上海六年级二元一次方程组的解法及其应用
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法一、概述二元一次方程组是由两个同时存在的一次方程组成的方程组，可形式化地表示为：a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂其中，a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂为已知系数，x、y为未知数。
本文将介绍三种常见的解法：代入法、消元法和Cramer法。
二、代入法代入法是通过求解一个方程，然后将其解代入另一个方程，从而得到未知数的解。
以下为代入法的步骤：1. 选择一个方程，将其中一个未知数用另一个未知数表示，即得到一个未知数的表达式。
2. 将该表达式代入另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的方程。
3. 解这个含有一个未知数的方程，求解得到第一个未知数的值。
4. 将求得的第一个未知数的值代入任意一个方程中，求解得到第二个未知数的值。
5. 验证解是否满足原方程组，若满足则为正确答案，否则继续调整求解过程。
三、消元法消元法是通过对方程组进行变形，使得一方程的一个未知数系数与另一个方程相应未知数系数的乘积相等，从而消除一个未知数。
以下为消元法的步骤：1. 将方程组进行适当的变形，使得两个方程中一个未知数的系数相等或者成比例。
2. 将两个方程相减或相加，得到一个只含有另一个未知数的方程。
3. 解这个只含一个未知数的方程，求得某个未知数的值。
4. 将求得的未知数值代入任意一个方程中，求解得到另一个未知数的值。
5. 验证解是否满足原方程组，若满足则为正确答案，否则继续调整求解过程。
四、Cramer法Cramer法是利用行列式的性质来求解二元一次方程组。
该方法要求方程组的系数行列式不为零。
以下为Cramer法的步骤：1. 计算原方程组系数行列式D。
2. 分别将方程组中第一个未知数的系数替换为等号右边的值，计算得到未知数x的系数行列式Dx。
3. 将方程组中第二个未知数的系数替换为等号右边的值，计算得到未知数y的系数行列式Dy。
4. 分别计算未知数x和y的值，即x = Dx / D，y = Dy / D。
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法在数学学科中，解方程是一个非常重要的内容。
而二元一次方程组是解方程的一种特殊形式，它由两个二元一次方程组成。
解决二元一次方程组的问题可以帮助我们更好地理解和应用代数知识。
下面，我将为大家详细介绍二元一次方程组的解法。
一、代入法代入法是解决二元一次方程组的最常用方法之一。
它的基本思想是将一个方程的其中一个未知数表示为另一个方程中的未知数，然后代入另一个方程进行求解。
例如，我们有以下二元一次方程组：方程1：2x + y = 5方程2：3x - y = 1我们可以先将方程1中的y表示为方程2中的未知数：y = 3x - 1然后将y的值代入方程1，得到：2x + (3x - 1) = 5化简后，我们可以得到一个一元一次方程：5x - 1 = 5解这个方程，我们可以得到x的值为2。
将x的值代入方程1，我们可以求得y 的值为1。
因此，这个二元一次方程组的解为x=2，y=1。
二、消元法消元法是解决二元一次方程组的另一种常用方法。
它的基本思想是通过对方程组进行加减运算，消去其中一个未知数，然后求解另一个未知数。
例如，我们有以下二元一次方程组：方程1：2x + y = 5方程2：3x - y = 1我们可以将方程1乘以3，方程2乘以2，得到：方程1：6x + 3y = 15方程2：6x - 2y = 2然后将方程2的两倍加到方程1上，得到：9y = 17解这个一元一次方程，我们可以得到y的值为17/9。
将y的值代入方程1，我们可以求得x的值为5/3。
因此，这个二元一次方程组的解为x=5/3，y=17/9。
三、图像法图像法是解决二元一次方程组的另一种可视化方法。
它的基本思想是将方程组转化为直线的图像，通过观察直线的交点来求解方程组的解。
例如，我们有以下二元一次方程组：方程1：2x + y = 5方程2：3x - y = 1我们可以将这两个方程转化为直线的形式：方程1对应的直线为：y = -2x + 5方程2对应的直线为：y = 3x - 1我们可以在坐标系中画出这两条直线，并观察它们的交点。
二元一次方程组的解法与应用
显然，上表中每一对 x、y 的值都是方程①的解。 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二 元 一 次 方 程 的 解. 如果不考虑方程的实际意义，那么x、y 还可以取哪些值？这些值是有限的吗？ 还可以取 x＝－1，y＝23；x＝0.5，y＝21.5，等等。 所以，二元一次方程的解有无数对。 上表中哪对 x、y 的值还满足方程②？
巩固新知
满足方程①的解有：
x y
= =
21 ， 1
x x
= =
20 2
，
x x
= =
19， 3
x x
= =
18 4
,
x y
= 17 =5
满足方程②的解有：
x y
= =19 2，来自xy=18 =4
，
x y
= =
17 6
，
x y
= =
16 6
„
可以采用观察与 估算的方法．但 很麻烦，故引发 学生产生寻找新 方法的需求．
这样处理降
(1）选择哪个方程代人另一方程？其目的是什么？ (2)为什么能代？ (3）只求出一个未知数的值，方程组解完了吗？ (4)把已求出的未知数的值，代入哪个方程来求另一个未知数的值 较简便？ (5)怎样知道你运算的结果是否正确呢？
低了难度， 利于分阶段 达成本课的 知识目 标．本例的
（与解一元一次方程一样，需检验．其方法是将求得的一对未知数 重点在于让
C
x = 0
y
=
1
D
x = -1
y
=
0
六、课堂小结
1、二元一次方程、二元一次方程组的概念；
2、二元一次方程、二元一次方程组的解.
