各轴横截面上的最大切应力
扭转切应力计算
7.5 100
=716.2 N.m
max=
Mx Wp1
=
16 Mx d13
=40 MPa
3
d1=
16 716. 2 40 106
=0.045 m=45 mm
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26
圆轴扭转时横截面上的切应力例题
max=
Mx =
Wp2
16 Mx
=40 MPa
D23(1- 4)
16 716.2
此机构是典型的齿轮传动机构，各传动轴均为扭转变形。欲求各传动轴横截面上的切应力，必须求 得各轴所受的扭矩，即各轴所受到的外力偶矩。
由题意可知，E、H、C轴所传递的功率分别为：P1=14kW， 再通过公式：
P2=P3=P1/2=7kW. E、H轴转速为120r/min,由传动比可计算出C轴的转速为： 可以求得各轴所受到
扭转圆轴的横截面 上切应力分布规律
max
T Wp
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29
作业
P270 15-10
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30
❖ 横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动， 故横截面上有剪应力存在。
❖ 各横截面半径不变，所以剪应力方向与 截面径向垂直
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11
设距离轴线为处 的切应变为()， 由几何关系得到：
()dxd
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() d dx
12
物理关系与应力分布
剪切胡克定律
＝G
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13
1传动轴工程中承受切应力的构件工程中承受切应力的构件工程中承受切应力的构件工程中承受切应力的构件工程中承受切应力的构件工程中承受切应力的构件破坏形式演示ab扭转时的内力称为扭矩截面上的扭矩与作用在轴上的外力偶矩组成平衡力系
最大切应力计算公式
最大切应力计算公式在工程力学和材料力学中，最大切应力计算公式可是个相当重要的家伙！咱先来说说啥是切应力。
想象一下，你手里拿着一根铅笔，然后用力把它扭来扭去，铅笔内部产生的那种抵抗你扭转的力，就和切应力有关系。
最大切应力计算公式通常是：τmax = τ = QS/(Ib) 。
这里面的 Q 表示横截面上的剪力，S 是所求应力点到中性轴的距离，I 是横截面对中性轴的惯性矩，b 是截面宽度。
举个例子吧，有一次我去工厂参观，看到工人们在加工一个大型的轴类零件。
那个轴又粗又长，看着就特别结实。
但工程师告诉我，就算这么粗壮的轴，如果所受的切应力超过了材料的承受能力，也会出问题。
当时他们正在计算这个轴在运转时所受到的最大切应力。
工程师们拿着图纸，在上面写写画画，嘴里还念叨着这些公式里的参数。
我凑过去看，发现他们得先准确测量出轴的截面尺寸，确定剪力的大小，然后再代入公式进行计算。
我就好奇地问工程师：“这公式真能算准吗？”工程师笑着说：“这可是经过无数次实验和实践验证的，只要测量数据准确，计算过程不出错，就能得到比较可靠的结果。
”回到最大切应力计算公式，它的应用可广泛啦！比如在机械设计中，要确保零件在工作时不会因为切应力过大而损坏；在建筑结构中，像桥梁的钢梁、支撑柱等，都得靠这个公式来保证其安全性。
再比如说，汽车的传动轴，那可是承受着巨大的扭矩和切应力。
如果不通过最大切应力计算公式来好好设计，说不定开着开着车，传动轴就断了，那得多危险啊！还有飞机的机翼结构，既要轻巧又要能承受各种复杂的力，这时候最大切应力计算公式就派上大用场了，能帮助设计师们找到最合适的材料和结构形式。
总之，最大切应力计算公式虽然看起来有点复杂，但它可是保障各种结构和零件安全可靠的重要工具。
在工程领域，可千万不能小瞧了它的作用！不管是大型的机械设备，还是小小的零件，都得依靠这个公式来确保它们能正常工作，不出现意外。
所以啊，咱们可得好好掌握这个公式，说不定哪天就能派上大用场呢！。
《工程力学》复习题
机电李禄昌
一轴AB传递的功率为 Nk =7.5 kw,转速 n=360 r/min.如图 D=3cm, d=2cm.求AC段横截面边缘处的剪应力以及CB段横截 面外边缘和内边缘处的剪应力。
解： （1）计算扭矩
轴所传递的外力偶矩为
T0
9550 Nk n
9550 7.5 360
199N m
80 109 0.034
3.93103 rad
（2）、C截面的挠度为：…………6分
I zAC
I1
D4
64
=3.97 10-8m4
wC
Pl3 3EI1
100 0.53 64
3 210109 0.034
0.525mm
