北京市初二数学竞赛试题
北师大版八年级上数学竞赛试卷完整版.doc
八年级数学竞赛试卷第1页，共2页八年级数学竞赛试卷一．选择题（每题5分，共30分）1.要从4424333x y x y y x +===的图象得到直线，就要将直线（ ） A 、向上平移23个单位 B 、向下平移23个单位 C 、向上平移2个单位 D 、向下平移2个单位2.把aa -111-）（中根号外的）（1-a 移入根号内得（ ） A 、1-a B 、a -1 C 、—1-a D 、—a -13.如果ab ＞0，bc ＜0，那么直线bcx －a b －y =不经过第（ ）象限.A 、一B 、二C 、三D 、四4. 点P 关于x 轴的对称点1P 的坐标是（4，－8），则P 点关于原点的对称点2P 的坐标是 （ ） A 、（－4，－8） B 、（4，8） C 、（－4，8） D 、（4，－8）5.你一定知道乌鸦喝水的故事吧！一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝，但是嘴够不着瓶中的水，于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中（如图），瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌鸦喝到了水。
但是还没解渴，瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度，乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，哇哇地飞走了。
如果设衔入瓶中石子的体积为x ，瓶中二．填空题（每题5分，共30分）6.足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分；一支中学生足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了 场。
7.已知72π⎡-⎢⎣，，，其中无理数有 个。
8.某班有48人准备去西湖划船，每条小船坐3人，租金16元，每条大船坐5人，租金24元，10.在平面直角坐标系中，把直线y=3x 沿y 轴向下平移后得到直线AB ，如果点N （m ，n ）是直线AB 上的一点，且3m ﹣n=2，那么直线AB 的函数表达式为 ． 三．解答题（每题10分，共60分） 11.已知1-a +2)2(-ab =0， 求ab 1+)1)(1(1++b a +)2)(2(1++b a +…+)2006)(2005(1++b a 的值。
北京八年级数学竞赛试题
北京八年级数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果一个角的补角是它的3倍，那么这个角的度数是多少？A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°3. 某数列的前三项为1, 1, 2，从第四项开始，每一项都是前三项的和。
这个数列的第10项是多少？A. 144B. 89C. 72D. 554. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 85. 一个圆的半径为5，它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π6. 一个数的相反数是-8，这个数是多少？A. 8B. -8C. 0D. 167. 一个长方体的长、宽、高分别是2, 3, 4，它的体积是多少？A. 24B. 26C. 28D. 308. 一个数的平方是36，这个数是多少？A. 6B. ±6C. 36D. ±369. 一个等差数列的首项是2，公差是3，它的第6项是多少？A. 17B. 19C. 21D. 2310. 一个分数的分子和分母的和是21，分子是分母的1/3，这个分数是多少？A. 1/6B. 2/15C. 3/18D. 4/17二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的绝对值是5，这个数可以是________。
12. 如果一个数的平方根是4，那么这个数是________。
13. 一个圆的直径是14，它的周长是________。
14. 一个数的立方根是2，这个数是________。
15. 一个等差数列的第5项是15，公差是2，首项是________。
三、解答题（每题10分，共50分）16. 证明勾股定理：在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
17. 解一元二次方程：x² - 5x + 6 = 0。
18. 一个长方体的长、宽、高分别是a, b, c，求它的表面积。
2018年北京市中学生数学竞赛初二试题(含答案)
2018年北京市中学生数学竞赛初二试题一、选择题（每小题5分，共25分）1．在1～100这100个自然数中，质数所占的百分比是（）．（A）25% （B）24% （C）23% （D）22%2．一个三角形的三边长都是整数，它的周长等于10，则这个三角形是（）．（A）直角三角形（B）钝角三角形（C）恰有两边相等的三角形（D）恰有一个内角为60°的三角形3．已知n为正整数，S=1+2+…+n．则S的个位数字不能取到的数字是（）．（A）0，1，2，3 （B）3，4，5，6（C）3，5，6，8 （D）2，4，7，94．如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．S△AOB=4，S△COD=9．则S四边形的最小值是（）．ABCD（A）22 （B）25 （C）28 （D）32（1）(2) (3)5．如果│a-b│=1，│b+c│=1，│a+c│=2，则│a+b+2c│等于（）．（A）3 （B）2 （C）1 （D）0二、填空题（每小题7分，共35分）1．如图2，大圆的两条直线AC、BC垂直相交于点O，分别以边AB、BC、CD、DA为直径向大圆外侧作四个半圆，图中四个“月形”阴影的总面积是2cm2．•则大圆的半径等于_______cm．2．2 005被两位的自然数去除，可能得到的最大余数是_______．3．已知a2+bc=14，b2-2bc=-6．则3a2+4b2-5bc=_________．4．如图3，在凸六边形ABCDEF中，AD、BE、CF三线共点于O，•每相邻三个顶点所组成的三角形的面积都等于1，则S六边形ABCDEF=_______．5．有6个被12除所得余数都相同的自然数，它们的连乘积为971 425．则这6•个自然数之和的最小值是________．三、（15分）已知非零实数a、b、c满足a+b+c=0.求证：（1）a3+b3+c3=3abc；（2）（a bc-+b ca-+c ab-）（ca b-+ab c-+bc a-）=9.四、（15分）如图，在△ABC中，∠BAC=∠BCA=44°，M为△ABC形内一点，•使得∠MCA=30°，∠MAC=16°，求∠BMC的度数．五、（10分）某学生在黑板上写出了17个自然数，•每个自然数的个位数码只能是0，1，2，3，4这5个数字中的一个．证明：从这17个数中可以选出5个数，•它们的和能被5整除．参考答案一、1．A在1～100这100个自然数中，有质数2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97共25个，所以，其中质数所占的百分比是25%．2．C将10分拆成三个正整数之和，有10=1+1+8=1+2+7=1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+3+5=2+4+4=3+3+4共八种情况．由“三角形两边之和大于第三边”可知，只有（2，4，4），（3，3，4）两组可构成三角形．由于等腰三角形两个底角都是锐角，于是，以2、4、4为边的等边三角形中，最小边2对的顶角也是锐角．以3、3、4为边的等腰三角形中，由32+32>42，•知顶角也是锐角．所以，以2、4、4为边的等腰三角形以及以3、3、4为边的等腰三角形都是锐角三角形，排除选项（A）、（B）•．•又由于等腰三角形中恰有一个内角为60°时变为等边三角形，与边为（2，4，4）、（3，3，4）的条件矛盾，排除选项（D）．由（2，4，4）、（3，3，4）为边的三角形是恰有两边相等的三角形．3．D．由S=(1)2n n+，又n、n+1是两个连续的自然数，知n（n+1）的个位数字只能取0，2，6．•所以，S的个位数字只能是0，1，3，5，6，8这六个数字．因此，S的个位数字不能取到的是2，4，7，9．4．B如图1，设S△AOD=x，S△BOC=y，则S四边形ABCD=4+9+x+y≥13+2xy．由49xy=，有xy=36．所以，S四边形ABCD≥13+2xy=13+12=25．故S四边形ABCD的最小值是25．此时，AB∥DC，即四边形ABCD是梯形．5．A．由│a-b│=1，知a-b=1或a-b=-1；由│b+c│=1，知b+c=1或b+c=-1；由│a+c│=2，知a+c=2或a+c=-2．这样，可以得到23=8个三元一次方程组：（1）a-b=1，b+c=1，a+c=2；（2）a-b=1，b+c=1，a+c=-2；（3）a-b=1，b+c=-1，a+c=2；（4）a-b=1，b+c=-1，a+c=-2；（5）a-b=-1，b+c=1，a+c=2；（6）a-b=-1，b+c=1，a+c=-2；（7）a-b=-1，b+c=-1，a+c=2；（8）a-b=-1，b+c=-1，a+c=-2．对于（2）～（7），将前两个方程相加得到的a+c的值与后一个方程不同，所以，不会出现这六种情况．对于（1），有a=2-c，b=1-c，所以，a+b+2c=3．对于（8），有a=-2-c，b=-1-c，所以，a+b+2c=-3．故│a+b+2c│=3．二、1．1．由勾股定理知AD2+CD2=AC2．所以，上面半个大圆的面积等于以AD、CD为直径的两个半圆的面积．