八年级数学上册解题技巧专题乘法公式的灵活运用(新版)华东师大版
华师大版-数学-八年级上册-华东师大版数学八年级上12.3 乘法公式素材
完全平方与平方差1. 不管是完全平方公式还是平方差公式，都要牢牢记住等式两边的特点完全平方公式：2222222)(2)(b ab a b a b ab a b a +-=-++=+平方差公式： 22))((b a b a b a -=-+2. 公式中的字母可表示具体的数，也可表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，就可以套用公式。
但特别注意分清哪部分代表公式中的a ，哪部分代表公式中的b 。
如：（-x+2y ）(-x-2y)=(2y-x-3z)(-x-2y-3z)=3. 公式的灵活运用。
① 完全平方公式中2222222)(2)(b ab a b a b ab a b a +-=-++=+abb a ab b a b a 2)(2)(2222+-=-+=+②平方差公式中22))((b a b a b a -=-+22))((b b a b a a +-+=运用这点可快速算出两位数以上的平方如：12255)535)(535(3522=+-+=（一般只用于尾数是5的计算）③在22))((b a b a b a -=-+中，有三个多项式，若已知任意两个值，即可求第三个值。
④对公式22))((b ab a b a -=-+的逆运用，即用))((22b a b a b a -+=-来求解问题。
如： ()()[]()()[]b a b a b a b a b a b a --+-++=--+22)()( ())2(42+=-x x完全平方练习：1. 已知k x x ++42是完全平方式，求常数k2. ()=+232y x3. ()()()22b a b a -=++ 4. ()()=+-22n m n m5. 已知a+b=3 , ab=-12.求1）22b a + 2）22b ab a +- 3）()()=+-n m n m 26. 21=-x x 求=-221xx 7. 14122=-xx 求=-x x 1 8. 21=-x x 求x x 1+ 9. 计算()22103,99 10. ()()=+-223232y x y x 11. ()()[]222b a b a -++12. 已知2,1422=+=+xy y xy x 求 1）x+y 的值 2）()222y x y x +--13. 因式分解4422+--x y x14. 计算()()=++-+-+102102z y x z y x15. 试说明x,y 的取值范围，当代数式136422+-++y x y x 的值恒大于等于零。
八年级数学上册 乘法公式专题训练 (新版)华东师大版
12.3乘法公式专题一与乘法公式有关的规律探究题1. 观察下列各式：（x-1）（x+1）=x2-1（x-1）（x2+x+1）=x3-1（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1（x-1）（x4+x3+x2+x+1）=x5-1（1）你能否由此归纳出一般性规律：（x-1）（x n-1+x n-2+x n-3+…+x2+x+1）=____；（2）根据（1）求出：1+2+22+…+262+263的结果.2.观察下面各式规律：12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；22+（2×3）2+32=（2×3+1）2；32+（3×4）2+42=（3×4+1）2…写出第n个的式子，并证明你的结论．专题二与平方差公式有关的图形问题3. 如下图，把正方形的方块，按不同的方式划分，计算其面积，便可得到不同的数学公式．按图1所示划分，计算面积，便得到一个公式：（x+y）2=x2+2xy+y2．若按图2那样划分，大正方形则被划分成一个小正方形和两个梯形，通过计算图中的面积，请你完成下面的填空．（1）图2中大正方形的面积为__________；（2）图2中两个梯形的面积分别为__________；（3）根据（1）和（2），你得到的一个数学公式为______________________．4. 图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的面积为_______；（2）观察图2，三个代数式（m+n)2，（m-n)2，mn之间的等量关系是_______若x+y=-6，xy=2.75，则x-y=___________(4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢?（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2.专题三平方差公式的逆运用5.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“神秘数”（1）28和2 012这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？为什么？状元笔记【知识要点】1. 平方差公式：(a+b)（a-b）=a2-b2．用语言叙述为：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差．1.完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2 -2ab+b2.语言叙述为：两数和（或差）的平方，【方法技巧】平方差公式常用的几种变化形式：(1)位置变化：(b+a)(-b+a）=(a+b)(a-b）=a2 -b2；(2)符号变化：（-a-b）（a-b）=-（a+b）（a-b）=-(a2-b2)；(3)系数变化：(2a+3b)(2a-3b)=4a2-9b2；（4）指数变化：(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4（5）增项变化：（a-b-c)(a-b+c)=(a-b)2-c2,…完全平方公式常有以下几种变化形式：(l)a2+b2=(a+b)2-2ab;(2)a2+b2=(a-b)2+2ab；(3)2ab=(a+b)2-(a2+b2);(4)2ab=(a2+b2)-(a-b)2；(5)(a+b)2=(a-b)2+4ab；（6）(a-b)2-(a+b)2=4ab.。
华东师大初中数学八年级上册乘法公式(提高)知识讲解[精品]
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乘法公式（提高）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】【高清课堂 乘法公式 知识要点】 要点一、平方差公式平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 要点二、完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±；33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++. 【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、计算(2＋1)(221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1．【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，221+与221-，421+与421-等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算. 【答案与解析】解：原式＝(2－1)(2＋1)( 221+)(421+)(821+)(1621+)(3221+) ＋1 ＝(221-)( 221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1 ＝642－1＋1＝642．【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力． 举一反三：【高清课堂 乘法公式 例1（7）（8）】 【变式1】计算：(1)2(3)(9)(3)x x x -++(2)(a ＋b )( a －b )( 22a b +)( 44a b +) 【答案】解：(1)原式＝[(x ＋3)(x －3)](29x +)＝(29x -)(29x +)＝481x -． (2)原式＝[(a ＋b )( a －b )]( 22a b +)( 44a b +) ＝[(22a b -)( 22a b +)]( 44a b +)＝(44a b -)( 44a b +)＝88a b -．【变式2】（2015•内江）（1）填空：（a﹣b）（a+b）= ；（a﹣b）（a2+ab+b2）= ；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）= ．（2）猜想：（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+…+ab n﹣2+b n﹣1）= （其中n为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．【答案】解：（1）（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3=a3﹣b3；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4=a4﹣b4；故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4；（2）由（1）的规律可得：原式=a n﹣b n，故答案为：a n﹣b n；（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=（2﹣1）（28+26+24+22+2）=342．