29
机电李禄昌
（3）、B截面的铅垂位移----总挠度为：…………7 分
铸铁梁的载荷及截面尺寸如图所示。已知许用拉应力 [σt]=40MPa，许用压应力[σc]=160MPa。⑴确定截面形心位置 y 。⑵绘制弯矩图。⑶试按正应力强度条件校核梁的强度。⑷ 若载荷不变，但将形截面倒置，即翼缘在下边缘，是否合理？ 何故？
RB
RD
解：⑴、对AD梁受力分析，计算支反力，列平衡方程：
I zBC
I2
bh3 12
=6.67 10-9m4
wB
wc
c
a
Pa3 3EI2
0.525
2
3
210
100 0.53 12 109 10 103 (20
103 )3
0.525 2 3.12 5.61mm
30
圆轴扭转横截面上的应力
解：1. 变形分析
T1 MA 180 N m
AB
T1l GIp
1.5010-2
rad
T2 MC 140 N m
BC
T2l GIp
例 5-1 已知 T=1.5 kN . m，[ ] = 50 MPa，试根据强度条 件设计实心圆轴与 = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。
解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
max
T Wp
T πd 3
16
T πd
3
[
]
16
d
3
16T
π[ ]
3
16(1.5103Nm) π(50106Pa)
3. 计算支座约束力偶矩
联立求解方程 (a) 与 (b)
MA
Mb ， ab
MB
Ma ab
总结
• 圆轴扭转强度计算 • 圆轴扭转刚度计算
本章结束！
0.0535
m
取： d 54 mm
2. 确定空心圆轴内、外径
Wp
πdo3 16
14
16T [ ]
π 16
do3
(1
4)
do
3
16T
π(1 4)[
]
76.3
mm
di do 68.7mm
取：do 76 mm， di 68 mm 3. 重量比较
材料力学习题解答[第三章]
![材料力学习题解答[第三章]](https://img.taocdn.com/s3/m/ad0c511fddccda38376bafaa.png)
3-1求图中所示杆各个横截面上的应力，已知横截面面积A=400mm 2。
解a):MPaMPa1004001040050400102033231=⨯==-=⨯-=σσσ 题3-1a)图 解b):MPa MPaMPa2540010105050400102032231=⨯=-=-=⨯-=右左σσσ MPa MPa 125400105025333=⨯==右左σσ 题3-1b)图3-2图中为变截面杆，如果横截面面积A 1=200mm 2，A 2=300mm 2，A 3=400mm 2，求杆内各横截面上的应力。
解a ）:MPaMPa MPa10040010407.663001020502001010333231=⨯=-=⨯-==⨯=σσσ题3-2a)图解b):MPaMPa 7540010303.333001010033321-=⨯-==⨯==σσσ题3-2b)图30kN3-3 图示杆系结构中，各杆横截面面积相等，即A=30cm 2，载荷F=200kN 。
试求各杆横截面上的应力。
解:(1)约束反力:kNF F kN F F kN F F AXAY Dy 2001504315043======(2)各杆轴力)(250150200)(150)(200)(1502222压压拉拉kN F F F kN F F kN F F kN F F NCD NAC NAC D NCD AX NAC AY NAB =+=+======= 题3-3图(3)各杆的正应力)(3.8330010250,)(5030010150)(7.6630010200,)(50300101503333压压拉拉MPa MPa MPa MPa AC CDAC AB -=⨯-=-=⨯-==⨯==⨯=σσσσ 3-4钢杆CD 直径为20mm ，用来拉住刚性梁AB 。
已知F=10kN ，求钢杆横截面上的正应力。
解:)(7.112204104.3544.3545cos 1)5.11(232拉MPa d F kNF F NCD CD oNCD =⨯⨯===⨯+=ππσ 题3-4图3-5图示结构中，1、2两杆的横截面直径分别为10mm 和20mm ，试求两杆内的应力。
材料力学(第五版)扭转切应力
(
)
d 2 = 0.8D2=43 mm π 2 d1 A1 452 4 = = =1.95 2 2 A2 π D2 1 α2 53.7 1 0.8 2 4
(
)
(
)
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。 空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。
理由？ 理由？