作业：
二元一次方程组的解法及应用
二元一次方程组的解法及应用一、引言二元一次方程组是数学中常见的问题，其解法及应用在实际生活中有着重要的意义。
本文将介绍二元一次方程组的解法及其应用领域。
二、二元一次方程组的解法二元一次方程组是由两个未知数和两个方程所组成的方程组。
解决这种方程组的问题需要运用代数的方法进行计算。
1. 消元法消元法是解决二元一次方程组最常用的方法之一。
该方法的主要思想是通过消去一个未知数，将方程组转化为只有一个未知数的方程。
举例来说，假设我们有以下的二元一次方程组：方程一：2x + 3y = 7方程二：3x - 2y = 4我们可以通过将方程一的两边同时乘以2，方程二的两边同时乘以3，然后将两个方程相加得到一个新的方程：11x = 22。
从中我们可以解得x=2。
将x的值带入其中一个方程，比如方程一，可以解得y=1。
2. 代入法代入法也是解决二元一次方程组的常用方法之一。
该方法的主要思想是通过将一个方程中的一个未知数表示为另一个方程中未知数的函数，然后将其代入到另一个方程中进行求解。
举例来说，假设我们有以下的二元一次方程组：方程一：2x + 3y = 7方程二：3x - 2y = 4我们可以通过将方程一求解出y的表达式：y = (7 - 2x) / 3，然后将其代入到方程二中，得到一个新的方程：3x - 2(7 - 2x) / 3 = 4。
从中我们可以解得x=2。
将x的值代入其中一个方程，比如方程一，可以解得y=1。
三、二元一次方程组的应用二元一次方程组的解法在实际生活中有着广泛的应用，涉及到各个领域。
1. 经济学中的应用二元一次方程组可以用于经济学中的定量分析和决策制定。
例如，在市场经济中，供求关系是决定价格和数量的重要因素。
通过建立供求方程组，可以求解出市场均衡的价格和数量。
2. 工程学中的应用二元一次方程组可以用于工程学中的问题求解。
例如，在电路分析中，可以利用欧姆定律和基尔霍夫电流定律建立二元一次方程组，求解出电路中各个节点的电流。
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法二元一次方程组是指由两个未知数和两个方程组成的方程组。
解决这样的方程组可以使用多种方法，包括消元法、代入法和图解法等。
本文将介绍这些解法的步骤和应用示例。
1. 消元法消元法是一种常用的解二元一次方程组的方法。
它通过将其中一个方程的未知数系数倍乘以另一个方程的系数，使得两个方程中的一个未知数的系数相等或相差一个倍数，进而将自变量消去，从而求得另一个未知数的值。
具体步骤如下：步骤1：观察两个方程，确定哪个未知数系数的倍数可以使得两个未知数的系数相等或相差一个倍数。
步骤2：将两个方程相加或相减，消去其中一个未知数。
步骤3：解得一个未知数的值。
步骤4：将求得的未知数代入任意一个方程中，求得另一个未知数的值。
下面是一个示例：例题：解方程组方程1：2x + 3y = 7方程2：3x - 4y = 8解答过程：步骤1：由观察可知，方程1的横坐标系数的倍数可以使得两个方程中y的系数相等，因此我们将方程1的系数倍乘以方程2的系数，得到6x + 9y = 21和3x - 4y = 8。
步骤2：将两个方程相减，得到(6x + 9y) - (3x - 4y) = (21 - 8)。
化简得到3x + 13y = 13。
步骤3：解得x = 1。
步骤4：将x = 1代入方程1中，得到2(1) + 3y = 7。
化简得到3y = 5，解得y = 5/3。
因此，方程组的解为x = 1，y = 5/3。
2. 代入法代入法是另一种解二元一次方程组的常用方法。
它通过将其中一个方程的解代入到另一个方程中，从而求得另一个未知数的值。
具体步骤如下：步骤1：解其中一个方程，得到一个未知数的值。
步骤2：将求得的未知数的值代入到另一个方程中，求得另一个未知数的值。
下面是一个示例：例题：解方程组方程1：3x - 4y = 2方程2：2x + y = 7解答过程：步骤1：解方程1，得到x = (2 + 4y)/3。
步骤2：将x = (2 + 4y)/3代入方程2，得到2(2 + 4y)/3 + y = 7。
上海六年级二元一次方程组的解法及其应用
24y ，所以________45y ，所以________x ，________y2x =,所以x = ，________y ． 总结出用一个未知数表示另一个未知数的方法步骤①被表示的未知数放在等式的左边，其他的放在等式的右边．②把被表示的未知数的系数化为1．二元一次方程的解法）用代入法解二元一次方程组将方程组中的一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中，消去一个未知92xy y x ……①………②：把②代入①得，29x x3x 93x把x=3代入②，得6y所以，原方程组的解是36xy总结：解方程组的方法的图解：练一练：、如果31014x y ，那么x =________；、解方程组35,23 1.x y x y 3、解方程组31014101532x y x y 、以⎩⎨⎧-=-=5.05.1y x 为解的方程组是（ ） A. ⎩⎨⎧=-+=--05301y x y x B. ⎩⎨⎧=++=+-05301y x y x C. ⎩⎨⎧-=+=-y x y x 531 D. ⎩⎨⎧=+=-531y x y x 、用代入消元法解下列二元一次方程组：（1）23321y x x y =-⎧⎨+=⎩ （2）⎩⎨⎧-=-=+42357y x y x （3） 233418x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩（2）加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
