第9章 矩阵位移法 例题
第九章矩阵位移法习题集
第九章 矩阵位移法 【练习题】9-1 是非题：1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。
2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。
3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 是正交矩阵。
4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。
5、用 矩 阵 位 移 法 计 算 连 续 梁 时 无 需 对 单 元 刚 度 矩 阵 作 坐 标 变 换。
6、结 构 刚 度 矩 阵 是 对 称 矩 阵 ，即 有K i j = K j i ，这 可 由 位 移 互 等 定 理 得 到 证 明 。
7、结构刚度方程矩阵形式为：[]{}{}K P ∆=，它是整个结构所应满足的变形条件。
8、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。
9、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。
10、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。
11、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。
9-2 选择题：1、已知图示刚架各杆EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是：(0,1,2)(0,0,0)(0,0,0)(0,1,3)(0,0,0)(1,2,0)(0,0,0)(0,0,3)(1,0,2)(0,0,0)(0,0,0)(1,0,3)(0,0,0)(0,1,2)(0,0,0)(0,3,4)A.B.C.D.21341234123412342、平面杆件结构一般情况下的单元刚度矩阵[]k 66⨯，就其性质而言，是： A ．非对称、奇异矩阵； B ．对称、奇异矩阵； C ．对称、非奇异矩阵； D ．非对称、非奇异矩阵。
3、单元i j 在图示两种坐标系中的刚度矩阵相比：A ．完全相同；B ．第2、3、5、6行(列)等值异号；C ．第2、5行(列)等值异号；D ．第3、6行(列)等值异号。
jxi4、矩阵位移法中，结构的原始刚度方程是表示下列两组量值之间的相互关系： A ．杆端力与结点位移； B ．杆端力与结点力； C ．结点力与结点位移； D ．结点位移与杆端力 。
矩阵位移法的计算步骤及示例
单元①②和③：
35
⎡ 500 0 0 − 500 0 0 ⎤
⎢ ⎢
0
12 24
0
− 12
24
⎥ ⎥
(1)
k
=
(2)
k
=
(3)
k
=
10
3
⎢ ⎢⎢−
0 500
24 0
64 0
0 − 24 32 ⎥
500 0
0
⎥ ⎥
⎢ 0 −12 − 24 0 12 − 24⎥
⎢ ⎢⎣ 0
24 32
0
− 24
⎥ 64 ⎥⎦
8-8 矩阵位移法的计算步骤及示例 1
矩阵位移法的计算步骤：（以后处理为例）
（1）对结点和单元进行编号，建立结构（整
体）坐标系和单元（局部）坐标系，并对结
点位移进行编号。
（2）计算各杆的单元刚度矩 k (e)、k (e) 。
（3）形成结构原始刚度矩阵K。
（4）计算固端力
F
(e) F
、等效结点荷载FE及综合
⎢⎣0.0 0.0 6.0 12.0⎥⎦
由于连续梁的单元刚度矩阵为非奇异矩阵， 由此组集而成的结构刚度矩阵K 也是非奇异 的，故无需再进行支座约束条件处理。
（4）计算固端力列阵及等效结点 15 荷载列阵。
②单元的固端力列阵
F (2) F
=
⎧ 300 ⎫ ⎩⎨− 300⎭⎬kN
⋅
m
等效结点荷载列阵：
k(3)
=
⎢ ⎢ ⎢
l(3) 2EI
⎢⎣ l ( 3 )
4
2EI l(3) 4EI l(3)
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
3 4
（3）集成结构刚度矩阵K
09矩阵位移法(学习版)(1)
1
2
3 6
4
y
5
θ x
O
练习：
3 ④ 2 ① 1
8 ⑨ ⑤ 6 ⑦ ② 4 5 ⑧ 7 ⑩ ⑥
13
12 10 11 ③ 9
（2）结点位移编码 矩阵位移法基本未知量的确定： 矩阵位移法基本未知量的确定不是唯一的，它与 单元如何划分，是否考虑轴向变形以及如何编写程序 有关。 结点位移的统一编码 —— 整体码 用矩阵位移法进行结构分析时，基本未知量是结点 位移，这就需要将结构中全部结点位移分量进行统一编 码。