同理，下面半个大圆的面积等于以AB、BC为直径的两个半圆的面积．•因此，正方形ABCD的面积等于四个“月形”的总面积．容易计算，大圆的半径OD是1cm．2．85．由2 005依次被99，98，97，…去除，观察所得余数的值变化得2 005=99×20+25=98×20+45=97×20+65=96×20+85=95×21+10=94×21+31=93×21+52=92×21+73=91×22+3=90×22+25=89×22+47=88×22+69=87×23+4=86×23+27=85×23+50．以下的余数不会大于84，故可能得到的最大余数是85．3．18．3a2+4b2-5bc=3（a2+bc）+4（b2-2bc）=3×14+4×（-6）=18．4．6．如图5，连结BD、CE．因为S△BCD=S△ECD=1，所以，BE∥CD．因为S△BAF=S△EAF，所以，BE∥AF．因此，BE∥AF∥CD．同理，CF∥DE∥BA，AD∥FE∥BC．由AD、BE、CF三线共点于O，可知四边形OCDE、四边形OEFA、四边形OABC 都是平行四边形，易知，每个平行四边形的面积都等于2．5．150．因为971 425被12除余1，而971 425=5×5×7×7×13×61，其中被12除余5、余7、余1的质因数各都是两个，由于两个被12除余5（余7）的数的乘积被12除余1，而971 425与若干个1的积仍为971 425，被12除余1，所以，•只能是6个被12除余1的数的乘积为971 425．计算得知：971 425=1×1×1×1×1×971 425，这6个因数之和为1+1+1+1+1+971 425=971 430；971 425=1×1×1×1×13×74 725，这6个因数之和为1+1+1+1+13+74 725=74 742；971 425=1×1×1×13×25×2 989，这6个因数之和为1+1+1+13+25+2 989=3 030．事实上，设a、b都是被12除余1的大于1的自然数，且a≥b，则a≥b>2，易知ab>a×2=a+a>a+b．①根据式①得971 425=13×74 725>13+74 725=13+25×2 989>13+25+2 989=13+25+49×61>13+25+49+61．因为971 425=52×72×13×61=1×1×13×25×49×61，所以，971 425表为6•个被12除余1的自然数，它们和的最小值等于1+1+13+25+49+61=150．三、（1）由a+b+c=0，得a+b=-c，因此，（a+b）3=-c3．于是，有a3+3a2b+3ab2+b3=-c3．故a3+b3+c3=-3ab（a+b）=-3ab（-c）=3abc．（2）．（a bc-+b ca-+c ab-）·ca b-=1+（b ca-+c ab-）·ca b-=1+22cab．同理，（a bc-+b ca-+c ab-）·ab c-=1+22abc．（a bc-+b ca-+c ab-）·bc a-=1+22bac故（a bc-+b ca-+c ab-）（ca b-+ab c-+bc a-）=1+22cab+1+22abc+1+22bac=3+3332()a b cabc++=3+23abcabc⨯=9．四、在△ABC中，由∠BAC=∠BCA=44°，得AB=BC，∠ABC=92°．如图6，作BD⊥AC于点D，延长CM交BD于点O，连结OA，则有∠OAC=∠MCA=30°，∠BAO=∠BAC-∠OAC=44°-30°=14°．∠OAM=∠OAC-∠MAC=30°-16°=14°．所以，∠BAO=∠MAO．又∠AOD=90°-∠OAD=90°-30°=60°=∠COD，所以，∠AOM=120°=∠AOB．又AO=AO，因此，△ABO≌△AMO．故OB=OM．由于∠BOM=120°，从而，∠OMB=∠OBM=1802BOM︒-∠=30°．所以，∠BMC=180°-∠OMB=150°．五、如果17个数的末位数字0，1，2，3，4每个都有，可选出5•个数的末位数字恰分别为0，1，2，3，4，则这5个数之和的末位数字为0，其和被5整除．如果17个数的末位数字不是0，1，2，3，4每个都有，则最多只有4•种不同的末位数字．这时，根据轴屉原理，这17个数中至少有5个数的末位数字一样．于是，这5•个数之和被5整除．。
1983年北京市中学生数学竞赛初二年级试题
1983年北京市中学生数学竞赛初二年级试题一、选择题:1．3.14159、0.131131113、-π这四个实数中无理数的个数是（ ）（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 3 （E ） 42．A 、b 是实数，下面五个命题中正确的是（ ）（A ）若a>b, 则a 2>b 2 （B ）若|a|>b,则a 2>b 2 （C ）若a>|b|,则a 2>b2 （D ）若a 2>b 2,则a>b （E ）若 a ≠b 则a 2≠b2 3． 一个数等于它的倒数的4倍，这个数一定是（ ）（A ） 2 （B ） 1 （C ）12（D ） -2 （E ）以上答案都不对 4． 多项式2x 4-3x 3+ax 2+7x+b 能被x 2+x-2整除，则a b 的值是（ ） （A ） -2 （B ） -12 （C ） 6 （D ） 4 （E ） 35．若则(c-b)[(a-b)2+(a-b)(a-c)+(a-c)2]的值是（ ） （A ） 1 （B ） -5 （C ） 9 （D ） 15 （E ）以上答案都不对6．等腰ΔABC 中一腰上的高长为1，这个高与底边的夹角为45°，则ΔABC 的面积是（ ）（A ） 1 （B ） 0.5 （C ） 0.25 （D ）E ）以上答案都不对7． 两个质数p 、q 恰是整系数方程x 2-99x+m=0的两个根，则p q q p+的值是 （A ） 9413 （B ）9413194 （C ）941399（D ）941397（E ）以上答案都不对8．若a>b>c>0, 1l =2l = 3l =,则乘积l 1l 2, l 2l 3, l 3l 1, l 22, l 32中，最小的一个是（A ）l 1l 2 （B ）l 2l 3, （C ）l 3l 1 (D ）l 22 （E ）l 329．方程 x 2-3|x|-2=0的最小一个根的负倒数是（A ） -1 （B ） 12- （C （D （E 10．某次数学测验共有十道选择题，评分办法是：每一题答对得4分，答错得-1分，不答得0分。
2018年北京市中学生数学竞赛初二试题(含答案)
2018年北京市中学生数学竞赛初二试题(含答案)2，3，4，5，6，7，8，9中的一个，且这些自然数的和为2018．请问这个学生写出的这17个自然数中，最小的数是多少？（请给出详细解题过程）解：设这17个自然数分别为a1,a2,…,a17，则有：a1+a2+…+a17=2018由于每个自然数的个位数码只能是1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一个，所以每个自然数的个位数字之和一定是45，即这17个自然数的个位数字之和为765．设b1,b2,…,b17分别为这17个自然数的十位数字，则有：b1+b2+…+b17=765由于每个自然数的十位数字也只能是1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一个，所以每个自然数的十位数字之和一定是45，即这17个自然数的十位数字之和为765．设c1,c2,…,c17分别为这17个自然数的百位数字，则有：c1+c2+…+c17=765由于每个自然数的百位数字也只能是1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一个，所以每个自然数的百位数字之和一定是45，即这17个自然数的百位数字之和为765．由此可得，这17个自然数中最小的数为100+10+1=111．一、1.A在1到100这100个自然数中，有25个质数，分别是2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97.因此，质数在这100个自然数中所占的百分比是25%。
2.C将10分拆成三个正整数之和，共有8种情况：1+1+8、1+2+7、1+3+6、1+4+5、2+2+6、2+3+5、2+4+4、3+3+4.根据“三角形两边之和大于第三边”的原则，只有（2，4，4）和（3，3，4）两组可以构成三角形。
由于等腰三角形的两个底角都是锐角，因此以2、4、4为边的等边三角形中，最小边2对的顶角也是锐角。
以3、3、4为边的等腰三角形中，由3的平方加3的平方大于4的平方可知顶角也是锐角。
北京市中学生数学竞赛初二年级竞赛试题
2009年北京市中学生数学竞赛初二年级竞赛试题一、选择题（满分25分，每小题只有一个正确答案，答对得5分）1.当16m时，代数式2221539933m m mm m mm m 的值是（）A.－1B.12C.12D.12.一个正八边形中最长的对角线等于a ，最短的对角线等b ，则这个正八边形的面积为（）A.22a bB. 22a b C.a b D.ab 3.11111161111161621212626313136的值是（）.A.118B.136C.133D.1664.若n 是正整数，记1×2×3×…×n=n!，比如1！=1，4！=1×2×3×4=24，等等，若M=1!×2！×3！×4！×5！×6！×7！×8！×9！，则M 的约数中是完全平方数的共有（）A.504个B.672个C.864个D.936个5.将2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示方法有（）A.16种B.14种C.12种D.10种二、填空题（满分35分，每小题7分）1.2245.113.945.113.931.2的值等于.2.平行四边形ABCD 中，AD=a ，CD=b ，过点B 分别作AD 边上的高a h 和CD 边上的高b h ，已知a h a ，b h b ，对角线AC=20厘米，平行四边形ABCD 的面积为平方厘米.3.已知01a ，并且1232829183030303030aaaaa，则10a 等于.（其中x 表示不超过x 的最大整数）4.已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的外角度数之比为α∶β∶γ（α，β，γ均为正数），则∠A ∶∠B ∶∠C 等于.（用含α，β，γ的式子之比表示）5.当12x 时，经化简2121x x xx 等于.三、（满分10分）。
