大学物理-电场强度通量,高斯定理

2
i
0
q
i
E 4πr 0
E 4 πr
2
q
E 0
0
E
q 4 π 0 r 2
例2 计算均匀带电球体的场强分布，q , R 解： 通量

q 4 πR 3 3
qi 2 Φe E dS E 4πr S 0
r<R r>R 电量
电量
4 3 q π r i 3
S S

n
E
曲面闭合时
Φe E dS E cos dS
S S
S
dS

注： E为dS处的电场强度
n E
例 三棱柱体放置在如图所示的匀强电 场中. 求通过此三棱柱体的电场强度通量. 解
Φe Φei
i 1
5
y
N
S1
P
S2
Φe1 Φe 2
2、高斯 (Gauss) 定理 （1） 证明: 略.书P166-168 （2 ）内容(书P168): 真空中 注:
1 Φe E dS
s
0
q
i 1
n
in i
①公式中S：高斯面(闭合曲面)
②穿过S面的电场强度通量e: 只由S面内的电荷决定
（如图中 q1、q2） ③ E : 面元 dS 处的场强 , 由所有电荷（面内、外电荷） 共同产生（如图中 q1、 q2 、 q3）
；
.
q 8 0
(3) 若将此电荷移到正方体的一 个顶点上，则通过整个 正方体表面的电场强度通量为
1 e E dS
s
0
q
i 1
n
in i
q
四．高斯定理的应用：求球对称或柱对称场强分布 Gauss面的选择：尽量使面的方向与场强方向//或. 1、球对称场（特征：书P154） 求场强步骤： （1）分区 书P168
当电荷均匀分布在球面、球体或有厚度的球壳上时
1 Φe E dS
s
0
q
i
（2）各区分别作Gauss面S (同心球面 、半径为球心到
场点距离r). 则 Φ E dS E 4πr 2 e S （3）在不同区域分别求Gauss面所包围的总电量 qi
(4)
1 Φe E dS
s
0
q
i
无限长均匀带电直线的场强(书P170)
3、面对称场（特征：书P170）
例、无限大均匀带电平面 的场强，已知+
解: E 具有面对称性 E E
高斯面: 柱面
e E dS E dS E dS E dS
2
n
n
O
E
S1
n
S2
EπR
n
R
ΦS1 EπR 2
三、高斯定理
1、特例：
点电荷q 位于球面S(半径R)中心，求穿过球面S的电通量
Φe E dS
S
q E 2 4 πε0 R q Φe dS 2 S 4 πε0 R q ε0
dS
+
R
(书P163)
垂直通过电场中某个面的电场线的条数 1、匀强场穿过平面 S
E
S


n
E
Φe ES
Φe ES cos E S
二、电通量e
(书P163) S
dS
垂直通过电场中某个面的电场线的条数
2、非匀强电场穿过任意曲面
Φe E dS EdS cos
解:
q
i
r < R1:
q
i
0
r
•
R1
R2
4 3 3 q π ( r R 1) R1<r <R2： i 3 q(r 3 R13 ) E 3 4π 0 ( R2 R13 )r 2 q r >R2 qi q E 4 π 0 r 2
E 0

2、 电场强度大小
（1）电场线数密度(书P162) ： N /S
N （2）规定: E S
（3）求匀强场穿过S 的电场线条数N S
n
S S
E


n
E
N ES n // E
(n, E ) N ES cos
二、电通量e
s1 s2 侧
n1
S1
n2
ES1 ES 2 0
1
s
S侧
S2
0
பைடு நூலகம்
S
2 ES
1
0
S
E 2 0
E 1 4π 0 r
2
q
i
（本章重点二)
例1 求均匀带电球面的场强分布(书P169) 已知R、 q>0 (1) 解: E 具有球对称性 (2) 分区: r < R; r >R r
r
R
P
1 (3)用高斯定理求解 Φe E dS
s
(3) 作高斯面 球面 (半径 r ) P 通量 通量 r R rR 2 2 Φ E d S E d S E 4 π r e Φe E dS E dS E 4πr S S S S 电量 qi q 电量 q 0