第九章
矩阵位移法
9.1 概述
1. 概述
结构矩阵分析是采用矩阵方法分析结构力学问题的 一种方法。与传统的力法、位移法相对应，结构矩阵分 析中也有矩阵力法和矩阵位移法，或柔度法与刚度法。 矩阵位移法易于实现计算过程程序化而被广泛应用。 矩阵位移法是以结点位移为基本未知量，借助矩阵 进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变形等 计算的方法。
e
e
建立单元的杆端力和杆端 位移之间关系的过程称单元分 析，形成的方程称单元刚度方 程。
e
⎡δ 1 ⎤ ⎡ u i ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ δ 2 ⎥ ⎢ vi ⎥ ⎢ e ⎡ δ i ⎤ ⎢δ 3 ⎥ ⎢θ i ⎥ e δ =⎢ ⎥ =⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎣δ j ⎦ ⎢δ 4 ⎥ ⎢u j ⎥ ⎢δ 5 ⎥ ⎢ v j ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎦ ⎢ ⎣θ j ⎥ ⎣δ 6 ⎥
2. 单元分析
y y e i x
α
j x
局部坐标系（单元坐标系）：进行某一单元的单元分析时所 建立的坐标系。 局部坐标系相对于整体坐标系的方位角用α表示。α的方向 以 x 轴向 x 轴逆时针转动为正。即便在一个结构中，各单元的局 部坐标系也不完全相同。
第9章 矩阵位移法 例题
第9章 矩阵位移法习 题9-1：请给图示结构编号（同时用先处理法和后处理法）及建立坐标。
题9-1图 9-2：求图示连续梁的整体刚度矩阵。
题9-2图9-3：求图示刚架的整体刚度矩阵。
（c ）（e ）题9-3图9-4：求图示组合结构的整体刚度矩阵。
题9-4图9-5：求图示桁架结构的整体刚度矩阵，所有杆件的EA 均相同。
题9-5图9-6：求图示排架结构的整体刚度矩阵。
题9-6图 9-7：求图示结构的等效结点荷载，请利用结构的对称性。
1kN/m题9-7图9-8：求图示结构的等效结点荷载，请利用结构的对称性。
题9-8图9-9：求图示结构的等效结点荷载。
题9-9图9-10：求出图示结构的荷载列阵。
题9-10图9-11：求出图示结构的荷载列阵，请分别用先处理法和后处理法进行编号。
qq题9-11图9-12：求图示结构的荷载列阵，考虑轴向变形。
题9-12图9-13：求图示结构的荷载列阵。
题9-13图9-14：图示连续梁中间支座发生了下向的移动a ，请求出其整体刚度方程。
题9-14图10kN/mq9-15：请求出图示连续梁的整体刚度方程。
题9-15图9-16：求图示连续梁的整体刚度矩阵。
题9-16图9-17：图示结构温度发生了变化，请求出整体刚度方程。
杆件的EI 、EA 相同。
题9-17图9-18：图示结构温度发生了变化，请求出整体刚度方程。
题9-18图9-19：图示结构发生了支座移动，请画出结构的内力图。
00题9-19图9-20：已知图示梁B 点的B v 、B ϕ和C 点的C ϕ，请求出单元杆端力的列阵。
题9-20图9-21：求题9-3图示刚架的整体刚度矩阵，忽略轴向变形。
9-22：求题9-10图示结构的整体刚度矩阵，用后处理法编号。
9-23：求出梁的整体刚度方程，弹簧的刚度系数为k 。
题9-23图9-24：求出图示结构的整体刚度方程，忽略轴向变形，弹簧刚度系数为k 。
题9-24图L。
矩阵位移法例题1
50 3 10 15 57 . 5
3 . 891 50 6 . 228 15 79 . 625 57 . 5
2 . 2387 10 6 m 7 2 . 6993 10 m 4 . 2905 10 6 rad
矩 阵 位 移 法（例题）
结构刚度方程为
F K
即
50 202 . 667 3 8 10 15 10 57 . 794 57 . 5 14 . 425 57 . 794 129 . 422 12 . 948 14 . 425 1 12 . 948 2 127 . 306 3
1 (0,0,0)
5m
y
(2)
(1 )
( 2 )
o
x
5m
(0,0,0) 3
2.5m
矩 阵 位 移 法（例题）
单元（1）
0
168 0 0 8 10 168 0 0
0
0 8 . 064 20 . 16 0 8 . 064 20 . 16
(2)
k
(2)
矩 阵 位 移 法（例题）
结构刚度矩阵
