第三章 水动力学基础

三、连续性方程特例: 上述恒定总流的连续性方程是在流量沿程不变的 条件下导得的。若沿程有流量流进或流出，则总 流的连续性方程在形式上需作相应的修正。其总 流的连续性方程可写为： Q1＝Q2＋Q3
Q2 1
Q1
1
Q3
结论：所有流入液体的流量应等于所有流出液体的流量
3.1-3.3 小结
拉格朗日法 欧拉法 恒定流（与非恒定流）去掉了时间变量 一元流（二元流、三元流）去掉了y、z坐标 流线（流管）：推出了元流的概念 流管 元流 总流 过流断面 流量 断面平均流速 恒定总流连续性方程
均匀流：各流线为平行直线。过水断面是平面，位于同 一流线上的各质点的流速的大小和方向均相等，迁移加 速度为零。 p1 p2 均匀流：Z1 Z2 (仅限于同一过水断面) 非均匀流：各流线 不是平行直线。 渐变流 急变流
3.2.5 均匀流与非均匀流
渐变流：各流线接近于平行直线的流动。近似认为符合均 匀流压强分布特性。 急变流：非均匀流中除渐变流以外的流动。不符合均匀流 压强分布特性。
二、迹线 流线：同时刻连续液体质点的流动方向线。
迹线：同一质点在连续时间内的流动轨迹线。
3.2.4 一元流动模型
流管、元流、总流和过流断面
流管——由流线构成的 一个封闭的管状曲面
dA
元流——充满以流管为 边界的一束液流
过流断面——与元 流或总流的流线正 交的横断面
总流——在一定边界内 具有一定大小尺寸的实 际流动的水流，它是由 无数多个元流组成
dl dx
ux x
2. 流线特性： (1)流线不能相交或转折，否则在交点或转折处必然 存在两个切线方向，即同一质点同时具有两个运 动方向，这显然是不可能的，因此流线只能是互 不相交的光滑曲线 (2)流线只能是一条光滑曲线。(液体为连续介质） (3)流线分布的疏密程度反映了该时刻流场中各点的 速度大小。流线越密，流速越大；流线越疏，流 速越小
4.恒定总流连续性方程： 因总流是无数元流的集合体，因此,对上式在总流 过水断面上积分：
Q
A1
u
1
dA1
A2
u
2
dA2
引入断面平均流速，可得： Q＝υ1A1＝υ2A2＝常数 恒定总流连续性方程 ★ 它在形式上与恒定元流连续性方程类似，应注 意的是，以断面平均流速v代替点流速u。 意义：恒定总流连续性方程是一个不涉及任何作用 力的运动学方程，所以，它无论对于理想液体还 是实际液体都适用。
通过相对应的三个速度分量复合求导得到：
du x u x a x dt t (u x du y u y (u x a y dt t a du z u z (u x z dt t u x uy x u y uy x u z uy x u x u x uz ) y z u y u y uz ) y z u z u z uz ) y z
二、表达式： 设某一质点在某一时刻t0的初始坐标(a,b,c)作为 该质点的标志，则在任一时刻，此质点的迹线 方程可表示为： x＝x(a,b,c,t) y＝y(a,b,c,t) z＝z(a,b,c,t) 其中，a,b,c,t统称为拉格朗日变量，不同初始值 (a,b,c)表示流场中不同液体质点的初始位置。 三、基本特征： 以个别液体运动质点为对象.研究给定质点在整 个运动过程中的轨迹.各个质点运动状态总和构 成整个液体运动. 点—线—面 运动轨迹 运动要素
du x u x a x dt t (u x du y u y (u x a y dt t a du z u z (u x z dt t
u x u x u x uy uz ) x y z u y u y u y uy uz ) x y z u z u z u z uy uz ) x y z
2 2
2 1＝
（2）势能增量：
dQ dt g z2 － dQ dt g z1 ＝ dQ dt ( z2 z1 )
