《简单的三角恒等变换》导学案1

4-52 3．2《简单的三角恒等变换》导学案1

【学习目标】： 1.通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差公式与和差化积公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。

2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变换在数学中的应用。

【重点难点】： 辅助角公式在三角恒等变换中的应用及三角恒等变换的相关综合问题。 【学法指导】： 自主探究与老师引导相结合。 【知识链接】： （1）半角公式

sin 2

α

=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ cos 2

α

=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ tan

2

α

=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

（2）积化和差公式

sin cos αβ=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

类似于课本中例二，请计算出下列各式的值：

cos sin αβ=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ cos cos αβ=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ sin sin αβ=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

（3）和差化积公式

sin sin θϕ+=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

类似于课本中例二，请计算出下列各式的值：

sin sin θϕ-=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ cos cos θϕ+=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ cos cos θϕ-=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

（4）辅助角公式

sin cos a x b x +=＿＿＿＿sin()x θ+（其中tan θ=＿＿＿＿＿）

【学习过程】：

有了和（差）角公式，倍角公式以后，我们就有了三角变换的新工具，请同学们利用现有知识，试着证明下面的半角公式。

例1：求证：sin 2

α=cos

2

α=tan

2

α=。

上述公式可用于求半角的三角函数值。

试一试：若0sin 76m =，试用含m 的式子表示0cos 7。

例2：求证：（1）1sin cos [sin()sin()]2

αβαβαβ=++-

（2）sin sin 2sin cos

2

2

θϕ

θϕ

θϕ+-+=

对照预习导引，请同学们探究并证明其它几组和差化积公式与积化和差公式。并利用它们解决如下练习。

试一试：计算2020000cos 5cos 102cos 5cos10cos15+-=

【归纳小结】： 1．半角公式

2．积化和差公式与和差化积公式 3．辅助角公式 【当堂检测】： 1．已知4cos 5

α=

，且322π

απ<<，则sin

2

α

=＿＿＿＿＿。

2．有下列关系式：①sin 5sin 32sin 8cos 2θθθθ+=；②c

o s 3c o s 52s i n 4s i n θθθθ-=-；

③1sin 3sin 5cos 4cos 2

θθθθ-=-； ④sin 5cos 32sin 4cos θθθθ+=；

⑤1sin sin [cos()()]2

x y x y cos x y +=

--+。其中正确等式的个数是 （ ）

A ．0

B 。1

C 。2

D 。3

3．已知2sin 1cos θθ=+，则tan 2

θ

的值为 （ ）

A ．2

B 。12

C 。

12

或0 D 。0

4．若3sin cos 0αα+=,则2

1

cos sin 2αα+的值为( )（A ）

103

（B ）

53

（C ）23

(D) 2-

5．设A B C ∆的三个内角,,A B C ，向量,sin )A B =m ， (cos )B A =n ，若1cos()m n A B ∙=++，则C =（ ）A ．

6

π

B ．

3

π

C ．

23

π D ．

56

π

6．化简：

020

123

sin 12(4cos 122)

--=＿＿＿＿＿。

7．00

00

sin 63sin 2784sin 66-+=＿＿＿＿＿。