九年级数学概率基础学习知识
2024九年级数学上册“第二十五章 概率初步”必背知识点
2024九年级数学上册“第二十五章概率初步”必背知识点一、随机事件与概率1. 随机事件定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。
对比：与随机事件相对的是确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件。
必然事件是事先能肯定它一定会发生的事件；不可能事件是事先能肯定它一定不会发生的事件。
2. 概率的定义一般定义：在大量重复实验中，如果事件A发生的频率m/n稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P(A)=p。
取值范围：概率的取值范围是0≤p≤1。
特别地，P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0。
二、概率的计算方法1. 理论概率在一次试验中，如果包含n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=m/n。
2. 列举法求概率列表法：当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，常用列表法列出所有可能的结果，再求出概率。
树状图法：当试验涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法。
三、用频率估计概率原理：在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m/n 稳定于某一个常数p，那么可以认为事件A发生的概率为p。
即，频率可以作为概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率。
四、概率的应用与理解1. 概率的意义概率是对事件发生可能性大小的量的表现，它反映了随机事件的稳定性和规律性。
2. 游戏公平性判断游戏公平性需要计算每个事件的概率，并比较它们是否相等。
如果概率相等，则游戏公平；否则，游戏不公平。
五、综合应用概率知识在解决实际问题中的应用：如抽奖、天气预测、投资决策等领域的概率计算和分析。
示例题目1. 理论概率计算例题：从一副扑克牌中随机抽取一张，求抽到红桃的概率。
解析：一副扑克牌共有54张 （包括大王和小王），其中红桃有13张。
因此，抽到红桃的概率为P=13/54。
2. 列举法求概率例题：一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同。
【人教版】初中数学九年级知识点总结：25概率 简洁易懂
预习九年级知识点: 25概率一、知识框架二、重点、难点:在具体情境中了解概率意义、对频率与概率关系的初步理解。
四、知识点、概念总结1.随机事件: 在随机试验中, 可能出现也可能不出现, 而在大量重复试验中具有某种规律性的事件, 简称事件。
随机事件通常用大写英文字母A.B.C等表示。
2.特殊的事件必然事件记作Ω, 必然发生。
不可能事件记作Φ, 不可能发生。
3.概率：表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率。
人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实例。
5.列举法：从逻辑上进行分析并将其本质内容全面地一一地罗列出来的手段，再针对列出的项目一一提出改进的方法。
列举法一种方式为树状图, 如下: P136列举法另一种方式为图表, 如下:第2个1 2 3 4 5 6AC D EH I H I H IBC D EH I H I H I甲乙丙（具体图表意义请参照初中数学九年级上册人教版课本P135页）4.频率与概率的区别与联系从定义可以得到二者的联系, 可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近, 说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简单地等同.5.频率估计概率:历史上有许多著名数学家也做过掷硬币的试验.历史上数学家做掷币试验的数据统计表说明：只要试验的次数n足够大, 频率就可以作为概率的估算值！。
九年级数学概率初步知识点
九年级数学概率初步知识点
9年级数学的初步概率知识点包括：
1. 事件与概率：事件是指某种可能发生的结果，概率是指某个事件发生的可能性大小。
2. 随机事件与确定事件：随机事件是指其结果在每次试验中可能不同的事件，确定事
件是指其结果在每次试验中都相同的事件。
3. 样本空间与样本点：样本空间是指所有可能结果的集合，样本点是样本空间中的每
个具体结果。
4. 基本事件与复合事件：基本事件是指样本空间中的单个样本点，复合事件是指由基
本事件组成的事件。
5. 等可能性原理：在一次试验中，如果每个基本事件发生的可能性相等，则称这些事
件是等可能事件。
6. 事件的概率：事件A的概率表示为P(A)，定义为事件A发生的次数与试验总次数之比。
7. 加法定理：对于两个互斥事件A和B（即A和B不能同时发生），则P(A或B) =
P(A) + P(B)。
8. 互斥事件与对立事件：互斥事件是指两个事件不能同时发生，对立事件是指在一次
试验中只能发生其中一个事件的概率。
9. 条件概率：指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，表示为P(A|B)，计算公式为P(A|B) = P(A∩B)/P(B)。
10. 事件的独立性：当事件A的发生与事件B的发生是相互独立的，即事件A的概率不受事件B的发生与否影响时，称事件A与事件B独立。
11. 乘法定理：对于两个独立事件A和B，P(A∩B) = P(A) × P(B)。
12. 事件的补事件：指在一次试验中，事件A不发生的事件。
这些是九年级数学中概率的初步知识点，通过掌握这些知识，可以更好地理解和解决与概率相关的问题。
数学九年级上册概率知识点
数学九年级上册概率知识点《数学九年级上册概率知识点》概率是数学中的一个重要概念，它描述了事物发生的可能性大小。
在数学九年级上册中，我们将学习概率的基本概念、性质以及应用。
下面是对数学九年级上册概率知识点的详细介绍：一、基本概念1. 实验和样本空间：实验是指进行的一项活动或观察，样本空间是实验所有可能结果的集合。
2. 事件和事件的概率：事件是样本空间的某个子集，事件的概率是该事件发生的可能性大小。
3. 必然事件和不可能事件：必然事件是必定会发生的事件，其概率为1；不可能事件是不会发生的事件，其概率为0。
4. 互斥事件：两个事件不能同时发生的事件称为互斥事件。
5. 对立事件：两个事件互为对立事件，如果它们发生的可能性互补，即一个事件发生，则另一个事件不发生。
二、概率的性质1. 非负性：事件的概率不会小于0，即P(A)≥0。
2. 规范性：样本空间的概率为1，即P(S)=1。