2、（2016春•户县期末）先化简，再求值．已知|m﹣1|+（n+）2=0，求（﹣m2n+1）（﹣1﹣m2n）的值．【思路点拨】先根据非负数的性质，求出m，n的值，再根据平方差公式求代数式的和即可．【答案与解析】解：∵|m﹣1|+（n+）2=0，∴m﹣1=0，n+=0，∴m=1，n=﹣，∴（﹣m2n+1）（﹣1﹣m2n）=m4n2﹣1==1×﹣1==﹣．【总结升华】本题考查了非负性的应用，解决本题的关键是熟记乘法公式，掌握公式的基本形式，才能使问题更加简单化．举一反三：【变式】解不等式组：(3)(3)(2)1,(25)(25)4(1).x x x x x x x x +--->⎧⎨---<-⎩【答案】 解： (3)(3)(2)1,(25)(25)4(1).x x x x x x x x +--->⎧⎨---<-⎩①②由①得22921x x x --+>，210x >，5x >．由②得2225(2)44x x x -<-，2225444x x x -<-，425x -<-， 6.25x >．∴ 不等式组的解集为 6.25x >．类型二、完全平方公式的应用3、运用乘法公式计算：（1）2(23)a b +-；（2）(23)(23)a b c a b c +--+．【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将23a b +-化成(23)a b +-，看成a 与(23)b -和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相乘，其中a 与a 完全相同，2b ，3c -与2b -，3c 分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”． 【答案与解析】解：（1）原式222[(23)]2(23)(23)a b a a b b =+-=+-+-22464129a ab a b b =+-+-+ 22446129a b ab a b =++--+．（2）原式22222[(23)][(23)](23)4129a b c a b c a b c a b bc c =+---=--=-+-． 【总结升华】配成公式中的“a ”“b ”的形式再进行计算. 举一反三：【变式】运用乘法公式计算：(1)()()a b c a b c -++-； (2)()()2112x y y x -+-+； (3)()2x y z -+； (4)()()231123a b a b +---． 【答案】解：(1) ()()a b c a b c -++-＝[a －(b －c )][ a ＋(b －c )]＝()()222222a b c a b bc c--=--+＝2222a b bc c -+-．(2) ()()2112x y y x -+-+ ＝[2x ＋(y －1)][2x －(y －1)]＝()()()222221421x y x y y --=--+＝22421x y y -+-．(3)()()()()22222x y z x y z x y x y z z -+=-+=-+-+⎡⎤⎣⎦＝222222x xy y xz yz z -++-+．(4) ()()231123a b a b +---＝()2231a b -+-＝－22[(23)2(23)1]a b a b ＋－＋＋＝－()22(2)2233461a a b b a b ⎡⎤+⋅⋅+--+⎣⎦＝224129461a ab b a b －－－＋＋－4、已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足2220a b c ab bc ac ++---=，试判断△ABC的形状．【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系． 【答案与解析】解：∵ 2220a b c ab bc ac ++---=，∴ 2222222220a b c ab bc ac ++---=，即222222(2)(2)(2)0a ab b b bc c a ac c -++-++-+=． 即222()()()0a b b c a c -+-+-=． ∴ 0a b -=，0b c -=，0a c -=，即a b c ==，∴ △ABC 为等边三角形．【总结升华】式子2220a b c ab bc ac ++---=体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着2ab 中的2倍，故想到等式两边同时扩大2倍，从而得到结论． 举一反三：【变式】多项式222225x xy y y -+++的最小值是____________. 【答案】4；2222-+++=-+++，所以最小值为4.222514x xy y y x y y提示：()()。
华师版八年级数学上册第12章-微专题4 活用乘法公式进行计算的五种技巧
计算的五种技巧
专题解读 乘法公式是指平方差公式和完全平方公式，公式可 以正用，也可以逆用．在使用公式时，要注意以下几点： 1.公式中的字母 a，b 可以是任意一个式子；2.公式可以 连续使用；3.要掌握好公式中各项的关系及整个公式的 结构特点；4.在运用公式时要学会运用一些变形技巧， 如：
2．已知 x＋1x＝3，求 x4＋x14的值． 解：因为 x＋1x＝3，所以(x＋1x)2＝9，所以 x2＋x12＝ 7，所以(x2＋x12)2＝49，所以 x4＋x14＝47.
类型 2 巧用乘法公式进行简便运算 3．计算：1002－992＋982－972＋…＋42－32＋22－ 12. 解：原式＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12) ＝(100＋99)×(100－99)＋(98＋97)×(98－97)＋… ＋(2＋1)×(2－1) ＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1 ＝100×（1200＋1） ＝5050.
(1)a2＋b2 的变形： ①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab； ②a2＋b2＝(a－b)2＋2ab； ③a2＋b2＝12[(a＋b)2＋(a－b)2]．
(2)ab 的变形： ①ab＝12[(a＋b)2－(a2＋b2)]； ②ab＝12[(a2＋b2)－(a－b)2]； ③ab＝14[(a＋b)2－(a－b)2]．
类型 5 巧用乘法公式解决复杂问题(换元法) 6．计算20192012702＋192200119822 0192－2的值．
解：设 20192018＝m， 则原式＝（m－1）2＋m（2 m＋1）2－2 ＝（m2－2m＋1）＋m（2 m2＋2m＋1）－2＝2mm22＝12.
(3)a±b 的变式： ①a±b＝(a2－b2)÷(a∓b)； ②(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab； ③(a－b)2＝(a＋b)2－4ab.
12.3 乘法公式 华东师大版数学八年级上册课件
(3)(x2-1)(1+x2)
1
1
1
1
(4)(- s+ t）（ s+ t）
3
3
2.计算:
(1)(3a+b) 2
1
(2)(2a+ b) 2
(3)(2a-4b) 2
1 1
(4)( a- b) 2
2 2
3.计算:
(1)(-m2-2m) 2
(2)(-2x+y）（-2x-y）
(3)(2a +1)(-2a-1).
4.填空:
(1)a2+6a+_____=(a+_____) 2
(2)4x2-20x+______=(2x -_______) 2
(3)a2+b2=(a-b) 2+______
(4)(x-y) 2+__________=(x+y) 2
a +b
=_________________________
利用这个公式,可以直接计算两数和乘以这两数的差.
这就足说，两数和与这两数差的积，等于这两数的平方
差.这个公式叫做两数利与这两数差的乘法公式,有时也
简称为平方差公式
试一试
观察图-12:-3..1用等式表示下图中图形面积的运算.
a
b
（a+b）（a-b）
a
2
b2
例题精讲
例1
计算:
(1)(a+3)(a-3)= (a+3)(a-3)=a 2-32=a-9
(2)(2a +3b)(2a -3b) = (2a)2 -(3b)2=4a 2-9b2
华东师大版(新版)八年级数学上册：第12章整式的乘除小结与复习课件
8．因式分解的步骤 如果多项式的各项有公因式，那么先 提取公因式； 在各项提出公因式后或各项没有公因式的情况下，视察多项 式的次数：二项式可以尝试运用 平方差公式分解因式；三项 式可以尝试运用 两数和(差)公的式分解因式； 分解因式必须分解到每一个因式在指定的范围内都不能
再分解 为止．
9．图形面积与代数恒等式
整体思想
例6 若2a+5b-3=0，则4a·32b= 8 . 【解析】已知条件是2a+5b-3=0，无法求出a，b的值因此可以 逆用积的乘方先把4a·32b.化简为含有与已知条件相关的部分， 即4a·32b=22a·25b=22a+5b.把2a+5b看做一个整体，因为2a+5b3=0，所以2a+5b=3，所以4a·32b=23=8.
[注意] 其中的a、b代表的不仅可以是单独的数、单独的字
母，还可以是一个任意的代数式；这几个法则容易混淆，计算 时必须先搞清楚该不该用法则、该用哪个法则．
2．整式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的 系数 、 相同字母的幂 分别 相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一 起作为积的一个 因式 . 单项式与多项式相乘，用 单项式 和 多项式 的每一项分别相 乘，再把所得的积 相加 . 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 每一项 与另一个 多项式的 每一项 相乘，再把所得的积 相加 .