北京市中学生数学竞赛初二年级竞赛试题
一、 〔 分 25 分，每小 只有一个正确答案，答 得5 分〕1.当 m1，代数式21 5m m 9 mm 3的 是〔〕6 m 2 9 m 2 m 3 m 3A. －1B.1C.1222.一个正八 形中最 的 角 等于a ，最短的 角 等b ， 个正八 形的面 〔〕A. a 2 b 2B. a 2b 2C.abD. ab3. 111 1 16 11 26 26 1 1的 是〔 〕.6 11 16 2121 31 31 36A.1B.1C.1D.1183633664.假定 n 是正整数， 1×2×3×⋯× n=n! ，比方 1！=1，4！=1×2×3×4=24，等等，假定 M=1! ×2！×3！×4！×5！×6！×7！×8！×9！，M 的 数中是完整平方数的共有〔 〕A.504 个B.672 个C.864 个D.936 个5.将 2021 表示成两个整数的平方差的形式， 不一样的表示方法有〔〕A.16 种B.14 种C.12 种种二、填空 〔 分 35 分，每小 7 分〕1.213.9 213.9 的 等于.2.平行四 形 ABCD 中，AD= a ，CD=b ， 点 B 分 作 AD 上的高h a 和 CD 上的高 h b ， h a a ， h b b ， 角 AC=20厘米，平行四 形 ABCD的面 平方厘米 .3. 0 a 11232829，而且a a a a a18 ，3030303030那么10a等于.〔此中x表示不超出 x 的最大整数〕4.△ ABC 中，∠A，∠B，∠C 的外角度数之比为α∶β∶γ〔α，β，γ均为正数〕，那么∠ A ∶∠ B∶∠ C 等于〔.用含α，β，γ的式子之比表示〕5.当1x 2 时，经化简x 2 x 1x 2 x 1 等于.三、〔总分值 10 分〕a b c 0 ，a2b2c21.（1〕求ab bc ca的值（2〕求a4b4c4的值四、〔总分值 15 分〕以下列图，六边形ABCDEF 中， AB=BC=CD=DE=EF=FA ，而且∠ A+ ∠C+∠E=∠B＋∠ D＋∠ F，求证∠ A＝∠ D，∠ B=∠E，∠ C=∠ F.五、〔总分值 15 分〕BCA DF E〔1〕证明：由 2021 个 1 和随意个 0 构成的自然数不是完整平方数；〔2〕试说明，存在最左侧 2021 位都是 1 的形如1111的自然数2021个1〔此中 * 代表阿拉伯数码〕是完整平方数.。
北京市初二数学竞赛学生版
【题 9】△ABC 中，∠BAC=45°，∠ABC=60°，高线 AD 与 BE 相交于 H，若 AB=1，求四边形 CDHE 的面 积_________．
x
一点，则 OP 的最小值是（ ）
A.1
B. 2
C. 3
D.2
O
B M
Ax
【题 4】已知 a 555555 ，则 a 除以 84 所得余数是（ ）
2016个5
A.0
B.21
C.42
D.63
【题 5】一张三角形纸片的长为 1 的边仅与一个边长为 1 的正 12 边形纸片的一条边重合，平放在桌面上， 则所得到的凸多边形的边数一定不是（ ）
A.11
B.12
C.13
D.14
【题 6】已知 24 t2 8 t2 2 ，求 24 t2 8 t2 的值为_______．
【题 7】正数 a，b，c 使得等式 a2 a 1 b2 b 1 c2 c 1 a a 1 bb 1 c c 1 成立，试确定
1956a2 1986b2 2016c2 的值为________．
A C1 C2
B2 B1
B A1 A2 C
【题 13】一个自然数 n 若能表示为若干个正整数的和，且这些正整数的倒数和也恰等于 1，则称 n 为“金 猴数”，比如 2 4 8 8 22 且 1 1 1 1 1 ，22 就是一个“金猴数” 2488
（1）证明：11 与 28 是两个“金猴数”； （2）证明：如果 n 是“金猴数”，则 2n 2 、 2n 9 也是“金猴数”； （3）请你判定：2016 也是“金猴数”．
北京市初二数学竞赛 学生版
2016年北京市中学生数学竞赛（初二）试题【题1】如图所示,用16张不同的直角三角形纸片拼成一个海螺的图形，直角的位置、长为1的线段都已经标出，则与这海螺图形周长最接近的整数值是（）A .19B .20C .21D .22【题2】命题甲：△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 边的中点，则∠ABC +∠CAD =90°，命题乙：直角△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，则∠ABC +∠CAD =90°，那么这两个命题中（）A .甲真，乙假B .甲假，乙真C .甲真，乙真【题3】如图，反比例函数ky x=()0x >的图像过面积等于4的长方形OABC 的对角线OB 的中点，P 为ky x=()0x >的图像上任意一点，则OP 的最小值是（）A .1B C D .2【题4】已知20165555555a = 个，则a 除以84所得余数是（）A .0B .21C .42D .63【题5】一张三角形纸片的长为1的边仅与一个边长为1的正12边形纸片的一条边重合，平放在桌面上，则所得到的凸多边形的边数一定不是（）A .11B .12C .13D .14【题6】2=的值为_______．【题7】正数a ，b ，c 使得等式()()()()()()222111111a a b b c c a a b b c c -+-+-=-+-+-成立，试确定222195619862016a b c ++的值为________．【题8】某单位发年终奖100万元，其中一等奖每人1.5万元，二等奖每人1万元，三等奖每人0.5万元，如果三等奖与一等奖人数之差不少于93人，但小于96人，求该单位获奖的总人数为____________．yOC【题9】△ABC 中，∠BAC =45°，∠ABC =60°，高线AD 与BE 相交于H ，若AB =1，求四边形CDHE 的面积_________．【题10】如果正整数x ，y 满足等式22842016x x y ++=，求32x y +的值__________．【题11】已知正整数a ，b ，c ，d 满足ab cd =，求证：2016201620162016a b c d +++是合数．【题12】△ABC 是正三角形，在BC 上取点1A ，2A ，在CA 上取点1B ，2B ，在AB 上取点1C ，2C ，使得凸六边形121212A A B B C C 的边长都相等，如图所示，求证：直线12A B ，12B C ，12C A 相交于．A 1A 2B 1B 2C 2C 1CBA【题13】一个自然数n若能表示为若干个正整数的和，且这些正整数的倒数和也恰等于1，则称n为“金猴数”，比如248822+++=且111112488+++=，22就是一个“金猴数”（1）证明：11与28是两个“金猴数”；（2）证明：如果n是“金猴数”，则22n+、29n+也是“金猴数”；（3）请你判定：2016也是“金猴数”．。
北京市初二数学竞赛初赛试题(1992)
初二初赛试题一、选择题(每小题6分，满分36分．)1．已知α是等边三角形的一个内角，β是顶角为30°的等腰三角形的一个底角，γ是等腰直角三角形的一个底角．则( )． (A)α<β<γ (B)γ<α<β (C)β<α<γ (D)α<γ<β2．(-2)4的平方根是( )．(A)-4 (B)±4 (C)2 (D)±2 3．下面有四个命题：①两个三角形有两边及一角对应相等，则这两个三角形全等； ②两个三角形有两角及一边对应相等，则这两个三角形全等； ③两个三角形的三条边分别对应相等，则这两个三角形全等； ④两个三角形的三个角分别对应相等，则这两个三角形全等． 其中真命题是( )．(A)②，③ (B)①，③ (C)③，④ (D)②，④ -4．若P 是两位的正整数，则可能成立的等式是( )，(A)x 2+px+2001＝(x-29)(x-69)(B)x 2+px+2001＝(x-23)(x-87)(C)x 2+px+2001＝(x+23)(x+87)(D)x 2+px+2001＝(x+29)(x+69)5．下面列举的平行四边形的判定条件中，不正确的一个是 ( )。