168 34 . 667 8 K 10 57 . 794 14 . 425 202 . 667 8 10 57 . 794 14 . 425 57 . 794 8 . 064 121 . 358 20 . 16 7 . 212 20 . 16 7 . 212 67 . 2 60 . 106 14 . 425
结构力学基础矩阵位移法基本概念、计算程序和例题讲解
例形成图示刚架可动结点劲度矩阵，E,I ,A为常数。
解： 1.编号，如图（b) 2.确定单元杆端自由度序号。
3.计算 kmi 4.计算单元转换矩阵
5.形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵
6.根据单元杆端自由度序号叠加
二、可动结点劲度矩阵性质
1.对称方阵
反力互等定理
2.非奇异矩阵 考虑了约束条件，排除了刚体位移
7.求杆端力Fmi
8.求支座反力 支座反力由下式
计算，得
9.内力图
例2 求图2-21(a)所示平面刚架的内力,已知各杆 I 0.005m4
A0.05m2，E2106kNmA2B杆、CD杆杆
返回
§9—3 可动结点劲度矩阵
一、形成可动结点劲度矩阵的步骤
步骤： 1.对结构进行结点编号、单元标号、自由度编号： 2.确定单元杆端自由度序号（考虑约束条件）； 3.计算单元在局部坐标系中的劲度矩阵kmi 4.计算单元转换矩阵Ti 5.形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵ki TiTkmiTi
6.按”对号入座”原则，将ki叠加到 k 中。
结构力学基础 矩阵位移法基本概念、计算程
序和例题讲解
§9-1 矩阵位移法基本概念 §9-2 单元劲度矩阵 §9-3 可动结点劲度矩阵 §9-4 可动结点等效荷载列阵 §9-5 单元杆端力和支座反力 §9-6 例题 §9-7 平面刚架计算程序
§9—1 矩阵位移法的基本概念
一、坐标系和符号规定 图示连续梁：
4.求 K
（1）计算机各单元的方向余弦和杆长：
（2）求 kmi
(3)求ki
单元（1）:Cx=0 Cy=1
杆长：l 同理：
（4）求 按照“对号入座“原则，由ki形成k哪
例如： 同理：
结构力学 第九章 矩阵位移法-董 - 副本
Cx Cx
2
2
C xC y
C xC y 2 C y EA C xC y l 2 Cy
K
(2)
0 .75 0 .433 0 .75 0 .433
0 .433 0 .25 0 .433 0 .25
0 .75 0 .433 0 .75 0 .433
[例]
形成连续梁的整体刚度矩阵
（0） 1 （1）
2
（2）
3
（3）
4
（4）
5
（5）
i1
1 2
i2
3
i3
4
i4
5
i5
6
解：1）编号及建立坐标
2）单元刚度矩阵
（连续梁每个结点只一个位移）
0
4 i1 [k ] 2 i1
①
1
定位向量 ②
1
4 i2 [k ] 2 i2
2
定位向量
(2) 整体坐标系中的单元 刚 度矩阵 单元①： 0 , T I
0
k
(1)
k
1 0 0 0 0 0
(1)
90 0 , 单元②：
0 1 0 T 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
e
k （6×6）；
e
转换成整体坐标系 k
e
；
（5）把单元定位向量标在整体坐标系的单元刚度矩阵边上， 并划去已知支座位移等于零的行和列； （6）按照定位向量号，“对号入座”集合成整体刚度矩阵。
例 求整体刚度矩阵[K]。已知各杆刚度系数为 5 4 2 ： EA 6.6 10 kN , EI 1.2 10 kN .m 。
结构力学教学第九章矩阵
F
(e) ix
EA ( e ) u jx =− L
i
x
F jx = −
j
(e )
(e)
EA ( e ) u jx L
θ
(e ) y F iy = 0
(e )
Mj =0
(e )
F jy = 0
uj
(e )
土木建筑工程学院
七、矩阵位移法
2 单元分析——杆端力与杆端位移的关系
Mi = −
F
(e) ix
(e)
P2 x P2 M
P3 x
(2)
P1 x
(1)
P1M
x
y
P1 y
P2 y
θ
土木建筑工程学院
七、矩阵位移法
1 矩阵位移法的基本思想
(1) F jy
(1) F jx
(1) F jM
（1）
(1) Fix
F1(1) y
(1) M1
(1) FiM
(1) P1 x = Fix
F1(1) x
P1 x
P1M
P1 y
Fix F iy FiM F jx F jy F jM
(e)
k11 k21 k31 = k41 k51 k61
k12 k22 k32 k42 k52 k62
k13 k23 k33 k43 k53 k63
F ix =
(e )
EA ( e ) u ix L
i
x
F jx = −
j
(e)
(e )
