棱锥台的表面积和体积的计算公式
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答案：C
考点二 根据多面体的直观图求该几何体的表面积、体积
【例2】 正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为8. (1)求此三棱锥的斜高与高； (2)过三条侧棱中点的截面(中截面)把此棱锥分成了一个棱锥 和一个棱台，求得到的棱台的表面积． 思路点拨：顶点S在底面的射影是正三角形ABC的中心O， 而求截得的棱台的表面积关键是侧面积的求解，可直接计算得 到．
经过球面上两点(不是直径端点)的大圆的劣弧长叫做这两 点的球面距离．
来自百度文库
基础自测
1．(2012·绵阳市调研)一个棱锥的 三视图如图所示，则这个棱锥的体积是 ()
A．6 C．24
B．12 D．36
解析：依题意可知，该几何体为四棱锥，底面是矩形，
长和宽分别为4和3，锥体的高为3，∴该棱锥的体积S＝ 1 3
解析：联想到正方体模型，则该球是正方体的内切球，其直 径就是正方体的棱长，则球面上的点到墙角顶点的最短距离等于 球心到正方体一个顶点的距离与球半径的差，也就是正方体的对 角线长与球直径的差的一半．
答案：( 3－1)a
考点探究
考点一 根据简单多面体的三视图求该几何体的侧(表)面积、
体积 【例1】 (2012·安徽卷)某几何体的三视图如图所示，该几 何体的表面积是________．
思路点拨：根据三视图还原出几何体，确定该几何体的形 状，然后再根据几何体的形状计算出表面积．
解析：该几何体是底面为直角梯形，高为 4 的直四棱柱，
它的表面积是
S
＝
2×
1 2
×(2
＋
5)×4
＋
(2
＋
5
＋
4
＋
42＋5－22)×4＝92.
答案：92
点评：这一类题型不直接给出几何体的特征元素的长度， 如只给出三视图的数据、旋转体的轴截面图形或侧面展开图的 图形．这需通过题设条件，想象出原几何体的形状(或作出原几 何体的直观图)，进而求解出相关条件，最终使问题获解．
几何体 名称
侧面展 开图 形状
直棱柱 矩形
正n棱锥
正n棱台
n个全等的等腰 n个全等的等腰
三角形
梯形
侧面展 开图
二、空间简单几何体的侧面积和表面积
1．直棱柱：S侧＝___C__h___(C为底面周长，h是高)，S表＝
S_侧__＋__2_S_底_.
1
2．正棱锥：S侧＝___2_C_h_′__(C为底面周长，h′是斜高)，S表
＝_S_侧__＋__S_底_. 3．正棱台：
S侧＝_12_(_C_＋__C__′)_h_′__(C′，C为上、下底面周长，
h′是斜高)，S表＝_______S_侧_＋__S_上__底_＋_.S下底
4．圆柱：S侧＝_C_l＝__2_π__rl_ (C为底面周长，r是底面圆的半径，
l是母线长)，S表＝_____S_侧_＋__2_S. 底 1
5．圆锥：S侧＝_2__C_l＝__π__rl_ (C为底面周长，r是底面圆的半 径，l是母线长)，S表＝_S_侧_＋__S__底_.
6．圆台：S侧＝__12___(_C_＋__C_′_)l_＝__π_(_r_＋__r′_)_l __(C′，C分别是上、 下底面周长，r′，r分别是上、下底面圆的半径，l是母线长)，S 表＝________S_侧_＋__S_上_底__＋. S下底
第八章 立体几何与空间向量
第三节 空间简单几何体的表面积和 体积
考纲要求
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不 要求记忆公式)，并会求它们以及它们的简单组合体的表面积和 体积.
课前自修
知识梳理 一、空间简单几何体的侧面展开图的形状
几何体名称
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图 形状
矩形
扇形
扇环
侧面展开图
解析：(1)如图，O是S在底面的射影，
SO 即是高，连接 AO 并延长交 BC 于 E，连接 SE，OB，在三棱 锥 SOBE 中，各面都是直角三角形．SE 即是斜高，BO＝32× 23×6 ＝2 3，SO2＝SB2－OB2＝64－12＝52⇒SO＝2 13，SE2＝SB2
1．长方体表面积公式：S＝2(ab＋bc＋ac)，长方体体积公 式：V＝___a_b_c___.
2．正方体表面积公式：S＝___6_a_2___，正方体体积公式： V＝____a_3 ___.
