综合实验二-纳米器件的透射谱和电导测量 湘潭大学 期末复习

从左热极到中心散射区的相互作用矩阵
从右热极到中心散射区的相互作用矩阵
u 坐标矢量
V RC (V CR )T
热输运格林函数方法的基本框架
根据格林函数的定义及简谐近似的哈密顿量,整个系统的 格林函数可以写为:
利用第一个矩阵的每一行乘以中间矩阵的第二列,我们可以 得到以下关系:
热输运格林函数方法的基本框架 可以获得考虑两个热极影响的中心散射区格林函数，即推 迟格林函数:
但是，能够严格求解基本上就是无限深方势阱、简谐振子 、氢原子这几个，能够近似求解的系统也是不多的。而且这只 是指单体系统，即系统中只有一个粒子。对于多体系统，则对 于许多情况，联近似求解都是一场困难的。
如何描述纳米材料输运特性？ 我们知道，波函数是一个实验上不可测量的量。不过态密 度等一些其它的试验上可测量的物理量要由波函数来构造。求 解波函数的步骤是最麻烦的，如果是做数值计算的话，求解波 函数部分的计算量是最大的。那么我们能不能找一种方法，可 以绕过求解波函数，直接得到本征值、态密度等一些实验上可 测量的物理量呢？
1）这是与时间无的非周期涨落，因而 它们不是由于热噪声。
2）这种涨落是样品特有的，每一特定 的样品有自身特有的涨落图样，而且 ，对于给定的样品，在保持宏观条件 不变的情况下，其涨落图样是可以重 现的。因此，样品的涨落图样被称为 样品的指纹。
3）电导涨落的一个最重要的特征是涨 落的大小是量级为 的普适量。它与样 品质的材料、尺寸、无序程度、电导 平均值的大小无关。只要样品是介观 大小的，并处于金属区。理论研究还 表明，电导涨落的大小与样品形状及 空间维数只有微弱的依赖关系。正是 由电导涨落的这种间适性，所以才称 之为普适电导涨落。
臵于磁场下介观环的电导Aharonov-Bohm振荡
5）量子化热导 1998年，Rego等人基于Landauer输运理论，从理论上预言了 低温极限下单一量子通道的热导有一个普适的量子化值。
2000年，Schwab测量了低温下悬浮氮化硅纳米线中的热导，第一次 在实验上观察到了量子化热导的存在，从而证实了理论上的预测。
r C i[ ( ) ( )] 2 Im V C g V r a
T. Yamamoto and K. Watanabe, Phys. Rev. Lett. 2006, 96, 255503. J. S. W, & Lü , 2008, Eur. Phys. J. B, 62, 381.
格林函数的特点是：
A．它可以不用求解波函数，直接得到本征值、态密度等实验 上可测量的物理量。 B．它有一些比较标准的近似方法，可以比较容易地处理复杂 的系统。 C．由于格林函数是描述粒子的运动的，所以它可以用来求解 系统的输运性质，例如计算电流、电导等。 D．格林函数还是系综的平均值，因此容易处理多体系统，并 且处理有限温度的情况。
波函数墙
如何描述纳米材料输运特性？ 答案就是利用格林函数
波函数墙
第三节 格林函数方法简介 格林函数是由哈密顿量来构造的。有一个哈密顿量，就可 以构造相应的格林函数。因此格林函数也就代表了哈密顿量。 它的地位和哈密顿量是等价。凡是通过哈密顿量能够求出的物 理量，也可以通过格林函数来求出。 格林函数的思想是：从描述系统中粒子的运动入手，来求 知与粒子有关的物理性质。从数学上讲，格林函数是一个运动 方程的解。物理上，当然要由系统的哈密顿量来决定解是什么 样的。
体系热导
体系热流 分布函数
1 (T ) 2
1 I (T ) 2


0
f ( ) d T [ ] T


0
d T [ ] [ f L ( ) f R ( )]
/( kBT )
f (e
1)
1
热输运格林函数方法的基本框架 此外，为了反映体系热输运的微观过程及微观机制，我们还需 要计算一些微观动力学物理量——局域声子态密度和局域热流：
热输运格林函数方法的基本框架 对于纳米体系，其声子性质可以用弹道输运理论进行描述 ，那么声子透射系数和态密度可以通过caroli公式进行计算， 热导则可以通过Laudauer公式计算: 声子透射系数和 态密度
T [ ] Tr{G r LG R } DOS iTr[G r ( ) G a ( )] /
DFTB
……
第四节 格林函数方法的定义和框架 在量子物理中，格林函数常常被定义为
[ E H (r )]G(r , r ' ; E) (r r ' )
其中E是能量为复变量，H是一个厄米的含时算符。
如果E-H的本征值是非零的，我们可以写出格林函数的 等价定义式：
1 G EH
C. W. Chang, D. Okawa, H. Garcia, A. Majumdar, and A. Zettl. Breakdown of Fourier’s law in nanotube thermal conductors. Phys. Rev. Lett., 101, 075903 (2008).