EA ( e ) uix L
θ
(e) y F iy = 0
(e )
结构力学基础矩阵位移法基本概念、计算程序和例题讲解
序和例题讲解
§9-1 矩阵位移法基本概念 §9-2 单元劲度矩阵 §9-3 可动结点劲度矩阵 §9-4 可动结点等效荷载列阵 §9-5 单元杆端力和支座反力 §9-6 例题 §9-7 平面刚架计算程序
§9—1 矩阵位移法的基本概念
一、坐标系和符号规定 图示连续梁：
4.求 K
（1）计算机各单元的方向余弦和杆长：
（2）求 kmi
(3)求ki
单元（1）:Cx=0 Cy=1
杆长：l 同理：
（4）求 按照“对号入座“原则，由ki形成k哪
例如： 同理：
5.求： 对于桁架，一般只有结点荷
载，于是
得 6.求结点位移
7.求杆端力Fmi
8.求支座反力
例 设 EI=常数，EA=常数， EI=20EA，试用矩阵位移法分析
5
6
1 2
88.889 0.0
0.0 5.268
0.0 11.852
-88.889 0.0
0.0 -5.268
0.0 11.852
1 2
k②
EA l1
3 4
0.0 88.889
5 0.0
11.852 0.0
5.268
35.556 0.0
11.852
0.0 88.889
0.0
11.852 0.0
返回
§9—3 可动结点劲度矩阵
一、形成可动结点劲度矩阵的步骤
步骤： 1.对结构进行结点编号、单元标号、自由度编号： 2.确定单元杆端自由度序号（考虑约束条件）； 3.计算单元在局部坐标系中的劲度矩阵kmi 4.计算单元转换矩阵Ti 5.形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵ki TiTkmiTi
矩阵位移法
第9章矩阵位移法§9-1 概述结构矩阵分析方法：三位一体■以传统结构力学为理论基础；■以矩阵作为数学表述形式；■以计算机作为计算手段。
结构力学传统方法与结构矩阵分析同源而有别：■在原理上同源；■在计算方法上有别：手算怕繁、电算怕乱。
结构矩阵分析的要点：■离散：将整个结构分解成若干单元；■整合：将单元按一定的条件集合成整体。
§9-2 单元刚度矩阵（局部坐标系）1 一般单元结构的离散化局部坐标系杆端位移向量()()()()()()()()T123456T111222e e e u v u v θθ=∆∆∆∆∆∆=Δ杆端力向量■弯矩、转角：绕杆端顺时针为正； ■其它：与坐标轴同向为正。
单元刚度方程由单元杆端位移求单元杆端力时所建立的方程。
首先 在杆端两端加上人为控制的附加约束，使体系发生任意指定的位移。
然后 根据位移推算相应的杆端力。
忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的相互影响，得 ()()()()()()()()T 123456T111222e ee x y x y F F F F F F F F F M F F M ==11211122323211122222121261266462126126x y x EA EA F u ul l EI EI EI EIF v v l l l l EI EI EI EIM v v l l l l EA EAF u u l lEI EI EI EIF v v θθθθθθ=-=+-+=+-+=-+=--+-局部坐标下的单元刚度方程局部坐标下自由单元的单元刚度矩阵 2 单元刚度矩阵的性质（1）单元刚度系数的意义 单位杆端位移引起的杆端力 （2）单元刚度矩阵是对称矩阵 反力互等定理 （3）自由单元刚度矩阵是奇异矩阵 矩阵行列式等于零，逆阵不存在。
解唯一,解不唯一由杆端力只能求出变形，不能求杆端总的位移（刚体位移+变形）。
3 特殊单元连续梁单元的刚度方程单元刚度方程为 单元刚度矩阵为非奇异，可逆§9-3 单元刚度矩阵（整体坐标系）（1）单元坐标转换矩阵局部坐标系下的杆端力整体坐标系下的杆端力同理： （2）整体坐标系下的单元刚度矩阵1T T T -=整体坐标下的单元刚度方程整体坐标下的单元刚度矩阵性质1）整体坐标系下单元杆端位移引起的杆端力；（2）对称矩阵；（3）奇异矩阵。
矩阵位移法方法课习题
已知图示结构的单元编码及局部坐标如图， 已知图示结构的单元编码及局部坐标如图，局部坐标单元刚 度矩阵相同如（ ） 按结点号顺序写出结点位移编， 度矩阵相同如（c）式。求：按结点号顺序写出结点位移编， 并求结构刚度矩阵。 并求结构刚度矩阵。
2 i
①
3
1
−10 0 0 0 0 10 0 −2 2 0.5 0 0.5 0 0.5 0.2 0 −0.5 0.1 e 6 k = ×10 L(c) 0 10 0 0 −10 0 0 −2 −0.5 0 2 −0.5 0 −0.5 0.2 0 0.5 0.1