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因： 空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因：
(
)
五、圆轴扭转时的强度条件 圆轴扭转时的最大切应力不能超过 材料的许用切应力
τmax
T ax m = ≤ [τ] W p
例题 d2
A
B
C
d1 mA mB mC
已知： 已知：阶梯轴尺寸如图 mA = 22 kN m, mB = 36 kN m, mC =14 kN m
[τ]= 80 MPa
d1 =120 m , d2 =100m m m
对于钢材: 对于钢材:
200 G= = 80GPa 2(1+ 0.25)
§3-4 圆轴扭转时的应力
一、变形几何条件 1、变形观察： 变形观察：
圆周线不变（大小、 圆周线不变（大小、 间距都不变） 间距都不变） 纵向线倾斜， 纵向线倾斜， 倾斜角相同 表面矩形变成 平行四边形
薄壁圆筒由于壁很薄， 薄壁圆筒由于壁很薄，表 面变形即为内部变形。 面变形即为内部变形。
圆轴内部任意一点的切应力 圆轴内部任意一点的切应力 τ ρ 与该点到圆心的距离ρ 与该点到圆心的距离ρ成正比
d τ ρ = Gρ dx
(c)
ρ =0
τρ = 0
ρ=R
τ ρ =τ max
d = GR dx
三、静力关系
工程力学第8章剪应力分析习题及解析
第8章弹性杆件横截面上的切应力分析8-1扭转切应力公式r(p)^M x p/I p的应用范圉有以下几种，试判断哪一种是正确的。
(A)等截面圆轴，弹性范囤内加载：(B)等截面圆轴：(C)等截面圆轴与椭恻轴：(D)等截面圆轴与椭恻轴.弹性范鬧内加较。
知识点：圆轴扭转时横截面上的切应力难度：易解答•正确答案是A cTip) = M x p/l?在推导时利川J'等截面鬪轴受扭后.其横截血保持平血的假设•同时推导过程中还应用了剪切胡克定律.婆求在线弹性范刑加載。
8-2两根长度相等、直径不等的圆轴受扭后.轴表iftlJJU线转过相同的角度。
设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大切应力分别为耳吨'和r2max,切变模虽分别为Gi和G2O试判断下列结论的正确性。
(A)(B)(C)若G、>G“则有r Inux > r2nux:(D)若G>G“则有右叭沁。
知识点：圆轴扭转时横截面上的切应力难度：易解答•正确答案是c °因两恻轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即/,=/,=/由剪切胡克定律2“知> °2 时，f lnux > r2max °8-3承受相同扭矩且长度相等的直径为山的实心恻轴与内.外径分别为D2(a = d2/D2)的空心圆轴.二者横截面上的垠大切应力相等。
关于二者重之比(M/WJ有如下结论.试判断哪一种是正确的。
(A)(l-a4严；(B)(l-a4)V2(l-a2)：(C)(l-^Xl-a2)：(D)(1 一a」)的/(I一小)。
知识点：组合圆轴扭转时横截面上的切应力难度：难解答•\6M X I6M正确答案是D即A-d-a4)7D2匹=如=必W2人D;(l-a2)习题8/图⑴代入(2〉.得8-4由两种不同材料组成的圆轴，里层和外 层材料的切变模址分别为Gi 和Gi.且G = 2G 2. 圆轴尺寸如图所示。
圆轴受扭时.里、外层之间无相对滑动。
材料力学第五版课后习题答案
材料⼒学第五版课后习题答案⼆、轴向拉伸和压缩2-1试求图⽰各杆1-1和2-2横截⾯上的轴⼒，并作轴⼒图。
（a）解：；；（b）解：；；（c）解：；。
(d)解：。
2-2 试求图⽰等直杆横截⾯1-1，2-2和3-3上的轴⼒，并作轴⼒图。
若横截⾯⾯积，试求各横截⾯上的应⼒。
解：2-3试求图⽰阶梯状直杆横截⾯1-1，2-2和3-3上的轴⼒，并作轴⼒图。
若横截⾯⾯积，，，并求各横截⾯上的应⼒。
解：2-4 图⽰⼀混合屋架结构的计算简图。
屋架的上弦⽤钢筋混凝⼟制成。
下⾯的拉杆和中间竖向撑杆⽤⾓钢构成，其截⾯均为两个75mm×8mm的等边⾓钢。
已知屋⾯承受集度为的竖直均布荷载。
试求拉杆AE和EG横截⾯上的应⼒。
解：=1）求内⼒取I-I分离体得（拉）取节点E为分离体，故（拉）2）求应⼒75×8等边⾓钢的⾯积A=11.5 cm2(拉)（拉）2-5(2-6)图⽰拉杆承受轴向拉⼒，杆的横截⾯⾯积。
如以表⽰斜截⾯与横截⾯的夹⾓，试求当，30，45，60，90时各斜截⾯上的正应⼒和切应⼒，并⽤图表⽰其⽅向。
解：2-6(2-8) ⼀⽊桩柱受⼒如图所⽰。
柱的横截⾯为边长200mm的正⽅形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量E=10 GPa。
如不计柱的⾃重，试求：（1）作轴⼒图；（2）各段柱横截⾯上的应⼒；（3）各段柱的纵向线应变；（4）柱的总变形。
解：（压）（压）2-7(2-9)⼀根直径、长的圆截⾯杆，承受轴向拉⼒，其伸长为。