K. Schwab, E. A. Henriksen, J. M. Wrolock, and M. L. Roukes. Measurement of the quantum of thermal conductance. Nature, 404, 974 (2000). L. Rego, G. Kirezenow. Quantized thermal conductance of dielectric quantum wires. Phys. Rev. Lett., 81, 232 (1998).
如果H的本征函数 n 是正交完备的，则
G
n
n n
EH
可以利用它来计算格林函数。
纳米体系热输运的哈密顿量 根据晶格动力学，在只考虑振动 自由度下，体系的哈密顿量可以 写为：
低维体系热输运模型示意图
K表示的是质量约化的力常数矩 阵(或者叫动力学矩阵，默认左 右热极之间无耦合)
LC CL T T 表示矩阵转臵 V (V )
物理机制：来源于介观金属中的 量子干涉效应即由于电子与杂质 的散射引起的随机干涉效应
4）量子相干效应：由于在纳米尺寸中，载流子不仅具有振幅信息 ，而且还保持信号相位，所以具有相干性。如：A-B效应；量子霍 尔效应等。 A-B效应 磁场B垂直向上，由于金属屏蔽层包绕着螺线管，磁场不能进入 金属环，进而无法影响里面电子的状态。然而，电子依然“感 受”矢势。通过调节螺线管的电流而改变矢势的强度，AB环的 电导会呈现周期性变化。
热输运格林函数方法的流程
1、计算构建体系的力常数矩阵及热极—中心散射 区耦合力常数矩阵； 2、利用所得到的热极力常数矩阵，计算给定声子 频率下的热极表面格林函数； 3、利用已求得的热极表面格林函数与热极—中心 散射区耦合力常数矩阵，计算由热极贡献的自能； 4、求中心散射区的推迟格林函数； 5、利用卡路里Caroli公式计算体系的声子透射系 数和态密度； 6、由已获得的声子透射系数代入朗道Landauer公 式计算体系在不同温度下的热流与热导； 7、根据需要，计算体系热输运的微观动力学物理 量：局域声子态密度和局域热流。
为了获得体系的热输运性质，最 根本为获得体系的力常数矩阵和 热极的表面格林函数。
例如，对许多准粒子问题，只需知道相互作用过程中少数粒子的初态与末态 间的跃迁振幅（相应的格林函数），就能得到体系的一些特征，而对于固体物理 中的很多问题，只有对应于费米能量附近的系统格林函数与我们要研究的性质有 关。这样，格林函数方法就成为研究系统性质的直接有效的方法。
到八十年代，随着技术的进步，各种介观体系相继被制备出来， 如超晶格、量子线、量子点等。格林函数也发展成为计算介观 结构物理性质最重要的手段和方法。
格林函数经常 出现在常微分方程 ，求解椭圆型和抛 物型的偏微分方程 的边值问题。
是英国人乔治.格林 于1828年引入的。
乔治.格林（1793-1841），英国数学物 理学家。1801年至1802年读过不到两年 的小学，之后一直在家中打理生意，在 这期间他从未间断自学，先后阅读了包 括拉普拉斯的天体力学和拉格朗日的关 于数学物理方面的著作，英国伦敦皇家 学会的年鉴，法国科学家毕奥，库仑以 及泊松等人的论著。1828年格林出版了 他的最重要的科学著作《关于数学分析 应用于电磁理论的一篇论文。1833年进 入剑桥最古老的学院之一康韦尔科斯 学 院学习, 并于1837年以优异成绩毕业。
