椭圆微专题901-离心率
椭圆中离心率问题(共19张PPT)
3、致胜秘诀： 理清算理耐心算，成功就在不远处！
典例剖析
根据直角三角形中斜边与直角边的不等 关系，得到关于a，c的齐次不等式．
典例剖析
典例剖析
根据椭圆的范围(点坐标分量的有界性)， 得到关于a，c的齐次不等式．
典例剖析
设线法
建立离心率和某个 变量的(函数)关系 式，求值域．
典例剖析
设点法
根据曲线的范围，得到 关于e的不等式．
典例剖析
典例剖析
典例剖析
利用椭圆的定义和勾股定理建立 线段之间的关系，从而得到关于 a，c的齐次等式．
典例剖析
椭圆的第一定义和第二定义
典例剖析
典例剖析
解法提炼
求椭圆离心率的值： (1)解题方向：建立关于a，c的齐次等式． (2)实现策略
几何转化：利用椭圆的定义寻找线段之间的等量关系ห้องสมุดไป่ตู้ 方程思想：利用点在椭圆上，将点的坐标代入椭圆方程．
椭圆中离心率问题
高三 数学
考点概述
离心率是圆锥曲线的一个重要知识点，同时也是圆锥 曲线的重要几何性质．纵观近几年江苏高考，求离心率的 值或范围的题目屡见不鲜．这节课以椭圆为例，复习求椭 圆离心率的值或范围的一些方法．
典例剖析
通过将条件中的直角转化为向量 数量积等于零，找到曲线上点的 坐标满足的关系式，从而得到关 于a，c的齐次等式．
典例剖析
解法提炼
求椭圆离心率的范围： (1)解题方向：建立关于a，c的齐次不等式． (2)实现策略
几何性质：利用圆锥曲线的范围(如点坐标或焦半径的范围) 建立不等关系求解．
函数思想：根据条件建立离心率和其他变量的函数关系式， 然后利用函数求值域的方法求解离心率的范围．
椭圆性质的离心率计算公式
椭圆性质的离心率计算公式椭圆是数学中非常重要的一种曲线，它具有许多独特的性质和特点。
其中，离心率是描述椭圆形状的一个重要参数，它可以帮助我们更好地理解和分析椭圆的形态和结构。
在本文中，我们将介绍椭圆性质的离心率计算公式，以及离心率在椭圆研究中的应用。
首先，让我们来了解一下椭圆的基本定义和性质。
椭圆是一个平面上的闭合曲线，其所有点到两个给定点（焦点）的距离之和是一个常数。
这两个给定点称为焦点，而这个常数称为椭圆的半长轴长度。
椭圆还有一个重要的参数叫做离心率，它可以用来描述椭圆的形状和偏心程度。
离心率的计算公式如下：e = c/a。
其中，e表示椭圆的离心率，c表示椭圆的焦点之间的距离，a表示椭圆的半长轴长度。
通过这个公式，我们可以很容易地计算出椭圆的离心率，从而更好地理解椭圆的形状和结构。
离心率的计算公式为什么是这样的呢？这涉及到椭圆的几何性质。
在椭圆中，焦点之间的距离c与半长轴长度a之间的关系是很特殊的。
事实上，根据椭圆的定义，焦点之间的距离c与半长轴长度a之间的关系是固定的。
这个关系就是椭圆的离心率。
通过这个关系，我们可以将椭圆的形状和结构用一个参数来描述，这就是离心率。
因此，离心率的计算公式e=c/a就是根据这个几何性质得到的。
离心率在椭圆研究中有着重要的应用。
首先，离心率可以用来描述椭圆的形状和偏心程度。
当离心率接近于0时，椭圆的形状接近于圆形；当离心率接近于1时，椭圆的形状趋向于长条形。
因此，通过离心率，我们可以直观地了解椭圆的形状特点。
其次，离心率还可以用来计算椭圆的面积和周长。
椭圆的面积和周长与离心率之间有着特定的数学关系，通过离心率的计算，我们可以更方便地计算出椭圆的面积和周长。
此外，离心率还可以用来分析椭圆的运动轨迹和力学特性，在天文学、航天学等领域有着广泛的应用。
除了椭圆，离心率的概念还可以推广到其他几何图形中。
例如，在圆锥曲线、双曲线等曲线中，离心率也是一个重要的参数，它可以用来描述这些曲线的形状和特性。
《椭圆的离心率》专题(无准线)
《椭圆的离心率》专题2018年（ ）月（ ）日 班级 姓名从善如登,从恶如崩。
——《国语》椭圆的简单几何性质 焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准 方程范围顶点轴长 短轴长＝ ，长轴长＝焦点 (±a 2－b 2，0)(0，±a 2－b 2)焦距 |F 1F 2|＝2a 2－b 2 对称性对称轴： 对称中心： 离心率 e ＝ca∈一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e 。
在椭圆中，a c e =，22222221ab a b a ac a c e -=-=== 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于4.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为5.若椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ⊥，则椭圆的离心率为6..已知)0.0(121>>=+n m nm 则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的的离心率为8.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点， 当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为=e。
