展问题：（3）连接AF ，用等式表示线段AF 、CF 、DF 三者之间的数量关系：． 22．在ABCD 中，以AD 为边在ABCD 内作等边ADE ∆，连接BE ．（1）如图1，若点E 在对角线BD 上，过点A 作AHBD ⊥于点H ，且75DAB ∠=︒，AB 6=，求AH 的长度；（2）如图2，若点F 是BE 的中点，且CF BE ⊥，过点E 作MN CF ，分别交AB ，CD 于点,M N ，在DC 上取DG CN =，连接CE ，EG ．求证：①CEN DEG ∆∆≌； ②ENG ∆是等边三角形．23．已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠ABC =45°，D 为直线BC 上一动点（不与点B ，C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BC 与CF 的位置关系是，BC 、CF 、CD 三条线段之间的数量关系为；（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC 与CF 的位置关系BC ，CD ，CF 三条线段之间的数量关系并证明；（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF 的对角线AE ，DF 相交于点O ，OC =132，DB =5，则△ABC 的面积为．（直接写出答案） 24．综合与探究（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE =．CE 和CF 之间有怎样的关系．请说明理由．（2）如图2，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，如果45GCE ∠=︒，请你利用（1）的结论证明：GE BE CD =+．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3在直角梯形ABCD 中，//()AD BC BC AD >，90B ∠=︒，12AB BC ==，E 是AB 上一点，且45DCE ∠=︒，4BE =，求DE 的长．25．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC ，AD 于点E ，F ，连接BF ．（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE ＝OF ；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF 的形状，并证明你的结论；（3）若AB ＝1，BC ＝5，且BF ＝DF ，求旋转角度α的大小．26．如图，ABC 是等腰直角三角形，90,ACB ∠=︒分别以,AB AC 为直角边向外作等腰直角ABD △和等腰直角,ACE G 为BD 的中点，连接,,CG BE ,CD BE 与CD 交于点F ．（1）证明：四边形ACGD 是平行四边形；（2）线段BE 和线段CD 有什么数量关系，请说明理由；（3）已知2,BC =求EF 的长度(结果用含根号的式子表示)．27．如图①，已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，CD 上的点(点E ，F 不与端点重合)，且AE=DF ，BE ，AF 交于点P ，过点C 作CH ⊥BE 交BE 于点H ．（1）求证：AF ∥CH ；（2）若AB=23 ，AE=2，试求线段PH 的长；（3）如图②，连结CP 并延长交AD 于点Q ，若点H 是BP 的中点，试求 CPPQ的值． 28．在平面直角坐标中，四边形OCNM 为矩形，如图1，M 点坐标为（m ，0），C 点坐标为（0，n ），已知m ，n 满足550n m -+-=．（1）求m ，n 的值；（2）①如图1，P ，Q 分别为OM ，MN 上一点，若∠PCQ ＝45°，求证：PQ ＝OP+NQ ； ②如图2，S ，G ，R ，H 分别为OC ，OM ，MN ，NC 上一点，SR ，HG 交于点D ．若∠SDG ＝135°，55HG 2=，则RS ＝______；（3）如图3，在矩形OABC 中，OA ＝5，OC ＝3，点F 在边BC 上且OF ＝OA ，连接AF ，动点P 在线段OF 是（动点P 与O ，F 不重合），动点Q 在线段OA 的延长线上，且AQ ＝FP ，连接PQ 交AF 于点N ，作PM ⊥AF 于M ．试问：当P ，Q 在移动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若不变求出线段MN 的长度；若变化，请说明理由．29．如图，等腰直角三角形OAB 的三个定点分别为(0,0)O 、(0,3)A 、(3,0)B -，过A 作y 轴的垂线1l .点C 在x 轴上以每秒32的速度从原点出发向右运动，点D 在1l 上以每秒332+的速度同时从点A 出发向右运动，当四边形ABCD 为平行四边形时C 、D 同时停止运动，设运动时间为t .当C 、D 停止运动时，将△OAB 沿y 轴向右翻折得到△1OAB ，1AB 与CD 相交于点E ，P 为x 轴上另一动点. (1)求直线AB 的解析式，并求出t 的值.(2)当PE+PD 取得最小值时，求222PD PE PD PE ++⋅的值.(3)设P 的运动速度为1，若P 从B 点出发向右运动，运动时间为x ，请用含x 的代数式表示△PAE 的面积.30．问题背景若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．如图1，四边形ABCD 中，BC 是一条对角线，AB AC =，DB DC =，则点A 与点D 关于BC 互为顶针点；若再满足180A D +=︒∠∠，则点A 与点D 关于BC 互为勾股顶针点．初步思考(1)如图2，在ABC 中，AB AC =，30ABC ∠=︒，D 、E 为ABC 外两点，EB EC =，45EBC ∠=︒，DBC △为等边三角形． ①点A 与点______关于BC 互为顶针点；②点D 与点______关于BC 互为勾股顶针点，并说明理由．实践操作(2)在长方形ABCD 中，8AB =，10AD =．①如图3，点E 在AB 边上，点F 在AD 边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E 、F ，使得点E 与点C 关于BF 互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹) 思维探究②如图4，点E 是直线AB 上的动点，点P 是平面内一点，点E 与点C 关于BP 互为勾股顶针点，直线CP 与直线AD 交于点F ．在点E 运动过程中，线段BE 与线段AF 的长度是否会相等？若相等，请直接写出AE 的长；若不相等，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】如图，先作辅助线，首先根据垂直条件，求出线段ME 、DE 长度，然后运用勾股定理求出DE 的长度，再根据翻折的性质，当折线'EA ，'AC 与线段CE 重合时，线段'AC 长度最短，可以求出最小值. 【详解】如图，连接EC,过点E 作EM ⊥CD 交CD 的延长线于点M. 四边形ABCD 是平行四边形，6AD BC AD BC ∴==，，E 为AD 的中点，30BCD ∠=︒，330DE EA MDE BCD ∴==∠=∠=︒，，又 EM CD ⊥,133222ME DE DM ∴===， 331536322CM CD DM ∴=+== 根据勾股定理得：22223153319.22CE ME CM ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭根据翻折的性质，可得'3EA EA ==,当折线'EA，'AC与线段CE重合时，线段'AC长度最短，此时'AC= 3193-.【点睛】本题是平行四边形翻折问题，主要考查直角三角形勾股定理，根据题意作出辅助线是解题的关键.2．B解析：B【解析】【分析】将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．【详解】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC=PF，∵PB=EF，∴PA+PB+PC=PA+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴tan∠ACB=ABBC3，∴∠ACB=30°，AC=2AB=43∵∠BCE=60°，∴∠ACE=90°，∴22(43)6+21故选B．【点睛】本题考查轴对称—最短问题、矩形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．解析：C【分析】如下图，△BEP 的周长=BE+BP+EP ，其中BE 是定值，只需要BP+PE 为最小值即可，过点E 作AC 的对称点F ，连接FB ，则FB 就是BP+PE 的最小值．【详解】如下图，过点E 作AC 的对称点F ，连接FB ，FE ，过点B 作FE 的垂线，交FE 的延长线于点G∵菱形ABCD 的边长为4，点E 是BC 的中点∴BE=2∵∠DAB=60°，∴∠FCE=60°∵点F 是点E 关于AC 的对称点∴根据菱形的对称性可知，点F 在DC 的中点上则CF=CE=2∴△CFE 是等边三角形，∴∠FEC=60°，EF=2∴∠BEG=60°∴在Rt △BEG 中，EG=1，3∴FG=1+2=3∴在Rt △BFG 中，()2233+3根据分析可知，BF=PB+PE∴△PBE 的周长32故选：C【点睛】本题考查菱形的性质和利用对称性求最值问题，解题关键是利用对称性，将BP+PE 的长转化为FB 的长． 4．C解析：C【分析】如下图，将平行四边形ABCD 向上平移，得到平行四边形ADEF ，使得BC 与AD 重合，在△BDF 中，利用三角形三边关系可得到x+y 与x －y 的取值范围，从而得到结论.如下图，将平行四边形ABCD向上平移，得到平行四边形ADEF，使得BC与AD重合，连接BD，DF根据题意，设AB=12，BD=x，DF=y则AF=AB=12，BF=24∴在△BDF中，BD+FD＞BF，即：x+y＞24在△BDF中，BD－FD＜BF，即：x－y＜24满足条件的只有C选项故选：C【点睛】本题考查三角形三边关系，解题关键是将题干中已知线段和需要求解的线段转化到同一个三角形中去.5．D解析：D【分析】分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．【详解】证明：如图：∵BC＝EC，∴∠CEB＝∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CEB＝∠EBF，∴∠CBE＝∠EBF，∴①BE平分∠CBF，正确；∵BC＝EC，CF⊥BE，∴∠ECF＝∠BCF，∴②CF 平分∠DCB ，正确；∵DC ∥AB ，∴∠DCF ＝∠CFB ，∵∠ECF ＝∠BCF ，∴∠CFB ＝∠BCF ，∴BF ＝BC ，∴③正确；∵FB ＝BC ，CF ⊥BE ，∴B 点一定在FC 的垂直平分线上，即PB 垂直平分FC ，∴PF ＝PC ，故④正确．故选：D ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．6．D解析：D【分析】先说明ABD=∠ADC=∠CBD ，然后再利用三角形内角和180°求出即可∠CBD 度数，最后再用直角三角形的内角和定理解答即可.【详解】解：∵菱形ABCD∴AB=AD∴∠ABD=∠ADC∴∠ABD=∠CBD又∵134A ∠=︒∴∠CBD=∠BDC=∠ABD=∠ADB=12(180°-134°)=23° ∴BEC ∠=90°-23°=67°故答案为D.【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线平分每一组对角和三角形内角和定理. 7．C解析：C【分析】证出OC ＝BC ，由等腰三角形的性质得CN ⊥BD ，①正确；证出MN 是△AOB 的中位线，得MN ∥AB ，MN ＝12AB ，由直角三角形的性质得NP ＝12CD ，则MN ＝NP ，②正确；周长四边形MNCP 是平行四边形，无法证明四边形MNCP 是菱形；③错误；由平行线的性质和等腰三角形的性质证出∠MND＝∠PND，则ND平分∠PNM，④正确；即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，OA＝OC＝12 AC，∵AD＝12 AC，∴OC＝BC，∵N是OB的中点，∴CN⊥BD，①正确；∵M、N分别是OA、OB的中点，∴MN是△AOB的中位线，∴MN∥AB，MN＝12 AB，∵CN⊥BD，∴∠CND＝90°，∵P是CD的中点，∴NP＝12CD＝PD＝PC，∴MN＝NP，②正确；∵MN∥AB，AB∥CD，∴MN∥CD，又∵NP＝PC，MN＝NP，∴MN＝PC，∴四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；③错误；∵MN∥CD，∴∠PDN＝∠MND，∵NP＝PD，∴∠PDN＝∠PND，∴∠MND＝∠PND，∴ND平分∠PNM，④正确；正确的个数有3个，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质等；熟练掌握三角形中位线定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．8．B解析：B【分析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可.【详解】如图，连结CD.∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB22AC BC5.∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF＝CD.由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的长最小，此时，S△ABC＝12BC·AC＝12AB·CD，即12×4×3＝12×5·CD，解得CD＝2.4，∴EF＝2.4.故选B.【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．9．C解析：C【分析】根据三角形中位线定理求出△A1B1C1的周长，根据计算总结规律，根据规律解答.【详解】根据三角形中位线定理求出△A1B1C1的周长，根据计算结果总结规律，根据规律解答．解：∵A1、C1分别为AB、AC的中点，∴A1C1＝BC＝13，同理，A1B1＝12AC＝7，B1C1＝12AB＝12，∴△A1B1C1的周长＝7+12+13＝32，∴△A1B1C1的周长＝△ABC的周长×12，则△A2B2C2的周长＝△A1B1C1的周长×12＝△ABC的周长×（12）2，……∴△A8B8C8的周长＝△ABC的周长×（12）8＝64×1256＝14，故选：C．【点睛】本题考查三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键.10．A解析：A【分析】①根据正方形的对角线平分对角的性质，得△PDF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得DP=2EC．②先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC，则四边形PECF的周长为8；③根据P的任意性可以判断△APD不一定是等腰三角形；④由②可知，四边形PECF为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明AP=EF；⑤当AP最小时，EF最小，EF的最小值等于22；⑥证明∠PFH+∠HPF=90°，则AP⊥EF．【详解】①如图，延长FP交AB与G，连PC，延长AP交EF与H，∵GF∥BC，∴∠DPF=∠DBC，∵四边形ABCD是正方形∴∠DBC=45°∴∠DPF=∠DBC=45°，∴∠PDF=∠DPF=45°，∴PF=EC=DF，∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，∴2EC．故①正确；②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD=90°，∴四边形PECF为矩形，∴四边形PECF的周长=2CE+2PE=2CE+2BE=2BC=8，故②正确；③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45度，∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD 不是等腰三角形，故③错误．④∵四边形PECF 为矩形，∴PC=EF ，由正方形为轴对称图形，∴AP=PC ，∴AP=EF ，故④正确；⑤由EF=PC=AP ，∴当AP 最小时，EF 最小，则当AP ⊥BD 时，即AP=12BD=12时，EF 的最小值等于，故⑤正确； ⑥∵GF ∥BC ，∴∠AGP=90°，∴∠BAP+∠APG=90°，∵∠APG=∠HPF ，∴∠PFH+∠HPF=90°，∴AP ⊥EF ，故⑥正确；本题正确的有：①②④⑤⑥；故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．二、填空题11．【分析】分情况讨论作出图形，通过解直角三角形得到平行四边形的底和高的长度，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．【详解】解：过D 作DE AB ⊥于E ，在Rt ADE △中，30A ∠=︒，AD =12DE AD ∴==3AE AD ==，在Rt BDE △中，2BD =，1BE ∴==，如图1，4AB ∴=，∴平行四边形ABCD 的面积4343AB DE ==⨯=，如图2，2AB =， ∴平行四边形ABCD 的面积2323AB DE ==⨯=，如图3，过B 作BE AD ⊥于E ，在Rt ABE △中，设AE x =，则23DE x =-，30A ∠=︒，3BE x =，在Rt BDE △中，2BD =， 22232()(23)x x ∴=+-， 3x ∴=，23x =（不合题意舍去），1BE ∴=，∴平行四边形ABCD 的面积12323AD BE ==⨯=，如图4，当AD BD ⊥时，平行四边形ABCD 的面积43AD BD ==，故答案为：323【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用、30度角的直角三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键．12．8【分析】通过作辅助线使得△CAO ≌△GBO ，证明△COG 为等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG 后，即可求出BC 的长．【详解】如图，延长CB 到点G ，使BG=AC ．∵根据题意，四边形ABED 为正方形，∴∠4=∠5=45°，∠EBA=90°，∴∠1+∠2=90°又∵三角形BCA 为直角三角形，AB 为斜边，∴∠2+∠3=90°∴∠1＝∠3∴∠1+∠5=∠3+∠4，故∠CAO ＝∠GBO ，在△CAO 和△GBO 中，CA GB CAO GBO AO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩故△CAO ≌△GBO ，∴CO ＝GO=627=∠6，∵∠7+∠8=90°，∴∠6+∠8=90°，∴三角形COG 为等腰直角三角形，∴()()2222=6262CO GO ++， ∵CG=CB+BG ，∴CB=CG －BG=12－4=8，故答案为8．【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据题意建立正确的辅助线以及掌握正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．13．45【分析】设EF＝x，根据三角形的中位线定理表示AD＝2x，AD∥EF，可得∠CAD＝∠CEF＝45°，证明△EMC是等腰直角三角形，则∠CEM＝45°，证明△ENF≌△MNB，则EN＝MN＝12 x，BN＝FN＝5，最后利用勾股定理计算x的值，可得BC的长．【详解】解：设EF＝x，∵点E、点F分别是OA、OD的中点，∴EF是△OAD的中位线，∴AD＝2x，AD∥EF，∴∠CAD＝∠CEF＝45°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2x，∴∠ACB＝∠CAD＝45°，∵EM⊥BC，∴∠EMC＝90°，∴△EMC是等腰直角三角形，∴∠CEM＝45°，连接BE，∵AB＝OB，AE＝OE∴BE⊥AO∴∠BEM＝45°，∴BM＝EM＝MC＝x，∴BM＝FE，易得△ENF≌△MNB，∴EN＝MN＝12x，BN＝FN＝5，Rt△BNM中，由勾股定理得：BN2＝BM2+MN2，即22215()2x x =+ 解得，x ＝25，∴BC ＝2x ＝45．故答案为：45．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题．14．33或3或572 【分析】△AEF 为等腰三角形，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和30°直角三角形性质、平行四边形的性质可求解．【详解】解：当AE AF =时，如图，过点A 作AH EF ⊥于H ，E 是AB 的中点，132AE AB ∴==， =AE AF ，AH EF ⊥，120A ∠=︒，30AEF AFE ∴∠=∠=︒，FHEH =， 1322AH AE ∴==，333EH AH ==， 233EF EH ∴==，当AF EF =时，如图2，过点A 作AN CD ⊥于N ，过点F 作FM AB ⊥于M ，图2在平行四边形ABCD 中，6AB =，4BC =，120A ∠=︒，4AD BC ∴==，60ADC ∠=︒，30DAN ∴∠=︒，122DN AD ∴==，323AN DN ==， //AB CD ，AN CD ⊥，FM AB ⊥，23AN MF ∴==，AF EF =，FM AB ⊥，32AM ME ∴==， 22957124EF ME MF ∴=+=+=；当3AE EF ==时，如图3，图33EF ∴=，综上所述：EF 的长为33357．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．15．①②④【分析】①根据折叠得△ABE ≌△AFE ，证明△EFC 是等腰三角形，得到∠EFC=∠ECF ，根据∠BEF=∠EFC+∠FEC ，得出∠BEA=∠AEF=∠EFC=∠ECF ，即可证明AE ∥FC ，故①正确；②根据四边形ABCD 是正方形，且△ABE ≌△AFE ，证明Rt △AFG ≌Rt △ADG ，得出∠FAG=∠GAD ，根据∠BAF+∠FAD=90°，推出∠EAF+∠FAG=45°，可得∠EAG=45°，根据全等得：BE=FE ，DG=FG ，即可得BE+DG=EF+GF=EG ，故②正确；③先求出S △ECG ，根据EF ：FG=2a ：3a =3：2，得出S △EFC ：S △FCG =3：2，即S △EFC =2110a ，再根据S ABCD =a 2，得出S △CEF ：S △ABCD =2110a ：2a ，即S △CEF =110S ABCD ，故③错误；④设正方形的边长为a ，根据勾股定理得22AB BE +52a ，设DG=x ，则CG=a-x ，FG=x ，EG=2a +x ，再根据勾股定理求出x ，即可得出结论，故④正确．【详解】解：①由折叠可得△ABE ≌△AFE ，∴∠BEA=∠AEF ，BE=EF ，∵E 是BC 中点，∴BE=CE=EF ，∴△EFC 是等腰三角形，∴∠EFC=∠ECF ，∵∠BEF=∠EFC+∠FEC ，∴∠BEA=∠AEF=∠EFC=∠ECF ，∴AE ∥FC ，故①正确；②∵四边形ABCD 是正方形，且△ABE ≌△AFE ，∴AB=AF=AD ，∠B=∠D=∠AFG ，∴△AFG 和△ADG 是直角三角形，∴在Rt △AFG 和Rt △ADG 中AF AD AG AG ==⎧⎨⎩， ∴Rt △AFG ≌Rt △ADG （HL ），∴∠FAG=∠GAD ，又∵∠BAF+∠FAD=90°，∴2∠EAF+2∠FAG=90°，即∠EAF+∠FAG=45°，∴∠EAG=45°，由全等得：BE=FE ，DG=FG ，∴BE+DG=EF+GF=EG ，故②正确；③对于Rt △ECG ，S △ECG =12×EC ×CG=12×2a ×23a =216a ， ∵EF ：FG=2a ：3a =3：2，则S △EFC ：S △FCG =3：2，即S △EFC =2110a ，又∵S ABCD =a 2，则S △CEF ：S △ABCD =2110a ：2a ，即S △CEF =110S ABCD ，故③错误； ④设正方形的边长为a ， ∴AB=AD=AF=a ，BE=EF=2a =EC ，由勾股定理得，设DG=x ，则CG=a-x ，FG=x ， EG=2a +x ， ∴EG 2=EC 2+CG 2，即（2a +x ）2=（2a ）2+（a-x ）2，解得x=3a ，CG=23a ，即AD=3DG 成立，故④正确．【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握这些知识点灵活运用是解题关键．16．15.5【分析】先根据折叠的性质可得,AE DE EAD EDA =∠=∠，再根据垂直的定义、直角三角形的性质可得B BDE ∠=∠，又根据等腰三角形的性质可得BE DE =，从而可得6DE AE BE ===，同理可得出5DF AF CF ===，然后根据三角形中位线定理可得1 4.52EF BC ==，最后根据三角形的周长公式即可得．【详解】由折叠的性质得：,AE DE EAD EDA =∠=∠AD 是BC 边上的高，即AD BC ⊥90B EAD ∴∠+∠=︒，90BDE EDA ∠+∠=︒B BDE ∴∠=∠BE DE ∴=1112622DE AE BE AB ∴====⨯= 同理可得：1110522DF AF CF AC ====⨯= 又,AE BE AF CF ==∴点E 是AB 的中点，点F 是AC 的中点EF ∴是ABC 的中位线119 4.522EF BC ∴==⨯= 则DEF 的周长为65 4.515.5DE DF EF ++=++=故答案为：15.5．【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知识点，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得出BE DE =是解题关键．17．2或14【分析】利用当AB=10cm,AD=6cm ，由于平行四边形的两组对边互相平行，又AE 平分∠BAD ，由此可以推出所以∠BAE=∠DAE ，则DE=AD=6cm ；同理可得：CF=CB=6cm ，而EF=CF+DE-DC ，由此可以求出EF 长；同理可得：当AD=10cm,AB=6cm 时，可以求出EF 长【详解】解：如图1，当AB=10cm,AD=6cm∵AE 平分∠BAD∴∠BAE=∠DAE ，又∵AD ∥CB∴∠EAB=∠DEA ，∴∠DAE=∠AED ，则AD=DE=6cm同理可得：CF=CB=6cm∵EF=DE+CF-DC=6+6-10=2(cm)如图2，当AD=10cm,AB=6cm,∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠DAE又∵AD ∥CB∴∠EAB=∠DEA ，∴∠DAE=∠AED 则AD=DE=10cm同理可得，CF=CB=10cm EF=DE+CF-DC=10+10-6=14（cm ）故答案为：2或14.图1 图2【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线的性质等知识，关键是平行四边形的不同可能性进行分类讨论．18．（-2，0）【分析】先计算得到点D 的坐标，根据旋转的性质依次求出点D 旋转后的点坐标，得到变化的规律即可得到答案．【详解】∵菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，∴对角线的交点D 的坐标是（2,2）， ∴22222OD =+=将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，旋转1次后坐标是（0，22），旋转2次后坐标是（-2,2），旋转3次后坐标是（-，0），旋转4次后坐标是（-2，-2），旋转5次后坐标是（0，-旋转6次后坐标是（2，-2），旋转7次后坐标是（,0），旋转8次后坐标是（2,2）旋转9次后坐标是（0，由此得到点D 旋转后的坐标是8次一个循环，∵201982523÷=，∴第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为（-，0）故答案为：（-0）．【点睛】此题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角坐标系中点坐标的变化规律，根据点D 的坐标依次求出旋转后的坐标得到变化规律是解题的关键．19．207【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE 、CP=EP ，由“AAS”可证△OEF ≌△OBP ，可得出OE=OB 、EF=BP ，设EF=x ，则BP=x 、DF=5-x 、BF=PC=3-x ，进而可得出AF=2+x ，在Rt △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，即可得AF 的长．【详解】解：∵将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，∴DC =DE =5，CP =EP ．在△OEF 和△OBP 中，90EOF BOP B E OP OF ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩, ∴△OEF ≌△OBP （AAS ），∴OE =OB ，EF =BP ．设EF =x ，则BP =x ，DF =DE -EF =5-x ，又∵BF =OB +OF =OE +OP =PE =PC ，PC =BC -BP =3-x ，∴AF =AB -BF =2+x ．在Rt △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，∴（2+x ）2+32=（5-x ）2，∴x =67∴AF =2+67=207故答案为：207【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．20 【分析】根据12•BC •AH ＝12•AB •AC ，可得AH ＝13，根据 12AD •BO ＝12BD •AH ，得OB ＝13，再根据BE ＝2OB ＝13，运用勾股定理可得EC ．【详解】设BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，由勾股定理得：BC∵点D 是BC 的中点，∴AD ＝DC ＝DB ， ∵12•BC •AH ＝12•AB •AC ，∴AH ∵AE ＝AB ，DE ＝DB ，∴点A 在BE 的垂直平分线上，点D 在BE 的垂直平分线上，∴AD 垂直平分线段BE ， ∵12AD •BO ＝12BD •AH ，∴OB ＝13，∴BE ＝2OB ＝13， ∵DE ＝DB=CD ， ∴∠DBE=∠DEB ，∠DEC=∠DCE ，∴∠DEB+∠DEC=12×180°=90°，即：∠BEC=90°，∴在Rt △BCE 中，EC ＝22BC BE - ＝221213(13)()13-=51313．故答案为：51313．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，勾股定理以及翻折的性质，掌握“直角三角形斜边长的中线等于斜边的一半”以及面积法求三角形的高，是解题的关键．三、解答题21．（1）DE 2CF ；（2）在情况1与情况2下都相同，详见解析；（3）AF ＋CF ＝2DF 或|AF －CF |2 【分析】（1）易证△BCD 是等腰直角三角形，得出2CB ，即可得出结果；（2）情况1：过点C 作CG ⊥CF ，交DF 于G ，设BC 交DF 于P ，由ASA 证得△CDG ≌△CBF ，得出DG=FB ，CG=CF ，则△GCF 是等腰直角三角形，2CF ，连接BE ，设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠DEA=∠ADE=90°-α，求出∠DAE=2α，则∠EAB=90°-2α，∠BEA=∠ABE=12（180°-∠EAB ）=45°+α，∠CBE=45°-α，推出∠FBE=45°，得出△BEF 是等腰直角三角形，则EF=BF ，推出EF=DG ，DE=FG ，得出2CF ；情况2：过点C 作CG ⊥CF 交DF 延长线于G ，连接BE ，设CD 交BF 于P ，由ASA 证得△CDG ≌△CBF ，得出DG=FB ，CG=CF ，则△GCF 是等腰直角三角形，得2CF ，设∠CDG=α，则∠CBF=α，证明△BEF 是等腰直角三角形，得出EF=BF ，推出DE=FG ，得出2CF ；（3）①当F 在BC 的右侧时，作HD ⊥DF 交FA 延长线于H ，由（2）得△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，由SSS 证得△ABF ≌△AEF ，得出∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则△HDF 是等腰直角三角形，得2DF ，DH=DF ，∵∠HDF=∠ADC=90°，由SAS 证得△HDA ≌△FDC ，得CF=HA ，即可得出2；②当F 在AB 的下方时，作DH ⊥DE ，交FC 延长线于H ，在DF 上取点N ，使CN=CD ，连接BN ，证明△BFN 是等腰直角三角形，得BF=NF ，由SSS 证得△CNF ≌△CBF ，得∠NFC=∠BFC=12∠BFD=45°，则△DFH 是等腰直角三角形，得2，DF=DH ，由SAS 证得△ADF ≌△CDH ，得出CH=AF ，即可得出2DF ；③当F在DC的上方时，连接BE，作HD⊥DF，交AF于H，由（2）得△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则△HDF是等腰直角三角形，得出HF=2DF，DH=DF，由SAS证得△ADC≌△HDF，得出AH=CF，即可得出AF-CF=2DF；④当F在AD左侧时，作HD⊥DF交AF的延长线于H，连接BE，设AD交BF于P，证明△BFE是等腰直角三角形，得EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则∠DFH=∠EFA=45°，△HDF是等腰直角三角形，得DH=DF，HF=2DF，由SAS证得△HDA≌△FDC，得出AF=CF，即可得出CF-AF=2DF．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠BCD=90°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴DB=2CB，当点E、F与点B重合时，则DE=2CF，故答案为：DE=2CF；（2）在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中结论相同；理由如下：情况1：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB=AD=AB=AE，∠BCD=∠DAB=∠ABC=90°，过点C作CG⊥CF，交DF于G，如图②所示：则∠BCD=∠GCF=90°，∴∠DCG=∠BCF，设BC交DF于P，∵BF⊥DE，∴∠BFD=∠BCD=90°，∵∠DPC=∠FPB，∴∠CDP=∠FBP，在△CDG和△CBF中，。

八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题检测试卷

八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题检测试卷一、选择题1．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点(点P 不与点B 、D 重合)，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP ＝EF ；②AP ⊥EF ；③仅有当∠DAP ＝45°或67.5°时，△APD 是等腰三角形；④∠PFE ＝∠BAP ：⑤22PD ＝EC ．其中有正确有( )个．A ．2B ．3C ．4D ．52．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AC 上的一点，且AB=AE ，过点A 作AF ⊥BE ，垂足为F ，交BD 于点G ，点H 在AD 上，且EH ∥AF.若正方形ABCD 的边长为2，下列结论：①OE=OG ；②EH=BE ；③AH=222-，其中正确的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．如图，菱形ABCD 的边，8AB =，60B ∠=,P 是AB 上一点，3BP =，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点'A ．当'CA 的长度最小时，'C Q 的长为（）A ．5B ．7C ．8D ．1324．如图，在ABC 中，BD ，CE 是ABC 的中线，BD 与CE 相交于点O ，点F G ，分别是，BO CO 的中点，连接AO ，若要使得四边形DEFG 是正方形，则需要满足条件（）A ．AO BC =B ．AB AC ⊥ C ．AB AC =且AB AC ⊥D ．AO BC =且AO BC ⊥5．如图，在矩形ABCD 中，把矩形ABCD 绕点C 旋转，得到矩形FECG ，且点E 落在AD 上，连接BE ，BG ，BG 交CE 于点H ，连接FH ，若FH 平分EFG ，则下列结论：①AE CH EH +=；②2DEC ABE ∠=∠；③BH HG =；④2CH AB =，其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，矩形ABCD 中，5AD =，7AB =，点E 为DC 上一个动点，把ADE ∆沿AE 折叠，点D 的对应点为D ，若D 落在ABC ∠的平分线上时，DE 的长为( )A ．53或2B ．52或53C ．52或35D ．35或2 7．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AG BC ⊥于G ，作AH CD ⊥于H ，且45GAH ∠=︒，2AG =，3AH =，则平行四边形的面积是（）A．62B．122C．6D．128．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边 BC 上一动点，PE⊥AB 于 E，PF⊥AC于F，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为（）A．1 B．1.3 C．1.2 D．1.59．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将ADE沿AE对折至AFE，延长交BC于点G，连接AG.则BG的长（）A．1 B．2 C．3D．310．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H.给出如下几个结论：①△AED≌△DFB：②GC平分∠BGD；③S四边形BCDG＝3CG2；④∠BGE的大小为定值．其中正确的结论个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11．如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为．12．如图，∠MAN=90°，点C 在边AM 上，AC=4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A′BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称，点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，连接DE 并延长交A′B 所在直线于点F ，连接A′E ．当△A′EF 为直角三角形时，AB 的长为_____．13．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A ，B 两点，“九曲桥”的每一段与AC 平行或BD 平行，若AB ＝100m ，∠A ＝∠B ＝60°，则此“九曲桥”的总长度为_____．14．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，点G 是EF 的中点，连接CG ，BG ，BD ，DG ，下列结论：①BC=DF ；②135DGF ︒∠=；③BG DG ⊥；④34AB AD =，则254BDG FDG S S =，正确的有__________________．15．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为_____．16．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，∠A ＝120°，E 是AB 的中点，点F 在平行四边形ABCD 的边上，若△AEF 为等腰三角形，则EF 的长为_____．17．如图，Rt ABE ∆中，90,B AB BE ︒∠==, 将ABE ∆绕点A 逆时针旋转45︒，得到,AHD ∆过D 作DC BE ⊥交BE 的延长线于点C ，连接BH 并延长交DC 于点F ，连接DE 交BF 于点O ．下列结论：①DE 平分HDC ∠；②DO OE =； ③CD HF =； ④2BC CF CE -=； ⑤H 是BF 的中点，其中正确的是___________18．如图，在正方形ABCD 中，AC=62，点E 在AC 上，以AD 为对角线的所有平行四边形AEDF 中，EF 最小的值是_________．19．如图，正方形ABCD 面积为1，延长DA 至点G ，使得AG AD =，以DG 为边在正方形另一侧作菱形DGFE ，其中45EFG ︒∠=，依次延长, , AB BC CD 类似以上操作再作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点, , , ,F H M N 则四边形FHMN 的面积为___________．20．如图，四边形ABCP 是边长为4的正方形，点E 在边CP 上，PE =1；作EF ∥BC ，分别交AC 、AB 于点G 、F ，M 、N 分别是AG 、BE 的中点，则MN 的长是_________．三、解答题21．如图，在正方形ABCD 中，点G 在对角线BD 上（不与点B ，D 重合），GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，连结AG ．（1）写出线段AG ，GE ，GF 长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD 的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG 的长．22．在四边形ABCD 中，90A B C D ∠∠∠∠====，10AB CD ==，8BC AD ==．()1P 为边BC 上一点，将ABP 沿直线AP 翻折至AEP 的位置(点B 落在点E 处) ①如图1，当点E 落在CD 边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形(不写作法，保留作图痕迹，用2B 铅笔加粗加黑).并直接写出此时DE =______； ②如图2，若点P 为BC 边的中点，连接CE ，则CE 与AP 有何位置关系？请说明理由；()2点Q 为射线DC 上的一个动点，将ADQ 沿AQ 翻折，点D 恰好落在直线BQ 上的点'D 处，则DQ =______； 23．如图1，ABC ∆是以ACB ∠为直角的直角三角形，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABFG ，BCED ，连结AD ，CF ，AD 与CF 交于点M ，AB 与CF 交于点N ．（1）求证：ABD FBC ∆≅∆；（2）如图2，在图1基础上连接AF 和FD ，若6AD =，求四边形ACDF 的面积．24．如图，平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ．（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2） ①当AE 的长为多少时，四边形CEDF 是矩形；②当AE = cm 时，四边形CEDF 是菱形，（直接写出答案，不需要说明理由）．25．我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论.（发现与证明．．）ABCD 中，AB BC ≠，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D . 结论1：'AB C ∆与ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形；结论2：'B D AC .试证明以上结论. （应用与探究）在ABCD 中，已知2BC =，45B ∠=，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D .若以A 、C 、D 、'B 为顶点的四边形是正方形，求AC 的长.（要求画出图形）26．类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”．（1）已知：如图1，在“准等边四边形”ABCD中，BC≠AB，BD⊥CD，AB=3，BD=4，求BC 的长；（2）在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形．请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；（3）如图2，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°．在AB的垂直平分线上是否存在点P，使得以A，B，C，P为顶点的四边形为“准等边四边形”．若存在，请求出该“准等边四边形”的面积；若不存在，请说明理由．27．（1）问题探究：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，AE是∠BAD 的平分线，则线段AB，AD，DC之间的等量关系为；（2）方法迁移：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，AE是∠BAF的平分线，试探究线段AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论；（3）联想拓展：如图③，AB∥CF，E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，试探究线段AB，DF，CF之间的数量关系，并证明你的结论．28．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。