3. 加法性：对于互斥事件A和B，它们的概率之和等于各自概率的和，即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
4. 互斥事件的概率：对于有限个互斥事件A1，A2，...，An，它们的概率之和等于各自概率的和，即P(A1∪A2∪...∪An) =P(A1) + P(A2) + ... + P(An)。
5. 对立事件的概率：事件A和事件A的对立事件的概率之和为1，即P(A) + P(A') = 1。
三、概率的计算方法1. 等可能事件概率的计算：如果样本空间中各个样本点发生的可能性相等，则事件A的概率为P(A) = 事件A包含的样本点数目/ 样本空间的样本点数目。
2. 组合事件概率的计算：对于事件A和事件B的概率，可以使用公式P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)来计算。
3. 条件概率的计算：对于已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率，可以使用公式P(A|B) = P(A∩B) / P(B)来计算。
四、概率与统计1. 随机事件与统计：通过进行大量的实验或观察，可以估计事件发生的概率。
九年级数学概率的知识点总结大全
九年级数学概率的知识点总结大全本文将总结九年级数学中与概率相关的知识点，让你更好地掌握概率的概念和应用。
1. 随机试验和样本空间- 随机试验：一种具有多个可能结果的试验，每次试验的结果是不确定的。
- 样本空间：随机试验的所有可能结果的集合，用S表示。
2. 事件和概率- 事件：样本空间的子集，表示试验的某种结果。
- 概率：事件发生的可能性大小，用P(A)表示，0 ≤ P(A) ≤ 1。
3. 等可能概型- 当样本空间中每个样本点发生的可能性相等时，称为等可能概型。
- 对于等可能概型，事件A发生的概率为P(A) = 事件A包含的样本点数目 / 样本空间中的样本点总数。
4. 事件的互斥和对立- 互斥事件：两个事件不能同时发生。
- 对立事件：两个事件中至少有一个发生。
5. 事件间的运算- 事件的并：事件A和事件B至少有一个发生。
- 事件的交：事件A和事件B同时发生。
- 事件的差：事件A中发生，但不发生事件B。
- 事件的补：样本空间中不属于事件A的部分。
6. 概率的性质- 非负性：对于任意事件A，有P(A) ≥ 0。
- 规范性：对于样本空间S，有P(S) = 1。
- 可列可加性：对于任意互斥事件的序列{A₁, A₂, ...}，有P(A₁∪A₂∪...) = P(A₁) + P(A₂) + ...7. 条件概率和乘法定理- 条件概率：在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。
- 乘法定理：对于任意两个事件A和B，有P(A∩B) = P(B) *P(A|B)。
8. 独立事件和加法定理- 独立事件：两个事件A和B之间互不影响，事件A的发生不影响事件B的发生。
- 加法定理：对于任意两个事件A和B，有P(A∪B) = P(A) +P(B) - P(A∩B)。
9. 排列和组合- 排列：从n个元素中取出r个元素，并考虑元素的顺序，称为排列数，记作P(n, r)。
- 组合：从n个元素中取出r个元素，不考虑元素的顺序，称为组合数，记作C(n, r)。
九年级数学概率知识点
九年级数学概率知识点在九年级数学学科中，概率作为一个重要的知识点，是对事件发生可能性的度量。
通过概率的学习，我们可以对随机事件进行分析和判断。
本文将介绍九年级数学中的一些概率知识点，帮助大家更好地掌握这一内容。
一、基本概率理论1. 概率的定义和性质概率是指某个事件发生的可能性大小。
在数学中，用P(A)表示事件A的概率，概率的取值范围在0到1之间。
当事件A不可能发生时，概率为0；当事件A一定发生时，概率为1。
另外，所有事件的概率之和为1。
2. 事件的分类事件分为互斥事件和相对事件。
互斥事件指的是两个事件不能同时发生，即它们的交集为空集；而相对事件则指的是两个事件可以同时发生，即它们的交集不为空集。
3. 加法法则和乘法法则加法法则指的是，对于互斥事件，它们的概率之和等于各个事件概率的总和。
乘法法则指的是，对于相对事件，它们的概率之积等于各个事件概率的乘积。
二、用排列组合求概率1. 排列排列是指从给定的元素中选出一部分进行排列，按照一定的顺序进行排列。
排列的计算公式为：A(n, m) = n!/(n-m)!，其中n为总元素数，m为选取的元素数。
2. 组合组合是指从给定的元素中选出一部分进行组合，不考虑顺序。
组合的计算公式为：C(n, m) = n!/((n-m)! * m!)，其中n为总元素数，m为选取的元素数。
3. 应用案例通过排列组合的方法，可以解决一些实际问题。
例如，从一副扑克牌中随机抽取5张，求得到同花顺的概率等。
三、条件概率和独立事件1. 条件概率条件概率是指在已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率。
条件概率的计算公式为：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
2. 乘法定理和全概率公式乘法定理是计算联合概率的方法，全概率公式则是计算条件概率的方法。
3. 独立事件独立事件是指两个事件发生与否相互独立，一个事件的发生不影响另一个事件的发生。
九年级数学上册第二十五章概率初步必考知识点归纳(带答案)
九年级数学上册第二十五章概率初步必考知识点归纳单选题1、在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中大约共有白球（）A．10B．15C．20D．都不对答案：B分析：由摸到红球的频率稳定在0.25附近，可以得出摸到红球的概率，即可求出白球个数．∵摸到红球的频率稳定在0.25附近，∴摸到红球的概率为0.25，∴总球数：5÷0.25=20（个）∴白球个数：20-5=15（个）所以答案是：B．小提示：本题考查了用频率估计概率、已知概率求数量，得出摸到红球的概率是本题的关键．2、在有25名男生和24名女生的班级中，随机抽签确定一名学生代表，则下列说法正确的是（）. A．男、女生做代表的可能性一样大B．男生做代表的可能性较大C．女生做代表的可能性较大D．男、女生做代表的可能性的大小不能确定答案：B分析：根据题意，只要求出男生和女生当选的可能性，再进行比较即可解答．∵某班有25名男生和24名女生，∴用抽签方式确定一名学生代表，男生当选的可能性为2525+24=25 49，女生当选的可能性为2425+24=24 49，∴男生当选的可能性大于女生当选的可能性．故选B．小提示：此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．3、某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（ ） A ．19B ．16C ．13D ．23答案：C分析：将三个小区分别记为A 、B 、C ，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可． 