图解羟基磷灰石晶列和晶面指数
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第三节 晶列和晶面指数
Solid State Physics
简单立方晶格的晶向标志 —— 由于立方晶格的对称性，以上3组晶向是等效的 —— 表示为
100 110 111
Department of Physics, Northwest University
Solid State Physics
Solid State Physics
2 晶向指数 (direction indices)
一组能表示晶列方向的数称为晶向指数。 晶向指数可根据晶列上格点的周期性，用如下的方法来表标志：
取晶列直线上一格点为坐标原点，该晶列上另一格点相对该点的
位矢为：
R l ' l1 ' a 1 l 2 ' a 2 l 3 ' a 3
，得第一晶面满足的方程组：
co s( a 1 , n ) d
co s( a 2 , n ) d
（1.3.4）
1 h3
co s( a 3 , n ) d
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Solid State Physics
晶面的标志 晶体的晶面 —— 在布拉伐格子中作一簇平行的平面 这些相互平行、等间距的平面可以 将所有的格点包括无遗
—— 这些相互平行的平 面称为晶体的晶面
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Solid State Physics
同一个格子，两组不同的晶面族
C D B A
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晶体学基础(晶向指数与晶面指数)word版本
1.4 晶向指数和晶面指数一晶向和晶面1 晶向晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。
晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。
2 晶面晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。
晶体中原子所构成的平面。
不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。
材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。
所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。
为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。
二晶向指数和晶面指数的确定1 晶向指数的确定方法三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。
(1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。
(2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。
(3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = xa∶yb∶zc。
(4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。
图1 晶向指数的确定方法图2 不同的晶向及其指数当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。
若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P(x1，y1，z1)和Q(x2，y2，z2)，然后将(x1-x2)，(y1-y2)，(z 1-z 2)三个数化成最小的简单整数u ，v ，w ，并使之满足u ∶v ∶w =(x 1-x 2)∶(y 1-y 2)∶(z 1-z 2)。
则[uvw ]为该晶向的指数。
显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。
若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[001]与[010]。
说明： a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。
2.1.5 晶面与晶面指数解析
2
2a 4
已知金属Be晶体属于hP2－Mg（或HCP或六方密堆积）结构类型，
其结构单胞中平均含有两个Be原子，它们的坐标分别为（0，0，0）
和（2/3，1/3，1/2）。（ 1）画出结构单胞并简要说明Be晶体中