5．因式分解的意义 把一个多项式化成几个整式的 积 的情势，叫做多项式的 因式分解．
因式分解的过程和 整式乘法 的过程正好相反．
6．用提公因式法分解因式 公因式的确定：公因式的系数应取多项式各项整数系数的 最大公约数 ；字母取多项式各项 相同 的字母；各字母 指数取次数最 低 的． 一般地，如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公 因式提到 括号 外面，将多项式写成 因式乘积 的情势，这 种分解因式的方法叫做提公因式法． [注意] 提公因式法是因式分解的首选方法，在因式分解时 先要考虑多项式的各项有无公因式．
华师大版-数学-八年级上册-怎样应用乘法公式解决化简求值
初中-数学-打印版
怎样应用乘法公式解决化简求值
怎样应用乘法公式解决化简求值
难易度：★★★★
关键词：整式
答案：
平方差公式是两数和与两数差的积等于这两数的平方差，而完全平方公式是两数和与差的平方等于这两数平方的和与两数积的两倍。
【举一反三】
典例：先化简，再求值：，其中，。
思路导引：一般来讲，解决本题要明确平方差公式是两数和与两数差的积等于这两数的平方差，而完全平方公式是两数和与差的平方等于这两数平方的和与两数积的两倍，只有准确把握这些特征才能提高化简求值题的正确率。
标准答案：5
初中-数学-打印版。
八年级数学上册 12.2 整式的乘法 数形结合理解整式的乘法素材 (新版)华东师大版
数形结合理解整式的乘法
我们已经学习了整式的乘法和乘法公式，并且都知道了字母表示的法则，那么你能了解这些法则的几何意义吗？会验证这些法则吗？为了帮助同学们能熟练掌握，现逐一验证如下，供参考：
一、单项式乘以多项式
如图1，大长方形的面积从整体看为S=m（a+b+c），同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成：S＝S1+S2+S3＝ma+mb+mc；于是有m（a+b+c）＝ma+mb+mc。
从而验证了单项式与多项式相的法则。
二、多项式乘以多项式
如图2，大长方形的面积从整体可以表示成（a+b）（m+n），同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成S＝S1+S2+S3+S4＝ma+mb+na+nb；于是有（a+b）（m+n）＝ma+mb+na+nb.从而验证了多项式与多项式相乘的法则。
华师大版八年级上册1乘法公式课件
感悟新知
特别解读 公式的特征：
知1－讲
1. 等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项
完全相同，另一项互为相反数；
2. 等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减
去相反项的平方；
3. 理解字母a、b的意义，平方差公式中的a、b既可代表
一个单项式，也可代表一个多项式.
感悟新知
2. 平方差公式的几种常见变化及应用
解题秘方：确定公式中的“a”和“b”，利用完 全平方公式进行计算.
感悟新知
解：(x+7y)2 =x2+2·x·7y+(7y)2 =x2+14xy+49y2. (－4a+5b)2 =(5b－4a)2 =(5b)2－2·5b·4a+(4a)2 =25b2－40ab+16a2.
括号不能漏掉.
知2－练
不能漏掉“2ab”项，且符号 与完全平方中的符号一致.
知2－讲
感悟新知
知2－讲
ab= ［12 (a+b)2－(a2+b2)］= ［14(a+b)2－(a－b)2］； (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； a2+b2+c2+ab+ac+bc= ［1(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2 ］
2
感悟新知
知2－讲
特别解读 1. 弄清公式的特征：公式的左边是一个二项式的平方，
感悟新知
例2 计算： 10.3×9.7；2 022×2 024－2 0232.
知1－练
解题秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差公式 进行计算.
八年级数学上册123乘法公式教案华东师大版
12.3 乘法公式习题课教学目标知识与技能：引导学生进行观察、分析，使他们能掌握每一个公式的结构特征，及其公式的含义，并能熟练应用乘法公式．过程与方法：经历探索和理解，感受到乘法公式是一般到特殊的认知过程，开阔学生视野．情感态度与价值观：培养探究意识，感悟数学方法，形成良好的数学感知，体会其实际价值．重点、难点、关键重点：乘法公式的正确应用，提高运算能力．难点：对乘法公式的结构特征以及意义的理解．关键：对公式的结构特征应做出具体分析，掌握公式的特征，加深理解，并培养学生在多变的情况下运用公式．教具准备投影仪．教学过程一、回顾1．口述两数和乘以它们的差的公式．2．口述两数和的平方的公式．3．这两个公式在结构特征上有什么区别？二、参与其中，主动探索例1 计算：（1）（72y+35x）（53x－72y）（2）（－37a－15a2b）（37a－15a2b）（3）（3x－4y）（3x+4y）（9x2+16y2）思路点拨：计算上述题目，注意正确应用两数和乘以这两数的差，在应用公式时注意符号问题．例2 计算（2x－3y－1）（2x+3y+1）．思路点拨：本题不能直接用乘法公式，应进行适当的变形，使这个算式符合公式的特征．可采用适当的分组，变形为[2x－（3y+1）][ 2x +（3y+1）]，这就完全符合公式条件了．解：（2x－3y－1）（2x+3y+1）=[2x－（3y+1）][2x+（3y+1）]=4x2－（3y+1）2=4x2－（9y2+6y+1）=4x2－9y2－6y－1点评：如本道题这样的两个三项式的积，一般说，在对应的三项之中，有一项相同，两项互为相反数，或者有两项完全相同，一项互为相反数，通常是将完全相同的项分为一组，符号相反，绝对值相等的项分为另一组．例3 运用乘法公式计算．（1）745×815（2）100012思路点拨：因为745可以改写成8－15，815可以改写成8+15，•这样可用两数和乘以这两数差的公式．同样，100012可以改写成（10000+1）2，可以用两数和的平方公式来运算．解：（1）745×815=（8－15）（8+15）=64－124632525（2）（10000+1）2=100002+20000+1=100020001 例4 先化简，再求值．[（x+12y）2+（12y－x）2]（12y2－2x2），其中x=2，y=－1．思路点拨：本道题应先通过化简，这里的中括号内的两项用乘法公式展开并整理后得12y2+2x2，则原代数式化简为（12y2+2x2）（12y2－2x2），再通过观察和分析，•可联想到用两数和乘以这两数的差的公式就容易进一步化简了．解 [（x+12y）2+（12y－x）2]（12y2－2x2）=[（x2+xy+14y2）+（14y2－xy+x2）]（12y2－2x2）=（12y2+2x2）（12y2－2x2）=14y2－4x2当x=2，y=－1时原式=14×（－1）2－4×22=14－16=－1534点评：对于代数式求值问题，一般是先将所给代数式化简成最简单的形式，然后代入求值．教师活动：讲演范例、引导．学生活动：参与讨论、探索规律．教学活动：合作探究．三、随堂练习，巩固知识1．填空题：（1）（2x+7y）（2x－7y）=_________（2）（－x－2y）2=_________（3）19952－1994×1996=_________（4）若x+y=－1，xy=5，则x2+y2=_______（5）若a+b=－5，ab=7，则（a－b）2=________（6）（x－y）（x+y）（x2－y2）=_________2．计算题．（1）（3x+4）2（3x－4）2（2）（x+y－z）（x－y+z）（3）（x+3）2－2（x+3）（x－3）－3（x－3）2（4）（x－2b+1）2（5）0.982教师活动：操作投影仪、巡视、引导．学生活动：书面练习，板演、回答提问．教学方法和媒体：投影显示练习题．四、全课小结，提高认识1．本节课应理解乘法公式是一种特殊形式的乘法，•掌握好乘法公式的结构特征，并注意其区别． 2．掌握乘法公式使计算简便．3．通过学习能灵活运用公式进行计算，提高运算能力，•还应提高综合运用公式的能力．五、作业布置选用课时作业设计．课时作业设计一、判断题1．（a－b）2=a2－b2（）2．（x－y）2=x2－2xy－y2（）3．（2x－y）（2y－x）=4x2－y2（）4．（x+2y）（x－2y）=x2－4xy+y2（）5．（－m－n）2=m2+2mn+n2（）二、填空题6．（x 2+23）2=x 4+______+49 7．（x －52y ）2=x 2－5xy+______8．（______+2714)______55b =+ab+______9．（－7x －3y ）2（－7x+3y ）2=________ 10．12x 2－3（x －1）（x －7）=________ 11．