(A)两组对边分别相等 (B)两组对角分别相等(C)一组对边平行，一组对角相等 (D)一组对边平行，另一组对边相等6．在1 500年以前，我国古代伟大数学家祖冲之计算出圆周率π的七位小数值是3.1415926<π<3.1415927，并取113355为密率，722为约率，则，113355、π、722之间的正确关系是( )． (A) 722< 113355<π (B) 113355<π<722(C)π<113355<722 (D) 722<π<113355二、填空题(每小题8分，满分64分．)1．p 是负整数，且2001+P 是一个完全平方数，则P 的最大值为 2.如图，四边形ABCD 是正方形，△CDE 是正三角形，则∠AEB 的度数为3，若a 、b 都是正整数，且143a+500b ＝2001,则a+b 的值是 4．若有理数x ，y ，z 满足x +1-y +2-z =21(x+y+z)，则(x-yz)3的值为5.如图，将边长为12厘米的正方形ABCD 折叠，使得A 点落在边CD上的E 点，然后压平得折痕FG ，若GF的长为13厘米，则线段CE 的长为 . 6． 化简后=+++++++722-17562-15422-13302-11202-9122-762-522-37.将1～2001这2001个自然数依次写成一行，组成一个新的自然数，新的自然数除以9的余数为8．已知实数x ，y 满足方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=++6y x 232y xy x 22则|x+y+1|的值是参考答案1.B2.B3.A4.D5.D6.C1.-652.30°3. 94.-1255.76. 27. 68.3+22001年北京市初二年级数学竞赛复赛一、填空题(满分40分，每小题8分) 1．已知有理数x 满足方程200111x x 20011=--，则29x 2001x 43+-= 2．如图所示，正方形ABCD 的面积是64 cm 2，正方形CEFG 的面积是36 cm 2，DF 与BG 相交于点O ，则△DBO的面积等于 cm 2．3．已知a 2+b 2=6ab 且a>b>0，则ba ba -+= 4．化简表达式43333 |17160a 131a |17160a 131a 6 `⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--+-+,所得的结果等于 ． 5．在边长为1cm 的正△ABC 中，P 0为BC 边上一点，作P 0 P 1⊥CA 于点 P 1，作P 1P 2⊥AB 于点P 2，作P 2P 3⊥BC 于点P 3．如果点P 3恰与点P 0重合，则△P 1P 2P 3的面积是 cm 2．二、(15分)证明恒等式：a 4+b 4+(a+b)4=2(a 2+ab+b 2)2．三、(15分)在六张纸片的正面分别写上整数l 、2、3、4、5、6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1～6这六个整数，然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出六个数．请你证明：所得的六个数中至少有两个是相同的四、(15分)如图所示，在等腰△ABC 中，延长边AB 到点D ，延长边CA 到点E ，连结DE ，恰有AD=BC=CE=DE ．求证：∠BAC=100° 五、(15分)l 与0交替排列，组成下面形成的一串数101，10101，1010101，101010101…… 请你回答，在这串数中有多少个质数?并请证明你的论断．2002年北京市初二数学竞赛初赛一、选择题(满分36分)1．计算8008160061400413003120021-+-+( ) A ．60061 B ．70073- c 80085 D ．90097-2．2002年8月，将在北京召开国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，则a 3+b 4的值等于( )． A ．35 B ．43 C ．89 D ．973．若20022002………200215(n 个2002)被15整除，则n 的最小值等于( )． A ．2 15．5 C ．4 D ．54．两个边长为3，4，5的直角三角形纸片，可以拼成n 种不同的凸四边形，则n 的值等于( )． A ．6 B ．5 C4 D ．35．已知三角形三个内角的度数都是质数，则这三个内角中必定有一个内角等于( )． A ．2度 15．3度 C ．5度D ．7度6．a 4+4分解因式的结果是( )．A ．(a 2+2a －2)(a 2—2a+2)B ．(a 2+2a--2)(a 2－2a －2)C ．(a 2+2a+2)(a 2—2a －2)D ．(a 2+2a+2)(a 2—2a+2) 二、填空题(满分64分，每小题8分) 1．计算：(1＋3 )2002—2(1+3)200l－2(1+3)20002．如图所示，AC=10，BC=l7，CD⊥AB 于点D ，CD=8，求△ABC 的面积．3．实数a ，b 满足ab≠O，且使得ba b a b b a a +++=+++111，求a+b 的值． 4．在梯形ABCD 中，下底BC=10 cm ，腰CD=5．5 cm ，如果∠ABC=50°，∠ADC=100°，求上底AD 的长．5．已知实数x ，y,z 满足1=+++++y x z x z y z y x ，求．yx z x z y z y x +++++222的值． 6．如图所示，P 是边长为8的正方形ABCD 形外一点，PB=PC ，△PBD 的面积等于48，求△PBC 的面积．7．正数m ，n 满足m+4mn －2m －4n +4n=3，求2002282++-+n m n m 的值．8．一个正整数除以5，7，9及11的余数依次是1，2，3，4．求满足上述条件的最小的正整数．2002年北京市初二数学竞赛初赛 一、选择题1．C 2．B 3．B 4．C 5．A 6．D 二、填空题1．0 2．84 3．-2 4．4．5 5．0 6．32 7．4011-8．1731 2002年北京市中学生数学竞赛复赛一、填空题(满分40分，每小题8分)1．已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=O ，则(x-y-z)2002= ．2．如图所示，A 在线段BG 上，四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形，面积分别为7 cm 2和11 cm 2，则三角形CDE 的面积等于 cm 2． 3．化简：3232-++== ．4．如图所示，四边形ABCD 是正方形，E 为BF 上一点，四边形AEFC 恰是一个菱形，则∠EAB= ．5．有6个学生，每人拥有的书中没有相同的，但每两个人都恰好有一本相同的书，每本书也恰好两个学生拥有，则这6个学生共有不同的书 本． 二、(满分15分)已知abc≠0，证明：四个数,)(,)(,)(,)(3333abcc b a abc b a c abc a c b abc c b a ------++中至少有一个不小于6．三、(满分15分)如图所示，△ABC 是正三角形，△A 1B 1 C 1的三条边A 1B 1、B l C 1、C 1 A 1交△ABC 各边分别于C 2、C 3，A 2、A 3，B 2、B 3．已知A 2C 3=C 2B 3=B 2 A 3，且C 2C 32+B 2B 32=A 2A 32。
2008年北京市中学生数学竞赛初二年级试题解答
2008年北京市中学生数学竞赛初二年级试题一、选择题（满分25分，每小题只有一个正确答案，答对得5分）1．自然数a b c d ，，，满足222211111a b c d +++=，则34561111a b c d +++等于（ ）A ．18B ．316C ．732D ．1564【解析】 由题意，满足条件的自然数只可能有一种情况2a b c d ====，∴34561111111115816326464a b c d +++=+++=，选D ．2．如右图所示，ABCD 是一张长方形纸片，将AD BC 、折起，使A B 、两点重合于CD 边上的点P ，然后压平得折痕EF 与GH ．若8cm PE =，6cm PG =，10cm EG =，则长方形纸片ABCD 的面积为（ ） A ．2105.6(cm) B ．2110.4(cm) C ．2115.2(cm)D ．2124.8(cm)【解析】 由题意可知：24AB AE EG GB PE EG PG =++=++=，且PEG △是Rt △，∴245PE PG BC EG ⋅==，∴()22457624115.2cm 55ABCD S AB BC =⋅=⨯==，选C ．3的结果是（ ）．A ．1BC ．2D ．4【解析】 原式2===，选C ．4．ABC △所在平面上的点P ，使得ABP △、BCP △和ACP △的面积相等，这样的点P 的个数是 （ ） A ．8 B ．4 C ．3 D ．1 【解析】 在ABC △内，重心是满足条件的点；在ABC △外，与A B C 、、三点构成平行四边形的点P 也满足条件，这样的点有3个．那么，这样的P 点共有4个，选B ．5．在直角坐标系中，设点(12)A --，，(41)(0)()B C m D n n -，，，，，为四边形的四个顶点，当四边形ABCD 的周长最短时，mn 的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．12- D ．1【解析】 作点A 关于直线y x =的对称点A'，作点B 关于x 轴的对称点B'，连接A'B'分别与直线y x =和x 轴交于点D C 、，此时四边形ABCD 的周长最短．A'点的坐标为()21--，，B'点的坐标为()41，， 则直线A'B'的解析式为1133y x =-，D C PH GF ED CBA与直线y x =的交点D 的坐标为1122⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，与x 轴的交点C 的坐标为()10，， ∴122m n ==--，选A ．二、填空题（满分35分，每小题7分，将答案写在下面相应的空格中）1．如右图所示，过原点的直线与反比例函数7y x=-的图像交于点A 和C ，自点A 和点C 作x 轴的垂线，垂足分别为B 和D ，则四边形ABCD 的面积等于____________.【解析】 由正比例函数及反比例函数的对称性可知：A C 、两点关于原点对称，则ABCD 是一个平行四边形，∴4ABCD COD S S =△，而72COD S =△，∴14ABCD S =．2．方程组3322181x y z x y z +=-⎧⎨+=-⎩的正整数解（x y z ，，）为________________． 【解析】 ∵x y z 、、都是正整数，∴23x y +≥，则4z ≥．解法一：÷②①得22421x xy y z -+=+③，①变形为21z x y =++代入③得2242220x xy y x y -+---=④， 将④整理为关于y 的方程得()22214220y x y x x -++--=，()()22214422x x x ∆=+---≥0，化简整理得24430x x --≤，解得1322x -≤≤，又x 是正整数，∴1x =，此时3y =，代入①得6z =．