例4：解方程组2x+5y=13 ①3x-5y=7 ②提示：①式中的5y 和②式中的-5y 是互为相反数的分析：（2x ＋ 5y ）+（3x - 5y ）=13 + 7①左边+ ②左边 = ①左边+②左边2x+5y +3x - 5y=205x+0y =205x=20。
沪教版六年级数学第二学期讲义
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零。
口诀：正正得正，正负得负，负正得负，负负得正。
★注意：
①运算步骤：符号→绝对值相乘；
②带分数要化成假分数；
③灵活使用乘法交换律和分配律进行简便运算。
3、有理数乘法法则推广
几个不为0的数相乘，积符号由负因数个数决定。
【知识要点】
1、解不等式
求不等式解集过程叫做解不等式。
解不等式依据：不等式三条性质，特别是不等式性质3，注意不等号方向改变。
2、如何用数轴表示不等式解集
一是确定“界点”：解集包含“界点”则用实心圆点；反之，空心圆圈。
二是确定“方向”：大于向右画，小于向左画。
【例题精讲】
【巩固提升】
第九讲
【知识要点】
④代入求出另一元值。
【例题精讲】
【巩固提升】
第十一讲
【知识要点】
一、三元一次方程组及其解法
方程组中含有三个未知数，且含有未知数项次数都是一次的方程组叫三元一次方程组
解法：类似二元一次方程组解法。
核心思想：消元，三元→二元→一元→求解。
二、一次方程组的应用
1、列方程解应用题时要灵活选择未知数的个数。
2、对于含有两个未知数的应用题一般采用列二元一次方程组求解；对于含有三个未知数的应用题一般采用列三元一次方程组求解
子）。
②不同点：等式在两边乘以（除以）同一个正数或同一个负数，等式成立；
不等式在两边乘以（除以）同一个正数，方向不变，乘以（除以）同一个负数
时，方向一定要改变。
5、不等式解定义
能使不等式成立未知数值，叫做不等式解。
6、不等式解集定义
一个含有未知数不等式解全体叫做不等式解集。
二元一次方程组的解法及应用
二元一次方程组的解法及应用在数学中，二元一次方程组是由两个未知数和两个方程组成的方程组。
解二元一次方程组的过程非常重要，不仅可以帮助我们求解实际问题，还可以培养我们的逻辑思维和分析能力。
本文将介绍二元一次方程组的解法以及其在实际生活中的应用。
一、二元一次方程组的解法解二元一次方程组的常用方法有三种：代入法、消元法和等式法。
下面将分别介绍这三种方法的具体步骤。
1. 代入法代入法是解二元一次方程组最简单的方法之一。
其基本思想是将一个方程的解代入另一个方程中，从而得到另一个方程只含有一个未知数的一次方程，然后通过求解这个一次方程来确定未知数的值。
具体步骤如下：（1）选择一个方程，将其中的一个未知数用另一个未知数的表达式代替。
（2）将代入后的方程代入另一个方程中，得到只含有一个未知数的一次方程。
（3）求解得到一个未知数的值。
（4）将求得的未知数的值代入代入步骤（1）中的方程，求解得到第二个未知数的值。
通过多次代入和求解，可以得到整个二元一次方程组的解。
2. 消元法消元法是解二元一次方程组的另一种常用方法。
其基本思想是通过将方程组中某个方程的两边乘以适当的系数，使得两个方程的某个未知数的系数相等或者互为相反数，然后将这两个方程相加或相减，从而消去某个未知数，求解另一个未知数的值。
具体步骤如下：（1）通过适当的乘法将两个方程的某个未知数的系数相等或互为相反数。
（2）将这两个方程相加或相减，消去某个未知数。
（3）求解得到一个未知数的值。
（4）将求得的未知数的值代入其中一个方程，求解得到第二个未知数的值。
通过多次消元和求解，可以得到整个二元一次方程组的解。
3. 等式法等式法是解二元一次方程组的另一种有效的方法。
其基本思想是通过将两个方程进行相减或相加，得到只含有一个未知数的一次方程，然后通过求解这个一次方程来确定未知数的值。
具体步骤如下：（1）通过适当的乘法或加减法将两个方程相减或相加，得到一个只含有一个未知数的一次方程。
六年级第二学期二元一次方程组解法与应用教案及课后练习
致易教育个性化辅导教案、含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程。
、使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
、二元一次方程的解有无数个，二元一次的解的全体叫做这个二元一次方程的解集。
、由几个方程组成的一组方程叫做方程组。
如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。
、在二元一次方程组中，使每个方程都适合的解，叫做二元一次方程组的解。
23、通过“代入”消去一个未知数，将方程式转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法。
24、通过将两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做加减消元法。
25、如果方程组中有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，这样的方程组叫做三元一次方程组。
26、列方程解应用题时要灵活选择未知数的个数。
对于含有两个未知数的应用题一般采用列二元一次方程组求解；对于含有三个未知数的应用题一般采用列三元一次方程组求解。
二、经典例题示范【学习本节应注意的问题】在复习解一元一次方程时，明确一元一次方程化简变形的原理，类比学习二元一次方程组、三元一次方程组的解法，同时在学习二元一次方程组、三元一次方程组的解法时，要认真体会消元转化的思想原理，在学习用方程组解决突际问题时，要积极探究，多多思考，正确设未知数，列出恰当的方程组，从而解决实际问题．例1. 用代人法解下列方程组例2. 用加减消元法解下列方程组．例6. 已知：方程组326x yax y+=⎧⎨-=⎩与31x by ax y-=⎧⎨-=⎩同解，求：ab的值。