9.P 是椭圆22a x +22b y =1（a ＞b ＞0）上一点，21F F 、是椭圆的左右焦点，已知,2,1221αα=∠=∠F PF F PF ,321α=∠PF F 椭圆的离心率为=e10.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为13.椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两顶点为A （a ,0）B(0,b ),若右焦点F 到直线AB 的距离等于21∣AF ∣，则椭圆的离心率是14.椭圆12222=+by a x （a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是15.已知直线L 过椭圆12222=+by a x （a>b>0）的顶点A （a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L 的距离为2a，则椭圆的离心率是16.在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径作圆，过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e =17.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-= 的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）Ａ．必在圆222x y +=内 Ｂ．必在圆222x y +=上 Ｃ．必在圆222x y +=外Ｄ．以上三种情形都有可能二、构造a c ，的齐次式，解出e1．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是532．以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率是3．以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两点，如果∣MF ∣=∣MO ∣，则椭圆的离心率是13-4．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是5．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。
微专题椭圆离心率问题课件高二上学期数学人教A版选择性
P x
x
由题意得F1P0F2 90 0 ,
F1 O
F2
F1 O
F2
sin OP0F2
sin 45 ,
即c a
2 , 又0 e 1, 2 e 1.
2
2
(法2) 以2c为直径的圆O与椭圆有公共点.
c2 b2, c2 a2 c2,
y F1 O
P
x F2
y
F1 O
x F2
2c2 a2 , e2 1 , 2
为 C 上的一点，且F1PF2
60
，
PF1 3 PF2 ，则椭圆 C 的离心率为（ ）
A． 3 2
B． 7 4
C． 13 4
D． 3 4
考向二 利用几何性质找a,b,c关系求椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0 的两个焦点，P
是椭圆 E
上的点，PF1
PF2
tan OM0B
tan 60 ,即 a b
3,
a2 3b2. a2 3a2 3c2.e2
c2 a2
2 . 又0 e 1, 3
6 3
e 1.
y
[变式2]已知F1、F2是椭圆的两个焦点, 满足MF1 MF2 0 的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是 ____.
F1 O
M
x F2
微专题 椭圆离心率问题
课前回顾
椭圆的离心率: 椭圆的焦距与长轴长的比,记为e c . a
①范围: 0 e 1
(0<c<a)
e=0(c=0):轨迹为圆O e=1(c=a):轨迹为线段F1F2
②变形: e
1
b2 a2
e c a
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椭圆的离心率为(
)
[解析] b ( b ) 1 a2 c2 ac e 5 1
ac
2