详解：将三个小区分别记为A 、B 、C ， 列表如下：3种， 所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为39=13. 故选C ．点睛：此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4、某市有6名教师志愿到四川地震灾区的甲、乙、丙三个镇去支教，每人只能去一个镇，则恰好其中一镇去4名，另两镇各去1名的概率为（ ） A ．2081B ．1081C ．5243D ．10243答案：B分析：因为对于这六个人来说，会被随机分派到3个镇中的任何一个，所以一共有36种情况，而有4个人的镇可能是3个镇中的任何一个，剩下两个镇各派一个人的派法是3×C 64，根据概率公式求解．解：6名教师志愿随机派到3个镇中的任何一个共有36种情况，有4个人的镇可能是3个镇中的任何一个，另两镇各去1名的结果数为3×6×5，所以恰好其中一镇去4名，另两镇各去1名的概率=3×6×536=1081，故选：B ．【小提示】选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率． 5、同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23答案：C分析：根据题意可画出树状图，然后进行求解概率即可排除选项． 解：由题意得：∴一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是P =24=12； 故选C ．小提示：本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．6、①三点确定一个圆； ②平分弦的直径平分弦所对的弧；③同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等；④在半径为4的圆中，30°的圆心角所对的弧长为π3；⑤方程x 2－x ＋3=0的两根之积是3，从上述5个命题中任取一个，是真命题的概率是（ ） A ．1B ．35C ．25D ．15 答案：C分析：先根据确定圆的条件对①进行判断；根据垂径定理的推论对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对③进行判断；根据弧长公式对④进行判断；利用根与系数关系对⑤进行判断．然后利用概率公式进行计算即可．解：①不在同一直线上的三点可以确定一个圆，故①说法错误，是假命题； ②平分弦（非直径）的直径平分弦所对的弧，所以②错误，是假命题； ③在同圆或等圆中，弦相等，所对的圆心角相等，所以③正确，是真命题； ④在半径为4的圆中，30°的圆心角所对的弧长为2π3，所以④错误，是假命题；⑤方程x 2-x+3=0的两根之积是3，正确，是真命题， 其中真命题有2个，所以是真命题的概率是：25， 故选：C ．小提示：本题考查了真假命题的判断及概率公式，解题的关键是：先判断命题的真假．7、不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．34答案：A分析：首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 解：画树状图得：∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况， ∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为14，故选：A ．小提示：本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．8、如图是用七巧板拼成的正方形桌面，一个小球在桌面上自由地滚动，它最终停在黑色区域的概率是（ ）A ．14B ．18C ．316D ．23答案：C分析：先求出黑色区域的面积是正方形桌面的分率，再根据概率公式即可得出答案． 解：观察图形可知，黑色区域的面积是正方形桌面的316，∴最终停在黑色区域的概率是316，故选：C ．小提示：本题考查几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．9、将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为( )A ．12B ．13C ．25D ．35答案：A分析：随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 发生时涉及的图形面积÷一次试验涉及的图形面积，因为这是几何概率．解：设正六边形边长为a ，过A 作AD ⊥BC 于D ，过B 作BE ⊥CE 于E ，如图所示：∵正六边形的内角为180°−360°6=120°，∴在RtΔACD 中，∠ADC =90°,∠CAD =60°,AC =a ，则AD =12a,CD =√32a ， ∴BC =2CD =√3a ，∴在RtΔBCE 中，∠BEC =90°,∠BCE =60°,BC =√3a ，则CE =√32a,BE =32a ，则灰色部分面积为3S ΔABC =3×12BC ⋅AD =3×12×√3a ×12a =34√3a 2，白色区域面积为2S ΔBCE =2×12CE ⋅BE =√32a ×32a =3√34a 2， 所以正六边形面积为两部分面积之和为32√3a 2，飞镖落在白色区域的概率P =34√3a 232√3a 2=12，故选：A ．小提示：本题考查了几何概率，熟练掌握几何概率模型及简单概率公式是解决问题的关键．10、如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）A ．13B ．14C ．16D ．18答案：B分析：连接菱形对角线，设大矩形的长=2a ，大矩形的宽=2b ，可得大矩形的面积，根据题意可得菱形的对角线长，从而求出菱形的面积，根据“顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形”，可得小矩形的长，宽分别是菱形对角线的一半，可求出小矩形的面积，根据阴影部分的面积=菱形的面积-小矩形的面积可求出阴影部分的面积，再求出阴影部分与大矩形面积之比即可得到飞镖落在阴影区域的概率． 解：如图，连接EG ，FH ，设AD=BC=2a ，AB=DC=2b ， 则FH=AD=2a ，EG=AB=2b ， ∵四边形EFGH 是菱形，∴S 菱形EFGH =12FH ⋅EG =12⋅2a ⋅2b =2ab ， ∵M ，O ，P ，N 点分别是各边的中点，∴OP=MN=12FH=a ，MO=NP=12EG=b ，∵四边形MOPN 是矩形， ∴S 矩形MOPN =OP ⋅MO=ab ，∴S 阴影= S 菱形EFGH -S 矩形MOPN =2ab-ab=ab ， ∵S 矩形ABCD =AB ⋅BC=2a ⋅2b=4ab ， ∴飞镖落在阴影区域的概率是ab 4ab=14，故选B ．小提示：本题考查了几何概率问题．用到的知识点是概率=相应的面积与总面积之比． 