例7. 已知方程组32121x y mx y m+=+⎧⎨+=-⎩，m为何值时，x y>？例8. 班委会花100元购买了笔记本和钢笔22件作为班级的奖品，如果每本笔记本的价格是2.5元，每支钢笔的价格是7元，那么班委会购买了多少本笔记本、多少支铅笔？例9.某船顺流下行36千米用3小时，逆流上行24千米3小时，求水流速度和船在静水中的速度。
二元一次方程组的解法和应用
二元一次方程组的解法和应用一、引言二元一次方程组是数学中常见的问题，通过求解方程组的解可以帮助我们解决一系列实际问题。
本文将介绍二元一次方程组的解法以及其在实际生活中的应用。
二、二元一次方程组的解法1. 消元法消元法是解二元一次方程组的常用方法。
假设我们有以下方程组：```a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂```我们可以通过以下步骤进行求解：Step 1: 为了消去x的系数，我们可以将第一个方程乘以a₂，第二个方程乘以a₁，得到：```a₁a₂x + b₁a₂y = c₁a₂a₁a₂x + b₂a₁y = c₂a₁```Step 2: 接下来我们可以将第二个方程减去第一个方程，得到：```(b₂a₁ - b₁a₂)y = c₂a₁ - c₁a₂```通过求解这个一元一次方程，我们可以得到y的值。
Step 3: 将y的值代入任意一个原始方程，可以求得x的值。
2. 代入法代入法也是解二元一次方程组的一种常见方法。
假设我们有以下方程组：```a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂```我们可以通过以下步骤进行求解：Step 1: 将第一个方程解出x，得到：```x = (c₁ - b₁y) / a₁```Step 2: 将x的值代入第二个方程，得到：```a₂((c₁ - b₁y) / a₁) + b₂y = c₂```通过求解这个一元一次方程，我们可以得到y的值。
Step 3: 将y的值代入任意一个原始方程，可以求得x的值。
三、二元一次方程组的应用1. 几何问题二元一次方程组可以被广泛应用于几何问题中。
例如，我们可以通过方程组的解来确定两条直线的交点坐标，从而解决线段相交等问题。
2. 商业问题在商业领域中，二元一次方程组可以帮助我们解决成本、利润、销量等变量之间的关系。
例如，我们可以利用方程组的解来确定最大利润出现的情况，或者计算销售量达到平衡的条件。
3. 工程问题在工程领域中，二元一次方程组可以应用于电路分析、力学问题等。
加减消元法解二元一次方程组教案
加减消元法解二元一次方程组教案加减消元法解二元一次方程组教案「篇一」二元一次方程组的解法（加减消元法）说课稿尊敬的各位老师，各位同学：大家好！我今天说课的题目是《二元一次方程组的解法》，选自沪教版九年义务教育课本六年级下册第六章第九节，本节两个课时，我今天阐述的是第二课时，用加减消元法解二元一次方程组。
下面我将从教材分析、教法分析、学法分析、教学过程及教学评价等几个方面进行阐述。
一、教材分析1、教材的地位和作用本节课是在学生学习了代入法解二元一次方程组的基础上，继续学习另一种消元的方法---加减消元，它是学生系统学习二元一次方程组知识的前提和基础。
教材的编写目的是通过加减来达到消元的目的，让学生从中充分体会化未知为已知的转化过程；理解并掌握解二元一次方程组的最常用的基本方法，为以后函数等知识的学习打下基础.2、教学目标通过对新课程标准的研究与学习，我把本节课的三维教学目标确定如下：知识与技能目标：会用加减消元法解简单的二元一次方程组；理解加减消元法的基本思想，体会化未知为已知的化归思想方法。
过程与方法目标：通过经历加减消元法解方程组，让学生体会消元思想的应用，经过引导、讨论和交流让学生理解根据加减消元法解二元一次方程组的一般步骤。
情感态度及价值观：通过交流、合作、讨论获取成功体验，感受加减消元法的应用价值，激发学生的学习兴趣，同时体会到数学与日常生活的密切联系，认识到数学的价值。
3、教学重、难点由于六年级的学生年龄较小，在学习解二元一次方程组的过程中往往不注意方程组解法的形成过程更无法真正理解消元的思想方法。
而大家都知道，数学的思想与方法才是数学的精髓，是联系各类数学知识的纽带，所以我将本节课的重点和难点确定如下: 重点：用加减消元法解决二元一次方程组难点：在解题过程中进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想为讲清楚重、难点，让学生达到本节设定的目标，我再从教法学法上谈谈。
二、教法分析考虑到学生已经掌握了用代入消元法解二元一次方程组，懂得其基本思路是把二元一次方程组转化为一元一次方程。
二元一次方程组及其解法教案沪科版
4. 代入消元法：代入消元法是解二元一次方程组的另一种方法。它的基本思想是将一个方程中的一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后将这个表达式代入另一个方程中，从而得到一个一元一次方程。最后，解这个一元一次方程，得到一个未知数的值。将得到的值代入原方程组中，求解另一个未知数的值。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
四、学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二元一次方程组在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3. 实验器材：本节课不涉及实验操作，但如果需要进行小组讨论或实践操作，确保实验器材的完整性和安全性。例如，准备一些计算器、纸张、笔等学习工具，以便学生进行自主学习和合作探究。