若a+1a =53，则a 2+21a=__________ 12．若x （x －1）－（x 2－y ）=4，则222y x +－xy=_________三、选择题13．计算（a －1）（a+1）（a 2+1）的正确结果是（ ）． A ．a 4+1 B ．a 4－1 C ．a 4+2a+1 D ．a 2－1 14．在下列各式的计算中正确的个数有（ ）个． （1）（－x －y ）2=x 2+y 2（2）（14x+1）2=14x 2+12x+1（3）（x －2y ）2（x+2y ）2=x 4－16y 4（4）（m+n ）（m －n ）（m 2－n 2）=m 8－2m 4n 4+n 8A ．0B ．2C ．3D ．415．多项式x 的计算结果是x 2y 2－2xy+1，则x 等于（ ）．A ．（xy －1）2B ．（xy+1）2C ．（x+y ）2D ．（x －y ）216．下列各式的计算中，错误的是（ ）． A ．（x+1）（x+4）=x 2+5x+4 B ．（x 2－13）（x 2+13）=x 4－19C ．1－2（xy －1）2=－2x 2y 2+4xy －1 D ．（1+4x ）（1－4x ）=1－32x+16x 2四、计算题17．（2m －1）（2m+1）－3（m －2）218．（1－2x ）（1－3x ）－4（3x －1）219．（14x －25y ）2（14x+25y ）220．（m 4+116）（m 2+14）（m+12）（m －12） 21．（a －2b+3）（a+2b －3） 22．（a －2b －3）（a －2b+3）23．[（x －y ）2+（x+y ）2]（x 2－y 2） 24．（m －n －3）2五、先化简，再求值25．（m －14n ）（m+14n ）－3（m+14n ）2，其中m=－1，n=4． 26．[（x+y ）2+（x －y ）2+（x －12y ）2－（x+12y ）2]·（x+y ），其中x=12，y=34．六、解下列方程27．（x －2）（x+1）=（x －3）（x+5）－10 28．（2x+1）（x －1）－1=（1+x ）（2x －1） 29．（3x －4）（3x －4）>8（x －2）（x+3）+x 2答案:一、1．× 2．× 3．× 4．× 5．∨二、6．43x 2 7．2225498.425y a a b 9．81y 4－882x 2y 2+2401x 410．9x 2+24x －21 11．7912．•8 三、13．B 14．A 15．A 16．D四、17．m 2+12m －1318．－30x 2+19x －3 19．422481116120.25650625256x x y y m -+-21．a 2－4b 2+12b －9 22．a 2－4ab+4b 2－9 23．2x 4－2y 424．m 2+n 2+9－2mn －6m+6n五、25．0 26．3532六、27．x=23328．x=－12 29．x<42019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，将矩形纸片ABCD 沿其对角线AC 折叠，使点B 落到点B′的位置，AB′与CD 交于点E ，若AB=8，AD=3，则图中阴影部分的周长为( )A ．16B ．19C ．22D ．252．某学校改造一个边长为5米的正方形花坛，经规划后，南北方向要缩短x 米(0<x<5)，东西方向要加长x 米，则改造后花坛的面积与原来的花坛面积相比（ ） A ．增加了x 平方米 B ．减少了2x 平方米 C ．保持不变D ．减少了x 2平方米3．在四边形ABCD 中，若,,AB a AD b BC c ===，则CD 等于（ ） A ．a b c --B ．a b c -+-C ．a b c -+D ．a b c -++4．如图：由火柴棒拼出的一列图形，第n 个图形是由(1)n +个等边三角形拼成的，通过观察，分析发现：第8个图形中平行四边形的个数（ ）．A ．16B ．18C ．20D ．225．某校九年级（1）班全体学生体能测试成绩统计如下表（总分30分）： 成绩（分） 24 25 26 27 28 29 30 人数（人）2566876根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是( ) A ．该班一共有40名同学 B ．成绩的众数是28分 C ．成绩的中位数是27分D ．成绩的平均数是27.45分6．A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB 1700=米，800BC =米，AC 1500=米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ）A ．AB 的中点 B ．BC 的中点C ．AC 的中点D ．C ∠的平分线与AB 的交点7．为了解某公司员工的年工资情况，小王随机调查了10位员工，某年工资(单位：万元)如下：3，3，3，4，5，5，6，6，8，20.下列统计量中，能合理反映该公司员工年工资水平的是( ) A ．方差B ．众数C ．中位数D ．平均数8．有一组数据7、11、12、7、7、8、11，下列说法错误的是（ ） A ．中位数是7B ．平均数是9C ．众数是7D ．极差为59．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ）A ．∠1=∠2B ．AB ⊥AC C ．AB=CD D ．∠BAD+∠ABC=180°10．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．80（1+x ）2=100B ．100（1﹣x ）2=80C ．80（1+2x ）=100D ．80（1+x 2）=100 二、填空题11．为了估计湖里有多少鱼，我们从湖里捕上150条鱼作上标记，然后放回湖里去，经过一段时间再捕上300条鱼，其中带标记的鱼有30条，则估计湖里约有鱼_______条．12．如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD=120°，点E 是AB 的中点，点F 是AC 上的一动点，则EF+BF 的最小值是 ．13．如图，在矩形ABCD 中，20BC cm =，点P 和点Q 分别从点B 和点D 同时出发，按逆时针方向沿矩形ABCD 的边运动，点P 和点Q 的速度分别为3/cm s 和2/cm s ，当四边形ABPQ 初次为矩形时，点P 和点Q 运动的时间为__________s ．14．如图，在平面直角坐标系中，正方形OA 1B 1C 1，B 1A 2B 2C 2，B 2A 3B 3C 3，···的顶点B 1，B 2，B 3，···在x 轴上，顶点C 1，C 2，C 3···在直线y=kx+b 上，若正方形OA 1B 1C 1，B 1A 2B 2C 2的对角线OB 1=2，B 1B 2=3, 则点C 5的纵坐标是_____．15．已知等腰三角形的周长为24，底边长y 关于腰长x 的函数表达式(不写出x 的取值范围) 是________．16．若分式 23122x x --的值为零，则 x =_____．17．已知△ABC 的一边长为 10，另两边长分别是方程 x2 - 14 x + 48 = 0 的两个根若用一圆形纸片将此三角形完全覆盖，则该圆形纸片的最小半径是_______________． 三、解答题18．为了庆祝新中国成立70周年，某校组织八年级全体学生参加“恰同学少年，忆峥嵘岁月”新中国成立70周年知识竞赛活动．将随机抽取的部分学生成绩进行整理后分成5组，50～60分（5060x ≤<）的小组称为“学童”组，60～70分(6070x ≤<)的小组称为“秀才”组，70～80分(7080x ≤<)的小组称为“举人”组，80～90分(8090x ≤<)的小组称为“进士”组，90～100分(90100x ≤≤)的小组称为“翰林”组，并绘制了不完整的频数分布直方图如下，请结合提供的信息解答下列问题：（1）若“翰林”组成绩的频率是12.5％，请补全频数分布直方图； （2）在此次比赛中，抽取学生的成绩的中位数在 组；（3）学校决定对成绩在70～100分(70100x ≤≤)的学生进行奖励，若八年级共有336名学生，请通过计算说明，大约有多少名学生获奖?19．（6分）已知直线y＝kx+b经过点A（﹣20，1）、B（10，20）两点．（1）求直线y＝kx+b的表达式；（2）当x取何值时，y＞1．20．（6分）为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，某校举办了“汉字听写大赛”，学生经选拔后进入决赛，测试同时听写100个汉字，每正确听写出一个汉字得1分，本次决赛，学生成绩为x（分），x<（无满分），将其按分数段分为五组，绘制出以下不完整表格：且50100组别成绩x（分）频数（人数）频率x< 2 m一5060x<10 0.2二6070x<12 b三7080x<a0.4四8090x< 6 n五90100请根据表格提供的信息，解答以下问题：（1）本次决赛共有__________名学生参加；（2）直接写出表中：a=___________b=____________（3）请补全右面相应的频数分布直方图；（4）若决赛成绩不低于80分为优秀，则本次大赛的优秀率为__________．