填空题11、小兰和小华两人做游戏，她们准备了一个质地均匀的正六面体骰子，骰子的六个面分别标有1，2，3，4，5，6，若掷出的骰子的点数为偶数，则小兰赢；若掷出的骰子的点数是3的倍数，则小华赢，游戏规则对______（填“小兰”或“小华”）有利． 答案：小兰分析：根据所出现的情况，分别计算两人能赢的概率，即可解答． 解：骰子的点数是偶数的有2，4，6，其概率为36=12，骰子的点数是3的倍数的有3，6，其概率为26=13，而12>13，∴游戏规则对小兰有利， 所以答案是：小兰．小提示：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12、甲、乙两人做游戏，他们准备了一个质量分布均匀的正六面体骰子，骰子的正六面分别标有1，2，3，4，5，6．若掷出的骰子的点数是偶数，则甲赢；若掷出的骰子的点数是3的倍数，则乙赢，这个游戏对甲、乙来说是_________的．（填“公平”或“不公平”） 答案：不公平分析：根据所出现的情况，分别计算两人能赢的概率，即可解答．解：∵骰子的点数是偶数的有2，4，6，其概率为36=12，骰子的点数是3的倍数的有3，6，其概率为26=13，故游戏规则对甲有利．所以答案是：不公平.小提示：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13、巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成．如图是利用七巧板拼成的正方形，随机向该图形内抛一枚小针，则针尖落在阴影部分的概率为 _____．答案：38分析：设大正方形的边长为2，先求出阴影区域的面积，然后根据概率公式即可得出答案．图，设小正方形的边长为1，根据等腰三角形和正方形的性质可求得AB=BE=2√2，FG=DC=√2，则空白的面积为：12×√2×√2+1×1+12×1×1×2+12×2×2=5；大正方形的面积是：2√2×2√2=8，阴影区域的面积为：8-5=3，所以针尖落在在阴影区域上的概率是：38．所以答案是：3．8小提示：本题考查几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．14、如图，在边长为1的小正方形组成的3×3网格中，A，B两点均在格点上，若在格点上任意放置点C，恰的概率为_________．好使得△ABC的面积为12##0.375答案：38分析：按照题意分别找出点C所在的位置，根据概率公式求出概率即可．的三角形，解：可以找到6个恰好能使△ABC的面积为12，则概率为：6÷16=38所以答案是：3．8小提示：此题主要考查了概率公式，解决此题的关键是正确找出恰好能使△ABC的面积为1的点．15、口袋内装有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，则摸出编号为偶数的球的概率是___．答案：37分析：用袋子中编号为偶数的小球的数量除以球的总个数即可得．解：∵从袋子中随机摸出一个球共有7种等可能结果，其中摸出编号为偶数的球的结果数为3，∴摸出编号为偶数的球的概率为3，7所以答案是：37．小提示：本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 解答题16、在同升湖实验学校九年级的班级三人制篮球赛过程中，经过几轮激烈的角逐，最后由2班、5班、6班、9班进入了年级四强进行最后的名次争夺赛．现在葛老师规定先用抽签的方式决定将这4个班级分成2个小组，再由两个小组的胜出者争夺一二名，小组落败者争夺三四名． （1）直接写出9班和5班抽签到一个小组的概率；（2）若4个班级的实力完全相当，任何两个班级对决的胜率都是50%，求在年级四强的名次争夺赛中9班不与5班对决的概率． 答案：（1）13；（2）13分析：（1）利用列举法求解即可； （2）分类讨论，利用列举法即可求解．（1）分组：(2，5)和(6，9)；(2，6)和(5，9)；(2，9)和(5，6)共3种， 9班和5班抽签到一个小组只有一种情况， 故概率为：13；（2）①分组为(2，5)和(6，9)，故概率为：3×4=6； ②分组为(2，9)和(5，6)，故概率为：3×4=6；综上，在年级四强的名次争夺赛中9班不与5班对决的概率为16+16=13．小提示：本题考查了利用列举法求概率，通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．17、为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收物，D类指其他垃圾．小明、小亮各投放了一袋垃圾．(1)小明投放的垃圾恰好是A类的概率为；(2)求小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率．答案：(1)14(2)14分析：（1）直接利用概率公式求出小明投放的垃圾恰好是A类的概率；（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．（1）解：∵垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋，小明投放了一袋垃圾，∴小明投放的垃圾恰好是A类的概率为：14；所以答案是：14；（2）解：如图所示：由图可知，共有16种可能结果，其中小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的结果有4种，所以小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率为416=14．小提示：此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能并熟练掌握概率公式是解题关键．18、一个不透明的口袋中装有6个红球，9个黄球，3个白球，这些球除颜色外其他均相同．从中任意摸出一个球，(1)求摸到的球是白球的概率，(2)如果要使摸到白球的概率为14，需要在这个口袋中再放入多少个白球？答案：(1)16(2)2分析：（1）直接利用概率公式求解即可；（2）根据绿球的概率公式得到相应的方程，求解即可．（1）解：根据题意分析可得：口袋中装有红球6个，黄球9个，白球3个，共18个球，故P（摸到白球）=318=16（2）设需要在这个口袋中再放入x个白球，得：3+x18+x =14，解得：x=2．经检验x=2符合题意，所以需要在这个口袋中再放入2个白球．小提示：本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．。
九年级数学概率全部知识点
九年级数学概率全部知识点概率在数学中是一个重要的概念，用于描述事件发生的可能性。
在九年级数学学习中，概率也是一个重要的知识点。
本文将对九年级数学概率的全部知识点做一个全面的总结。
一、基本概念1.试验和样本空间：试验是观察的一次实验，样本空间是试验中所有可能结果的集合。
2.随机事件：样本空间的子集称为随机事件，即可能发生的事件。
3.概率：事件发生的可能性大小称为概率，用P(A)表示事件A发生的概率。
二、事件的概率计算1.频率与概率：事件发生的频率趋于某个固定值时，这个值就是概率。