3kN/m
① ②
4m
用矩阵位移法求解图示结构。标示整体坐标系， 用矩阵位移法求解图示结构。标示整体坐标系，单元局 部坐标系；按结点号顺序编写结点位移编码； 部坐标系；按结点号顺序编写结点位移编码；写出单元 定位向量；求结构结点荷载列阵{F}。 定位向量；求结构结点荷载列阵 。
4 4m 20kN/m 1 2 4m 3 6m 10 kN . m
T
试求杆14的轴力。 试求杆 的轴力。 EA = 1kN 的轴力
1kN 1kN 2 4 6 1m 1 3 1m 1m y 5 M, θ x
已知图示结构的结点位移列阵为
{ ∆} = [ 0
0 0 0.841 − 0.5752 − 0.9964 0 0 − 0.7425]
T
试求杆32的杆端力列阵中 端的剪力 试求杆 的杆端力列阵中1端的剪力。 的杆端力列阵中 端的剪力。
l
y
M, θ x
试求图示结构在所示位移编码情况下的结点荷载列阵
P 1(0,0,0) 2 (0,0,1) q 3 (0,2,3) 4 (0,0,0) l 5 (0,0) l
教案 第九章 矩阵位移法[33页]
![教案 第九章 矩阵位移法[33页]](https://img.taocdn.com/s3/m/ed48b9dff01dc281e43af025.png)
第九章矩阵位移法（4学时）1.主要内容9-1 概述9-2 单元刚度矩阵——局部坐标系9-3 单元刚度矩阵——整体坐标系9-4 用先处理法建立结构刚度矩阵9-5 等效结点荷载2.知识点9-1 概述矩阵位移法的理论基础、数学形式；矩阵位移法与传统位移法的比较：单元分析、整体分析。
9-2 单元刚度矩阵-局部坐标系一般单元、单元刚度方程、单元刚度矩阵的性质、特殊单元。
9-3 单元刚度矩阵-整体坐标系单元坐标转换矩阵；整体坐标系的单元刚度矩阵：元素k ij的物理意义、对称性、奇异性。
9-4 用先处理法建立结构刚度矩阵先处理法的概念与特点、结点位移分量的统一编码、单元单位向量、刚架的整体刚度矩阵、铰结点的处理、忽略轴向变形时刚架整体分析、桁架整体分析。
9-5 等效结点荷载结点荷载与非结点荷载；单元集成法求等效结点荷载。
3.重点难点9-2 单元刚度矩阵-局部坐标系重点：一般单元的单元刚度矩阵。
难点：单元刚度矩阵的性质。
9-3 单元刚度矩阵-整体坐标系重点：整体坐标系的单元刚度矩阵的计算。
难点：整体坐标系的单元刚度矩阵与局部坐标系的单元刚度矩阵的异同。
9-4 用先处理法建立结构刚度矩阵重点：不同情况下整体刚度矩阵的计算。
难点：单元定位向量的确定、特殊情况的处理。
9-5 等效结点荷载重点：单元集成法求整体等效结点荷载的步骤。
难点：等效结点荷载的概念。
9.1 概述知识点：矩阵位移法的理论基础、数学形式；矩阵位移法与传统位移法的比较：单元分析、整体分析。
知识点：矩阵位移法的理论基础、数学形式理论基础：传统的结构力学数学形式：矩阵计算手段：电子计算机知识点：矩阵位移法与传统位移法的比较化整为零——单元分析单元刚度矩阵单元刚度方程集零为整——整体分析形成整体刚度矩阵总体刚度方程9.2 单元刚度矩阵-局部坐标系1. 知识点一般单元、单元刚度方程、单元刚度矩阵的性质、特殊单元。
2. 重点难点重 点：一般单元的单元刚度矩阵。
9矩阵位移法习题.docx
第9章矩阵位移法习题解答习题9・1是非判断题（1）矩阵位移法既可计算超静定结构，又可以计算静定结构。
（T ）（2）矩阵位移法棊木未知量的数冃与位移法棊木未知量的数冃总是相等的。
（|T*） F（3）单元刚度矩阵都具有对称性和奇界性。
（F ）（4）在矩阵位移法中，整体分析的实质是建立各结点的平衡方程。
（T ）（5）结构刚度短阵与单元的编号方式冇关。
（F ）（6）原荷载与对应的等效结点荷载使结构产生相同的内力和变形。
（F ）【解】（1）正确。
（2）错误。
位移法中某些不独立的杆端位移不计入基本未知量。
（3）错谋。
不计结点线位移的连续梁单元的单刚不具奇异性。
（4）正确。
（5）错误。
结点位移分量统-•编码会影响结构刚度矩阵，但单元或结点编码则不会。
（6）错误。
二者只产生相同的结点位移。
习题9.2填空题（1） ______________________________________________________________ 矩阵位移法分析包含三个基本环节，其一是结构的___________________________________ ,其二是_________ 分析，-其三是______ 分析。
（2）已知某单元©的定位向量为[3 5 6 7 8 9]丁，则单元刚度系数紜应叠加到结构刚度矩阵的元素—中去。