3，以椭圆的右焦点 F2 为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于 M、N 两点，椭圆的左焦点为 F1，直线
MF1 与圆相切，则椭圆的离心率是 3 1
变式（1）：以椭圆的一个焦点 F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心 O 并且与椭圆交于 M、N 两点，如果
22
m2
3
综上 m 16 或 3 3 3
3，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是
5
4，已知 m,n,m+n 成等差数列，m，n，mn 成等比数列，则椭圆 x2 y2 1的离心率为 mn
2n 2m n
[解析]由 n2 m2n mn 0
m 2 n 4 ，椭圆
x2 m
可得| PF1 |2 | PF2 |2 | F1F2 |2 4c2 ，则| PF1 || PF2 | 2(a2 c2 ) 2b2 ，
PF1
，
PF2
是方程 z 2
2az
2b2
0 的两个根，则
4a2
8(a2
c2) 0 e2
c2 a2
1 2
e
2 2
解法 3：正弦定理
设记 PF1F2 ，PF2 F1 ，由正弦定理有
4
0 3 则 2 sin( ) 1，1 2 sin( ) 2
24
44 2
4
4
所以 2 e 1 2
解法 5：利用基本不等式由椭圆定义，有 2a | PF1|| PF2 | 平方后得 4a 2 | PF1|2 | PF2 |2 2| PF1|| PF2 | 2(| PF1|2 | PF2 |2 ) 2| F1F2 |2 8c2
椭圆离心率公式
椭圆离心率公式椭圆离心率是描述椭圆形状的一个重要参数，它可以衡量椭圆的扁平程度或者圆形程度。
椭圆离心率公式可以通过椭圆的长轴和短轴来计算，其具体公式如下：离心率（e）= √(a² - b²) / a其中，a代表椭圆的长轴长度，b代表椭圆的短轴长度。
椭圆离心率的定义是椭圆焦点与椭圆中心之间的距离与椭圆长轴的比值。
离心率的取值范围是[0,1)。
当离心率为0时，表示椭圆是一个完全的圆；当离心率接近于1时，表示椭圆的扁平程度越大。
根据离心率的不同取值，可以判断椭圆的形状。
当离心率等于0时，椭圆是一个圆形；当离心率大于0但小于1时，椭圆是一个长圆形；当离心率等于1时，椭圆是一个抛物线；当离心率大于1时，椭圆是一个超越椭圆。
椭圆离心率的计算可以通过椭圆的焦点和长轴长度来实现。
首先，我们需要找到椭圆的焦点。
椭圆的焦点是在椭圆长轴上，距离椭圆中心两侧相等的点。
我们可以使用以下公式来计算焦点的位置：x = ± ae, y = 0其中，a是椭圆的长轴长度，e是椭圆的离心率。
在得到椭圆的焦点坐标之后，我们可以计算椭圆上每个点与焦点之间的距离，并将其与椭圆的长轴进行比较。
最大的距离与长轴之间的比值即为椭圆的离心率。
例如，假设我们有一个长轴长度为6，短轴长度为4的椭圆。
我们可以通过以下步骤计算其离心率：1. 计算焦点位置：a = 6e = √(a² - b²) / a = √(6² - 4²) / 6 ≈ 0.8焦点1的坐标为(-3.6, 0)焦点2的坐标为(3.6, 0)2. 计算点与焦点之间的距离：对于任意椭圆上的点(x, y)，其到焦点1的距离为√[(x + 3.6)² + y²]3. 计算最大距离与长轴之间的比值：最大距离与长轴之间的比值等于√[(a + 3.6)² + 0²] / 6 ≈ 1.469因此，这个椭圆的离心率约为1.469，表示这个椭圆的形状非常接近于一个长圆形。
椭圆离心率公式及推导过程
椭圆离心率公式及推导过程
a²=b²+c²，c²=a²-b²，c=√(a²-b²)，e=c/a=√[(a²-b²)/a ²]=√[1-(b/a)²] 。
椭圆的离心率：离心率统一定义是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比。
椭圆离心率公式及推导过程
1椭圆离心率计算方法
椭圆扁平程度的一种量度，离心率定义为椭圆两焦点间的距离和长轴长度的比值，用e表示，即e=c/a (c,半焦距；a,长半轴)
椭圆的离心率可以形象地理解为，在椭圆的长轴不变的前提下，两个焦点离开中心的程度。
离心率=(ra-rp)/(ra+rp)，ra指远点距离，rp指近点距离。
圆的离心率=0
椭圆的离心率：e=c/a(0,1)（c,半焦距；a,半长轴(椭圆)/半实轴(双曲线) ）
抛物线的离心率：e=1
双曲线的离心率：e=c/a(1,+∞) （c,半焦距；a,半长轴(椭圆)/半实轴(双曲线) ）
在圆锥曲线统一定义中，圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为