依据：Gauss定理
1 Φe E dS
s
0
in q i i 1
n
Ex3:点电荷 Q 被闭合曲面 S 包围, 从无穷远处引入另一
点电荷 q到曲面外一点. 如图，则引入前后, 不变 穿过曲面 S 的电通量_________;
变化 曲面上各点场强__________. (填“变化”、“不变”)
q1
S
q2
q3
Gauss定理 Ex1:
1 Φe E dS
s
0
in q i i 1
n
书 P188 问题 5-11
一定 E 0 Φe E dS 0
S
不一定 Φe E dS 0 E 0
S
+ + + + + + + + R+ + +
3 4 π r 高斯定理 E 4πr 2 0 3
q 高斯定理 E 4πr 0
2
qi q
q 4π 0 r 2
r qr E 3 0 4 π 0 R 3
E
例3 计算均匀带电球壳的场强分布，q , R1 , R2
1 2 Φe E dS E 4πr 0 s 1 E q 2 i 4π 0 r
•Q
S
q•
分析: 1 Φe E dS
s
类: 问题 5-15
0
q
i 1
n
in i

Q
0
曲面上各点场强由面内外电荷Q和q共同产生
Ex4: 边长为a的正方体中心放置一点电荷q，
q
(1) 通过整个正方体表面的电场强度通量为 的电场强度通量为
0
0
；
(2) 若将此电荷移到正方体外，则通过整个正方体表面
R
高斯面：圆柱面（底半径 r ，高 h ） 通量
e E dS
s 上底

E dS E dS
下底
侧面
E dS
P
P
h
0 0 E 2πrh E 2πrh
r <R
电量
qi 0
E0
r >R 电量 qi h E 2 π 0 r
(2) 作高斯面S(所求场点柱轴，垂线长度 r, 以 r 为底半径,
e E dS E 2πrh
S
(3)在不同区域分别求高斯面所包围的总电量 (4)
E 1 2π 0 q rh
i
q
i
例 无限长均匀带电圆柱面的场强分布，R ，电荷线密度. 解：场具有柱对称性
q 4 3 π( R2 R13 ) 3
2、柱 (或轴) 对称场（特征：书 P170）
电荷均匀分布在无限长柱面、柱体或有厚度的柱壳上 高斯面的选择：尽量使面的方向与场强方向//或. 求场强步骤： (1) 分区 任意高 h 作圆柱面 ), 则
1 Φe E dS
s
0
q
i
R
x
z
M
Q
结论: 匀强电场穿过任意闭合曲面的电通量始终为零
书P192习题5-14 求匀强电场通过一半球面S1的电通量.
Φe E dS
S
?
解: 作一半径R的圆平面S2将半球面S1补为封闭曲面S, 则穿过S的总电通量为
Φe ΦS1 ΦS 2 0
ΦS2 s2
E dS ES2 cos π
en

o
en
en E
R
x
P164
z
M
Q
Φe1 E dS ES1 cos π ES1 s1 Φe 2 E dS ES2 cosθ ES1 s1
Φe Φei 0
i 1 5
y
N
S1
P
S2
en

o
en
en E
5-4
电场强度通量 高斯定理(书P161)
Eb
1、 E 方向：切线
一．电场线（电场的图示法）
Ea
b
a
c
Ec
E
定义：面积矢量 (P163) 为面积的单位法线矢量 n S Sn 闭合曲面的方向: 由曲面内指向曲面外
n
n n
n
n
n
S1
n
S2
n
问题 5-14 净电荷：所有正、负电荷的代数和.
Ex2: 判断
（A）若Gauss面上 E 处处为0，则该面内必无电荷 （B）若Gauss面内无电荷，则Gauss面上 E 处处为0 （C）若Gauss面上 E 处处不为0，则该面内必有电荷 （D）若Gauss面内有电荷，则Gauss面上 E 处处不为0