2.等可能概型：所有基本事件的概率相等的情况下，事件A包含的基本事件数除以样本空间的基本事件数即为事件A的概率。
P(A) = n(A) / n(S)，其中n(A)表示事件A包含的基本事件数，n(S)表示样本空间的基本事件数。
3.互斥事件：两个事件不可能同时发生，相互之间没有交集。
对于互斥事件的概率计算，可以直接将两个事件的概率相加。
4.相互独立事件：两个事件的发生与否互不影响。
对于相互独立事件的概率计算，可以将两个事件的概率相乘。
三、概率的性质和计算方法1.加法法则：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)，其中P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
2.乘法法则：对于两个独立事件A和B，P(A∩B) = P(A) × P(B)。
3.全概率公式：对于一组互斥事件B1，B2，...，Bn，它们的并集是样本空间S，且概率均大于0，则对任意事件A有P(A) =P(A∩B1) + P(A∩B2) + ... + P(A∩Bn)。
4.条件概率：设事件B的概率大于0，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
四、排列与组合1.排列：从n个不同元素中取出m个元素，且考虑元素之间的顺序，有Anm种不同的排列方式，即A(n,m) = n! / (n-m)!。
九年级数学概率初步知识点总结
九年级数学概率初步知识点总结经验是数学的基础，问题是数学的心脏，思考是数学的核心，发展是数学的目标，思想方法是数学的灵魂。
下面是整理的九年级数学概率初步知识点，仅供参考希望能够帮助到大家。
九年级数学概率初步知识点(1)必然事件是指一定能发生的事件，或者说发生的可能性是100%;(2)不可能事件是指一定不能发生的事件;(3)随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的.事件;(4)随机事件的可能性一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.(5)概率一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数P附近，那么这个常数P就叫做事件A的概率，记为P(A)=P.(6)可能性与概率的关系事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，反之事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0.统计初步的有关概念总体：所要考查对象的全体叫总体;个体：总体中每一个考查对象.样本：从总体中所抽取的一部分个体叫总体的一个样本.样本容量：样本中个体的数目.样本平均数：样本中所有个体的平均数叫样本平均数.总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数.统计学中的基本思想就是用样本对总体进行估计、推断，用样本的平均水平、波动情况、分布规律等特征估计总体的平均水平、波动情况和分析规律.数学学习方法及技巧学好初中数学认真听课很重要初中学生想要学好数学，在课上一定要认真听老师讲课。
老师在课堂上讲的是非常重要的知识点，但是在初中数学课上选择做笔记并不是一个正确的做法。
在初中数学课上你需要做的就是跟住老师的思维，学好老师的思维方式，这个阶段要培养自己的数学逻辑思维能力。
大部分的初中数学老师，对于这门学科都有自己的见解，所以跟住老师的思路久而久之就会逐渐转换成自己解题的思路。
学好初中数学要较真数学是一门严谨的学科，对于自己不会的地区和知识点初中生绝对不能模棱两可的就过去了，而是要把它弄清楚做明白。
九年级数学概率初步知识点
九年级数学概率初步知识点概率是数学中一个重要的概念，用于描述一个事件发生的可能性大小。
在九年级数学学习中，我们首次接触到了概率的概念，并开始探索相关的知识点。
本文将介绍九年级数学概率初步知识点，帮助同学们更好地理解和应用概率。
一、随机性与概率随机性是指在一定条件下，事件的结果不确定，难以准确预测。
而概率则是用来描述随机事件发生可能性的数字。
我们常用0到1之间的数值表示概率，其中0表示不可能发生，1表示必然发生。
二、事件与样本空间在概率的研究中，我们首先需要确定一个事件的样本空间。
样本空间是指一个随机试验的所有可能结果构成的集合。
例如，掷一个普通的骰子，样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
事件是样本空间的子集，表示我们感兴趣的那部分结果。
三、计算概率的方法有两种常用的计算概率的方法，分别是古典概率和几何概率。
1. 古典概率古典概率是根据一系列等可能性的事件进行计算的。
例如，从一个装有五个红球和五个蓝球的袋子中随机取出一个球，事件A表示取出红球的结果。
由于袋子中红球和蓝球的数量相等，所以事件A发生的概率为1/2。
2. 几何概率几何概率是通过研究事件所占空间的几何性质来计算的。
例如，掷一个平面均匀的骰子，事件A表示掷出的点数为偶数。
根据几何概率的原理，事件A发生的概率为3/6，即1/2。
四、概率的性质概率具有以下几个重要的性质：1. 互补事件的概率和为1对于一个事件A，其对立事件(A的补事件)为A'，则P(A) +P(A') = 1。
例如，掷一个骰子，事件A表示掷出的点数为偶数，A'表示掷出的点数为奇数。
由于每个点数都是偶数或奇数，所以P(A) + P(A') = 1。
2. 加法原理对于两个互不相容的事件A和B，事件A或B发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率。
即P(A或B) = P(A) +P(B)。
例如，从一副扑克牌中随机抽取一张牌，事件A表示抽到红桃，事件B表示抽到方块。
九年级数学概率初步知识点
九年级数学概率初步知识点
九年级数学概率初步的知识点包括以下内容：
1. 事件与样本空间：事件是指在一次随机实验中可能发生的结果，样本空间是指随机实验的所有可能结果组成的集合。
2. 事件的概率：事件A的概率表示为P(A)，计算方法为P(A) = 事件A的有利结果数/样本空间的总结果数。
3. 事件的互斥与对立：互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，对立事件指的是两个事件只能发生其中一个。
4. 事件的并、交与差：事件A和事件B的并集是指事件A和事件B中至少有一个事件发生的情况，事件A和事件B的交集是指事件A和事件B同时发生的情况，事件A对事件B的差是指事件A发生但事件B不发生的情况。
5. 等可能事件：指在一个随机实验中，每个结果发生的概率相等。
6. 事件的组合：指将多个事件进行排列组合，计算不同情况发生的概率。
7. 古典概型：指样本空间有限，且每个样本发生的概率相等的情况。
8. 条件概率：指在已知事件A发生的情况下，事件B发生的概率，表示为P(B|A)，计算方法为P(B|A) = P(A并B)/P(A)。