∴方程组的正整数解为()136，，． 解法二：÷②①得22421x xy y z -+=+③， 2①得2224421x xy y z z ++=-+④，④-③得263xy z z =-，即2123xy z z =-，则2x y 、可以作为关于t 的方程()221103t z t z z --+-=的两个正整数根，()2211403z z z ⎛⎫∆=--- ⎪⎝⎭≥，即212103z z -++≥，整理得2630z z --≤，解得33z -+≤ ∵4z ≥，∴456z =，，． 又方程有两个正整数根，则∆是完全平方数，∴6z =， 从而223x y ==，，即136x y z ===，，， ∴方程组的正整数解为()136，，．3．在ABC △中，70CAB ∠=︒，CAB ∠的平分线与ACB ∠的平分线相交于I ，若AC A I B C +=，则AC B∠等于_______________度．【解析】 如图，在BC 上截取CD AC =，连接ID IB 、，容易证明()SAS CDI CAI △≌△，同时1352CDI CAI CAB ∠=∠=∠=︒，∵AC AI BC +=，∴BD ID =， ∵I 是内心，BI 平分ABC ∠， ∴ID AB ∥，∴35ABC IDC ∠=∠=︒， ∴180703575ACB ∠=︒-︒-︒=︒．4．已知222222222212233410031004100410051223341003100410041005A +++++=+++++⨯⨯⨯⨯⨯，则A 的整数部分是_______． 【解析】 由22a b b aab a b+=+，可将A 化为2132435410051004++++++1223344510041005A =++++ (10041004)=21004+=200810051005⨯， ∴A 的整数部分是2008．5．凸五边形ABCDE 中，270BAE AED ∠+∠=︒，90BCD ∠=︒， 312AB BC ==，，54CD DE ==，，8AE =． 则五边形ABCDE 的面积等于_____________．【解析】 如图所示，连接BD ，延长BA DE 、相交于F ．由题意可知90F ∠=︒，13BD =， 设AF x EF y ==，，∴()()22226434169x y x y ⎧+=⎪⎨+++=⎪⎩，解得245325x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴11243212432512342255255ABCDE BCD BDF AEF S S S S ⎛⎫⎛⎫=+-=⨯⨯+⨯+⨯+-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△△3040.5615.3655.2=+-=．三、（满分10分）已知x y z u y z u z u x u x y x y z ===++++++++，求x y y z z u u xz u u x x y y z+++++++++++的值．【解析】 由x y z ux y z z u x u x y x y z===++++++++，则x y z u x y z u x y z u x y z uy z u z u x u x y x y z++++++++++++===++++++++．①如果分子0x y z u +++≠，则由分母推得x y z u ===． 此时11114x y y z z u u xz u u x x y y z +++++++=+++=++++． ②如果分子0x y z u +++=， 则()()x y z u y z u x +=-++=-+，，IDCBA843125F ED C B A此时(1)(1)(1)(1)4x y y z z u u xz u u x x y y z+++++++=-+-+-+-=-++++． 四、（满分15分）如图，在六边形ABCDEF 中，AB DE DC EF CD FA AB DE BC EF +=+，，，，∥∥∥ 1111A D B E =，1111A B D E 、、、分别是AB BC DE EF 、、、的中点．求证：CDE AFE ∠=∠．E 1D 1B 1A 1PM N O FED CB A【解析】 作ABPF ，连接DP ，取PD 的中点M ，BCDP 是梯形，连接11B M E M 、，由梯形中位线定理，知1B M CD BP AF ∥∥∥，1ME DE FP AB ∥∥∥，且122BP CD AF CD B M ++==，122PF DE AB DE E M ++==，122PF DE AF DEE M ++==． 同理，作BCDO ，连接OF 的中点N ，连接11A N D N ，，则由梯形中位线定理，知1A N AF BO CD ∥∥∥，1ND EF OD BC ∥∥∥，且122AF BO AF CD A N ++==，1222EF OD EF BC AB DED N +++===． 在11B ME △与11A ND △中，1111B M A N E M D M ==，， 又因为1111A D B E =，所以1111B ME A ND △≌△ 因此1111B ME A ND ∠=∠，所以CDE AFE ∠=∠．五、（满分15分）求证：⑴ 一个自然数的平方被7除的余数只能是0，1，4，2．⑵ 对任意的正整数n，不被7整除．其中[]x 表示不超过x 的最大整数． 【解析】 ⑴ 设自然数7m q r =+（0123456r =，，，，，，），则2222(7)4914m q r q qr r =+=++．由于2r 只能取0，1，4，2，2，4，1．因此，一个自然数的平方被7除的余数只能是0，1，4，2． ⑵ 由于22(2)(4)(6)(6)(68)n n n n n n n n +++=+++，(123)n =，，，令26k n n =+，则22(2)(4)(6)(6)(68)(8)n n n n n n n n k k +++=+++=+，其中7k ≥． 由于222698816k k k k k k ++<+<++，所以222(3)8(4)k k k k +<+<+．即3k =+．也就是22363(3)6k n n n =+=++=+-．如果被7整除，必须只需2(3)n +被7除余6，然而一个自然数的平方被7除的余数只能为0，1，4和2中的一个， 因此对任意的正整数2(3)6n n +-，不能被7整除，也就是不能被7整除．。
2020.7.12 北京初二数学竞赛答案(1)
北京初二数学测试答案时间：8：30-10：30不定项选择，每题5分，多选，漏选，不选，选错均不得分。
1已知xyz =1，2232232233111y x zx y x z x y z y x y z x z y z ++=+++++++++，xy +yz +zx =1.则222x y z ++的值为（）.A.5B.6C.7D.8【解答】C 22322311()()x x x y x z x x y x z x xyz x y x z ==++++++++,故2232222231()()()2()321x xxxxx y x z x x y y z z x x y xyzxy x xyz xyzx ====+++++++⋅-+-∑∑∑∑∑∑∑∑∑，那么3x =∑，所以22=)-2=9-2=7xx xy ∑∑∑（.2关于x 的方程22(3)(2)0ax a x a +-+-=至少有一个整数解，且a 是整数，则下列关于a 的说法正确的是（）．A.a 的值有两个B.a 的值有三个C.a 均是偶数D.a 均是正数【解答】BC （1）当0a =时，13x =-不符合题意．（2）当0a ≠时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式24(3)4(2)4(94)a a a a ∆=---=-为完全平方数，故94a -是完全平方数，令294a n -=，n 是正奇数，且3n ≠否则0a =∴294n a -=由求根公式得：1,222(2)234(3)1129a n n n x a a n --±±±==-+=-+-、1413x n =-++，2413x n=-+-要使1x 为整数，而n 是正奇数，只能1n =，从而2a =要使2x 为整数，n 可取1,5,7，从而2,4,10a =--综上：2,4,10a =--.故选BC.3已知x 、y 、z 为实数，323232333333x x x y y y y z z z z x⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，则xyz 的值可能为（）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【答案】CD4已知关于x 的不等式组255332x t x t x +⎧->⎪⎪⎨+⎪->⎪⎩恰有三个整数根，则t 的取值范围是（）．A．3423t -≤<-B．12372t -≤<-C．12877t -≤<-D．4837t -≤<-【答案】A 【难度】★★★【知识板块】不等式【解析】原不等式组解集为35322t x t +<<-，由于解集中恰有三个整数，故()3232542t t ⎛⎫<--+< ⎪⎝⎭，解得12877t -<<-，所以右端点374532,77t ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，即32t -在(]5,6或()6,7，对应的，三个整根必为5,4,3或6,5,4，（1）若三个整根恰为5,4,3，则5326t <-≤、32532t ≤+<，解得3423t -≤<-；（2）若三个整根恰为6,5,4，则6327t <-≤、33542t ≤+<，解得t ∈∅；综上，符合条件的t 的取值范围为3423t -≤<-．