21．（6分）,A B两地相距300km，甲、乙两车同时从A地出发驶向B地，甲车到达B地后立即返回，如图是两车离A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象.（1）求甲车行驶过程中y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围. （2）若两车行驶5h 相遇，求乙车的速度.22．（8分）在平面直角坐标系中，设两数12,ny x m y x=-+=(m n ，， 是常数，0n ≠)．若函数1y x m=-+的图象过(2)n -，，且6n m +=． (1)求m n ，的值：(2)将函数 y x m =-+的图象向上平移()0h h >个单位，平移后的函数图象与函数2 ny x=的图象交于直线4y =上的同一点，求h 的值；(3)已知点()M a b ， (a b ，为常数)在函数1 y x m =-+的图象上，()M a b ，关于y 轴的对称点为N ，函数3 0()y kx m k =+≠的图象经过点N ，当1322y y y +<时，求x 的取值范围． 23．（8分）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，CE ∥BD 交AD 的延长线于点E ，CE=AC ． （1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）若AB=4，AD=3，求四边形BCED 的周长．24．（10分）如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于点E 点，延长BC 至F 点使=CF BE ，连接AF ，DE ，DF.（1）求证：四边形AEFD 是矩形；（2）若6AB =，8DE =，10BF =，求AE 的长.25．（10分）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，MN 垂直平分BE ，分别交AD ，BE ，BC 于点M ，O ，N ，连接BM ，EN(1)求证：四边形BMEN 是菱形.(2)若AE ＝8，F 为AB 的中点，BF+OB ＝8，求MN 的长.参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确）1．C【解析】【分析】首先由四边形ABCD 为矩形及折叠的特性，得到B′C=BC=AD ，∠B′=∠B=∠D=90°，∠B′EC=∠DEA ，得到△AED ≌△CEB′，得出EA=EC ，再由阴影部分的周长为AD+DE+EA+E B′+B′C+EC ，即矩形的周长解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴B′C=BC=AD ，∠B′=∠B=∠D=90°∵∠B′EC=∠DEA ，在△AED 和△CEB′中，'''BE C DEA B DB C AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AED ≌△CEB′(AAS)；∴EA=EC ，∴阴影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC ，=AD+DE+EC+EA+EB′+B′C ，=AD+DC+AB′+B′C ，=3+8+8+3，=22，故选：C ．【点睛】本题主要考查了图形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，及矩形的性质．熟记翻折前后两个图形能够重合找出相等的角是解题的关键．2．D【解析】【分析】根据题意得到改造后花坛的长为（5+x ）米，宽为（5-x ）米，则其面积为（5+x ）（5-x ）=（25-x 2）平方米，然后根据正方形的面积为52=25平方米可得到改造后花坛的面积减少了x 2平方米．【详解】解：根据题意改造后花坛为矩形，其长为（5+x ）米，宽为（5-x ）米，所以矩形花坛的面积为（5+x ）（5-x ）=（25-x 2）平方米，而原正方形面积为52=25平方米，所以改造后花坛的面积减少了x 2平方米．故选：D【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景：利用几何面积验证平方差公式，根据题意画出图形，数形结合思想解题是本题的解题关键．3．B【解析】【分析】如图，连接BD ．利用三角形法则解题即可．【详解】如图，连接BD ．,,CD BD BC b a c BC =-=--==∵,AB a AD b ==，∴BD AD AB b a =-=-．又BC c =，∴CD BD BC b a c =-=--，即CD a b c =-+-．故选B ．【点睛】考查了平面向量，属于基础题，熟记三角形法则即可解题，解题时，注意转化思想的应用．4．C【解析】【分析】根据图形易得：n=1时有1=12个平行四边形；n=2时有2=1×2个平行四边形；n=3时有4=22个平行四边形；n=4时有6=2×3个平行四边形;由此可知应分n 的奇偶，得出答案.【详解】解：∵n=1时有1=12个平行四边形；n=2时有2=1×2个平行四边形；n=3时有4=22个平行四边形；n=4时有6=2×3个平行四边形；…∴当为第2k-1（k 为正整数）个图形时，有k 2个平行四边形，当第2k （k 为正整数）个图形时，有k （k+1）个平行四边形，第8个图形中平行四边形的个数为即当k=4时代入得4×5=20个，故选C.【点睛】本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．5．C【解析】【分析】结合表格根据众数、平均数、中位数的概念求解．【详解】A、该班的学生人数为2+5+6+6+8+7+6=40（人），故此选项正确；B、由于28分出现次数最多，即众数为28分，故此选项正确；C、成绩的中位数是第20、21个数据的平均数，即中位数为28282+=28（分），故此选项错误；D、24225526627628829730640⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=27.45（分），故此选项正确，故选C．【点睛】本题考查了众数、平均数、中位数的知识，掌握各知识点的概念是解答本题的关键．6．A【解析】【分析】先计算AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000，可得BC2+AC2=AB2，那么△ABC是直角三角形，而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而可确定P点的位置．【详解】解：如图∵AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴活动中心P应在斜边AB的中点．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是证明△ABC是直角三角形．7．C【解析】【分析】根据中位数的定义求解.【详解】解：中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），反映的是一组数据的中间水平．因此能合理反映该公司年工资中等水平的是中位数．故选C．8．A【解析】【分析】根据中位数.平均数.极差.众数的概念求解．【详解】这组数据按照从小到大的顺序排列为：7.7.7.8.11.11.12，则中位数为8，平均数为777811111297++++++=，众数为7，极差为1275-=，故选A．【点睛】本题考查了加权平均数，中位数，众数，极差，熟练掌握概念是解题的关键. 9．B【解析】【分析】根据平行四边形的性质逐一进行分析即可得.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD，AD//BC，故C选项正确，不符合题意；∵AB//CD，∴∠1=∠2，故A选项正确，不符合题意；∵AD//BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，故D选项正确，不符合题意；无法得到AB⊥AC，故B选项错误，符合题意，故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质定理是解题的关键.10．A【解析】【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．