9. 独立事件：指事件A的发生与事件B的发生没有相互影响，即P(A并B) = P(A) ×P(B)。
10. 事件系列：指多个事件相继进行，每个事件的发生与否会影响下一个事件的发生概率计算。
这些知识点是九年级数学概率初步的基础，通过掌握这些知识，可以进行一些简单的概率计算与推理。
九年级数学概率的知识点归纳总结
九年级数学概率的知识点归纳总结概率作为数学中的一个重要分支，是研究随机事件发生可能性的科学方法。
在九年级的数学学习中，我们接触到了一些与概率相关的知识点，下面就对这些知识点进行归纳总结。
一、基本概念1. 随机试验：指具备以下三个特征的试验：试验的结果具有多个可能的结果，每个结果发生的概率是已知的，能够重复进行。
2. 样本空间：随机试验中所有可能结果组成的集合，用S表示。
3. 事件：样本空间的子集，用A、B、C等表示。
4. 频率与概率的关系：频率是指某个事件在大量重复试验中发生的次数与试验总次数的比值，而概率是指一个事件在一次试验中发生的可能性。
二、概率的计算方法1. 古典概型：a. 定义：指每个基本事件发生的概率相等的情况下，通过统计样本空间中所包含的基本事件个数，计算事件发生的概率。
b. 计算公式：P(A) = n(A) / n(S)，其中P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A中基本事件的个数，n(S)表示样本空间中基本事件的总数。
2. 几何概率：a. 定义：指根据几何知识来计算事件发生的概率。
b. 计算方法：若一个试验的样本空间S是几何图形，且每个基本事件发生的可能性相同，则事件A发生的概率可以用A所对应的几何图形的面积与样本空间S的面积之比表示。
3. 组合概型：a. 定义：指当一个试验的样本空间S无法通过古典概型或几何概型进行求解时，采用组合概型进行计算。
b. 计算方法：根据问题的条件，计算事件A中基本事件的个数与样本空间中基本事件的总数来计算概率。
三、概率的性质与计算1. 事件的互斥与对立：如果两个事件A和B的交集为空集，则称这两个事件互斥；如果两个事件A和B的和集等于样本空间S，则称这两个事件对立。
2. 事件的加法定理：对于任意两个事件A和B，有P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
3. 事件的乘法定理：对于任意两个事件A和B，有P(A∩B) = P(A) × P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的前提下，事件B发生的概率。
数学九年级上册知识点概率
数学九年级上册知识点概率概率作为数学的一个分支，研究的是随机事件发生的可能性。
在日常生活中，我们经常会遇到各种随机事件，比如抛硬币、摇骰子、抽签等。
这些事件都有不确定性，我们可以通过概率来描述和解释。
一、基本概念概率是研究事件发生可能性的数学工具，用数值表示事件发生的可能性大小。
在概率的计算中，通常用0到1之间的数来表示，0表示不可能发生，1表示肯定发生。
二、事件与样本空间在概率的研究中，我们需要明确事件和样本空间的概念。
样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合，用S表示。
例如，掷一枚硬币的样本空间为{正面，反面}。
事件是样本空间的一个子集，表示我们感兴趣的结果。
例如，掷一枚硬币出现正面的事件可以用A表示，即A={正面}。
三、等可能概率当样本空间中的每个结果发生的可能性相等时，我们称之为等可能概率。
例如，掷一枚均匀硬币，正面和反面出现的概率都是1/2，就是等可能概率。
四、事件的概率计算事件A的概率表示为P(A)，计算公式为P(A)=事件A的可能结果数/样本空间的可能结果数。
例如，掷一枚硬币出现正面的概率为1/2。
五、互斥事件和对立事件互斥事件是指两个事件不可能同时发生，互斥事件的概率为零。
例如，掷一枚硬币出现正面和反面就是互斥事件。
对立事件是指两个事件之一必然发生，对立事件的概率之和为1。
例如，掷一枚硬币出现正面和反面就是对立事件。
六、加法定理和乘法定理加法定理适用于互斥事件，表示两个互斥事件发生的概率之和等于两个事件分别发生的概率。
乘法定理适用于独立事件，表示多个独立事件共同发生的概率等于每个事件发生的概率的乘积。
这两个定理为概率计算提供了有效的工具。
七、条件概率和事件独立性条件概率指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，表示为P(A|B)。
条件概率的计算公式为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
事件独立性是指事件A和事件B的发生与否相互独立，即P(A|B)=P(A)和P(B|A)=P(B)。
九年级概率知识点归纳
九年级概率知识点归纳概率是数学中的一个重要概念，在我们的日常生活中也随处可见。
九年级的学生在数学课上学习概率，掌握了各种概率相关的知识点。
下面对九年级概率知识点进行归纳整理。
一、基本概念概率是指某个事件发生的可能性大小，用一个介于0到1之间的数表示。
其中，0表示不可能事件，1表示必然事件。
在计算概率时，可以使用等可能概型来进行计算。
等可能概型是指所有的基本事件发生的可能性相等。
二、事件的概率1. 事件的概率计算公式：P(A) = 事件A发生的次数 / 试验的总次数。
2. 概率的性质：- 非负性：对于任意事件A，P(A) ≥ 0。
- 全事件概率：一个试验中，所有基本事件的概率之和为1。
- 加法性：对于两个互斥事件A和B，P(A∪B) = P(A) + P(B)。
- 减法性：对于事件A和事件B，P(A-B) = P(A) - P(A∩B)。
三、条件概率条件概率是指在另一个事件已经发生的条件下，某一事件发生的概率。
条件概率的计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
四、独立事件独立事件是指两个事件相互之间没有影响，一个事件的发生不会影响另一个事件的发生。
对于独立事件，有以下性质：1. 如果A和B是独立事件，则P(A∩B) = P(A) × P(B)。
2. 如果A和B是互斥事件，并且P(B) ≠ 0，则P(A|B) = 0。
3. 如果A和B是独立事件，并且P(B) ≠ 0，则P(A|B) = P(A)。
五、贝叶斯定理贝叶斯定理是一种根据条件概率计算的方法，用于计算逆条件概率。
贝叶斯定理的公式为：P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)。
其中，P(A|B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率；P(B|A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
六、随机变量与概率分布随机变量是指在随机试验中可能取到的值。
九年级概率数学知识点归纳总结
九年级概率数学知识点归纳总结概率是数学中的一个重要分支，它研究的是随机事件发生的可能性。