有两类不等同的Be原子；（2）写出组成一个基元的各原子坐标，
画出Brawais格子的惯用元胞，写出初基元胞顶点上各格点的坐标；
含有8个Si原子，它们的坐标分别为（0，0，0）、（0，1/2，
1/2）、（1/2，0，1/2）、（1/2，1/2，0）、（1/4，1/4，1/4）、 （1/4，3/4，3/4）、（3/4，1/4，3/4）、（3/4，3/4，1/4）。 （1）画出结构单胞并简要说明Si晶体中有两类不等同的Si原子； （2）写出组成一个基元的各原子坐标，画出Brawais格子的惯用元 胞，写出初基元胞顶点上各格点的坐标；（3）在Brawais格子中标
3a / 3
等效晶面族：类似的指数 称为 １) 、(１１
1
1
１１) 、(１
)
{１１１}
有时，基矢
a1、a2和a3
定义
晶面指数 ：
[h1h2h3 ]
例1：求出bcc Bravais格子(100)晶面族的晶面上的格点数密度和 面间距。
晶
面
格 点 数 面 密 度 bcc
与
（ 101 2） 等价的全部晶面族的具体指数如下：
共计12个等价晶向。
101 2 （ 101 2） （ 101 2） （011 2） （011 2） （1 102 ） （1 102）
共计6个等价晶面。
2a 4
已知金属Be晶体属于hP2－Mg（或HCP或六方密堆积）结构类型，
其结构单胞中平均含有两个Be原子，它们的坐标分别为（0，0，0）
和（2/3，1/3，1/2）。（ 1）画出结构单胞并简要说明Be晶体中
有两类不等同的Be原子；（2）写出组成一个基元的各原子坐标，
画出Brawais格子的惯用元胞，写出初基元胞顶点上各格点的坐标；
含有8个Si原子，它们的坐标分别为（0，0，0）、（0，1/2，
1/2）、（1/2，0，1/2）、（1/2，1/2，0）、（1/4，1/4，1/4）、 （1/4，3/4，3/4）、（3/4，1/4，3/4）、（3/4，3/4，1/4）。 （1）画出结构单胞并简要说明Si晶体中有两类不等同的Si原子； （2）写出组成一个基元的各原子坐标，画出Brawais格子的惯用元 胞，写出初基元胞顶点上各格点的坐标；（3）在Brawais格子中标
3a / 3
等效晶面族：类似的指数 称为 １) 、(１１
1
1
１１) 、(１
)
{１１１}
有时，基矢
a1、a2和a3
定义
晶面指数 ：
[h1h2h3 ]
例1：求出bcc Bravais格子(100)晶面族的晶面上的格点数密度和 面间距。
晶
面
格 点 数 面 密 度 bcc
与
（ 101 2） 等价的全部晶面族的具体指数如下：
共计12个等价晶向。
101 2 （ 101 2） （ 101 2） （011 2） （011 2） （1 102 ） （1 102）
共计6个等价晶面。
1.4晶列、晶面指数
设OA1 r a1 ,OA2 sa 2 ,OA3 t a 3
r a1 n d sa 2 n d ta3 n d
s a cosa , n d t a cosa , n d
r a1cos a 1 , n d
2 2 3 3
标明晶面
13:10 晶面的法线方向(法线方向与三个坐标轴夹角 )
晶面在三个坐标轴上的截距
在原胞基矢坐标系下表示
如图取一格点为顶点，原胞的三个 基矢a1 , a 2 , a 3为坐标系的三个轴，设某 一晶面与三个坐标轴分别交于A1,A2,A3, 设晶面的法线ON交晶面A1A2A3于N， A3
n
N
13:10
AEG 的密勒指数是(111)； OEFG的密勒指数是(001)； DIHG的密勒指数是(120)。 例3:
D
A
c
b
C B I
G
a
O
E
H
F
在立方晶系中画出(210)、 (121) 晶面。
晶面在三个坐标轴上的截距分别为：
a
(210)
1 2
1
b
1
c
1
C E
B D A
a
c
G
b
(121)
1 2
记为[ l1l2 l3]， [ l1l2 l3 ]即为该晶列的晶向指数。
如遇到负数，将该数的上面加一横线。
如[121]表示
l1 1, l2 2, l3 1
13:10
(2)以晶胞基矢表示
在晶胞基矢坐标系中，任一格点R’的位置矢量表示为
R ma nb p c
a , b , c 为晶胞基矢
1.4晶列、晶面指数解析
③ 遇到负数在该数上方加一横线。
11:33
(3)等效晶向 在立方体中有，沿立方边的 晶列一共有6个不同的晶向，由于 [100]
[001]
[010]
[100]
晶格的对称性，这6个晶向并没有
什么区别，晶体在这些方向上的 性质是完全相同的，统称这些方 向为等效晶向，写成<100>。 同样 有12个等效〈110〉 面对角线 k j
D A
c
b
11:33
C
B I
G F
。
在三个坐标 h' 轴上的截距 k' l'
AEG 1
ABCD
1
1
1
O a E H DIHG 2 1
1 1 1 h:k :l : : h k l
1:1:1
(111)
1 1 1 : : 1
(hkl)
(001)
1 1 1 : : 2 1 (120)
