圆锥曲线综合高考实战篇圆锥曲线实用讲义

①； 又 C1 与 C2 的公共弦长为 2 6 ，C1 与 C2 都关于 y 轴对称，且 C1 的方程为 C1 : x2 4 y ，由此易知
C1 与 C2 的公共点的坐标为 (
6,
3) 2
，
9 4a
2
6 b2
1
②，
联立①②得 a2
9,b2
8 ，故 C2 的方程为
y2 9
x2 8
1。
（II）如图，设 A(x1, y1), B(x2, y2 ),C(x3, y3), D(x4, y4 ),
9
64 8k 2
，
⑤
将④、⑤代入③，得16(k 2
1)
162 k 3 (9 8k 2)2
4 64 9 8k 2
。即16(k 2
1)
162 9(k 2 1) (9 8k 2)2
所以 (9 8k 2)2 16 9 ，解得 k 6 ，即直线 l 的斜率为 6
4
4
考点：直线与圆锥曲线的位置关系；椭圆的性质
湖北省广水实高 李大丹
目录 第一章 题目信息转化为坐标表达/2
1.1 距离公式与弦长公式/3 1.2 题目核心条件转化为坐标/9 1.3 转化为坐标后，怎么处理/16 第二章 获得点的坐标解决问题/25 2.1 通过表示点的坐标解决问题/25 2.2 怎么获取点的坐标/26 2.3 设点与设直线结合起来/41 第三章 定点定值/49 3.1 什么样的直线过定点/49 3.2 怎么解决直线过定点/50 3.3 圆过定点与定值举例/58 第四章优化计算/60 4.1 反设直线/60 4.2 简化运算的技巧/63
三.圆的弦长公式: 圆的弦长可借助垂径定理与勾股定理来求解：
如图，圆 O 的半径为 R, OE⊥AB,其中 AB 为圆 O 的弦，AB 与直径 CD 交于点 E. |OE|= d ,则 AB=2 R2－d2 计算 d 时，需要使用点到直线的距离公式.
6
(2014 重庆)已知直线 ax＋y－2＝0 与圆心为 C 的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4 相交于两点，且△ABC 为等边三 角形，则实数 a ＝
⇒ ky2－4 y＋4m＝0
y1y2＝4km＝－16 ⇒ m＝－4k
代入到直线方程 ⇒ y＝kx－4k ＝k (x－4) ⇒ 直线过(4,0)
首先说一说为什么有些题要使用韦达定理解决：
拿椭圆来说
y=kx＋m xa22＋yb22＝1
联立得(b 2＋a 2 k 2 )x 2＋2kma2 x＋a 2 (m2－b2 )＝0
2
关的坐标形式。 总之，韦达定理是一个桥梁，它连接了题干中的条件与方程中的参数。所以我们第一章的所有题的总思 路，都是先把题目信息坐标化，然后联立直线与曲线，最 后使用韦达定理。
1.1 距离公式与弦长公式 一，距离公式 假设 A(xA , yA ), B(xB , yB ) ，则 A, B 之间的距离： |AB|＝ (xA－xB)2＋ (yB－yA)2 ＝ 1＋kAB2|xA－xB|＝ 1＋kA1B2|yA－yB| 1.距离公式源于两点间距离公式，任何时候都能用，不 是非得与曲线联立才能用，只要找横（纵）坐标
1＋(－1)2 |－2－x1＋x2 |＝
k
2
1＋(－1)2 |2＋x1＋x2 |
k
2
|AB|＝ 1＋k2 |xA－xB|＝ 1＋k2 |x1－x2|
接下来的任务就是联立
x2＋y2＝1 2 y＝k (x－1)
, 使用韦达定理代换的过程了
答案：k＝±1
对距离公式的理解：不需要求解 P 点的纵坐标来算距离，只需要两个横坐标以 及斜率即可。
5 21x 2－40x＋15＝0 其中 x1 x2＝1251=75 x1＋x2＝4201 . 第三步：使用韦达定理
|FA|·| FB|＝2 |x1 x2－2(x1＋x2 )＋4|
学会使用方法，答案略。
思考：解答使用的是关于 x 的距离公式，我们能否使用关于 y 的距离公式？
答：|FA|＝ 1＋kA1B2 |yA－yB| ＝ 2|yA| , |FB|＝ |FA|·| FB|＝2|yAyB|＝2|y1y2|
而韦达定理
x1＋x2＝－b
2kma2 2＋a 2 k
2
, x1x2＝ab22(＋ma2－2 kb22)
可以观察到：
第一，可以看出韦达定理右侧的式子跟椭圆与直线中的 a 2 , b 2 , k, m 这些参数有关。 而我们题目中往
往会要求我们求这些参数或者参数的范围。 第二，题目中核心条件往往可以转化为与 x1 , x2 , y1 , y2 有