4. 教室布置：根据教学需要，对教室进行适当的布置。将教室分为讲台区、小组讨论区和实验操作区等不同区域，以便于教师进行课堂讲解、学生进行小组讨论和实验操作。在小组讨论区，摆放一些桌椅，让学生能够舒适地进行讨论和学习。在实验操作区，设置一些实验台，准备实验所需的器材和材料。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
五、总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二元一次方程组的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二元一次方程组的解法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2022年上海六年级数学下学期同步教材满分攻略第09讲二元一次方程(组)及解法(练习版)
第09讲二元一次方程（组）及解法（核心考点讲与练）一．二元一次方程的定义（1）二元一次方程的定义含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．二．二元一次方程的解（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．三．解二元一次方程二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．四．二元一次方程组的定义（1）二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．（2）二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．五．二元一次方程组的解（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．六．解二元一次方程组（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．一．二元一次方程的定义（共2小题）1．（2021春•浦东新区期末）在下列方程中，属于二元一次方程的是（）A．x2+y＝3B．2x＝y C．xy＝2D．2x+y＝z﹣1 2．（2021春•奉贤区期末）观察下列方程其中是二元一次方程是（）A．5x﹣y＝35B．xy＝16C．2x2﹣1＝0D．3z﹣2（z+1）＝6二．二元一次方程的解（共2小题）3．（2021春•萧山区校级期中）下列四组数值是二元一次方程2x﹣y＝6的解的是（）A．B．C．D．4．（2021春•浦东新区校级期末）已知是方程2x﹣ky＝5的解，那么k＝．三．解二元一次方程（共2小题）5．（2021春•闵行区期末）将方程4x﹣3y＝5变形为用含y的式子表示x，那么x＝．6．（2021春•普陀区期末）将方程x+2y＝11变形为用含x的式子表示y，下列变形中正确的是（）A．y＝B．y＝C．x＝2y﹣11D．x＝11﹣2y四．二元一次方程组的定义（共2小题）7．（2021春•浦东新区期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（）A．B．C．D．8．（2021春•松江区期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（）A．B．C．D．五．二元一次方程组的解（共3小题）9．（2020春•恩平市期末）以为解的二元一次方程组是（）A．B．C．D．10．（2021春•杨浦区期末）方程组的解的情况是（）A．B．C．无解D．无数组解11．（2018春•宝山区期末）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＜2，求a的取值范围．六．解二元一次方程组（共7小题）12．（2021秋•普陀区校级月考）对于两个一元多项式（含字母x）来说，当未知数x任取同一个数值时，如果它们所得的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式（含字母x）恒等．如：如果两个一元多项式x+2与ax+b（a、b是常数）是恒等的，那么a＝1，b＝2．请完成下列练习：（1）多项式ax4﹣1与bx2+cx+1具备什么条件时，这两个多项式恒等？（2）如果多项式（a+b）x3+3x2+1与1+x2+10x3恒等，试求a、b的值．13．（2021春•浦东新区校级期末）解方程组：．14．（2021春•浦东新区期末）定义一种新运算“⊕”，规定：x⊕y＝ax+by，其中a，b为常数，已知1⊕2＝7，2⊕（﹣1）＝4，则a⊕b＝．15．（2021春•闵行区期末）解方程组：．16．（2021春•闵行区期中）（1）解方程组：；（2）解方程组：．17．（2016春•浦东新区期末）已知m、n满足＝＝2，求m、n的值．18．（2014春•闵行区期中）解方程组：．七．二元一次方程组的应用（共1小题）19．（2021秋•福田区校级期末）目前节能灯在城市已基本普及，某商场计划购进甲、乙两种型号的节能灯共600只，这两种型号的节能灯的进价、售价如表：进价（元/只）售价（元/只）甲型2530乙型4560（1）要使进货款恰好为23000元，甲、乙两种节能灯应各进多少只？（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利恰好是进货价的30%，此时利润为多少元？题组A 基础过关练一．选择题（共3小题）1．（2020春•普陀区期末）下列方程中，二元一次方程是（ ） A ．2x +1＝0B ．x 2+y ＝2C ．2x ﹣y ＝1D ．x ﹣y +z ＝12．（2020春•营山县期末）二元一次方程3x +2y ＝12的解可以是（ ） A ．B ．C ．D ．3．（2021春•金山区期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A ．B ．C ．D ．二．填空题（共10小题）4．（2021春•杨浦区期末）二元一次方程3x +y ＝8的正整数解是 ．