立体几何中的向量方法
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B
PZ
例2
E
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD A 是正方形，PA⊥底面AC，PA=AD=2,
E是线段PD上的点，F是线段AB上的点， F
且PE:ED=BF:FA=t (t>0).
B
X
(1)若t=1,设Q是PC中点，求证：正方形ABCD内 存在一点N，使得QN⊥平面CEF； (2)若t=1,线段PC上是否存在一点M使得
可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量v的夹 角．则sinθ＝|cos<n,v>|.
(3)求二面角α—l—β的大小θ(结合图形判断是锐二面角 还是钝二面角)
可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角． 则θ＝<n1,n2>或π－<n1,n2>． |cosθ|＝|cos<n1,n2>|
若两个平面所成角为θ，则cosθ＝|cos<n1,n2>|
B
B
A
C
D
D
C
A
AB,CD 或
cos
cos AB,CD AB CD | AB || CD |
3.直线和平面所成的角θ
n
●B
思考：
●A (1)θ的范围；
[0, ] 2
(2)θ与 AB,n 的关系.
B
B
n
A
A
n
AB, n
2
或
2
sin cos AB,n AB n
| AB || n |
A1
D
C1
B1
五、小结
1．利用向量法求空间角和空间距离， 建系和写出点的坐标是关键。公式要理 解地记清楚。
2．角的计算与度量总要进行转化，这 体现了转化与化归的思想，主要将空 间角转化为平面角或两向量的夹角．
4.两个平面所成的角θ
n1 n2
思考：
(1)两平面所成角与
二面角一样吗？
(2)θ的范围；
[0, ]
2
(3)θ与 n1,n2 的关系.
n1
n2
n1,n2 或
cos
cos
n1, n2
|
n1 n2 n1 || n2
|
5.点(直线、平面)到平面的距离
n
●
B
●A
思考：
B到平面的距离与直 线AB和平面所成角之 间有何关系?
直线EF和AM所成角的余弦值为⅓，若存在求出M点
坐标，若不存在，请说明理由; (3)求直线EF和平面PBD所成角的正弦值的范围.
DY
C
三、练习
练习1：
A
A1
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中
BC=1,BB1=2,AB= 2 ,BC⊥CC1，
AB⊥侧面BB1C1C,E是CC1中点. 求：
B
B1
(1)求直线AB与平面A1BC1 所成角的正弦值.
二、例题
例1 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为AD中点.
求: (1)异面直线A1C和BE所成角的余弦值； (2)直线A1C和平面BD1E所成角的正弦值; (3)平面BD1E和平面AA1D1D所成角的余弦值. (4)B1到平面BD1E的距离.
D1 Z
C1
A1
D E A
X
B1
Y
C
空间几何量的计算—— 向量法在求空间角和距离中的应用
一、复习
1.两个向量的数量积
ab | a || b | cos a,b
变形： cos a,b a b
| a || b |
思考： a,b 的范围？ [0, ]
2.异面直线所成的角θ
●
B ●A
●
C
●
D
思考：
(1)θ的范围；
(0, ]
2
(2)θ与 AB,CD 的关系.
C
E
C1
(2)求二面角A-B1E-A1的大小 (3)试在AE上找一点M,使得BM与B1C1所成角是60o
练习2：
A
源自文库
如图,三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长为2，
AA1⊥平面ABC,D是CC1中点.
C
求：
(1)异面直线AB1与BD所成角的大小； (2)AB1与平面A1BD所成角的大小； B (3)二面角A-A1D-B的余弦值; (4)C到平面A1BD的距离.
B●
n
d
A
d | AB | sin
d | AB | sin | AB | | AB n | | AB n |
| AB || n | | n |
几个夹角公式的比较
(1)求两异面直线a、b的夹角θ，须求出它们方向向量 v1，v2的夹角，则cosθ＝|cos<v1,v2>|
(2)求直线l与平面α所成的角θ
PZ
例2
E
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD A 是正方形，PA⊥底面AC，PA=AD=2,
E是线段PD上的点，F是线段AB上的点， F
且PE:ED=BF:FA=t (t>0).