试求杆横截⾯上的应⼒与材料的弹性模量E。
解：2-8(2-11)受轴向拉⼒F作⽤的箱形薄壁杆如图所⽰。
已知该杆材料的弹性常数为E，，试求C与D两点间的距离改变量。
解：横截⾯上的线应变相同因此2-9(2-12) 图⽰结构中，AB为⽔平放置的刚性杆，杆1，2，3材料相同，其弹性模量E=210GPa，已知，，，。
试求C点的⽔平位移和铅垂位移。
解：（1）受⼒图（a），。
（2）变形协调图（b）因，故=（向下）（向下）为保证，点A移⾄，由图中⼏何关系知；第三章扭转3-1 ⼀传动轴作匀速转动，转速，轴上装有五个轮⼦，主动轮Ⅱ输⼊的功率为60kW，从动轮，Ⅰ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ依次输出18kW，12kW,22kW和8kW。
同济大学材料力学第四章 扭转 3学时
N马力 m 7.02 n
(kN m)
N KW m 9.55 n
(kN m)
第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图
2 求扭转内力的方法—截面法
Ⅰ
Ⅰ
3 受扭圆轴横截面上的内力—扭矩
I
Mn
I
第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图
4 扭矩的符号规定—右手螺旋法则
mI I
m
Mn
扭 矩 符 号 规 定 ：
m1
d1
m2
d2
m3
I P1 I P2
d1
A
0.8kN· m
0.8m
B
1.0m
C
32 d 2 4 236cm 4 32
25.1cm
4
AB
BC
M n1L1 0.0318rad GI P1
M n 2 L2 0.0079rad GI P 2
1.5kN· m
AC AB BC 0.0318rad 0.0079rad 0.0239rad
0
τ
τ
σmin
τ
45 0
0
σmax
第四章 扭转/三 圆轴扭转时的强度计算
3 圆轴扭转时的强度条件 为保证圆轴安全工作，要求轴内的最大工作切 应力不超过材料的许用切应力，即：
max
式中的许用扭转切应力 ,是根据扭转试验, 并考虑适当的工作安全系数确定的.
M n max WP
159.2
第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图
课堂练习 图示圆轴中，各轮上的转矩分别为mA＝4kN·m， mB＝10kN·m, mC＝6kN · m，试求1－1截面和2－2截面上的 轮 扭矩，并画扭矩图。
工程力学 第9章 杆件横截面上的切应力分析
第 9 章 弹性杆件横截面上的切应力分析
对于实心截面杆件以及某些薄壁截面杆件，当其横截面上仅有 扭矩（Mx）或剪力（FQy 或 FQz）时，与这些内力分量相对应的分布 内力，其作用面与横截面重合。这时分布内力在一点处的集度，即为 切应力。 分析与扭矩和剪力对应的切应力方法不完全相同。对于扭矩存 在的情形，依然借助于平衡、变形协调与物性关系，其过程与正应力 分析相似。对于剪力存在的情形，在一定的前提下，则仅借助于平衡 方程。 本章重点介绍圆截面杆在扭矩作用下其横截面切应力以及薄壁 杆件的弯曲切应力分析。
§ 9-1 圆轴扭转时横截面上的切应力
９－１－１ 圆轴扭转变形特征 －反对称性论证圆轴扭转时横截面保持平面 ９－１－２ 变形协调方程 ９－１－３ 物性关系－剪切胡克定律 ９－１－４ 静力学方程 ９－１－５ 圆轴扭转时横截面上的切应力表达式
§ 9-2 非圆截面杆扭转时的切应力
图 9－8 例 9－2 图
解： 1．各轴所承受的扭矩 各轴所传递的功率分别为 P1 ＝14 kw ， P 2 ＝ P3 ＝P 1 ／2＝7 kw 转速分别为 n1 ＝ 120 r／min
n 3＝n1 ×
据此，算得各轴承受的扭矩：
z1 36 ＝120 × r/min ＝360r/min z3 12
14 M x1 = M e1 = 9549 × N ⋅ m = 1114 N ⋅ m 120 7 M x2 = M e2 = 9549 × N ⋅ m = 557 N ⋅ m 120 7 M x2 = M e2 = 9549 × N ⋅ m = 185 .7 N ⋅ m 360
2．计算最大切应力 E 、H、C 轴横截面上的最大切应力分别为
材料力学-扭转问题解读
Me2=T2=557 N.m
Me3=T3=185.7 N.m
由
max
T Wt
Wt
D 3
16
T1 16.54 MPa Wt 1
max E
T2 max H 22.69 MPa Wt 2
Me
Me
Me （ +） T n Me
右手螺旋法则 , 确定内力正负
（ +） n T
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
例 已知PkA=19kW,PkB=44kW, PkC=25kW, n =150rpm 求:作图示传动轴的扭矩图.