八年级初二数学第二学期平行四边形单元易错题难题提高题检测试卷

八年级初二数学第二学期平行四边形单元易错题难题提高题检测试卷一、解答题1．在四边形ABCD 中，90A B C D ∠∠∠∠====，10AB CD ==，8BC AD ==．()1P 为边BC 上一点，将ABP 沿直线AP 翻折至AEP 的位置(点B 落在点E 处)①如图1，当点E 落在CD 边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形(不写作法，保留作图痕迹，用2B 铅笔加粗加黑).并直接写出此时DE =______；②如图2，若点P 为BC 边的中点，连接CE ，则CE 与AP 有何位置关系？请说明理由；()2点Q 为射线DC 上的一个动点，将ADQ 沿AQ 翻折，点D 恰好落在直线BQ 上的点'D 处，则DQ =______；2．在数学的学习中，有很多典型的基本图形．（1）如图①，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为D 、E ．试说明ABD CAE ≌；（2）如图②，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、A 、F 在同一条直线上，BD DF ⊥，3AD =，4BD =．则菱形AEFC 面积为______．（3）如图③，分别以Rt ABC 的直角边AC 、AB 向外作正方形ACDE 和正方形ABFG ，连接EG ，AH 是ABC 的高，延长HA 交EG 于点I ，若6AB =，8AC =，求AI 的长度．3．已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交于BE 的延长线于点F ，且AF=DC ，连接CF ．（1）求证：D 是BC 的中点；（2）如果AB=AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．4．如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.（1）在如图（1）的AB 边上求作一点N ，连接CN ，使CN AM =；（2）在如图（2）的AD 边上求作一点Q ，连接CQ ，使CQ AM .5．已知在平行四边形ABCD 中，AB BC ≠，将ABC 沿直线AC 翻折，点B 落在点尽处，AD 与CE 相交于点O ，联结DE ．（1）如图1，求证：//AC DE ；（2）如图2，如果90B ∠=︒，3AB =，6=BC ，求OAC 的面积；（3）如果30B ∠=︒，23AB =，当AED 是直角三角形时，求BC 的长．6．如图，锐角ABC ∆，AB AC =，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作ADE ∆，使AE AD =，EAD BAC ∠=∠．（1）过点E 作//EF DC 交AB 于点F ，连接CF （如图①）①请直接写出EAB ∠与DAC ∠的数量关系； ②试判断四边形CDEF 的形状，并证明；（2）若60BAC ∠=，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，连接EF （如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．7．已知正方形ABCD 与正方形（点C 、E 、F 、G 按顺时针排列），是的中点，连接，.（1）如图1，点E 在上，点在的延长线上，求证：DM =ME ，DM ⊥.ME简析：由是的中点，AD ∥EF ，不妨延长EM 交AD 于点N ，从而构造出一对全等的三角形，即 ≌ .由全等三角形性质，易证△DNE 是三角形,进而得出结论. （2）如图2，在DC 的延长线上，点在上，（1）中结论是否成立？若成立,请证明你的结论；若不成立，请说明理由.（3）当AB=5，CE=3时，正方形的顶点C 、E 、F 、G 按顺时针排列.若点E 在直线CD 上，则DM= ;若点E 在直线BC 上，则DM= . 8．问题背景若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．如图1，四边形ABCD 中，BC 是一条对角线，AB AC =，DB DC =，则点A 与点D 关于BC 互为顶针点；若再满足180A D +=︒∠∠，则点A 与点D 关于BC 互为勾股顶针点．初步思考(1)如图2，在ABC 中，AB AC =，30ABC ∠=︒，D 、E 为ABC 外两点，EB EC =，45EBC ∠=︒，DBC △为等边三角形． ①点A 与点______关于BC 互为顶针点；②点D 与点______关于BC 互为勾股顶针点，并说明理由．实践操作(2)在长方形ABCD 中，8AB =，10AD =．①如图3，点E 在AB 边上，点F 在AD 边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E 、F ，使得点E 与点C 关于BF 互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹) 思维探究②如图4，点E 是直线AB 上的动点，点P 是平面内一点，点E 与点C 关于BP 互为勾股顶针点，直线CP 与直线AD 交于点F ．在点E 运动过程中，线段BE 与线段AF 的长度是否会相等？若相等，请直接写出AE 的长；若不相等，请说明理由．9．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线EF ，GH 分别交边AB 、CD ，AD 、BC 于点E 、F 、G 、H ．（1）观察发现：如图①，若四边形ABCD 是正方形，且EF ⊥GH ，易知S △BOE ＝S △AOG ，又因为S △AOB ＝14S 四边形ABCD ，所以S 四边形AEOG ＝ S 正方形ABCD ；（2）类比探究：如图②，若四边形ABCD 是矩形，且S 四边形AEOG ＝14S 矩形ABCD ，若AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝m ，求AG 的长（用含a 、b 、m 的代数式表示）；（3）拓展迁移：如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，且S 四边形AEOG ＝14S ▱ABCD ，若AB ＝3，AD ＝5，BE ＝1，则AG ＝．10．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝；（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；（3）若AG＝517，请直接写出此时DE的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题EC A；（2）为4和16．1．（1）①6；②结论：//P【分析】()1①如图1中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于E，作EAB∠的平分线交BC于点P，点P即为所求.理由勾股定理可得DE．⊥即可解决问题．②如图2中，结论：EC//PA.只要证明PA BE⊥，EC BE()2分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】∠的平分线交BC于解：()1①如图1中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于E，作EAB点P，点P即为所求．在Rt ADE 中，90D ∠=，10AE AB ==，8AD =，22221086DE AE AD ∴=-=-=，故答案为6．②如图2中，结论：//P EC A ．理由：由翻折不变性可知：AE AB =，PE PB =，PA ∴垂直平分线段BE ，即PA BE ⊥，PB PC PE ==，90BEC ∠∴=，EC BE ∴⊥， //EC PA ∴．()2①如图31-中，当点Q 在线段CD 上时，设DQ QD'x ==．在Rt AD'B 中，AD'AD 8==，AB 10=，AD'B 90∠=，22BD'AB AD'6∴=-=，在Rt BQC 中，222CQ BC BQ +=，222(10x)8(x 6)∴-+=+，x 4∴=， DQ 4∴=．②如图32-中，当点Q 在线段DC 的延长线上时，DQ //AB ， DQA QAB ∠∠∴=，DQA AQB ∠∠=，QAB AQB ∠∠∴=， AB BQ 10∴==，在Rt BCQ 中，CQ BQ 6==，DQ DC CQ 16∴=+=，综上所述，满足条件的DQ 的值为4或16．故答案为4和16．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 2．（1）见解析；（2）24；（3）5AI =．【分析】（1）证∠BDA ＝∠CEA ＝90°，∠CAE ＝∠ABD ，由AAS 证明△ABD ≌△CAE 即可；（2）连接CE ，交AF 于O ，由菱形的性质得∠COA ＝∠ADB ＝90°，同（1）得△ABD ≌△CAO （AAS ），得OC ＝AD ＝3，OA ＝BD ＝4，由三角形面积公式求出S △AOC ＝6，即可得出答案；（3）过E 作EM ⊥HI 的延长线于M ，过点G 作GN ⊥HI 于N ，同（1）得△ACH ≌△EAM （AAS ），△ABH ≌△GAN （AAS ），得EM ＝AH ＝GN ，证△EMI ≌△GNI （AAS ），得EI ＝GI ，证∠EAG ＝90°，由勾股定理求出EG ＝10，再由直角三角形的性质即可得出答案．【详解】（1）证明：∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ， ∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°， ∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD +∠CAE ＝90° ∵∠BAD +∠ABD ＝90°， ∴∠CAE ＝∠ABD 在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△CAE （AAS ）；（2）解：连接CE ，交AF 于O ，如图②所示： ∵四边形AEFC 是菱形， ∴CE ⊥AF ，∴∠COA ＝∠ADB ＝90°，同（1）得：△ABD ≌△CAO （AAS ）， ∴OC ＝AD ＝3，OA ＝BD ＝4， ∴S △AOC ＝12OA •OC ＝12×4×3＝6， ∴S 菱形AEFC ＝4S △AOC ＝4×6＝24，故答案为：24；（3）解：过E 作EM ⊥HI 的延长线于M ，过点G 作GN ⊥HI 于N ，如图③所示： ∴∠EMI ＝∠GNI ＝90°，∵四边形ACDE 和四边形ABFG 都是正方形， ∴∠CAE ＝∠BAG ＝90°，AC ＝AE ＝8，AB ＝AG ＝6，同（1）得：△ACH ≌△EAM （AAS ），△ABH ≌△GAN （AAS ）， ∴EM ＝AH ＝GN ，在△EMI 和△GNI 中，EIM GIHEMI GNI EM GN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EMI ≌△GNI （AAS ）， ∴EI ＝GI ， ∴I 是EG 的中点，∵∠CAE ＝∠BAG ＝∠BAC ＝90°， ∴∠EAG ＝90°，在Rt △EAG 中， EG10， ∵I 是EG 的中点， ∴AI ＝12EG ＝12×10＝5．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 3．（1）见详解；（2）四边形ADCF 是矩形；证明见详解．【分析】（1）可证△AFE ≌△DBE ，得出AF=BD ，进而根据AF=DC ，得出D 是BC 中点的结论；（2）若AB=AC ，则△ABC 是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知AD ⊥BC ；而AF 与DC 平行且相等，故四边形ADCF 是平行四边形，又AD ⊥BC ，则四边形ADCF 是矩形．【详解】（1）证明：∵E 是AD 的中点， ∴AE=DE ． ∵AF ∥BC ，∴∠FAE=∠BDE ，∠AFE=∠DBE ．在△AFE 和△DBE 中，FAE BDE AFE DBE AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFE ≌△DBE （AAS ）． ∴AF=BD ． ∵AF=DC ， ∴BD=DC ．即：D 是BC 的中点．（2）解：四边形ADCF是矩形；证明：∵AF=DC，AF∥DC，∴四边形ADCF是平行四边形．∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC即∠ADC=90°．∴平行四边形ADCF是矩形．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用．解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，以及全等三角形的判定和性质进行证明．4．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N．可先证明△AOD≌△COD，再证明△MOB≌NOB，从而可得NB=MB；（2）连接MO并延长与AE交于点Q，连接QC，则CQ∥AM．理由如下：由正方形的性质以及平行线等分线段可证QO=MO，从而可知四边形AQCM为平行四边形，从而可得CQ∥AM．【详解】解：（1）如图（1），连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N，则CN 为所作．理由：在△AOD与△COD中，∵AD CDADO CDO OD OD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AOD≌△COD（SAS），∴∠OAD=∠OCD，∴∠BAM=∠BCN．在△ABM与△CBN中，∵BAM BCN AB CBABM CBN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△ABM ≌△CBN （ASA ），∴CN =AM ．（2）如图2连接AC 、BD 交与O 点，连接MO 并延长与AE 交于点Q ，连接QC ，则CQ 为所求的线段.在正方形ABCD 中，OA =OB =OC =OD ，AD ∥BC ，∴QO =MO∴四边形AQCM 为平行四边形，∴QC ∥AM【点睛】本题考查了作图-基本作图，解决此题的关键是利用正方形的性质求解．5．（1）见解析；（2）928；（3）4或6 【分析】（1）由折叠的性质得ACB ACE ∠=∠，BC EC =，由平行四边形的性质得AD BC =，//AD BC ．则EC AD =，ACB CAD ∠=∠，得ACE CAD ∠=∠，证出OA OC =，则OD OE =，由等腰三角形的性质得ODE OED ∠=∠，证出CAD ACE OED ODE ∠=∠=∠=∠，即可得出结论；（2）证四边形ABCD 是矩形，则90CDO ∠=︒，3==CD AB 6AD BC ==OA OC x ==，则6OD x ，在Rt OCD ∆中，由勾股定理得出方程，求出36OA =，由三角形面积公式即可得出答案；（3）分两种情况：90EAD ∠=︒或90AED ∠=︒，需要画出图形分类讨论，根据含30角的直角三角形的性质，即可得到BC 的长．【详解】解：（1）证明：由折叠的性质得：ABC ∆≅△AEC ∆，ACB ACE ∴∠=∠，BC EC =，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，//AD BC ．EC AD ∴=，ACB CAD ∠=∠，ACE CAD ∴∠=∠，OA OC ∴=，OD OE ∴=，ODE OED ∴∠=∠，AOC DOE ∠=∠，CAD ACE OED ODE ∴∠=∠=∠=∠，//AC DE ∴；（2）平行四边形ABCD 中，90B ∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形，90CDO ∴∠=︒，3==CD AB ，6AD BC ==，由（1）得：OA OC =，设OA OC x ==，则6OD x =-，在Rt OCD ∆中，由勾股定理得：222(3)(6)x x +-=，解得：36x =， 36OA ∴=， OAC ∴∆的面积113692322OA CD =⨯=⨯⨯=；（3）分两种情况：①如图3，当90EAD ∠=︒时，延长EA 交BC 于G ，AD BC =，BC EC =，AD EC ∴=，//AD BC ，90EAD ∠=︒，90EGC ∴∠=︒，30B ∠=︒，23AB =，30AEC ∴∠=︒，1122GC EC BC ∴==， G ∴是BC 的中点，在Rt ABG ∆中，33BG AB ==， 26BC BG ∴==；②如图4，当90AED ∠=︒时AD BC =，BC EC =，AD EC ∴=，由折叠的性质得：AE AB =，AE CD ∴=，在ACE ∆和CAD ∆中，AE CD CE AD AC CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ACE CAD SSS ∴∆≅∆，ECA DAC ∴∠=∠，OA OC ∴=，OE OD ∴=，OED ODE ∴∠=∠，AED CDE ∴∠=∠，90AED ∠=︒，90CDE ，//AE CD ∴，又//AB CD ，B ∴，A ，E 在同一直线上，90BAC EAC ∴∠=∠=︒，Rt ABC ∆中，30B ∠=︒，23AB =，32AC AB ∴==，24BC AC ==；综上所述，当AED ∆是直角三角形时，BC 的长为4或6．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质是解题的关键．6．（1）①EAB DAC ∠=∠； ② 平行四边形，证明见解析；（2）成立，证明见解析．【分析】（1）①根据EAD BAC ∠=∠，两角有公共角BAD ∠，可证EAB DAC ∠=∠；②连接EB ，证明△EAB ≌△DAC ，可得,ABE ACD EB CD ∠=∠=,再结合平行线的性质和等腰三角形的判定定理可得EF=DC ，由此可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形CDEF 为平行四边形．（2）根据60BAC ∠=︒，可证明△AED 和△ABC 为等边三角形，再根据ED ∥FC 结合等边三角形的性质，得出∠AFC=∠BDA ，求证△ABD ≌△CAF ，得出ED=CF ，进而求证四边形EDCF 是平行四边形．【详解】解：（1）①EAB DAC ∠=∠，理由如下：∵EAD BAC ∠=∠，EAD EAB BAD ∠=∠+∠，BAC BAD DAC ∠=∠+∠, ∴EAB BAD BAD DAC ∠+∠=∠+∠，∴EAB DAC ∠=∠；②证明：如下图，连接EB,在△EAB 和△DAC 中∵AE AD EAB DAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAB ≌△DAC （SAS ）∴,ABE ACD EB CD ∠=∠=,∵AB AC =，∴ABC ACD ∠=∠,∴ABE ABC ∠=∠，∵//EF DC ，∴EFB ABC ∠=∠,∴ABE EFB ∠=∠,∴EB EF =,∴DC EF =∴四边形CDEF 为平行四边形；（2）成立；理由如下：理由如下：∵60BAC ∠=︒，∴=60EAD BAC ∠=∠︒，∵AE=AD ，AB=AC ，∴△AED 和△ABC 为等边三角形，∴∠B=60°，∠ADE=60°，AD=ED,∵ED ∥FC ，∴∠EDB=∠FCB ，∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF ，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB ，∴∠AFC=∠BDA ，在△ABD 和△CAF 中，60BDA AFC B BAC AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAF （AAS ），∴AD=FC ，∵AD=ED ，∴ED=CF ，又∵ED ∥CF ，∴四边形EDCF 是平行四边形．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行四边形的判定定理，平行线的性质．在做本题时可先以平行四边形的判定定理进行分析，在后两问中已知一组对边平行，所以只需证明这一组对边相等即可，一般证明线段相等就是证明相应的三角形全等．本题中是间接证明全等，在证明线段相等的过程中还应用到等腰三角形的判定定理（第（1）小题的第②问）和等边三角形的性质（第（2）小题），难度较大．7．（1）等腰直角；（2）结论仍成立，见解析；（3）2或42，17.【分析】（1）结论：DM ⊥EM ，DM=EM ．只要证明△AMH ≌△FME ，推出MH=ME ，AH=EF=EC ，推出DH=DE ，因为∠EDH=90°，可得DM ⊥EM ，DM=ME ；（2）结论不变，证明方法类似；（3）分两种情形画出图形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可；【详解】解：（1） △AMN ≌ △FME ,等腰直角.如图1中，延长EM 交AD 于H ．∵四边形ABCD 是正方形，四边形EFGC 是正方形，∴0ADE DEF 90∠=∠=，AD CD =，∴//AD EF ，∴MAH MFE ∠=∠，∵AM MF =，AMH FME ∠=∠，∴△AMH ≌△FME ，∴MH ME =，AH EF EC ==，∴DH DE =，∵0EDH 90∠=，∴DM ⊥EM ，DM=ME ．（2）结论仍成立.如图，延长EM 交DA 的延长线于点H,∵四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形,∴0ADE DEF 90∠=∠=，AD CD =,∴AD ∥EF,∴MAH MFE ∠=∠.∵AM FM =，AMH FME ∠=∠,∴△AMF ≌△FME(ASA), …∴MH ME =，AH FE=CE =,∴DH DE =.在△DHE 中，DH DE =，0EDH 90∠=,MH ME =,∴=DM EM ，DM ⊥EM.（3）①当E 点在CD 边上，如图1所示，由（1）的结论可得三角形DME 为等腰直角三角形，则DM 的长为2DE 2,此时DE EC DC 532=-=-=,所以2DM = ②当E 点在CD 的延长线上时，如图2所示，由（2）的结论可得三角形DME 为等腰直角三角形，则DM 的长为2DE 2，此时DE DC CE 538=+=+= ，所以42DM = ； ③当E 点在BC 上是，如图三所示，同（1）、（2）理可得到三角形DME 为等腰直角三角形，证明如下：∵四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形, 且点E 在BC 上∴AB//EF ，∴HAM EFM ∠=∠，∵M 为AF 中点，∴AM=MF∵在三角形AHM 与三角形EFM 中：HAM EFM AM MFAMH EMF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△AMH ≌△FME(ASA),∴MH ME =，AH FE=CE =,∴DH DE =.∵在三角形AHD 与三角形DCE 中：090AD DC DAH DCE AH EF =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩， ∴△AHD ≌△DCE(SAS),∴ADH CDE ∠=∠,∵∠ADC=∠ADH+∠HDC=90°，∴∠HDE=∠CDE+∠HDC=90°,∵在△DHE 中，DH DE =，0EDH 90∠=,MH ME =,∴三角形DME 为等腰直角三角形，则DM 的长为2DE ，此时在直角三角形DCE 中2222DE DC CE 5334=+=+= ，所以DM=17【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质，灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键．8．（1）①D 、E ，②A ，理由见解析；（2）①作图见解析；②BE 与AF 可能相等，AE 的长度分别为43，367，2或18．【分析】（1）根据互为顶点，互为勾股顶针点的定义即可判断．（2）①以C 为圆心，CB 为半径画弧交AD 于F ，连接CF ，作∠BCF 的角平分线交AB 于E ，点E ，点F 即为所求．②分四种情形：如图①中，当BE AF =时；如图②中，当BE AF =时；如图③中，当BE BC AF ==时，此时点F 与D 重合；如图④中，当BE CB AF ==时，点F 与点D 重合，分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）根据互为顶点，互为勾股顶针点的定义可知：①点A 与点D 和E 关于BC 互为顶针点；②点D 与点A 关于BC 互为勾股顶针点，理由：如图2中，∵△BDC 是等边三角形，∴∠D ＝60°，∵AB ＝AC ，∠ABC ＝30°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝120°，∴∠A ＋∠D ＝180°，∴点D 与点A 关于BC 互为勾股顶针点，故答案为：D 和E ，A ．（2）①如图，点E 、F 即为所求(本质就是点B 关于CE 的对称点为F ，相当于折叠)．②BE 与AF 可能相等，情况如下：情况一：如图①，由上一问易知，,BE EP BC PC ==，当BE AF =时，设AE x =，连接EF ，∵,,90BE EP AF EF EF EAF FPE ===∠=∠=︒，∴()EAF FPE HL ∆∆≌，∴AE PF x ==，在Rt CDF ∆中，()1082DF AD AF x x =-=--=+，10CF PC PF x =-=-，∴2228(2)(10)x x ++=-，解得43x =，即43AE =；情况二：如图②当BE AF =时，设AE x =，同法可得PF AE x ==，则8BE AF x ==-，FP FG GP EG AG AE x =+=+==，则18DF x =-，10CF x =+，在Rt CDF ∆中，则有2228(18)(10)x x +-=+，解得：367x =；情况三：如图③，当BE BC AF ==时，此时点D 与F 重合，可得1082AE BE AB =-=-=；情况四：如图④，当BE CB AF ==时,此时点D 与F 重合，可得18AE AB BE AB BC =+=+=．综上所述，BE 与AF 可能相等，AE 的长度分别为43，367，2或18．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．9．（1）14；（2）mbAGa；（3）53【分析】（1）如图①，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；（2）如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M，根据图形的面积得到14mb＝14AG•a，于是得到结论；（3）如图③，同理：过O作QM⊥AB，PN⊥AD，先根据平行四边形面积可得OM和ON 的比，同理可得S△BOE＝S△AOG，根据面积公式可计算AG的长．【详解】解：（1）如图①，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OC，∠OAG＝∠EBO＝45°，∠AOB＝90°，∵EF⊥GH，∴∠EOG＝90°，∴∠BOE＝∠AOG（SAS），∴△BOE≌△AOG，∴S△BOE＝S△AOG，又∵S△AOB＝14S四边形ABCD，∴S四边形AEOG＝14S正方形ABCD，故答案为：14．（2）解：如图②，过O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴S△AOB＝S△AOD＝14S矩形ABCD，∵S四边形AEOG＝14S矩形ABCD，∴S△AOB＝S四边形AEOG，∴S△BOE＝S△AOG，∵S△BOE＝12BE•OM＝14mb，S△AOG＝12AG•ON＝14AG•a，∴mb＝AG•a，∴AG＝mba；（3）如图③，过O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∵S△AOB＝S△AOD＝14S▱ABCD，S四边形AEOG＝14S▱ABCD，∴S△AOB＝S四边形AEOG，∴S△BOE＝S△AOG，∵S△BOE＝12BE•OM＝12OM，S△AOG＝12AG•ON，∴OM＝AG•ON，∵S▱ABCD＝3×2OM＝5×2 ON，∴53 OMON，∴AG＝53；【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形、矩形、平行四边形的性质及三角形、四边形的面积问题，认真阅读材料，理解并证明S△BOE＝S△AOG是解决问题的关键．10．（1）55；（2）109；（3）52或152．【分析】（1）如图1，连接CG，证明△CBD≌△CBG（SAS），可得G，C，D三点共线，利用勾股定理可得AG的长；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△BCE≌△BKG，可得AK和KG的长，利用勾股定理计算AG的长；（3）分三种情况：①当点E在边CD的延长线上时，如图3，同（2）知△BCE≌△BKG （AAS），BC＝BK＝5，根据勾股定理可得KG的长，即可CE的长，此种情况不成立；②当点E在边CD上；③当点E在DC的延长线上时，同理可得结论．【详解】（1）如图1，连接CG，∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠DBG＝90°，BD＝BG，∴∠CBG＝45°，∴∠CBG＝∠CBD，∵BC＝BC，∴△CBD≌△CBG（SAS），∴∠DCB＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝5，∴G，C，D三点共线，∴AG22AD DG+22510+＝5故答案为：55（2）如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K，∵DE＝2，DC＝5，∴CE＝3，∵∠EBG＝∠EBC＋∠CBG＝90°，∠CBG＋∠GBK＝90°，∴∠EBC＝∠GBK，∵BE＝BG，∠K＝∠BCE＝90°，∴△BCE≌△BKG（AAS），∴CE＝KG＝3，BC＝BK＝5，∴AK＝10，由勾股定理得：AG＝22103+＝109；（3）（3）分三种情况：①当点E在CD的延长线上时，如图3，由（2）知△BCE≌△BKG（AAS），∴BC＝BK＝5，∵AG＝5172，由勾股定理得：KG22517102⎛⎫-⎪⎪⎝⎭52，∴CE＝KG＝52，此种情况不成立；②当点E在边CD上时，如图4，由（2）知△BCE≌△BKG（AAS），∴BC＝BK＝CD=5，∵AG＝517，由勾股定理得：KG＝22517102⎛⎫-⎪⎪⎝⎭=52，∴CE＝KG＝52，∴DE＝CD-CE=52；③当点E在DC的延长线上时，如图5，同理得CE＝KG＝52，∴DE＝5＋52＝152；综上，DE的长是52或152．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．。

八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题专项训练检测试题

八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题专项训练检测试题一、解答题1．如图，在Rt ABC ∆中，090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F（1）求证：四边形ADCF 是菱形（2）若4,5AC AB ==，求菱形ADCF 的面积2．已知，四边形ABCD 是正方形，点E 是正方形ABCD 所在平面内一动点（不与点D 重合），AB ＝AE ，过点B 作DE 的垂线交DE 所在直线于F ，连接CF ．提出问题：当点E 运动时，线段CF 与线段DE 之间的数量关系是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点E 的一个特殊位置：当点E 与点B 重合（如图①）时，点F 与点B 也重合．用等式表示线段CF 与线段DE 之间的数量关系：；（2）然后考察点E 的一般位置，分两种情况：情况1：当点E 是正方形ABCD 内部一点（如图②）时；情况2：当点E 是正方形ABCD 外部一点（如图③）时．在情况1或情况2下，线段CF 与线段DE 之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；拓展问题：（3）连接AF ，用等式表示线段AF 、CF 、DF 三者之间的数量关系：． 3．如图，平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ．（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2） ①当AE 的长为多少时，四边形CEDF 是矩形；②当AE = cm 时，四边形CEDF 是菱形，（直接写出答案，不需要说明理由）．4．如下图1，在平面直角坐标系中xoy 中，将一个含30的直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，若点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒．（1）旋转操作：如下图2，将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30时，则点B 的坐标为．（2）问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，如图3，在AB 边上的上方以AB 为边作等边ABC ，问：是否存在这样的点D ，使得以点A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．（3）动点分析：在图3的基础上，过点O 作OP AB ⊥于点P ，如图4，若点F 是边OB 的中点，点M 是射线PF 上的一个动点，当OMB △为直角三角形时，求OM 的长．5．如图1，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，E 、H 分别为边BA 和边BC 延长线上的点，连接EH 交AD 、CD 于点F 、G ，且//EH AC .（1）求证：AEF CGH ∆≅∆（2）若ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，F 是AD 的中点，8AD =，求BE 的长：（3）在（2）的条件下，连接BD ，如图2，求证：22222()AC BD AB BC +=+6．在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD （含端点）上，落点记为E ，这时折痕与边BC 或者边CD （含端点）交于点F （如图1和图2），然后展开铺平，连接BE ，EF ．（1）操作发现：①在矩形ABCD 中，任意折叠所得的△BEF 是一个三角形；②当折痕经过点A 时，BE 与AE 的数量关系为．（2）深入探究：在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝23．①当△BEF 是等边三角形时，求出BF 的长；②△BEF 的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF 的长；若不存在，请说明理由．7．如图，在Rt ABC ∆中，90,40,60B AC cm A ∠=︒=∠=︒，点D 从点C 出发沿CA 方向以4/cm 秒的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2/cm 秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个地点也随之停止运动.设点,D E 运动的时间是t 秒（010t <≤）.过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接,DE EF .（1）试问四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；（2）当t 为何值时，90FDE ∠=︒？请说明理由.8．如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，∠A 的角平分线交边CD 于点E ．点P 从点A 出发沿射线AE 以每秒2个单位长度的速度运动，Q 为AP 的中点，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ，在射线AE 的下方作平行四边形PQHM （点M 在点H 的右侧），设P 点运动时间为t 秒．（1）直接写出AQH的面积（用含t的代数式表示）．（2）当点M落在BC边上时，求t的值．（3）在运动过程中，整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，请写出所有全等三角形，并求出对应的t的值；若不存在请说明理由（不能添加辅助线）．9．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E 处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随着移动．①当点Q与点C重合时，（如图2），求菱形BFEP的边长；②如果限定P、Q分别在线段BA、BC上移动，直接写出菱形BFEP面积的变化范围．10．如图，在矩形ABCD中，AD＝nAB，E，F分别在AB，BC上．（1）若n＝1，AF⊥DE．①如图1，求证：AE＝BF；②如图2，点G为CB延长线上一点，DE的延长线交AG于H，若AH＝AD，求证：AE+BG ＝AG；（2）如图3，若E为AB的中点，∠ADE＝∠EDF．则CFBF的值是_____________（结果用含n的式子表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）见解析（2）10【分析】（1）先证明AFE DBE ∆≅∆，得到AF DB =，AF CD =，再证明四边形ADCF 是平行四边形，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到12AD DC BC ==，即可证明四边形ADCF 是菱形。

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题提高题检测试卷

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题提高题检测试卷一、选择题1．如图，已知平行四边形ABCD ，6AB =，9BC =，120A ∠=︒，点P 是边AB 上一动点，作PE BC ⊥于点E ，作120EPF ∠=︒（PF 在PE 右边）且始终保持33PE PF +=，连接CF 、DF ，设m CF DF =+，则m 满足（）A ．313m ≥B ．63m ≥C ．313937m <+≤D ．3337379m +<<+2．对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n .”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x ，再取最小整数n ．甲：如图2，思路是当x 为矩形对角线长时就可移转过去；结果取13n =．乙：如图3，思路是当x 为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n ＝14．丙：如图4，思路是当x 为矩形的长与宽之和的22倍时就可移转过去；结果取13n =．下列正确的是（）A ．甲的思路错，他的n 值对B ．乙的思路和他的n 值都对C ．甲和丙的n 值都对D ．甲、乙的思路都错，而丙的思路对3．如图，菱形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，DE BC ⊥于点E ，连接OE ，若50BCD ∠=︒，则OED ∠的度数是（）A ．35°B ．30°C ．25°D ．20°4．如图，点O （0，0），B （0，1）是正方形OBB 1C 的两个顶点，以它的对角线OB 1为一边作正方形OB 1B 2C 1，以正方形OB 1B 2C 1的对角线OB 2为一边作正方形OB 2B 3C 2，再以正方形OB 2B 3C 2的对角线OB 3为一边作正方形OB 3B 4C 3，…，依次进行下去，则点B 6的坐标是（）A ．(42,0)B ．(42,0)-C ．(8,0)-D ．(0,8)-5．如图，正方形ABCD 的边长为2a ，点E 从点A 出发沿着线段AD 向点D 运动(不与点A 、D 重合)，同时点F 从点D 出发沿着线段DC 向点C 运动(不与点D 、C 重合)，点E 与点F 的运动速度相同．BE 与AF 相交于点G ，H 为BF 中点，则有下列结论：①∠BGF 是定值；②BF 平分∠CBE ；③当E 运动到AD 中点时，GH=52a ；④当C △AGB = (2)6a +时，S 四边形GEDF =16a 2 ，其中正确的是( )A ．①③B ．①②③C ．①③④D ．①④6．如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =2，将直角边AC 绕A 点逆时针旋转至AC ′，连接BC ′，E 为BC ′的中点，连接CE ,则CE 的最大值为( ).A 5B 21C 21D 51 7．如图：点E 、F 为线段BD 的两个三等分点，四边形AECF 是菱形，且菱形AECF 的周长为20，BD 为24，则四边形ABCD 的面积为（）A ．24B ．36C ．72D ．144 8．如图，在ABCD 中，AD=2AB ，CE AB ⊥，垂足E 在线段AB 上，F 、G 分别是AD 、CE 的中点，连接FG ，EF 、CD 的延长线交于点H ，则下列结论：①12DCF BCD ∠=∠；②EF CF =：③2BEC CEF S S =；④3DFE AEF ∠=∠.其中，正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．在ABCF 中，2BC AB =，CD AB ⊥于点D ，点E 为AF 的中点，若50ADE ∠=︒，则B 的度数是（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒10．如图，ABCD 的对角线AC 、BD 相较于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，∠ADC ＝60°，AB ＝12BC ，连接OE ，下列结论：①∠CAD ＝30°；②·ABCD A S AB C =；③OA ＝OB ；④OE ＝14B C ．其中成立的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为CD 边上的一个动点，以CE 为边向外作正方形ECFG ，连结BG ，点H 为BG 中点，连结EH ，则EH 的最小值为______12．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．13．如图，动点E F 、分别在正方形ABCD 的边AD BC 、上，AE CF =，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连接BG ，若4AB =，则线段BG 长的最小值为_________．14．如图,在平面直角坐标系中,直线112y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ，则D 点坐标是_______；在y 轴上有一个动点M ，当MDC △的周长值最小时，则这个最小值是_______．15．如图，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于P ，E 为BC 上一点，AE 交BD 于F ，若AB=AE ，EAD 2BAE ∠∠=，则下列结论：①AF=AP ；②AE=FD ；③BE=AF ．正确的是______（填序号）．16．如图，矩形ABCD 中，CE CB BE ==，延长BE 交AD 于点M ，延长CE 交AD 于点F ，过点E 作EN BE ⊥，交BA 的延长线于点N ，23FE AN ==，，则BC =_________．17．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处，点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG ＝45°；②S △ABG ＝32S △FGH ；③△DEF ∽△ABG ；④AG+DF ＝FG ．其中正确的是_____．（把所有正确结论的序号都选上）18．如图，长方形ABCD 中，26AD =，12AB =，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为______，19．如图，点E 、F 分别在平行四边形ABCD 边BC 和AD 上（E 、F 都不与两端点重合），连结AE 、DE 、BF 、CF ，其中AE 和BF 交于点G ，DE 和CF 交于点H ．令AF n BC=，EC m BC=．若m n =，则图中有_______个平行四边形（不添加别的辅助线）；若1m n +=，且四边形ABCD 的面积为28，则四边形FGEH 的面积为_______．20．李刚和常明两人在数学活动课上进行折纸创编活动.李刚拿起一张准备好的长方形纸片对常明说:“我现在折叠纸片（图①），使点D 落在AB 边的点F 处，得折痕AE ，再折叠，使点C 落在AE 边的点G 处，此时折痕恰好经过点B ，如果AD=a ，那么AB 长是多少？”常明说；“简单，我会. AB 应该是_____”.常明回答完，又对李刚说：“你看我的创编（图②），与你一样折叠，可是第二次折叠时，折痕不经过点B ，而是经过了AB 边上的M 点，如果AD=a ，测得EC=3BM ，那么AB 长是多少？”李刚思考了一会，有点为难，聪明的你，你能帮忙解答吗？AB=_____.三、解答题21．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上．（1）若1n =，①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EM FN的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则CF BF的值为_______（结果用含n 的式子表示）．22．如图1，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，AM 、AN 分别交BD 于点P 、Q ，连接CQ 、MQ ．且CQ MQ =．（1）求证：QAB QMC ∠=∠（2）求证：90AQM ∠=︒（3）如图2，连接MN ，当2BM =，3CN =，求AMN 的面积图1 图223．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将ABE ∆沿BE 折叠，点A 的对应点为点G ．图1 图2（1）填空：如图1，当点G 恰好在BC 边上时，四边形ABGE 的形状是________；（2）如图2，当点G 在矩形ABCD 内部时，延长BG 交DC 边于点F ．①求证：BF AB DF =+． ②若3AD AB =，试探索线段DF 与FC 的数量关系．24．已知正方形,ABCD 点F 是射线DC 上一动点(不与,C D 重合)．连接AF 并延长交直线BC 于点E ，交BD 于,H 连接CH ．在EF 上取一点,G 使ECG DAH ∠=∠．（1）若点F 在边CD 上，如图1，①求证：CH CG ⊥．②求证：GFC 是等腰三角形．（2）取DF 中点,M 连接MG ．若3MG =，正方形边长为4，则BE = ．25．已知在ABC 和ADE 中， 180ACB AED ∠+∠=︒，CA CB =，EA ED =，3AB =．（1）如图1，若90ACB ∠=︒，B 、A 、D 三点共线，连接CE ：①若52CE =BD 长度； ②如图2，若点F 是BD 中点，连接CF ，EF ，求证：2CE EF =；（2）如图3，若点D 在线段BC 上，且2CAB EAD ∠=∠，试直接写出AED 面积的最小值．26．如图，M 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点.过M 作BD 的垂线交AD 于E ，连BE ，取BE 中点O ．（1）如图1，连AO MO 、，试证明90AOM ︒∠=；（2）如图2，连接AM AO 、，并延长AO 交对角线BD 于点N ，试探究线段DM MN NB 、、之间的数量关系并证明；（3）如图3,延长对角线BD 至Q 延长DB 至P ,连,CP CQ 若2,9PB PQ ==,且135PCQ ︒∠=，则PC ．（直接写出结果）27．猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD 与矩形纸片ECGF ，使B ，C ，G 三点在一条直线上，CE 在边CD 上．连结AF ，若M 为AF 的中点，连结DM ，ME ，试猜想DM 与ME 的数量关系，并证明你的结论．拓展与延伸：(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，其他条件不变，则DM 和ME 的关系为__________________；(2)如图②摆放正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，使点F 在边CD 上，点M 仍为AF 的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半]① ②28．感知：如图①，在正方形ABCD 中，E 是AB 一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE ＝，求证：CE CF ＝；拓展：在图①中，若G 在AD ，且45GCE ∠︒＝，则GE BE GD +＝成立吗？为什么？运用：如图②在四边形ABCD 中，()//AD BC BC AD ＞，90A B ∠∠︒＝＝，16AB BC ＝＝，E 是AB 上一点，且45DCE ∠︒＝，4BE ＝，求DE 的长．29．如图1，在正方形ABCD （正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB ＝8，P 为线段BC 上一点，连接AP ，过点B 作BQ ⊥AP ，交CD 于点Q ，将△BQC 沿BQ 所在的直线对折得到△BQC ′，延长QC ′交AD 于点N ．（1）求证：BP ＝CQ ；（2）若BP ＝13PC ，求AN 的长；（3）如图2，延长QN 交BA 的延长线于点M ，若BP ＝x （0＜x ＜8），△BMC '的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式．30．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝nAB ，E ，F 分别在AB ，BC 上．（1）若n ＝1，AF ⊥DE ．①如图1，求证：AE ＝BF ；②如图2，点G 为CB 延长线上一点，DE 的延长线交AG 于H ，若AH ＝AD ，求证：AE +BG ＝AG ；（2）如图3，若E 为AB 的中点，∠ADE ＝∠EDF ．则CF BF 的值是_____________（结果用含n 的式子表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】设PE=x ，则PB=233x ，PF=33x ，AP=6-233x ，由此先判断出AF PF ⊥，然后可分析出当点P 与点B 重合时，CF+DF 最小；当点P 与点A 重合时，CF+DF 最大.从而求出m 的取值范围.【详解】如上图：设PE=x ，则PB=23x ，PF=33x ，AP=6-23x ∵0030,120BPE EPF ∠=∠=∴030APE ∠=由AP 、PF 的数量关系可知AF PF ⊥，060PAF ∠=如上图，作060BAM ∠=交BC 于M ，所以点F 在AM 上.当点P 与点B 重合时，CF+DF 最小.此时可求得33,37CF DF ==如上图，当点P 与点A 重合时，CF+DF 最大.此时可求得37,9CF DF == ∴3337379m +<<故选：D【点睛】此题考查几何图形动点问题，判断出AF PF ⊥，然后可分析出当点P 与点B 重合时，CF+DF 最小；当点P 与点A 重合时，CF+DF 最大是解题关键.2．B解析：B【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出矩形的对角线长，即可判断甲和乙，丙中图示情况不是最长．【详解】甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n 2261265+=14；乙的思路与计算都正确，n 2261265+=14；丙的思路与计算都错误，图示情况不是最长，n =（12+6）×22=2≈13．故选B ．【点睛】本题考查了矩形的性质与旋转的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键． 3．C解析：C【解析】【分析】根据直角三角形的斜边中线性质可得OE BE OD ==，根据菱形性质可得1652DBE ABC ︒∠=∠=，从而得到OEB ∠度数，再依据90OED OEB ︒∠=-∠即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，50BCD ︒∠=，∵O 为BD 中点，1652DBE ABC ︒∠=∠=． DE BC ⊥，∴在 Rt BDE ∆中，OE BE OD ==，65OEB OBE ︒∴∠=∠=．906525OED ︒︒︒∴∠=-=．故选：C ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，解决这类问题的方法是四边形转化为三角形．4．C解析：C【解析】【分析】根据已知条件如图可得到B 1 ，B 2所在的正方形的对角线长为2,B 3所在的正方形的对角线长为3,依据规律可得B 6所在的正方形的对角线长为6=8，再根据B 6在x 轴的负半轴，就可得到B 6的坐标。

