选修2-2 第二章 推理与证明(B)

选修2-2 第二章 推理与证明(B)一、选择题1、某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平地上到第一级台阶时有f (1)种走法，从平地上到第二级台阶时有f (2)种走法，……则他从平地上到第n (n ≥3)级台阶 时的走法f (n )等于( )A ．f (n －1)＋1B ．f (n －2)＋2C ．f (n －2)＋1D ．f (n －1)＋f (n －2)2、已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推知扇形面 积公式S 扇等于( ) A.r 22 B.l 22 C.lr2 D ．不可类比3、设凸n 边形的内角和为f (n )，则f (n ＋1)－f (n )等于( )A ．n πB ．(n －2)πC ．πD ．2π4、“∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等．”以上推理的大前提是( )A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形5、设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( ) A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立 B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立 C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立 D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立6、已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2 (a >2)，则( ) A ．p >q B ．p <q C ．p ≥q D ．p ≤q7、已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1c 的值( )C ．可能是零D ．正、负不能确定8、如果x >0，y >0，x ＋y ＋xy ＝2，则x ＋y 的最小值是( )A.32B ．23－2C ．1＋ 3D ．2－ 39、设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A.12n ＋1B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋210、下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色应该是( )A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大11、三个实数a ，b ，c 不全为0的充要条件是( )A ．a ，b ，c 都不是0B ．a ，b ，c 中至多有一个是0C ．a ，b ，c 中只有一个是0D ．a ，b ，c 中至少有一个不是012、平面内原有k 条直线，它们的交点个数记为f (k )，则增加了一条直线后，它们的交点个数最多为( ) A ．f (k )＋k B ．f (k )＋1二、填空题13、已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33＝________.14、若不等式(－1)na <2＋(－1)n ＋1n 对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 ________．15、由“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是__________________________________________________．16、从1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，概括出第n 个式子为____________．三、解答题17、已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＝1－12b n .(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较1b n与S n ＋1的大小，并说明理由．18、已知a 、b 、c 是不等正数，且abc ＝1，求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.19、把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．20、函数列{f n(x)}满足f1(x)＝x(x>0)，f n＋1(x)＝f1[f n(x)]．1＋x2(1)求f2(x)、f3(x)；(2)猜想f n(x)的表达式，并证明．21、在不等边△ABC 中，A 是最小角，求证：A <60°.22、 先解答(1)，再通过类比解答(2)．(1)求证：tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ；(2)设x ∈R 且f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，试问f (x )是周期函数吗？证明你的结论．以下是答案 一、选择题1、D [到第n 级台阶可分两类：从第n －2级一步到第n 级有f (n －2)种走法，从第n－1级到第n 级有f (n －1)种走法，共有f (n －1)＋f (n －2)种走法．]2、C [由扇形的弧与半径类比于三角形的底边与高可知选C.]3、C [作凸(n ＋1)边形的一条对角线，使之成为一个凸n 边形和一个三角形．]4、B [从小前提和结论来看其大前提是矩形都是对角线相等的四边形．]5、D [由题设f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，因此，对于A 不一定有k ＝1,2时成立． 对于B 、C 显然错误．对于D ，∵f (4)＝25>42，因此对于任意的k ≥4， 有f (k )≥k 2成立．]6、A [∵p ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2≥4， q ＝2－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2＋2<4 (a >2)， ∴p >q .]7、B [∵(a ＋b ＋c )2＝0，∴ab ＋bc ＋ac ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)<0.