（3） ________________________________________________________________________ 将非结点荷载转换为等效结点荷载，等效的原则是____________________________________ o（4）矩阵位移法屮，在求解结点位移之前，主要工作是形成_____________________ 矩阵和_______________ 列阵。
（5）用矩阵位移法求得某结构结点2的位移为J2=[w2V2 ft]T=[O.S 0.3 0.5]丁，单元①的始、末端结点码为3、2,单元定位向量为= [0 0 0 3 4 5]T,设单元与兀轴之间的夹角为« = |,则（6 ）用短阵位移法求得平面刚架某单元在单元坐标系中的杆端力为戸=[7.5 -48 -70.9 -7.5 48 -121.09]7,则该单元的轴力F* _______________________ k N。
矩阵位移法结构动力计算_真题-无答案
矩阵位移法、结构动力计算(总分100,考试时间90分钟)一、填空题1. 用先处理法求解如下图所示结构(图中圆括号内数码为结点定位向量)，则荷载向量{P}=______。
2. 干扰力频率θ与自振频率ω之比在______区间时称共振区。
3. 下图所示体系EI=常数(忽略杆件质量)，则结构的自振频率ω=______；在图示简谐荷载(荷载频率为θ)作用下，体系的振动微分方程为______。
4. 两自由度振动体系，已知质量m1=2m，m2=m，其第一振型向量为[1 5]T，则第二振型向量为[1______]T。
5. 已知下图所示体系的第二主振型为，则第一主振型为______。
已知m1=m2=m，不计阻尼，不计柱的质量。
二、选择题1. 在矩阵位移法计算中，下图所示各图中单元刚度矩阵为奇异矩阵的是______。
A．B．C．D．2. 下图所示体系不计杆件质量和轴向变形，各杆抗弯刚度为常数，其动力自由度为______。
A.2B.3C.1D.43. 如下图所示体系(不计杆的质量)的动力自由度为______。
A.5B.6C.7D.84. 忽略直杆的轴向变形，则下图所示结构的振动自由度数目为______。
A.3B.4C.5D.65. 如下图所示单自由度动力体系中，质量m在杆件中点，各杆EI、l相同。
其自振频率的大小排列次序为______。
A.(b)＞(a)＞(c)B.(c)＞(b)＞(a)C.(a)＞(b)＞(c)D.(a)＞(c)＞(b)6. 下图所示等截面梁(忽略阻尼)承受一静力荷载FP，设在t=0时把这个荷载突然撤除，则质点m的位移方程为______。
A．B．C．D．7. 下图所示体系的运动方程为：______。
A．B．C．D．8. 如下图所示体系B为弹性支座，刚度系数为k，质点处的柔度系数为______。
A.l3/48EIB.l3/48EI/2kC.1/4kD.l3/48EI+1/4k9. 如下图所示体系(不计阻尼)的稳态最大动位移ymax=4FPl3/9EI，则其最大动力弯矩为______。
第九章 矩阵位移法例题
Cy
=
3 5
⎡ 192
[k](4) =
EA
⎢ ⎢
144
3000 ⎢−192
⎢⎣− 144
144 108 − 144 − 108
− 192 − 144 192 144
− 144⎤
− 108⎥⎥
144 ⎥
108
⎥ ⎦
贡献刚度矩阵
⎡192 144 0 0⎤
[K ](4) = EA ⎢⎢144 108 0 0⎥⎥
⎪⎪ ⎨ ⎪
40 0
⎪⎪ ⎬
=
⎪⎪ ⎨
⎪⎪
0 0
⎪⎪ ⎬ ⎪
⎢0 − 3 − 6 0 3 − 6⎥ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 60 ⎪ ⎪ 22.74 ⎪
⎢ ⎢⎣0 6
8
0
−6
⎥ 16 ⎥⎦
⎪⎪⎩ 12.033 ⎪⎪⎭
⎪⎪⎩− 40⎪⎪⎭ ⎪⎪⎩−10.98⎪⎪⎭
{ } 单元（2）{δ }(2) = δ (2) = 1 {− 50.081 0 12.033 − 50.081 0 11.382}T EI
结点 4 荷载
荷载贡献
{P}= {0 0 0 20}T
总荷载向量
{P}= {−10 −13.33 13.33 10}T
解结构方程，求出位移向量
{∆} = 1 {− 50.081 −19.350 12.033 11.382}T
EI 求单元内力
{ } 单元（1）{δ }(1) = δ (1) = 1 {− 50.081 0 −19.350 − 50.081 0 12.033}T EI
⎢ ⎢⎣0 6
⎥ 8 0 − 6 16 ⎥⎦
⎪⎪⎩11.382⎪⎪⎭ ⎪⎪⎩ 10 ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎩ 2.60 ⎪⎪⎭