三个基矢坐标轴上截距系数的倒数之比。
综上所述，晶面指数(h1h2h3 )表示的意义是；
(1)基矢a1 , a 2 , a 3 被平行的晶面等间距的分割成|h1 |、 |h2|、|h3 |等份； (2)以 a1 , a2 , a3 为各轴的长度单位所求得的晶面指数是在
坐标轴上的截距倒数的互质比；
(3)晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。
记为[ l1l2 l3]， [ l1l2 l3 ]即为该晶列的晶向指数。
如遇到负数，将该数的上面加一横线。
如[121]表示
l1 1, l2 2, l3 1
11:33
(2)以晶胞基矢表示
在晶胞基矢坐标系中，任一格点R’的位置矢量表示为
14晶列晶面指数解析精品PPT课件
:1 s
:1 t
任一晶面族的晶面指数，等于晶面族中任一晶面在 三个基矢坐标轴上截距系数的倒数之比。
综上所述，晶面指数(h1h2h3 )表示的意义是；
(1)基矢a1,a2,a3 被平行的晶面等间距的分割成|h1 |、 |h2|、|h3 |等份；
(2)以 a1 ,a2 ,a3为各轴的长度单位所求得的晶面指数是在
(4)在同一平面内，相邻晶列间的距离相等。
2.晶向指数
2021/1/9
(1) 用固体物理学原胞基矢表示
取原点O，晶格中任一格点的位矢为：
R l1a1 l2 a2 l3 a3
a1,a 2 ,a 3 为固体物理学原胞基矢
其中 l1, l2, l3 为整数，将 l1, l2, l3 化为互质的整数 l1 , l2 , l3 ，
例2：如图所示 abc ，I和H
分别为BC，EF之中点，试求晶面
AEG，ABCD，DIHG的密勒指数
。
在三个坐标 h' 轴上的截距 k'
AEG 1
1
ABCD
l' 1
1
D
2021/1/9
C
A
BI
cG b Oa
F H
E
DIHG
2
1
h:k:l 1 : 1 : 1 h k l
(hkl)
1:1:1 (111)
坐标轴上的截距倒数的互质比；
(3)晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。
实际应用中常用的是以晶胞的基矢 a, b, c为坐标轴 2021/1/9
来表示的晶面指数。方法与上述相同。
以晶胞基矢 a,b,c为坐标轴来表示的晶面指 数称为密勒指数，用(hkl)表示。
例如:某一晶面在a,b,c三轴的截距为4，1，2，则其倒数之
材料科学基础 晶向指数和晶面指数
正交 a≠b≠c α=β=γ=90ο
00:03
5
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西安石油大学材料科学与工程学院
布拉非点阵
材料科学基础
晶系
简单六方
六方 a=b≠c α=β=90ο γ=120ο
简单菱方
菱方 a=b=c α=β=γ≠90ο
简单四方 体心四方
四方 a=b≠c α=β=γ=90ο
简单立方 体心立方 面心立方
立方 a=b=c α=β=γ=90ο
00:03
6
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图例
西安石油大学材料科学与工程学院
材料科学基础
晶体结构和空间点阵的区别:
求[111]·[ 1 10 ]值： [111]·[ 1 10]=[1×（-1）]a2+（1×1）b2+（1×0）c2=-－a2+b2 在立方晶系中由于a=b=c，因此，代入上式即得[111]·[ 1 10 ]=0 所以[111]与（111）互相垂直。
00:03
17
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3) 取各截距的倒数； 4) 将三倒数化为互质的整数比，并加上圆括号，即表示
该晶面的指数，记为( h k l )。
00:03
11
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材料科学基础
晶面指数的表示方法
晶面指数的意义：反映的不是某一个晶面，而是一组相互平行的晶面。 晶面族：原子排列情况相同，面间距也相等，只是空间位向不同的一组晶面， 用｛h k l｝表示。
晶面指数PPT幻灯片课件
正交点阵中一些晶面的晶面指数
17
在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面 必定是互相垂直的。 [110]垂直于(110)，[111]垂直于(111)。
立方晶系(001)面原子排列图
18en1d8
2.1.2.3 六方晶系指数 （1）晶面指数
a1=a2≠c α=β=90° γ=120°
2.1 晶体学基础
u v w 分别为沿三个点阵矢量的 平移量,是阵点P的坐标
晶向指数的表示方法 [uvw]
晶向指数的确定方法： 1、原点 坐标轴 长度单位 2、作平行于待定晶向的直线OP 3、距原点最近阵点P的坐标 4、化为最小整数
2