【备注】容易猜答案，只需代入端点尝试即可5如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边BC 、CD 上的点，连接AE 、AF ，与对角线BD分别交于点G 和点H ，连接EH ．则下列结论中正确的是（）A ．若222BG HD GH +=，则45EAF ∠=︒B ．若BE DF EF +=，则45EAF ∠=︒C ．若AH ⊥EH ，则45EAF ∠=︒D ．若E 、F 分别为边BC 、CD 的中点，则45EAF ∠=︒【答案】ABC6如图，在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的图形．注意到当a 的取值发生变化时，原直角三角形的形状会发生变化，则下列说法中正确的是（）A ．无论a 为何值，原直角三角形的斜边长都可能为B ．当a 变化时，原直角三角形最多有两种情形（大小，形状或位置不同均算不同情形）C ．当3a =时，原直角三角形的面积为18或12D ．当a 变化时，原直角三角形的面积并没有最大值【解答】CDA ：如图，当点A 为原直角三角形斜边中点时，斜边长为不过，此种情况要求4a <，当4a ≥时，此种情况不存在B ：如图：当2a =时，原直角三角形有4种情形，△111A BC 、△222A B C 、△333A B C 、△444A B C （矩形1243C C C C 为剪去后剩下的图形）C ：如图所示，当3a =时的两种情况，此时，原直角三角形面积分别为12（左图）和18（右图）a<<，此时原直角三D：如左图，当A为原直角三角形斜边中点时，知a的取值范围为04a>，此角形面积固定为12；如右图，当B为原直角三角形斜边中点时，a的取值范围为1时原直角三角形面积为6a，并无最大值7如图，直角△ABC中，90Ð=°，D为斜边BCBACD为D关于直线AC的对称点．将△ABC的中点，'绕点'D 旋转，使得点A 落在点C 处，此时，点B 落在点F 处，点C 落在点E 处，连接AE 、AF ，G 、H 分别为EF 、AF 的中点，连接DH ．则下列结论中正确的是（）A ．点D 、H 、G 共线B ．△CDG 为等腰直角三角形C ．AE ⊥EFD ．若1AC =，AB2DH =【解答】ACD如图，倍长AD 至I ，连接FI 、HG 、'AD ，'CD ，'ED 故AI BC EF ==，△ACD ≌△'ACD ≌△'CED ，设DAC α∠=，故''''DCA CAD ACD CED ECD α∠=∠=∠=∠=∠=，故2180902CAE CEA αα∠=∠==︒-︒-，所以9090IAE αα+︒-=︒∠=，即AI ⊥AE ，同理EF ⊥AE ，故C 正确．故AI ∥EF ，则四边形AEFI 为矩形，由三角形中位线的性质知DH ∥IF ，HG ∥AE ∥IF ，故D 、H 、G 三点共线，故A 正确．由三角形斜边上的中线为斜边一半，知1122CG EF BC CD ===，即△CDG 为等腰三角形．由前面的结论知DG ⊥AD ，故()90180229090CDG ADC αα︒-∠=︒-︒-=-︒∠=不为定值，故B 不正确．若1AC =，AB ，则60α=︒，2210ACE α=︒∠=，故AE ==，11222DH IF AE ===，即D 正确8一个直角三角形，一边的长和另一边上的中线分别为4和5（顺序不固定），则这个三角形斜边的长度可能为（）A ．5B ．6C ．8D ．10【解答】ACD如图：若中线为直角边的中线，即点D 为直角边AB 的中点，则①5AC =，4CD =，斜边长为5②5CD =，4BC =，则3BD =，6AB =，斜边长2246213AC =+=如图：若中线为斜边中线，即点D 为斜边AC 的中点③4BD =，AB 或5BC =，则斜边8AC =④5BD =，AB 或4BC =，则斜边10AC =故选择ACD9如图，在ABC D 中，2BC =，1CA =，60ACB Ð=°，△ABD 为正三角形，P 为其中心，则CP 的长度为（）A ．3B ．23C ．7D ．5【解答】A如图，连结PA ，PB ，易知,120A PA P PB B ∠==︒，于是由60ACB ∠=︒知180PAC PBC ∠+∠=︒.将PAC ∆旋转到PBE ∆，易知CPE ∆为顶角为120︒的等腰三角形，故33(12)333PC CE ==+=，故选A.10.如图，矩形ABCD 中，12AB =，25AD =，点E 为边BC 上一点，且13BE =，将矩形沿过点E 的直线折叠，折痕与矩形的另一个交点为F ，若点'B 在矩形ABCD 的边上，则折痕EF 的长可能为（）A ．12B ．13133C ．413D．5【答案】BCD11已知正整数N 的十进制形式包含字符串11235，k 为最小正整数使得10k N >，则()101,101k kN --最小值为（）．A．21B．34C．55D．89【答案】AD 【难度】★★★★★【知识板块】数论、字符串【解析】解答：设()101gcd ,101k k m N -=-，101,k sm N as -==，101ka Nm =-，故am包含字符串11235且(),101a =，（1）100.1123589= ，故89m =满足．（2）若有比89更小的m ，设为a m ''，不妨设0.11235a m '='（否则把a '扩大或缩小10t 倍），所以有5101089a m-'-<'，若差不为0，则差最小为189m '，当89m '<时，5211108989m ->>'，故矛盾．【备注】事实上1089是通过考虑斐波那契数列的母函数211i i i xF x x x ∞==--∑（可由斐波那契通项展开后分部求等比数列之和得到）得到的，由于想令1F 出现在十分位，故令110x =，得210189x x x =--，因为89比100小，所以肯定是最小的12下述k 的取值选项中，满足,2,3,,500000k k k k 的后六位数字均不为000000,111111,222222,,999999 （不足6位前面用0补齐）的是（）．A．888889B．962963C．984127D．989899【答案】ABCD 【难度】★★★★【知识板块】数论、同余【解析】四个k 均与10互质，故不可能有()6mod10x y ≡，使()6mod10kx ky ≡，也就是说满足tk 后六位为000000,111111,222222,,999999 的t 均至多只有一个．（1）()6888889111111mod10k =≡-，故tk 后六位要想是000000,111111,222222,,999999 ，t 模610分别是0,1,2,,9--- ，即0,999999,999998,,999991 ，显然不在1到500000中，成立；（2）（3）（4）同理知成立．【备注】如果学生足够聪明，可能会想到除了显然不成立的都应该是成立的，否则解答中不好说明13关于不定方程223a b c +=的非负整数解，下列说法正确的是（）.A.方程有两组解B.a 、b 、c 均不大于5C.a b c ++的最大值大于15D.以上都不对【解答】B分x 的奇偶性讨论，得()()()3,0,3,0,1,2,4,2,514如果一个正整数各位数字之和与各位数字之积的和恰好等于这个正整数，我们称它为“幸运数”.下列说法正确的是（）.A.所有幸运数之和为530B.这样的幸运数有8个C.没有三位数的幸运数D.以上都不对【答案】C15从1,2,3,,2020 中选取k 对数组(),i i a b （其中i i a b <）使得没有两对数组有公共的元素．假设所有的和i i a b +都互不相同且都不超过2020，则k 的最大值为（）．A．805B．806C．807D．808【答案】C 【难度】★★★【知识板块】组合最值【解析】因为()112212221k k a b a b a b k k k ++++++≥+++=+ ，且()()()()()1122120202019202140412k k a b a b a b k k k ++++++≤+++-=- ，所以()()14041212k k k k -≥+，424041k k +≤-，54039k ≤，807k ≤；又当807k =时，()()()()()()1,1214,2,1215,,403,1616,404,810,405,811,,807,1213 符合要求，故k 最大为807．16.已知正整数,x y 的最大公约数为3，最小公倍数是60，若x y >，则222x y xy-的值可能为（）.A.39940B.940C.3940D.9940【答案】AB17小明试图将1,2,,n 分成为,,A B C 三组，使得每个数均恰好属于其中一组，A 中的数均为奇数，B中的数均为偶数，所有3的倍数均在C中，并且,,A B C三组中所有数之和相等．则当n取下述哪些值时，小明的分法可以实现．（）A．35B．24C．92D．104【答案】AD【难度】★★★★【知识板块】构造与论证【解析】因为B中所有数的和一定为偶数，所以()12n n+必为6的倍数，()8,11mod12n≡；（1）()240mod12n=≡，故不成立．（2）35n=时，每组的和应为35361210 23⨯⋅=，令所有3的倍数构成C，则C中数和为198；令所有非3的倍数的奇数构成A，则A中数的和为216；令所有非3的倍数的偶数构成B，则B中数的和为216．所以，A给C两个数1和5、B给C两个数2和4即可．（3）同理，104n=同样成立．（4）但92n=时，每组的和应为929311426 23⨯⋅=，令所有非3的倍数的奇数构成A，则A中数的和为1441；所以，A需要踢掉和为15的若干个数，由于A中都是奇数，故要踢掉的数一定是奇数个，但{}1,5,7,11,13,17,19,23,,91A= ，一个、三个和均不能为15，五个及以上和显然大于15，故不成立．综上，答案为AD．【备注】容易把92也选上18从1、2、……、1000中至少要选出（）个数，才能保证选出的数中必存在三个不同的数构成一个三角形的三边长.A.15B.16C.17D.18【解答】B最优即为斐波拉契数列前15项19一个正三角形ABC ，每边10等分，过各分点作其他两边的平行线，将原三角形剖分为小的正三角形，下列说法正确的是（）.A.一共产生305个三角形（包括原三角形）.B.一共产生270个菱形C.一共产生90个三角形（包括原三角形）D.以上都不对【解答】A 分头朝上和朝下分别计数()()122+18n n n ⨯+个三角形()()12218n n n ⨯+-个菱形20凸10边形的任意3条对角线不相交于形内一点.下列说法正确的是（）.A.这些对角线产生210个交点.B.这些对角线将凸10边形分成246个区域C.这些对角线被分成了455条小线段D.以上都不对【解答】ABC 4n C 个四边形，每个四边形对应一个交点每个交点贡献4，每个端点贡献7，总共910，每条线段需要两个端点，故455条设i 边形有个n i 个，则34103410421080n n n +++=⨯+ 34101803601440360210+1808n n n +++=⨯⨯ 做差即可得246个区域。