5．（2021春•上海期中）将方程2x +5y ＝7变形为用含y 的式子表示x ，那么x ＝ ． 6．（2020•奉贤区二模）二元一次方程x +2y ＝3的正整数解是 ． 7．（2021•闵行区二模）二元一次方程组的解是 ．8．（2021春•浦东新区期末）将x +2y ＝4变形成用含x 的式子表示y ，那么y ＝ ．9．（2021春•普陀区期末）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．如果一个二元一次方程的解中两个未知数的绝对值相等，那么我们把这个解称做这个二元一次方程的等模解．二元一次方程2x ﹣5y ＝7的等模解是 ．10．（2021春•松江区期末）在二元一次方程3x +y ＝12的解中，x 和y 是相反数的解是 ． 11．（2021春•松江区期末）已知是方程2x +ay ＝7的一个解，那么a ＝ ．12．（2018春•杨浦区校级月考）已知关于x 、y 的二元一次方程（m +1）x +（m +2）y +3﹣2m ＝0，当m 每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为 ．分层提分13．（2021春•黄浦区校级月考）方程组的解是．三．解答题（共5小题）14．（2020春•普陀区期末）解方程组：．15．（2020春•浦东新区期末）解方程组：．16．（2018春•杨浦区校级月考）试求方程组的解．17．（2021春•浦东新区期末）解方程组：．18．（2021春•嘉定区期末）解方程组：．题组B 能力提升练一．选择题（共2小题）1．（2021春•萧山区期中）已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（）A．B．C．D．2．（2015•下城区一模）已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①﹣3＜a≤1；②当时，x＝y；③当a＝﹣2时，方程组的解也是方程x+y＝5+a的解；④若x≤1，则y≥2．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．②③④二．填空题（共7小题）3．（2020春•普陀区期末）方程2x+y＝3的正整数解是．4．（2019春•奉贤区期末）已知是方程2x+ky＝1的一个解，那么k的值是．5．（2018春•普陀区期末）把方程x2+4xy﹣5y2＝0化为两个二元一次方程，它们是和．6．（2017春•浦东新区期中）如果将方程4x﹣5y＝15变形为用含有x的式子表示y，那么y ＝．7．（2017春•浦东新区校级月考）已知关于x、y的方程2x2m+y n﹣1＝1是二元一次方程，那么mn ＝．8．（2016•浦东新区二模）定义运算“*”：规定x*y＝ax+by（其中a、b为常数），若1*1＝3，1*（﹣1）＝1，则1*2＝．9．（2021春•海淀区校级期末）已知方程组的解是，则方程组的解是．三．解答题（共5小题）10．（2019春•浦东新区期末）解方程组：．11．（2018春•浦东新区期末）解方程组：12．（2021春•金乡县期末）阅读材料并回答下列问题：当m，n都是实数，且满足2m＝8+n，就称点P（m﹣1，）为“爱心点”．（1）判断点A（5，3），B（4，6）哪个点为“爱心点”，并说明理由；（2）若点C（a，﹣8）也是“爱心点”，请求出a的值；（3）已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组解为坐标的点B（x，y）是“爱心点”，求p，q的值．13．（2021春•姑苏区期末）阅读以下内容：已知实数m，n满足m+n＝5，且求k的值，三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：甲同学：先解关于m，n的方程组，再求k的值、乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值丙同学：先解方程组，再求k的值（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题（2）试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，x+y的值始终不变．14．（2018春•石阡县期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1把y＝﹣1代入①得x＝4，∴方程组的解为．请你解决以下问题：（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组；（2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2与xy的值．。
二元一次方程组的8大解题方法,应用题的克星
二元一次方程组的8大解题方法，专治各类应用题！二元一次方程大战应用题一、实际问题与二元一次方程组的思路1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。
一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等。
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；答：写出答案。
（第一中考网）3.要点诠释（1）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（2）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组。
二、八大典型例题详解01.和差倍数问题知识梳理和差问题是已知两个数的和或这两个数的差，以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数各是多少。