[_100][01_0][00_1] [100][010][001]
[111] [221] [-1-1-2]
39
2.1.3 晶体的对称性
2.1.3.1 对称元素
a.宏观对称元素
( 2 ) 对称面
与m对应的对称 操作是反映
立方晶系 {100}
对称面
40
在立方晶系中 {110}
2.1.3 晶体的对称性 2.1.3.1 对称元素
a.宏观对称元素
( 2 ) 对称面
[110]
41
2.1.3 晶体的对称性
2.1.3.1 对称元素 a.宏观对称元素
25
晶向族<11-20>
[U V W]与[ u v t w ] 互换关系为：
26
晶向族<1-213>
[1-213] [0-11]
[111] [11-23]
[110] [11-20]
27
画出[1-213] [1-211] 画出[2-1-11]
[0-11]
固体物理1.4晶列 晶面指数
RA 2a1 3a2 0a3
RA 3a1 1a2 1a3
RA 6a1 2a2 2a3
RA 4a1 6a2 0a3
晶 列
Rl l1a1 l2 a2 l3a3 晶胞基矢： Rl ma nb pc
原胞基矢： 晶列指数：
c
(111)
(111) (111)
b
a
面间距相同的晶面族, 其面上的格点的分布相同,称为同族晶面族 { h k l }
晶面指数的计算
• 例1：一个晶面在晶胞的三个基矢坐标轴上的截距分别为 a,b,c,计算该晶面的密勒指数。
截距分别为a,b,c,
截距的倒数为1/1， 1/1，1/1； 则该晶面的密勒指数为(111)。
cos(a1^n) : cos(a2^n) : cos(a3^n)
h3d
h2d
a2 (h1 h2 h3) n a1
= h1/a1 : h2/a2 : h3/a3
ra1· n = ra1cos(a1^n) = ud sa2· n = sa2cos(a2^n) = ud ta3· n = ta2cos(a3^n) = ud cos(a1^n) : cos(a2^n) : cos(a3^n) = 1/ra1 : 1/sa2 : 1/ta3 ta3 a3 ud
截距的倒数为1/2，1/4，0；该晶面的密勒指数为(210)
晶面指数的计算
——晶面族是一族平行且等距的晶面，其中各有一 个晶面通过基矢的两端。从而这族晶面把基矢分别 截成h1，h2，h3个相等的小段，最靠近原点的晶面 的截距为 a1/h1，a2/h2，a3/h3。同族其他晶面的截距 为这组最小截距的整数倍， ——因此，h1, h2, h3 的倒数是晶面族(h1 h2 h3)中最靠 近原点的晶面的截距（天然长度）。
羟基磷灰石结晶度
羟基磷灰石结晶度
羟基磷灰石是一种重要的人工骨替代材料，其结晶度是影响其生物活性和力学性能的重要因素。
在人体内，羟基磷灰石可以与骨组织相似的化学成分和结构，具有良好的生物相容性和可降解性，因此被广泛应用在人工骨修复领域。
羟基磷灰石结晶度是指其晶体结构完整度和相对结晶度的综合评价。
具体来说，结晶度高的羟基磷灰石具有更完整的晶体结构和更高的结晶度，晶粒尺寸小，晶体边缘锐利，表面更光滑。
相反，结晶度低的羟基磷灰石则晶体结构不完整，晶粒尺寸大，晶体边缘呈圆形，表面较粗糙。
影响羟基磷灰石结晶度的因素有很多，主要包括制备方法、烧结温度和添加剂等。
首先，不同的制备方法会对羟基磷灰石的结晶度有不同的影响。
例如，溶胶-凝胶法可以制备高结晶度的羟基磷灰石，而水热法得到的产物结晶度较低。
其次，烧结温度是影响羟基磷灰石结晶度的另一个重要因素。
普遍认为，烧结温度越高，羟基磷灰石的结晶度越高。
但是，烧结温度过高则会导致晶体晶粒长大过快，进而影响其生物活性和降解性能。
最后，添加剂也是影响羟基磷灰石结晶度的因素之一。
添加剂可以促进羟基磷灰石的晶体生长和晶格完整度，从而提高其结晶度。
例如，氨水、HCl和NaF等添加剂可以提高羟基磷灰石的结晶度。
总之，羟基磷灰石结晶度是影响其生物活性和力学性能的重要因素。
制备方法、烧结温度和添加剂等因素都可以影响羟基磷灰石的结晶度。
未来的研究需要深入探究这些影响因素，以更好地理解羟基磷灰石的结晶度对其应用性能的影响。
晶面指数和晶向指数
2）求得待定指数晶面在三个坐标轴上的截距； 3）取各截距的倒数； 4）将三倒数化为互质的整数，并加上圆括号，即表示 该晶面的指数，记为（h k l）。
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1-2 晶体学基础
（2）已知晶面指数确定其标示的晶面 确定步骤： 1）在晶胞中确定坐标原点O，以过原点O的三个棱边为
（二）晶面与晶面指数 1. 晶面
不在同一直线上的三个以上原子所构成的平面。 2. 晶面指数及其表示方法
通常采用密勒指数（Miller Index）来标定晶面 指数。
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1-2 晶体学基础
（1）已知晶面标定其晶面指数
标定步骤：