九年级学生在学习概率数学知识时，需要掌握一些基本概念和技巧。
本文将对九年级概率数学知识点进行归纳总结，帮助学生们更好地学习和理解概率。
一、概率的基本概念在学习概率之前，我们首先需要了解一些基本概念。
概率是指事件发生的可能性大小，通常用0到1之间的数字表示。
概率为0的事件是不可能事件，概率为1的事件是必然事件。
而对于其他事件，概率介于0到1之间。
概率的计算方法有理论概率和实际概率两种，其中理论概率是根据事件的可能性计算的，实际概率是通过实验或观察得到的。
二、事件的枚举与计数在概率计算中，我们常常需要对事件进行枚举与计数。
对于一个事件，我们可以通过列举所有可能的结果来进行枚举，然后通过计数的方法求得事件发生的可能性。
这个过程中，我们需要注意排列与组合的区别。
排列指的是从一堆对象中挑选出若干个进行排列，考虑顺序；而组合是不考虑顺序的，只关心对象的选择。
三、概率的加法与乘法规则在计算复合事件的概率时，我们可以使用概率的加法与乘法规则。
加法规则适用于互斥事件，即两个事件不能同时发生；而乘法规则适用于独立事件，即一个事件的发生不会影响另一个事件的发生。
根据加法规则，互斥事件的概率等于各个事件概率之和；根据乘法规则，独立事件的概率等于各个事件概率的乘积。
四、频率与概率在概率的实际应用中，我们常常通过频率来估计概率。
频率指的是通过大量的实验或观察来统计事件发生的次数，然后计算事件的实际概率。
当实验次数足够大时，频率趋近于概率。
因此，频率可以作为概率的近似值，来指导我们的实际决策。
五、事件的独立性与相关性在概率计算中，事件的独立性与相关性是两个重要的概念。
独立事件指的是一个事件的发生与另一个事件的发生无关，两者之间没有任何关联；相关事件指的是一个事件的发生与另一个事件的发生有关，两者之间存在某种关联性。
对于独立事件，我们可以通过乘法规则计算其概率；对于相关事件，我们需要考虑它们之间的关联程度，可以使用条件概率或贝叶斯公式来计算。
九年级上册数学概率初步知识点总结
九年级上册数学概率初步知识点总结一、引言九年级上册数学中，概率初步是一个重要的知识点。
概率论是研究随机现象的数学学科，而概率初步则是让学生初步了解概率论的基本概念和方法。
本文将对九年级上册数学概率初步的知识点进行总结，以帮助学生更好地掌握这一知识点。
二、样本空间与事件1.样本空间：样本空间是随机试验所有可能结果的集合。
例如，投掷一枚骰子，样本空间为{1,2,3,4,5,6}。
2.事件：事件是样本空间的一个子集。
在概率论中，事件通常用大写字母A、B、C等表示。
三、概率的定义与性质1.概率的定义：概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，用P(A)表示事件A发生的概率，且0≤P(A)≤1。
2.概率的性质：（1）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。
（2）有限个互斥事件的概率之和等于这些事件同时发生的概率。
（3）若事件A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。
四、条件概率与独立事件1.条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记为P(A|B)。
其计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
2.独立事件：如果事件A的发生不影响事件B的发生，则称事件A与B相互独立。
独立事件的概率计算公式为：P(A∩B) = P(A) * P(B)。
五、随机变量及其分布1.随机变量：随机变量是定义在样本空间上的实值函数。
根据取值的不同，随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
2.离散型随机变量的分布律：离散型随机变量的分布律描述了取各个可能值的概率。
常用的离散型随机变量分布有二项分布、泊松分布等。
3.连续型随机变量的概率密度：连续型随机变量的概率密度函数描述了取各个值的相对可能性。
常用的连续型随机变量分布有正态分布、均匀分布等。
六、数学期望与方差1.数学期望：数学期望是描述随机变量取值平均水平的量，记为E(X)。
对于离散型随机变量，其数学期望为各可能值与其概率的乘积之和；对于连续型随机变量，其数学期望为概率密度函数与x的乘积在定义域上的积分。
九年级数学上册概率知识点
九年级数学上册概率知识点概率是九年级数学上册非常重要的一个知识点，它不仅仅在数学中发挥作用，还可以应用到日常生活以及其他学科中。
本文将详细介绍九年级数学上册中涉及到的概率知识点，包括基础概念、概率的计算方法以及概率在实际问题中的应用。
一、基础概念在学习概率之前，我们首先要了解一些基础概念。
概率是事件发生的可能性大小的一种衡量方式。
我们常用0到1之间的数值来表示概率，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
例如，掷一枚均匀的骰子，出现1的概率为1/6，即1/6的可能性。
另外，事件的互斥和对立是概率计算中的两个重要概念。
互斥事件指的是两个或多个事件不能同时发生，对立事件指的是两个事件中至少有一个会发生。
二、概率的计算方法在概率的计算方法中，我们需要掌握频率法、几何法和古典概率法。
1. 频率法：通过实验的统计结果来估算概率。
例如，在进行一系列相同的试验中，我们记录事件发生的次数，然后将发生的次数除以试验总次数，得到事件发生的频率。
频率趋近于一个固定值时，就是事件的概率。
2. 几何法：通过求事件的几何概率来计算。
几何概率是指事件发生可能性与样本空间中的所有可能性之比。
例如，一个正方形纸片上有一圆和一正方形，如果我们随机选取一个点，点所在的位置在圆内的可能性即为事件发生的几何概率。
3. 古典概率法：适用于每个事件发生的可能性相等的情况。
通过计算有利事件数与样本空间中总事件数的比值来计算概率。
例如，一副标准扑克牌中黑桃的数量是13，总牌数是52，那么摸到一张黑桃牌的概率即为13/52=1/4。
三、概率在实际问题中的应用概率不仅仅是数学中的抽象概念，它还可以应用到实际生活中。
下面将介绍两个与概率相关的实际问题。
1. 事件的独立性：在一系列独立的事件中，每个事件的发生不会影响其他事件的发生。
例如，连续掷两枚均匀的骰子，每一次的掷骰结果都不会对其他次的掷骰结果造成影响。
那么两次掷骰都是掷到6的概率即为单次掷骰结果是6的概率的平方，即1/6 *1/6 = 1/36。
概率初步九年级知识点
概率初步九年级知识点一、概率的基本概念概率是研究随机事件发生可能性的数学工具。
在我们日常生活中，概率无处不在。
我们可以通过概率来计算各种事件的发生概率，从而进行合理的决策。
二、事件与样本空间1. 事件：概率论中，事件是指一个随机试验的结果。
例如，掷一枚硬币，正面朝上为事件A，反面朝上为事件B。
2. 样本空间：样本空间是指随机试验的所有可能结果的集合。
对于掷一枚硬币的试验，样本空间为{正面，反面}。
三、概率的计算概率的计算可以通过频率法和几何法两种方法。
1. 频率法：通过实验的结果次数与实验总次数的比值来计算概率。