在这种情况下一旦某个电子隧穿进入了库仑岛，它将阻止随后的第二 个电子再进入同一库仑岛，这就是库仑阻塞现象。只有等待某个电子 离开库仑岛以后，岛外的另一个电子才有可能再进入。利用库仑阻塞 效应就有可能使电子逐个穿隧进出库仑岛，实现单电子隧穿过程。
3）普适电导涨落：在电导与电压关系测量中，发现小的金属样品， 在低温下电导作为磁场的函数呈现非周期的涨落。
纳米材料输运特性的应用
基于碳纳米管的显示器 基于碳纳米管的晶体管 基于石 墨烯的 晶体管 基于石 墨烯的 调制器
如何描述纳米材料输运特性？ 总所周知，微观世界必须用量子力学来描述。量子力学中最 重要是哈密顿量。一个系统的所有性质由其哈密顿量所决定。一 旦写出这个系统的哈密顿量，就可以求出这个系统的所有性质。 具体做法是，求解薛定谔方程，解出哈密顿量的本征值和本征函 数。由本征值和波函数进而可以知道态密度、跃迁几率等信息。
由A可知，用格林函数方法来处理系统比用哈密顿量更为 方便和简洁。由B、 C和D可知，格林函数方法的功能非常强大 ，可以求知一些仅从哈密顿量出发不容易求得的信息。
格林函数方法的发展 从上世纪五十年代开始，量子场论中的格林函数方法被用于研究 统计物理学中的问题。到六十年代后期，格林函数理论在固体物 理等多个领域得到了进一步的拓展，被认为是一种强有力的数学 工具。
目前，随着纳米技术的发展，物理学的研究对象在微观领域已经 进入了纳米尺度范围。而基于薛定谔方程的格林函数方法也成为 了处理纳米结构最重要的方法。
格林函数方法能够用于计算微纳结构的电子性质、热（声子） 性质、光性质、超导性质等。
结合密度泛函理论和格林函数方法，国际上开发了多种电子 输运商业计算软件。
6）反常热导 传统宏观材料热输运特性遵守傅里叶定律。
J T
单位时间内通过单位面积的热量，正比于垂 直于该截面方向上的温度梯度以及其截面面 积，而热量传递的方向与温度梯度上升的方 向正好相反。
在碳纳米管、氮化硼纳米 管等微纳结构中，热导率 取决于体系的尺寸大小， 而不再像三维宏观块体材 料一样是一个恒定值（称 这种现象为反常热导）
2）库仑堵塞现象：如果两个纳米微粒的尺寸小到一定程度， 它们之间的电容也会小到一定程度，以至于电子不能集体传输 ，只能一个一个单电子传输，这种不能集体传输电子的行为称 之为库仑堵塞。
• 即当中心颗粒（也称量子点或库仑岛）的尺寸足够小时，它与 周围外界之间的电容可小到10-16F的数量级，在这种条件下每 当单个电子从外面穿隧进入库仑岛，它给库仑岛附加的充电能 Ec = e2/2C
G [( i ) I K L ( ) R ( )]1
r 2 C r r
C r C ( ) V gV 其中： r
r g [( i )2 I K ]1
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分别称之为热极的自能和表面格林函数
为了计算的方便，我们还定义了一个谱函数，它能代表声 子的散射概率：
纳米器件的电子透射谱和 电导测量 －格林函数方法
目
录
第一节 纳米材料及其输运特性 第二节 格林函数方法简介 第三节 格林函数方法的定义和框架
第四节 格林函数方法的应用实例
纳米材料的输运特性 当物质小到纳米尺度时，又会对材料的输运性质会产 生哪些不同于宏观物体的现象？ 1）电导量子化：即电导或倒数电阻是量子化的，量子电阻 R=h/2e2 ，因此它不再像经典物理所描述的那样，即电压对 电流的比例为一常数（欧姆定律）。