ρ=ep/(1-e×cosθ)，其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
椭圆上任意一点到两焦点的距离等于a±ex。
2椭圆离心率范围
e=0,圆
0<e<1,椭圆
e=1,抛物线
e>1,双曲线
离心率统一定义是在圆锥曲线中，动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比。
既然是距离，就不会出现负数了。
离心率的名词解释
离心率的名词解释离心率是物理学中一个重要的概念，它定义了一个椭圆的形状。
椭圆在自然界中随处可见，有时候我们会对它们的形态产生好奇，离心率正是解答我们疑惑的关键。
本文将就离心率进行详细解释和探讨，并为读者介绍离心率的应用。
一、离心率的定义离心率是椭圆形状的一个重要参数，它反映了椭圆形状的“扁平程度”。
离心率的值介于0到1之间，其中0代表一个完美的圆形，而1则代表一个非常“扁平”的椭圆。
具体来说，离心率e可以通过以下公式计算：e = c/a其中，c是椭圆的焦距（即焦点到中心的距离），a是椭圆的长半轴。
通过这个公式，我们可以清楚地看到，当焦距为0时，离心率为0，对应的是一个完美的圆形；当焦距和长半轴相等时，离心率为1，对应的是一个非常扁平的椭圆。
二、离心率的意义离心率不仅仅是一个抽象的数值，它实际上具有很多重要的物理和几何意义。
首先，离心率可以用于描述行星、卫星和彗星等天体运动的轨道形态。
例如，太阳系中的行星运动轨道基本上都是椭圆，各行星的离心率决定了它们的轨道形状。
对于椭圆轨道来说，离心率越大，轨道形状越扁平，离心率越小，轨道形状越接近于圆形。
其次，离心率还可以应用在工程学和技术领域。
例如，在航天器设计中，离心率的选择和计算非常重要。
如果离心率过大，可能导致航天器在进入大气层时受到过大的热力和压力，增加任务的困难度。
因此，合理选择离心率可以帮助工程师确保航天器的稳定性和安全性。
三、离心率与地理形态离心率的概念不仅在物理学中有应用，而且在地理学中也是非常重要的。
我们知道，地球的形状接近于一个椭球。
离心率在地理学中用于描述地球的扁率。
通过测量地球的南北半径和赤道半径，可以计算出地球的离心率。
实际上，地球的离心率非常接近于0.003，所以我们通常将地球看作是一个近似于球体的形状。
离心率对地球的形态有着重要的影响。
由于离心率的存在，地球的赤道半径略大于南北极半径，使得地球看起来更加“扁平”。
这种扁平程度并不明显，但它在地理学和地球科学中对我们理解地球的结构和运动都有着重要影响。
离心率知识点总结
离心率知识点总结一、离心率的概念离心率（eccentricity）是描述椭圆度的一个物理量。
在天体力学中，离心率是指行星或其他天体轨道的偏心程度，即轨道的形状。
二、离心率的计算对于椭圆轨道来说，离心率的计算公式为：e = √(1 - (b^2/a^2))其中，a为椭圆长半轴的长度，b为椭圆短半轴的长度。
e为离心率。
对于椭圆轨道来说，离心率也可以由轨道参数计算得出：e = (r_a - r_p) / (r_a + r_p)其中，r_a为远地点距离，r_p为近地点距离。
e为离心率。
在圆形轨道的情况下，离心率为0；在抛物线轨道的情况下，离心率为1。
三、离心率的意义离心率是天体轨道形状的一个重要物理量，它反映了天体轨道的偏心程度。
离心率越接近于0，则轨道越接近于圆形；离心率越接近于1，则轨道越接近于抛物线。
通过离心率的大小，可以判断天体轨道的形状和行星运动的规律。
四、离心率的应用1. 行星轨道在天体力学中，离心率是描述行星轨道形状的重要物理量。
根据离心率的大小，可以判断行星轨道的形状，从而推断行星的行星运动规律和轨道特征。
2. 太阳系模拟在太阳系模拟中，利用行星的离心率可以模拟出行星的运动轨道，并进一步研究行星之间的相互作用和天体运动的规律。
3. 行星探测在探测行星和其他天体的过程中，利用离心率可以计算出探测器的轨道参数，从而使探测器的轨道更加准确地接近目标天体，并实现探测任务。
4. 太空旅行在太空探索和太空旅行中，离心率是指导轨道规划和飞行轨迹设计的重要参数。
利用离心率可以对太空飞行轨道进行精确计算和控制，从而实现太空飞行目标。
五、离心率的影响因素离心率的大小受到多种因素的影响，其中主要包括以下几个方面：1. 初始速度行星或其他天体的初始速度决定了其轨道离心率的大小。
初始速度越大，则离心率越大；初始速度越小，则离心率越小。
2. 万有引力根据牛顿万有引力定律，行星或其他天体之间的万有引力也是影响离心率的重要因素。
椭圆的离心率课件-高二上学期数学人教A版选修1-1
一、椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比,
（1）e范围：0 c a ，∴0<e<1
y
(2)e越接近1，椭圆越扁；
e越接近于0，椭圆越接近于圆.