（3）根据功能原理
2 u2 u12 ( p1 p2 )dQ dt dQ dt ( z2 z1 ) dQ dt ( ) 2g 2g
四、局限性： 液体质点运动轨迹非常复杂，实用上不需要知
道某一质点的运动轨迹，因此水力学上不常采
用此方法。
3.1.2 欧拉法
一、定义： 直接从流场中每一固定空间点的流速分布入手
，建立速度、加速度等运动要素的数学表达式
，来获得整个流场的运动特性。
• 欧拉法——以考察不同液体质点通过固定的空 间点的运动情况作为基础，综合所有空间点上 的运动情况，构成整个液体的运动。
上述流速沿程变化情况的分类，不是针对流 动的全体，而是指总流中的某一段。一般来 说，流动的均匀与不均匀、渐变与急变是交 替的出现于总流中。
3.3 恒定总流连续性方程
一、定义： 恒定总流连续性方程：反映断面平均流速和过水断 面面积之间的关系式。 它是质量守恒定律在水力学中的具体表现。 二、推导： 1.基本条件： 从总流中任取一段，如图，其进口过水断面 1-1面积为A1，出口 2 1 过水断面2-2面积 u2 为A2；再从中任取 元流 u1 一束元流，其进 dA A1 dA2 A 1 2 出口面积为dA1及 1 总流 2 dA2，流速u1及u2。
4.液体运动规律的研究内容： 确定各运动要素随时间和空间的变化规律及其相 互间的关系。——首要研究速度，其次压强。 三、水动力学研究方法： 建立运动模型，结合液体三大力学模型（连续性 假设、不可压缩液体、理想液体），根据物理学 和理论力学的质量守恒定律、动能原理和动量定 理等，建立液体三大基本方程。 连续性方程 能量方程（伯诺里方程） 动量方程
• 速度分量
ux＝ux(x,y,z,t) uy＝uy(x,y,z,t) uz＝uz(x,y,z,t) p＝p(x,y,z,t) ρ＝ ρ(x,y,z,t)
x，y，z，t 称为欧拉变数。 x，y，z是液体质点 在t时刻的运动坐标
对同一质点来说，坐标x，y，z不是独立的，而是
时间t的函数，因此，加速度的三个坐标分量需要
恒定流动：在dt时段前后所共有的1’-2两断面间的 液体的质量及位置没有改变，各点流速也不变， 因此动能、位能源自文库保持不变。所以，机械能增量 等于液体所占据的新位置2-2’的机械能减去原有位 置1-1’的机械能。 （1）动能增量：
1 2
2 u2 u12 dQ dt ( ) 2g 2g
1 － dQ dt u 2 dQ dt u
2.三个前提条件： (1)在恒定流条件下，元流的形状及位置不随时间改 变； (2)不可能有液体经元流侧面流进或流出； (3)液流为连续介质，元流内部不存在空隙。 3.恒定元流连续性方程： 根据质量守恒定律，单位时间内流进dA1的质量 等于流出dA2的质量： ρ1u1 dA1＝ρ2u2 dA2＝常数 对于不可压缩液体，ρ1＝ρ2＝常数，则有： u1 dA1＝u2 dA2＝dQ＝常数 恒定元流连续性方程
3.1 描述液体运动的两种方法
① 流体运动一般在固体壁面所限制的空间内进行 ② 流场：流体流动占据的空间称为流场 ③ 水动力学重要任务：研究流场中的运动 ④ 研究液体流动的两种方法： 拉格朗日(J.L.Lagrange)法 欧拉(L.Euler)法
3.1.1 拉格朗日法
一、定义： 把流场中的液体看做是由无数连续质点所组成的 质点系，追踪研究每一质点的运动轨迹并加以数 学描述，从而求得整个液体运动规律的方法。 引用固体力学中研究质点和质点系的运动方法。
3.2.2 一元流、二元流、三元流 一元流：运动要素是一个坐标的函数，称为一元流 二元流：运动要素是两个坐标的函数，称为二元流 三元流：运动要素是三个坐标的函数，称为三元流 ——液体一般在三元空间中流动，属于三元流动。 简化问题，在一元空间流动——一元流动 ——一元分析法（流束理论）