MA
MB
MC
解: 1. 求外力偶 MA= 9549 19 =1210Nm
4 4
d 2 76mm
5.选同一直径时
d d1 86.4mm
6.将主动轮按装在 两从动轮之间
d1
A
M e1
C
M e2
d2
B M e3
4580 N m 7640 N m
d1
受力合理
C
M e2
A
M e1
d2
B M e3
4580 N m
3060 N m
一 变形几何关系
dx d
d
dx
T
二 物理条件： G G d dx 三 平衡条件：dT dA
d
T
T dT dA
A
矩形截面横力弯曲梁横截面切应力最大值
矩形截面横力弯曲梁横截面切应力最大值在工程力学中，横力弯曲是指梁在受到横向力作用时所发生的弯曲变形。
这时梁的截面上会受到横向剪切力，导致横截面内部产生切应力。
而矩形截面横力弯曲梁的横截面切应力最大值是指在受到横力作用时，矩形截面梁的截面上切应力的最大值。
在分析矩形截面横力弯曲梁横截面切应力最大值时，我们首先要了解梁的受力情况。
一般来说，当梁受到横向力作用时，梁的上部受拉，下部受压，这会引起梁的横截面产生一定的切应力。
而在矩形截面横力弯曲梁中，切应力的最大值通常出现在截面的中性轴上，也就是位于梁的截面中点处。
为了求解矩形截面横力弯曲梁横截面切应力的最大值，我们需要利用弯矩和剪力的关系来进行分析。
在横力弯曲梁中，弯矩和剪力之间的关系可以用以下公式表示：$$\tau = \frac{VQ}{It}$$在这个公式中，τ代表切应力，V代表剪力，Q代表截面的矩形抵抗矩，I代表截面的惯性矩，t代表截面的厚度。
根据这个公式可以看出，在给定梁的截面形状和受力条件下，切应力的最大值取决于剪力的大小和截面的形状。
在实际工程中，为了求解矩形截面横力弯曲梁横截面切应力的最大值，我们可以采用截面分析的方法。
我们可以根据梁的几何形状计算出截面的惯性矩和矩形抵抗矩。
根据外部载荷和支座反力的大小，可以确定梁在不同位置的剪力大小。
将这些数据代入上面的公式中，就可以求解出矩形截面横力弯曲梁横截面切应力的最大值。
矩形截面横力弯曲梁横截面切应力的最大值是在横力作用下，梁截面上切应力的最大值。
通过对梁的受力情况和截面形状进行分析，我们可以求解出切应力的最大值，这对于工程设计和结构分析具有重要的意义。
在实际工程中，我们可以通过截面分析的方法来求解切应力的最大值，以保证结构的安全可靠。
矩形截面横力弯曲梁横截面切应力的最大值是横力作用下梁截面切应力的最大值。
因为横向力作用引起了梁的弯曲变形，导致梁截面内部产生了切应力。
通过分析梁的受力情况和截面形状，可以求解出切应力的最大值。
材料力学72-必做题.
第二章杆件内力与内力图２－２（b）、（d）、（g）试作图示各杆的轴力图，并确定最大轴力| F N |max 。
２－３（b）试求图示桁架各指定杆件的轴力。
２－4（c）试作图示各杆的扭矩图，并确定最大扭矩| T |max 。
２－5图示一传动轴，转速n ＝200 r/min ，轮C为主动轮，输入功率P＝60 kW ，轮A、B、D均为从动轮，输出功率为20 kW，15 kW，25 kW。
（1）试绘该轴的扭矩图。
（2）若将轮C与轮D对调，试分析对轴的受力是否有利。
2－8（a）、（c）、（e）、（g）、（h）试列出图示各梁的剪力方程和弯矩方程。
作剪力图和弯矩图，并确定|F s |max及|M |max值。
2－9（a）、（c）、（d）、（f）、（g）、（i）、（k）、（l）、（m）试用简易法作图示各梁的剪力图和弯矩图，并确定|F s |max及|M |max值，并用微分关系对图形进行校核。
2－10设梁的剪力图如图（a）(d)所示(见教材p39)。
试作弯矩图和荷载图。
已知梁上无集中力偶。
2－11（b）试用叠加法绘出图示梁的弯矩图。
2－6一钻探机的功率为10 kW，转速n =180 r/min。
钻杆钻入土层的深度l= 40m。
若土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶，试求分布力偶的集度m，并作钻杆的扭矩图。
2－14图示起重机横梁AB承受的最大吊重F P＝12kN，试绘出横梁AB的内力图。
第三章轴向拉压杆件的强度与变形计算3－1图示圆截面阶梯杆，承受轴向荷载F1＝50kN与F2的作用，AB与BC段的直径分别为d1＝20mm与d2＝30mm，如欲使AB与BC段横截面上的正应力相同，试求荷载F2之值。
3－5变截面直杆如图所示。
已知A1＝8cm2，A2＝4cm2，E＝200GPa 。
求杆的总伸长量。
