各轴横截面上的最大切应力

A M e1
M e2
B
M e3
解：1.外力偶矩
T1

M e1

9549
P1 n
9549 400 7640N m 500
T2

M e3

240 400
T1

4580N m
§9.5 圆轴扭转时的变形
2.扭矩图
9.直径d1的选取
按强度条件
d1
C d2
A
B
M e1
M e2
M e3
max

(0.0531)2
4

22.2104 m2
A2


4
(D2

d2)


4
百度文库
[(90 103 )2

(85103)2 ]

6.87 104 m2
在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量 之比等于横截面面积之比。
A2 A1

6.87 104 22.2 104
0.31
可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的31% 。
D13[
]
T2


16
D3(1 4 )[
]


16
(90)3 (1
0.9444 )[
]
若两轴强度相等，则T1=T2 ，于是有
D13 (90)3 (1 0.9444 )
D1 53.1mm 0.0531m
§9.4 圆轴扭转时的应力
实心轴和空心轴横截面面积为
A1

D12
4
max

T Wt
令
Wt

Ip R
抗扭截面系数
在圆截面边缘上， 有最大切应力
§9.4 圆轴扭转时的应力
二、I p 与 Wt的计算
实心轴


T
Ip
max

T Wt
Wt I p / R 1 D3
16
§9.4 圆轴扭转时的应力
空心轴
则
令
Wt I p /(D / 2)
§9.4 圆轴扭转时的应力
单位长度扭转角
' d T
dx GI p ' T 180
GI p
rad/m ⁰/m
扭转刚度条件
' max
[ ' ]
[ ' ]许用单位扭转角
§9.5 圆轴扭转时的变形
扭转强度条件
max
T Wt
[ ]
Wt
1 D3
16
扭转刚度条件
' max
T GI p
T=1990N·m,[]=70MPa.校核此轴的
强度。
d 0.945
D
解：（1）计算抗扭截面模量
Wt 0.2D3 (1 4 ) 0.2 8.93 (1 0.9454 ) 29 cm9 （2） 强度校核
max
T Wt

1930 29 106
66.7106 Pa
[' ]
Ip

1 D4
32
•已知T 、D 和[τ]，校核强度 •已知T 和[τ]，设计截面 •已知D 和[τ]，确定许可载荷
•已知T 、D 和[φ/]，校核刚度 •已知T 和[φ/]，设计截面 •已知D 和[φ/]，确定许可载荷
§9.5 圆轴扭转时的变形
例题9.7 传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率
§9.5 圆轴扭转时的变形
§9.5 圆轴扭转时的变形
静力关系(平衡方程)
T A dA

G
G
d dx
物理方程
A
ρ

G

ρ

dφ dx

dA

T
T

GI p
d
dx
A ρ2dA Ip
相对扭转角
抗扭刚度
n

Tili
i1 GIPi
§9.5 圆轴扭转时的变形
P1=400kW，从动轮C，B 分别输出功率P2=160kW，
P9=240kW。已知[τ]=70MPa，[φˊ]=1°/m，G=80GPa。
(1)试确定AC 段的直径d1 和BC 段的直径d2； (2)若AC 和BC 两段选同一直径，试确定直径d；
(9)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?
d1
C d2
强度条件的应用
（1）校核强度
max
Tmax Wt


max

Tmax Wt


（2）设计截面
Wt

Tmax

（9）确定载荷
Tmax Wt
§9.4 圆轴扭转时的应力
例9.2 由无缝钢管制成的汽车传动
轴，外径D=89mm、壁厚=2.5mm，
材料为20号钢，使用时的最大扭矩
16T
d13

7640N m
4580N m
3
d1
16T
π[ ]
3

16 7640 π 70106
82.2103 m 82.2mm
不同截面上的应力状态
圆轴扭转的控制方程
几何关系
物理关系



d
dx

G
G
d
dx
圆轴扭转的应力和变形
max
T Wt
静力学关系
T

GI p
d
dx
第九章 扭 转(II)
第九章 扭 转
§9.1 扭转的概念和实例 §9.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §9.3 纯剪切 §9.4 圆轴扭转时的应力和强度条件 §9.5 圆轴扭转时的变形和刚度条件 §9.6 非圆截面杆扭转的概念
实心轴与空心轴 I p 与 Wt 对比
Wt

Ip
/R
1 D3
16
Wt I p /(D / 2)
§9.4 圆轴扭转时的应力
三、扭转强度条件： max

Tmax Wt


1. 等截面圆轴：
2. 阶梯形圆轴：
max

Tmax Wt
max

(Tmax Wt
)max
§9.4 圆轴扭转时的应力
知识要点回顾
外力偶的计算： 直接计算 Me Fd
输出功率和转速 Me 9549P
n
扭矩及正负号规定： T = Me 右手螺旋法则
纯剪切、切应力互等定理
切应力胡克定律 G
剪切应变能 u 1 τγ G γ 2 2
2 2 2G
G E
2(1 )
知识要点回顾
66.7MPa [ ] 70MPa 满足强度要求
§9.4 圆轴扭转时的应力
例9.3 如把上例中的传动轴改为实 心轴，要求它与原来的空心轴强度 相同，试确定其直径。并比较实心 轴和空心轴的重量。
解：当实心轴和空心轴的最大应力同 为[]时，两轴的许可扭矩分别为
T1

Wt [
]


16
§9.4 圆轴扭转时的应力
§9.4 圆轴扭转时的应力
一、横截面上的应力
几
何

关 系
Me
Me
物 理
关
几何关系
系
静
从三方面考虑 物理关系
力 关
静力关系
系
观察变形 提出假设 变形的分布规律
应力的分布规律
建立公式
§9.4 圆轴扭转时的应力
公式适用于： 1）圆杆
2） max p
横截面上某点的切应力的方向 与扭矩方向相同，并垂直于半径。 切应力的大小与其和圆心的距离 成正比。