3．长方体对角线长等于 a2＋b2＋c2，正方体对角线长等 于____3_a___．
五、两点的球面距离：(属知识拓展)
于长方体的体对角线，∴2R＝ 6a.∴S 球＝4πR2＝6πa2.故选 B.
答案：B
3．(2012·中山市四校联考)一个几何体的三视图及其尺寸如 下图所示，其中正(主)视图是直角三角形，侧(左)视图是半圆，俯 视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是____________cm3.
解析：将一个圆锥沿轴截面截开成两部分，将其中一部分的
截面放在水平面上，这样的半圆锥的三视图满足题设条件．该半
圆锥的底面是半圆，面积为12π×12＝π2，高为正视图中的长度 2 2，
∴体积为13×π2×2 2＝ 32π(cm3)．
答案：
2π 3
4．(2011·佛山市南海一中检测)半径为a的球放在墙角，同 时与两墙面及地面相切，两墙面互相垂直，则球面上的点到墙 角顶点的最短距离是________.
×(3×4)×3＝12.故选B.
答案：B
2．(2012·东北三校联考)设长方体的长、宽、高分别为2a， a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．3πa2
B．6πa2
C．12πa2
D．24πa2
解析：由于长方体的长、宽、高分别为 2a，a，a，则长方体
的对角线长为 2a2＋a2＋a2＝ 6a.又长方体外接球的直径 2R 等
7．球：S表＝__4_π_R__2 __(R是球的半径)．
三、空间简单几何体的体积公式
1．柱体体积公式：V柱＝___S_底__h__，其中h为柱体的高． 1
2．锥体体积公式：V锥＝__3__S_底_h__，其中h为锥体的高． 3．球的体积公式：V球＝__43_π__R_3__，其中R表示球的半径．
四、长方体、正方体的对角线长、表面积和体积公式
变式探究
1．(2012·厦门市期末)已知体
积为 3 的正三棱柱(底面是正三
角形且侧棱垂直底面)的三视图如 图所示，则此三棱柱的的高为 ()
1 A.3
2 B.3
C．1
4 D.3
解析：由俯视图的高等于侧视图的宽，正三棱柱的底面三角 形高为 3，故边长为 2.设正三棱柱的高为 h，则由正三棱柱的体 积公式，有 3＝12×2× 3×h，解得 h＝1.故选 C.
考点二 根据多面体的直观图求该几何体的表面积、体积
【例2】 正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为8. (1)求此三棱锥的斜高与高； (2)过三条侧棱中点的截面(中截面)把此棱锥分成了一个棱锥 和一个棱台，求得到的棱台的表面积． 思路点拨：顶点S在底面的射影是正三角形ABC的中心O， 而求截得的棱台的表面积关键是侧面积的求解，可直接计算得 到．
经过球面上两点(不是直径端点)的大圆的劣弧长叫做这两 点的球面距离．
来自百度文库
基础自测
1．(2012·绵阳市调研)一个棱锥的 三视图如图所示，则这个棱锥的体积是 ()
A．6 C．24
B．12 D．36
解析：依题意可知，该几何体为四棱锥，底面是矩形，
长和宽分别为4和3，锥体的高为3，∴该棱锥的体积S＝ 1 3
解析：联想到正方体模型，则该球是正方体的内切球，其直 径就是正方体的棱长，则球面上的点到墙角顶点的最短距离等于 球心到正方体一个顶点的距离与球半径的差，也就是正方体的对 角线长与球直径的差的一半．
答案：( 3－1)a
考点探究
考点一 根据简单多面体的三视图求该几何体的侧(表)面积、
体积 【例1】 (2012·安徽卷)某几何体的三视图如图所示，该几 何体的表面积是________．
思路点拨：根据三视图还原出几何体，确定该几何体的形 状，然后再根据几何体的形状计算出表面积．
解析：该几何体是底面为直角梯形，高为 4 的直四棱柱，
它的表面积是
S
＝
2×
1 2
×(2
＋
5)×4
＋
(2
＋
5
＋
4
＋
42＋5－22)×4＝92.
答案：92
点评：这一类题型不直接给出几何体的特征元素的长度， 如只给出三视图的数据、旋转体的轴截面图形或侧面展开图的 图形．这需通过题设条件，想象出原几何体的形状(或作出原几 何体的直观图)，进而求解出相关条件，最终使问题获解．
几何体 名称
侧面展 开图 形状
直棱柱 矩形
正n棱锥
正n棱台
n个全等的等腰 n个全等的等腰
三角形
梯形
侧面展 开图
二、空间简单几何体的侧面积和表面积
1．直棱柱：S侧＝___C__h___(C为底面周长，h是高)，S表＝
S_侧__＋__2_S_底_.