【详解】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨，2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，即：80（1+x）2=100，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．二、填空题11．1500【解析】【分析】300条鱼里有30条作标记的，则作标记的所占的比例是30÷300=10%，即所占比例为10%．而有标记的共有150条，据此比例即可解答．【详解】150÷（30÷300）=1500（条）．故答案为：1500【点睛】本题考查的是通过样本去估计总体．12．.【解析】试题分析：首先连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF．证明只有点F运动到点M时，EF+BF 取最小值，再根据菱形的性质、勾股定理求得最小值．试题解析：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，延长BA，DH⊥BA于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AC，BD互相垂直平分，∴点B关于AC的对称点为D，∴FD=FB，∴FE+FB=FE+FD≥DE．只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短），△ABD中，AD=AB，∠DAB=120°，∴∠HAD=60°，∵DH⊥AB，∴AH=AD，DH=AD，∵菱形ABCD的边长为4，E为AB的中点，∴AE=2，AH=2，∴EH=4，DH=，在RT△EHD中，DE=∴EF+BF的最小值为．【考点】1.轴对称-最短路线问题；2.菱形的性质．13．1【解析】【分析】根据矩形的性质，可得BC 与AD 的关系，根据矩形的判定定理，可得BP ＝AQ ，构建一元一次方程，可得答案．【详解】解；设最快x 秒，四边形ABPQ 成为矩形，由BP ＝AQ 得3x ＝20−2x ．解得x ＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，能根据矩形的性质得出方程是解此题的关键．14．（34116，8116） 【解析】【分析】利用正方形性质，求得C 1、C 2坐标，利用待定系数法求得函数关系式，再求C 3坐标，根据C 1、C 2、C 3坐标找出纵坐标规律，求得C 5纵坐标，代入关系式，求得C 5坐标即可.【详解】如图：根据正方形性质可知：11111OP PC PB ==OB 1=2，B 1B 2=3∴C 1坐标为（1,1），C 2坐标为（72，32） 将C 1、C 2坐标代入y=kx+b 1=3722k b k b +⎧⎪⎨=+⎪⎩ 解得：1545k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以该直线函数关系式为1455y x =+ 设23B P a =,则3C 坐标为（1+2+a ，a ）代入函数关系式为1455y x=+，得：14(12)55a a=+++，解得：94a=则C3（294，94）则C1（1,1），C2（72，32），C3（294，94）找出规律：C4纵坐标为278，C5纵坐标为8116将C5纵坐标代入关系式，即可得：C5（34116，8116）【点睛】本题为图形规律与一次函数综合题，难度较大，熟练掌握正方形性质以及一次函数待定系数法为解题关键. 15．y=24-2x【解析】分析：根据周长等于三边之和可得出底边长y关于腰长x的函数表达式.详解：由题意得,y+x+x=24,∴y=24-2x.故答案为：y=24-2x.点睛：本题考查了列一次函数关系式，熟练掌握周长等于三边之和是解答本题的关键.16．-1【解析】【分析】直接利用分式的值为 0，则分子为 0，分母不为 0，进而得出答案．【详解】 解：∵分式23122x x --的值为零， ∴23120,20x x -=-≠解得：2x =-．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查分式的值为零的条件，正确把握定义是解题的关键．17．1【解析】【分析】求出方程的解，根据勾股定理的逆定理得出三角形ABC 是直角三角形，根据已知得出圆形正好是△ABC 的外接圆，即可求出答案．【详解】解：解方程x 2-14x+48=0得：x 1=6，x 2=8，即△ABC 的三边长为AC=6，BC=8，AB=10，∵AC 2+BC 2=62+82=100，AB 2=100，∴AB 2=AC 2+BC 2，∴∠C=90°∵若用一圆形纸片将此三角形完全覆盖，则该圆形纸片正好是△ABC 的外接圆，∴△ABC 的外接圆的半径是12AB=1， 故答案为1．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，三角形的外接圆与外心，解一元二次方程的应用．三、解答题18．（1）详见解析；（2）70~80或“举人”；（3）231.【分析】（1）先根据90～100分的人数及其所占百分比求得总人数，再由各组人数之和等于总人数求得60～70分的人数．从而补全图形；（2）根据中位数的定义求解可得；（3）利用样本估计总体的思想求解可得．【详解】解：（1）∵被调查的总人数为6÷12.5%=48（人），∴60～70分的人数为48-（3+18+9+6）=12（人），补全频数分布直方图如下：（2）因为中位数是第24、25个数据的平均数，而第24、25个数据都落在70～80分这一组，所以在此次比赛中，抽取学生的成绩的中位数在70~80或“举人”组，故答案为70~80或“举人”；（3）1896 33623148++⨯=．答：大约有231名学生获奖．故答案为（1）详见解析；（2）70~80或“举人”；（3）231.【点睛】本题考查频数分布表、频数分布直方图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．19．（1）y＝12x+11；（2）x＞﹣20时，y＞1．【解析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；（2）解不等式12x+11＞1即可．【详解】（1）根据题意得2051020k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得1k2b15⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以直线解析式为y＝12x+11；（2）解不等式12x+11＞1得x＞﹣20，即x＞﹣20时，y＞1．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．20．解：（1）50；（2）20，0.24；（3）见详解；（4）52%．【解析】【分析】（1）用第二组的频数除以它所占的频率得到调查的总人数；（2）用第四组的频率乘以样本容量得到a的值，用第三组的频数除以样本容量得到b的值；（3）利用a的值补全频数分布直方图；（4）用第四组和第五组的频数和除以样本容量即可．【详解】解：解：（1）10÷0.2=50，所以本次决赛共有50名学生参加；（2）a=50×0.4=20，b=1250=0.24；故答案为50；20；0.24；（3）补全频数分布直方图为：（4）本次大赛的优秀率=20650+×100%=52%． 故答案为50；20；0.24；52%．【点睛】本题考查了频数（率）分布直方图：能从频数分布直方图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．21．（1）75(04)100700(47)y x x y x x =≤⎧⎨=-+≤⎩＜＜；（2）40千米/小时.【解析】【分析】（1）甲车行驶过程中y 与x 之间的函数解析式两种，即从A 地到B 地是正比例函数，返回时是一次函数，自变量的取值范围分别为 （0＜x≤4）和（ 4＜x≤7），（2）求出乙车的y 与x 的关系式，再与甲车返回时的关系式组成方程组解出即可．【详解】解：（1）设甲车从A 地驶向B 地y 与x 的关系式为y=kx ，把（4，300）代入得：300=4k ，解得：k=75，∴y=75x （0＜x≤4）设甲车从B 地返回A 地y 与x 的关系式为y=kx+b ，把（4，300）（7，0）代入得： 430070k b k b +⎧⎨+⎩＝＝， 解得：k=-100，b=700，∴y=-100x+700 （4＜x≤7），答：甲车行驶过程中y 与x 之间的函数解析式为：75(04)100700(47)y x x y x x =≤⎧⎨=-+≤⎩＜＜ ， （2）设乙车速度为m 千米/小时，依据两车行驶5h 相遇，在甲车返回时相遇，即甲乙两车离A 的距离相等，得：5m=-100×5+700 解得：m=40答：乙车的速度为40千米/小时．【点睛】考查一次函数的性质、待定系数法求函数的关系式、一次函数与一次方程的关系等知识，理解变量之间的关系是前提，正确识别图象是关键．22．