3－7图示结构中，AB为水平放置的刚性杆，1、2、3杆材料相同，其弹性模量E＝210GPa ，已知l ＝1m，A1＝A2＝100mm2，A3＝150mm2，F P＝20kN 。
第三章 扭转
4—5一传动轴的转速，n=200转／分，轴上装有五个轮子，主动轮2输入的功率为60千瓦，从动轮1、3、4、5依次分别输出18千瓦、12千瓦、22千瓦和8千瓦。试作该轴的扭矩图。
解：
4—6一轴AB传递的功率P＝7．5千瓦，转速n＝360转／分。轴的AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面，如图所示，已知D=30mm，d=20mm。试计算AC段横截面边缘处的剪应力，以及CB段横截面上的内、外边缘处的剪应力。
所以
4—14吊车梁的行走机构如图所示。已知电机的功率P＝3．7kW，平均分配在两轮轴CD上，经减速后轮轴的转速n＝32．6转／分。轴为Q235号钢，[ ]=40MPa，G=80GPa，[ ]＝1 ／m。试选择传动轴CD的直径，并校核其扭转刚度。
解：
取
图示绞车同时由两个人操作，如果每人加在手柄上的力都是F=200N，已知轴许用剪应力[ ]=40MPa，试按强度条件初步估算AB轴的直径，并确定最大起重量W。
DB段的单位长度扭转角为
综上所述可知，各段均满足强度、刚度要求。
4—13全长为 ，两端直径分别为 、 的圆锥形杆，在其两端各受一矩为 的集中力偶作用，如图所示。试求杆的总扭转角。
解：
这是一变截面的扭转轴，应由公式 计算两端面间的相对扭转角。首先应求出该轴任一横截面的极惯性矩。
由图示的几何关系可知，任一横截面的直径为
解：首先做阶梯轴的扭矩图，如图所示。
强度校核
根据平衡条件，有
AC段最大切应力为
AC段的最大工作切应力小于许用切应力，满足强度要求。CD段的扭矩与AC段相同，但其直径比AC段的大，所以CD段也满足强度要求。
DB段上最大切应力为
故DB段的最大工作切应力小于许用切应力，满足强度要求。
梁横截面的切应力和切应力强度条件.
A
FS qL/ 2
L3m
M
qL²/ 8
Fsmax 5400 (N )
B
z M max 4050 (N.m)
x
-qL/ 2 x
求最大应力并校核强度
max
M max Wz
6M max bh2
6 4050 0.12 0.182
6.25MPa [ ] 7MPa
(1) 沿截面高度按二次抛物线规律变化； (2) 同一横截面上的最大切应力max在中性轴处 ( y=0 )；
(3)上下边缘处（y=±h/2)，切应力为零。
二、非矩形截面梁——圆截面梁
d
Fs
max
切应力的分布特征：
边缘各点切应力的方向与圆周相切；切应 力分布与 y 轴对称；与 y 轴相交各点处的 切应力其方向与 y 轴一致。
向与圆周相切；
max
(3) y 轴是对称轴 → 切应力分布与 y 轴
对称；与 y 轴相交的各点处切应力
为零。
r0 O
y
max
最大切应力max 仍发生在中性轴z上。
max
r0
max
O
y
A 2πr0
O
2r0 /p
C
y
薄壁环形截面梁最大切应力的计算
Ip
2
A
d
A
2πr0
r02
2πr03
Ip Iz I y 2Iz
梁的跨度较短，M 较小，而 Fs 较大时，要校核切应力强度; 铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的
相应比值时，要校核切应力强度; 各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力强度。
q 3.6kN / m
A
圆轴扭转时横截面上的切应力分布规律
圆轴扭转时横截面上的切应力分布规律下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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1.轴横截面上的最大切应力
1．轴横截面上的最大切应力
轴横截面上的最大切应力是指轴承受的最大切削力在横截面上的最大剪应力。
在机械
设计和工程中，轴横截面上的最大切应力是一项重要的指标，它反映出轴在承载和传递力
矩时的强度和耐久性能，对于轴的设计和选择具有重要意义。
在理论力学中，我们可以通过静力学方法来计算轴横截面上的最大切应力。
在轴承载
工作时，由于外界力的作用，轴受到一定的弯曲和扭转，使得轴截面上的材料遭受拉和压，同时也发生剪切应力，其中剪应力最大值就是轴截面上的最大切应力。