又abc >0，∴1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋acabc <0.]8、B [由x >0，y >0，x ＋y ＋xy ＝2，则2－(x ＋y )＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0， ∴x ＋y ≥23－2或x ＋y ≤－2－2 3. ∵x >0，y >0，∴x ＋y 的最小值为23－2.]9、D [f (n ＋1)－f (n )＝(1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2)－(1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n )＝1＋1－1＝1－1.]10、A [由图知：三白二黑周而复始相继排列，因36÷5＝7余1，所以第36颗应与第1颗珠子的颜色相同，即为白色．]11、D12、A [增加一条直线后，最多和原来的k 条直线都相交，有k 个交点，所以交点个数最多为f (k )＋k .]二、填空题 13、3解析 a 1＝3，a 2＝6，a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3，a 8＝6，归纳出每6 项一个循环，则a 33＝a 3＝3.14、－2≤a <32解析 当n 为偶数时，a <2－1n，而2－1n ≥2－12＝32，∴a <32.当n 为奇数时，a >－2－1n，而－2－1n<－2，∴a ≥－2.综上可得－2≤a <32.15、正棱锥各侧面与底面所成二面角相等，各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等解析 等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比．16、1－4＋9－16＋…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋1·(1＋2＋…＋n )解析 式子左边是正、负相间，奇数项为正，偶数项为负，所以用(－1)n －1调节，左子 右边是前n 个正整数的和，奇数项为正，偶数项为负，用(－1)n ＋1调节．三、解答题17、解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝12，a 2a 5＝27.因为{a n }的公差大于0，所以a 5>a 2， 所以a 2＝3，a 5＝9.所以d ＝a 5－a 23＝9－33＝2，a 1＝1，即a n ＝2n －1.因为T n ＝1－12b n ，所以b 1＝23.当n ≥2时，T n －1＝1－12b n －1，1⎛⎫1梦想不会辜负每一个努力的人化简得b n ＝13b n －1.所以{b n }是首项为23，公比为13的等比数列，即b n ＝23·⎝⎛⎭⎫13n －1＝23n .所以a n ＝2n －1，b n ＝23n .(2)因为S n ＝1＋(2n －1)2×n ＝n 2，所以S n ＋1＝(n ＋1)2，1b n ＝3n 2.下面比较1b n与S n ＋1的大小：当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，所以1b 1<S 2，当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，所以1b 2<S 3，当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，所以1b 3<S 4，当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，所以1b 4>S 5，猜想：n ≥4时，1b n >S n ＋1.下面用数学归纳法证明： ①当n ＝4时，已证．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时， 1b k >S k ＋1，即3k2>(k ＋1)2， 那么，1b k ＋1＝3k ＋12＝3·3k 2>3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3＝(k 2＋4k ＋4)＋2k 2＋2k －1>[(k ＋1)＋1]2 ＝S (k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，1b n>S n ＋1也成立．由①②可知，对任何n ∈N *，n ≥4，1b n>S n ＋1都成立．综上所述，当n ＝1,2,3时，1b n<S n ＋1，当n ≥4时，1b n>S n ＋1.18、证明 ∵a 、b 、c 是不等正数，且abc ＝1，∴a ＋b ＋c ＝1bc＋1ca＋1ab<1b ＋1c 2＋1c ＋1a 2＋1a ＋1b 2梦想不会辜负每一个努力的人＝1a ＋1b ＋1c. 故a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c .19、解 (1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．结论是正确的：证明如下： 设α∥β，且γ∩α＝a ，则必有γ∩β＝b ，若γ与β不相交，则必有γ∥β， 又α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a 矛盾， ∴必有γ∩β＝b .(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误 的，这两个平面也可能相交．20、(1)解 f 1(x )＝x1＋x 2(x >0)，f 2(x )＝x1＋x 21＋x 21＋x 2＝x1＋2x 2，f 3(x )＝x 1＋2x 21＋x 21＋2x 2＝x1＋2x 2＋x 2＝x1＋3x 2.(2)猜想f n (x )＝x1＋nx 2，下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，命题显然成立．②假设当n ＝k 时，f k (x )＝x1＋kx2，那么f k ＋1(x )＝x 1＋kx 21＋x 21＋kx 2＝x1＋kx 2＋x 2＝x1＋(k ＋1)x 2.这就是说，当n ＝k ＋1时命题成立．由①②，可知f n (x )＝x1＋nx 2对所有n ∈N *均成立．21、证明 假设A ≥60°，∵A 是不等边三角形ABC 的最小角(不妨设C 为最大角)，∵B >A ≥60°，C >A ≥60°，梦想不会辜负每一个努力的人22、(1)证明 tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝tan x ＋tanπ41－tan x tanπ4 ＝1＋tan x1－tan x；(2)解 f (x )是以4为一个周期的周期函数． 证明如下：∵f (x ＋2)＝f ((x ＋1)＋1)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期函数．。