椭圆微专题901-离心率

专题01：椭圆的离心率
1：椭圆基本量运算，范围：01e <<，e 越大，椭圆就越扁。

2：利用定义求椭圆的离心率（a c e = 或 2
21⎪⎭
⎫
⎝⎛-=a b e ）
3：运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e
例：设椭圆）
（0b a 1b
y a x 22
22>>=+的左、右焦点分别为21F F 、，如果椭圆上存在点P ，使︒=∠90PF F 21，求离心率e 的取值范围。

解：设()()()0,c F ,0,c F ,y ,x P 21- 法1：利用椭圆几何范围。

由→
→
⊥P F P F 21得2
2
2
c y x =+，将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得2
222222
b a b a
c a x --=
2
222)(e a c a -=。

由椭圆的性质知22a x 0<≤，得），以12
2
[e ∈。

法2：判别式法。

由椭圆定义知||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a
1212
22
122
224+=⇒++=，又因为
︒=∠9021PF F ，
可得2
2
212
22
14||||||c F F PF PF ==+，则)(2||||2
2
21c a PF PF -=2
2b =，
1
PF ∴，
2
PF 是方
程
2222=+-b az z 的两个根，则
22
210)(84222
2
2
2
≥⇒≥=⇒≥--=∆e a
c e c a a
解法3：正弦定理
∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有
||sin sin |
|||90sin ||sin ||sin ||21212121F F PF PF F F PF PF =++⇒︒==β
ααβ
又因为c F F a PF PF 2||2||||2121==+，，且
90=+βα 则
)
4
sin(21cos sin 1
sin sin 1π
ααβα+
=∂
+=+==
a c e
2
0π
α<
<
434
4
ππ
απ
<
+
<∴
则1)4sin(22≤+<πα，2)4
sin(21≤+<π
α 所以12
2
<≤e
解法4：利用基本不等式由椭圆定义， 有212a PF PF =+||||平方后得
42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)||
得c a
2212≥所以有，）e ∈[221
解法5：巧用平面解析几何的几何特性
由∠=︒F PF 1290，知点P 在以||F F c 122=为直径的圆上。

又点P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P ，故有c b c b a c ≥⇒≥=-2222
巩固训练1：已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，点P 在椭圆上，且0
1260F PF ∠=，求椭圆的
离心率的取值范围 ；
巩固训练2：已知1F 、2F ，是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于Ａ、Ｂ两点，若2ABF ∆是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率为 ；
巩固训练3：是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点,P 为直线上一
12F F 32a x =
点,∆是底角为的等腰三角形,则E 的离心率为 ；
巩固训练4：椭圆22
221x y a b
+=(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若
|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________
巩固训练5：椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A 。

在
椭圆上存在点P 满足线段
AP 的垂直平分线过点F
，则椭圆的离心率取值范围
_______________
21F PF 30。