2012年北京市中学生数学竞赛(初二)
2012年北京市中学生数学竞赛（初二）一、选择题（每小题5分，共25分）1． 方程542=-x 的所有根的和为（ ）（A ）－0.5 （B ）4.5 （C ）5 （D ）42．在直角坐标系xOy 中，直线24+=ax y 与两个坐标轴的正半轴形成的三角形的面积等于72，则不在这条直线上的点的坐标是（ ）（A ）（3，12） （B ）（1，20） （C ）（－0.5，26） （D ）（－2.5，32）3．两个正数的算术平均数为32，其乘积的算术平方根为3.则其中的大数比小数大（ ）（A ）4 （B ）32 （C ）6 （D ）334．在△ABC 中，已知M 是AB 的中点，N 是边BC 上一点，且CN ＝2BN ，联结AN 与MC 交于点O ，四边形BMON 的面积为14。
则△ABC 的面积为（ ）（A ）56 （B ）60 （C ）64 （D ）685．当67.1=a ，71.1=b ，46.0=c 时，ab bc ac c ac bc ab b bc ab ac a +--++--++--222121＝（ ）（A ）20 （B ）15 （C ）10 （D ）5.55二、填空题（每小题7分，共35分）1．计算：201220112010200987654321⨯-⨯++⨯-⨯+⨯-⨯ ＝______________.2．由1~10这十个正整数按某次序写成一行，记为1a ，2a ，…，10a ，11a S =，212a a S +=，…，102110a a a S ++=。
则在1S ，2S ，…，10S 中，最多能有__________个质数。
3．在△ABC 中，已知AB ＝12，AC ＝9，BC ＝13，自A 分别作∠C 、∠B 平分线的垂线，垂足为M 、N ，联结MN 。
则ABC AMNS S ∆∆＝____________________。
4．实数x 、y 满足018521222=+-++y y xy x ，则22y x -＝___________________。
1992年北京市初二数学竞赛初赛试题
1992年北京市初二数学竞赛初赛试题一、选择题：1．设x =y =z =x y 、、z 的大小关系是 （ ）A ．x y z ≤≤B ．y z x ≤≤C ．z x y ≤≤D ．z y x ≤≤【解析】 D 0a ≤，于是991992993a a a ≥≥，因此x y z ≥≥．2．凸1992边形的内角中，非锐角的个数至少有（ ）． A ．1988个 B ．1989个 C ．1990个 D ．1991个 【解析】 B ．因为凸n 边形的外角和为360︒，所以为钝角的外角至多有3个，也就是说至多只有3个锐角内角．因此凸1992边形非锐角的内角至少有1989个．3．若12x x 、是方程220x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（ ）． A ．正数B ．负数C ．零D ．不小于0的数【解析】 D ．()22212121222242222x x x x x x k k +-=+--=+-=+．而440k =+△≥，∴1k -≥ ∴22122x x +-≥04．给出以下四个命题：（Ⅰ）若0a b <<，则4a b <-． （Ⅱ）若22a b <，则a b <．(1)a b =-，则0a ≥且1b ≥． （Ⅳ）若22x x +=--，则0x <． 其中正确命题的个数是（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【解析】 B ．只有（I ）（IV ）正确．5．若1x <等于（ ）． A ．1B ．32x -C ．23x -D ．2-【解析】 B 1232x x x =-+-=-．6．设b 取1~11间的偶数，c 取任意正整数，则可以组成有两个不等的实数根的一元二次方程20x bx c ++=的个数是（ ）． A ．50个 B ．55个C ．57个D ．58个【解析】 A ．方程20x bx c ++=有两个不等的实数根即240b c =->△，也即22b c ⎛⎫< ⎪⎝⎭．于是所有形如20x bx c ++=的方程有22222112131415150-+-+-+-+-=个．二、填空题：1．如图，在ABC △中，100ABC ∠=︒，AM AN CN CP ==，，求MNP ∠的度数． ABM NPC【解析】180MNP ANM PNC ∠=︒-∠-∠ ()()11180********A C =︒-︒-∠-︒-∠()12A C =∠+∠ ()11802B =︒-∠ 40=︒2．设x y z 、、都是实数，并且()()2111x a y a a a =-=---，，试求21x y a +++的值等于多少？【解析】 ∵()()210110a a a a -⎧⎪⎨---⎪⎩≥≥，而210a a --<，∴10a -=，1a = 于是0x =，0y =，1a =，212x y a +++=．3．若a b c 、、为非零实数，且0a b c ++=，试求a b b c c a a bb cc a++的值．【解析】 不妨设a b c ≥≥，则由303c a b c a ++=≤≤得0a >，0c <．因此11a b b c c a bb a b bc c a b b++=--=-4．在浓度为%x 的盐水中加入一定数量的水，则变为浓度是20%的新溶液，在此新溶液中再加入与前次所加入的水重量相等的盐，溶液浓度变为30%，求x =？ 【解析】 设第一次加入水和第二次加入盐的相对重量为m ，则20100100301002100xm x m m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，解得x =7023.333≈．5．若x 、y 的值满足方程组3234571103177543897x y x y +=⎧⎨+=⎩，求4224199245x x y y ++=？【解析】 解得2x =，1y =，于是4224199245x x y y ++19921616531893=⨯++=．6．若0m >，0n >，实数a b c d 、、、满足a b c d +++=，2ac bd n ==，试求d a 的值（用m n ，表示）．【解析】7．凸四边形ABCD 中，105ADB ABC ∠=∠=︒，45DAB DCB ∠=∠=︒，若A 点到直线BD 的距离为101，试求线段CD 的长度． 【解析】 ∵30ABD ∠=︒，∴202AB =在ABD △中，sin sin AB BDADB DAB =∠∠； 在BCD △中，sin sin BD CDBCD DBC=∠∠ ∴sin sin AB CD ADB DBC =∠∠，即202sin105sin 75CD =︒︒，∴202CD =．8．立方体的每个面上都写有一个自然数，并且相对的两个面上所写的二数之和都相等，若18的对面写的是质数a ，14的对面写的是质数b ，35的对面写的是质数c ．试求222a b c ab bc ca ++---的值．183514【解析】181435a b c +=+=+， ∴222a b c ab bc ca ++---()()()22212a b b c c a ⎡⎤=-+-+-⎣⎦2221421173732⎡⎤=++=⎣⎦．。
1990年北京市初二数学竞赛初赛试题
1990年北京市初二数学竞赛初赛试题一、选择题（每小题7分，共56分） 1. a 是任意实数，则a a --的值为A. 必大于零B. 必小于零C. 必不大于零D. 必不小于零【解析】 若0a ≥，则0a a a a --=-=；若0a <，则2a a a a a --=--=-≥0，选D ．2. a 表示一个两位数，b 表示一个四位数，把a 放在b 的左边组成一个六位数，那么这个六位数应表示成A. abB. 10000a b +C. 10010000a b +D. 100a b +【解析】a 作为前两位，b 作为后四位，应该写成0000a b +的形式，即为10000a b +，选B ．3. 如图，在ABC △中，42A ∠=︒，B ∠和C ∠的三等分线分别交于D E ，，则BDC ∠的度数是A. 67︒B. 84︒C. 88︒D. 110︒ 【解析】 由“飞镖模型”可知：()13BDC A ABD ACD A ABC ACB ∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠ ()121806033A A A =∠+︒-∠=∠+︒ 24260883=⨯︒+︒=︒，选C ．4. 如图，在ABC △中，P 是AC 上一点，取BP 的中点Q ，过CQ 并延长与AB 交于D ，则ABP △的面积ABP S △与ACD △的面积ACD S △的大小关系是A. ABP ACD S S <△△B. ABP ACD S S =△△C. ABP ACD S S >△△D. 