B
X
(1)若t=1,设Q是PC中点，求证：正方形ABCD内 存在一点N，使得QN⊥平面CEF； (2)若t=1,线段PC上是否存在一点M使得
可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量v的夹 角．则sinθ＝|cos<n,v>|.
(3)求二面角α—l—β的大小θ(结合图形判断是锐二面角 还是钝二面角)
可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角． 则θ＝<n1,n2>或π－<n1,n2>． |cosθ|＝|cos<n1,n2>|
若两个平面所成角为θ，则cosθ＝|cos<n1,n2>|
B
B
A
C
D
D
C
A
AB,CD 或
cos
cos AB,CD AB CD | AB || CD |
3.直线和平面所成的角θ
n
●B
思考：
●A (1)θ的范围；
[0, ] 2
(2)θ与 AB,n 的关系.
B
B
n
A
A
n
AB, n
2
或
2
sin cos AB,n AB n
| AB || n |
A1
D
C1
B1
五、小结
1．利用向量法求空间角和空间距离， 建系和写出点的坐标是关键。公式要理 解地记清楚。
2．角的计算与度量总要进行转化，这 体现了转化与化归的思想，主要将空 间角转化为平面角或两向量的夹角．
4.两个平面所成的角θ
n1 n2
思考：
(1)两平面所成角与
二面角一样吗？
(2)θ的范围；
[0, ]
2
(3)θ与 n1,n2 的关系.
n1
n2
n1,n2 或
cos
cos
n1, n2
|
n1 n2 n1 || n2
|
5.点(直线、平面)到平面的距离
n
●
B
●A
思考：
B到平面的距离与直 线AB和平面所成角之 间有何关系?
直线EF和AM所成角的余弦值为⅓，若存在求出M点
坐标，若不存在，请说明理由; (3)求直线EF和平面PBD所成角的正弦值的范围.
DY
C
三、练习
练习1：
A
A1
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中
BC=1,BB1=2,AB= 2 ,BC⊥CC1，
AB⊥侧面BB1C1C,E是CC1中点. 求：
B
B1
(1)求直线AB与平面A1BC1 所成角的正弦值.
二、例题
例1 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为AD中点.
求: (1)异面直线A1C和BE所成角的余弦值； (2)直线A1C和平面BD1E所成角的正弦值; (3)平面BD1E和平面AA1D1D所成角的余弦值. (4)B1到平面BD1E的距离.
D1 Z
C1
A1
D E A
X
B1
Y
C
空间几何量的计算—— 向量法在求空间角和距离中的应用
一、复习
1.两个向量的数量积
ab | a || b | cos a,b
变形： cos a,b a b
| a || b |
思考： a,b 的范围？ [0, ]
2.异面直线所成的角θ
●
B ●A
●
C
●
D
思考：
(1)θ的范围；
(0, ]
2
(2)θ与 AB,CD 的关系.
C
E
C1
(2)求二面角A-B1E-A1的大小 (3)试在AE上找一点M,使得BM与B1C1所成角是60o
练习2：
A
源自文库
如图,三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长为2，
AA1⊥平面ABC,D是CC1中点.
C
求：
(1)异面直线AB1与BD所成角的大小； (2)AB1与平面A1BD所成角的大小； B (3)二面角A-A1D-B的余弦值; (4)C到平面A1BD的距离.
B●
n
d
A
d | AB | sin
d | AB | sin | AB | | AB n | | AB n |
| AB || n | | n |
几个夹角公式的比较
(1)求两异面直线a、b的夹角θ，须求出它们方向向量 v1，v2的夹角，则cosθ＝|cos<v1,v2>|
(2)求直线l与平面α所成的角θ