1）以晶胞的某一阵点O为坐标原点，过原点O的三个棱 边为坐标轴x、y、z；
底心单斜
简单正交 底心正交 体心正交 面心正交
晶系
布拉菲点阵
三斜
简单六方
单斜
简单菱方
简单四方 体心四方
正交
简单立方 体心立方 面心立方
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晶系 六方 菱方 四方
立方
1-2 晶体学基础
当前你正在浏览到的事第八页PPTT，共三十一页。
1-2 晶体学基础
当前你正在浏览到的事第九页PPTT，共三十一页。
举例
K2CrO7 -S、CaSO42H2O -S、Ga、Fe3C Zn、Cd、Mg、NiAs As、Sb、Bi -Sn、TiO2 Fe、Cr、Cu、Ag、Au
当前你正在浏览到的事第六页PPTT，共三十一页。
1-2 晶体学基础
2. 布拉菲点阵（十四种）：每个阵点的周围环境相同
布拉菲点阵
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1-2 晶体学基础
（2）已知晶面指数确定其标示的晶面 确定步骤： 1）在晶胞中确定坐标原点O，以过原点O的三个棱边为
（二）晶面与晶面指数 1. 晶面
不在同一直线上的三个以上原子所构成的平面。 2. 晶面指数及其表示方法
通常采用密勒指数（Miller Index）来标定晶面 指数。
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1-2 晶体学基础
（1）已知晶面标定其晶面指数
标定步骤：
1）以晶胞的某一阵点O为坐标原点，过原点O的三个棱 边为坐标轴x、y、z；
底心单斜
简单正交 底心正交 体心正交 面心正交
晶系
布拉菲点阵
三斜
简单六方
单斜
简单菱方
简单四方 体心四方
正交
简单立方 体心立方 面心立方
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晶系 六方 菱方 四方
立方
1-2 晶体学基础
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1-2 晶体学基础
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举例
K2CrO7 -S、CaSO42H2O -S、Ga、Fe3C Zn、Cd、Mg、NiAs As、Sb、Bi -Sn、TiO2 Fe、Cr、Cu、Ag、Au
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1-2 晶体学基础
2. 布拉菲点阵（十四种）：每个阵点的周围环境相同
布拉菲点阵
高二物理竞赛晶列晶列指数晶面晶面指数密勒指数课件(共15张PPT)
cosa n:cosa
1
2
n:cosa
3
n
1 ra
: 1
sa
1 :
ta
1
2
3
从前面讨论得到：
cosa 1 n: cos
a2 n: cos a3 n
h1 a
: ha2
: ha3
1
2
3
所以：
h1 : h 2
:h3
1:
r
1
s
1
:
t
h1,h2, h3 可以从晶面族 (h1,h2, h3) 中任一晶面在基矢坐标轴上截距系数的倒数求出。
c
，同样可以得到离原点最近晶面的截距为：
ab c
用 n 表示该晶面系的法线方向上的单位 矢量，得到：
ra n r a
n 1 , 1 , 1 ✓
cosa na d
标同截志一距晶晶为面体l方中,向m面，间称, n距为相密同勒指的数晶，面记族的为称晶(h为面, k同系,l) 族。中a 晶，面无1族论，基d用矢
密勒指数 选择任意格点作为坐标原点，以晶胞基矢 a , b ,c为三个坐标轴。类似晶面指
数的讨论，可以用 h,k,l 标志晶面方向，称为密勒指数，记为 (h,k,l) 。对应的晶
面族称为晶面族 (h,k,l) 。
同族晶面族
同一晶体中面间距相同的晶面族称为同族晶面族，用
表示。
1 1 1包括8个晶面：
n h d
h:h
:h
1:
:
a
1, a
1, a
1
110
a 1
111
a3
1 1 1
111
a
1
11 1
第2章-材料的结构--第2节-晶面晶向指数PPT课件
2021/7/23
19
加括号：去掉比号，加一小括弧，记为（hkl），即
表示该晶面的米氏符号，如果所求晶面在晶轴上截距为 负数（该晶面与该轴负方向相截）则在指数上加一负号。 其中h、k、l称为晶面指数（米勒指数），它们是一组小 的、互质的整数。
2021/7/23
20
2021/7/23
21
2.晶面指数特点与规律：
同一晶向族中晶向上原子排列因对称关 系而等同。
2021/7/23
13
<U V W> 晶向族：等价晶向 e.g., <100>=[100]+[010]+[001] +[100]+[010]+[001] (立方晶体)
区别:晶族(crystal group)
2021/7/23Fra bibliotek14<110>=?