典型例题思路点拨：由甲乙两人2分钟共打了240个字可以得到第一个等量关系式2(x+y)=240，再由甲每分钟比乙多打10个字可以得到第二个等量关系式x-y=10，组成方程组求解即可。
变式拓展思路点拨：由甲组学生人数是乙组的3倍可以得到第一个等量关系式x=3y，由乙组的学生人数比甲组的3倍少40人可以得到第二个等量关系式3x-y=40，组成方程组求解即可。
02.产品配套问题知识梳理总人数等于生产各个产品的人数之和；各个产品数量之间的比例符合整体要求。
典型例题思路点拨：本题的第一个等量关系比较容易得出：生产螺钉和螺母的工人共有22名；第二个等量关系的得出要弄清螺钉与螺母是如何配套的，即螺母的数量是螺钉的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反）。
变式拓展思路点拨：根据共有170名学生可得出第一个等量关系x+y=170，根据每个树坑对应一棵树可得第二个等量关系3x=7y，组成方程组求解即可。
二元一次方程组应用题解题技巧
二元一次方程组应用题解题技巧
一、二元一次方程组的四种解法
1、消元法
用消元法求解二元一次方程组，是最常用的一种方法，它要求给定的二元一次方程组有唯一解，通常通过下列三步可以解出方程组的解：
（1）将方程组化为上三角形；
（2）从最下面开始，用逐步消元法；
（3）求出两个未知数的值。
2、代入法
当计算机不能解如何求解时，可以用代入法近似的求解，原理是：给定的方程组有个解，可以先猜测其中一个未知数的值，然后代入方程组，解出另一个未知数的值，再代入一个不同的初值，解出另一个未知数的值，再代入另一个不同的初值，如此反复，直到与初始初值一致。
3、特殊因式法
特殊因式法是根据一些特殊的性质来求解二元一次方程组的一
种方法，如满足同差定理的方程组的解，可以用同差定理来求解；如果满足等差数列的方程组的解，可以用等差数列的性质来求解，等等。
4、图像法
图像法是指把二元一次方程组的两个变量作图，找出图形上关于变量的判别规律，从而求出变量的确定值的一种方法，主要有三点：
（1）对二元一次方程组的两个变量，取候选值构成一定的点对；
（2）根据给出的方程组，绘制它们的点对；
（3）求出方程组的解。
二、解题技巧
1、先用考题的条件分析出这个问题的特点，然后确定用哪一种解法解决。
2、如果题目中给出条件，需要充分的利用这些条件，根据条件的特殊性选择相应的求解方法
3、对于增加便捷解决方程的繁琐操作和准确率，可采用计算机辅助处理。
4、一般情况，在解题过程中，要把问题抽象成几个简单的步骤。
5、解题的过程中要随时记录计算的步骤，以免出现书写漏洞的现象。
6、在解题过程中，要熟练掌握运用各种技巧。
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一、教学目标：(1):二元一次方程组的解法 (2):二元一次方程组的解法的应用 二、授课内容：教学目标:会用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组 教学重点:用代入法和加减消元法解二元一次方程组,基本方法是消元化二元为一元. 教学难点:用代入法和加减消元法解二元一次方程组知识点:1·用代入法解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”。
主要步骤是： ①将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来②将这个代数式代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程式 ③解这个一元一次方程④把求得的一次方程的解代入方程中，求得另一个未知数值，组成方程组的解。
2·用加减法解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”。
主要步骤是：观察求未各数的系数的绝对值是否相同，若互为相反数就用加，若相同，就用减，达到消元目的。
1.二元一次方程的概念：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程。
例1.下列方程组中，哪些是二元一次方程组_______________判断一个一个方程时候为二元一次方程的三个要素： ①含有两个未知数 ②未知数的次数为1③整式方程 （与分式区分开来）想一想：二元一次方程的解与一元一次方程的解有什么区别？①二元一次方程的解是成对出现的；2(1)3x y y z +=⎧⎨+=⎩，5(2)6x y xy +=⎧⎨=⎩，7(3)6a b b -=⎧⎨=⎩，2(4)13x y x y +=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，52(5)122y x x y=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，25(6)312x y -=⎧⎨+=⎩，②二元一次方程的解有无数个； ③一元一次方程的解只有一个。
例2 若方程 是二元一次方程，求m 、n 的值． 分析： 变式： 方程 是二元一次方程，试求a 的值． 注意：①含未知项的次数为1； ②含有未知项的系数不能为02.二元一次方程组的解二元一次方程组的解法，即解二元一次方程的方法；今天我们就一起探究一下有什么方法能解二元一次方程组。