（1）2,4m n ==；（2）3h =；（3）2x >或0x <【解析】【分析】（1）根据题意列方程组即可得到结论；（2）根据平移的性质得到平移后的函数的解析式为y=-x+2+h ，得到交点的坐标为（1，4），把（1，4）代入y=-x+2+h 即可得到结论；（3）由点M （a ，b ）（a ，b 为常数）在函数y 1=-x+m 的图象上，得到M （a ，2-a ），求得点M （a ，b ）关于y 轴的对称点N （-a ，2-a ），于是得到y 3=x+2，解不等式即可得到结论．【详解】解：（1） y x m =-+的图象过(2)n -，，∴2n m -+=-又6n m +=，2,4m n ∴==；（2）将1 2y x =-+的图象向上平移h 后为2y x h =-++， 与函数24 y x=的图象交直线4y =于点（1，4）， 将（1，4）代入2y x h =-++，得：412h =-++，解得：3h =．（3）∵点M （a ，b ）（a ，b 为常数）在函数y 1=-x+m 的图象上，∴M （a ，2-a ），∴点M （a ，b ）关于y 轴的对称点N （-a ，2-a ），∵函数y 3=kx+m （k≠1）的图象经过点N ，32y x ∴=+，由2312y y y <+，代入得： 422 2x x x<+-+， 当x ＞1时，解得：x ＞2，当x ＜1时，解得：x ＜1，综上所述，x 的取值范围为：x ＞2或x ＜1．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确的理解题意，熟练掌握反比例函数与一次函数的关系是解题的关键．注意掌握数形结合的思想进行解题.23．（1）详见解析；（2）1.【解析】【分析】（1）根据已知条件推知四边形BCED 是平行四边形，则对边相等：CE=BD ，依据等量代换得到对角线AC=BD ，则平行四边形ABCD 是矩形；（2）通过勾股定理求得BD 的长度，再利用四边形BCED 是平行四边形列式计算即可得解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AE ∥BC ．∵CE ∥BD ，∴四边形BCED 是平行四边形．∴CE=BD ．∵CE=AC ，∴AC=BD ．∴□ABCD 是矩形．（2）解：∵□ABCD 是矩形，AB=4，AD=3，∴∠DAB=90°，BC=AD=3，∴5BD ===．∵四边形BCED 是平行四边形，∴四边形BCED 的周长为2（BC+BD ）=2×(3+5)=1．故答案为（1）详见解析；（2）1.【点睛】本题考查矩形的判定，平行四边形的判定与性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．24．（1）见解析；（2）24 5【解析】试题分析：（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．（2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．试题解析：（1）证明：∵CF=BE，∴CF+EC=BE+EC．即 EF=BC．∵在▱ABCD中，AD∥BC且AD=BC，∴AD∥EF且AD=EF．∴四边形AEFD是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°．∴四边形AEFD是矩形；（2）∵四边形AEFD是矩形，DE=1，∴AF=DE=1．∵AB=6，BF=10，∴AB2+AF2=62+12=100=BF2．∴∠BAF=90°．∵AE⊥BF，∴△ABF的面积=12AB•AF=12BF•AE．∴AE=•6824105 AB AFBF⨯==．25．(1)证明见解析；(2)MN＝15 2.【解析】【分析】(1)先根据线段垂直平分线的性质证明MB＝ME，由ASA证明△BON≌△EOM，得出ME＝NB，证出四边形BMEN是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论；(2)根据已知条件得到AB+BE＝2BF+2OB＝16，设AB＝x，则BE＝16﹣x，根据勾股定理得到x＝6，求得BE＝16﹣x＝10，OB＝12BE＝5，设ME＝y，则AM＝8﹣y，BM＝ME＝y，根据勾股定理即可得到结论．【详解】(1)证明：∵MN垂直平分BE，∴MB＝ME，OB＝OE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠MEO＝∠NBO，在△BON与△EOM中，MEO NBO OB OEMOE NOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BON≌△EOM(ASA)，∴ME＝NB，又∵AD∥BC，∴四边形BMEN是平行四边形，又∵MB＝ME，∴四边形BMEN是菱形；(2)解：∵O，F分别为MN，AB的中点，∴OF∥AD，∴∠OFB＝∠EAB＝90°，∵BF+OB＝8，∴AB+BE＝2BF+2OB＝16，设AB＝x，则BE＝16﹣x，在Rt△ABE中，82+x2＝(16﹣x)2，解得x＝6，∴BE＝16﹣x＝10，∴OB＝12BE＝5，设ME＝y，则AM＝8﹣y，BM＝ME＝y，在Rt△ABM中，62+(8﹣y)2＝y2，解得y＝254，在Rt△BOM中，MO＝22222554BM OB⎛⎫=-=-⎪⎝⎭＝154，∴MN＝2MO＝152．【点睛】本题主要考查菱形的判定及性质，勾股定理，掌握菱形的判定方法及性质，结合勾股定理合理的利用方程的思想是解题的关键．2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．关于x 的方程无解，则m 的值为（ ）A ．﹣5B ．﹣8C ．﹣2D ．52．下列方程中是一元二次方程的是( )A ．2x+1=0B ．x 2+y=1C ．x 2+2=0D ．211x x += 3．当0,0a b <<时，a b化为最简二次根式的结果是（ ） A ．1ab b B ．1ab b - C ．1ab b -- D ．b ab4．关于一次函数的图象，下列说法正确的是（ ）A ．图象经过第一、二、三象限B ．图象经过第一、三、四象限C ．图象经过第一、二、四象限D ．图象经过第二、三、四象限5．关于x 的一元二次方程2(1)210m x x ---=有两个实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m≥0B ．m ＞0C ．m≥0且m≠1D ．m ＞0且m≠1 6．已知ABCD 中，∠A+∠C=200°，则∠B 的度数是（ ） A ．100° B ．160° C ．80° D ．60°7．某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，为抢占市场份额，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现在要使利润为6120元，每件商品应降价（ ）元．A ．3B ．5C ．2D ．2.582x -x 的取值范围( ) A ．x≤2 B ．x ＜2 C ．x ＞2 D ．x≥29．甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均成绩都相同，方差分别是S 甲2=0.65，S 乙2=0.55，S 丙2=0.50，S 丁2=0.45，则射箭成绩最稳定的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．样本数据3、6、a 、4、2的平均数是5，则这个样本的方差是（ ） A ．8 B ．5C ．22D ．3二、填空题11．如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP ＝BC ，则∠ACP 度数是_____度．12．设函数1y x =与y=x ﹣1的图象的交点坐标为（a ，b ），则11a b-的值为 ． 13．如图，在ABCD中，∠A =45°，BC =2，则AB 与CD 之间的距离为________ ．14．将直线21y x =-向上平移4个单位，得到直线_______。
2019秋八年级数学上册 解题技巧专题 乘法公式的灵活运用(新版)华东师大版
