CH第一型曲线积分实用PPT课件

•任取(i i)si
得第i小段质量的近似值ρ(i i)si
•整个曲线形构件的质量近似为
n
M (i ,i ) si .
i 1
•令max{s1 s2 sn}0 则整个曲线形构件的质量为
n
M
lim
0
i 1
(i ,i ) si .
第3页/共23页
设L为xOy面内的一条光滑曲线弧 函数f(x y)在L上有界
将L任意分成n个小弧段 s1 s2 sn(si也表示第i个小弧段的长度)
在每个小弧段si上任取一点(i i) 作和
n
f (i ,i ) si
如果当max{s1 s2 isn1}0时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f(x y)在
曲线弧L上对弧长的曲线积分
记作
L f ( x, y)ds ,即
n
L
f ( x, y)ds lim 0
i 1
f (i ,i ) si .
其中f(x y)叫做被积函数 L叫做积分弧段
第4页/共23页
n
L
f (x,
y)ds lim 0
i 1
f (i ,i ) si .
说明
•对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分
•当函数f(x y)在光滑曲线弧L上连续时 函数f(x y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分是存在 的 以后我们总假定f(x y)在L上是连续的
L
L1
L2
•性质3 设在L上f(x y)g(x y) 则
L f (x, y)ds L g(x, y)ds
特别地 有
| L f (x, y)ds| L| f (x, y)|ds
第7页/共23页
根据对弧长的曲线积分的定义 如果曲线形构件L的线密度为f(x y) 则曲线形构件L 的质量为
L f (x, y)ds
•曲线形构件的质量就是曲线积分
的值( x, y)ds L
•类似地可以定义函数f(x y z)在空间曲线弧上对弧长的曲线积分
n
f ( x, y, z)ds
lim
0
i 1
f (i ,i , i ) si .
第5页/共23页
n
L
f (x,
y)ds lim 0
i 1
f (i ,i ) si .
特殊情形
(1) L : y ( x) a x b.
f ( x, y)ds
b
f [ x, ( x)]
1 2( x)dx. (a b)
L
a
第12页/共23页
(2) L : x ( y) c y d.
f ( x, y)ds d f [ ( y), y] 1 2( y)dy.
y
2 (t ) 2 (t ) d t
因此上述计算公式相当于“换元法”. o
ds dy dx
xx
第9页/共23页
根据对弧长的曲线积分的定义 如果曲线形构件L的线密度为f(x y) 则曲线形构件L 的质量为
L f (x, y)ds
另一方面 如果曲线L是光滑的 其参数方程为 x(t) y (t) (t)
f ( x, y)ds
L
第6页/共23页
•性质1 设c1、c2为常数 则
L[c1 f
(x, y)c2g(x, y)]ds c1
L
f
(x, y)dsc2
g(x, y)ds
L
•性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2 则
f (x, y)ds f (x, y)ds f (x, y)ds
L
c
(c d)
推广: : x (t), y (t), z (t). ( t )
f ( x, y, z)ds f [ (t), (t), (t)] 2(t) 2(t) 2(t)dt
( )
第13页/共23页
空间R3中的曲线：x=(t), y=(t), z=(t), ≤t≤
则曲线积分
f ( x, y ) ds 存在 并 且
L
f (x, y)ds
f [(t), (t)]
2(t) 2(t)dt ()
L
应注意的问题 定积分的下限一定要小于上限
第11页/共23页
注意:
1. 定积分的下限 一定要小于上限 ;
2. f ( x, y)中x, y 不彼此独立, 而是相互有关的.
另一方面 如果曲线L是光滑的 其参数方程为 x(t) y (t) (t)
则曲线形构件L的质量为
f [(t), (t)] 2(t)2(t)dt
提示 曲线形构件L的质量元素为
f (x, y)ds f [(t), (t)] 2(t)2(t)dt
第8页/共23页
注意到
ds (d x)2 (d y)2
z
O
y
x
f (x, y, z)ds
f [(t), (t),(t)]
2 (t) 2 (t) 2 (t)dt
( < )
第14页/共23页
例1. 计
其中 L 是抛物线
算 与点 B (1,1) 之间的一段弧 .
则曲线形构件L的质量为
于是
f [(t), (t)] 2(t)2(t)dt
f ( x, y ) ds f [ (t ), (t )] 2(t ) 2(t ) dt
L
第10页/共23页
❖定理
设f(x y)在曲线弧L上有定义且连续 L的参数方程为 x(t) y(t) (t)
其中(t)、(t)在[ ]上具有一阶连续导数 且2(t)2(t)0
•把曲线弧L分成n个小段 s1 s2 sn(si也表示弧长)
•任取(i i)si
得第i小段质量的近似值ρ(i i)si
第2页/共23页
❖曲线形构件的质量
设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上 已知曲线形构件在点(x y) 处的线密度为ρ(x y)
•把曲线弧L分成n个小段 s1 s2 sn(si也表示弧长)
说明
•如果L(或)是分段光滑的 则规定函数在L(或)上的曲线积 分等于函数在光滑的各段上 的曲线积分的和
例如 设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2 则规定
ห้องสมุดไป่ตู้
f ( x, y)ds f (x, y)ds f ( x, y)ds.
L1 L2
L1
L2
•函数f(x y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作
❖曲线形构件的质量 在设计曲线形构件时，为了合理使用材料，应该根据
各部分受力情况，把构件上各点处的粗细程度设计的不完 全一样。因此，可以认为这个构件的线密度（单位长度的 质量）是变量。
第1页/共23页
❖曲线形构件的质量
设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上 已知曲线形构件在点(x y) 处的线密度为ρ(x y)