四年级第十一讲包含与排除及答案(附例题答案)

101中学坑班2013年春季四年级第十一讲包含与排除及答案
一、 知识要点
日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题，容斥原理就是重叠问题的解题原理，也叫包含与排除原理。

在数学里，我们把具有某种相同性质的对象放在一起考虑，这些相同性质的对象便组成了一个“集合”，每个集合总是由一些成员组成的，集合中的这些成员叫做这个集合的元素。

名词解释：
（1）由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 、B 的并集（又叫A 与B 的和）。

记作A B ，记号“ ”读作“并”，A B 读作“A 并B ”。

（2）A 、B 两个集合公共的元素，也就是那些既属于A ，又属于B 的元素，它们所组成的集合叫做A 和B 的交集，记作“A B ”，记号“ ”读作“交”，A B 读作“A 交B ”。

二、 典型例题
例1、四（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。

问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人？
解析：37+26-21=42人
例2、四年级一班在期末考试中，语文得“优”的有15人，数学得“优”的有17人，老师请得“优”的同学都站起来，数了数有24人。

两科都得“优”的有几人？
解析：15 + 17—24 = 8（人）
或者15-（24-17）=8
或者17-（24-15）=8
例3、图新小学四年级二班有24人参加了美术小组，有18人参加了音乐小组，其中11人两个小组都参加，还有5人什么组都没参加。

这个班共有学生多少人？
解析：24+18-11=31人 31+5=36人
例4、某班学生参加音乐组的有11人，参加美术组的有8人，参加英语组的有12人，既参加音乐组又参加美术组的有5人，既参加音乐组又参加英语组的有3人，既参加美术组又参加英语组的有4人，三个组都参加的只有1人，问：至少参加一个组的有多少人？ 解析：11+8+12-5-4-3+1=20人
例5、有82名参加数学与作文课外班的学生，其中参加作文班的有60人，参加数学班的有48人。

那么两种课外班都参加的有多少人？
解析：60+48-82=26人
例6、全班有46名同学，仅会打乒乓球的有18人，会打乒乓球又会打羽毛球的有7人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。

问：仅会打羽毛球的有多少人？
解析：46-18-6-7=15人
46减去只会打乒乓球的18，再减去既不会打乒乓球又不会打羽毛球的6人，最后减去即会打乒乓球又会大羽毛球的7人，就是只会打羽毛球的
例7、全班有50人，不会骑自行车的有23人，不会滑旱冰的有35人，两样都会的有4人。

求两样都不会的人数。

解析：会骑车的有27人，会滑旱冰的15人，所以两样至少会一种的有27+15-4=38，所以两样都不会的有12人。

例8、一次数学小测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错，那么两题都做错的有多少人？
解析：只对第一道的有 25－10＝15人
第二道题有18人做错，这18个人包括只对第一道的和全错的
所以全错的有18－15＝3人
例9、、某校外语系开设英语、日语、法语三个学科，各科教课老师人数如下表：
求外语系共有多少名教课教师？
解析：23+19+16-7-4-6+2=43 英
日 法 英日 日法 英法 英日
法 23 19 16 7 4 6 2
例10、、在一个炎热的夏日，11个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。

其中6人要汽水，6人要了可乐，4人要了果汁，有3人既要了汽水又要了可乐，1人既要了汽水又要了果汁，2人既要了可乐又要了果汁。

问：三样都要的有几人？
解析：（6+6+4）-（3+1+2）=10
11-10=1人
例11、在1——100的自然数中，有些数不是2的倍数，不是3的倍数，也不是5的倍数，这样的数有多少个？
解析：2的倍数有50个；3的倍数有33个；5的倍数有20个；6（=2×3）的倍数有16个，；10（=2×5）的倍数有10个；15（=3×5）的倍数有6个
30（=2×3×5）的倍数有3个
所以既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的数的个数
100-50-33-20+16+10+6-3=26个或者（50+33+20）-（16+10+6）+3=74 100-74=26个
例12、甲、乙、丙都在读同一本故事书，书中有100个故事，已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事，那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个？解析：0个
例13、甲、乙、丙都在读同一本故事书，书中有100个故事，每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读，已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事，那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个？
解析：60+52-100=12
下面我们利用“集合”的知识来解决有关“包含与排除”问题。