3.2.3 流线与迹线
过水断面的形状可以 是平面也可以是曲面。
五、流量 流量是单位时间内通过某一过水断面的液体体积 ，用Q表示．流量是衡量过水断面过水能力大小 的一个物理量。元流流量：dQ＝udA 总流流量等于所有元流流量之和。 六、断面平均流速v Q Q v A u dA v A A
3.2.5 均匀流与非均匀流
一、流线
1.定义：流线是同一时刻由液流中许多质点组 成的线，线上任一点的流速方向与该线在该点 相切。流线上任一点的切线方向就代表该点的 流速方向，则整个液流的瞬时流线图就形象地
描绘出该瞬时整个液流的运动趋势。
3.2.3 流线与迹线
一、流线
流线微分方程式：
y uy dy v
ux u y uz 1 dx dy dz dt
三、含义： 1.等号右边第一项表示通过某固定点的液体质点，其速度 随时间变化而形成的加速度，称为当地加速度. 2.等号右边括号内项表示同一时刻因地点变化而形成的加 速度，称为迁移加速度。 ∴ 液体运动质点加速度＝当地加速度＋迁移加速度
ax
du x u x u x u x u x (u x uy uz ) dt t x y z
水力学
第三章 水动力学基础
华中科技大学武昌分校
本章主要介绍与液体运动有关的基本概念及液 体运动所遵循的普遍规律并建立相应的方程式。
主要内容：
描述液体运动的两种方法
欧拉法的若干基本概念
恒定一元流的连续性方程式 实际液体恒定总流的能量方程式 能量方程式的应用举例 实际液体恒定总流的动量方程式
各项除以dt，并按断面分别列入等式两边：
2 u12 p2 u 2 ( z1 ) dQ ( z2 ) dQ 2g 2g
p1
——表示全部重量液体的能量平衡方程 将上式除以γdQ，得出单位重量液体的能量方程， 或简称为单位能量方程：
恒定总流动量方程式的应用举例
一、液体最基本特征： 液体具有流动性，其静止是相对的，运动才是绝 对的。 二、水动力学研究内容： 1.水动力学研究内容：研究液体的运动规律及其 在工程上的应用。 2.液体的运动规律：液体在运动状态下，作用于 液体上的力和运动要素之间的关系，以 及液体运动特性与能量转换规律等。 3.运动要素：表征液体运动状态的物理量，如速 度、加速度、动水压强、密度、切 应力等，这些量统称为运动要素。
一元流模型
3.4 恒定元流能量方程 3.4.1 理想液体恒定元流能量方程
一、原理： ——能量守恒原理。取不可压缩无粘性流体恒定流 动这样的力学模型。 二、推导：
' t 1 1 u1d 1 dA p1
2 dA
' dt 2 2 u2 p2
Z1 Z2 0
0
功能原理：作用于该段元流的外力（除重力外）所 作的功，等于流段机械能（动能和势能）的增量。 1.外力做功 作用于元流侧面上的动水压强与液体运动的方向 垂直，不作功。作用在过水断面1-1上的动水压力 与液体运动方向相同，作正功；作用在过水断面 2-2上的动水压力与液体运动方向相反，作负功. 故压力做功为： p1dA1u1dt － p2 dA2u2 dt ＝ ( p1 p2 )dQdt 对于理想液体，μ=0，因此不存在切向力及其作功. 2.机械能增量 机械能的增量是这段元流移动后位置（1‘-2’）和移 动前位置（1-2）所有机械能之差。
3.2 欧拉法的基本概念
3.2.1 恒定流与非恒定流
液体运动可分为两类： 恒定流 非恒定流 恒定流：流场中所有空间点上一切运动要素不随时 间改变，这种流动称为恒定流。 非恒定流：流场中空间点上运动要素随时间改变， 这种流动称为非恒定流。 恒定流： ux＝ux(x,y,z) uy＝uy(x,y,z) uz＝uz(x,y,z) 即恒定流中，当地加速度为零，但迁移加速度 可以不为零。