八年级初二数学第二学期平行四边形单元易错题提优专项训练试卷

八年级初二数学第二学期平行四边形单元易错题提优专项训练试卷一、选择题1．如图，点O （0，0），B （0，1）是正方形OBB 1C 的两个顶点，以它的对角线OB 1为一边作正方形OB 1B 2C 1，以正方形OB 1B 2C 1的对角线OB 2为一边作正方形OB 2B 3C 2，再以正方形OB 2B 3C 2的对角线OB 3为一边作正方形OB 3B 4C 3，…，依次进行下去，则点B 6的坐标是（）A ．(42,0)B ．(42,0)-C ．(8,0)-D ．(0,8)-2．如图，四边形ABCD 中，,,,AC a BD b AC BD ==⊥顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形1111D C B A ，再顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，得到四边形2222A B C D ...如此进行下去，得到四边形.n n n n A B C D 则下列结论正确的个数有（） ①四边形1111D C B A 是矩形；②四边形4444A B C D 是菱形；③四边形5555A B C D 的周长为4a b +； ④四边形n n n n A B C D 的面积是12n ab +．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3．如图，在平行四边形ABCD 中，272BC AB B CE AB =∠=︒⊥，，于E F ，为AD 的中点，则AEF ∠的大小是( )A ．54︒B ．60︒C ．66︒D ．72︒4．下列命题：①一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；②一组邻角相等的平行四边形是矩形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形．其中真命题个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC．其中正确结论的番号是（）A．①②④⑤B．①②③④⑤C．①②④D．①④6．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为6和14，则b的面积为（）A．8 B．18 C．20 D．267．线段AB上有一动点C（不与A，B重合），分别以AC，BC为边向上作等边△ACM和等边△BCN，点D是MN的中点，连结AD，BD，在点C的运动过程中，有下列结论：①△ABD可能为直角三角形；②△ABD可能为等腰三角形；③△CMN可能为等边三角形；④若AB=6，则AD+BD的最小值为37. 其中正确的是（）A．②③B．①②③④C．①③④D．②③④8．下列命题中，真命题的个数有（）①对角线相等的四边形是矩形；②三条边相等的四边形是菱形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．A．3个B．2个C．1个D．0个9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为1S、2S、3S，若1S=3，3S=8，则2S的值为（）A ．22B ．24C ．44D ．4810．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，△ABD ，△ACE ，△BCF 都是等边三角形，下列结论中：①AB ⊥AC ；②四边形AEFD 是平行四边形；③∠DFE ＝150°；④S 四边形AEFD ＝5．正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点，点E 、F 分别是直线AB 、AC 上的动点，∠EDF ＝90°，M 、N 分别是EF 、AC 的中点，连结AM 、MN ，若AC =6，AB =5，则AM -MN 的最大值为________．12．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为边CD 的中点，点P 在线段AB 上运动，F 是CP 的中点，则CEF ∆的周长的最小值是____________．13．已知：点B 是线段AC 上一点，分别以AB ，BC 为边在AC 的同侧作等边ABD △和等边BCE ，点M ，N 分别是AD ，CE 的中点，连接MN ．若AC=6，设BC=2，则线段MN 的长是__________．14．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作//ED AB ，//EF AC ，得到四边形EDAF ，它的周长记作1C ；取BE 中点1E ，作11//E D FB ，11//E F EF ，得到四边形111E D FF ，它的周长记作2C ．照此规律作下去，则2020C =______．15．如图，在正方形ABCD 中，点,E F 将对角线AC 三等分，且6AC =．点P 在正方形的边上，则满足5PE PF +=的点P 的个数是________个．16．如图，菱形ABCD 的边长是4，60ABC ∠=︒，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点（不与点A ，B ，C 重合），且BE BF =，若//EG BC ，//FG AB ，EG 与FG 相交于点G ，当ADG 为等腰三角形时，BE 的长为________．17．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，以BC 为一边作正方形BDEC 设正方形的对称中心为O ，连接AO ，则AO ＝_____．18．在平行四边形 ABCD 中，AE 平分∠BAD 交边 BC 于 E ，DF 平分∠ADC 交边 BC 于 F ，若 AD=11，EF=5，则 AB= ___．19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 为平面内动点，且满足AD ＝4，连接BD ，取BD 的中点E ，连接CE ，则CE 的最大值为_____．20．如图所示，在四边形ABCD 中，顺次连接四边中点E 、F 、G 、H ，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD 添加一个条件，使四边形EFGH 成一个菱形，这个条件是__________．三、解答题21．如图，在正方形ABCD 中，点G 在对角线BD 上（不与点B ，D 重合），GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，连结AG ．（1）写出线段AG ，GE ，GF 长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD 的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG 的长．22．在ABCD 中，以AD 为边在ABCD 内作等边ADE ∆，连接BE ．（1）如图1，若点E 在对角线BD 上，过点A 作AH BD ⊥于点H ，且75DAB ∠=︒，AB 6=，求AH 的长度；（2）如图2，若点F 是BE 的中点，且CF BE ⊥，过点E 作MN CF ，分别交AB ，CD 于点,M N ，在DC 上取DG CN =，连接CE ，EG ．求证：①CEN DEG ∆∆≌；②ENG ∆是等边三角形．23．如图1所示，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E ，F 分别在正方形的边CB ，CD 上，连接AE 、AF ．(1)求证：AE ＝AF ；(2)取AF 的中点M ，EF 的中点N ，连接MD ，MN ．则MD ，MN 的数量关系是，MD 、MN 的位置关系是(3)将图2中的直角三角板ECF ，绕点C 旋转180°，如图3所示，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．24．已知如图1,四边形ABCD 是正方形，45EAF ︒∠= ．()1如图1,若点,E F 分别在边BC CD 、上,延长线段CB 至G ,使得BG DF =,若3,2BE BG ==，求EF 的长；()2如图2，若点,E F 分别在边CB DC 、延长线上时，求证： .EF DF BE =-()3如图3,如果四边形ABCD 不是正方形，但满足,90,45,AB AD BAD BCD EAF ︒︒=∠=∠=∠=且7, 13,5BC DC CF ===，请你直接写出BE 的长．25．已知，如图，在三角形ABC ∆中，20AB AC cm ==，BD AC ⊥于D ，且16BD cm =．点M 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为4/cm s ；同时点P 由B 点出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1/cm s ，过点P 的动直线//PQ AC ，交BC 于点Q ，连结PM ，设运动时间为()t s ()05t <<，解答下列问题：（1）线段AD =_________cm ；（2）求证：PB PQ =；（3）当t 为何值时，以P Q D M 、、、为顶点的四边形为平行四边形？26．（1）问题探究：如图①，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAD 的平分线，则线段AB ，AD ，DC 之间的等量关系为；（2）方法迁移：如图②，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AF 与DC 的延长线交于点F ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAF 的平分线，试探究线段AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论；（3）联想拓展：如图③，AB ∥CF ，E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，∠EDF ＝∠BAE ，试探究线段AB ，DF ，CF 之间的数量关系，并证明你的结论．27．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，AD BC ∥，连接AC ，点P 、E 分别在AB 、CD 上，连接PE ，PE 与AC 交于点F ，连接PC ，D ∠=BAC ∠，DAE AEP ∠=∠．（1）判断四边形PBCE 的形状，并说明理由；（2）求证：CP AE =；（3）当P 为AB 的中点时，四边形APCE 是什么特殊四边形？请说明理由．28．如图，已知正方形ABCD 与正方形CEFG 如图放置，连接AG ，AE ．（1）求证：AG AE =（2）过点F 作FP AE ⊥于P ，交AB 、AD 于M 、N ，交AE 、AG 于P 、Q ，交BC 于H ，．求证：NH =FM29．已知，矩形ABCD 中，4,8AB cm BC cm ==，AC 的垂直平分EF 线分别交AD BC 、于点E F 、，垂足为O ．（1）如图1，连接AF CE 、，求证：四边形AFCE 为菱形；（2）如图2，动点P Q 、分别从A C 、两点同时出发，沿AFB △和CDE △各边匀速运动一周，即点P 自A F B A →→→停止，点O 自C D E C →→→停止．在运动过程中，①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A C P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，则t =____________．②若点P Q 、的运动路程分别为a b 、（单位:,0cm ab ≠），已知AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则a 与b 满足的数量关系式为____________．30．如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,,6,10O AB AC AB cm BC cm ⊥==，点P 从点A 出发，沿AD 方向以每秒1cm 的速度向终点D 运动，连接PO ，并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求BQ 的长（用含t 的代数式表示）；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值；（3）当325t =时，点O 是否在线段AP 的垂直平分线上？请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据已知条件如图可得到B 12 ，B 2所在的正方形的对角线长为2(2),B 3所在的正方形的对角线长为3(2),依据规律可得B 6所在的正方形的对角线长为62)=8，再根据B 6在x 轴的负半轴，就可得到B 6的坐标。

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元易错题测试题

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元易错题测试题一、选择题1．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点(点P 不与点B 、D 重合)，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP ＝EF ；②AP ⊥EF ；③仅有当∠DAP ＝45°或67.5°时，△APD 是等腰三角形；④∠PFE ＝∠BAP ：⑤22PD ＝EC ．其中有正确有( )个．A ．2B ．3C ．4D ．5 2．如图，正方形ABCD 的周长是16，P 是对角线AC 上的个动点，E 是CD 的中点，则PE +PD 的最小值为( )A ．25B ．23C ．22D ．43．如图，点E 是矩形ABCD 的边AB 的中点，点F 是边CD 上一点，连接ED ，EF ，ED 平分∠AEF ，过点D 作DG ⊥EF 于点M ，交BC 于点G ，连接GE ，GF ，若FG ∥DE ，则AB AD的值是( )A ．32B ．22C 2D 34．如图所示，在Rt ABC ∆中，90ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，分别以直角边AB 、斜边AC 为边，向外作等边ABD ∆和等边ACE ∆，F 为AC 的中点，DE 与AC 交于点O ，DF 与AB 交于点G ．给出如下结论：①四边形ADFE 为菱形；②DF AB ⊥；③14AO AE =；④4CE FG =；其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ 5．如图，正方形ABCD 的边长为10，8AG CH ==，6BG DH ==，连接GH ，则线段GH 的长为（）A ．835B ．22C ．145D ．1052-6．如图，45A ABC C ∠=∠=∠=︒，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，则下列结论：①EF BD ⊥，②12EF BD =，③ADC BEF BFE ∠=∠+∠，④AD DC =，其中正确有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，ABCD 中，点E 是AD 上一点，BE ⊥AB ，△ABE 沿BE 对折得到△BEG ，过点D 作DF ∥EG 交BC 于点F ，△DFC 沿DF 对折，点C 恰好与点G 重合，则AB AD的值为（）A ．12B ．33C ．22D 38．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E ，F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO ．若60COB ∠=，FO FC =，则下列结论：①FB OC ⊥，OM CM =；②EOB CMB ≅；③四边形EBFD 是菱形；④:3:2MB OE =．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，在菱形ABCD 中，AB=AC=1，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的点，且AE=BF ，连接CE 、AF 交于点H ，连接DH 交AC 于点O ，则下列结论：①△ABF ≌△CAE ；②∠FHC=∠B ；③△ADO ≌△ACH ；④=3ABCD S 菱形；其中正确的结论个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图所示，四边形ABCD 是边长为1的正方形，E 为BC 边的中点，沿AP 折叠使D 点落在AE 上的点H 处，连接PH 并延长交BC 于点F ，则EF 的长为( )A ．552-B ．552-C ．353D ．14二、填空题11．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D 是BC 边上一点且CD=1，点P 是线段DB 上一动点，连接AP ，以AP 为斜边在AP 的下方作等腰Rt △AOP ．当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径长为_____．12．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点，点E 、F 分别是直线AB 、AC 上的动点，∠EDF ＝90°，M 、N 分别是EF 、AC 的中点，连结AM 、MN ，若AC =6，AB =5，则AM -MN 的最大值为________．13．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处．若OA ＝8，CF ＝4，则点E 的坐标是_____．14．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为_____．15．如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线EF 交对角线AC 于点F ，垂足为点E ，若27CDF ∠=︒，则DAB ∠的度数为____________．16．在锐角三角形ABC 中，AH 是边BC 的高，分别以AB ，AC 为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接CE ，BG 和EG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，下列结论：①BG=CE ；②BG ⊥CE ；③AM 是△AEG 的中线；④∠EAM=∠ABC ．其中正确的是_________．17．菱形ABCD 的周长为24，∠ABC=60°，以AB 为腰在菱形外作底角为45°的等腰△ABE ，连结AC ，CE ，则△ACE 的面积为___________.18．已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，ABP ∆和DCE ∆全等．19．已知：如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为点D ，BE AC ⊥，垂足为点E ，M 为AB 边的中点，连结ME 、MD 、ED ，设4AB =，30DAC ∠=︒则EM =______；EDM 的面积为______，20．如图，点E 、F 分别在平行四边形ABCD 边BC 和AD 上（E 、F 都不与两端点重合），连结AE 、DE 、BF 、CF ，其中AE 和BF 交于点G ，DE 和CF 交于点H ．令AF n BC=，EC m BC=．若m n =，则图中有_______个平行四边形（不添加别的辅助线）；若1m n +=，且四边形ABCD 的面积为28，则四边形FGEH 的面积为_______．三、解答题21．如图正方形ABCD ，DE 与HG 相交于点O （O 不与D 、E 重合）．（1）如图（1），当90GOD ∠=︒，①求证：DE GH =； ②求证：2GD EH DE +>；（2）如图（2），当45GOD ∠=︒，边长4AB =，25HG =，求DE 的长．22．已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠ABC =45°，D 为直线BC 上一动点（不与点B ，C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BC 与CF 的位置关系是，BC 、CF 、CD 三条线段之间的数量关系为；（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC 与CF 的位置关系BC ，CD ，CF 三条线段之间的数量关系并证明；（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF 的对角线AE ，DF 相交于点O ，OC =132，DB =5，则△ABC 的面积为．（直接写出答案） 23．已知：在ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BD 与CF 的位置关系为__________；CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系____________________．（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其它条件不变，请你写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系并加以证明；（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE 、DF ，交点为O ，连接OC ，探究AOC △的形状，并说明理由．24．如图1，已知四边形ABCD 是正方形，E 是对角线BD 上的一点，连接AE ，CE ．（1）求证：AE ＝CE ；（2）如图2，点P 是边CD 上的一点，且PE ⊥BD 于E ，连接BP ，O 为BP 的中点，连接EO ．若∠PBC ＝30°，求∠POE 的度数；（3）在（2）的条件下，若OE 2，求CE 的长．25．已知在ABC 和ADE 中， 180ACB AED ∠+∠=︒，CA CB =，EA ED =，3AB =．（1）如图1，若90ACB ∠=︒，B 、A 、D 三点共线，连接CE ：①若522CE =，求BD 长度；②如图2，若点F 是BD 中点，连接CF ，EF ，求证：2CE EF =；（2）如图3，若点D 在线段BC 上，且2CAB EAD ∠=∠，试直接写出AED 面积的最小值．26．如图，四边形ABCD 为正方形.在边AD 上取一点E ，连接BE ，使60AEB ∠=︒.（1）利用尺规作图（保留作图痕迹）：分别以点B 、C 为圆心，BC 长为半径作弧交正方形内部于点T ，连接BT 并延长交边AD 于点E ，则60AEB ∠=︒；（2）在前面的条件下，取BE 中点M ，过点M 的直线分别交边AB 、CD 于点P 、Q . ①当PQ BE ⊥时，求证：2BP AP =；②当PQ BE =时，延长BE ，CD 交于N 点，猜想NQ 与MQ 的数量关系，并说明理由.27．如图，四边形ABCD 为矩形，C 点在x 轴上，A 点在y 轴上，D(0，0)，B(3，4)，矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点B 落在AD 边上的G 处，E 、F 分别在BC 、AB 边上且F(1，4)．(1)求G 点坐标(2)求直线EF 解析式(3)点N 在坐标轴上，直线EF 上是否存在点M ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由28．在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD边于点E．点F在BC边上，且FE⊥AE．（1）如图1，①∠BEC=_________°；②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；（2）如图2，FH∥CD交AD于点H，交BE于点M．NH∥BE，NB∥HE，连接NE．若AB=4，AH=2，求NE的长．29．已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．30．如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：（1）PC＝cm．（用t的代数式表示）（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】过P 作PG ⊥AB 于点G ，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP ≌△FPE 后即可证明①AP=EF ；④∠PFE=∠BAP ；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt △DPF 中，DP 2=DF 2+PF 2=EC 2+EC 2=2EC 2，求得DP=2EC ，得出⑤正确，即可得出结论．【详解】过P 作PG ⊥AB 于点G ，如图所示：∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，∴GP=EP ，在△GPB 中，∠GBP=45°，∴∠GPB=45°，∴GB=GP ，同理：PE=BE ，∵AB=BC=GF ，∴AG=AB-GB ，FP=GF-GP=AB-GB ，∴AG=PF ，在△AGP 和△FPE 中，90AG PF AGP FPE PG PE ⎧⎪⎨⎪∠∠⎩︒＝＝＝＝，∴△AGP≌△FPE（SAS），∴AP=EF，①正确，∠PFE=∠GAP，∴∠PFE=∠BAP，④正确；延长AP到EF上于一点H，∴∠PAG=∠PFH，∵∠APG=∠FPH，∴∠PHF=∠PGA=90°，∴AP⊥EF，②正确，∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45°，∴当∠PAD=45°或67.5°时，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD不是等腰三角形，故③正确．∵GF∥BC，∴∠DPF=∠DBC，又∵∠DPF=∠DBC=45°，∴∠PDF=∠DPF=45°，∴PF=EC，∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，∴EC，PD=EC，⑤正确．即2∴其中正确结论的序号是①②③④⑤，共有5个．故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．2．A解析：A【解析】【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点.此时PE+PD=BE最小，而BE是直角△CBE的斜边，利用勾股定理即可得出结果.【详解】解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P'，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于AC对称，∴P'D=P'B，∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小.即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，即为BE的长度.∴直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=4，CE=12CD=2，∴224225BE=+=故选：A.【点睛】本题题考查了轴对称中的最短路线问题，要灵活运用正方形的性质、对称性是解决此类问题的重要方法，找出P点位置是解题的关键3．C解析：C【分析】由题意得△AED≌△MED、△BEG≌△MEG、△MGF≌△CGF，设CG=x，用含x的式子表示AD =2x，AB22x=，即可得出AB22x2 AD==【详解】∵ED平分∠AEF∴∠AED=∠DEM在矩形ABCD中，∠A=∠B=∠BCD=90°∵DG⊥EF∴∠DME=∠EMG=∠GMF=90°∴∠A=∠DME=90°∵DE=DE∴△AED≌△MED∴ME=AE∵点E是矩形ABCD的边AB的中点∴AE=BE∴ME=BE∵∠EMC=∠B=90°， EG=EG∴Rt △BEG ≌Rt △MEG∵AD ∥BC∴∠ADG=∠CGD∵ED ∥GF∴∠EDM=∠FGM∴∠ADE=∠CGF∴∠CGF=∠FGM∴△MGF ≌△CGF∴MG=CG=BG设CG=x∴BC=2x∴AD=DM=2x∴DG=3x根据勾股定理可得CD =∴AB =∴AB AD 2x==故选：C【点睛】本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定和性质、勾股定理，掌握和全等三角形的判定和性质、勾股定理是解题的关键．4．D解析：D【分析】由题意得出条件证明△ABC ≌△DAF,根据对应角相等可推出②正确;由F 是AB 中点根据边长转换可以推出④正确;先推出△ECF ≌△DFA 得出对应边相等推出ADFE 为平行四边形且有组临边不等得出①错误;再由以上全等即可得出④正确.【详解】∵△ABD 是等边三角形，∴∠BAD=60°，AB=AD ，∵∠BAC=30°，知∴∠FAD=∠ABC=90°，AC=2BC ，∵F 为AC 的中点道，∴AC=2AF ，∴BC=AF ，∴△ABC≌△DAF，∴FD=AC，∴∠ADF=∠BAC=30°，∴DF⊥AB，故②正确，∵EF⊥AC，∠ACB=90°，∴FG∥BC，∵F是AB的中点，∴GF=12 BC，∵BC=12AC，AC=CE，∴GF=14CE，故④说法正确；∵AE=CE，CF=AF，∴∠EFC=90°，∠CEF=30°，∵∠FAD=∠CAB+∠BAD=90°，∴∠EFC=∠DAF，∵DF⊥AB，∴∠ADF=30°，∴∠CEF=∠ADF，∴△ECF≌△DFA（AAS），∴AD=EF，∵FD=AC，∴四边形属ADFE为平行四边形，∵AD≠DF，∴四边形ADFE不是菱形；故①说法不正确；∴AO=12 AF，∴AO=12 AC，∵AE=AC，则AE=4AO，故③说法正确，故选D．【点睛】本体主要考查平行四边形的判定，等边三角形，三角形全等的判定，关键在于熟练掌握基础知识，根据图形结合知识点进行推导.5．B解析：B【分析】延长DH 交AG 于点E ，利用SSS 证出△AGB ≌△CHD ，然后利用ASA 证出△ADE ≌△DCH ，根据全等三角形的性质求出EG 、HE 和∠HEG ，最后利用勾股定理即可求出HG ．【详解】解：延长DH 交AG 于点E∵四边形ABCD 为正方形∴AD=DC=BA=10，∠ADC=∠BAD=90°在△AGB 和△CHD 中AG CH BA DC BG DH =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△AGB ≌△CHD∴∠BAG=∠DCH∵∠BAG ＋∠DAE=90°∴∠DCH ＋∠DAE=90°∴CH 2＋DH 2=82＋62=100= DC 2∴△CHD 为直角三角形，∠CHD=90°∴∠DCH ＋∠CDH=90°∴∠DAE=∠CDH ，∵∠CDH ＋∠ADE=90°∴∠ADE=∠DCH在△ADE 和△DCH 中ADE DCH AD DCDAE CDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△DCH∴AE=DH=6，DE=CH=8，∠AED=∠DHC=90°∴EG=AG －AE=2，HE= DE －DH=2，∠GEH=180°－∠AED=90°在Rt △GEH 中，2222EG HE +=故选B ．【点睛】此题考查是正方形的性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握正方形的性质、全等三角形的判定及性质和利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键．6．C解析：C【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”可得//EF AC ，12EF AC =，再由45°角可证△ABQ 为等腰直角三角形，从而可得可得AQ BQ =，进而证明AQC BQDASA ≅△△（)，利用三角形的全等性质求解即可．【详解】解：如图所示：连接AC ，延长BD 交AC 于点M ，延长AD 交BC 于Q ，延长CD 交AB 于P ．45ABC C ∠=∠=︒，CP AB ∴⊥，45ABC BAD ∠=∠=︒，AQ BC ∴⊥，点D 为两条高的交点，BM ∴为AC 边上的高，即：BM AC ⊥，由中位线定理可得//EF AC ，12EF AC =， BD EF ∴⊥，故①正确；45DBQ DCA ∠+∠=︒，45DCA CAQ ∠+∠=︒，DBQ CAQ ∴∠=∠，BAD ABC ∠=∠，AQ BQ ∴=，90BQD AQC ∠=∠=︒，∴根据以上条件得AQC BQD ASA ≅△△（)，BD AC ∴=，12EF AC ∴=，故②正确； 45A ABC C ∠=∠=∠=︒，()18045DAC DCA BAD ABC BCD ∴∠+∠=︒-∠+∠+∠=︒，180135()180ADC DAC DCA BEF BFE ABC ∴∠=︒-∠+∠=︒=∠+∠=︒-∠，故③ ADC BEF BFE ∠=∠+∠成立；无法证明AD CD =，故④错误．综上所述：正确的是①②③，故选C ．【点睛】本题考点在于三角形的中位线和三角形全等的判断及应用．解题关键是证明AQC BQD ASA ≅△△（)．7．B解析：B【分析】根据平行线的性质和轴对称的性质，利用SAS 证明BEG DEG ≅，进而得到ADG 90∠=︒，设AB=x ，则AG=2x ，CD=x ，，即可求解．【详解】解：在ABCD 中∵DF ∥EG∴∠DEG=∠DFB∵△ABE 沿BE 对折得到△BEG∴∠DEG =2∠A∵∠DFB =∠C +∠CDF∠A=∠C∴∠CDF=∠A∵△DFC 沿DF 对折∴∠BGE=∠DGEBG=DGEG=EG∴BEG DEG ≅∵BE⊥AB∴ADG 90∠=︒设AB=x ，则AG=2x ，CD=x ，=∴AB AD ==故选：B ．【点睛】此题主要考查平行线的性质、轴对称的性质、全等三角形的判断和性质、勾股定理，熟练运用平行线的性质和轴对称的性质证明BEG DEG ≅是解题关键．8．C解析：C【分析】①证明△OBC 是等边三角形，即可得OB=BC ，由FO=FC ，即可得FB 垂直平分OC ，①正确；②由FB垂直平分OC，根据轴对称的性质可得△FCB≌△FOB，根据全等三角形的性质可得∠BCF=∠BOF=90°，再证明△FOC≌△EOA，所以FO=EO，即可得OB垂直平分EF，所以△OBF≌△OBE，即△EOB≌△FCB，②错误；③证明四边形DEBF是平行四边形，再由OB垂直平分EF，根据线段垂直平分线的性质可得BE=BF，即可得平行四边形DEBF为菱形，③正确；④由OBF≌△EOB≌△FCB得∠1=∠2=∠3=30°，在Rt△OBE中，可得OE=，在Rt△OBM中，可得，即可得BM ：OE =3：2，④正确.【详解】①∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，∴FB⊥OC，OM=CM；①正确；②∵FB垂直平分OC，根据轴对称的性质可得△FCB≌△FOB，∴∠BCF=∠BOF=90°，即OB⊥EF，∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO，∴△FOC≌△EOA，∴FO=EO，∴OB垂直平分EF，∴△OBF≌△OBE，∴△EOB≌△FCB，②错误；③∵△FOC≌△EOA，∴FC=AE，∵矩形ABCD，∴CD=AB，CD∥AB，∴DF∥EB，DF=EB，∴四边形DEBF是平行四边形，∵OB垂直平分EF，∴BE=BF，∴平行四边形DEBF为菱形；③正确；④由OBF≌△EOB≌△FCB得∠1=∠2=∠3=30°，在Rt△OBE中，3，在Rt△OBM中，BM=32OB,∴BM ：OE =32：=33OB=3：2.④正确；所以其中正确结论的个数为3个；故选C.【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、菱形的判定及锐角三角函数，是一道综合性较强的题目，解决问题的关键是会综合运用所学的知识分析解决问题．9．B解析：B【分析】根据菱形的性质，利用SAS证明即可判断①；根据△ABF≌△CAE得到∠BAF=∠ACE，再利用外角的性质以及菱形内角度数即可判断②；通过说明∠CAH≠∠DAO，判断△ADO≌△ACH不成立，可判断③；再利用菱形边长即可求出菱形面积，可判断④.【详解】解：∵在菱形ABCD中，AB=AC=1，∴△ABC为等边三角形，∴∠B=∠CAE=60°，又∵AE=BF，∴△ABF≌△CAE（SAS），故①正确；∴∠BAF=∠ACE，∴∠FHC=∠ACE+∠HAC=∠BAF+∠HAC=60°，故②正确；∵∠B=∠CAE=60°，则在△ADO和△ACH中，∠OAD=60°=∠CAB，∴∠CAH≠60°，即∠CAH≠∠DAO，∴△ADO≌△ACH不成立，故③错误；∵AB=AC=1，过点A 作AG ⊥BC ，垂足为G ，∴∠BAG=30°，BG=12， ∴AG=22AB BG -=32, ∴菱形ABCD 的面积为：BC AG ⨯=312⨯=32，故④错误；故正确的结论有2个，故选B.【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，菱形的性质和面积，等边三角形的判定和性质，外角的性质，解题的关键是利用菱形的性质证明全等.10．A解析：A【分析】首先证明Rt △AFB ≌Rt △AFH ，推出BF=FH ，设EF=x ，则BF=FH=12x -，在Rt △FEH 中，根据222,EF EH FH =+构建方程即可解决问题；【详解】解：连接AF ．∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=BC=1，∠B=90°，∵BE=EC=12， ∴225AB BE += 由翻折不变性可知：AD=AH=AB=1，∴EH=51-， ∵∠B=∠AHF=90°，AF=AF ，AH=AB ，∴Rt △AFB ≌Rt △AFH ，∴BF=FH ，设EF=x ，则BF=FH=12x -，在Rt △FEH 中，∵222,EF EH FH =+∴22215()(1),2x x =-+- ∴525.2x -= 故选：A ．【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，二、填空题11．22【解析】分析：过O 点作OE ⊥CA 于E ，OF ⊥BC 于F ，连接CO ，如图，易得四边形OECF 为矩形，由△AOP 为等腰直角三角形得到OA=OP ，∠AOP=90°，则可证明△OAE ≌△OPF ，所以AE=PF ，OE=OF ，根据角平分线的性质定理的逆定理得到CO 平分∠ACP ，从而可判断当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径为一条线段，接着证明CE=12（AC+CP ），然后分别计算P 点在D 点和B 点时OC 的长，从而计算它们的差即可得到P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径长．详解：过O 点作OE ⊥CA 于E ，OF ⊥BC 于F ，连接CO ，如图，∵△AOP 为等腰直角三角形，∴OA=OP ，∠AOP=90°，易得四边形OECF 为矩形，∴∠EOF=90°，CE=CF ，∴∠AOE=∠POF ，∴△OAE ≌△OPF ，∴AE=PF ，OE=OF ，∴CO 平分∠ACP ，∴当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径为一条线段，∵AE=PF ，即AC-CE=CF-CP ，而CE=CF ，∴CE=12（AC+CP ）， ∴OC=2CE=22（AC+CP ），当AC=2，CP=CD=1时，OC=22×（2+1）=322，当AC=2，CP=CB=5时，OC=2×（2+5）=72， ∴当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径长=722-322=22．故答案为22．点睛：本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定轨迹的几何特征，然后进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与性质．12．52【分析】连接DM ，直角三角形斜边中线等于斜边一半，得AM=DM ，利用两边之差小于第三边得到AM MN DN -≤，又根据三角形中位线的性质即可求解．【详解】连接DM ，如下图所示，∵90BAC EDF ∠=∠=︒又∵M 为EF 中点∴AM=DM=12EF ∴AM MN DM MN DN -=-≤（当D 、M 、N 共线时，等号成立）∵D 、N 分别为BC 、AC 的中点，即DN 是△ABC 的中位线∴DN=12AB=52∴AM MN -的最大值为52 故答案为52．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系，关键是确定AM MN -的取值范围．13．(-10，3)【解析】试题分析：根据题意可知△CEF∽△OFA，可根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得OF=2CE ，设CE=x ，则BE=8-x ，然后根据折叠的性质，可得EF=8-x ，根据勾股定理可得2224(8)x x +=-，解得x =3，则OF=6，所以OC=10，由此可得点E 的坐标为（-10，3）. 故答案为：（-10，3）14．4【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF 是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF ＝AP ，则EF 的最小值即为AP 的最小值，根据垂线段最短，知：AP 的最小值即等于直角三角形ABC 斜边上的高．【详解】解：连接AP ，∵在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，∴AB 2+AC 2＝BC 2，即∠BAC ＝90°．又∵PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，∴四边形AEPF 是矩形，∴EF ＝AP ，∵AP 的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高，设斜边上的高为h ，则S △ABC =1122BC h AB AC ⋅=⋅ ∴1153422h ⨯⋅=⨯⨯ ∴h=2.4，∴EF 的最小值为2.4，故答案为：2.4．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键．15．102【分析】根据菱形的性质求出∠DAB=2∠DAC，AD=CD；再根据垂直平分线的性质得出AF=DF，利用三角形内角和定理可以求得3∠CAD+∠CDF=180°，从而得到∠DAB的度数．【详解】连接BD，BF，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∴∠DAC=∠DCA．∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，∴AF=BF，BF=DF，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∴∠DAC+∠FDA+∠DCA+∠CDF=180°，即3∠DAC+∠CDF=180°，∵∠CDF=27°，∴3∠DAC+27°=180°，则∠DAC=51°，∴∠DAB=2∠DAC=102°．故答案为：102°．【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用以及菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD，BF，这是解答本题的突破口．16．①②③④【分析】根据正方形的性质和SAS可证明△ABG≌△AEC，然后根据全等三角形的性质即可判断①；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE＝∠AGB，然后根据三角形的内角和定理可得∠CNG＝∠CAG＝90°，于是可判断②；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，根据余角的性质即可判断④；利用AAS即可证明△ABH≌△EAP，可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP ＝GQ，再利用AAS可证明△EPM≌△GQM，可得EM＝GM，从而可判断③，于是可得答案．【详解】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，即∠CAE＝∠BAG，∴△ABG≌△AEC（SAS），∴BG＝CE，故①正确；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，∵△ABG≌△AEC，∴∠ACE＝∠AGB，∵∠AKG＝∠NKC，∴∠CNG＝∠CAG＝90°，∴BG⊥CE，故②正确；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，∵AH⊥BC，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAE＝90°，∴∠EAP+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠EAP，即∠EAM＝∠ABC，故④正确；∵∠AHB=∠P=90°，AB=AE，∴△ABH ≌△EAP （AAS ），∴EP ＝AH ，同理可得GQ ＝AH ，∴EP ＝GQ ，∵在△EPM 和△GQM 中，90P MQG EMP GMQ EP GQ ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EPM ≌△GQM （AAS ），∴EM ＝GM ，∴AM 是△AEG 的中线，故③正确．综上所述，①②③④结论都正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造出全等三角形是难点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．17．9或1)．【分析】分两种情况画图，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理矩形计算即可．【详解】解：①如图1，延长EA 交DC 于点F ，∵菱形ABCD 的周长为24，∴AB=BC=6，∵∠ABC=60°，∴三角形ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，当EA ⊥BA 时，△ABE 是等腰直角三角形，∴AE=AB=AC=6，∠EAC=90°+60°=150°，∴∠FAC=30°，∵∠ACD=60°，∴∠AFC=90°，∴CF=12AC=3，则△ACE 的面积为：12AE×CF=12×6×3=9；②如图2，过点A 作AF ⊥EC 于点F ，由①可知：∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°+60°=150°，∵AB=BE=BC=6，∴∠BEC=∠BCE=15°，∴∠AEF=45°-15°=30°，∠ACE=60°-15°=45°，∴AF=12AE ，AF=CF=22AC=32 ∵AB=BE=6，∴AE=2∴2236AE AF -=∴EC=EF+FC=3632则△ACE 的面积为：12EC×AF=1(3632)329(31)2⨯⨯=．故答案为：9或31)．【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．18．1或7．【分析】存在2种情况满足条件，一种是点P 在BC 上，只需要BP=CE 即可得全等；另一种是点P 在AD 上，只需要AP=CE 即可得全等【详解】设点P 的运动时间为t 秒，当点P 在线段BC 上时，则2BP t =，∵四边形ABCD 为长方形，∴AB CD =，90B DCE ∠=∠=︒，此时有ABP DCE ∆∆≌，∴BP CE =，即22t =，解得1t =；当点P 在线段AD 上时，则2BC CD DP t ++=，∵4AB =，6AD =，∴6BC =，4CD =，∴()()6462162AP BC CD DA BC CD DP t t =++-++=++-=-，∴162AP t =-，此时有ABP CDE ∆∆≌，∴AP CE =，即1622t -=，解得7t =；综上可知当t 为1秒或7秒时，ABP ∆和CDE ∆全等.故答案为：1或7．【点睛】本题考查动点问题，解题关键是根据矩形的性质可得，要证三角形的全等，只需要还得到一条直角边相等即可19．2【分析】根据EM 是Rt ABE △斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出EM 的长；根据已知条件推导出DME 是等边三角形，且边长为2，进一步计算即可得解．【详解】解：∵AD BC ⊥，M 为AB 边的中点，4AB =∴在Rt ABD △中，114222DM AM AB ===⨯= 同理，在Rt ABE △中，114222EM AM AB ===⨯= ∴MDA MAD ∠=∠，MEA MAE ∠=∠∵2BME MEA MAE MAE ∠=∠+∠=∠，2BMD MDA MAD MAD ∠=∠+∠=∠ ∴DME BME BMD ∠=∠-∠ 22MAE MAD =∠-∠()2MAE MAD =∠-∠2DAC =∠60=︒∵=DM EM∴DME 是等边三角形，且边长为2∴122EDM S =⨯=故答案是：2【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的外角定理、角的和差以及等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是进行推理论证的前提．20．7【分析】①若m n =，则AF EC =，先根据平行四边形的性质得出//,AD BC AD BC =，再根据平行四边形的判定（一组对边平行且相等或两组对边分别平行）即可得；②先根据平行四边形的性质与判定得出四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形，从而可得11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆==，再根据28ABCD ABEF CDFE S S S =+= 和1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆=+=+四边形即可得出答案．【详解】四边形ABCD 是平行四边形//,AD BC AD BC ∴=,,AF EC n m BC BCm n === AF EC ∴=AD AF BC EC ∴-=-，即DF BE =∴四边形AECF 、四边形BEDF 都是平行四边形//,//AE CF BF DE ∴∴四边形EGFH 是平行四边形综上，图中共有4个平行四边形如图，连接EF1,,AF EC n m BC B n Cm ==+= AF EC BC AD ∴+==AF DF AD +=EC DF ∴=AF BE ∴=∴四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形 11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆∴== 28ABCD ABEF CDFE S S S =+=1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆∴=+=+四边形1()4ABEF CDFE S S =+12874=⨯= 故答案为：4；7．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质是解题关键．三、解答题21．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）410DE =．【分析】（1）过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，①由正方形的性质可得//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒，即可证明四边形DGHM 是平行四边形，可得DM=GH ，由90GOD ∠=︒可得∠EDM=90°，根据直角三角形两锐角互余的性质可得12∠=∠，利用ASA 可证明△ADE≌△CDM，可得DE=DM ，即可证明DE=GH ；②由①得DM=DE ，根据勾股定理可得2，利用三角形三边关系即可得结论；（2）过点D 作DN//GH 交BC 于点N ，作ADM CDN ∠=∠，DM 交BA 延长线于点M ，可证明四边形GHND 为平行四边形，可得DN HG =，GD HN =，根据勾股定理可求出CN 的长，利用AAS 可证明ADM CDN ∆∆≌，可得AM NC =，DM DN =，根据平行线的性质∠EDN=45°，根据角的和差故选可得∠MDE=∠EDN ，利用SAS 可证明MDE NDE ∆∆≌，即可证明AE CN EN +=，设AE x =，利用勾股定理可求出x 的值，进而利用勾股定理求出DE 的值即可得答案．【详解】（1）如图（1），过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，EM ， ①∵四边形ABCD 为正方形，∴//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒∴四边形DGHM 为平行四边形，∴DM=GH ，GD HM =，∵90GOD ∠=︒，∴90EDM EOH ∠=∠=︒，∴290EDC ∠+∠=︒，∵90ADC ∠=︒，∴190EDC ∠+∠=︒，∴12∠=∠，在ADE ∆和CDM ∆中12A DCM AD DC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ADE CDM ∆∆≌，∴DE DM =，∴DE GH =．②在DEM ∆中，∠EDM=90°，∴222DE DM EM +=，∵DE DM =，∴222DE EM =， ∴2EM DE =，在EHM ∆中，HM EH EM +>，∵GD HM =， ∴2GD EH GH +≥．（2）如图（2），过点D 作DN//GH 交BC 于点N ，则四边形GHND 为平行四边形， ∴DN HG =，GD HN =，∵90C ∠=︒，4CD AB ==，25HG DN == ∴222CN DN DC =-=，∴422BN BC CN =-=-=，作ADM CDN ∠=∠，DM 交BA 延长线于点M ，在ADM ∆和CDN ∆中90C MAD CDN ADM DC AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADM CDN ∆∆≌，∴AM NC =，DM DN =，∵45GOD EOH ∠=∠=︒，∴45EDN ∠=︒，∴45ADE CDN ∠+∠=︒，∴45ADE ADN MDE ∠+∠=︒=∠，在MDE ∆和NDE ∆中MD ND MDE EDN DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴MDE NDE ∆∆≌，∴EM EN =，即AE AM AE CN EN +=+=，设AE x =，则BE=4-x ，在Rt BEN ∆中，2222(2)x x +=+，解得：43x =， ∴2222441043DE AD AE ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理，并正确作出辅助线是解题关键．22．（1）BC ⊥CF ，CF +CD =BC ；（2）CF ⊥BC ，CF ﹣CD =BC ，证明详见解析；（3）494．【分析】（1）△ABC 是等腰直角三角形，利用SAS 即可证明△BAD ≌△CAF ，从而证得CF =BD ，据此即可证得；（2）同（1）相同，利用SAS 即可证得△BAD ≌△CAF ，从而证得BD =CF ，即可得到CF ﹣CD =BC ；（3）先证明△BAD ≌△CAF ，进而得出△FCD 是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质即可得到DF 的长，再求出CD ，BC 即可解决问题．【详解】（1）如图1中，∵∠BAC =90°，∠ABC =45°，∴∠ACB =∠ABC =45°，∴AB =AC ，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD =AF ，∠DAF =90°，∵∠BAD =90°﹣∠DAC ，∠CAF =90°﹣∠DAC ，∴∠BAD =∠CAF ，∵在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAF （SAS ），∴BD =CF ，∠ABD =∠ACF =45°，∴∠FCB =∠ACF +∠ACB =90°，即CF ⊥BC ，∵BD +CD =BC ，∴CF +CD =BC ；故答案为：CF ⊥BC ，CF +CD =BC ．（2）结论：CF ⊥BC ，CF ﹣CD =BC ．理由：如图2中，∵∠BAC =90°，∠ABC =45°，∴∠ACB =∠ABC =45°，∴AB =AC ，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD =AF ，∠DAF =90°，∵∠BAD =90°+∠DAC ，∠CAF =90°+∠DAC ，∴∠BAD =∠CAF ，∵在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAF （SAS ），∴BD =CF ，∠ABD =∠ACF =45°，∴∠FCB =∠ACF +∠ACB =90°，即CF ⊥BC ，∴BC +CD =CF ，∴CF ﹣CD =BC ；（3）如图3中，∵∠BAC =90°，∠ABC =45°，∴∠ACB =∠ABC =45°，∴AB =AC ，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD =AF ，∠DAF =90°，∵∠BAD =90°﹣∠BAF ，∠CAF =90°﹣∠BAF ，∴∠BAD =∠CAF ，∵在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAF （SAS ），∴∠ACF =∠ABD ，BD =CF =5，∵∠ABC =45°，∴∠ABD =135°，∴∠ACF =∠ABD =135°，∴∠FCD =135°﹣45°=90°，∴△FCD 是直角三角形．∵OD =OF ，∴DF =2OC =13，∴Rt △CDF 中，CD 2222135DF CF -=-12，。