o
x
(3)计算离心率e的常见情势
①
e c 2c a 2a
F1F2 PF1 PF2
P
c c2
a2 b2
b2
② e a a2 a2 1 a2
2
3
D. 3 4
B1
例2-5
椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的左焦点为F，过原点的直线l与椭圆交于P、Q两点，
PF 3QF , PFQ 1200,则椭圆的离心率为
例2-6
椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足OAF
是正三角形（O为坐标原点），则椭圆的离心率为
.
e2
( c )2 a
a2 b2 a2
1
b2 a2
由题可知
b
a
2b.即
b a
1 2
,1
e2
1
b2 a2
0,
3 4
标准方程
练 习图 象
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
y
5
x
x
范围
小结 讨论6： 对 称 性
|x|≤ a,|y|≤ b
|x|≤ b,|y|≤ a
sin( )
sin 900
1
e sin sin sin 300 sin 600 1
椭圆的焦点和离心率(1)
离心率是描述椭圆轨道形状的一个重要参数。离心率越小，轨道越接近 圆形，运动越稳定；离心率越大，轨道越扁平，运动越不稳定。因此， 离心率可以用于评估天体运动轨道的稳定性。
弹性碰撞中能量损失与离心率关系
弹性碰撞中的能量损 失
在弹性碰撞中，两个物体之间的相互 作用力会导致能量损失。这种能量损 失可以通过离心率来量化。离心率越 大，能量损失越多；离心率越小，能 量损失越少。
焦点距离增加，离心率增大
椭圆的焦点位于长轴上，当两个焦点之间的距离增加时，椭圆形状变得更加扁平，离心率随之增大。
焦点位置对称，离心率不变
当椭圆的两个焦点关于原点对称时，其离心率保持不变。这是因为对称的焦点位置不会改变椭圆的整 体形状。
实例分析不同情况下离心率大小
实例一
对于长轴长度为10、短轴长度为6的椭圆，其离心率较小，形状相 对较为接近圆形。
实例分析物理现象背后数学原理
天体运动实例分析
以地球绕太阳运动的椭圆轨道为例，通 过测量地球在轨道上不同位置的速度和 加速度，可以计算出椭圆的焦点和离心 率。这些数据不仅有助于描述地球的运 动轨迹，还可以用于预测未来地球的位 置和运动状态。
VS
弹性碰撞实例分析
以两个相同质量的物体进行弹性碰撞为例 ，通过测量碰撞前后的速度和能量变化， 可以计算出离心率并评估能量损失的程度 。这种分析方法有助于深入理解弹性碰撞 过程中的能量转移和损失机制。
离心率与形状的综合应用
在工程设计或艺术设计中，可以利用离心率的变化 来控制椭圆形状的变化，以达到特定的设计效果。
焦点、离心率与综合问题 的应用
在处理复杂的几何问题时，可能需要同时考 虑焦点、离心率等多个因素，通过综合分析 来解决实际问题。
椭圆的简单几何性质——椭圆的离心率 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
椭圆就越扁； 椭圆就越接近于圆;
椭圆离心率的几何意义 当e 1时，椭圆就越扁;
当e 0时，椭圆就越接近于圆; 当a=b时，c=0，这时两个焦点重合， 图形为圆。
课堂小结
数学知识 数学方法几何意义 数形结合 由特殊到一般 逻辑推理能力 数学抽象能力 基本数学活动
椭圆的定义
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|) 的点的集合叫作椭圆.
椭圆的画法
画椭圆 x2 y2 1的图形 25 16
同学们，两个椭圆形的 物体形状有什么不同呢？
探究一:
动手作图 ：根据椭圆的定义及画椭圆的方法， 让a保持不变,变化c的大小，做出 不同的椭圆.
观察思考1: 在作图过程中,观察椭圆形状的变化, 思考哪些量反映了椭圆的圆扁程度.
椭圆的离心率的定义
a,c的大小可反应椭圆“扁的程度” 规定：椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的
离心率，用e表示，即 e c 显然0<e<1
a
e→1 e→0
探究二:
观察思考2: 让c保持不变，变化a的大小, 观察椭圆的离心率及椭圆的圆 扁程度的变化.