第九章 矩阵位移法
1
2
3
12、在矩阵位移法中整体分析的实质是结点平衡。 ( ) 13、已知图示刚架各杆 EI=常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采 用先处理法进行结点位移编号，其编号正确。（ ）
1 ( 0,0,0 )
2( 0,1,2 )
4 (0,0,0 )
3 ( 0,1,3)
14、单元刚度方程所表示的是_______两组物理量之间的关系。
Δ1
EI
l
Δ2
Δ3
EI
l
34、图示结构结点 2 的等效荷载列阵{P}等于{__________}T。
20kNxθyFra bibliotek1 4m
30kN 2
10kN/m
3
3m
3m
158
D：[3 2 4 0 0 1]T。
3
6
2
5
2
4
7
11
3
22、已知某单元定位向量为[0 3 5 6 7 8]T，则单元刚度系数 k36 应叠加到整
155
体刚度矩阵的_______中去。
A. k36 ； B. k56 ； C. k03 ； D. k58 。
23、图示结构整体刚度矩阵[K]中元素 k22 等于（ ）
5、结构的刚度方程[F] {∆}={P}表示结构全部节点的位移条件。（ ） 6、整体坐标系中的杆端力，即是杆端力 N、Q 和 M。（ ） 7、 用矩阵位移法计算连续梁时无需对单元刚度矩阵作坐标变换。 ( )
8、 结构刚度矩阵是对称矩阵，即有 kij = k ji ，这可由位移互等定理得到证明。
() 9、 结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。 ( ) 10、单元刚度矩阵都具有对称性和奇异性。（ ） 11、图示结构，按矩阵位移法求解时，将结点 1 和 3 的转角作为未知量是不可以
第9章矩阵位移法典型题
第9章矩阵位移法典型题
1. 用矩阵位移法计算图持续梁，并画M图，EI＝常数。
图
解：
（1）成立坐标系，对单元和结点编号如图，单元刚度矩阵
单元定位向量λ①＝(01)T，λ②＝(12)T，λ③＝(20)T
（2）将各单元刚度矩阵中的元素按单元定位向量在K中对号入座，得整体刚度矩阵
（3）持续梁的等效结点荷栽
（4）将整体刚度矩阵K和等效结点荷载P代人大体方程
（5）求杆端力并绘制弯矩图（图）。
2. 图结构，荷载只在（1），（3）杆上作用，已知（1），（3）杆在局部坐标系（杆件箭头方向）中的单元刚度矩阵均为（长度单位为m，角度单位为rad，力单位为kN）
杆件（2）的轴向刚度为EA＝×l06kN，试形成结构的整体刚度矩阵。
图
解：
（1）结构的结点位移编号及局部坐标方向（杆件箭头方向）见图。
（2）单元（1），（3）的局部与整体坐标方向一致，故其在整体坐标系中的单元刚度矩阵与局部坐标系中的相同。
（3）桁架单元（2）的刚度矩阵
桁架单元只有轴向的杆端力和杆瑞位移，
（3）定位向量
单元（1）：
单元（2）：
单元（3）：
（4）整体刚度矩阵
=
3. 求图结构整体刚度矩阵。
各标EI相同，不考轴向变形。
图
解：
（1）单元结点编号（图）
（2）单元的定位向量
（0051）T（0054）T
（5354）T（5200）T （3）单元刚度矩阵
（4）整体刚度矩阵。
矩阵位移法
原理同源---
(1)以结点位移为基本未知量,
(2)以单元分析为基础(力法计算的 结果单元刚度方程);
(3) 建立平衡方程求出结点位移,
(4) 将结点位移代入单元刚度方 程求得内力
矩 阵 位 移 法
作法有别-(1)矩阵组织数据，矩阵运算;
(2)设计计算机程序（正确）;
(3) 原始数据的准备、输入、计算 结果的输出及正确性判别等 特点： 省力；计算速度快；计算结果精度高 ；使用者要力学概念清楚。
1 0 0 1 0 0 8 2 4 i i 2 42 i i 0 2 4 3
修改后的位移 法方程
(6) 解方程
矩 阵 位 移 法
0 1 3.571 2 i 3 12.286 i
(5)引入支承条件修改原始刚度方程
矩 阵 位 移 法
K FP
4 i 2i 0 1 4 2 i 8 i 2i 4 2 i 0 2 4 42 i 3
主1副0法修改后 原始刚度方程
整 体 刚 度 方 程
单元刚度集成法
矩 阵 位 移 法
单元(1)对号 入座
单元刚度集成法 单元(2)对号入 座并累加
矩 阵 位 移 法 单元(3)对号入座
并累加 整体刚度矩阵
连续梁刚度方程
矩 阵 位 移 法
9.5 等效结点荷载向量
矩 阵 位 移 法 加刚臂
去刚臂
(1)加约束求杆端固端弯矩、刚臂约束力矩
矩 阵 位 移 法
（5）集成等效结点荷载向量 形成过程如下：
矩 阵 位 移 法
9.矩阵位移法