八年级初二数学第二学期平行四边形单元易错题专题强化试卷检测试卷

八年级初二数学第二学期平行四边形单元易错题专题强化试卷检测试卷一、解答题1．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线//MN AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE BC ⊥，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE（1）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由；（2）当D 为AB 中点时，A ∠等于度时，四边形BECD 是正方形．2．如图1，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，AM 、AN 分别交BD 于点P 、Q ，连接CQ 、MQ ．且CQ MQ =．（1）求证：QAB QMC ∠=∠（2）求证：90AQM ∠=︒（3）如图2，连接MN ，当2BM =，3CN =，求AMN 的面积图1 图23．如图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB =DE ，∠A =∠D ，AF =DC ．（1）求证：四边形BCEF 是平行四边形；（2）若∠DEF =90°，DE =8，EF =6，当AF 为时，四边形BCEF 是菱形．4．已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交于BE 的延长线于点F ，且AF=DC ，连接CF ．（1）求证：D 是BC 的中点；（2）如果AB=AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．5．感知：如图①，在正方形ABCD 中，E 是AB 一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE ＝，求证：CE CF ＝；拓展：在图①中，若G 在AD ，且45GCE ∠︒＝，则GE BE GD +＝成立吗？为什么？运用：如图②在四边形ABCD 中，()//AD BC BC AD ＞，90A B ∠∠︒＝＝，16AB BC ＝＝，E 是AB 上一点，且45DCE ∠︒＝，4BE ＝，求DE 的长．6．在正方形中，连接，为射线上的一个动点（与点不重合），连接，的垂直平分线交线段于点，连接，. 提出问题：当点运动时，的度数是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点的两个特殊位置：①当点与点重合时，如图1所示，____________ ②当时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：__________；（填“变化”或“不变化”）（2）然后考察点的一般位置：依题意补全图3，图4，通过观察、测量，发现：（1）中①的结论在一般情况下_________；（填“成立”或“不成立”）（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由.7．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，且交AC于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD.（1）①求证：四边形BFDE是菱形；②求∠EBF的度数．（2）把（1）中菱形BFDE进行分离研究，如图2，G，I分别在BF，BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH，并延长FH交ED于点J，连接IJ，IH，IF，IG．试探究线段IH与FH之间满足的数量关系，并说明理由；（3）把（1）中矩形ABCD进行特殊化探究，如图3，矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE，作EF⊥DE，垂足为点E，交AB于点F，连接DF，交AC于点G．请直接写出线段AG，GE，EC三者之间满足的数量关系．8．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。

八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题提高题检测试卷

八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题提高题检测试卷一、解答题1．如图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB =DE ，∠A =∠D ，AF =DC ．（1）求证：四边形BCEF 是平行四边形；（2）若∠DEF =90°，DE =8，EF =6，当AF 为时，四边形BCEF 是菱形．2．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A 、B 重合），连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ，连接BH ．（1）求证：GF GC =；（2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．3．已知在平行四边形ABCD 中，AB BC ≠，将ABC 沿直线AC 翻折，点B 落在点尽处，AD 与CE 相交于点O ，联结DE ．（1）如图1，求证：//AC DE ；（2）如图2，如果90B ∠=︒，3AB =，6=BC ，求OAC 的面积；（3）如果30B ∠=︒，23AB =，当AED 是直角三角形时，求BC 的长．4．猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD 与矩形纸片ECGF ，使B ，C ，G 三点在一条直线上，CE 在边CD 上．连结AF ，若M 为AF 的中点，连结DM ，ME ，试猜想DM 与ME 的数量关系，并证明你的结论．拓展与延伸：(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，其他条件不变，则DM 和ME 的关系为__________________；(2)如图②摆放正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，使点F 在边CD 上，点M 仍为AF 的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半]① ②5．如图，ABC ADC ∆≅∆，90,ABC ADC AB BC ︒∠=∠==，点F 在边AB 上，点E 在边AD 的延长线上，且,DE BF BG CF =⊥，垂足为H ，BH 的延长线交AC 于点G .（1）若10AB =，求四边形AECF 的面积；（2）若CG CB =，求证：2BG FH CE +=. 6．在正方形中，连接，为射线上的一个动点（与点不重合），连接，的垂直平分线交线段于点，连接，.提出问题：当点运动时，的度数是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点的两个特殊位置：①当点与点重合时，如图1所示，____________②当时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：__________；（填“变化”或“不变化”）（2）然后考察点的一般位置：依题意补全图3，图4，通过观察、测量，发现：（1）中①的结论在一般情况下_________；（填“成立”或“不成立”）（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由.7．在正方形AMFN中，以AM为BC边上的高作等边三角形ABC，将AB绕点A逆时针旋转90°至点D，D点恰好落在NF上，连接BD，AC与BD交于点E，连接CD，(1)如图1，求证：△AMC≌△AND；(2)如图1，若DF=3，求AE的长；(3)如图2,将△CDF绕点D顺时针旋转α（090α<<）,点C,F的对应点分别为1C、1F，连接1AF、1BC，点G是1BC的中点,连接AG，试探索1AGAF是否为定值，若是定值，则求出该值；若不是，请说明理由.8．如图，在矩形 ABCD中， AB=16 ， BC=18 ，点 E在边 AB 上，点 F 是边BC上不与点 B、C 重合的一个动点，把△EBF沿 EF 折叠，点B落在点 B' 处.(I)若 AE=0 时，且点 B' 恰好落在 AD 边上，请直接写出 DB' 的长；(II)若 AE=3 时，且△CDB' 是以 DB' 为腰的等腰三角形，试求 DB' 的长；(III)若AE=8时，且点 B' 落在矩形内部（不含边长），试直接写出 DB' 的取值范围.9．如图，在平行四边形 ABCD中，AD=30 ，CD=10，F是BC 的中点，P 以每秒1 个单位长度的速度从 A向 D运动，到D点后停止运动；Q沿着A B C D→→→路径以每秒3个单位长度的速度运动，到D 点后停止运动．已知动点 P ，Q 同时出发，当其中一点停止后，另一点也停止运动．设运动时间为 t 秒，问：（1）经过几秒，以 A ，Q ，F ，P 为顶点的四边形是平行四边形（2）经过几秒，以A ，Q ，F ， P 为顶点的四边形的面积是平行四边形 ABCD 面积的一半？10．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，点F 在DC 的延长线上，点E 在AD 上，且有12CBE ABF ∠=∠．（1）如图1，当a b =时，若60CBE ∠=︒，求证：BE BF =；（2）如图2，当32b a =时， ①请直接写出ABE ∠与BFC ∠的数量关系：_________；②当点E 是AD 中点时，求证：2CF BF a +=； ③在②的条件下，请直接写出:BCF ABCD S S ∆矩形的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）详见解析；（2）145．【分析】（1）由AB =DE ，∠A =∠D ，AF =DC ，易证得△ABC ≌DEF （SAS ），即可得BC =EF ，且BC ∥EF ，即可判定四边形BCEF 是平行四边形；（2）由四边形BCEF 是平行四边形，可得当BE ⊥CF 时，四边形BCEF 是菱形，所以连接BE ，交CF 与点G ，由三角形DEF 的面积求出EG 的长，根据勾股定理求出FG 的长，则可求出答案．【详解】（1）证明：∵AF =DC ， ∴AC =DF ，在△ABC 和△DEF 中，AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DEF （SAS ）， ∴BC =EF ，∠ACB =∠DFE ， ∴BC ∥EF ，∴四边形BCEF 是平行四边形；（2）如图，连接BE ，交CF 于点G ，∵四边形BCEF 是平行四边形， ∴当BE ⊥CF 时，四边形BCEF 是菱形， ∵∠DEF =90°，DE =8，EF =6， ∴DF 222286DE EF +=+10，∴S △DEF 1122EG DF EF DE =⋅=⋅， ∴EG 6824105⨯==， ∴FG =CG 22222418655EF EG ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭，∴AF =CD =DF ﹣2FG =10﹣365=145．故答案为：145．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 2．（1）详见解析；（2）2BH AE ，理由详见解析【分析】1）如图1，连接DF ，根据对称得：△ADE ≌△FDE ，再由HL 证明Rt △DFG ≌Rt △DCG ，可得结论；（2）如图2，作辅助线，构建AM=AE ，先证明∠EDG=45°，得DE=EH ，证明△DME ≌△EBH ，则EM=BH ，根据等腰直角△AEM 得：2EM AE =，得结论；【详解】证明：（1）如图1，连接DF ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴DA DC =，90A C ∠=∠=︒， ∵点A 关于直线DE 的对称点为F ， ∴ADE ∆≌FDE ∆，∴DA DF DC ==，90DFE A ∠=∠=︒， ∴90DFG ∠=︒，在Rt DFG ∆和Rt DCG ∆中， ∵DF DCDG DG =⎧⎨=⎩∴Rt DFG ∆≌Rt DCG ∆（HL ）， ∴GF GC =；（2）2BH AE =，理由是：如图2，在线段AD 上截取AM ，使AM AE =，∵AD AB =， ∴DM BE =，由（1）知：12∠=∠，34∠=∠， ∵90ADC ∠=︒，∴123490∠+∠+∠+∠=︒， ∴222390∠+∠=︒， ∴2345∠+∠=︒，即45EDG ∠=︒， ∵EH DE ⊥，∴90DEH ∠=︒，DEH ∆是等腰直角三角形， ∴190AED BEH AED ∠+∠=∠+∠=︒，DE EH =， ∴1BEH ∠=∠，在DME ∆和EBH ∆中，1DM BE BEH DE EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DME ∆≌EBH ∆ ∴EM BH =，Rt AEM ∆中，90A ∠=︒，AM AE =，∴EM =，∴BH ；【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键． 3．（1）见解析；（2；（3）4或6 【分析】（1）由折叠的性质得ACB ACE ∠=∠，BC EC =，由平行四边形的性质得AD BC =，//AD BC ．则EC AD =，ACB CAD ∠=∠，得ACE CAD ∠=∠，证出OA OC =，则OD OE =，由等腰三角形的性质得ODE OED ∠=∠，证出CAD ACE OED ODE ∠=∠=∠=∠，即可得出结论；（2）证四边形ABCD 是矩形，则90CDO ∠=︒，==CD ABAD BC ==OA OC x ==，则OD x ，在Rt OCD ∆中，由勾股定理得出方程，求出OA =，由三角形面积公式即可得出答案；（3）分两种情况：90EAD ∠=︒或90AED ∠=︒，需要画出图形分类讨论，根据含30角的直角三角形的性质，即可得到BC 的长．【详解】解：（1）证明：由折叠的性质得：ABC ∆≅△AEC ∆， ACB ACE ∴∠=∠，BC EC =，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，//AD BC ．EC AD ∴=，ACB CAD ∠=∠， ACE CAD ∴∠=∠， OA OC ∴=， OD OE ∴=，ODE OED ∴∠=∠， AOC DOE ∠=∠，CAD ACE OED ODE ∴∠=∠=∠=∠，//AC DE ∴；（2）平行四边形ABCD 中，90B ∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形，90CDO ∴∠=︒，==CD AB AD BC ==由（1）得：OA OC =，设OA OC x ==，则OD x =，在Rt OCD ∆中，由勾股定理得：222)x x +=，解得：4x =，OA ∴=，OAC ∴∆的面积1122OA CD =⨯=；（3）分两种情况：①如图3，当90EAD ∠=︒时，延长EA 交BC 于G ，AD BC =，BC EC =，AD EC ∴=，//AD BC ，90EAD ∠=︒， 90EGC ∴∠=︒，30B ∠=︒，AB = 30AEC ∴∠=︒，1122GC EC BC ∴==， G ∴是BC 的中点，在Rt ABG ∆中，3BG AB ==， 26BC BG ∴==；②如图4，当90AED ∠=︒时AD BC =，BC EC =，AD EC ∴=，由折叠的性质得：AE AB =，AE CD ∴=，在ACE ∆和CAD ∆中，AE CD CE AD AC CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ACE CAD SSS ∴∆≅∆， ECA DAC ∴∠=∠，OA OC ∴=，OE OD ∴=，OED ODE ∴∠=∠， AED CDE ∴∠=∠， 90AED ∠=︒， 90CDE ， //AE CD ∴，又//AB CD ，B ∴，A ，E 在同一直线上， 90BAC EAC ∴∠=∠=︒，Rt ABC ∆中，30B ∠=︒，23AB =，32AC AB ∴==，24BC AC ==；综上所述，当AED ∆是直角三角形时，BC 的长为4或6．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质是解题的关键．4．猜想与证明：猜想DM 与ME 的数量关系是：DM ＝ME ，证明见解析；拓展与延伸：(1)DM ＝ME ，DM ⊥ME ；(2)证明见解析【分析】猜想：延长EM 交AD 于点H ，利用△FME ≌△AMH ，得出HM=EM ，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明．（1）延长EM 交AD 于点H ，利用△FME ≌△AMH ，得出HM=EM ，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明，（2）连接AC ，AC 和EC 在同一条直线上，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明，【详解】解：猜想与证明：猜想DM 与ME 的数量关系是：DM ＝ME. 证明：如图①，延长EM 交AD 于点H.①∵四边形ABCD 、四边形ECGF 都是矩形， ∴AD ∥BG ，EF ∥BG ，∠HDE ＝90°. ∴AD ∥EF. ∴∠AHM ＝∠FEM.又∵AM ＝FM ，∠AMH ＝∠FME ， ∴△AMH ≌△FME. ∴HM ＝EM. 又∵∠HDE ＝90°， ∴DM ＝12EH ＝ME ；（1）∵四边形ABCD 和CEFG 是正方形， ∴AD ∥EF ， ∴∠EFM=∠HAM ，又∵∠FME=∠AMH ，FM=AM ，在△FME 和△AMH 中，EFM HAM FM AMFME AMH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，在RT△HDE中，HM=EM，∴DM=HM=ME，∴DM=ME．∵四边形ABCD和CEFG是正方形，∴AD=CD，CE=EF，∵△FME≌△AMH，∴EF=AH，∴DH=DE，∴△DEH是等腰直角三角形，又∵MH=ME，故答案为：DM＝ME，DM⊥ME；（2）证明：如图②，连结AC.②∵四边形ABCD、四边形ECGF都是正方形，∴∠DCA＝∠DCE＝∠CFE＝45°，∴点E在AC上．∴∠AEF＝∠FEC＝90°.又∵点M是AF的中点，∴ME＝12 AF.∵∠ADC＝90°，点M是AF的中点，∴DM＝12 AF.∴DM＝ME.∵ME＝12AF＝FM，DM＝12AF＝FM，∴∠DFM＝12(180°－∠DMF)，∠MFE＝12(180°－∠FME)，∴∠DFM＋∠MFE＝12(180°－∠DMF)＋12(180°－∠FME)＝180°－12(∠DMF＋∠FME)＝180°－12∠DME.∵∠DFM＋∠MFE＝180°－∠CFE＝180°－45°＝135°，∴180°－12∠DME ＝135°. ∴∠DME ＝90°. ∴DM ⊥ME. 【点睛】本题主要考查四边形的综合题，解题的关键是利用正方形的性质及直角三角形的中线与斜边的关系找出相等的线段． 5．(1)100；(2)见解析. 【分析】(1)先证明四边形ABCD 是正方形，再根据已知条件证明△BCF ≌△DCE ，即可得到四边形AECF 的面积=正方形ABCD 的面积；(2) 延长BG 交AD 于点M ，作AN ⊥MN ，连接FG ，先证明四边形BCEM 是平行四边形，得到BM=CE ，证明△BCF ≌△GCF ，得到BF=GF ，∠FGC=∠FBC=90︒，由AN ⊥MN ，得GM=2MN ，根据∠BAC=45︒，BC ∥AD 得到AM=BF ，再证△BFH ≌△AMN,得到GM=2FH ，由此得到结论. 【详解】(1)∵9,0ABC AB BC ︒∠==， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∵ABC ADC ∆≅∆， ∴AB=AD=BC=DC ， ∴四边形ABCD 是菱形， ∵90ABC ADC ︒∠=∠=， ∴四边形ABCD 是正方形， ∴∠BCD=90ABC ADC ︒∠=∠=， ∴∠CDE=90ABC ADC ︒∠=∠=， ∵BF=DE,BC=DC ， ∴△BCF ≌△DCE ，∴四边形AECF 的面积=S 正方形ABCD =AB 2=102=100. (2)延长BG 交AD 于点M ，作AN ⊥MN ，连接FG, ∵△BCF ≌△DCE ， ∴∠BCF=∠DCE ， ∴∠FCE=∠BCD=90︒, ∵BG ⊥CF ， ∴∠FHM=∠FCE=90︒, ∴BM ∥CE, ∵BC ∥AD,∴四边形BCEM 是平行四边形， ∴BM=CE.∵CG CB =，BG ⊥CF ， ∴∠BCH=∠GCH,∠CBM=∠CGB, ∴△BCF ≌△GCF, ∴BF=GF,∠FGC=∠FBC=90︒, ∵∠BAC=45︒， ∴∠AFG=∠BAC=45︒， ∴FG=AG, ∵BC ∥AD, ∴∠CBM=∠AMB,∴∠AGM=∠CGB=∠CBM=∠AMB, ∴AM=AG, ∵AN ⊥MN ， ∴GM=2MN, ∵∠BAD=∠ANM=90︒,∴∠ABM+∠AMN=∠MAN+∠AMN=90︒, ∴∠ABM=∠MAN,∵AM=AG=FG=BF,∠BHF=∠ANM=90︒, ∴△BFH ≌△AMN, ∴FH=MN, ∴GM=2FH, ∵BG+GM=CE, ∴2BG FH CE +=.【点睛】此题是四边形的综合题，考查正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解题中注意综合思想的方法积累. 6．（1）①45；②不变化；（2）成立；（3）详见解析. 【解析】【分析】（1）①②根据正方形的性质、线段的垂直平分线的性质即可判断；（2）画出图形即可判断，结论仍然成立；（3）如图2-1中或2-2中，作作EF ⊥BC ，EG ⊥AB ，证得∠AEG=∠PEF.由∠ABC=∠EFB=∠EGB=90°知∠GEF=∠GEP+∠PEF=90°.继而得∠AEP=∠AEG+∠GEP=∠PEF+∠GEP=90°.从而得出∠APE=∠EAP=45°. 【详解】解（1）①当点P与点B重合时，如图1-1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠APE=45°②当BP=BC时，如图1-2所示，①中的结论不发生变化；故答案为：45°，不变化.(2)（2）如图2-1，如图2-2中，结论仍然成立；故答案为：成立；(3)证明一：如图所示.过点作于点，于点.∵点在的垂直平分线上，∴.∵四边形为正方形，∴平分.∴.∴.∴.∵，∴.∴.∴.证明二：如图所示.过点作于点，延长交于点，连接.∵点在的垂直平分线上， ∴.∵四边形为正方形，∴，∴. ∴，.∴. 又∵， ∴.又∵，∴. ∴.【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、中垂线的性质等知识点7．（1）见解析；（2）AE ＝33）（3）122AG AF =，理由见解析. 【分析】（1）运用四边形AMFN 是正方形得到判断△AMC,△AND 是Rt △，进一步说明△ABC 是等边三角形，在结合旋转的性质，即可证明.（2）过E 作EG ⊥AB 于G,在BC 找一点H ，连接DH,使BH=HD ，设AG ＝x ，则AE=2x 3x ，得到△GBE 是等腰直角三角形和∠DHF=30°，再结合直角三角形的性质，判定Rt △AMC ≌Rt △AND ，最后通过计算求得AE 的长；（3）延长F 1G 到M,延长BA 交11F C 的延长线于N,使得1GM FG =，可得GMB ∆≌11GFC ∆，从而得到111BM FC DF == 1BMG GFN ∠=，可知BM ∥1F N , 再根据题意证明ABM ∆≌1ADF ∆，进一步说明1AMF ∆是等腰直角三角形，然后再使用勾股定理求解即可. 【详解】（1）证明：∵四边形AMFN 是正方形， ∴AM=AN ∠AMC=∠N=90°∴△AMC,△AND 是Rt △ ∵△ABC 是等边三角形 ∴AB=AC ∵旋转后AB=AD ∴AC=AD∴Rt △AMC ≌Rt △AND(HL)（2）过E 作EG ⊥AB 于G,在BC 找一点H ，连接DH,使BH=HD ，设AG ＝x 则AE=2x 3x 易得△GBE 是等腰直角三角形 ∴BG=EG 3x ∴AB=BC=31)x 易得∠DHF=30° ∴HD=2DF=3，HF=3 ∴BF=BH+HF=233 ∵Rt △AMC ≌Rt △AND(HL) ∴易得3∴BC=BF-CF=233333=+∴(31)33x =∴3x =∴AE ＝223x = （3）122AG AF =；理由：如图2中,延长F 1G 到M,延长BA 交11F C 的延长线于N,使得1GM FG =,则GMB ∆≌11GFC ∆,∴111BM FC DF == 1BMG GF N ∠=, ∴BM ∥1F N , ∴MBA N ∠=∠∵0190NAO OF D ∠=∠= 1AON DOF ∠=∠∴1N ADF ∠=∠ ∴1ABM ADF ∠=∠, ∵AB AD =∴ABM ∆≌1ADF ∆（SAS ） ∴1AM AF = 1MAB DAF ∠=∠∴0190MAF BAD ∠=∠=∴1AMF ∆是等腰直角三角形 ∴1AG MF ⊥ 1AG GF = ∴12AF AG = ∴12AG AF = 【点睛】本题考查正方形的性质、三角形全等、以及勾股定理等知识点，综合性强，难度较大，但解答的关键是正确做出辅助线. 8．(I) ；(II) 16或10；(III).【解析】【分析】(I)根据已知条件直接写出答案即可. (II)分两种情况：或讨论即可.(III)根据已知条件直接写出答案即可.【详解】 (I)；(II)∵四边形是矩形，∴，.分两种情况讨论：（i）如图1，当时，即是以为腰的等腰三角形.（ii）如图2，当时，过点作∥，分别交与于点、.∵四边形是矩形,∴∥,.又∥，∴四边形是平行四边形，又，∴□是矩形，∴，，即B H CD'⊥，又，∴，，∵，∴，∴，在RtΔEGB'中，由勾股定理得：，∴，在中，由勾股定理得：，综上，的长为16或10.(III) . （或）.【点睛】本题主要考查了四边形的动点问题.9．（1）254秒或252秒；（2）15秒【分析】(1)Q点必须在BC上时，A，Q ，F ，P 为顶点的四边形才能是平行四边形，分Q点在BF和Q点在CF上时分类讨论，利用平行四边形对边相等的性质即可求解；(2)分Q点在AB、BC、CD之间时逐个讨论即可求解．【详解】解：(1)∵以A、Q、F、P为顶点的四边形是平行四边形，且AP在AD上，∴Q点必须在BC上才能满足以A、Q、F、P为顶点的四边形是平行四边形∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=30，AB=CD=10，∵点F是BC的中点，∴BF=CF=12BC=15，AB+BF=25，情况一：当Q点在BF上时，AP=FQ，且AP=t，FQ=35-3t，故t=25-3t，解得254t=；情况二：当Q点在CF上时，AP=FQ，且AP=t，FQ=3t-35，故t=3t-25，解得t=25 2；故经过254或252秒，以A、Q、B、P为顶点的四边形是平行四边形；(2)情况一：当Q点在AB上时，0<t<103，此时P点还未运动到AD的中点位置，故四边形AQFP面积小于平行四边形ABCD面积的一半，情况二：当Q点在BC上且位于BF之间时，1025 33t，此时AP+FQ=t+35-3t=35-2t，∵102533t，∴35-2t ＜30，四边形AQFP面积小于平行四边形ABCD面积的一半，情况三：当Q点在BC上且位于FC之间时，2540 33t此时AP+FQ=t+3t-35=4t-35∵254033t，∴4t-35＜30，四边形AQFP面积小于平行四边形ABCD面积的一半，情况四：当Q点在CD上时，4050 33t<<当AP=BF=15时，t=15，1122 APF ABFP PFQ DCFP S S S S且∴1+2APF PFQ AFPQ ABCDS S S S，∴当t=15秒时，以A、Q、F、P为顶点的四边形面积是平行四边形ABCD面积的一半，故答案为：15秒．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，根据动点的位置不同需要分多种情况分类讨论，熟练掌握平行四边形的性质是解决本题的关键．10．（1）见解析；（2）①2ABE BFC ∠=∠；②见解析；③732【分析】（1）证明()BAE BCF ASA ∆≅∆可得结论．（2）①结论：2ABE BFC ∠=∠．如图2中，设EBC x ∠=，BFC y ∠=，则2ABF x ∠=，利用三角形内角和定理结合已知条件即可解决问题．②将ABE ∆绕BE 翻折得到BEH ∆，延长BH 交CD 于T ，连接ET ．设2AB CD k ==，则3AD BC k ==，利用全等三角形的性质解决问题即可． ③求出CF ，利用三角形的面积公式，矩形的面积公式即可解决问题．【详解】解：（1）证明：如图1中，四边形ABCD 是矩形， 90ABC BCD BCF ∴∠=∠=∠=︒，60EBC =︒∠，12CBE ABF ∠=∠， 120ABF ∴∠=︒，906030ABE ︒∴-︒∠==︒，1209030CBF ∠=︒-︒=︒，ABE CBF ∴∠=∠，AB BC =，()BAE BCF ASA ∴∆≅∆，BE BF ∴=．（2）①结论：290EBC BFC ∠+∠=︒．理由：如图2中，设EBC x ∠=，BFC y ∠=，则2ABF x ∠=，90BCF ∠=︒，90FBC y ∴∠=︒-，=2ABE FBC ABF EBC x x x ∠+∠=∠-∠-=，(90)ABE x y ∴∠=-︒-，90ABE EBC ∠+∠=︒，(90)90x y x ∴-︒-+=︒，2180x y ∴+=︒，2180EBC BFC ∴∠+∠=︒，()290180ABE BFC ∴︒-∠+∠=︒，2ABE BFC ∴∠=∠．②证明：将ABE ∆绕BE 翻折得到BEH ∆，延长BH 交CD 于T ，连接ET ．设2AB CD k ==，则3AD BC k ==，ABE EBH ∠=∠，12EBC ABF ∠=∠， FBC CBT ∴∠=∠，90FBC F CBT BTC ∠+∠=∠+∠=︒， F BTC ∴∠=∠，BF BT ∴=，CT CF =，DE AE EH ==，ET ET =，90D EHT ∠=∠=︒，Rt ETD Rt ETH(HL)∴∆≅∆，DT TH ∴=，在Rt BCT ∆中，则有222(2)(3)(2)k x k k x +=+-，解得98x k =， 2BF CF BT CT BH TH CT BH TD TC BH CD AB ∴+=+=++=++=+=．③由②可知，3BC k =，97288CF CR k k k ==-=， ∴2173728632BCFABCD k k S S k ∆⋅⋅==矩形．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。