1
2．正棱锥：S侧＝___2_C_h_′__(C为底面周长，h′是斜高)，S表
＝_S_侧__＋__S_底_. 3．正棱台：
S侧＝_12_(_C_＋__C__′)_h_′__(C′，C为上、下底面周长，
h′是斜高)，S表＝_______S_侧_＋__S_上__底_＋_.S下底
4．圆柱：S侧＝_C_l＝__2_π__rl_ (C为底面周长，r是底面圆的半径，
l是母线长)，S表＝_____S_侧_＋__2_S. 底 1
5．圆锥：S侧＝_2__C_l＝__π__rl_ (C为底面周长，r是底面圆的半 径，l是母线长)，S表＝_S_侧_＋__S__底_.
6．圆台：S侧＝__12___(_C_＋__C_′_)l_＝__π_(_r_＋__r′_)_l __(C′，C分别是上、 下底面周长，r′，r分别是上、下底面圆的半径，l是母线长)，S 表＝________S_侧_＋__S_上_底__＋. S下底
第八章 立体几何与空间向量
第三节 空间简单几何体的表面积和 体积
考纲要求
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不 要求记忆公式)，并会求它们以及它们的简单组合体的表面积和 体积.
课前自修
知识梳理 一、空间简单几何体的侧面展开图的形状
几何体名称
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图 形状
矩形
扇形
扇环
侧面展开图
解析：(1)如图，O是S在底面的射影，
SO 即是高，连接 AO 并延长交 BC 于 E，连接 SE，OB，在三棱 锥 SOBE 中，各面都是直角三角形．SE 即是斜高，BO＝32× 23×6 ＝2 3，SO2＝SB2－OB2＝64－12＝52⇒SO＝2 13，SE2＝SB2
1．长方体表面积公式：S＝2(ab＋bc＋ac)，长方体体积公 式：V＝___a_b_c___.
2．正方体表面积公式：S＝___6_a_2___，正方体体积公式： V＝____a_3 ___.
3．长方体对角线长等于 a2＋b2＋c2，正方体对角线长等 于____3_a___．
五、两点的球面距离：(属知识拓展)
于长方体的体对角线，∴2R＝ 6a.∴S 球＝4πR2＝6πa2.故选 B.
答案：B
3．(2012·中山市四校联考)一个几何体的三视图及其尺寸如 下图所示，其中正(主)视图是直角三角形，侧(左)视图是半圆，俯 视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是____________cm3.
解析：将一个圆锥沿轴截面截开成两部分，将其中一部分的
截面放在水平面上，这样的半圆锥的三视图满足题设条件．该半
圆锥的底面是半圆，面积为12π×12＝π2，高为正视图中的长度 2 2，
∴体积为13×π2×2 2＝ 32π(cm3)．
答案：
2π 3
4．(2011·佛山市南海一中检测)半径为a的球放在墙角，同 时与两墙面及地面相切，两墙面互相垂直，则球面上的点到墙 角顶点的最短距离是________.
×(3×4)×3＝12.故选B.
答案：B
2．(2012·东北三校联考)设长方体的长、宽、高分别为2a， a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．3πa2
B．6πa2
C．12πa2
D．24πa2
解析：由于长方体的长、宽、高分别为 2a，a，a，则长方体
的对角线长为 2a2＋a2＋a2＝ 6a.又长方体外接球的直径 2R 等
7．球：S表＝__4_π_R__2 __(R是球的半径)．
三、空间简单几何体的体积公式
1．柱体体积公式：V柱＝___S_底__h__，其中h为柱体的高． 1
2．锥体体积公式：V锥＝__3__S_底_h__，其中h为锥体的高． 3．球的体积公式：V球＝__43_π__R_3__，其中R表示球的半径．
四、长方体、正方体的对角线长、表面积和体积公式
变式探究
1．(2012·厦门市期末)已知体
积为 3 的正三棱柱(底面是正三
角形且侧棱垂直底面)的三视图如 图所示，则此三棱柱的的高为 ()
1 A.3
2 B.3
C．1
4 D.3
解析：由俯视图的高等于侧视图的宽，正三棱柱的底面三角 形高为 3，故边长为 2.设正三棱柱的高为 h，则由正三棱柱的体 积公式，有 3＝12×2× 3×h，解得 h＝1.故选 C.