《3.1.1 问题探索——求自由落体的瞬时速度》教案

3.1.1问题探索-----求自由落体的瞬时速度

教材：

普通高中课程标准实验教科书湘教版数学选修1—1(文科)

教学目标：

知识与技能：

能够求解变速运动的瞬时速度；初步了解导数的意义。

过程与方法：

⑴借助飞矢不动与雷达测速等生活与哲学上的问题,激发学生的兴趣,了解瞬时速度与平均速度的辨证关系，体会用极限思想研究变量的思维方法，在学习过程中，培养思维的严谨性和语言表达能力。

情感、态度、价值观：

以学生为主体进行教学设计，让学生有机会参与创新、发现，真正成为学习的主体。教材分析：

重点：（1）瞬时速度的概念；（2）瞬时速度的计算方法

难点：（1）用数学语言准确描述瞬时速度；（2）正确使用极限思想方法求解变速运动物体的瞬时速度；（3）对导数概念的初步了解。

学法与教学用具：

教学方法：教师引导为主，学生自主探索、积极思考为辅；

教学手段：黑板和多媒体相结合

教学思想：以建构主义的“创设问题情境——提出数学问题——尝试解决问题——验证解题方法”为主，强调数学知识（平均速度逼近瞬时速度）的建构过程；

教学用具：粉笔、PPT课件等．

教学过程

章头图讲解,激趣激疑，培养学生数学学习兴趣

问题1:：教师手执两根粉笔，一根拿稳、一根抛动提问：两根粉笔是否相同？它们有何区别？

S回答：一根是静止的，一根是运动的

T：但古希腊的大哲学家芝诺却不这么认为，他认为两根粉笔是一样的，因为在某个瞬

间给它们拍照，它们的状态是一模一样的（在0时间里，位移为0）．

现代物理学告诉我们，这两根粉笔不一样。一根是静止的，一根是运动的，但是运动着的粉笔的速度又应该怎么求呢？

问题2：大家在324国道上有看到交警警示牌“前方500米，雷达测速，请减速缓行”那么大家思考下，如何测量在该路段上的汽车是否超速呢？

（学生讨论，代表发言，教师总结）

事实上几百年前的著名物理学家伽利略也遇到过这样的问题。

伽利略发现，小球在斜面上滚下的距离S和所用的时间t之间，有函数关系是

2 ()

s t at

,

这叫做小球的运动方程,这里,a是与斜面的坡度有关的常数

伽利略看到,重力作用下在斜面上向下滚的小球,每时每刻都滚的更快.但是,他只知道计算在一个时间段里的平均速度,却不知道如何计算小球在某一时刻的速度,即瞬时速度.

经过100多年后，微积分的奠基人之一的牛顿给出了解决问题的一个思路。

如果小球在斜面上向下滚动的运动方程是s(t)=32t,要计算小球在开始运动2s时的速度，不妨先看看它在2s到2.1s之间的平均速度，即在区间【2，2.1】上的平均速度，同理，可以计算【2，2.01】，【2，2.001】…………..也可以计算【1.99，2】，【1.999，2】，【1.9999，2】………..上的平均速度

设d 是一个绝对值很小的非零的数,在[2,2+d]或[2,2]d +这段时间里,小球的平均速度是2223(2)323(4)(123)(/)d d d d m s d d

+-⨯+==+ 归纳：当d 越来越接近于0时，这个平均速度确实就越来越接近于12m/s

数学语言：时间段的长度趋于0时，这段时间内的平均速度就以12m/s 为极限

师生合作，共同探究

小组活动，计算平均速度

学生观察思考，教师点拨

用字母代替数,进行研究。（一般化）

这个极限数值,就叫作小球开始运动后2s 时的瞬时速度

明确小球在任意时刻t 的瞬时速度求法：（1）先计算出时刻t 和t+d 之间小球运动的距离，在除以时间段的长度d ，求出平均速度；（2）让d 趋向于0，得到小球在该时刻t 的瞬时速度

4、例题讲解

运动员从10m 高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的。

设起跳t 秒后运动员相对水面的高度为：

2(t) 4.9 6.510H t t =-++。用代数推导方法计算在2s 时运动员的速度（瞬时速度），再用数值计算列表观察检验计算的结果。

解：计算步骤是：

求[2，2+d]上的平均速度：

2(2)(2) 4.913.1 4.913.1H d H d d d d d +---==--；

（2）在平均速度表达式 4.913.1d --中让d 趋于0，得到-13.1。所以，运动员在2s 时的瞬时速度是-13.1m\s

下面是数值计算的结果:

从计算结果看出,当时间间隔越来越小时,运动员的平均速度趋于-13.1m/s,这和上面的代数推导的结论是一致的.

分析解决问题的思路与方法：

知道运动方程，如何求某个时刻的瞬时速度？

如何用数学语言描述瞬时速度

建立瞬时速度的数学概念，并掌握其求法

要计算时刻t 的瞬时速度，先求在时刻t 跟时刻t+d 之间的平均

速度v(t,d);

再在v （t ，d ）中让d 趋向于0，得到的极限值就叫瞬时速度v （t ）

7、作业课本p87 学而时习之1、2

数学符号表示：

若物体的运动方程为s=f （t ），则物体在任意时刻t 的瞬时速度v （t ），就是平均速度v

（t ，d ）=()()

f t d f t d +-在d 趋于0时的极限

5、练习课本p87 （1） （2）

6、小结：（1）瞬时速度的数学语言描述

（2）瞬时速度的求法

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