八年级初二数学第二学期平行四边形单元易错题提高题检测试卷

一、选择题1．如图，在正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于点G,连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG=DG;③∠CHG=∠DAG．其中，正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．如图，锐角△ABC中，AD是高，E,F分别是AB,AC中点,EF交AD于G,已知GF=1,AC= 6,△DEG的周长为10，则△ABC的周长为（）A．27-32B．28-32C．28-42D．29-523．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合．已知AB=43，P、Q分别是AC、BC上的动点,当四边形DPBQ 为平行四边形时，平行四边形DPBQ的面积是（）A．33B．63C．92D．94．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，对角线AC、BD交于点O，E是线段BO上一动点，F是射线DC上一动点，若∠AEF＝120°，则线段EF的长度的整数值的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图所示，E 为正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，且CE ＝AC ，AE 交CD 于点F ，那么∠AFC 的度数为（）A ．112.5°B ．125°C ．135°D ．150° 6．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为6和14，则b 的面积为（）A ．8B ．18C ．20D ．267．如图，△ABC 的周长为19，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，若BC=7，则MN 的长度为（）A ．32B ．2C ．52D ．38．如图，在等腰Rt ABC △中，908C AC ∠==°，，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①DFE △是等腰直角三角形； ②四边形CDFE 不可能为正方形，③DE 长度的最小值为4； ④四边形CDFE 的面积保持不变；⑤△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A ．①②③B ．①④⑤C ．①③④D ．③④⑤9．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP=EF ；②△APD 一定是等腰三角形；③AP ⊥EF ；④22PD=EF．其中正确结论的番号是（）A．①③④B．①②③C．①③D．①②④10．如图，在□ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：（1）∠DCF=12∠BCD；（2）EF=CF；（3）S△BEC= 2S△CEF；（4）∠DFE=3∠AEF；其中正确的结论是（）A．（1）（2）B．（1）（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（3）（4）二、填空题11．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝OB，点E，F分别是OA，OD的中点，连接EF，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，若∠CEF＝45°，FN＝5，则线段BC的长为_____．12．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为_____．13．如图，在矩形ABCD中，AD2，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，其中正确的有_____．14．菱形OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （23，0），∠DOB ＝60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，－1），则EP 十BP 的最小值为__________．15．菱形ABCD 的周长为24，∠ABC=60°，以AB 为腰在菱形外作底角为45°的等腰△ABE ，连结AC ，CE ，则△ACE 的面积为___________.16．如图，在矩形ABCD 中，16AB =，18BC =，点E 在边AB 上，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把EBF △沿EF 折叠，点B 落在点B '处．若3AE =，当CDB '是以DB '为腰的等腰三角形时，线段DB '的长为__________．17．已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，ABP ∆和DCE ∆全等．18．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处，点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG ＝45°；②S △ABG ＝32S △FGH ；③△DEF ∽△ABG ；④AG+DF ＝FG ．其中正确的是_____．（把所有正确结论的序号都选上）19．如图，有一张长方形纸片ABCD ，4AB =，3AD =．先将长方形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将AEF ∆沿EF 翻折，AF 与BC 相交于点G ，则FG 的长为___________．20．如图所示，已知AB ＝ 6，点C ，D 在线段AB 上，AC ＝DB ＝ 1，P 是线段CD 上的动点，分别以AP ，PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB ，连接EF ，设EF 的中点为G ，当点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动路径的长是_________．三、解答题21．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若5AE =，3OE =，求线段CE 的长．22．综合与探究如图1,在ABC ∆中,ACB ∠为锐角,点D 为射线BC 上一点,连接AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ,解答下列问题:（1）研究发现:如果AB AC =,90BAC ∠=︒①如图2,当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合）,线段CF 、BD 之间的数量关系为______,位置关系为_______．②如图3,当点D 在线段BC 的延长线上时,①中的结论是否仍成立并说明理由．（2）拓展发现:如果AB AC ≠,点D 在线段BC 上,点F 在ABC ∆的外部,则当ACB =∠_______时,CF BD ⊥．23．如图正方形ABCD ，DE 与HG 相交于点O （O 不与D 、E 重合）．（1）如图（1），当90GOD ∠=︒，①求证：DE GH =； ②求证：2GD EH DE +>；（2）如图（2），当45GOD ∠=︒，边长4AB =，25HG =，求DE 的长．24．已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠ABC =45°，D 为直线BC 上一动点（不与点B ，C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BC 与CF 的位置关系是，BC 、CF 、CD 三条线段之间的数量关系为；（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC 与CF 的位置关系BC ，CD ，CF 三条线段之间的数量关系并证明；（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF 的对角线AE ，DF 相交于点O ，OC =132，DB =5，则△ABC 的面积为．（直接写出答案）25．如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.（1）在如图（1）的AB 边上求作一点N ，连接CN ，使CN AM =；（2）在如图（2）的AD 边上求作一点Q ，连接CQ ，使CQ AM .26．如图，在长方形ABCD 中，8,6AB AD ==．动点P Q 、分别从点、D A 同时出发向点C B 、运动，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位，当点P 运动到点C 时，两个点都停止运动，设运动的时间为()t s ．（1）请用含t 的式子表示线段PC BQ 、的长，则PC ________，BQ =________．（2）在运动过程中，若存在某时刻使得BPQ ∆是等腰三角形，求相应t 的值．27．如图①，已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，CD 上的点(点E ，F 不与端点重合)，且AE=DF ，BE ，AF 交于点P ，过点C 作CH ⊥BE 交BE 于点H ．（1）求证：AF ∥CH ；（2）若3，AE=2，试求线段PH 的长；（3）如图②，连结CP 并延长交AD 于点Q ，若点H 是BP 的中点，试求 CP PQ的值． 28．已知：如下图，ABC 和BCD 中，90BAC BDC ∠=∠=，E 为BC 的中点，连接DE AE 、.若DC AE ，在DC 上取一点F ，使得DF DE =，连接EF 交AD 于O . （1）求证：EF DA ⊥.（2）若4,23BC AD ==，求EF 的长.29．如图，在平行四边形 ABCD 中，AD=30 ，CD=10，F 是BC 的中点，P 以每秒1 个单位长度的速度从 A 向 D 运动，到D 点后停止运动；Q 沿着A B C D →→→ 路径以每秒3个单位长度的速度运动，到D 点后停止运动．已知动点 P ，Q 同时出发，当其中一点停止后，另一点也停止运动．设运动时间为 t 秒，问：（1）经过几秒，以 A ，Q ，F ，P 为顶点的四边形是平行四边形（2）经过几秒，以A ，Q ，F ， P 为顶点的四边形的面积是平行四边形 ABCD 面积的一半？30．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线EF ，GH 分别交边AB 、CD ，AD 、BC 于点E 、F 、G 、H ．（1）观察发现：如图①，若四边形ABCD 是正方形，且EF ⊥GH ，易知S △BOE ＝S △AOG ，又因为S △AOB ＝14S 四边形ABCD ，所以S 四边形AEOG ＝ S 正方形ABCD ；（2）类比探究：如图②，若四边形ABCD 是矩形，且S 四边形AEOG ＝14S 矩形ABCD ，若AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝m ，求AG 的长（用含a 、b 、m 的代数式表示）；（3）拓展迁移：如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，且S 四边形AEOG ＝14S ▱ABCD ，若AB ＝3，AD ＝5，BE ＝1，则AG ＝．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】连接AH，由四边形ABCD是正方形与点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，容易证得△BCE≌△CDF与△ADH≌△DCF，根据全等三角形的性质，容易证得CE⊥DF与AH⊥DF，故①正确；根据垂直平分线的性质，即可证得AG=AD，继而AG=DC，而DG≠DC，所以AG≠DG，故②错误；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得HG=12 DC，∠CHG=2∠GDC，根据等腰三角形的性质，即可得∠DAG=2∠DAH=2∠GDC．所以∠DAG=∠CHG，④正确，则问题得解．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=90°，∵点E. F. H分别是AB、BC、CD的中点，∴BE=FC∴△BCE≌△CDF，∴∠ECB=∠CDF，∵∠BCE+∠ECD=90°，∴∠ECD+∠CDF=90°，∴∠CGD=90°，∴CE⊥DF，故①正确；连接AH，同理可得：AH⊥DF，∵CE⊥DF，∴△CGD为直角三角形，∴HG=HD=12 CD，∴DK=GK ，∴AH 垂直平分DG ，∴AG=AD=DC ，在Rt △CGD 中，DG≠DC ，∴AG≠DG ，故②错误；∵AG=AD, AH 垂直平分DG∴∠DAG=2∠DAH,根据①，同理可证△ADH ≌△DCF∴∠DAH=∠CDF ，∴∠DAG=2∠CDF,∵GH=DH ，∴∠HDG=∠HGD ，∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF ，∴∠GHC=∠DAG ，故③正确，所以①和③正确选择C.【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用边角边，容易证明△BCE ≌△CDF ，从而根据全等三角形的性质和等量代换即可证∠ECD+∠CDF=90°，从而①可证；证②时，可先证AG=DC ，而DG≠DC ，所以②错误；证明③时，可利用等腰三角形的性质，证明它们都等于2∠CDF 即可.2．C解析：C【解析】【分析】由中点性质先得AF ＝3，再用勾股定理求出AG ＝DG ＝AG ＝，已知△DEG 的周长为10，所以求得EG+DE 的值，进一步证得AB=2DE,BD=2EG,从而求得△ABC 的周长.【详解】∵ E,F 分别是AB,AC 中点,EF 交AD 于G,∴EF ∥BC ，11AF AC 6322==⨯= ∵AD 是高∴∠ADC=∠AGF=90°在Rt △AGF 中AG ===∵EF ∥BC∴1AG AF DG FC ==∴FG是△ADC的中位线∴DC=2GF=2∴DG=AG=22∵△DEG的周长为10，∴EG+DE=10-22在Rt△ADB中，点E是AB边的中点，点G是AD的中点，∴AB=2DE，BD=2EG∴AB+BD=2（EG+DE）=20-42∴△ABC的周长为：AB+BD+DC+AC=20-42+2+6=28-42故答案为C【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理、中位线性质等知识点.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．3．D解析：D【解析】【分析】由于四边形DPBQ为平行四边形，则BC∥DP，即DP⊥AC，P为AC中点，作出平行四边形，再利用平行线的距离相等可知：PC就是□DPBQ的边PD所对应的高，代入面积公式求出面积即可．求得面积．【详解】当点P运动到边AC中点（如图），即CP=3时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上．∵四边形DPBQ为平行四边形，∴BC∥DP，∵∠ACB=90°，∴∠DPC=90°，即DP⊥AC．而在Rt△ABC中，AB3，BC3∴根据勾股定理得：AC=6，∵△DAC为等腰直角三角形，∴DP=CP=12AC=3，∴PC是平行四边形DPBQ的高，=9．∴S平行四边形DPBQ=DP•CP=33故选D.【点睛】本题是四边形的综合题，考查了一副三角板所形成的四边形的边和角的关系；根据动点P 的运动路线确定其所形成的边和角的关系，利用三角函数和勾股定理求边和角的大小，得出结论．4．C解析：C【解析】【分析】连结CE，根据菱形的性质和全等三角形的判定可得△ABE≌△CBE，根据全等三角形的性质可得AE＝CE，设∠OCE＝a，∠OAE＝a，∠AEO＝90°﹣a，可得∠ECF＝∠EFC，根据等角对等边可得CE＝EF，从而得到AE＝EF，在Rt△ABO中，根据含30°的直角三角形的性质得到AO＝2，可得2≤AE≤4，从而得到EF的长的整数值可能是2，3，4．【详解】解：如图，连结CE，∵在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE＝BE，∴△ABE≌△CBE，∴AE＝CE，设∠OCE＝a，∠OAE＝a，∠AEO＝90°﹣a，∴∠DEF＝120°﹣（90°﹣a）＝30°+a，∴∠EFC＝∠CDE+∠DEF＝30°+30°+a＝60°+a，∵∠ECF＝∠DCO+∠OCE＝60°+a，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∴AE＝EF，∵AB＝4，∠ABE＝30°，∴在Rt△ABO中，AO＝2，∵OA≤AE≤AB，∴2≤AE≤4，∴AE的长的整数值可能是2，3，4，即EF的长的整数值可能是2，3，4．故选：C．考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，根据含30°的直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线，证明△ABE ≌△CBE ．5．A解析：A【解析】【分析】根据等边对等角的性质可得∠E=∠CAE ，然后根据正方形的对角线平分一组对角以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠E=22.5°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】解：∵CE=AC ，∴∠E=∠CAE ，∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ACB=45°，∴∠E+∠CAE=45°，∴∠E=12×45°=22.5°，在△CEF 中，∠AFC=∠E+∠ECF=22.5°+90°=112.5°．故答案为：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．6．C解析：C【分析】由题意根据全等三角形的判定与性质，结合勾股定理和正方形的面积公式进行分析计算.【详解】解：∵a 、b 、c 都为正方形，a ，c 的面积分别为6和14，∴AC=CE,AB 2=6,DE 2=14，90ACF ︒∠=,∵90,90BAC BCA BCA DCE ︒︒∠+∠=∠+∠=,∴BAC DCE ∠=∠,在ABC 和CDE △中，ABC CDE BAC DCE AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ABC CDE AAS ≅，∴BC=DE,BC 2=DE 2=14，由勾股定理可知222AC AB BC =+，∴b 的面积为261420AC =+=.故选：C.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理和正方形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．7．C解析：C【分析】证明△BNA ≌△BNE ，得到BA=BE ，即△BAE 是等腰三角形，同理△CAD 是等腰三角形，根据题意求出DE ，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：∵BN 平分∠ABC ，BN ⊥AE ，∴∠NBA=∠NBE ，∠BNA=∠BNE ，在△BNA 和△BNE 中，ABN EBN BN BNANB ENB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△BNA ≌△BNE ，∴BA=BE ，∴△BAE 是等腰三角形，同理△CAD 是等腰三角形，∴点N 是AE 中点，点M 是AD 中点（三线合一），∴MN 是△ADE 的中位线，∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12，∴DE=BE+CD-BC=5，∴MN=12DE=52．故选C ．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．8．B解析：B【分析】①连接CF ，证明△ADF ≌△CEF ，得到△EDF 是等腰直角三角形；②根据中点的性质和直角三角形的性质得到四边形CDFE是菱形，利用正方形的判定定理进行判断；③当DE最小时，DF也最小，利用垂线段的性质求出DF的最小值，进行计算即可；④根据△ADF≌△CEF，得到S四边形CEFD=S△AFC；⑤由③的结论进行计算即可．【详解】①连接CF，∵△ABC是等腰直角三角形，且F是AB边上的中点，∴∠FCB=∠A=∠B =45°，CF=AF=FB，∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF，∴EF=DF，∠AFD=∠CFE，∵∠AFD+∠CFD=90°，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，①正确；②当D、E分别为AC、BC中点，即DF、EF分别为Rt△AFC和Rt△BFC斜边上的中线，∴CD=DF=12AC，FE=EC=12BC，∴CD=DF=FE=EC，四边形CDFE是菱形，又∠C=90°，∴四边形CDFE是正方形，②错误；③由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小，当DF⊥AC时，DE最小，此时EF=DF=12BC=4．∴22224442DF EF+=+=④∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF，∴S四边形CEFD=S△AFC，∴四边形CDFE的面积保持不变，④正确；⑤由③可知当DE最小时，DF也最小，DF的最小值是4，则DE的最小值为42当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小．此时S△CEF=S四边形CEFD-S△DEF=S△AFC-S△DEF=16-8=8，⑤正确；综上，正确的是：①④⑤，【点睛】本题考查了正方形的判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的判定定理、全等三角形的判定定理和性质定理、理解点到直线的距离的概念是解题的关键．9．C解析：C【分析】过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE 后即可证明①AP=EF；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得22DP EC，即可得到答案．【详解】证明：过P作PG⊥AB于点G，∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，∴GP=EP，在△GPB中，∠GBP=45°，∴∠GPB=45°，∴GB=GP，同理，得PE=BE，∵AB=BC=GF，∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，∴AG=PF，∴△AGP≌△FPE，∴AP=EF；故①正确；延长AP到EF上于一点H，∴∠PAG=∠PFH，∵∠APG=∠FPH，∴∠PHF=∠PGA=90°，即AP⊥EF；故③正确；∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45度，∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD不是等腰三角形，故②错误．∴∠DPF=∠DBC，又∵∠DPF=∠DBC=45°，∴∠PDF=∠DPF=45°，∴PF=EC，∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，∴22DP EC，故④错误．∴正确的选项是①③；故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．10．B解析：B【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△AEF≌△DMF（ASA），利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．【详解】（1）∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=12∠BCD，故正确；（2）延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF 和△DFM 中，A FDM AF DFAFE DFM ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△AEF ≌△DMF （ASA ），∴FE=MF ，∠AEF=∠M ，∵CE ⊥AB ，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF ，∴EF=CF ，故正确；（3）∵EF=FM ，∴S △EFC =S △CFM ，∵MC ＞BE ，∴S △BEC ＜2S △EFC故S △BEC =2S △CEF 错误；（4）设∠FEC=x ，则∠FCE=x ，∴∠DCF=∠DFC=90°-x ，∴∠EFC=180°-2x ，∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x ，∵∠AEF=90°-x ，∴∠DFE=3∠AEF ，故正确，故选：B ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△AEF ≌△DME ．二、填空题11．【分析】设EF ＝x ，根据三角形的中位线定理表示AD ＝2x ，AD ∥EF ，可得∠CAD ＝∠CEF ＝45°，证明△EMC 是等腰直角三角形，则∠CEM ＝45°，证明△ENF ≌△MNB ，则EN ＝MN ＝12x ，BN ＝FN ＝5，最后利用勾股定理计算x 的值，可得BC 的长．【详解】解：设EF ＝x ，∵点E 、点F 分别是OA 、OD 的中点，∴EF 是△OAD 的中位线，∴AD ＝2x ，AD ∥EF ，∴∠CAD ＝∠CEF ＝45°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ＝2x ，∴∠ACB ＝∠CAD ＝45°，∵EM ⊥BC ，∴∠EMC ＝90°，∴△EMC 是等腰直角三角形，∴∠CEM ＝45°，连接BE ，∵AB ＝OB ，AE ＝OE∴BE ⊥AO∴∠BEM ＝45°，∴BM ＝EM ＝MC ＝x ，∴BM ＝FE ，易得△ENF ≌△MNB ，∴EN ＝MN ＝12x ，BN ＝FN ＝5， Rt △BNM 中，由勾股定理得：BN2＝BM2+MN2，即22215()2x x =+解得，x ＝5∴BC ＝2x ＝5 故答案为：5【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题．12．4【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF 是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF ＝AP ，则EF 的最小值即为AP 的最小值，根据垂线段最短，知：AP 的最小值即等于直角三角形ABC 斜边上的高．【详解】解：连接AP ，∵在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，∴AB 2+AC 2＝BC 2，即∠BAC ＝90°．又∵PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，∴四边形AEPF 是矩形，∴EF ＝AP ，∵AP 的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高，设斜边上的高为h ，则S △ABC =1122BC h AB AC ⋅=⋅ ∴1153422h ⨯⋅=⨯⨯ ∴h=2.4，∴EF 的最小值为2.4，故答案为：2.4．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键．13．①②③④【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE =∠DAE =45°，可得出△ABE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE 2=，从而得到AE =AD ，然后利用“角角边”证明△ABE 和△AHD 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE =DH ，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE =∠AED =67.5°，根据平角等于180°求出∠CED =67.5°，从而判断出①正确； ②求出∠AHB =67.5°，∠DHO =∠ODH =22.5°，然后根据等角对等边可得OE =OD =OH ，判断出②正确；③求出∠EBH =∠OHD =22.5°，∠AEB =∠HDF =45°，然后利用“角边角”证明△BEH 和△HDF 全等，根据全等三角形对应边相等可得BH =HF ，判断出③正确；④根据全等三角形对应边相等可得DF =HE ，然后根据HE =AE ﹣AH =BC ﹣CD ，BC ﹣CF =BC ﹣（CD ﹣DF ）=2HE ，判断出④正确；⑤判断出△ABH 不是等边三角形，从而得到AB ≠BH ，即AB ≠HF ，得到⑤错误．【详解】∵在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE =∠DAE =45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AE =． ∵AD =，∴AE =AD ．在△ABE 和△AHD 中，∵90BAE DAE ABE AHD AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△AHD （AAS ），∴BE =DH ，∴AB =BE =AH =HD ，∴∠ADE =∠AED 12=（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED =180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED =∠CED ，故①正确；∵∠AHB 12=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE =∠AHB （对顶角相等），∴∠OHE =∠AED ，∴OE =OH ．∵∠DOH =90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH =67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DOH =∠ODH ，∴OH =OD ，∴OE =OD =OH ，故②正确；∵∠EBH =90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH =∠OHD ．在△BEH 和△HDF 中，∵EBH OHD BE DH AEB HDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BEH ≌△HDF （ASA ），∴BH =HF ，HE =DF ，故③正确；由上述①、②、③可得CD =BE 、DF =EH =CE ，CF =CD ﹣DF ，∴BC ﹣CF =（CD +HE ）﹣（CD ﹣HE ）=2HE ，所以④正确；∵AB =AH ，∠BAE =45°，∴△ABH 不是等边三角形，∴AB ≠BH ，∴即AB ≠HF ，故⑤错误；综上所述：结论正确的是①②③④．故答案为①②③④．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．14【分析】先根据菱形的性质可得OC 垂直平分BD ，从而可得=DP BP ，再根据两点之间线段最短可得EP BP +的最小值为DE ，然后利用等边三角形的判定与性质求出点D 的坐标，最后利用两点之间的距离公式即可得．【详解】如图，连接BP 、DP 、EP 、DE 、BD ，过点D 作DA OB ⊥于点A ， (23,0)B ，OB ∴=四边形ABCD 是菱形，OC ∴垂直平分BD ，23OB OD ==，点P 是对角线OC 上的点，DP BP ∴=，EP BP EP DP ∴+=+，由两点之间线段最短可知，EP DP +的最小值为DE ，即EP BP +的最小值为DE ， ,60OB OD DOB =∠=︒，BOD ∴是等边三角形，DA OB ⊥，132OA OB ∴==，2222(23)(3)3AD OD OA =-=-=， (3,3)D ∴，又(0,1)E -，22(30)(31)19DE ∴=-++=，即EP BP +的最小值为19，故答案为：19．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，根据两点之间线段最短得出EP BP +的最小值为DE 是解题关键．15．9或31)．【分析】分两种情况画图，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理矩形计算即可．【详解】解：①如图1，延长EA 交DC 于点F ，∵菱形ABCD 的周长为24，∴AB=BC=6，∵∠ABC=60°，∴三角形ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，当EA ⊥BA 时，△ABE 是等腰直角三角形，∴AE=AB=AC=6，∠EAC=90°+60°=150°，∴∠FAC=30°，∵∠ACD=60°，∴∠AFC=90°，∴CF=12AC=3，则△ACE的面积为：12AE×CF=12×6×3=9；②如图2，过点A作AF⊥EC于点F，由①可知：∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°+60°=150°，∵AB=BE=BC=6，∴∠BEC=∠BCE=15°，∴∠AEF=45°-15°=30°，∠ACE=60°-15°=45°，∴AF=12AE，AF=CF=22AC=32∵AB=BE=6，∴AE=2∴2236AE AF-=∴EC=EF+FC=3632则△ACE的面积为：12EC×AF=1(3632)329(31)2⨯⨯=．故答案为：9或31)．【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．16．16或10【分析】等腰三角形一般分情况讨论：（1）当DB'=DC=16；（2）当B'D=B'C时，作辅助线，构建平行四边形AGHD和直角三角形EGB'，计算EG和B'G的长，根据勾股定理可得B'D的长；【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=16，AD=BC=18．分两种情况讨论：（1）如图2，当DB'=DC=16时，即△CDB'是以DB'为腰的等腰三角形（2）如图3，当B'D=B'C时，过点B'作GH∥AD，分别交AB与CD于点G、H．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠A=90°又GH∥AD，∴四边形AGHD是平行四边形，又∠A=90°，∴四边形AGHD是矩形，∴AG=DH，∠GHD=90°，即B'H⊥CD，又B'D=B'C，∴DH＝HC＝18CD=，AG=DH=8，3∵AE=3，∴BE=EB'=AB-AE=16-3=13，EG=AG-AE=8-3=5，在Rt△EGB'中，由勾股定理得：GB′2213512，∴B'H=GH×GB'=18-12=6，在Rt△B'HD中，由勾股定理得：B′D22+=6810综上，DB'的长为16或10．故答案为： 16或10【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形一般需要分类讨论．17．1或7．【分析】存在2种情况满足条件，一种是点P 在BC 上，只需要BP=CE 即可得全等；另一种是点P 在AD 上，只需要AP=CE 即可得全等【详解】设点P 的运动时间为t 秒，当点P 在线段BC 上时，则2BP t =，∵四边形ABCD 为长方形，∴AB CD =，90B DCE ∠=∠=︒，此时有ABP DCE ∆∆≌，∴BP CE =，即22t =，解得1t =；当点P 在线段AD 上时，则2BC CD DP t ++=，∵4AB =，6AD =，∴6BC =，4CD =，∴()()6462162AP BC CD DA BC CD DP t t =++-++=++-=-，∴162AP t =-，此时有ABP CDE ∆∆≌，∴AP CE =，即1622t -=，解得7t =；综上可知当t 为1秒或7秒时，ABP ∆和CDE ∆全等.故答案为：1或7．【点睛】本题考查动点问题，解题关键是根据矩形的性质可得，要证三角形的全等，只需要还得到一条直角边相等即可18．①②④．【分析】利用折叠性质得∠CBE=∠FBE ，∠ABG=∠FBG ，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH ，则可得到∠EBG=12∠ABC ，于是可对①进行判断；在Rt △ABF 中利用勾股定理计算出AF=8，则DF=AD-AF=2，设AG=x ，则GH=x ，GF=8-x ，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到x 2+42=（8-x ）2，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可对②④进行判断；接着证明△ABF ∽△DFE ，利用相似比得到43DE AF DF AB ==，而623AB AG ==，所以AB DE AG DF≠，所以△DEF 与△ABG 不相似，于是可对③进行判断.【详解】解：∵△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，∴∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，BF ＝BC ＝10，BH ＝BA ＝6，AG ＝GH ，∴∠EBG ＝∠EBF+∠FBG ＝12∠CBF+12∠ABF ＝12∠ABC ＝45°，所以①正确；在Rt △ABF 中，AF ＝22BF AB -＝22106-＝8，∴DF ＝AD ﹣AF ＝10﹣8＝2，设AG ＝x ，则GH ＝x ，GF ＝8﹣x ，HF ＝BF ﹣BH ＝10﹣6＝4，在Rt △GFH 中，∵GH 2+HF 2＝GF 2，∴x 2+42＝（8﹣x ）2，解得x ＝3，∴GF ＝5，∴AG+DF ＝FG ＝5，所以④正确；∵△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处，∴∠BFE ＝∠C ＝90°，∴∠EFD +∠AFB ＝90°，而∠AFB +∠ABF ＝90°，∴∠ABF ＝∠EFD ，∴△ABF ∽△DFE ，∴AB DF ＝AF DE， ∴DE DF ＝AF AB ＝86＝43，而AB AG ＝63＝2， ∴AB AG ≠DE DF ， ∴△DEF 与△ABG 不相似；所以③错误．∵S △ABG ＝12×6×3＝9，S △GHF ＝12×3×4＝6， ∴S △ABG ＝32S △FGH ，所以②正确．故答案是：①②④．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算线段的长．也考查了折叠和矩形的性质．192【解析】【分析】根据折叠的性质可得∠DAF=∠BAF=45°，再由矩形性质可得FC=ED=1，然后由勾股定理求出FG即可．【详解】由折叠的性质可知，∠DAF=∠BAF=45°，∴AE=AD=3，EB=AB-AD=1，∵四边形EFCB为矩形，∴FC=BE=1，∵AB∥FC，∴∠GFC=∠DAF=45°，∴GC=FC=1，∴FG===．【点睛】本题考查了折叠变换，矩形的性质是一种对称变换，理解折叠前后图形的大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解决此题的关键．20．2【分析】分别延长AE，BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出点G为PH的中点，则G的运动轨迹为△HCD的中位线MN，再求出CD的长度，运用中位线的性质求出MN的长度即可．【详解】解：如图，分别延长AE，BF交于点H，∵∠A=∠FPB=60°，∴AH∥PF，∵∠B=∠EPA=60°，∴BH∥PE∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分，∵点G为EF的中点，∴点G为PH的中点，即在P运动的过程中，G始终为PH的中点，∴G的运动轨迹为△HCD的中位线MN，∵CD=6-1-1=4，∴MN=12CD=2，∴点G移动路径的长是2，故答案为：2．【点睛】本题考查了等边三角形及中位线的性质，以及动点的问题，是中考热点，解题的关键是得出G的运动轨迹为△HCD的中位线MN．三、解答题21．（1）见解析；（2）11【分析】（1）根据题意先证明四边形ABCD是平行四边形，再由AB=AD可得平行四边形ABCD是菱形；（2）根据菱形的性质得出OA的长，根据直角三角形斜边中线定理得出OE=12AC，在Rt ACE∆应用勾股定理即可解答．【详解】（1）证明：∵AB CD∥，∴OAB DCA∠=∠，∵AC为DAB∠的平分线，∴OAB DAC∠=∠，∴DCA DAC∠=∠，∴CD AD AB==，∵AB CD∥，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD AB=，∴ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形∴AO CO=∵CE AB ⊥∴90AEC ∠=︒∴26AC OE ==在Rt ACE ∆中，2211CE AC AE =-=故答案为（2）11．【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．22．（1）①=CF BD ，CF BD ⊥；②当点D 在BC 的延长线上时①中结论仍成立，详见解析；（2）45︒【分析】（1）①结论:CF 与BD 位置关系是垂直、数量关系是相等; 只要证明△BAD ≌△CAF,即可解决问题；②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．证明方法类似;（2）过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G,理由（1）中的结论即可解决问题．【详解】解:（1）①相等（或=CF BD ）,互相重直（或CF BD ⊥）理由如下:∵AB=AC,∠BAC=90︒,∴∠ABC=∠ACB=45︒,∵∠BAC=∠DAF,∴∠BAD=∠CAF,在△BAD 和△CAF 中,BA CA BAD CAF DA FA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ , ∴△BAD ≌△CAF （SAS ）,∴BD=CF,∠ABD=∠ACF=45︒,∵∠ACB=45︒,∴∠FCB=90︒,∴CF ⊥BD,CF=BD,故答案为CF ⊥BD,CF=BD ．②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．理由:。