第十章1位移法平衡方程法：A M =∑AB AC AD M M M ++=0FAB ABAB A AB B ABi M i i M lθθ=+-∆+642基本体系法P k k k R ∆+∆+∆+=11112213310系数由单独的结点位移状态计算矩阵位移法：K F∆=ij j ik F ∆=系数由单独的杆件位移状态计算、组合为求基本未知量而建立补充条件矩阵代数复习1、矩阵定义一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。
若矩阵的元素排列为m 行和n 列，称为m ⨯n 阶矩阵。
A =a a a a a a a a a n n m m mn 111212122212L L M O M L ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥2、方阵一个具有相同的行数和列数的矩阵，即m =n 时，称为n 阶方阵。
3、行矩阵和列矩阵一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵，如：A =[]a a a a n1112131· · ·由单列组成的矩阵称为列矩阵，如：在算法语言中，可用一个2维数组记忆一个矩阵在算法语言中，可用一个1维数组记忆T n a a A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦124、纯量仅由一个单独的元素所组成的1⨯1阶矩阵称为纯量。
5、矩阵乘法两个规则：（1）两个矩阵仅当他们是共形时才能相乘，即A B C p l m p l n m n´´´==当时才能相乘A B =a a a a b b 111221221121⎡⎣⎤⎦⎥⎡⎣⎤⎦⎥共形2×2 2×1B A =b b a a a a 112111122122⎡⎣⎤⎦⎥⎡⎣⎤⎦⎥非共形2×1 2×2（2）不具有交换律，即AB ≠BA在算法语言中，可用一组循环实现计算6、转置矩阵将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩阵称之为原矩阵的转置矩阵，如：A=a aa aa a111221223132⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥其转置矩阵为A T=⎡⎣⎢⎤⎦⎥a a aa a a112131122232当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置矩阵之乘积。
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第9章 矩阵位移法
习 题
9-1：请给图示结构编号（同时用先处理法和后处理法）及建立坐标。
题9-1图 9-2：求图示连续梁的整体刚度矩阵。
题9-2图
9-3：求图示刚架的整体刚度矩阵。
（c ）
（e ）
题9-3图
9-4：求图示组合结构的整体刚度矩阵。
题9-4图
9-5：求图示桁架结构的整体刚度矩阵，所有杆件的EA 均相同。
题9-5图
9-6：求图示排架结构的整体刚度矩阵。
题9-6图 9-7：求图示结构的等效结点荷载，请利用结构的对称性。
1kN/m
题9-7图
9-8：求图示结构的等效结点荷载，请利用结构的对称性。
题9-8图
9-9：求图示结构的等效结点荷载。
题9-9图
9-10：求出图示结构的荷载列阵。
题9-10图
9-11：求出图示结构的荷载列阵，请分别用先处理法和后处理法进行编号。
q
q
题9-11图
9-12：求图示结构的荷载列阵，考虑轴向变形。
题9-12图
9-13：求图示结构的荷载列阵。
题9-13图
9-14：图示连续梁中间支座发生了下向的移动a ，请求出其整体刚度方程。
题9-14图
10kN/m
q
9-15：请求出图示连续梁的整体刚度方程。
题9-15图
9-16：求图示连续梁的整体刚度矩阵。
题9-16图
9-17：图示结构温度发生了变化，请求出整体刚度方程。
杆件的EI 、EA 相同。
题9-17图
9-18：图示结构温度发生了变化，请求出整体刚度方程。
题9-18图
9-19：图示结构发生了支座移动，请画出结构的内力图。
00
题9-19图
9-20：已知图示梁B 点的B v 、B ϕ和C 点的C ϕ，请求出单元杆端力的列阵。
题9-20图
9-21：求题9-3图示刚架的整体刚度矩阵，忽略轴向变形。
9-22：求题9-10图示结构的整体刚度矩阵，用后处理法编号。
9-23：求出梁的整体刚度方程，弹簧的刚度系数为k 。
题9-23图
9-24：求出图示结构的整体刚度方程，忽略轴向变形，弹簧刚度系数为k 。
题9-24图
L。