我们可以通过以下公式计算轴横截面上的最大切应力：
τ_max = T_max / J
其中，τ_max为最大切应力，T_max为轴的最大扭矩，J为轴横截面的极振截面系
数。
极振截面系数J是一个与轴形状和尺寸有关的物理量，它描述了轴旋转时各截面的抗
剪切能力，也是计算最大切应力的重要参数。
常用的轴形状包括圆形、方形、三角形等，
通过不同的形状和尺寸来实现对J值的优化。
在轴的设计中，我们通常会考虑加强轴的强度和刚度，以保证承载力和传递能力，在
此基础上尽量减小轴的重量和体积，以提高轴的技术经济性和实用性。
为此，我们需要综
合考虑轴的材料、形状、尺寸、工艺等诸多因素，以满足轴的功能和性能要求。
在实际工程中，轴横截面上的最大切应力是影响轴使用寿命和安全性的重要因素，只
有通过科学的设计和制造，才能保证轴的可靠性和稳定性，为机械工程发挥更大的作用。
扭转切应力
扭转切应力两类切应力扭转切应力弯曲切应力扭转切应力圆轴扭转时的应力变形特征圆轴扭转时横截面上的切应力分析矩形截面杆扭转切应力公式圆轴扭转时的应力变形特征外加力偶矩与功率和转速的关系变形特征横截面和纵截面都有切应力存在--切应力互等定理外加力偶矩与功率和转速的关系应用此公式时要注意单位。
将圆轴表面如图划分为许多小方块，这些小方块可近似地看作矩形。
轴受扭以后，小方块就发生变形,变成菱形。
如图是放大后的情形.产生这样的变形是因为在两个横截面上出现了切应力。
作用在AB、CD面上的切应力组成一个力偶，显然它是不能使这个微元平衡的，因此，在两个纵截面上也产生切应力。
通过应变知道横截面上有切应力,再通过平衡知道纵截面上也有切应力。
微元的直角改？横截面上和纵截面上的切应力有何关系？我们取出如图微元分析，横截面上的切应力τ乘以其作用面积dydz,再乘以力臂dx，组成一个力偶；纵截面上的切应力τ’也同样组成一个力偶，这两个力偶是大小相等，方向相反的。
最后消掉公因子dxdydz，就得到τ=τ'。
根据平衡的要求？圆轴扭转时横截面上的切应力根据变形特征和切应力互等定理,现在分析圆轴扭转时横截面上的切应力。
反对称分析论证平面保持平面由平面保持平面导出变形协调方程由物性关系得到应力分布切应力公式方法与过程反对称分析论证平面保持平面首先用反对称关系.如图，对称圆轴两端作用一对反对称的力偶，横截面上C、D两点若不保持在原来的平面上,则从A端看，力偶是顺时针方向的,这两点背离观察者而去的；若从B端看，力偶也是顺时针方向的，C、D两点也背离观察者而去。
显然这是矛盾的，因此，C、D两点只能？第一个结论圆轴扭转时，横截面保持平面，平面上各点只能在平面内转动还可以用反对称关系作进一步分析这些平面上的点移动的规律.观察截面上的一条直径，若发生扭曲，当分别从A、B两端看过去时,一次呈S 形，一次呈反S形，同样产生矛盾的结论.最终结论圆轴扭转时，横截面保持平面,并且只能发生刚性转动。
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强度条件的应用
（1）校核强度
max
Tmax Wt
max
Tmax Wt
（2）设计截面
Wt
Tmax
（9）确定载荷
Tmax Wt
§9.4 圆的汽车传动
轴，外径D=89mm、壁厚=2.5mm，
材料为20号钢，使用时的最大扭矩
§9.4 圆轴扭转时的应力
§9.4 圆轴扭转时的应力
一、横截面上的应力
几
何
关 系
Me
Me
物 理
关
几何关系
系
静
从三方面考虑 物理关系
力 关
静力关系
系
观察变形 提出假设 变形的分布规律
应力的分布规律
建立公式
§9.4 圆轴扭转时的应力
公式适用于： 1）圆杆
2） max p
横截面上某点的切应力的方向 与扭矩方向相同，并垂直于半径。 切应力的大小与其和圆心的距离 成正比。
16T
d13
7640N m
4580N m
3
d1
16T
π[ ]
3
16 7640 π 70106
82.2103 m 82.2mm
不同截面上的应力状态
圆轴扭转的控制方程
几何关系
物理关系
d
dx
G
G
d
dx
圆轴扭转的应力和变形
max
T Wt
静力学关系
T
GI p
d
dx
第九章 扭 转(II)
第九章 扭 转
§9.1 扭转的概念和实例 §9.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §9.3 纯剪切 §9.4 圆轴扭转时的应力和强度条件 §9.5 圆轴扭转时的变形和刚度条件 §9.6 非圆截面杆扭转的概念
