微分方程的应用 PPT

因 y0;y0k(x)
y ( 1(y)2 )3
( 1(y)2 )3
过该点法线方程为：
Y y 1 (X x ) ,Q (x y y ,0 ) p Q y 2 [ 1 (y )2 ] y
，初值： y 1,y 0
x1
x1
依题意得初值问题： yy1(y)2
y 1,y 0
x1
x1
此方程是不显含x的二阶方程，解之并带入初
可凑成：
( y ) 0 y
例7 .求与抛物线族 c y x 2 中每条曲线均 正交的的曲线（即交点处切线相互垂直）
正交轨线。（椭圆族）
解：
cy x2
cy
x2
y
2x c
y
2x c
消去c得：y=2y x
即为抛物线上任一点处切线斜率，故正交轨
线上任一点处切线斜率为：
y x 2y
正交轨线满足的微分方程
dv dt
v t0 0
例11（考研题）在某一人群中推广新技术是通 过其中已掌握新技术的人进行的。设该人群的 总人数为N，在t=0时刻已掌握新技术的人数为 x 0 ，在任意时刻t已掌握新技术的人数为 x ( t )
值得： ，
y1(ex1 e(x1))
（双曲正弦线）
2
复习二阶方程的两种特殊形式及解法。
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
例4（考研真题）
设L是一条平面曲线，其上任一点P(x,y)（x>0） 到坐标原点的距离恒等于该点处切线在y轴上的 截距，且L经过（1/2,0）点， （1）试求曲线L的方程 （2）求L位于第一象限的一条切线使该切线与 L及两坐标轴所围成的图形的面积最小。
1
(x2
1)2 4
1 2
(1
x2 )dx
2 2x 0 4
S(x)4 1 x2(x21 4)(3x21 4)0 x6 3
为最小值点
于是所求切线方程 Y 3 X 1 33
例5.（考研题） 求微分方程：xdy+（x-2y）dx=0的一个 解y=y(x)使得由曲线y=y(x)与直线：x=1，x=2 以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋 转体体积最大。
解（1）
x2 y2 y xy y x2 y2 C
1
y
x
1 2
0
C
2
y
x2 y2 1 y 1 x2
2
4
(2) y 1 x2在P（x，y）处的切线：Y=-2xX+x2 1 , (0 x 1)
4
4
2
与
x，
y轴1交
点
x ：(
2
1 4
,
0),
(0,
x
2
1
)
2x
4
所 求 面 积 ： S ( x)
解之得： 2y2x2c,(c0)
（椭圆族）
二。物理应用 （一）利用物理意义直接列方程
例8 设一物体的温度为100℃，将其放置在空 气温度为20℃的环境中冷却. 试求物体温度随 时间的变化规律.（冷却定理：物体冷却速度 与温差成正比）
dT dt
k(T20) T2080ekt
T t0100
例9在一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的
由题知：S11 2yx(xy y)2 yy2,S20 xy(t)dt
，由
2S1S21yy2
x
y(t)dt1yy(y)2
0
y(0)1y(0)1
得初值问题：
yy (y)2
y(0)
1;
y(0)
1
具体解法可用1）降阶法；2）凑导数法解得：
y(x) ex
注：微分方程两端乘 1 / ( y ) 2
一。几何应用题
例1.设曲线L过点（1,1）曲线上任一 点p(x,y)处的切线交x轴于点T，若 ︱pT︱= ︱oT︱求曲线L的方程。
y
Hale Waihona Puke Baidu
2 xy x2 y2
y
x 1
1
解为： x2 y2 2y
（
例2.光滑曲线L过原点与点（2,3）， 任取曲线上任一点p(x,y)过p点作两 坐标轴的平行线pA，pB，pA与x轴 和曲线L围成的面积等于pB与y轴和 L围成面积的2倍，求曲线L的方程
，区间【0，x】上以y=y(x)为曲边的曲边梯 形面积记为 S 2 ，并设 2S1 S2 1
，求此曲线的方程。
解：切线方程：Yyy(x )(X x )
与x轴的交点：(xy/ y,0) 在x轴上的截距：x y / y
，因 y ( x ) 0 ,y ( 0 ) 1 y ( x ) 0 ( x 0 )
解：方程为：
dy 2 y 1 y x cx2 dx x
V (c) 2 (x cx2)2 dx (31c2 15 c 7)
1
5 23
V(c) 0 c 75 124
为最小值点，所以解为：
y x 75 x2 124
例6（考研题）设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且
y(x)0,y(0)1过曲线y=y(x)上任一点 P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两 直线及x轴所围成的三角形面积记为 S 1
微分方程的应用.
几何与物理应用
微分方程的应用分几何与物理应用，几何应用主要 是根据所满足的几何条件列出微分方程，再根据方 程所属类型求解；物理应用题型常有两种类型： 其一根据题所涉及的物理意义直接给出方程.所涉及 的物理知识主要是物体的受力分析及牛顿运动定律 等；其二是需要应用元素法来建立微分方程的应用 题，这类问题是微分方程的难点；此外还有一类综 合应用题既要用到几何知识又要用到物理知识；下 面我们分类通过例题讲解。
3 7 0 按照牛顿冷却定律开始下降．假设两个小 时后尸体温度变为3 5 0 并且假定周围空气的温
度保持2 0 0 不变，试求出尸体温度随时间的变
化规律．又如果尸体被发现时的温度是3 0 0时
间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？
dT
dt
k (T
20) T
20 17ekt
T t0 37
x
2
y(t)dt xy, y 3
0
3
x2
y y 2x
（复习分离变量型及齐次方程解法）
解得： y 2 9 x （抛物线）
2
例3.在上半平面求一条凹弧，其上任一点p(x,y)
处的曲率等于此曲线在该点法线段PQ长度的倒
数（Q为曲线与x轴的交点），且曲线在点（1,1）
处的切线与x轴平行。
解：曲线在点P处的曲率为：k(x) y
T
20 17ekt
k
0.063
T t2 35
T 20 17e0.063t T 30 t 8.4(小时)
即谋杀大约在上午7时36分发生
例10设降落伞从跳伞塔下落后,所受空气 阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞 塔时速度为零, 求降落伞下落速度与时间 的关系.
f
mg kv
m