练一练：1、若 =-⎧⎨=⎩x 1y 2是关于 x 、y 的方程 5x +ay = 1 的解，则a=（ ）.2、方程组 +=⎧⎨-=⎩y z 180y z （）的解是 =⎧⎨=⎩y 100z （）.3、若关于x 、y 的二元一次方程组––=⎧⎨+=⎩4x 3y 1kx k 1y 3（）的解x 与 y 的值相等，则k =（ ）.3、用一个未知数表示另一个未知数想一想：(1)24x y +=，所以________x =；(2)345x y +=，所以________x =，________y =； (3) 2y x =,所以x = ，________y =．总结出用一个未知数表示另一个未知数的方法步骤：①被表示的未知数放在等式的左边，其他的放在等式的右边．②把被表示的未知数的系数化为1．4.二元一次方程的解法（1）用代入法解二元一次方程组将方程组中的一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法. 代入消元法解方程组的步骤是： ①用一个未知数表示另一个未知数；②把新的方程代入另一个方程，得到一元一次方程（代入消元）； ③解一元一次方程，求出一个未知数的值；④把这个未知数的值代入一次式，求出另一个未知数的值； ⑤检验，并写出方程组的解.213257m n x y --+=211321m n -=⎧⎨-=⎩1(2)2a x a y -+-=例3：方程组92x y y x ……①………②ì+=ïïíï=ïî 解：把②代入①得，29x x +=3x 9= 3x =把x=3代入②，得6y =所以，原方程组的解是36x y ì=ïïíï=ïî总结：解方程组的方法的图解：练一练：1、如果31014x y +=，那么x =________；2、解方程组35,23 1.x y x y ì-=ïïíï-=ïî 3、解方程组31014101532x y x y ì+=ïïíï+=ïî 3、以⎩⎨⎧-=-=5.05.1y x 为解的方程组是（ ）A. ⎩⎨⎧=-+=--05301y x y x B.⎩⎨⎧=++=+-05301y x y x C. ⎩⎨⎧-=+=-y x y x 531D. ⎩⎨⎧=+=-531y x y x 4、用代入消元法解下列二元一次方程组：（1）23321y x x y =-⎧⎨+=⎩ （2）⎩⎨⎧-=-=+42357y x y x （3） 233418x yx y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩（2）加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
例4：解方程组2x+5y=13 ① 3x-5y=7 ②提示：①式中的5y 和②式中的-5y 是互为相反数的分析：（2x ＋ 5y ）+（3x - 5y ）=13 + 7 ①左边+ ②左边 = ①左边+②左边 2x+5y +3x - 5y=20 5x+0y =20 5x=20解：由①+②得: 5x=20x ＝4 把x ＝4代入①，得 y ＝1 所以原方程组的解是 x=4y=1例5：解方程组x--5y=7 ① x+3y=-1 ②分析：观察方程组中的两个方程，未知数x 的系数相等，都是2．把这两个方程两边分别相减，就可以消去未知数x ，同样得到一个一元一次方程．解：把 ②－①得:8y ＝－8y ＝－1 把y ＝－1代入①，得2x －5×（－1）＝7 解得:x ＝1所以原方程组的解是 x=1 y=-1练一练：用加减消元法解下列二元一次方程组：（1）⎩⎨⎧=+=-13y x y x （2）⎩⎨⎧=+=-8312034y x y x （3）⎩⎨⎧=+=-1464534y x y x5.解二元一次方程组需要注意的几个问题：（1）应重视加与减的区分例6 解方程组⎩⎨⎧=-=+②①.5n m 3,7n 2m 3错解：①~②，得n ＝2。
分析与解：①~②，即57)n m 3()n 2m 3(-=--+。
去括号，得2n m 3n 2m 3=+-+。
合并同类项，得2n 3=，即32n =。
把32n =代入①，得917m =。
所以原方程组的解是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.32n ,917m失误警示：学习了二元一次方程组的解法后，同学们会感到加减消元法比代入消元法方便好用。
但用加减消元法解方程组常常受到符号问题的困扰。
解决问题的关键是要正确应用等式性质，重视加与减的区分。
（2）应重视方程组的化简例7 解方程组⎩⎨⎧=-=-②①.19y 5.0x 2.0,1y x 3.0繁解：由①得1x 3.0y -=。
③ 把③代入②，得19)1x 3.0(5.0x 2.0=--。
化简，得5.18x 05.0=。
解得370x =。
把370x =代入③，得110y =。
所以原方程组的解是⎩⎨⎧==.110y ,370x分析与简解：没有把原方程组化为整数系数的方程组，含有小数的计算容易出错。
原方程组可化为⎩⎨⎧=-=-.190y 5x 2,10y 10x 3以下解答略。
失误警示：这道题解法上并没有错误，但思想方法不是很完美，解题应寻找最简便的方法。
把含小数系数的二元一次方程组化为整数系数方程组，可以简化运算。
（3）应重视方程组变形的细节例8 解方程组⎩⎨⎧-=+-=-②①).2y (24x ),1y (31x错解：整理，得⎩⎨⎧=--=-.0y 2x ,4y 3x分析与解：将原方程组整理为⎩⎨⎧-=--=-④③.8y 2x ,2y 3x④~③，得6y -=，代入③，得20x -=。
所以原方程组的解是⎩⎨⎧-=-=.6y ,20x失误警示：解二元一次方程组往往需要对原方程组变形，在移项时要特别注意符号的改变。
三、本次课后作业：二元一次方程组的解法及其应用四、学生对于本次课的评价：○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差学生签字： 五、教师评定：1、学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差2、学生本次上课情况评价：○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 教师签字：龙文教育教务处_______年 月 日。