例14、六一班同学参加数学小组和作文小组，其中参加数学小组的有16人，参加作文小组的有20人，两组都参加的有5人，六一班参加数学小组或作文小组的一共有多少人？
解析：16+20-5=31人
例15、求1～20的自然数中2的倍数或3的倍数的个数。

解析：思路同11题，或者可以直接列举。

例16、四年级有学生75人，在一次校田径运动会中，参加田赛的有35人，参加径赛的有29人，既参加田赛又参加径赛的有6人，问两项都未参加的有多少人？
解析：35+29-6=58 75-58=17
例17、40人参加测验，答对第一题的有30人，答对第二题的有21人，两题都没答对的有4人，则两题都答对的有多少人？
解析：40-4=36 30+21-36=15
例18、某班同学中，有26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，有9人既爱打蓝球又爱踢足球，有4人既爱打排球又爱踢足球，有7人既爱打篮球又爱打排球，没有一个人三种球都爱玩，也没有一个人三种球都不爱玩，问：这个班共有多少学生？
解析：用|A|表示爱打篮球的人数， |A|=26
|B|表示爱打排球的人数， |B|=17
|C|表示爱踢足球的人数， |C|=19
＝26＋17＋19－7－9－4
＝42（人）
三、练习题
1. 48名学生参加了数学和语文考试，其中语文得100分的有12人，数学得100分的有17人，两门都没得100分的有26人。

问两门都得100分的有多少人？
48－26＝22（人）
12＋17－22＝7（人）
答：两门都得100分的有7人。

2. 有一批游客，有75人懂英语，83人懂俄语，10人既不懂英语又不懂俄语，68人两种语言都会，问这批游客共有多少人？
75＋83－68＋10＝100（人）
答：这批游客共有100人。

3. 一个车间有70个工人，其中每个工人或者会打网球，或者会跳舞，或者两样都会，现在知道会打网球的有48人，会打网球又会跳舞的有24人。

问会跳舞的有多少人？
70－48＋24＝46（人）
答：会跳舞的有46人。

4. 求1～100的自然数中
（1）是5的倍数或是8的倍数的自然数个数
100÷5＝20
100÷8＝12 (4)
100÷40＝2 (20)
20＋12－2＝30
（2）既不是5的倍数又不是8的倍数的自然数的个数
100－30＝70
5. 一次数学小测验中只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错。

那么两题都做错的有多少人？
25－10＝15（人）只做对第1题的人数
18－15＝3（人）两题都做错的人数
6. 四年级三班订阅《少年文摘》的有19人，订阅《学与玩》的有24人，两种都订的有13人。

问订阅《少年文摘》或《学与玩》的有多少人？
19 + 24—13 = 30（人）
答：订阅《少年文摘》或《学与玩》的有30人。

7. 幼儿园有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？
只学钢琴人数：58—37 = 21（人）
只学画画人数：43—37 = 6（人）
8. 1至100的自然数中：
（1）是2的倍数又是3的倍数的数有多少个？
既是3的倍数又是2的倍数，一定是6的倍数
100÷6 = 16 (4)
所以，既是2的倍数又是3的倍数有16个
（2）是2的倍数或是3的倍数的数有多少个？
100÷2 = 50，100÷3 = 33 (1)
50 + 33—16 = 67（个）
所以，是2的倍数或是3的倍数的数有67个。

（3）是2的倍数但不是3的倍数的数有多少个？
50—16 = 34（个）
答：是2的倍数但不是3的倍数的数有34个。

9 某班数学、英语期中考试的成绩统计如下：英语得100分的有12人，数学得100分的有10人，两门功课都得100分的有3人，两门功课都未得100分的有26人。

这个班共有学生多少人？
12 + 10—3 + 26 = 45（人）
答：这个班共有学生45人。

10. 全班50人，会骑车的有32人，会滑旱冰的有21人，两样都会的有8人，求两样都不会的有多少人？
50—（32 + 21—8）= 5（人）
答：两样都不会的有5人。