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元易错题提高题检测试卷

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元易错题提高题检测试卷一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，30, 6, 63,BCD BC CD E ︒∠===是AD 边上的中点，F 是AB 边上的一动点，将AEF ∆沿EF 所在直线翻折得到A EF '∆,连接A C '，则A C '的最小值为( )A ．319B ．313C ．3193-D ．632．如图，△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝2，点D 是BC 上的一个动点，点D 关于AB ，AC 的对称点分别是点E ，F ，四边形AEGF 是平行四边形，则四边形AEGF 面积的最小值是（）A ．1B ．62C ．2D ．33．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两点且AE CF =，下列说法中正确的是（）①BE DF =；②//BE DF ；③AB DE =；④四边形EBFD 为平行四边形；⑤ADE ABE S S ∆∆=；⑥AF CE =．A ．①⑥B ．①②④⑥C ．①②③④D ．①②④⑤⑥4．如图，在ABC 中，6AB =，8AC =，10BC =，P 为边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（）A ．245B ．4C ．5D ．1255．如图，分别以Rt ACB ∆的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE ．给出下列结论：①CE BG =；②EC BG ⊥③22222FG BF BD BC +=+④222222BC GE AC AB +=+其中正确的是（）A ．②③④B ．①②③C ．①②④D ．①②③④6．如图所示，在周长是10cm 的ABCD 中，AB AD ≠，AC 、BD 相交于点O ，点E 在AD 边上，且OE BD ⊥，是ABE △的周长是( )A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm7．已知，在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示)，点1B 在y 轴上，点1C 、1E 、2E 、2C 、3E 、4E 、3C 均在x 轴正半轴上，若已知正方形1111D C B A 的边长为1，1160B C O ︒∠=，且112233////B C B C B C ，则点3A 的坐标是( )A ．331(3++B ．33332+C ．33132++D ．333(3++ 8．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线相交于点O ．过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ．交AC 于F ．过点O 作OD ⊥AC 于D ．下列五个结论：其中正确的有（）（1） EF=BE+CF ；（2）∠BOC=90°+12∠A ；（3）点O 到△ABC 各边的距离都相等；（4）设OD=m ．若AE 十AF =n ，则S △AEF = mn ；（5）S △AEF=S △FOC ．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9．如图，在ABC 中，ACB 90∠=︒，2AC BC ==，D 是AB 的中点，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且AE CF =，给出以下四个结论：（1）DE DF =；（2）DEF 是等腰直角三角形；（3）四边形CEDF 面积ABC 1S 2=△；（4）2EF 的最小值为2．其中正确的有（）．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 的中点，过点O 的直线分别与AB 、CD 交于点E 、F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE 、BO ．若60COB ∠=︒，2FO FC ==，则下列结论：①FB OC ⊥；②EOB CMB △≌△；③四边形EBFD 是菱形；④23MB =．其中正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点，点E 、F 分别是直线AB 、AC 上的动点，∠EDF ＝90°，M 、N 分别是EF 、AC 的中点，连结AM 、MN ，若AC =6，AB =5，则AM -MN 的最大值为________．12．如图，菱形ABCD 的BC 边在x 轴上，顶点C 坐标为(3,0)-，顶点D 坐标为(0,4)，点E 在y 轴上，线段//EF x 轴，且点F 坐标为(8,6)，若菱形ABCD 沿x 轴左右运动，连接AE 、DF ，则运动过程中，四边形ADFE 周长的最小值是_______．13．如图所示，菱形ABCD ，在边AB 上有一动点E ，过菱形对角线交点O 作射线EO 与CD 边交于点F ，线段EF 的垂直平分线分别交BC 、AD 边于点G 、H ，得到四边形EGFH ，点E 在运动过程中，有如下结论：①可以得到无数个平行四边形EGFH ；②可以得到无数个矩形EGFH ；③可以得到无数个菱形EGFH ；④至少得到一个正方形EGFH ．所有正确结论的序号是__．14．如图，四边形纸片ABCD 中，AB BC =, 90ABC ADC ∠=∠=︒．若该纸片的面积为10 cm 2，则对角线BD =______cm ．15．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上运动，点M 为线段AB 的中点．点D 、E 分别在x 轴、y 轴的负半轴上运动，且DE ＝AB ＝10．以DE 为边在第三象限内作正方形DGFE ，则线段MG 长度的最大值为_____．16．如图，菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，若将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，则第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为__________．17．如图，长方形ABCD 中，26AD =，12AB =，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为______，18．如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB =OB ，E 为AC 上一点，BE 平分∠ABO ，EF ⊥BC 于点F ，∠CAD =45°，EF 交BD 于点P ，BP =5，则BC 的长为_______．19．如图，有一张长方形纸片ABCD ，4AB =，3AD =．先将长方形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将AEF ∆沿EF 翻折，AF 与BC 相交于点G ，则FG 的长为___________．20．如图所示，已知AB ＝ 6，点C ，D 在线段AB 上，AC ＝DB ＝ 1，P 是线段CD 上的动点，分别以AP ，PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB ，连接EF ，设EF 的中点为G ，当点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动路径的长是_________．三、解答题21．如图，在正方形ABCD 中，点G 在对角线BD 上（不与点B ，D 重合），GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，连结AG ．（1）写出线段AG ，GE ，GF 长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD 的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG 的长．22．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，AB AC =，D 是斜边BC 的中点，,E F 分别是,AB AC 边上的点，且DE DF ⊥，若12BE =，5CF =，求线段EF 的长．23．如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点,,A B E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接,PG PC ．（1）求证：,PG PC PG PC ⊥=．简析：由Р是线段DF 的中点，//DC CF ，不妨延长GP 交DC 于点M ，从而构造出一对全等的三角形，即_______≅________．由全等三角形的性质，易证CMG 是_______三角形，进而得出结论；（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD 和正方形BEFG 换成菱形ABCD 和菱形BEFG ，且60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PG PC的值，写出你的猜想并加以证明；（3）当6,2AB BE ==时，菱形ABCD 和菱形BEFG 的顶点都按逆时针排列，且60ABC BEF ∠=∠=︒．若点A B E 、、在一条直线上，如图2，则CP =________；若点A B G 、、在一条直线上，如图3，则CP =________．24．如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC 的顶点A （10，0）、C （2，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上由点B 向点C 运动．（1）求点B 的坐标；（2）若点P 运动速度为每秒2个单位长度，点P 运动的时间为t 秒，当四边形PCDA 是平行四边形时，求t 的值；（3）当△ODP 是等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．25．如图，点A 的坐标为(6,6)-，AB x ⊥轴，垂足为B ，AC y ⊥轴，垂足为C ，点,D E 分别是射线BO 、OC 上的动点，且点D 不与点B 、O 重合，45DAE ︒∠=.（1）如图1，当点D 在线段BO 上时，求DOE ∆的周长；（2）如图2，当点D 在线段BO 的延长线上时，设ADE ∆的面积为1S ，DOE ∆的面积为2S ，请猜想1S 与2S 之间的等量关系，并证明你的猜想.26．（问题情境）在△ABC 中，AB=AC ，点P 为BC 所在直线上的任一点，过点P 作PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ．当P 在BC 边上时（如图1），求证：PD+PE=CF ．图① 图② 图③证明思路是：如图2，连接AP ，由△ABP 与△ACP 面积之和等于△ABC 的面积可以证得：PD+PE=CF ．（不要证明）（变式探究）当点P 在CB 延长线上时，其余条件不变（如图3）.试探索PD 、PE 、CF 之间的数量关系并说明理由.请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：（结论运用）如图4，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C′处，点P 为折痕EF上的任一点，过点P 作PG ⊥BE 、PH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，若AD=8，CF=3，求PG+PH 的值；（迁移拓展）在直角坐标系中.直线l 1：y=443x -+与直线l 2：y=2x+4相交于点A ，直线l 1、l 2与x 轴分别交于点B 、点C ．点P 是直线l 2上一个动点,若点P 到直线l 1的距离为1.求点P 的坐标.27．已知：如图，在ABC 中，直线PQ 垂直平分AC ，与边AB 交于点E ，连接CE ，过点C 作//CF BA 交PQ 于点F ，连接AF ．(1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若8AC =，AE=5，则求菱形AECF 的面积．28．如图①，在等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=，点E 在AC 上(且不与点A 、C 重合)，在ABC 的外部作等腰Rt CED ，使90CED ∠=，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．()1请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；()2①将CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论；②若25AB =，2CE =，在图②的基础上将CED 绕点C 继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD 为菱形时，直接写出线段AE 的长度．29．如图，已知正方形ABCD 与正方形CEFG 如图放置，连接AG ，AE ．（1）求证：AG AE =（2）过点F 作FP AE ⊥于P ，交AB 、AD 于M 、N ，交AE 、AG 于P 、Q ，交BC 于H ，．求证：NH =FM30．如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,,6,10O AB AC AB cm BC cm ⊥==，点P 从点A 出发，沿AD 方向以每秒1cm 的速度向终点D 运动，连接PO ，并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求BQ 的长（用含t 的代数式表示）；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值；（3）当325t =时，点O 是否在线段AP 的垂直平分线上？请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】如图，先作辅助线，首先根据垂直条件，求出线段ME 、DE 长度，然后运用勾股定理求出DE 的长度，再根据翻折的性质，当折线'EA ，'AC 与线段CE 重合时，线段'AC 长度最短，可以求出最小值.【详解】如图，连接EC,过点E 作EM ⊥CD 交CD 的延长线于点M.四边形ABCD 是平行四边形，6AD BC AD BC ∴==，，E 为AD 的中点，30BCD ∠=︒，330DE EA MDE BCD ∴==∠=∠=︒，，又 EM CD ⊥,133222ME DE DM ∴===， 3315363CM CD DM ∴=+== 根据勾股定理得：CE === 根据翻折的性质，可得'3EA EA ==,当折线'EA ，'AC 与线段CE 重合时，线段'AC 长度最短，此时'AC = 3. 【点睛】本题是平行四边形翻折问题，主要考查直角三角形勾股定理，根据题意作出辅助线是解题的关键.2．D解析：D【解析】【分析】由对称的性质和菱形的定义证出四边形AEGF 是菱形，得出∠EAF=2∠BAC=120°，当AD ⊥BC 最小时，AD 的值最小，即AE 的值最小，即菱形AEGF 面积最小，求出，即可得出四边形AEGF 的面积的最小值．【详解】由对称的性质得：AE=AD=AF ，∵四边形AEGF 是平行四边形，∴四边形AEGF 是菱形，∴∠EAF=2∠BAC=120°，当AD ⊥BC 最小时，AD 的值最小，即AE 的值最小，即菱形AEGF 面积最小， ∵∠ABC=45°，AB=2，∴，∴四边形AEGF 的面积的最小值=212⨯=．故选：D【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、对称的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键． 3．D解析：D【分析】先根据全等三角形进行证明，即可判断①和②，然后作辅助线，推出OD=OF ，得出四边形BEDF 是平行四边形，求出BM=DM 即可判断④和⑤，最后根据AE=CF ，即可判断⑥.【详解】①∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥DC，AB=DC,∴∠BAC=∠ADC,在△ABE 和△DFC 中BAC ADC AB A F C E D C ∠=∠=⎧=⎪⎨⎪⎩∴△ABE≌△DFC（SAS ）,∴BE=DF,故①正确.②∵△ABE≌△DFC,∴∠AEB=∠DFC,∴∠BEF=∠DFE,∴BE∥DF,故②正确.③根据已知的条件不能推AB=DE ，故③错误.④连接BD 交AC 于O ，过D 作DM⊥AC 于M ，过B 作BN⊥AC 于N,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴DO=BO，OA=OC,∵AE=CF,∴OE=OF,∴四边形BEDF 是平行四边形,故④正确.⑤∵BN⊥AC，DM⊥AC,∴∠BNO=∠DMO=90°,在△BNO 和△DMO 中∠BNO=∠DMO ∠BON=∠DOM OB=OD ⎧⎪⎨⎪⎩△ADE △ABE ∴△BNO ≌△DMO （AAS ）∴BN=DM11∵S =AE DM ，S =AE BN 22⨯⨯⨯⨯∴△ADE △ABE S =S ,故⑤正确.⑥∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,∴AF=CE,故⑥正确.故答案是D.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定以及性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键.4．D解析：D【分析】先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用面积法可求得AP最短时的长，然后即可求出AM最短时的长．【详解】解：连接AP，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，∴∠BAC=90°，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP．∵M是EF的中点，∴AM=12 AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，∴S△ABC=12BC•AP＝12AB•AC，∴12×10AP＝12×6×8，∴AP最短时，AP=245，∴当AM最短时，AM=12AP=125．故选：D．【点睛】此题主要考查学生对勾股定理逆定理的应用、矩形的判定和性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定难度．5．C解析：C【分析】利用SAS 证明△AGB ≌△ACE ，即可判断①；证明∠BNM=∠MAE=90︒，即可判断②；假设③成立，利用勾股定理对等式变形证得AC =BC ，而AC 与BC 不一定相等，即可判断③；利用勾股定理证得2222BC EG BE CG +=+，从而证得结论④成立．【详解】∵四边形ACFG 和四边形ABDE 都是正方形，∴AC=AG ，AB=AE ，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC ，即∠GAB=∠CAE ，在△AGB 和△ACE 中，∵AG AC GAB CAE AB AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AGB ≌△ACE(SAS)，∴GB=CE ，故①正确；设BA 、CE 相交于点M ，∵△AGB ≌△ACE ，∴∠GBA=∠CEA ，又∵∠BMN=∠EMA ，∴∠BNM=∠MAE=90︒，∴EC BG ⊥，故②正确；设正方形ACFG 和正方形ABDE 的边长分别为a 和b ,∵ACB 为直角三角形，且AB 为斜边，∴22222AB AC b a BC -=-=，假设22222FG BF BD BC +=+成立，则有()22222a a BC b BC ++=+，整理得：()2222a BC b a =-，即2a BC BC =，∴a BC =，即AC BC =，∵AC 与BC 不一定相等，∴假设不成立，故③不正确；连接CG ，BE ，设BG 、CE 相交于N ，∵EC BG ⊥，∴222222222222BC EG BN NC EN NG BN EN NC NG BE CG +=+++=+++=+， ∵四边形ACFG 和四边形ABDE 都是正方形，∴222BE AB =，222CG AC =，∴222222BC EG AB AC +=+，故④正确；综上，①②④正确，故选：C ．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键．6．D解析：D【分析】根据平行四边形的性质求出AB+AD=5cm,根据线段的垂直平分线求出BE=DE,求出ABE ∆的周长等于AB+AD ，代入求出即可．【详解】∵10ABCD C cm =∴=5AB AD cm +∵在ABCD 中，OB=OD ，OE BD ⊥∴EB=ED∴AEB CAB AE BE AB AE BE AB AD =++=++=+ ∴5AEB C cm =故选：D ．【点睛】本题主要考查的知识点是平行四边形对边相等的这条性质，结合线段的垂直平分线的性质来进行计算是解题的关键．7．C解析：C【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠B 3C 3O=∠B 2C 2O=∠B 1C 1O=60°，然后利用三角形全等可得B 2E 2=E 1E 2=D 1E 1=E 3C 2，E 2C 2=E 3E 4=B 3E 4，解直角三角形求出OC 1、C 1E 、E 1E 2、E 2C 2、C 2E 3、E 3E 4、E 4C 3，再求出B 3C 3，过点A 3延长正方形的边交x 轴于M ，过点A 3作A 3N ⊥x 轴于N ，先求出A 3M ，再解直角三角形求出A 3N 、C 3N ，然后求出ON ，再根据点A 3在第一象限写出坐标即可．【详解】解∵B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，∴∠B 3C 3O =∠B 2C 2O =∠B 1C 1O =60°，∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，B 1C 1=C 1D 1，∠B 1C 1D 1=90°，∴∠C 1B 1O=∠D 1C 1E 1=30°，∴△C 1B 1O ≌△D 1C 1E 1；∴B 1O=C 1E 1，OC 1=D 1E 1，同理可得B 2E 2=E 1E 2=D 1E 1=E 3C 2；E 2C 2=E 3E 4=B 3E 4；111122223111111222OC D E E E B E C E B C ∴======⨯= 11113331C E D C ==⨯= 2234342231332E C E E B E B E ====⨯= 433433316E C B E ==⨯= 3343112263B C E C ∴==⨯= 过点A 3延长正方形的边交x 轴于M ,过点A 3作A 3N ⊥x 轴于N ，则332323333331133333A M A D D B C B C +=+=+=+= 33333331A N A M ++===3313313322C M A M ++===343123C N E M C M ⎛⎫∴=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭111122223343ON OC C E E E E C C E E E C N =++++++1111322262=++++++= ∵点A 3在第一象限，∴点A 3的坐标是32⎭. 故选C.【点睛】本题考查正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，30°角的直角三角形.熟练掌握有30°角的直角三角形各边之间的数量关系是解决本题的关键.8．B解析：B【分析】由在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②1902BOC A ∠=+∠︒正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出BEO ∆和CFO ∆是等腰三角形得出EF BE CF =+故①正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD m =，AE AF n +=，则12AEF S mn ∆=，故③错误；E 、F 不可能是三角形ABC 的中点，则EF 不能为中位线故④正确．【详解】解：在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，12OBC ABC ∴∠=∠，12OCB ACB ∠=∠，180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒， 1902OBC OCB A ∴∠+∠=︒-∠， 1180()902BOC OBC OCB A ∴∠=︒-∠+∠=︒+∠；故（2）正确；在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，OBC OBE ∴∠=∠，OCB OCF ∠=∠，//EF BC ，OBC EOB ∴∠=∠，OCB FOC ∠=∠，EOB OBE ∴∠=∠，FOC OCF ∠=∠，BE OE ∴=，CF OF =，EF OE OF BE CF ∴=+=+，故（1）正确；过点O 作OM AB ⊥于M ，作ON BC ⊥于N ，连接OA ，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，ON OD OM m ∴===，1111()2222AEF AOE AOF S S S AE OM AF OD OD AE AF mn ∆∆∆∴=+=+=+=；故（3）正确，（4）错误；12EOB S BE OM ∆=，12OCF S FC OD ∆=， OM OD =，BE 不一定等于CF ，EOB S ∆∴不一定等于FOC S ．故（5）错误，综上可知其中正确的结论是（1）（2）（3），故选：B ．【点睛】此题考查了三角形中位线定理的运用，以及平行线的性质、等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 9．A解析：A【分析】根据等腰三角形的性质，可得到：CD AB ⊥，从而证明ADE ≌CDF 且ADC 90∠=︒，即证明DE DF =和DEF 是等腰直角三角形，以及四边形CEDF 面积ABC 1S 2=△；再根据勾股定理求得EF ，即可得到答案．【详解】∵ACB 90∠=︒，2AC BC == ∴22AB 222=+=∴A B 45∠=∠=︒∵点D 是AB 的中点∴CD AB ⊥，且1AD BD CD AB 22====∴DCB 45∠=︒∴A DCF ∠∠=，在ADE 和CDF 中AD CD A DCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADE ≌()CDF SAS∴DE DF =，ADE CDF ∠∠=∵CD AB ⊥∴ADC 90∠=︒∴EDF EDC CDF EDC ADE ADC 90∠∠∠∠∠∠=+=+==︒∴DEF 是等腰直角三角形∵ADE ≌CDF∴ADE 和CDF 的面积相等∵D 为AB 中点∴ADC 的面积1ABC 2=的面积 ∴四边形CEDF 面积EDC CDF EDC ADE ADC ABC 1S S S S S S 2=+=+==；当DE AC ⊥，DF BC ⊥时，2EF 值最小根据勾股定理得：222EF DE DF =+此时四边形CEDF 是正方形即EF CD ==∴22EF 2==∴正确的个数是4个故选：A ．【点睛】本题考察了等腰三角形、全等三角形、正方形、直角三角形、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、全等三角形、正方形、直角三角形的性质，从而完成求解．10．B解析：B【分析】连接BD ，先证明△BOC 是等边三角形，得出BO=BC ，又FO=FC ，从而可得出FB ⊥OC ，故①正确；因为△EOB ≌△FOB ≌△FCB ，故△EOB 不会全等于△CBM ，故②错误；再证明四边形EBFD 是平行四边形，由OB ⊥EF 推出四边形EBFD 是菱形，故③正确；先在Rt △BCF 中，可求出BC 的长，再在Rt △BCM 中求出BM 的长，从而可知④错误，最后可得到答案．【详解】解：连接BD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AC=BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，又FO=FC，BF=BF，∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，∴①正确；∵∠OBC=60°，∴∠ABO=30°，∵△OBF≌△CBF，∴∠OBM=∠CBM=30°，∴∠ABO=∠OBF，∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∵OA=OC，易证△AOE≌△COF，∴OE=OF，∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形．又∠EBO=∠OBF，OE=OF，∴OB⊥EF，∴四边形EBFD是菱形，∴③正确；∵由①②知△EOB≌△FOB≌△FCB，∴△EOB≌△CMB错误，∴②错误；∵FC=2，∠OBC=60°，∠OBF=∠CBF，∴∠CBF=30°，∴BF=2CF=4，∴3，∴CM=123BM=3，故④错误．综上可知其中正确结论的个数是2个．故选：B．【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．二、填空题11．52【分析】连接DM ，直角三角形斜边中线等于斜边一半，得AM=DM ，利用两边之差小于第三边得到AM MN DN -≤，又根据三角形中位线的性质即可求解．【详解】连接DM ，如下图所示，∵90BAC EDF ∠=∠=︒又∵M 为EF 中点∴AM=DM=12EF ∴AM MN DM MN DN -=-≤（当D 、M 、N 共线时，等号成立）∵D 、N 分别为BC 、AC 的中点，即DN 是△ABC 的中位线∴DN=12AB=52∴AM MN -的最大值为52 故答案为52．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系，关键是确定AM MN -的取值范围．12．18【分析】由题意可知AD 、EF 是定值，要使四边形ADFE 周长的最小，AE ＋DF 的和应是最小的，运用“将军饮马”模型作点E 关于AD 的对称点E 1，同时作DF ∥AF 1，此时AE ＋DF 的和即为E 1F 1，再求四边形ADFE 周长的最小值．【详解】在Rt △COD 中，OC ＝3，OD ＝4，CD 22OC +OD =5，∵ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ＝5，∵F 坐标为(8,6)，点E 在y 轴上，∴EF ＝8，作点E 关于AD 的对称点E 1，同时作DF ∥AF 1，则E 1（0，2），F 1（3，6），则E 1F 1即为所求线段和的最小值，在Rt △AE 1F 1中，E 1F 1＝22211EE +EF =-+(8-5)=52(62)， ∴四边形ADFE 周长的最小值＝AD ＋EF ＋AE ＋DF ＝ AD ＋EF ＋ E 1F 1＝5＋8＋5＝18．【点睛】本题考查菱形的性质、“将军饮马”作对称点求线段和的最小值，比较综合，难度较大．13．①③④【分析】由“AAS ”可证△AOE ≌△COF ，△AHO ≌△CGO ，可得OE =OF ，HO =GO ，可证四边形EGFH 是平行四边形，由EF ⊥GH ，可得四边形EGFH 是菱形，可判断①③正确，若四边形ABCD 是正方形，由“ASA ”可证△BOG ≌△COF ，可得OG =OF ，可证四边形EGFH 是正方形，可判断④正确，即可求解．【详解】解：如图，∵四边形ABCD 是菱形，∴AO ＝CO ，AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠BAO ＝∠DCO ，∠AEO ＝∠CFO ，∴△AOE ≌△COF （AAS ），∴OE ＝OF ，∵线段EF 的垂直平分线分别交BC 、AD 边于点G 、H ，∴GH过点O，GH⊥EF，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠AHO＝∠CGO，∴△AHO≌△CGO（AAS），∴HO＝GO，∴四边形EGFH是平行四边形，∵EF⊥GH，∴四边形EGFH是菱形，∵点E是AB上的一个动点，∴随着点E的移动可以得到无数个平行四边形EGFH，随着点E的移动可以得到无数个菱形EGFH，故①③正确；若四边形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF＝90°；∠BOG+∠BOF＝∠COF+∠BOF＝90°，∴∠BOG＝∠COF；在△BOG和△COF中，∵BOG COF BO COGBO FCO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG＝OF，同理可得：EO＝OH，∴GH＝EF；∴四边形EGFH是正方形，∵点E是AB上的一个动点，∴至少得到一个正方形EGFH，故④正确，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是关键．14．25【分析】作BE ⊥AD 于E ，BF ⊥CD 于F ，则四边形BEDF 是矩形，证明△ABE ≌△CBF （AAS ），得出BE=BF ，△ABE 的面积=△CBF 的面积，则四边形BEDF 是正方形，四边形ABCD 的面积=正方形BEDF 的面积，求出BE=10，即可求得BD 的长．【详解】解：作BE ⊥AD 交DA 延长线于E ，BF ⊥CD 于F ，如图所示：则∠BEA=∠BFC=90°，∵∠ADC=90°，∴四边形BEDF 是矩形，∴∠EBF=90°，∵∠ABC=90°，∴∠EBF=∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF ，在△ABE 和△CBF 中，BEA BFC ABE CBF AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CBF （AAS ），∴BE=BF ，△ABE 的面积=△CBF 的面积，∴四边形BEDF 是正方形，四边形ABCD 的面积=正方形BEDF 的面积，∴BE=DE ，BE 2=10 cm 2，∴10(cm)，∴25．故答案为：5【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．15．5【分析】取DE的中点N，连结ON、NG、OM．根据勾股定理可得55NG=．在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），M、O、N、G四点共线，此时等号成立（如图2）．可得线段MG的最大值．【详解】如图1，取DE的中点N，连结ON、NG、OM．∵∠AOB＝90°，∴OM＝12AB＝5．同理ON＝5．∵正方形DGFE，N为DE中点，DE＝10，∴222210555NG DN DG++＝＝＝．在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），如图2，由于∠DNG的大小为定值，只要∠DON＝12∠DNG，且M、N关于点O中心对称时，M、O、N、G四点共线，此时等号成立，∴线段MG取最大值5故答案为：5【点睛】此题考查了直角三角形的性质，勾股定理，四点共线的最值问题，得出M、O、N、G四点共线，则线段MG长度的最大是解题关键．16．（-2，0）【分析】先计算得到点D 的坐标，根据旋转的性质依次求出点D 旋转后的点坐标，得到变化的规律即可得到答案．【详解】∵菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，∴对角线的交点D 的坐标是（2,2），∴OD ==将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，旋转1次后坐标是（0，），旋转2次后坐标是（-2,2），旋转3次后坐标是（-，0），旋转4次后坐标是（-2，-2），旋转5次后坐标是（0，-旋转6次后坐标是（2，-2），旋转7次后坐标是（,0），旋转8次后坐标是（2,2）旋转9次后坐标是（0，由此得到点D 旋转后的坐标是8次一个循环，∵201982523÷=，∴第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为（-，0）故答案为：（-0）．【点睛】此题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角坐标系中点坐标的变化规律，根据点D 的坐标依次求出旋转后的坐标得到变化规律是解题的关键．17．6.5或8或18【分析】根据题意分BP QP =、BQ QP =两种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，26AD =，点Q 是BC 的中点∴13BQ =∴①当BP QP =时，过点P 作PM BQ ⊥交BQ 于点M ，如图，则 6.5BM MQ ==,且四边形ABMP 为矩形∴ 6.5AP BM ==②当BQ QP =时，以点Q 为圆心，BQ 为半径作圆，与AD 交于P '、P ''两点，如图，过Q 作QN P P '''⊥，交P P '''于点N ，则可知P N P N '''=∵在Rt P NQ '，13P Q '=，12NQ AB == ∴222213125P N P Q NQ ''=-=-=同理，在Rt P NQ ''中，5P N ''= ∴2655822AD P N P N AP '''----'===，85518AP AP P N P N ''''''=++=++= 即P '、P ''为满足条件的P 点的位置∴8AP =或18∴综上所述，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为6.5或8或18．故答案是：6.5或8或18【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，根据等腰三角形的性质进行分类讨论是一个难点，也是解题的关键．18．4【分析】过点E 作EM ∥AD ，由△ABO 是等腰三角形，根据三线合一可知点E 是AO 的中点，可证得EM=12AD=12BC ，根据已知可求得∠CEF=∠ECF=45°，从而得∠BEF=45°，△BEF 为等腰直角三角形，可得BF=EF=FC=12BC ，因此可证明△BFP ≌△MEP （AAS ），则EP=FP=12FC ，在Rt △BFP 中，利用勾股定理可求得x ，即得答案．【详解】过点E 作EM ∥AD ，交BD 于M ，设EM=x ，∵AB=OB ，BE 平分∠ABO ，∴△ABO 是等腰三角形，点E 是AO 的中点，BE ⊥AO ，∠BEO=90°，∴EM 是△AOD 的中位线，又∵ABCD 是平行四边形，∴BC=AD=2EM=2x ，∵EF ⊥BC ， ∠CAD=45°，AD ∥BC ，∴∠BCA=∠CAD=45°，∠EFC=90°，∴△EFC 为等腰直角三角形，∴EF=FC ，∠FEC=45°，∴∠BEF=90°-∠FEC=45°，则△BEF 为等腰直角三角形，∴BF=EF=FC=12BC=x ， ∵EM ∥BF ， ∴∠EMP=∠FBP ，∠PEM=∠PFB=90°，EM=BF ，则△BFP ≌△MEP （ASA ），∴EP=FP=12EF=12FC=12x ， ∴在Rt △BFP 中，222BP BF PF =+，即：2221(5)()2x x =+，解得：2x =，∴BC=2x =4，故答案为：4．【点睛】考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三线合一的应用，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理求三角形边长，熟记图形的性质定理是解题的关键．19【解析】【分析】根据折叠的性质可得∠DAF=∠BAF=45°，再由矩形性质可得FC=ED=1，然后由勾股定理求出FG即可．【详解】由折叠的性质可知，∠DAF=∠BAF=45°，∴AE=AD=3，EB=AB-AD=1，∵四边形EFCB为矩形，∴FC=BE=1，∵AB∥FC，∴∠GFC=∠DAF=45°，∴GC=FC=1，∴FG===．【点睛】本题考查了折叠变换，矩形的性质是一种对称变换，理解折叠前后图形的大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解决此题的关键．20．2【分析】分别延长AE，BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出点G为PH的中点，则G的运动轨迹为△HCD的中位线MN，再求出CD的长度，运用中位线的性质求出MN的长度即可．【详解】解：如图，分别延长AE，BF交于点H，∵∠A=∠FPB=60°，∴AH∥PF，∵∠B=∠EPA=60°，∴BH∥PE∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分，∵点G为EF的中点，∴点G为PH的中点，即在P运动的过程中，G始终为PH的中点，∴G的运动轨迹为△HCD的中位线MN，∵CD=6-1-1=4，∴MN=12CD=2，∴点G移动路径的长是2，故答案为：2．【点睛】本题考查了等边三角形及中位线的性质，以及动点的问题，是中考热点，解题的关键是得出G的运动轨迹为△HCD的中位线MN．三、解答题21．（1）AG2=GE2+GF2，理由见解析；（2326+【分析】（1）结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．易证AM=BM=2x，3，在Rt△ABN中，根据AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（3x）2，解得62-，推出62+BG=BN÷cos30°即可解决问题.【详解】解：（1）结论：AG2=GE2+GF2．理由：连接CG．∵四边形ABCD是正方形，∴A、C关于对角线BD对称，∵点G在BD上，∴GA=GC，∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，∴四边形EGFC是矩形，∴CF=GE，在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，∴AG2=GF2+GE2．（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，∴∠AMN=30°，∴AM=BM=2x ，MN=3x ，在Rt △ABN 中，∵AB 2=AN 2+BN 2，∴1=x 2+（2x+3x ）2，解得x=624-， ∴BN=62+， ∴BG=BN÷cos30°=326+．【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形30度的性质．22．EF ＝13．【分析】首先连接AD ，由△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，可得：AD=DC ，∠EAD=∠C=45°，AD ⊥BC ，即∠CDF+∠ADF=90°，又DE ⊥DF ，可得：∠EDA+∠ADF=90°，故∠EDA=∠CDF ，从而可证：△AED ≌△CFD ；根据全等三角形的性质得到AE=CF=5，进而得出BE=AF=12．然后在Rt △AEF 中，运用勾股定理可将EF 的值求出；【详解】解：连接AD ．∵△ABC 是等腰直角三角形，AB =AC ，D 是斜边BC 的中点，∴AD =DC =DB ，AD ⊥BC ，∴∠BAD =∠C =45°，∵∠EDA +∠ADF =90°，又∵∠CDF +∠ADF =90°，∴∠EDA =∠CDF ．在△AED 与△CFD 中，EDA FDC AD CDEAD C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AED ≌△CFD (ASA )．∴AE =CF =5．∵AB =AC ，∴BE =AF =12．在Rt △AEF 中，∵∠EAF =90°，∴22222512169EF AE AF =+=+=，∴EF =13．【点睛】本题考查等腰直角三角形, 直角三角形斜边上的中线，掌握等腰三角形“三线合一”的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质为解题关键．23．（1）ΔDPM,ΔFPG ；等腰直角；（2）线段PG 与PC 的位置关系是PG ⊥PC ；PG PC＝；（3）2【分析】（1）延长GP 交DC 于点M ，由Р是线段DF 的中点，//DC CF ，可得∠MDP=∠GFP ，DP=FP ，利用ASA 可证明△DPM ≌△FPG ；可得DM=GF ，MP=GP ，根据正方形的性质可得CM=CG ，即可证明△CMG 是等腰直角三角形，即可得答案；（2）如图，延长GP 交DC 于点H ，利用ASA 可证明△GFP ≌△HDP ，可得GP ＝HP ，GF ＝HD ，进而根据菱形的性质可证明△CHG 是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得PG ⊥PC ，∠HCP=∠GCP ，由∠ABC=60°可得∠HCG=120°，进而可得∠CGP=30°，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理即可得答案；（3）利用线段的和差关系可求出图2中CG 的长，由（2）可知∠CGP=30°，根据含30°角的直角三角形的性质即可求出CP 的长；在图3中，延长GP 到N ，使GP=PN ，连接DN 、CN 、CG ，过N 作NK ⊥CD ，交CD 延长线于K ，利用SAS 可证明△FGP ≌△DNP ，可得GF=DN ，∠GFP=∠NDP ，根据角的和差关系可得∠CDN=120°，根据平角的定义可得∠GBC=120°，利用菱形的性质及等量代换可得DN=GB ，利用SAS 可证明△NDC ≌△GBC ，可得CN=CG ，∠DCN=∠BCG ，根据等腰三角形的性质可得PC ⊥GN ，根据角的和差关系可得∠NCG=120°，进而可得出∠CNP=30°，可得PC=12CG ，根据平角的定义可得∠KDN=60°，即可得出∠KND=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得得出KD 的长，利用勾股定理可求出KN 的长，再利用勾股定理可求出CN 的长，根据含30°角的直角三角形的性质即可得出PC 的长．。

八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题测试提优卷

八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题测试提优卷一、解答题1．如图，在Rt ABC ∆中，090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F（1）求证：四边形ADCF 是菱形（2）若4,5AC AB ==，求菱形ADCF 的面积2．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上．（1）若1n =，①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EM FN的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则CF BF的值为_______（结果用含n的式子表示）．3．如图1所示，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E，F分别在正方形的边CB，CD上，连接AE、AF．(1)求证：AE＝AF；(2)取AF的中点M，EF的中点N，连接MD，MN．则MD，MN的数量关系是，MD、MN的位置关系是(3)将图2中的直角三角板ECF，绕点C旋转180°，如图3所示，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．4．正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点P是正方形ABCD对角线BD上的一个动点（点P不与点B，O，D重合），连接CP并延长，分别过点D，B向射线作垂线，垂足分别为点M，N．（1）补全图形，并求证：DM＝CN；（2）连接OM，ON，判断OMN的形状并证明．沿BE折叠，点A的对应点为点5．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABEG．图1 图2（1）填空：如图1，当点G 恰好在BC 边上时，四边形ABGE 的形状是________；（2）如图2，当点G 在矩形ABCD 内部时，延长BG 交DC 边于点F ．①求证：BF AB DF =+． ②若3AD AB =，试探索线段DF 与FC 的数量关系．6．已知正方形,ABCD 点F 是射线DC 上一动点(不与,C D 重合)．连接AF 并延长交直线BC 于点E ，交BD 于,H 连接CH ．在EF 上取一点,G 使ECG DAH ∠=∠．（1）若点F 在边CD 上，如图1，①求证：CH CG ⊥．②求证：GFC 是等腰三角形．（2）取DF 中点,M 连接MG ．若3MG =，正方形边长为4，则BE = ．7．如图平行四边形ABCD ，E ，F 分别是AD ，BC 上的点，且AE ＝CF ，EF 与AC 交于点O ．（1）如图①．求证：OE ＝OF ；（2）如图②，将平行四边形ABCD （纸片沿直线EF 折叠，点A 落在A 1处，点B 落在点B 1处，设FB 交CD 于点G ．A 1B 分别交CD ，DE 于点H ，P ．请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP 相等，并加以证明；（3）如图③，若△ABO 是等边三角形，AB ＝4，点F 在BC 边上，且BF ＝4．则CF OF＝（直接填结果）．8．如图，等腰直角三角形OAB 的三个定点分别为(0,0)O 、(0,3)A 、(3,0)B -，过A 作y轴的垂线1l .点C 在x 轴上以每秒32的速度从原点出发向右运动，点D 在1l 上以每秒332+的速度同时从点A 出发向右运动，当四边形ABCD 为平行四边形时C 、D 同时停止运动，设运动时间为t .当C 、D 停止运动时，将△OAB 沿y 轴向右翻折得到△1OAB ，1AB 与CD 相交于点E ，P 为x 轴上另一动点.(1)求直线AB 的解析式，并求出t 的值.(2)当PE+PD 取得最小值时，求222PD PE PD PE ++⋅的值.(3)设P 的运动速度为1，若P 从B 点出发向右运动，运动时间为x ，请用含x 的代数式表示△PAE 的面积.9．如图，ABCD 中，60ABC ∠=︒，连结BD ，E 是BC 边上一点，连结AE 交BD 于点F ．（1）如图1，连结AC ，若6AB AE ==，:5:2BC CE =，求ACE △的面积；（2）如图2，延长AE 至点G ，连结AG 、DG ，点H 在BD 上，且BF DH =，AF AH =，过A 作AM DG ⊥于点M ．若180ABG ADG ∠+∠=︒，求证：3BG GD +=．10．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝nAB ，E ，F 分别在AB ，BC 上．（1）若n ＝1，AF ⊥DE ．①如图1，求证：AE ＝BF ；②如图2，点G 为CB 延长线上一点，DE 的延长线交AG 于H ，若AH ＝AD ，求证：AE +BG ＝AG ；（2）如图3，若E 为AB 的中点，∠ADE ＝∠EDF．则CF BF的值是_____________（结果用含n 的式子表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）见解析（2）10【分析】（1）先证明AFE DBE ∆≅∆，得到AF DB =，AF CD =，再证明四边形ADCF 是平行四边形，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到12AD DC BC ==，即可证明四边形ADCF 是菱形。

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题提优专项训练试卷

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题提优专项训练试卷一、选择题1．如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，BC=2，点D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点，则DE 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．23 2．在菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，点E 为AB 边的中点，点P 与点A 关于DE 对称，连接DP 、BP 、CP ，下列结论：①DP CD =；②222AP BP CD +=；③75DCP ∠=︒；④150CPA ∠=︒，其中正确的是（）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④3．点E 是正方形ABCD 对角线AC 上，且EC=2AE ，Rt △FEG 的两条直角边EF 、EG 分别交BC 、DC 于M 、N 两点，若正方形ABCD 的边长为a ，则四边形EMCN 的面积（）A ．23a 2B ．14a 2C ．59a 2D ．49a 2 4．如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AB ＝4，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是线段BO 上一动点，F 是射线DC 上一动点，若∠AEF ＝120°，则线段EF 的长度的整数值的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，菱形ABCD 的边，8AB =，60B ∠=,P 是AB 上一点，3BP =，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点'A ．当'CA 的长度最小时，'C Q的长为（）A．5B．7C．8D．13 26．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=28.8．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．17．下列命题：①一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；②一组邻角相等的平行四边形是矩形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形．其中真命题个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，将BCE沿BE翻折至BFE，连接DF，则DF的长度是（）A．5B．25C．35D．459．如图，在□ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：（1）∠DCF=12∠BCD；（2）EF=CF；（3）S△BEC= 2S△CEF；（4）∠DFE=3∠AEF；其中正确的结论是（）A．（1）（2）B．（1）（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（3）（4）10．如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，E为BC边的中点，沿AP折叠使D点落在AE 上的点H 处，连接PH 并延长交BC 于点F ，则EF 的长为( )A ．5252-B ．552-C ．353-D ．14二、填空题 11．已知在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC ==点P 在直线BC 上，点Q 在直线CD 上，且,AP PQ ⊥当AP PQ =时，AP =________________．12．如图正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，将△ABE 沿 AE 对折至△AFE ，延长 EF 交 CD 于 G ，接 CF ，AG ．下列结论：① AE ∥FC ; ②∠EAG = 45°，且BE + DG = EG ；③ABCD 19CEF S S ∆=正方形；④ AD = 3DG ，正确是_______ (填序号)．13．在ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是BC 边上的高．将ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则DEF 的周长为______．14．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，以BC 为一边作正方形BDEC 设正方形的对称中心为O ，连接AO ，则AO ＝_____．15．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ⊥AB ，AC 与BD 相交于点O ，在同一平面内将△ABC 沿AC 翻折，得到△AB’C ，若四边形ABCD 的面积为24cm 2，则翻折后重叠部分（即S △ACE ) 的面积为________cm 2．16．如图，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于P ，E 为BC 上一点，AE 交BD 于F ，若AB=AE ，EAD 2BAE ∠∠=，则下列结论：①AF=AP ；②AE=FD ；③BE=AF ．正确的是______（填序号）．17．如图，在矩形ABCD 中，16AB =，18BC =，点E 在边AB 上，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把EBF △沿EF 折叠，点B 落在点B '处．若3AE =，当CDB '是以DB '为腰的等腰三角形时，线段DB '的长为__________．18．如图，长方形ABCD 中AB ＝2，BC ＝4，正方形AEFG 的边长为1．正方形AEFG 绕点A 旋转的过程中，线段CF 的长的最小值为_____．19．在菱形ABCD 中，M 是AD 的中点，AB ＝4，N 是对角线AC 上一动点，△DMN 的周长最小是2+23，则BD 的长为___________．20．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 为平面内动点，且满足AD ＝4，连接BD ，取BD 的中点E ，连接CE ，则CE 的最大值为_____．三、解答题21．如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别为OB 、OD 的中点，延长AE 至G ，使EG AE =，连接CG ．（1）求证：AOE COF ∆≅∆；（2）四边形EGCF 是平行四边形吗？请说明理由；（3）若四边形EGCF 是矩形，则线段AB 、AC 的数量关系是______．22．综合与实践．问题情境：如图①，在纸片ABCD □中，5AD =，15ABCD S =，过点A 作AE BC ⊥，垂足为点E ，沿AE 剪下ABE △，将它平移至DCE '的位置，拼成四边形AEE D '．独立思考：（1）试探究四边形AEE D '的形状．深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片AEE D '中，在EE '．上取一点F ，使4EF =，剪下AEF ，将它平移至DE F ''的位置，拼成四边形AFF D '，试探究四边形AFF D '的形状；拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形AFF D '的两条对角线长；（4）若四边形ABCD 为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论．23．如图1所示，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E ，F 分别在正方形的边CB ，CD 上，连接AE 、AF ．(1)求证：AE ＝AF ；(2)取AF 的中点M ，EF 的中点N ，连接MD ，MN ．则MD ，MN 的数量关系是，MD 、MN 的位置关系是(3)将图2中的直角三角板ECF ，绕点C 旋转180°，如图3所示，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．24．如图，平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ．（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2） ①当AE 的长为多少时，四边形CEDF 是矩形；②当AE = cm 时，四边形CEDF 是菱形，（直接写出答案，不需要说明理由）．25．在正方形ABCD 中，点E 是CD 边上任意一点，连接,AE 过点B 作BF AE ⊥于F ，交AD 于H .()1如图1，过点D 作DG AE ⊥于G .求证:BF DG FG -=；()2如图2，点E 为CD 的中点，连接DF ，试判断,,DF FH EF 存在什么数量关系并说明理由；()3如图3，1AB =，连接EH ，点Р为EH 的中点，在点E 从点D 运动到点C 的过程中，点Р随之运动，请直接写出点Р运动的路径长.26．如图．正方形ABCD 的边长为4，点E 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD 运动，运动时间为t 秒（t ＞0），以AE 为一条边，在正方形ABCD 左侧作正方形AEFG ，连接BF ．（1）当t ＝1时，求BF 的长度；（2）在点E 运动的过程中，求D 、F 两点之间距离的最小值；（3）连接AF 、DF ，当△ADF 是等腰三角形时，求t 的值．27．如图，菱形纸片ABCD 的边长为2,60,BAC ∠=︒翻折,,B D ∠∠使点,B D 两点重合在对角线BD 上一点,,P EF GH 分别是折痕．设()02AE x x =<<．（1）证明：AG BE =；（2）当02x <<时，六边形AEFCHG 周长的值是否会发生改变，请说明理由；（3）当02x <<时，六边形AEFCHG 的面积可能等于53吗?如果能，求此时x 的值；如果不能，请说明理由．28．已知：在矩形ABCD 中，点F 为AD 中点,点E 为AB 边上一点，连接CE 、EF 、CF ，EF 平分∠AEC ．(1)如图1，求证：CF ⊥EF;(2)如图2，延长CE 、DA 交于点K, 过点F 作FG ∥AB 交CE 于点G 若，点H 为FG 上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;(3)如图3, 过点H 作HN ⊥CH 交AB 于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK 长.29．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD =90°，AB =AD =10cm ，BC =8cm 。