和斜率 共计三个量即可表示距离。 2.如果 A 与 B 是曲线上的两个点，那么上述式子称之为 弦长公式。 3.弦长公式是万用的，只要是直线与曲线有两个交点 A, B. 都可以用上述式子计算弦长。
我们看下面两个例子： 例：椭圆 x2＋y2＝1 的右焦点为 F，斜率为 2 且过点 F 的直线 l , 与该椭圆相交于 A, B 两点,
1
第一章 题目信息转化为坐标表达 第一章 题目信息转化为坐标表达/2
1.1 距离公式与弦长公式/3 1.2 题目核心条件转化为坐标/9 1.3 转化为坐标后，怎么处理/16 总思路：
1. 联立直线与曲线并且判断Δ>0 ⇒ 使用韦达定理得到 x1＋x2＝ , x1x2＝
(绝大部分学生能做到) 2. 题目中核心信息 ⇒ 坐标表达式 (本课需要解决的问题，也是学生感觉最杂的问题。通过收集，归纳，整理可以解决。建议学生准备一个 活页本，把试卷作业，例题都抄录下来，核心部分用红笔加注，每过一段时间回顾一下，并把同类题归 类。到高三下学期，自成体系，圆锥曲线大题可以满分。) 3. 计算表达式 (后期学生最缺的能力，圆锥曲线最难算的部分，学生最头痛的位置。建议初学者一定要心平气和对待， 计算要一步三回头！！)
5 求 |FA|| FB|
解析：第一步：题目信息坐标化：
设 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ),因为 F( 2,0 ) |FA|＝ 1＋kFA2 |xA－xF|＝ 1＋2 2 |x1－2| | FB|＝ 1＋kFB2 |xB－xF|＝ 1＋2 2 |x2－2| |FA|·| FB|＝5| x1－2| |x2－2 |＝5 |x1 x2－2Leabharlann Baidux1＋x2 )＋4| 第二步：联立所得直线 y＝2x－2 与椭圆 x2＋y2＝1 得
注意： 1. 如果直线过焦点 F，则不必使用弦长公式，而是使用 更快捷的焦半径公式。 2. 不要盲目使用，直线不过焦点的话，我们还是得乖乖 的使用万能的弦长公式。
4
例：过点 M(2，0)作直线 l 与抛物线 y 2＝4x 交于 A,B 两点，其中直线的斜率为 1，求|AB |
例：过点 M(1，0)作直线 l 与抛物线 y 2＝4x 交于 A,B 两点，其中直线的斜率为 1，求|AB |
思路：结合图像：△ ABC 等边，且圆的半径为 2.所以 AB=2.所以圆心到直线的
距离为 3,又圆心(1, a)到直线 ax＋y－2＝0 的距离 d = 2a-2 a2+1
解得 a=4± 15
x2
(2014 陕西文)已知椭圆
a2
y2 b2
1(a
b
0) 经过点 (0,
3) ，离心率为 1 ，左右焦点分别为 2
第五章 面积与最值/66 5.1 三角形的面积表达/66 5.2 求最值之变量化一/77 5.3 求最值之均值不等式/79 5.4 求最值之借助导数/83
第六章 切线/86 第七章 轨迹方程/98 第八章 借助几何分析解决问题/108 第九章 探索类问题/136 第十章 对称问题/143 第十一章 弦中点与点差法/149
由
x2
4y
得 x2 4kx 4 0 ，由 x1, x2 是这个方程的两根， x1 x2 4k , x1x2 4 ④
y kx 1
由 x2
8
y2 9
得 (9 8k 2) x2 1
16kx 64
0 ，而 x3, x4
是这个方程的两根，
x3
x4
16k 9 8k 2
, x3x4
二. 抛物线中的弦长公式 ①已知抛物线 y 2＝2px ( p＞0),过焦点 F 的直线与抛物线交于 A, B 两点 设 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 )，那么 |AF |＝x1＋p2 |BF |＝x2＋p2 |AB | ＝|AF |＋|BF |＝x1＋x2＋p ②已知抛物线 x 2＝2py ( p＞0),过焦点 F 的直线与抛物线交于 A, B 两点 设 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 )，那么 同理：|AB | ＝|AF |＋|BF |＝y1＋y2＋p
交于 C, D 两点，且 AC 与 BD 同向。
（I）求 C2 的方程；
（II）若 AC BD ，求直线 l 的斜率。
【答案】（I） y2 x2 1 ；(II)
6
.