实心轴与空心轴 I p 与 Wt 对比
Wt
Ip
/R
1 D3
16
Wt I p /(D / 2)
§9.4 圆轴扭转时的应力
三、扭转强度条件： max
Tmax Wt
1. 等截面圆轴：
2. 阶梯形圆轴：
max
Tmax Wt
max
(Tmax Wt
)max
§9.4 圆轴扭转时的应力
[' ]
Ip
1 D4
32
•已知T 、D 和[τ]，校核强度 •已知T 和[τ]，设计截面 •已知D 和[τ]，确定许可载荷
•已知T 、D 和[φ/]，校核刚度 •已知T 和[φ/]，设计截面 •已知D 和[φ/]，确定许可载荷
§9.5 圆轴扭转时的变形
例题9.7 传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率
A M e1
M e2
B
M e3
解：1.外力偶矩
T1
M e1
9549
P1 n
9549 400 7640N m 500
T2
M e3
240 400
T1
4580N m
§9.5 圆轴扭转时的变形
2.扭矩图
9.直径d1的选取
按强度条件
d1
C d2
A
B
M e1
M e2
M e3
max
单位长度扭转角
' d T
dx GI p ' T 180
GI p
rad/m ⁰/m
扭转刚度条件
' max
[ ' ]
[ ' ]许用单位扭转角
§9.5 圆轴扭转时的变形
扭转强度条件
max
T Wt
[ ]
Wt
1 D3
16
扭转刚度条件
' max
T GI p
知识要点回顾
外力偶的计算： 直接计算 Me Fd
输出功率和转速 Me 9549P
n
扭矩及正负号规定： T = Me 右手螺旋法则
纯剪切、切应力互等定理
切应力胡克定律 G
剪切应变能 u 1 τγ G γ 2 2
2 2 2G
G E
2(1 )
知识要点回顾
T=1990N·m,[]=70MPa.校核此轴的
强度。
d 0.945
D
解：（1）计算抗扭截面模量
Wt 0.2D3 (1 4 ) 0.2 8.93 (1 0.9454 ) 29 cm9 （2） 强度校核
max
T Wt
1930 29 106
66.7106 Pa
P1=400kW，从动轮C，B 分别输出功率P2=160kW，
P9=240kW。已知[τ]=70MPa，[φˊ]=1°/m，G=80GPa。
(1)试确定AC 段的直径d1 和BC 段的直径d2； (2)若AC 和BC 两段选同一直径，试确定直径d；
(9)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?
d1
C d2
max
T Wt
令
Wt
Ip R
抗扭截面系数
在圆截面边缘上， 有最大切应力
§9.4 圆轴扭转时的应力
二、I p 与 Wt的计算
实心轴
T
Ip
max
T Wt
Wt I p / R 1 D3
16
§9.4 圆轴扭转时的应力
空心轴
则
令
Wt I p /(D / 2)
§9.4 圆轴扭转时的应力
(0.0531)2
4
22.2104 m2
A2
4
(D2
d2)
4
[(90 103 )2
(85103)2 ]
6.87 104 m2
在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量 之比等于横截面面积之比。
A2 A1
6.87 104 22.2 104
0.31
可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的31% 。
66.7MPa [ ] 70MPa 满足强度要求
§9.4 圆轴扭转时的应力
例9.3 如把上例中的传动轴改为实 心轴，要求它与原来的空心轴强度 相同，试确定其直径。并比较实心 轴和空心轴的重量。
解：当实心轴和空心轴的最大应力同 为[]时，两轴的许可扭矩分别为
T1
Wt [
]
16
§9.5 圆轴扭转时的变形
§9.5 圆轴扭转时的变形
静力关系(平衡方程)
T A dA
G
G
d dx
物理方程
A
ρ
G
ρ
dφ dx
dA
T
T
GI p
d
dx
A ρ2dA Ip
相对扭转角
抗扭刚度
n
Tili
i1 GIPi
§9.5 圆轴扭转时的变形
D13[
]
T2
16
D3(1 4 )[
]
16
(90)3 (1
0.9444 )[
]
若两轴强度相等，则T1=T2 ，于是有
D13 (90)3 (1 0.9444 )
D1 53.1mm 0.0531m
§9.4 圆轴扭转时的应力
实心轴和空心轴横截面面积为
A1
D12
4