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元易错题提优专项训练试卷

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元易错题提优专项训练试卷一、解答题1．综合与实践．问题情境：如图①，在纸片ABCD □中，5AD =，15ABCD S =，过点A 作AE BC ⊥，垂足为点E ，沿AE 剪下ABE △，将它平移至DCE '的位置，拼成四边形AEE D '．独立思考：（1）试探究四边形AEE D '的形状．深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片AEE D '中，在EE '．上取一点F ，使4EF =，剪下AEF ，将它平移至DE F ''的位置，拼成四边形AFF D '，试探究四边形AFF D '的形状；拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形AFF D '的两条对角线长；（4）若四边形ABCD 为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论．2．如图，平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ．（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2） ①当AE 的长为多少时，四边形CEDF 是矩形；②当AE = cm 时，四边形CEDF 是菱形，（直接写出答案，不需要说明理由）．3．如图，ABC 是等腰直角三角形，90,ACB ∠=︒分别以,AB AC 为直角边向外作等腰直角ABD △和等腰直角,ACE G 为BD 的中点，连接,,CG BE ,CD BE 与CD 交于点F ．（1）证明：四边形ACGD 是平行四边形；（2）线段BE 和线段CD 有什么数量关系，请说明理由；（3）已知2,BC =求EF 的长度(结果用含根号的式子表示)．4．已知：在ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BD 与CF 的位置关系为__________；CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系____________________．（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其它条件不变，请你写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系并加以证明；（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE 、DF ，交点为O ，连接OC ，探究AOC △的形状，并说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC 的顶点A （10，0）、C （2，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上由点B 向点C 运动．（1）求点B 的坐标；（2）若点P 运动速度为每秒2个单位长度，点P 运动的时间为t 秒，当四边形PCDA 是平行四边形时，求t 的值；（3）当△ODP 是等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．6．已知在平行四边形ABCD 中，AB BC ≠，将ABC 沿直线AC 翻折，点B 落在点尽处，AD 与CE 相交于点O ，联结DE ．（1）如图1，求证：//AC DE ；（2）如图2，如果90B ∠=︒，3AB =6=BC OAC 的面积；（3）如果30B ∠=︒，23AB =AED 是直角三角形时，求BC 的长．7．矩形ABCD 中，AB =3，BC =4．点E ，F 在对角线AC 上，点M ，N 分别在边AD ，BC 上．（1）如图1，若AE =CF =1，M ，N 分别是AD ，BC 的中点．求证：四边形EMFN 为矩形．（2）如图2，若AE =CF =0.5，02AM CN x x ==<<（），且四边形EMFN 为矩形，求x 的值．8．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，AD BC ∥，连接AC ，点P 、E 分别在AB 、CD 上，连接PE ，PE 与AC 交于点F ，连接PC ，D ∠=BAC ∠，DAE AEP ∠=∠．（1）判断四边形PBCE 的形状，并说明理由；（2）求证：CP AE =；（3）当P 为AB 的中点时，四边形APCE 是什么特殊四边形？请说明理由．9．如图，等腰直角三角形OAB 的三个定点分别为(0,0)O 、(0,3)A 、(3,0)B -，过A 作y 轴的垂线1l .点C 在x 轴上以每秒32的速度从原点出发向右运动，点D 在1l 上以每秒3322+的速度同时从点A 出发向右运动，当四边形ABCD 为平行四边形时C 、D 同时停止运动，设运动时间为t .当C 、D 停止运动时，将△OAB 沿y 轴向右翻折得到△1OAB ，1AB 与CD 相交于点E ，P 为x 轴上另一动点.(1)求直线AB 的解析式，并求出t 的值.(2)当PE+PD 取得最小值时，求222PD PE PD PE ++⋅的值.(3)设P 的运动速度为1，若P 从B 点出发向右运动，运动时间为x ，请用含x 的代数式表示△PAE 的面积.10．已知三角形纸片ABC 的面积为48，BC 的长为8．按下列步骤将三角形纸片ABC 进行裁剪和拼图：第一步：如图1，沿三角形ABC 的中位线DE 将纸片剪成两部分．在线段DE 上任意．．取一点F ，在线段BC 上任意．．取一点H ，沿FH 将四边形纸片DBCE 剪成两部分；第二步：如图2，将FH 左侧纸片绕点D 旋转180°，使线段DB 与DA 重合；将FH 右侧纸片绕点E 旋转180°，使线段EC 与EA 重合，再与三角形纸片ADE 拼成一个与三角形纸片ABC 面积相等的四边形纸片．图1 图2（1）当点F ，H 在如图2所示的位置时，请按照第二步的要求，在图2中补全拼接成的四边形；（2）在按以上步骤拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小值为_________．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）矩形；（2）菱形；（3）104）见解析【分析】（1）由平移推出AD EE '=，即可证得四边形AEE D '是平行四边形，再根据AE BC ⊥，得到90AEE '∠=︒即可得到结论；（2）由平移推出AD FF '=，证得四边形AFF D '是平行四边形，根据AE EF ⊥得到90AEE '∠=︒，再根据勾股定理求出AF=5=AD ，即可证得四边形AFF D '是菱形；（3）先利用勾股定理求出22221310DF E F E D ''=+=+=，再根据菱形的面积求出F A '；（4）在BC 边上取点E ，连接AE ，平移△ABE 得到△DCF ，可得四边形AEFD 是平行四边形.【详解】(1)四边形AEE D '是矩形，在ABCD □中，//AD BC ，AD BC =，由平移可知：BE CE ''=，∴BC EE '=，∴AD EE '=，∴四边形AEE D '是平行四边形，∵AE BC ⊥，∴90AEE '∠=︒，∴四边形AEE D '是矩形；(2)四边形AFF D '是菱形，在矩形AEE D '中，//AD EE ' ，AD EE '=，由平移可知：EF E F =''，∴EE FF ''=，∴AD FF '=，∴四边形AFF D '是平行四边形，∵AE EF ⊥，∴90AEE '∠=︒，在Rt AEF ，2222345AF AE EF =+=+=， ∴AF AD =，∴四边形AFF D '是菱形；(3)连接F A ',在Rt DFE '△中，22221310DF E F E D ''=+=+=，15ABCD AFF D S S '==平行四边形菱形，∴·30F A FD '=，∴310F A '=；(4)在BC 上取一点E ，连接AE ，平移△ABE 得到△DCF ，可得四边形AEFD 是平行四边形.【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，菱形的判定及性质，平移的性质的应用，勾股定理.2．（1）证明见解析；（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形；②2【分析】（1）证明△FCG ≌△EDG（ASA），得到FG=EG即可得到结论；（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形.过A作AM⊥BC于M，求出BM=1.5，根据平行四边形的性质得到∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，求出DE=1.5=BM，证明△MBA≌△EDC(SAS)，得到∠CED=∠AMB=90°，推出四边形CEDF是矩形；②根据四边形CEDFCEDF是菱形，得到CD⊥EF，DG=CG=1212CD=1.5，求出∠DEG=30°，得到DE=2DG=3，即可求出AE=AD-DE=5-3=2.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ CF∥ED，∴∠FCG＝∠EDG，∵ G是CD的中点，∴ CG＝DG，在△FCG和△EDG中，FCG EDG CG DGCGF DGE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△FCG ≌△EDG（ASA），∴ FG＝EG，∵ CG＝DG，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）解：①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AM⊥BC于M，∵∠B=60°，∴∠BAM=30°，∵AB=3，∴BM=1.5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，∵AE=3.5，∴DE=1.5=BM，在△MBA 和△EDC 中，BM DE B CDE AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MBA ≌△EDC(SAS)，∴∠CED=∠AMB=90°，∵四边形CEDF 是平行四边形，∴四边形CEDF 是矩形；②∵四边形CEDFCEDF 是菱形，∴CD ⊥EF ，DG=CG=1212CD=1.5，∵∠CDE=∠B=60∘∠B=60∘，∴∠DEG=30°，∴DE=2DG=3，∴AE=AD-DE=5-3=2，故答案为：2.【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，菱形的性质定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，三角形全等的判定及性质定理，熟练掌握各定理并运用解答问题是解题的关键.3．（1）见解析；（2）BE =CD ，理由见解析；（3）EF 3105【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC ，因为G 为BD 的中点，可得BG=BC ，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD ∥CG ，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC ∥BD ，得出四边形ACGD 为平行四边形；（2）利用全等三角形的判定证得△DAC ≌△BAE ，由全等三角形的性质得BE=CD ；首先证得四边形ABCE 为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE ≌△CAD ，易得∠CBE=∠ACD ，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．（3）先证明△DBF 是直角三角形，再利用勾股定理进行计算，即可求出答案．【详解】解：（1）∵△ABC 和△ABD 都是等腰直角三角形∴∠CAB =∠ABD = 45°，BD 2AB 22BC =2BC =2AC∴AC ∥BD又∵G 为BD 的中点，∴BD =2DG ，∴AC =DG ，AC ∥DG∴四边形ACGD 为平行四边形；（2）BE =CD ，理由如下∵△AEC 和△ABD 都是等腰直角三角形AE =AC ，AB =AD∠EAB =∠EAC +∠CAB =90°+45°=135°，∠CAD =∠DAB +∠BAC =90°+45°=135°，∴∠EAB =∠CAD ，在△DAC 与△BAE 中，AD AB CAD EAB AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAC ≌△BAE ，∴BE =CD ；（3） ∵△DAC ≌△BAE∴∠AEB=∠ACD又∵∠EAC=90°∴∠EFC=∠DFB=90°∴ △DBF 是直角三角形∵BC，∴BD根据勾股定理得CD， ∴11••22CD BF BC BD = ∴12=12•∴BF∴EF =BE -BF =CD -BF【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键．4．（1）BD ⊥CF ，CF=BC-CD ；（2）CF=BC+CD ，见解析；（3）①CF=CD−BC ，②等腰三角形，见解析【分析】（1）先说明△ABC 是等腰直角三角形，利用SAS 即可证明△BAD ≌△CAF ，从而证得CF ⊥BD 、CF=BD ，又 BD+CD=BC, CF=BC-CD ；（2）先利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF-CD=BC；（3）①与（2）同理可得BD=CF，然后结合图形可得CF=CD-BC；②先根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°，再根据邻补角的定义求出∠ABD=135°，再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD≌△CAF，得∠ACF=∠ABD，求出∠FCD=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OC=12DF，再根据正方形的对角线相等求出OC=OA，从而得到△AOC是等腰三角形．【详解】（1）解：∵∠B4C=90°，AB=AC∴∠ABC=∠ACB=45°∵四边形ADEF是正方形∴AD=AF，∠DAF=90°∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°∴∠BAD=∠CAF在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，∴△BAD≌△CAF(SAS)，∴BD=CF，∠ABD=∠ACF=45°∴∠FCB=∠ACF+ ∠ACB=90°，即CF⊥BC∵BD+CD=BC∴CF+CD=BC；故答案为：BD⊥CF，CF=BC-CD；（2）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠CAF=∠DAF+∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，∴△BAD≌△CAF(SAS)，∴BD=CF，∵BD=BC+CD，∴CF=BC+CD；（3）①与（2）同理可得，BD=CF，所以，CF=CD−BC；②∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，则∠ABD=180∘−45°=135°，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD=AF ，∠DAF=90°，∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°，∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°，∴∠BAD=∠CAF ，在△BAD 和△CAF 中，AB=AC ，∠BAD=∠CAF ，AD=AF ，∴△BAD ≌△CAF(SAS)，∴∠ACF=∠ABD=180°−45°=135°，∴∠FCD=∠ACF−∠ACB=90°，则△FCD 为直角三角形，∵正方形ADEF 中，O 为DF 中点，∴OC=12DF ， ∵在正方形ADEF 中，OA=12AE ，AE=DF ， ∴OC=OA ，∴△AOC 是等腰三角形．【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及同角的余角相等的性质，在（1）证明三角形全等得到思路并推广到（2）（3）是解答本题的关键.5．（1）B （12，4）；（2）52t s =；（3）58,4,3,4,2,4,,42 【分析】（1）由四边形OABC 是平行四边形，得到OA BC =，//OA BC ，于是得到 10OA =，2OE AF ，可求出点B 的坐标；（2）根据四边形PCDA 是平行四边形，得到PC AD =，即1025t -=，解方程即可得到结论；（3）如图2，可分三种情况：①当5PD OD 时，②当5PO OD 时，③当 PD OP =时分别讨论计算即可．【详解】解：如图1，过C 作CE OA ⊥于E ，过B 作BF OA ⊥于 F ，四边形OABC 是平行四边形，OA BC ，//OA BC ， A ，C 的坐标分别为(10,0)， (2,4)， 10OA ∴=，2OE AF ， 10BC ∴=，(12,4)B ；（2）设点P 运动t 秒时，四边形PCDA 是平行四边形，由题意得：102PC t =-，点D 是OA 的中点， 152OD BC AD OA ，四边形PCDA 是平行四边形，PC AD ，即1025t -=，52t ∴=， ∴当52t =秒时，四边形PCDA 是平行四边形；（3）如图2，①当5PDOD 时，过1P 作1PE OA 于 E ，则14PE ，3DE ∴=，1(8,4)P ，又D ，C 的坐标分别为()5,0，(2,4)，∴225245CD ,即有，当点P 与点C 重合时，5PD OD ，2,4P ；②当5PO OD 时，过2P 作2P G OA 于 G ，则24P G ，3OG ∴=，2(3,4)P ；③当PD OP =时，过3P 作3P F OA 于 F ，则34P F ，52OF =， 35(2P ，4)；综上所述：当ODP ∆是等腰三角形时，点P 的坐标为(8,4)， 5(2，4)，(3,4)，(2,4)．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．6．（1）见解析；（2）8；（3）4或6 【分析】（1）由折叠的性质得ACB ACE ∠=∠，BC EC =，由平行四边形的性质得AD BC =，//AD BC ．则EC AD =，ACB CAD ∠=∠，得ACE CAD ∠=∠，证出OA OC =，则OD OE =，由等腰三角形的性质得ODE OED ∠=∠，证出CAD ACE OED ODE ∠=∠=∠=∠，即可得出结论；（2）证四边形ABCD 是矩形，则90CDO ∠=︒，==CD ABAD BC ==OA OC x ==，则OD x ，在Rt OCD ∆中，由勾股定理得出方程，求出OA =，由三角形面积公式即可得出答案；（3）分两种情况：90EAD ∠=︒或90AED ∠=︒，需要画出图形分类讨论，根据含30角的直角三角形的性质，即可得到BC 的长．【详解】解：（1）证明：由折叠的性质得：ABC ∆≅△AEC ∆，ACB ACE ∴∠=∠，BC EC =，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，//AD BC ．EC AD ∴=，ACB CAD ∠=∠，ACE CAD ∴∠=∠，OA OC ∴=，OD OE ∴=，ODE OED ∴∠=∠，AOC DOE ∠=∠，CAD ACE OED ODE ∴∠=∠=∠=∠，//AC DE ∴；（2）平行四边形ABCD 中，90B ∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形，90CDO ∴∠=︒，3==CD AB ，6AD BC ==，由（1）得：OA OC =，设OA OC x ==，则6OD x =-，在Rt OCD ∆中，由勾股定理得：222(3)(6)x x +-=，解得：364x =， 36OA ∴=， OAC ∴∆的面积113692322OA CD =⨯=⨯⨯=；（3）分两种情况：①如图3，当90EAD ∠=︒时，延长EA 交BC 于G ，AD BC =，BC EC =，AD EC ∴=，//AD BC ，90EAD ∠=︒，90EGC ∴∠=︒，30B ∠=︒，23AB =，30AEC ∴∠=︒，1122GC EC BC ∴==， G ∴是BC 的中点，在Rt ABG ∆中，33BG AB ==， 26BC BG ∴==；②如图4，当90AED ∠=︒时AD BC =，BC EC =，AD EC ∴=，由折叠的性质得：AE AB =，AE CD ∴=，在ACE ∆和CAD ∆中，AE CD CE AD AC CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ACE CAD SSS ∴∆≅∆，ECA DAC ∴∠=∠，OA OC ∴=，OE OD ∴=，OED ODE ∴∠=∠，AED CDE ∴∠=∠，90AED ∠=︒，90CDE ，//AE CD ∴，又//AB CD ，B ∴，A ，E 在同一直线上，90BAC EAC ∴∠=∠=︒，Rt ABC ∆中，30B ∠=︒，23AB =，32AC AB ∴==，24BC AC ==；综上所述，当AED ∆是直角三角形时，BC 的长为4或6．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质是解题的关键．7．（1）见详解；（2）72x = 【分析】（1）连接MN ，由勾股定理求出AC=5，证出四边形ABNM 是矩形，得MN=AB=3，证△AME ≌△CNF （SAS ），得出EM=FN ，∠AEM=∠CFN ，证EM ∥FN ，得四边形EMFN 是平行四边形，求出MN=EF ，即可得出结论；（2）连接MN ，作MH ⊥BC 于H ，则MH=AB=3，BH=AM=x ，得HN=BC-BH-CN=4-2x ，由矩形的性质得出MN=EF=AC-AE-CF=4，在Rt △MHN 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】（1）证明：连接MN ，如图1所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∠B=90°，∴∠EAM=∠FCN ，2222345AB BC +=+=，∵M ，N 分别是AD ，BC 的中点，∴AM=DM=BN=CN ，AM ∥BN ，∴四边形ABNM 是平行四边形，又∵∠B=90°，∴四边形ABNM 是矩形，∴MN=AB=3，在△AME 和△CNF 中，AM CN EAM FCN AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AME ≌△CNF （SAS ），∴EM=FN ，∠AEM=∠CFN ，∴∠MEF=∠NFE ，∴EM ∥FN ，∴四边形EMFN 是平行四边形，又∵AE=CF=1，∴EF=AC-AE-CF=3，∴MN=EF ，∴四边形EMFN 为矩形．（2）解：连接MN ，作MH ⊥BC 于H ，如图2所示：则四边形ABHM 是矩形，∴MH=AB=3，BH=AM=x ，∴HN=BC-BH-CN=4-2x ，∵四边形EMFN 为矩形，AE=CF=0.5，∴MN=EF=AC-AE-CF=4，在Rt △MHN 中，由勾股定理得：32+（4-2x ）2=42，解得：x=72±， ∵0＜x ＜2，∴x=722-．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．8．（1）四边形PBCE 为平行四边形，证明过程见解析；（2）见解析；（3）四边形APCE 为矩形，证明过程见解析.【分析】（1）证明四边形ABCD 为平行四边形，从而得BP//CE ，根据内错角相等证明AD//PE,从而可证PE//BC ，得四边形PBCE 为平行四边形；（2）证明△CBP≌△ACE 即可证明CP=AE ；（3）证明四边形APCE 为平行四边形，然后根据三线合一证明∠APC=90°，可证四边形APCE 为矩形.【详解】解：（1）四边形PBCE 为平行四边形.证明：∵AD BC =，AD BC ∥，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴PB//EC,∵DAE AEP ∠=∠,∴AD//PE,∴PE//BC,∴四边形PBCE 为平行四边形.（2）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠B=∠D，AB//CD,∴BAC ACE =∠∠又∵D ∠=BAC ∠，∴∠B=BAC ∠，∴BC=AC ，B ACE ∠=∠∵四边形PBCE 为平行四边形，∴PB=CE，在△CBP 和△ACE 中BP CE B ACE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBP≌△ACE.∴CP AE =.（3）四边形APCE 为矩形，证明：∵P 为AB 的中点∴BP=AP ,∵四边形PBCE 为平行四边形，∴BP=CE,∴AP=CE,又∵AB//CD∴四边形APCE 为平行四边形，∵CB=CA ，AP=BP ，∴CP ⊥AB ，∴∠APC=90°，∴ABCD 为矩形.【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形“三线合一”.熟记平行四边形的判定和矩形的判定定理，能根据题意分析得出线段与线段、角与角之间的关系，选择合适的定理是解决本题的关键.9．（1）2t =；（2）222=24PD PE PD PE ++⋅-； (3)①当06x ≤≤时，S △PAE②当6x ≥时, S △PAE【解析】【分析】（1）设直线AB 为3y kx =+，把B(-3,0)代入，求得k ，确定解析式；再设设t 秒后构成平行四边形，根据题意列出方程，求出t 即可；（2）过E 作关于x 轴对于点E ',连接EE′交x 轴于点P ,则此时PE+PD 最小.由（1）得到当t=2时，有C0），D(3+,3)，再根据AB ∥CD ，求出直线CD 和AB 1的解析式，确定E 的坐标；然后再通过乘法公式和线段运算，即可完成解答.（3）根据（1）可以判断有06x ≤≤和6x ≥两种情况，然后分类讨论即可.【详解】（1）解：设直线AB 为3y kx =+，把B(-3,0)代入得：033k =-+∴1k =∴3y x由题意得：设t 秒后构成平行四边形，则 33332t t ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭解之得：2t =，（2）如图:过E 作关于x 轴对于点E ',连接EE′交x 轴于点P ,则此时PE+PD 最小.由（1）t=2得：∴C 30），D(33,3)∵AB ∥CD∴设CD 为1y x b =+把C 30）代入得b 1=3∴CD 为：y x 3=-易得1AB 为：3y x =-+ ∴33y x y x ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩解之得：33+33-∴22222233332()32433PD PE PD PE PD PE E D '⎛⎫⎛⎫-+++⋅=+==++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3)①当06x ≤≤时 S △PAE =S △PAB1-S △PEB1=133(6)(33)(6)3224x x ⎛⎫--+--= ⎪ ⎪⎝⎭②当6x ≥时：S △PAE =S △PAB1-S △PEB1=133(6)(33)(6)32x x ⎛⎫--+--= ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题是一次函数的综合题型，主要考查了用待定系数求一次函数的关系式，点的坐标的确定，动点问题等知识点.解题的关键是扎实的基本功和面对难题的自信.10．28【分析】（1）利用旋转的旋转即可作出图形；（2）先求出ABC 的边长边上的高为12，进而求出DE 与BC 间的距离为6，再判断出FH 最小时，拼成的四边形的周长最小，即可得出结论.【详解】（1）∵DE 是△ABC 的中位线，1DE BC 4,AD BD,AE CE 2∴==== ∴四边形BDFH 绕点D 顺时针旋转，点B 和点A 重合，四边形CEFH 绕点E 逆时针旋转，点C 和点A 重合，∴补全图形如图1所示，（2）∵△ABC 的面积是48，BC=8，∴点A 到BC 的距离为12，∵DE 是△ABC 的中位线，∴平行线DE 与BC 间的距离为6，由旋转知，∠DAH''=∠B，∠CAH'=∠C，∴∠DAH''+∠BAC+∠CAH'=180°，∴点H''，A ，H'在同一条直线上，由旋转知，∠AEF'=∠CEF，∴∠AEF'+∠CEF'=∠CEF+∠CEF'=180°，∴点F，E，F'在同一条直线上，同理：点F，D，F''在同一条直线上，即：点F'，F''在直线DE上，由旋转知，AH''=BH，AH'=CH，DF''=DF，EF'=EF，F''H''=FH=F'H'，∴F'F''=2DE=BC=H'H''，∴四边形F'H'H''F''是平行四边形，∴▱F'H'H''F''的周长为2F'F''+2F'H'=4DE+2FH=2BC+2FH=16+2FH，∵拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小时，FH最小，即：FH⊥BC，∴FH=6，∴周长的最小值为16+2×6=28，故答案为28．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了旋转的旋转和作图，判断三点共线的方法，平行四边形FH H F是平行四边形是解本题的关键.的判断和性质，判断出四边形'''''。

八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题测试提优卷

一、选择题1．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点(点P 不与点B 、D 重合)，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP ＝EF ；②AP ⊥EF ；③仅有当∠DAP ＝45°或67.5°时，△APD 是等腰三角形；④∠PFE ＝∠BAP ：⑤22PD ＝EC ．其中有正确有( )个．A ．2B ．3C ．4D ．5 2．如图，边长为8的正方形ABCD 的对角线交于点O ，点,EF 分别在边,CD DA 上（CE DE <），且90,,EOF OE BC ︒∠=的延长线交于点 ,,G OF CD 的延长线交于点,H E 恰为OG 的中点．下列结论：①OCE ODF ∆∆≌；②OG OH =；③210GH =．其中，正确结论的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．如图，在矩形ABCD 中，25,4,BC AB O ==为边AB 的中点，P 为矩形ABCD 外一动点，且90APC ∠=，则线段OP 的最大值为（）A ．53+B ．35+C ．452-D ．231+4．如图，点E 是矩形ABCD 的边AB 的中点，点F 是边CD 上一点，连接ED ，EF ，ED 平分∠AEF ，过点D 作DG ⊥EF 于点M ，交BC 于点G ，连接GE ，GF ，若FG ∥DE ，则AB AD的值是( )A ．32B ．2C ．2D ．35．已知点M 是平行四边形ABCD 内一点(不含边界)，设12MAD MBA θθ∠=∠=，，3 MCB θ∠=，4MDC θ∠=．若110,AMB ∠=︒ 90CMD ∠=︒，60BCD ∠=︒，则( )A ．142310θθθθ+--=︒B ．241330θθθθ+--=︒C ．142330θθθθ+--=︒D ．241340θθθθ+--=︒ 6．已知四边形ABCD 中，对角线BD 被AC 平分，那么再加上下述中的条件（）可以得到结论: “四边形ABCD 是平行四边形”．A ．AB =CD B ．∠BAD=∠BCDC ．∠ABC=∠ADCD ．AC= BD7．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AG BC ⊥于G ，作AH CD ⊥于H ，且45GAH ∠=︒，2AG =，3AH =，则平行四边形的面积是（）A ．62B ．122C ．6D ．128．下列命题中，真命题的个数有（）①对角线相等的四边形是矩形；②三条边相等的四边形是菱形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个9．如图，正方形ABCD 的边长为2，Q 为CD 边上（异于C ，D ）的一个动点，AQ 交BD 于点M ．过M 作MN ⊥AQ 交BC 于点N ，作NP ⊥BD 于点P ，连接NQ ，下面结论：①AM=MN ；②MP=2；③△CNQ 的周长为3；④BD+2BP=2BM ，其中一定成立的是（）A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．①④10．如图，点O 为正方形ABCD 的中心，BE 平分∠DBC 交DC 于点E ，延长BC 到点F ，使FC=EC ，连结DF 交BE 的延长线于点H ，连结OH 交DC 于点G ，连结HC ．则以下四个结论中：①OH ∥BF ，②GH=14BC ，③BF=2OD ，④∠CHF=45°．正确结论的个数为( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题11．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，点G 是EF 的中点，连接CG ，BG ，BD ，DG ，下列结论：①BC=DF ；②135DGF ︒∠=；③BG DG ⊥；④34AB AD =，则254BDG FDG S S =，正确的有__________________．12．在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC．其中正确的是_________．13．如图，在正方形ABCD中，AC=62，点E在AC上，以AD为对角线的所有平行四边形AEDF中，EF最小的值是_________．14．如图,在平面直角坐标系中,直线112y x=+与x轴、y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD，则D点坐标是_______；在y轴上有一个动点M，当MDC△的周长值最小时，则这个最小值是_______．15．如图，已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点M 是AC 边上任意一点，连接MB ，以MB 、MC 为邻边作平行四边形MCNB ，连接MN ，则MN 的最小值是______16．如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ，若∠CBF=20°，则∠AED 等于__度．17．已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，ABP ∆和DCE ∆全等．18．如图，有一张长方形纸片ABCD ，4AB =，3AD =．先将长方形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将AEF ∆沿EF 翻折，AF 与BC 相交于点G ，则FG 的长为___________．19．如图，在平行四边形ABCD 中，53AB AD ==，，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点E ，连接BE ，若BAD BEC ∠=∠，则平行四边形ABCD 的面积为__________．20．李刚和常明两人在数学活动课上进行折纸创编活动.李刚拿起一张准备好的长方形纸片对常明说:“我现在折叠纸片（图①），使点D 落在AB 边的点F 处，得折痕AE ，再折叠，使点C 落在AE 边的点G 处，此时折痕恰好经过点B ，如果AD=a ，那么AB 长是多少？”常明说；“简单，我会. AB 应该是_____”.常明回答完，又对李刚说：“你看我的创编（图②），与你一样折叠，可是第二次折叠时，折痕不经过点B ，而是经过了AB 边上的M 点，如果AD=a ，测得EC=3BM ，那么AB 长是多少？”李刚思考了一会，有点为难，聪明的你，你能帮忙解答吗？AB=_____.三、解答题21．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，AB AC =，D 是斜边BC 的中点，,E F 分别是,AB AC 边上的点，且DE DF ⊥，若12BE =，5CF =，求线段EF 的长．22．如图，在Rt ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动．同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是ts （0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ．（1）求证：AE ＝DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由；（3）当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．23．如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.（1）在如图（1）的AB 边上求作一点N ，连接CN ，使CN AM =；（2）在如图（2）的AD 边上求作一点Q ，连接CQ ，使CQ AM .24．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：如图1，90MON ∠=，点A 为边OM 上一定点，点B 为边ON 上一动点，以AB 为一边在∠MON 的内部作正方形ABCD ，过点C 作CF OM ⊥，垂足为点F （在点O 、A 之间），交BD 与点E ，试探究AEF ∆的周长与OA 的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：（动手操作，归纳发现）（1）通过测量图1、2、3中线段AE 、AF 、EF 和OA 的长，他们猜想AEF ∆的周长是OA 长的_____倍．请你完善这个猜想（推理探索，尝试证明）为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程：（2）如图4，过点C 作CG ON ⊥，垂足为点G则90CGB ∠=90GCB CBG ∴∠+∠= 又四边形ABCD 正方形，AB BC =，90ABC ∠=则90CBG ABO ∠+∠=GCB ABO ∴∠=∠在CBE ∆与ABE ∆中，（类比探究，拓展延伸）（3）如图5，当点F 在线段OA 的延长线上时，直接写出线段AE 、EF 、AF 与OA 长度之间的等量关系为．25．已知在平行四边形ABCD 中，AB BC ≠，将ABC 沿直线AC 翻折，点B 落在点尽处，AD 与CE 相交于点O ，联结DE ．（1）如图1，求证：//AC DE ；（2）如图2，如果90B ∠=︒，3AB =，6=BC ，求OAC 的面积；（3）如果30B ∠=︒，23AB =，当AED 是直角三角形时，求BC 的长．26．如图1，在OAB 中，OAB 90∠=，30AOB ∠=,8OB =，以OB 为边，在OAB Λ外作等边OBC Λ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于E ．（1）求证：四边形ABCE 是平行四边形；（2）连接AC ，BE 交于点P ，求AP 的长及AP 边上的高BH ；（3）在（2）的条件下，将四边形OABC 置于如图所示的平面直角坐标系中，以E 为坐标原点，其余条件不变，以AP 为边向右上方作正方形APMN ：①M 点的坐标为．②直接写出正方形APMN 与四边形OABC 重叠部分的面积（图中阴影部分）．27．探究：如图①，△ABC 是等边三角形，在边AB 、BC 的延长线上截取BM =CN ，连结MC 、AN ，延长MC 交AN 于点P ．（1）求证：△ACN ≌△CBM ；（2）∠CPN = °；（给出求解过程）（3）应用：将图①的△ABC 分别改为正方形ABCD 和正五边形ABCDE ，如图②、③，在边AB 、BC 的延长线上截取BM =CN ，连结MC 、DN ，延长MC 交DN 于点P ，则图②中∠CPN = °；（直接写出答案）（4）图③中∠CPN = °；（直接写出答案）（5）拓展：若将图①的△ABC 改为正n 边形，其它条件不变，则∠CPN = °（用含n 的代数式表示，直接写出答案）．28．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD =90°，AB =AD =10cm ，BC =8cm 。