例如，掷一枚硬币，正面朝上的次数除以总次数即可得到正面出现的概率。
2. 几何法：通过样本点在样本空间中的位置来计算概率。
例如，在掷一枚骰子的试验中，三点出现的概率为1/6。
四、基本事件的概率1. 基本事件：样本空间中的单个元素称为基本事件。
例如，掷一枚硬币，正面朝上、反面朝上分别为两个基本事件。
2. 基本事件的概率：基本事件的概率等于事件发生的可能性除以样本空间的大小。
例如，掷一枚硬币，正面朝上的概率为1/2。
五、互斥事件与对立事件1. 互斥事件：两个事件不能同时发生，称为互斥事件。
例如，掷一枚硬币，正面朝上和反面朝上是互斥事件。
2. 对立事件：两个事件发生其中一个必然排除另一个，称为对立事件。
例如，掷一枚硬币，正面朝上和反面朝上是对立事件。
六、加法定理加法定理是计算事件并的概率的公式。
对于两个事件A和B，其并的概率等于A事件的概率加上B事件的概率减去A和B同时发生的概率。
即P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
七、乘法定理乘法定理是计算事件交的概率的公式。
对于两个事件A和B，其交的概率等于A事件的概率乘上B事件在A发生的条件下的概率。
即P(A∩B) = P(A) * P(B|A)。
八、条件概率条件概率是指在一个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。
用P(B|A)表示在事件A发生的条件下B发生的概率。
九年级数学知识点总结概率
九年级数学知识点总结概率概率是数学中一个非常重要的概念，它主要研究随机事件发生的可能性。
在九年级数学中，我们学习了许多与概率相关的知识点，包括概率的基本性质、概率计算、事件间的关系等。
在本篇文章中，我将对九年级数学中的概率知识点进行总结和概述。
1. 概率的基本概念概率可以用一个介于0和1之间的实数表示，其中0代表不可能发生，1代表必然发生。
在计算概率时，我们用事件发生的次数除以总次数来表示。
2. 试验与样本空间在概率的研究中，我们经常进行试验，试验是指重复进行的某个事件。
而样本空间是指试验的所有可能的结果的集合。
例如，抛硬币的试验中，可能的结果为正面和反面，它们构成了样本空间。
3. 事件与事件间的关系事件是样本空间的子集，它表示试验可能出现的某种结果。
如果事件A和B没有相同的结果，我们称这两个事件是互斥的。
而事件A与事件B的并集表示A或者B发生；事件A与事件B的交集表示A和B同时发生。
4. 概率计算概率可以通过计算事件发生的次数除以总次数来得到。
在进行概率计算时，我们需要注意事件发生的次数和总次数的准确统计。
5. 等可能概型等可能概型是指样本空间中的每个结果出现的概率相等。
例如，一枚公正硬币的正反面都是等可能概型。
在等可能概型中，我们可以通过计算事件发生的结果个数除以总结果个数来计算概率。
6. 条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的情况下，另一事件发生的概率。
我们用P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
7. 独立事件如果事件A和事件B的发生与对方无关，我们称这两个事件是独立的。
在独立事件中，事件A发生的概率不受事件B发生与否的影响。
独立事件的计算公式为P(A∩B) = P(A) × P(B)。
8. 互斥事件互斥事件是指事件A和事件B不能同时发生的事件。
九年级数学概率知识点
九年级数学概率知识点在我们上学期间，大家都没少背知识点吧？知识点也可以理解为考试时会涉及到的知识，也就是大纲的分支。
那么，都有哪些知识点呢？以下是店铺收集整理的九年级数学概率知识点，希望对大家有所帮助。
九年级数学概率知识点1一、事件1.在条件SS的必然事件.2.在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件.3.在条件SS的随机事件.二、概率和频率1.用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们决策提供关键性依据.2.在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nAnA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)=为事件A 出现的频率.3.对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)P(A)，P(A).三、事件的关系与运算四、概率的几个基本性质1.概率的取值范围：2.必然事件的概率P(E)=3.不可能事件的概率P(F)=4.概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B).5.对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件.P(AB)=1，P(A)=1-P(B).九年级数学概率知识点2教学内容：1、事件间的关系及运算2、概率的基本性质教学目标：1、了解事件间各种关系的概念，会判断事件间的关系;2、了解两个互斥事件的概率加法公式，知道对立事件的公式，会用公式进行简单的概率计算;3、通过学习，进一步体会概率思想方法应用于实际问题的重要性。
教学的重点：事件间的关系，概率的加法公式。
教学的难点：互斥事件与对立事件的区别与联系。
教学的具体过程：引入：上一次课我们学习了概率的意义，举了生活中与概率知识有关的许多实例。
今天我们要来研究概率的基本性质。
在研究性质之前，我们先来一起研究一下事件之间有什么关系。
事件的关系与运算老师做掷骰子的实验，学生思考，回答该试验包含了哪些事件(即可能出现的结果)学生可能回答：﹛出现的点数=1﹜记为C1，﹛出现的点数=2﹜记为C2，﹛出现的点数=3﹜记为C3，﹛出现的点数=4﹜记为C4，﹛出现的点数=5﹜记为C5，﹛出现的点数=6﹜记为C6.老师：是不是只有这6个事件呢?请大家思考，﹛出现的点数不大于1﹜(记为D1)是不是该试验的事件?(学生回答：是)类似的，﹛出现的点数大于3﹜记为D2，﹛出现的点数小于5﹜记为D3，﹛出现的点数小于7﹜记为E，﹛出现的点数大于6﹜记为F，﹛出现的点数为偶数﹜记为G，﹛出现的点数为奇数﹜记为H，等等都是该试验的事件。
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当时的我，正配合路局工会组织进行慰问，来回往返于各个抢险地点。当我们拉着一车车生活日夜奋战的铁 路线上，闪耀成一道亮丽的风景。
那次抢险前后持续了整整一个多月，虽然我承担的只是慰问工作，但那一个个吃住在现场、每天遭受风吹雨淋、每天双脚浸泡在泥水里的抢险队员们，他们的事迹，他们的精神，却一直铭刻在我的 脑海里，融化在我的血液中，成为我前进的动力，珍贵的财富。
随着铁路现代化技术的不断增强和铁路职工文化层次的不断提高，智能化、信息化、大数据等防路护路措施不断运用，让铁路的安全系数越来越高，抢险次数也随之减少，甚至几乎为零。