探究三:
思考探究：用a和b表示e，利用数形结合 的方法分析椭圆的离心率对椭 圆形状的影响.
专题讲座椭圆离心率的常规求法理科
椭圆离心率的常规求法
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率
2
为
2。
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角
1
形，则其离心率为 2
。
3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其
1
离心率为 3 。
4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列， 3
则其离心率e=_____5_____
o F(c,0)
x
B1 (0，-b)
例题讲解
例1、如图所示椭圆的中心在原点，焦 点F1、F2在x轴上，A、B是椭圆的顶点， P是椭圆上的一点，且PF1⊥x轴， PF2∥AB，求此椭圆的Y离心率；
PB
A
F1
F2
X
四.高考链接
（ (a>2b0>102)新的课左标、全右国焦卷点），设P为F1直和线F2是x=椭3圆a ax上22 +一by点22 =，1
六.课后练习
1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距长 成等差数列，求该椭圆的离心率.
2.设椭圆的两个焦点分别为F1和F2 ，过F2作椭圆 长轴的垂线交椭圆于点P，若为△F2PF1等腰直角 三角形，求椭圆的离心率.
3.已知椭圆的两个焦点为F1和F2，A为椭圆上一 点 ，且AF1⊥AF2，∠AF1F2=60°，求该椭圆的 离心率。
2
△ F2 P F1是底角为30°的等腰三角形， 求该椭圆
的离心率。
y P
30°
2c
F1c
x
2c=3a/2
x=3a/2
例2、设M点是椭圆
x2 a2
y2 b2
1上一
点，F1、F2为椭圆的左右焦点，如果
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专题01：椭圆的离心率
1：椭圆基本量运算，范围：01e <<，e 越大，椭圆就越扁。
2：利用定义求椭圆的离心率（a c e = 或 2
21⎪⎭
⎫
⎝⎛-=a b e ）
3：运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e
例：设椭圆）
（0b a 1b
y a x 22
22>>=+的左、右焦点分别为21F F 、，如果椭圆上存在点P ，使︒=∠90PF F 21，求离心率e 的取值范围。
解：设()()()0,c F ,0,c F ,y ,x P 21- 法1：利用椭圆几何范围。
由→
→
⊥P F P F 21得2
2
2
c y x =+，将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得2
222222
b a b a
c a x --=
2
222)(e a c a -=。
由椭圆的性质知22a x 0<≤，得），以12
2
[e ∈。
法2：判别式法。
由椭圆定义知||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a
1212
22
122
224+=⇒++=，又因为
︒=∠9021PF F ，
可得2
2
212
22
14||||||c F F PF PF ==+，则)(2||||2
2
21c a PF PF -=2
2b =，
1
PF ∴，
2
PF 是方
程
2222=+-b az z 的两个根，则
22
210)(84222
2
2
2
≥⇒≥=⇒≥--=∆e a
c e c a a
解法3：正弦定理
∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有
||sin sin |
|||90sin ||sin ||sin ||21212121F F PF PF F F PF PF =++⇒︒==β
ααβ
又因为c F F a PF PF 2||2||||2121==+，，且
90=+βα 则
)
4
sin(21cos sin 1
sin sin 1π
ααβα+
=∂
+=+==
a c e
2
0π
α<
<
434
4
ππ
απ
<
+
<∴
则1)4sin(22≤+<πα，2)4
sin(21≤+<π
α 所以12
2
<≤e
解法4：利用基本不等式由椭圆定义， 有212a PF PF =+||||平方后得
42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)||
得c a
2212≥所以有，）e ∈[221
解法5：巧用平面解析几何的几何特性
由∠=︒F PF 1290，知点P 在以||F F c 122=为直径的圆上。
又点P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P ，故有c b c b a c ≥⇒≥=-2222
巩固训练1：已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，点P 在椭圆上，且0
1260F PF ∠=，求椭圆的
离心率的取值范围 ；
巩固训练2：已知1F 、2F ，是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于Ａ、Ｂ两点，若2ABF ∆是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率为 ；
巩固训练3：是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点,P 为直线上一
12F F 32a x =
点,∆是底角为的等腰三角形,则E 的离心率为 ；
巩固训练4：椭圆22
221x y a b
+=(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若
|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________
巩固训练5：椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A 。
在
椭圆上存在点P 满足线段
AP 的垂直平分线过点F
，则椭圆的离心率取值范围
_______________
21F PF 30。