八年级初二数学第二学期平行四边形单元易错题测试提优卷试卷

一、选择题1．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点(点P不与点B、D重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③仅有当∠DAP＝45°或67.5°时，△APD是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP：⑤2PD＝EC．其中有正确有()个．A．2 B．3 C．4 D．52．如图所示，等边三角形ABC沿射线BC向右平移到DCE∆的位置，连接AD、BD，则下列结论：（1）AD BC=（2）BD与AC互相平分（3）四边形ACED是菱形（4）BD DE⊥，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，在菱形ABCD中，两对角线AC、BD交于点O，AC=8，BD=6，当△OPD是以PD 为底的等腰三角形时，CP的长为（）A．2 B．185C．75D．524．如图，在长方形ABCD中，AD=6，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连结PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和为（）A ．5B ．6C ．7D ．8 5．如图，四边形,ABCD AD 与BC 不平行，AB CD =．,AC BD 为四边形ABCD 的对角线，,,EF ,GH 分别是,,,BD BC AC AD 的中点下列结论：①EG FH ⊥；②四边形EFGH 是矩形；③HF 平分;EHG ∠④()1 2EG BC AD =-；⑤四边形EFGH 是菱形．其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．下列命题：①一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；②一组邻角相等的平行四边形是矩形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形．其中真命题个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，若CD ，CM 分别是斜边AB 上的高和中线，则下列结论中错误的是（）A ．MCB MCA ∠=∠B ．MCB ACD ∠=∠C ．B ACD ∠=∠ D ．MCA BCD ∠=∠8．如图所示，在Rt ABC ∆中，90ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，分别以直角边AB 、斜边AC 为边，向外作等边ABD ∆和等边ACE ∆，F 为AC 的中点，DE 与AC 交于点O ，DF 与AB 交于点G ．给出如下结论：①四边形ADFE 为菱形；②DF AB ⊥；③14AO AE =；④4CE FG =；其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④9．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边 BC 上一动点，PE ⊥AB 于 E ，PF ⊥AC 于 F ，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为（）A ．1B ．1.3C ．1.2D ．1.510．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，AE AF =，AC 与EF 相交于点G ．下列结论：①AC 垂直平分EF ；②BE DF EF +=；③当15DAF ∠=︒时，AEF 为等边三角形；④当60EAF ∠=︒时，AEB AEF ∠=∠．其中正确的结论是（）A ．①③B ．②④C ．①③④D ．②③④二、填空题11．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，点G 是EF 的中点，连接CG ，BG ，BD ，DG ，下列结论：①BC=DF ；②135DGF ︒∠=；③BG DG ⊥；④34AB AD =，则254BDG FDG S S =，正确的有__________________．12．如图，正方形ABCD 中，DAC ∠的平分线交DC 于点E ，若P ，Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 能取得最小值4时，此正方形的边长为______________．13．如图所示，菱形ABCD ，在边AB 上有一动点E ，过菱形对角线交点O 作射线EO 与CD 边交于点F ，线段EF 的垂直平分线分别交BC 、AD 边于点G 、H ，得到四边形EGFH ，点E 在运动过程中，有如下结论：①可以得到无数个平行四边形EGFH ；②可以得到无数个矩形EGFH ；③可以得到无数个菱形EGFH ；④至少得到一个正方形EGFH ．所有正确结论的序号是__．14．如图正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，将△ABE 沿 AE 对折至△AFE ，延长 EF 交 CD 于 G ，接 CF ，AG ．下列结论：① AE ∥FC ; ②∠EAG = 45°，且BE + DG = EG ；③ABCD 19CEF S S ∆=正方形；④ AD = 3DG ，正确是_______ (填序号)．15．在锐角三角形ABC 中，AH 是边BC 的高，分别以AB ，AC 为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接CE ，BG 和EG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，下列结论：①BG=CE ；②BG ⊥CE ；③AM 是△AEG 的中线；④∠EAM=∠ABC ．其中正确的是_________．16．如图，直线1l ，2l 分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y 轴．OABC 的顶点A ，C 分别在直线1l 和2l 上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为_________．17．如图，菱形ABCD 的边长是4，60ABC ∠=︒，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点（不与点A ，B ，C 重合），且BE BF =，若//EG BC ，//FG AB ，EG 与FG 相交于点G ，当ADG 为等腰三角形时，BE 的长为________．18．如图，在正方形ABCD 中，AC=62，点E 在AC 上，以AD 为对角线的所有平行四边形AEDF 中，EF 最小的值是_________．19．如图,在平面直角坐标系中,直线112y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ，则D 点坐标是_______；在y 轴上有一个动点M ，当MDC △的周长值最小时，则这个最小值是_______．20．在平行四边形 ABCD 中，AE 平分∠BAD 交边 BC 于 E ，DF 平分∠ADC 交边 BC 于 F ，若 AD=11，EF=5，则 AB= ___．三、解答题21．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若5AE =，3OE =，求线段CE 的长．22．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC 、CF 为邻边作平行四边形ECFG ．（1）求证：四边形ECFG 是菱形；（2）连结BD 、CG ，若120ABC ∠=︒，则BDG ∆是等边三角形吗？为什么？（3）若90ABC ∠=︒，10AB =，24AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长．23．猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD 与矩形纸片ECGF ，使B ，C ，G 三点在一条直线上，CE 在边CD 上．连结AF ，若M 为AF 的中点，连结DM ，ME ，试猜想DM 与ME 的数量关系，并证明你的结论．拓展与延伸：(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，其他条件不变，则DM 和ME 的关系为__________________；(2)如图②摆放正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，使点F 在边CD 上，点M 仍为AF 的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半]① ②24．已知：如下图，ABC 和BCD 中，90BAC BDC ∠=∠=，E 为BC 的中点，连接DE AE 、.若DC AE ，在DC 上取一点F ，使得DF DE =，连接EF 交AD 于O . （1）求证：EF DA ⊥.（2）若4,23BC AD ==，求EF 的长.25．（1）问题探究：如图①，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAD 的平分线，则线段AB ，AD ，DC 之间的等量关系为；（2）方法迁移：如图②，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AF 与DC 的延长线交于点F ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAF 的平分线，试探究线段AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论；（3）联想拓展：如图③，AB ∥CF ，E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，∠EDF ＝∠BAE ，试探究线段AB ，DF ，CF 之间的数量关系，并证明你的结论．26．如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，点E 在边AD 所在的直线上，连接CE ，以CE 为边，作正方形CEFG （点C 、E 、F 、G 按逆时针排列），连接BF.（1）如图1,当点E 与点D 重合时，BF 的长为；（2）如图2，当点E 在线段AD 上时，若AE=1，求BF 的长；（提示：过点F 作BC 的垂线，交BC 的延长线于点M ，交AD 的延长线于点N.）（3）当点E 在直线AD 上时，若AE=4，请直接写出BF 的长.27．如图，在四边形OABC 是边长为4的正方形点P 为OA 边上任意一点（与点O A 、不重合），连接CP ，过点P 作PM CP ⊥，且PM CP =，过点M 作MN AO ∥，交BO 于点,N 联结BM CN 、，设OP x =.（1）当1x =时，点M 的坐标为（，）（2）设CNMB S y =四形边，求出y 与x 的函数关系式，写出函数的自变量的取值范围.（3）在x 轴正半轴上存在点Q ，使得QMN 是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合条件的点Q 的坐标（用x 的式子表示）28．如图，等腰直角三角形OAB 的三个定点分别为(0,0)O 、(0,3)A 、(3,0)B -，过A 作y 轴的垂线1l .点C 在x 3D 在1l 上以每秒332+的速度同时从点A 出发向右运动，当四边形ABCD 为平行四边形时C 、D 同时停止运动，设运动时间为t .当C 、D 停止运动时，将△OAB 沿y 轴向右翻折得到△1OAB ，1AB 与CD 相交于点E ，P 为x 轴上另一动点.(1)求直线AB 的解析式，并求出t 的值.(2)当PE+PD 取得最小值时，求222PD PE PD PE ++⋅的值.(3)设P 的运动速度为1，若P 从B 点出发向右运动，运动时间为x ，请用含x 的代数式表示△PAE 的面积.29．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 是正方形内两点，BE DF ∥，EF BE ⊥，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：（1）在图1中，连接BD ，且BE DF =①求证：EF 与BD 互相平分；②求证：222()2BE DF EF AB ++=；（2）在图2中，当BE DF ≠，其它条件不变时，222()2BE DF EF AB ++=是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.（3）在图3中，当4AB =，135DPB ∠=︒2246B BP PD +=时，求PD 之长.30．已知，矩形ABCD 中，4,8AB cm BC cm ==，AC 的垂直平分EF 线分别交AD BC 、于点E F 、，垂足为O ．（1）如图1，连接AF CE 、，求证：四边形AFCE 为菱形；（2）如图2，动点P Q 、分别从A C 、两点同时出发，沿AFB △和CDE △各边匀速运动一周，即点P 自A F B A →→→停止，点O 自C D E C →→→停止．在运动过程中，①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A C P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，则t =____________．②若点P Q 、的运动路程分别为a b 、（单位:,0cm ab ≠），已知AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则a 与b 满足的数量关系式为____________．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】过P 作PG ⊥AB 于点G ，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP ≌△FPE 后即可证明①AP=EF ；④∠PFE=∠BAP ；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt △DPF 中，DP 2=DF 2+PF 2=EC 2+EC 2=2EC 2，求得2EC ，得出⑤正确，即可得出结论．【详解】过P 作PG ⊥AB 于点G ，如图所示：∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，∴GP=EP ，在△GPB 中，∠GBP=45°，∴∠GPB=45°，∴GB=GP ，同理：PE=BE ，∵AB=BC=GF ，∴AG=AB-GB ，FP=GF-GP=AB-GB ，∴AG=PF ，在△AGP 和△FPE 中，90AG PF AGP FPE PG PE ⎧⎪⎨⎪∠∠⎩︒＝＝＝＝，∴△AGP ≌△FPE （SAS ），∴AP=EF ，①正确，∠PFE=∠GAP ，∴∠PFE=∠BAP ，④正确；延长AP 到EF 上于一点H ，∴∠PAG=∠PFH ，∵∠APG=∠FPH ，∴∠PHF=∠PGA=90°，∴AP ⊥EF ，②正确，∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上任意一点，∠ADP=45°，∴当∠PAD=45°或67.5°时，△APD 是等腰三角形，除此之外，△APD 不是等腰三角形，故③正确．∵GF ∥BC ，∴∠DPF=∠DBC ，又∵∠DPF=∠DBC=45°，∴∠PDF=∠DPF=45°，∴PF=EC ，∴在Rt △DPF 中，DP 2=DF 2+PF 2=EC 2+EC 2=2EC 2，∴2EC ，即22PD=EC ，⑤正确．∴其中正确结论的序号是①②③④⑤，共有5个．故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．2．D解析：D【分析】先求出∠ACD=60°，继而可判断△ACD是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABCD是平行四边形，从而可判断②是正确的；再结合①的结论，可判断③正确；根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，再根据平移后对应线段互相平行可得∠BDE=∠COD=90°，进而判断④正确.【详解】解：如图：∵△ABC，△DCE是等边三角形∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD∴∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=60°∴△ACD是等边三角形∴AD=AC=BC，故①正确；由①可得AD=BC∵AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形，∴BD、AC互相平分，故②正确；由①可得AD=AC=CE=DE故四边形ACED是菱形，即③正确∵四边形ABCD是平行四边形，BA=BC∴.四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AC//DE∴∠BDE=∠COD=90°∴BD⊥DE，故④正确综上可得①②③④正确，共4个.故选：D【点睛】此题主要考查了菱形的判定与性质，以及平移的性质，关键是掌握菱形四边相等，对角线互相垂直.3．C解析：C【解析】【分析】过O 作OE ⊥CD 于E ．根据菱形的对角线互相垂直平分得出OB ，OC 的长，AC ⊥BD ，再利用勾股定理列式求出CD ，然后根据三角形的面积公式求出OE ．在Rt △OED 中，利用勾股定理求出ED ．根据等腰三角形三线合一的性质得出PE ，利用CP =CD -PD 即可得出结论．【详解】过O 作OE ⊥CD 于E ．∵菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∴OB 12=BD 12=⨯6=3，OA =OC 12=AC 12=⨯8=4，AC ⊥BD ，由勾股定理得：CD 2222OD OC 34=+=+=5． ∵12OC ×OD =12CD ×OE ，∴12=5OE ，∴OE =2.4．在Rt △ODE 中，DE =22OD OE -=223 2.4-=1.8．∵OD =OP ，∴PE =ED =1.8，∴CP =CD -PD =5-1.8-1.8=1.4=75．故选C ．【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，求出OE 的长是解题的关键．4．C解析：C【分析】连接EG 、FH ，根据题意可知△AEF 与△CGH 全等，故EF=GH ，同理EG=FH ，再证四边形EGHF 为平行四边形，所以△PEF 和△PGH 的面积和是平行四边形的面积一半，平行四边形EGHF 的面积等于矩形ABCD 的面积减去四周四个小的直角三角形的面积即可求得.【详解】连接EG 、FH ，如图所示，在矩形ABCD 中，AD=6，AB=4，AF=CG=2，BE=DH=1，∴AE=AB-BE=4-1=3，CH=CD-DH=3，∴AE=CH,在△AEF 和△CGH 中，AE=CH,∠A=∠C=90°，AF=CG,∴△AEF ≌△CGH ，∴EF=GH,同理可得△BGE ≌△DFH ，∴EG=FH,∴四边形EGHF 为平行四边形，∵△PEF 和△PGH 的高的和等于点H 到直线EF 的距离，∴△PEF 和△PGH 的面积和=12⨯平行四边形EGHF 的面积，求得平行四边形EGHF 的面积=4⨯6--12⨯2⨯3-12⨯1⨯（6-2）-12⨯2⨯3-12⨯1⨯（6-2）=14， ∴△PEF 和△PGH 的面积和=1142⨯=7.【点睛】此题主要考察矩形的综合利用.5．C 解析：C【分析】先根据三角形中位线定理，得出EF=FG=GH=HE ，进而得到四边形EFGH 是菱形，据此可判断结论是否正确，最后取AB 的中点P ，连接PE ，PG ，根据三角形三边关系以及三角形中位线定理，即可得出()1 2EG BC AD >-．【详解】解：∵E ，F 分别是BD ，BC 的中点，∴EF 是△BCD 的中位线，∴EF=12CD ，同理可得，GH=12CD ，FG=12AB ，EH=12AB ，又∵AB=CD ，∴EF=FG=GH=HE ，∴四边形EFGH是菱形，故⑤正确，②错误，∴EG⊥FH，HF平分∠EHG，故①、③正确，如图所示，取AB的中点P，连接PE，PG，∵E是BD的中点，G是AC的中点，∴PE是△ABD的中位线，PG是△ABC的中位线，∴PE=12AD，PG=12BC，PE∥AD，PG∥BC，∵AD与BC不平行，∴PE与PG不平行，∴△PEG中，EG＞PG-PE，∴EG＞12BC12AD，即EG＞12（BC-AD），故④错误．综上所述，正确的有①③⑤．故选：C．【点睛】本题主要考查了中点四边形，三角形三边关系以及三角形中位线定理的运用，解题时注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．6．B解析：B【分析】根据平行四边形的判定方法对①进行判断；根据矩形的判定方法对②进行判断即可；根据三角形中位线性质和菱形的判定方法对③进行判断；根据正方形的判定方法对④进行判断．【详解】解：①错误，反例为等腰梯形；②正确，理由一组邻角相等，且根据平行四边形的性质，可得它们都为直角，从而推得矩形；③正确，理由：得到的四边形的边长都等于矩形对角线的一半；④正确．故答案为B．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．判定一个命题的真假关键在于对基本知识的掌握．7．A解析：A【分析】根据三角形的内角和定理，直角三角形的性质及判定，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定逐项判断即可．【详解】∠=∠，故本选项符合题意；解：A.不能推出MCB MCAB. ∵∠MCB=∠B=∠ACD，故本选项不符合题意；C.∵∠ACB=90°，CD是高，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠ACD=∠B，故本选项不符合题意；D. ∵∠ACB=90°，CM是斜边的中线，∴CM=BM，∴∠MCB=∠B=∠ACD，∴∠ACM=∠BCD，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了对三角形的内角和定理，直角三角形的性质及判定，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定等考点的理解．8．D解析：D【分析】由题意得出条件证明△ABC≌△DAF,根据对应角相等可推出②正确;由F是AB中点根据边长转换可以推出④正确;先推出△ECF≌△DFA得出对应边相等推出ADFE为平行四边形且有组临边不等得出①错误;再由以上全等即可得出④正确.【详解】∵△ABD是等边三角形，∴∠BAD=60°，AB=AD，∵∠BAC=30°，知∴∠FAD=∠ABC=90°，AC=2BC，∵F为AC的中点道，∴AC=2AF，∴BC=AF，∴△ABC≌△DAF，∴FD=AC，∴∠ADF=∠BAC=30°，∴DF⊥AB，故②正确，∵EF⊥AC，∠ACB=90°，∴FG∥BC，∵F是AB的中点，∴GF=12 BC，∵BC=12AC，AC=CE，∴GF=14CE，故④说法正确；∵AE=CE，CF=AF，∴∠EFC=90°，∠CEF=30°，∵∠FAD=∠CAB+∠BAD=90°，∴∠EFC=∠DAF，∵DF⊥AB，∴∠ADF=30°，∴∠CEF=∠ADF，∴△ECF≌△DFA（AAS），∴AD=EF，∵FD=AC，∴四边形属ADFE为平行四边形，∵AD≠DF，∴四边形ADFE不是菱形；故①说法不正确；∴AO=12 AF，∴AO=12 AC，∵AE=AC，则AE=4AO，故③说法正确，故选D．【点睛】本体主要考查平行四边形的判定，等边三角形，三角形全等的判定，关键在于熟练掌握基础知识，根据图形结合知识点进行推导.9．C解析：C【分析】首先证明四边形AEPF为矩形，可得AM=12AP，最后利用垂线段最短确定AP的位置，利用面积相等求出AP的长，即可得AM.【详解】在△ABC中，因为AB2+AC2=BC2，所以△ABC 为直角三角形，∠A=90°，又因为PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，故四边形AEPF 为矩形，因为M 为 EF 中点，所以M 也是 AP 中点，即AM=12AP ，故当AP ⊥BC 时，AP 有最小值，此时AM 最小，由1122ABC SAB AC BC AP =⨯⨯=⨯⨯，可得AP=125， AM=12AP=6 1.25= 故本题正确答案为C.【点睛】本题考查了矩形的判定和性质,确定出AP ⊥BC 时AM 最小是解题关键.10．A解析：A【分析】①通过条件可以得出△ABE ≌△ADF ，从而得出∠BAE=∠DAF ，BE=DF ，由正方形的性质就可以得出EC=FC ，就可以得出AC 垂直平分EF ，②设BC=x ，CE=y ，由勾股定理就可以得出EF 与x 、y 的关系，表示出BE 与EF ，即可判断BE+DF 与EF 关系不确定；③当∠DAF=15°时，可计算出∠EAF=60°，即可判断△EAF 为等边三角形，④当∠EAF=60°时，可证明△AEF 是等边三角形，从而可得∠AEF=60°，而△CEF 是等腰直角三角形，得∠CEF=45°，从而可求出∠AEB=75°，进而可得结论．【详解】解：①四边形ABCD 是正方形，∴AB ═AD ，∠B=∠D=90°．在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，AE AF AB AD ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE=DF∵BC=CD ，∴BC-BE=CD-DF ，即CE=CF ，∵AE=AF ，∴AC 垂直平分EF ．（故①正确）．②设BC=a ，CE=y ，∴BE+DF=2（a-y ）EF=y ，∴BE+DF 与EF 关系不确定，只有当y=（）a 时成立，（故②错误）．③当∠DAF=15°时，∵Rt △ABE ≌Rt △ADF ，∴∠DAF=∠BAE=15°，∴∠EAF=90°-2×15°=60°，又∵AE=AF∴△AEF 为等边三角形．（故③正确）．④当∠EAF=60°时，由①知AE=AF ，∴△AEF 是等边三角形，∴∠AEF=60°,又△CEF 为等腰直角三角形，∴∠CEF=45°∴∠AEB=180°-∠AEF-∠CEF=75°,∴∠AEB≠∠AEF ，故④错误．综上所述，正确的有①③，故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．二、填空题11．①③④【分析】由矩形的性质可得AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD ，由角平分线的性质和余角的性质可得∠F=∠FAD=45°，可得AD=DF=BC ，可判断①；通过证明△DCG ≌△BEG ，可得∠BGE=∠DGC ，BG=DG ，即可判断②③；过点G 作GH ⊥CD 于H ，设AD=4x=DF ，AB=3x ，由勾股定理可求BD=5x ，由等腰直角三角形的性质可得HG=CH=FH=12x ，DG=GB=2x ，由三角形面积公式可求解，可判断④．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴∠F=∠FAD ，∴AD=DF ，∴BC=DF ，故①正确；∵∠EAB=∠BEA=45°，∴AB=BE=CD ，∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°， ∴△CEF 是等腰直角三角形， ∵点G 为EF 的中点，∴CG=EG ，∠FCG=45°，CG ⊥AG ， ∴∠BEG=∠DCG=135°，在△DCG 和△BEG 中，===BE CD BEG DCG CG EG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△DCG ≌△BEG （SAS ）． ∴∠BGE=∠DGC ，BG=DG ， ∵∠BGE ＜∠AEB ，∴∠DGC=∠BGE ＜45°，∵∠CGF=90°，∴∠DGF ＜135°，故②错误； ∵∠BGE=∠DGC ，∴∠BGE+∠DGA=∠DGC+∠DGA ， ∴∠CGA=∠DGB=90°，∴BG ⊥DG ，故③正确；过点G 作GH ⊥CD 于H ，∵34AB AD =， ∴设AD=4x=DF ，AB=3x ，∴CF=CE=x ，22AB AD x +， ∵△CFG ，△GBD 是等腰直角三角形， ∴HG=CH=FH=12x ，DG=GB=522x ， ∴S △DGF =12×DF×HG=x 2，S △BDG =12DG×GB=254x 2，∴254BDG FDG S S =，故④正确；故答案为：①③④．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．12．42【分析】作P 点关于线段AE 的对称点P '，根据轴对称将DQ PQ +转换成DP '，然后当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，得到DP '长，最后求出正方形边长DC ．【详解】∵AE 是DAC ∠的角平分线，∴P 点关于线段AE 的对称点一定在线段AC 上，记为P '由轴对称可以得到PQ P Q '=，∴DQ PQ DQ P Q DP ''+=+=，如图，当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，也就是DQ PQ +取最小值4，∴4DP '=，由正方形的性质P '是AC 的中点，且DP P C ''=，在Rt DCP '中，2222443242DC DP P C ''=+=+==．故答案是：42．【点睛】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是能够分析出DQ PQ +取最小值的状态，并将它转换成DP '去求解．13．①③④【分析】由“AAS ”可证△AOE ≌△COF ，△AHO ≌△CGO ，可得OE =OF ，HO =GO ，可证四边形EGFH 是平行四边形，由EF ⊥GH ，可得四边形EGFH 是菱形，可判断①③正确，若四边形ABCD 是正方形，由“ASA ”可证△BOG ≌△COF ，可得OG =OF ，可证四边形EGFH 是正方形，可判断④正确，即可求解．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC，AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，∵线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，∴GH过点O，GH⊥EF，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠AHO＝∠CGO，∴△AHO≌△CGO（AAS），∴HO＝GO，∴四边形EGFH是平行四边形，∵EF⊥GH，∴四边形EGFH是菱形，∵点E是AB上的一个动点，∴随着点E的移动可以得到无数个平行四边形EGFH，随着点E的移动可以得到无数个菱形EGFH，故①③正确；若四边形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF＝90°；∠BOG+∠BOF＝∠COF+∠BOF＝90°，∴∠BOG＝∠COF；在△BOG和△COF中，∵BOG COF BO COGBO FCO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG＝OF，同理可得：EO＝OH，∴GH＝EF；∴四边形EGFH是正方形，∵点E是AB上的一个动点，∴至少得到一个正方形EGFH，故④正确，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是关键．14．①②④【分析】①根据折叠得△ABE ≌△AFE ，证明△EFC 是等腰三角形，得到∠EFC=∠ECF ，根据∠BEF=∠EFC+∠FEC ，得出∠BEA=∠AEF=∠EFC=∠ECF ，即可证明AE ∥FC ，故①正确；②根据四边形ABCD 是正方形，且△ABE ≌△AFE ，证明Rt △AFG ≌Rt △ADG ，得出∠FAG=∠GAD ，根据∠BAF+∠FAD=90°，推出∠EAF+∠FAG=45°，可得∠EAG=45°，根据全等得：BE=FE ，DG=FG ，即可得BE+DG=EF+GF=EG ，故②正确；③先求出S △ECG ，根据EF ：FG=2a ：3a =3：2，得出S △EFC ：S △FCG =3：2，即S △EFC =2110a ，再根据S ABCD =a 2，得出S △CEF ：S △ABCD =2110a ：2a ，即S △CEF =110S ABCD ，故③错误；④设正方形的边长为a ，根据勾股定理得22AB BE +5，设DG=x ，则CG=a-x ，FG=x ，EG=2a +x ，再根据勾股定理求出x ，即可得出结论，故④正确．【详解】解：①由折叠可得△ABE ≌△AFE ，∴∠BEA=∠AEF ，BE=EF ，∵E 是BC 中点，∴BE=CE=EF ，∴△EFC 是等腰三角形，∴∠EFC=∠ECF ，∵∠BEF=∠EFC+∠FEC ，∴∠BEA=∠AEF=∠EFC=∠ECF ，∴AE ∥FC ，故①正确；②∵四边形ABCD 是正方形，且△ABE ≌△AFE ，∴AB=AF=AD ，∠B=∠D=∠AFG ，∴△AFG 和△ADG 是直角三角形，∴在Rt △AFG 和Rt △ADG 中 AF AD AG AG ==⎧⎨⎩， ∴Rt △AFG ≌Rt △ADG （HL ），∴∠FAG=∠GAD ，又∵∠BAF+∠FAD=90°，∴2∠EAF+2∠FAG=90°，即∠EAF+∠FAG=45°，∴∠EAG=45°，由全等得：BE=FE ，DG=FG ，∴BE+DG=EF+GF=EG ，故②正确；③对于Rt △ECG ，S △ECG =12×EC ×CG=12×2a ×23a =216a ， ∵EF ：FG=2a ：3a =3：2，则S △EFC ：S △FCG =3：2，即S △EFC =2110a ，又∵S ABCD =a 2，则S △CEF ：S △ABCD =2110a ：2a ，即S △CEF =110S ABCD ，故③错误； ④设正方形的边长为a ， ∴AB=AD=AF=a ，BE=EF=2a =EC ，由勾股定理得=2，设DG=x ，则CG=a-x ，FG=x ， EG=2a +x ， ∴EG 2=EC 2+CG 2，即（2a +x ）2=（2a ）2+（a-x ）2，解得x=3a ，CG=23a ，即AD=3DG 成立，故④正确．【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握这些知识点灵活运用是解题关键．15．①②③④【分析】根据正方形的性质和SAS 可证明△ABG ≌△AEC ，然后根据全等三角形的性质即可判断①；设BG 、CE 相交于点N ，AC 、BG 相交于点K ，如图1，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE ＝∠AGB ，然后根据三角形的内角和定理可得∠CNG ＝∠CAG ＝90°，于是可判断②；过点E 作EP ⊥HA 的延长线于P ，过点G 作GQ ⊥AM 于Q ，如图2，根据余角的性质即可判断④；利用AAS即可证明△ABH≌△EAP，可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP ＝GQ，再利用AAS可证明△EPM≌△GQM，可得EM＝GM，从而可判断③，于是可得答案．【详解】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，即∠CAE＝∠BAG，∴△ABG≌△AEC（SAS），∴BG＝CE，故①正确；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，∵△ABG≌△AEC，∴∠ACE＝∠AGB，∵∠AKG＝∠NKC，∴∠CNG＝∠CAG＝90°，∴BG⊥CE，故②正确；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，∵AH⊥BC，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAE＝90°，∴∠EAP+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠EAP，即∠EAM＝∠ABC，故④正确；∵∠AHB=∠P=90°，AB=AE，∴△ABH≌△EAP（AAS），∴EP＝AH，同理可得GQ ＝AH ，∴EP ＝GQ ，∵在△EPM 和△GQM 中，90P MQG EMP GMQ EP GQ ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EPM ≌△GQM （AAS ），∴EM ＝GM ，∴AM 是△AEG 的中线，故③正确．综上所述，①②③④结论都正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造出全等三角形是难点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．16．5【分析】过点B 作BD ⊥l 2，交直线l 2于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ．则OABC 是平行四边形，所以OA=BC ，又由平行四边形的性质可推得∠OAF=∠BCD ，则可证明△OAF ≌△BCD ，所以OE 的长固定不变，当BE 最小时，OB 取得最小值，从而可求．【详解】解：过点B 作BD ⊥l 2，交直线x=4于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，直线l 1与OC 交于点M ，与x 轴交于点F ，直线l 2与AB 交于点N ．∵四边形OABC 是平行四边形，∴∠OAB=∠BCO ，OC ∥AB ，OA=BC ，∵直线l 1与直线l 2均垂直于x 轴，∴AM ∥CN ，∴四边形ANCM 是平行四边形，∴∠MAN=∠NCM ，∴∠OAF=∠BCD ，∵∠OFA=∠BDC=90°，∴∠FOA=∠DBC ，在△OAF 和△BCD 中，FOA DBC OA BCOAF BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OAF ≌△BCD （ASA ），∴BD=OF=1，∴OE=4+1=5，∴OB=22OE BE+．由于OE的长不变，所以当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB=OE=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．17．83或4433-【分析】连接AC交BD于O，由菱形的性质可得AB=BC=4，∠ABD=30°，AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，可证四边形BEGF是菱形，可得∠ABG=30°，可得点B，点G，点D三点共线，由直角三角形性质可求BD=43，AC=4，分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．【详解】如图，连接AC交BD于O，∵菱形ABCD的边长是4，∠ABC=60°，∴AB=BC=4，∠ABD=30°，AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，∵EG∥BC，FG∥AB，∴四边形BEGF是平行四边形，又∵BE=BF，∴四边形BEGF是菱形，∴∠ABG=30°，∴点B，点G，点D三点共线，∵AC⊥BD，∠ABD=30°，∴AO=12AB=2，=∴BD=AC=4，同理可求BE ，即，若AD=DG'=4时，∴BG'=BD-DG'=4，∴BE'4==；若AG''=G''D 时，过点G''作G''H ⊥AD 于H ，∴AH=HD=2，∵∠ADB=30°，G''H ⊥AD ，∴DG''=2HG''，∵222HD HG''DG''+=，解得：HG''=，DG''=2HG''=∴BG''=BD-DG''=-= ∴BE''=83，综上所述：BE 为83或4- 【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．18．【详解】解析：∵在正方形ABCD 中，AC=∴AB=AD=BC=DC=6，∠EAD=45°设EF 与AD 交点为O ，O 是AD 的中点,∴AO=3以AD 为对角线的所有▱AEDF 中，当EF ⊥AC 时，EF 最小，即△AOE 是直角三角形，∵∠AEO=90°，∠EAD=45°，OE=2OA=2，∴EF=2OE=19．(3,2)-【分析】如图（见解析），先根据一次函数的解析式可得点A 、B 的坐标，从而可得OA 、OB 、AB 的长，再根据正方形的性质可得90BAD ∠=︒，DA AB =，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,AE OB DE OA ==，由此即可得出点D 的坐标；同样的方法可求出点C 的坐标，再根据轴对称的性质可得点C '的坐标，然后根据轴对称的性质和两点之间线段最短得出MDC △的周长值最小时，点M 的位置，最后利用两点之间的距离公式、三角形的周长公式即可得．【详解】如图，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，作点C 关于y 轴的对称点C '，交y 轴于点F ，连接C D '，交y 轴于点M '，连接C M '，则CF y ⊥轴对于112y x =+ 当0y =时，1102x +=，解得2x =-，则点A 的坐标为(2,0)A - 当0x =时，1y =，则点B 的坐标为(0,1)B2,1,OA OB AB ∴====四边形ABCD 是正方形90BAD ∴∠=︒，CD DA AB ===90DAE OAB ABO OAB ∴∠+∠=∠+∠=︒DAE ABO ∴∠=∠在ADE 和BAO 中，90AED BOA DAE ABO DA AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE BAO AAS ∴≅1,2AE OB DE OA ∴====213OE OA AE ∴=+=+=则点D 的坐标为(3,2)D -同理可证：CBF BAO ≅1,2CF OB BF OA ∴====123OF OB BF ∴=+=+=则点C 的坐标为(1,3)C -由轴对称的性质得：点C '的坐标为(1,3)C '，且CM C M '=MDC ∴△的周长为CD DM CM DM C M '++=+由两点之间线段最短得：当点M 与点M '重合时，DM C M '+取得最小值DC ' (3,2),(1,3)D C '-22(31)(23)17DC '∴=--+-=则MDC △的周长的最小值为5517DC '+=+故答案为：(3,2)-，517+．【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、轴对称的性质等知识点，正确找出MDC △的周长最小时，点M 的位置是解题关键． 20．8或3【分析】根据AE 和DF 是否相交分类讨论，分别画出对应的图形，根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边即可得出结论．【详解】解：①当AE 和DF 相交时，如下图所示∵四边形ABCD 为平行四边形，AD=11，EF=5，∴BC=AD=11，AD ∥BC ，AB=CD∴∠DAE=∠BEA ，∠ADF=∠CFD∵AE 平分∠BAD ，DF 平分∠ADC∴∠DAE=∠BAE ，∠ADF=∠CDF∴∠BEA=∠BAE ，∠CFD=∠CDF∴BE=AB ，CF=CD∴BE=AB= CD= CF∵BE ＋CF=BC ＋EF∴2AB=11＋5解得：AB=8；②当AE 和DF 不相交时，如下图所示。

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八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题提高题检测试卷一、选择题1．对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n.”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n．甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取13n=．乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14．丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的22倍时就可移转过去；结果取13n=．下列正确的是（）A．甲的思路错，他的n值对B．乙的思路和他的n值都对C．甲和丙的n值都对D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对2．如图，菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，∠DAB＝60°，作DH⊥AB于点H，连接OH，则OH的长为（）A．2 B．3 C．23D．433．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上的一点，且AB=AE，过点A作AF⊥BE，垂足为F，交BD于点G，点H在AD上，且EH∥AF.若正方形ABCD的边长为2，下列结论：①OE=OG；②EH=BE；③AH=222-，其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个4．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B 落在点B ′处，当△CEB′为直角三角形时，BE 的长为( )A ．3B ．32C ．2或3D ．3或325．如图，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD ，小明从顶点A 沿着花坛间小路直到走到长边中点O ，再从中点O 走到正方形OCDF 的中心1O ，再从中心1O 走到正方形1O GFH 的中点2O ，又从中心2O 走到正方形2O IHJ 的中心3O ，再从中心3O 走到正方形3O KJP 的中心4O ，一共走了312m ，则长方形花坛ABCD 的周长是（）A ．36mB ．48mC ．96mD ．60m6．如图，点E 是正方形ABCD 外一点，连接AE 、BE 和DE ，过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，PB ＝3．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②EB ⊥ED ；③点B 到直线AE 的距离为7；④S 正方形ABCD ＝8+14．则正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，△ABC 的周长为19，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，若BC=7，则MN 的长度为（）A ．3 2B．2 C．52D．38．如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，过点E作EF∥CD，交AD于F，交对角线BD于G，取DG的中点H，连结AH，EH，FH．下列结论：①∠EFH＝45°；②△AHD≌△EHF；③∠AEF+∠HAD＝45°；④若BEEC＝2，则1113=BEHAHESS．其中结论正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④9．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点P在边AD上从点A到点D运动，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BD于点F，已知AB=3，AD=4，随着点P的运动，关于PE+PF的值，下面说法正确的是（）A．先增大，后减小B．先减小，后增大C．始终等于2.4 D．始终等于3 10．如图，矩形ABCD中，,AC BD相交于点O，过点B作BF AC⊥交CD于点F，交AC于点M，过点D作//DE BF交AB于点E，交AC于点N，连接,FN EM．则下列结论：①DN BM=；②//EM FN；③AE FC=；④当AO AD=时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题11．如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为．12．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点，点E 、F 分别是直线AB 、AC 上的动点，∠EDF ＝90°，M 、N 分别是EF 、AC 的中点，连结AM 、MN ，若AC =6，AB =5，则AM -MN 的最大值为________．13．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A ，B 两点，“九曲桥”的每一段与AC 平行或BD 平行，若AB ＝100m ，∠A ＝∠B ＝60°，则此“九曲桥”的总长度为_____．14．如图，在等边ABC 和等边DEF 中，FD 在直线AC 上，33,BC DE ==连接,BD BE ，则BD BE +的最小值是______．15．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①∠AED ＝∠CED ；②OE ＝OD ；③BH ＝HF ；④BC ﹣CF ＝2HE ；⑤AB ＝HF ，其中正确的有_____．16．如图,在平面直角坐标系中,直线112y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ，则D 点坐标是_______；在y 轴上有一个动点M ，当MDC △的周长值最小时，则这个最小值是_______．17．如图，矩形ABCD 的面积为36，BE 平分ABD ∠，交AD 于E ，沿BE 将ABE ∆折叠，点A 的对应点刚好落在矩形两条对角线的交点F 处．则ABE ∆的面积为________．18．如图，在ABC 中，D 是AB 上任意一点，E 是BC 的中点，过C 作//CF AB ,交DE 的延长线于F ，连BF ,CD ，若30FDB ∠=︒，45ABC ∠=︒，22BC =，则DF =_________．19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 为平面内动点，且满足AD ＝4，连接BD ，取BD 的中点E ，连接CE ，则CE 的最大值为_____．20．如图所示，在四边形ABCD 中，顺次连接四边中点E 、F 、G 、H ，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD 添加一个条件，使四边形EFGH 成一个菱形，这个条件是__________．三、解答题21．如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别为OB 、OD 的中点，延长AE 至G ，使EG AE =，连接CG ．（1）求证：AOE COF ∆≅∆；（2）四边形EGCF 是平行四边形吗？请说明理由；（3）若四边形EGCF 是矩形，则线段AB 、AC 的数量关系是______．22．如图，在Rt ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动．同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是ts （0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ．（1）求证：AE ＝DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由；（3）当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．23．综合与探究如图1,在ABC ∆中,ACB ∠为锐角,点D 为射线BC 上一点,连接AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ,解答下列问题:（1）研究发现:如果AB AC =,90BAC ∠=︒①如图2,当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合）,线段CF 、BD 之间的数量关系为______,位置关系为_______．②如图3,当点D 在线段BC 的延长线上时,①中的结论是否仍成立并说明理由．（2）拓展发现:如果AB AC ≠,点D 在线段BC 上,点F 在ABC ∆的外部,则当ACB =∠_______时,CF BD ⊥．24．综合与实践．问题情境：如图①，在纸片ABCD □中，5AD =，15ABCD S =，过点A 作AE BC ⊥，垂足为点E ，沿AE 剪下ABE △，将它平移至DCE '的位置，拼成四边形AEE D '．独立思考：（1）试探究四边形AEE D '的形状．深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片AEE D '中，在EE '．上取一点F ，使4EF =，剪下AEF ，将它平移至DE F ''的位置，拼成四边形AFF D '，试探究四边形AFF D '的形状；拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形AFF D '的两条对角线长；（4）若四边形ABCD 为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论．25．如图1所示，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E ，F 分别在正方形的边CB ，CD 上，连接AE 、AF ．(1)求证：AE ＝AF ；(2)取AF 的中点M ，EF 的中点N ，连接MD ，MN ．则MD ，MN 的数量关系是，MD 、MN 的位置关系是(3)将图2中的直角三角板ECF ，绕点C 旋转180°，如图3所示，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．26．如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接,CP 将线段CP 绕点C 顺时针旋转90,︒得到线段,CQ 连接,BP DQ .()1如图甲，求证：CBP CDQ ∠=∠；()2如图乙，延长BP 交直线DQ 于点E .求证：BE DQ ⊥；()3如图丙，若BCP 为等边三角形，探索线段,PD PE 之间的数量关系，并说明理由.27．共顶点的正方形ABCD 与正方形AEFG 中，AB =13，AE =52．（1）如图1，求证：DG =BE ；（2）如图2，连结BF ，以BF 、BC 为一组邻边作平行四边形BCHF ．①连结BH ，BG ，求BH BG的值； ②当四边形BCHF 为菱形时，直接写出BH 的长．28．已知，如图，在三角形ABC ∆中，20AB AC cm ==，BD AC ⊥于D ，且16BD cm =．点M 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为4/cm s ；同时点P 由B 点出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1/cm s ，过点P 的动直线//PQ AC ，交BC 于点Q ，连结PM ，设运动时间为()t s ()05t <<，解答下列问题：（1）线段AD =_________cm ；（2）求证：PB PQ =；（3）当t 为何值时，以P Q D M 、、、为顶点的四边形为平行四边形？29．如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B 、C 重合），ADE ∆是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，交直线AC 于点F ，连接BE ．（1）判断四边形BCFE 的形状，并说明理由；（2）当DE AB ⊥时，求四边形BCFE 的周长；（3）四边形BCFE 能否是菱形？若可为菱形，请求出BD 的长，若不可能为菱形，请说明理由．30．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC CF 、为邻边作平行四边形ECFG 。

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