<110>=[110]+[101]+[011]+[T10]+[1T0]+[T01]+ [10T]+[0T1]+[01T]+[TT0]+[T0T]+[0TT]
晶向符号(指数) ：表示晶向方位的数字符号。
晶面符号(指数)：表示晶面在空间方位的符号。
（2）.图示法：用各种晶体投影图表征晶面或晶向。
为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际 上通用密勒指数（Ｍiller indices ）来统一标定晶向指数 与晶面指数。
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一. 晶向符号(三轴，如立方)
用三指数u，v，w表示晶向符号。 确定三轴坐标系下晶向指数［ｕｖｗ]的步骤如下：
(1)设坐标 以晶胞的某一阵点O为原点，过原点O的晶轴为坐标轴x,
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二、晶向 原子沿晶向到最近邻为
Rl l1 a1 l2 a2 l3 a3
l3 ( l1 、l2 、 为互质整数）
晶向记为 [l1，l2，l3 ] [l1，l2，l3 ] 称为晶向指数。
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简单立方的晶列（用[ ]表示）及等效晶列( < >)
立方边OA：[100] 面对角线OB：[110]
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§1.3 晶列和晶面指数
晶体性质的各向异性，表明晶体结构具有方向性。 一、晶列
晶列 ：相互平行的直线系。
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晶列的特点
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（1）一族平行晶列把所有格点包括无遗。
（2）在一平面中，同族的相邻晶列之间的距离相等。 （3）通过一格点可以有无限 多个晶列，其中每一晶列都有一 族平行的晶列与之对应。 （4 ）有无限多族平行晶列。
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晶向四指数的解析求法：
先求出待求晶向在三轴系a1 , a2 , c下的指数U，V， W，然后通过解析求出四指数u,v,t,w,
由于三轴系和四轴系均描述同一晶向，故：
u a1 + v a2 + t a3 + w c = U a1 + V a 2 + W c (1) 又有： a1 + a2 =－ a3 (2) 又由等价性条件： u + v = － t (3) 解得：U=2u+v, V=2v+u, W=w
说明
六角晶系的四指数表示 以上三指数表示晶向、晶面原则上适用于任
何晶系，但用于六角晶系有一个缺点：
晶体具有等效的晶面、晶向不具有类似的指数。 例：六棱柱的两个相邻的外表面在晶体学上应 是 等 价 的 ， 但 其 密 勒 指 数 却 分 别 为 (100) 和 (110)。夹角为600 的密排方向是等价的，但其
体对角线OC：[111]
OA、OB、OC的等效晶列？ [0 OA：[100],[1 00], [010]， 1 0], [001 [001] 100 ], OB：共12个，表示为<110>
OC：共8个，表示为<111>，如右图
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三、晶面 晶面 —— 晶体内三个非共线结点组成的平面。 在一晶面外过其它格点作一系列与原晶面平行 的晶面，可得到一组等距的晶面，各晶面上结点的 分布情况是相同的。这组等距的晶面的称为一族晶 面。 面间距——同族晶面中，相邻两晶面的距离。 （晶面的概念是以格点组成互相平行的平面，再构 成晶体。 ）
方向指数却为[100]和[110].
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解决的办法是引入四指数，即引入四个坐标轴： a1,a2,a3,c,其中a1,a2,c,不变，a3＝－( a1+a2)
引入四指数后，晶体学上等价的 晶面具有类似的指数。 例如： {1010}=(1010),(1100),(0110) {1120}=(1120),(1210),(2110)
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金刚石、闪锌矿结构的图示法
该图为金刚石惯用元胞在 {100}面上的投影,图中 “0”,“1/2”表示一个fcc的原 子 “1/4”,“3/4”表示另一个fcc 的原子; “•”表示共价键上的电子.
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3）将 h' 、 k ' 、 l ' 取倒数并化为互质整数 h 、k 、
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例：立方晶系的几个晶面
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(111)
(201)
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六角结构的Miller指数表示
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通常用密勒指数来标记不同的晶面。 确定密勒指数的步骤：
1）选任一结点为原点，作 a 、 b 、c 的轴线。 2）求出晶面族中离原点最近的第一个晶面在 a 、 c 轴上的截距 h' a 、k ' b 、 l ' c 。 b 、
l ，则（h，k，l）即为密勒指数。
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指标的不唯一性 在确定六角晶系的晶向、晶面的四轴指标时，会出现 新的问题：指标不唯一。 例如：a1轴的指标可以是[1000]，也可以是
[2110].
解决方法：加限制条件：前三个指标之和为0 例如：晶向指标为[u v t w],则u+v+t=0,故a1轴的指标 应选[2110].
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