98
4
试题解析：（I）由 C1 : x2 4 y 知其焦点 F 的坐标为 (0,1) ，因为 F 也是椭圆 C2 的一个焦点，所以 a2 b2 1
例：抛物线 y2=4x ，与直线 l 交于 A, B, 且 OA⊥OB, 求证 AB 过定点
设直线 AB 为：y=kx+m, A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ).
OA⊥OB ⇒ x1x2 + y1y2＝0 ⇒
y12·y22 44
＋y1y2＝0
⇒
y1y2＝－16
联立 y=kx＋m y2=4x
提示：代数不行几何来帮忙，即|AC|=|BD |⇔|AB|=|CD| (等量加等量，和相等) 建议记住的内容(你会发现节约大量运算时间的)： 设椭圆 xa22＋yb22＝1 与直线 y=kx+m 交于 A, B 两点 则|AB|＝ 1＋k2 |xA－xB| 二次项系数指的是直线与椭圆联立后 x2 的系数.
和 AB 于点 P,C,已知 |PC|＝2 |AB|，求 k
思路：设 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), A,B 的中点为 C( x1＋x2 , y1＋y2 ),
2
2
设直线 AB 为 y＝k (x－1),
因为 PC⊥AB，所以 k PC＝－1k
|PC|＝ 1＋kPC2 |xP－xC|＝
学习资料分享
[公司地址]
前言
编者编写本书的初衷是以学生为中心，实用性优先，没有花里胡哨的冗杂 结论。本书筛选了 2010-2018 年的各地高考圆锥曲线大题并适当归类讲解，删 去了思维跨度大， 计算量极高的题，总计一百余题。考虑到高中生学习繁忙， 编者尽可能的将本书压缩到了一百余 页，并结合丰富的举例，偏向于去教学生 怎么思考，往哪个方向思考，怎么去分析思路，并予以 启发。 不建议基础知识不牢且计算功底弱的学生看这本书，否则效果适得其反。 如果连一些基本算理都 搞不清的话，则是开卷无益。 本书前半部分的讲解足以解决后半部分的习题，所以后半部分则以题目为 主，部分内容借鉴了网 上公开的免费视频与免费文档，对其分享的思路表示非 常感谢！另外，编者对于圆锥曲线的第二 第三定义及其衍生的结论并没有去细 致讲解，请同学们依据课本自行完善。 由于本书核心部分来自孙斌老师。我做二次处理而成，加入了答案和少量自己的见解。如有疏漏 与错误，还请包涵与指正。 QQ:21113823
例：已知曲线 C：y 2＝4x，已知过点（1，0）的直线与曲线 C 交于 A,B 两点
求证： 1 AF
＋1 BF
=1
【2015
湖南文】已知抛物线 C1
: x2
4 y 的焦点 F
也是椭圆 C2
:
y2 a2
x2 b2
1
(a b 0) 的一个焦点， C1 与 C2 的公共弦长为 2 6 ，过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A, B 两点，与 C2 相
1＋kA1B2 |yA－yB| ＝ 2|yB|
3
这里我们观察到 :由于 F 点的纵坐标是 0, 使用关于 y 的 距离公式的话，结果变得非常简洁.联立时只需要消 去 x, 保留 y.这给我们的经验就是：可以留心有没有 纵 坐标为 0，使得距离公式大幅简化.
【2015 江苏】知椭圆 x2＋y2＝1,过右焦点 F 的直线 l 与椭圆交于 A, B 两点，AB 的垂直平分线交 x＝－2 2
因 AC 与 BD 同向，且 AC BD ，
所以 AC BD ，
从而 x3 x1 x4 x2 ，即 x3 x4 x1 x2 ，
于是 (x3 x4 )2 4x3x4 (x1 x2 )2 4x1x2
③
设直线 l 的斜率为 k ，则 l 的方程为 y kx 1，
5
y kx 1