解题技巧专题：乘法公式的灵活运用——计算技巧多，先观察，再计算，事半功倍◆类型一 利用乘法公式进行简便运算1．计算102×98的结果是（ ）A ．9995B ．9896C ．9996D ．99972．计算20162－2015×2017的结果是（ ）A ．－2B ．－1C ．0D ．13．计算：(1)(邵阳校级月考)512＝_______；(2)82015×(－0.125)2016×(－1)2017＝________．4．运用公式简便计算：(1)4013×3923； (2)100022522－2482.5．(泰兴市校级月考)阅读下列材料：某同学在计算3(4＋1)(42＋1)时，把3写成4－1后，发现可以连续运用平方差公式计算：3(4＋1)(42＋1)＝(4－1)(4＋1)(42＋1)＝(42－1)(42＋1)＝162－1.请借鉴该同学的经验，计算下列各式的值：(1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)·…·(22004＋1)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋124⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋128＋1215.◆类型二 利用乘法公式的变式求值6．若a －b ＝12，且a 2－b 2＝14，则a ＋b 的值为（ ） A ．－12 B.12C ．1D ．2 7．若a －b ＝1，ab ＝2，则(a ＋b )2的值为（ ）A ．－9B ．9C ．±9 D．38．已知x ＋1x ＝5，那么x 2＋1x 2的值为（ ） A ．10 B ．23 C ．25 D ．279．若m ＋n ＝1，则代数式m 2－n 2＋2n 的值为 .10．阅读：已知a ＋b ＝－4，ab ＝3，求a 2＋b 2的值．解：∵a ＋b ＝－4，ab ＝3，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(－4)2－2×3＝10.请你根据上述解题思路解答下面问题：(1)已知a －b ＝－3，ab ＝－2，求(a ＋b )(a 2－b 2)的值；(2)已知a －c －b ＝－10，(a －b )c ＝－12，求(a －b )2＋c 2的值．参考答案与解析1．C 2.D3．(1)2601 (2)－184．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫40－13＝402－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝159989； (2)原式＝10002（252＋248）×（252－248）＝10002500×4＝500. 5．解：(1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)·…·(22004＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)·…·(22004＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)·…·(22004＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)·…·(22004＋1)＝24008－1；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋124⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋128＋1215＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋124⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋128＋1215＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1216＋1215＝2－1215＋1215＝2. 6．B 7.B 8.B9．1 解析：∵m ＋n ＝1，∴m 2－n 2＋2n ＝(m ＋n )(m －n )＋2n ＝m －n ＋2n ＝m ＋n ＝1.10．解：(1)∵a －b ＝－3，ab ＝－2，∴(a ＋b )(a 2－b 2)＝(a ＋b )2(a －b )＝[(a －b )2＋4ab ](a －b )＝[(－3)2＋4×(－2)]×(－3)＝－3；(2)(a －b )2＋c 2＝[(a －b )－c ]2＋2(a －b )c ＝(－10)2＋2×(－12)＝76.。
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八年级数学上册解题技巧专题乘法公式的灵活运用（新版）华东
师大版
——计算技巧多，先观察，再计算，事半功倍
◆类型一 利用乘法公式进行简便运算
1．计算102×98的结果是（ ）
A ．9995
B ．9896
C ．9996
D ．9997
2．计算20162－2015×2017的结果是（ ）
A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．1
3．计算：
(1)(邵阳校级月考)512＝_______；
(2)82015×(－0.125)2016×(－1)2017＝________．
4．运用公式简便计算：
(1)4013×3923； (2)10002
2522－2482.
5．(泰兴市校级月考)阅读下列材料：
某同学在计算3(4＋1)(42＋1)时，把3写成4－1后，发现可以连续运用平方差公式计
算：3(4＋1)(42＋1)＝(4－1)(4＋1)(42＋1)＝(42－1)(42＋1)＝162－1.请借鉴该同学的经验，计算下列各式的值：
(1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)·…·(22004＋1)； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋124⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋128＋1215.
◆类型二 利用乘法公式的变式求值
6．若a －b ＝12，且a 2－b 2＝14
，则a ＋b 的值为（ ） A ．－12 B.12
C ．1
D ．2 7．若a －b ＝1，ab ＝2，则(a ＋b )2的值为（ ）
A ．－9
B ．9
C ．±9 D．3
8．已知x ＋1x ＝5，那么x 2＋1x 2的值为（ ） A ．10 B ．23 C ．25 D ．27
9．若m ＋n ＝1，则代数式m 2－n 2＋2n 的值为 .
10．阅读：已知a ＋b ＝－4，ab ＝3，求a 2＋b 2的值．
解：∵a ＋b ＝－4，ab ＝3，
∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(－4)2－2×3＝10.
请你根据上述解题思路解答下面问题：
(1)已知a －b ＝－3，ab ＝－2，求(a ＋b )(a 2－b 2)的值；
(2)已知a －c －b ＝－10，(a －b )c ＝－12，求(a －b )2＋c 2的值．
参考答案与解析
1．C 2.D
3．(1)2601 (2)－18
4．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫40－13＝402－⎝ ⎛⎭
⎪⎫132＝159989； (2)原式＝10002（252＋248）×（252－248）＝10002500×4
＝500. 5．解：(1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)·…·(22004＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)·…·(22004＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)·…·(22004＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)·…·(22004＋1)＝24008－1；
(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋124⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋128＋1215＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋124⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋128＋1215＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1216＋1215＝2－1215＋1215＝2. 6．B 7.B 8.B
9．1 解析：∵m ＋n ＝1，∴m 2－n 2＋2n ＝(m ＋n )(m －n )＋2n ＝m －n ＋2n ＝m ＋n ＝1.
10．解：(1)∵a －b ＝－3，ab ＝－2，∴(a ＋b )(a 2－b 2)＝(a ＋b )2(a －b )＝[(a －b )2＋
4ab ](a －b )＝[(－3)2＋4×(－2)]×(－3)＝－3；
(2)(a －b )2＋c 2＝[(a －b )－c ]2＋2(a －b )c ＝(－10)2＋2×(－12)＝76.。