不能确定 【解析】 连接AQ ，记BDQ ADQ BCQ S a S b S c ===△△△，，，则由题意可知 APQ S a b =+△，CPQ S c =△，由“燕尾定理”得a b c bc a++=， ∴1c a b ca b++=>，∴c a >， ∴ABP ACD S S <△△，选A ．5. 设0a b c d >>>>，且X =，YZ =，则X Y Z 、、的大小关系为A. X Z Y <<B. Y Z X <<C. X Y Z <<D. Z Y X << 【解析】22X ab cd ==++22Y ac bd ==++22Zad bc ==++，则()()220X Y ab cd ac bd a d b c -=+--=-->， ()()220Y Z ac bd ad bc a b c d -=+--=-->， ∴2220X Y Z >>>，∴0X Y Z >>>，选D ．6. 在四个实数中，如果任意三个之和都不比另一个小，则下列说法中必定错误的是EDCB AQP DCBAc a+b cb aQP D CBAA. 非零的数不可能只有一个B. 四个数可以都是正数C. 负数有两个D. 如果有零就没有负数【解析】 由题意得a b c d ++≥，a b d c ++≥，a c d b ++≥，b c d a ++≥，则0a b c d +++≥，若这四个数中有两个负数，设为c d ，，则a b c d ++≥， 此时b c d a ++<，不合题意，选C ．7. x y 、只能取A. 2553029464x y ==，B. 3761526855x y ==，C. 1512332477x y ==，D. 2832628614x y ==，【解析】 首先，奇数的平方被8除余1，那么两个奇数的平方和被8除余2，而偶数的平方一定能被4整除，则可以排除B 和C ．其次，一个完全平方数的尾数只可能是0，1，4，5，6，9，而D 中22x y +的尾数为2，也不可能．所以选A ．8. 已知实数a b 、分别满足424230a a--=和4230b b +-=，则代数式4444a b a +的值等于A. 175B. 55C. 13D. 7【解析】 根据题意，222b a -、是关于x 的一元二次方程230x x +-=的两个根，且222b a-≠，∴2221b a-+=-，2223b a -=-，()24422422442224422227a b b b b b a a a a a 2⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=+=+-=-+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选D ．二、填空题（前6个题，每题6分，第7个题8分，共44分）1. =_____________．【解析】 原式()()211111119901990119901==--⨯+．2. 设实数x y 、满足2242420x y x y ++-+=，则22y x +_____________． 【解析】 左边配方得()()221210x y ++-=，∴112x y =-=，，∴221y x +--3. 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形的底边的长为______________．【解析】 设腰长为2x ，底边长为y ，由题意得21221x x x y +=⎧⎨+=⎩或22112x x x y +=⎧⎨+=⎩，解得417x y =⎧⎨=⎩或75x y =⎧⎨=⎩， 检验发现第一组解无法构成三角形，不合题意舍去， 所以，等腰三角形的底边长为5cm ．4._____________．【解析】2，2=10=5+5，而(22=24255<=，<5. 某厂二月份产量比一月份产量提高12.5%，三月份产量比二月份产量提高20%，那么三月份的产量比一月份产量提高的百分数为______________． 【解析】 设一月份的产量为x ，由题意可得二月份的产量为()112.5%x +，三月份的产量为()()27112.5%120%20x x ++=， 则三月份得产量比一月份产量提高了2735%20x x x ⎛⎫-÷= ⎪⎝⎭．6. 如图，AB BC CD ==，AD AE =，DE BE =，则C ∠的度数为_________． 【解析】 设BDE EBD x ∠=∠=，则2AED ADE x ∠=∠=， 在ADE △中，1804A x ∠=︒-， ∴1804C A x ∠=∠=︒-，又1801803CDB ADB x ∠=︒-∠=︒-， 则1803CBD CDB x ∠=∠=︒-，在BCD △中，180C CBD CDB ∠+∠+∠=︒， ∴180418031803180x x x ︒-+︒-+︒-=︒， ∴36x =︒，则180436C x ∠=︒-=︒．7. 如图1，我们规定在边长为1的正方形方格纸上，从格点O 到与它相邻的格点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 的直线运动形成的线段分别记为数码0，1，2，3，4，5，6，7．如以点O 为始点，数码2代表线段OC ，数码7代表线段OH 等等．在图2中画出了从P 点出发，依次按数码001223355的轨线图形.请你在图3的边长为1的正方形方格纸上，从点M 出发，依次按数码006756442312画出相应的轨线图形，___________．图3图2图1【解析】 依题意画轨线图形如图所示：的正方形有5个，边长为2的正方形有3的正方形有4个，边EDCBA长为1个，共有534113+++=个．。
北师大版数学竞赛初二数学模拟试题含答案
学习资料收集于网络，仅供参考初二数学竞赛模拟试题分满分：150时限：120分钟分，每小题均给出了代606分，满分为一、选择题（本题共10个小题，每小题的四个结论，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号DC、号为A、B、填在题后的括号里）33的时，式子时，式子－的值是2006；当x=11.当x=110pxpx?qx?10??qx.值是D.-2026B. –2008C.2026 A. 2008. BCE= 2.如第2题图，AB∥DE，∠ABC=140°，∠DEC=160°，∠°°°C. 20 D. 15A. 30°B. 25AED B AF C D B E C 第题图6题图第5 题图第2. 3. 三角形的边长为整数，其周长为8，这个三角形的形状为 D. 钝角三角形等腰三角形 C. 正三角形A. 直角三角形 B.6小时、3小时、4小时、44.A、B、C、D四同学用五笔打一篇文章分别要用则打完这篇文章需要的时间让他们同时打印，小时才能打完，如果合理分工，.为小时小时 D. 2小时A. 0.5 B. 1小时 C. 1.5，已≌F六个正方形，且CDB、C、D、E、题图5.如第5,图中的矩形被分成A、. 1，则这个矩形的面积为知正方形F的面积为D. 100C. 110 B. 120 A. 143的面积分别为、等腰三角形ABC6题图，设正方形AEFD、长方形EBCD6.如第. 、SS、S，则S、S、S的大小关系为331122=S>S=S D. S=S>SA. S>S B. S<S<S C. S321323312112于ABABC内的一个动点，如PE⊥已知7.如第7题图,P是边长为1的正三角形的值于D，则PD+PE+PF于PF⊥BCF，PD⊥ACE，. 为A231DE D. C. A. 2 B.P222CBF30504054,3,.的大小关系为8. 比较7题图第3050405040304050303050403?435?45?43??53?4??5 A. B.C. D.学习资料．学习资料收集于网络，仅供参考,AO=2OB,试在在直角三角形ABC中9.如第9题图,A ,OAB为等腰三角形上找一点P使△直线AO、BO O B .个点有这样的P9题图第D. 8C. 7 B.6 A. 51分钟才能算煎熟，则10. 一只锅一次能放两只饼子，一只饼子的两面都要各煎煎熟2006只饼子至少需要___________分钟.A. 1003B. 2005C. 2006D. 2007二、填空题（本题共5小题，每小题6分，满分为30分）11．有两组数,第一组数的平均数为13.06,第二组数的平均数为10.2,这两组数的总的平均数是12.02,则第一组与第二组的个数比是.GFE第一组同学到体育室拿了全部蓝球的一半又,12．在上体育课时D第三组拿了剩余的一半个,第二组拿了剩余的一半又半个,C . 个,正好拿完,则原有的蓝球有半又半个B C ∠∠4×4的正方形网格中,∠A+B+ 13．如第13题图,在A. +∠D+∠E+∠F+∠G= 题图第13B点爬到桶内一只蚂蚁欲从圆柱形的桶外A14.如第14题图,D C 点到桶口点去寻找食物.已知A点到桶口的距离AD 为12cm, B则的距离BC为8cm,弧CD若蚂蚁爬最短的路线,的长为15 cm,,B A . 最短路程为第14题图千米的两地出发，相向而行，甲每小时815.甲乙两人同时从相距走3千米，乙每小时走2千米，与甲同时、同地、同向出发的还有一只小狗，它每小时走5千米，狗碰到乙后就回头向甲走去，碰到甲后又回头向乙走去…，这只小狗就这样往返于甲乙两人之间，直到甲乙相遇为止,则这只小狗共走了千米.三、解答题（本题共3小题，每小题20分，共60分）16．计算1111111111111(1??...??)(??...??)?(1??...??)(??...?) 2200520062320062007220062007232006的值.17．在一次象棋比赛中,第一组有八名同学.在循环赛中(即每两名同学都要赛一局),已知比赛中没有出现平局,第一名同学胜a局,输b局;第二名同学胜a局,211222a?...?aa?与;b局…第八名同学胜a.试比较b,局输局输882812222b...??b?b 的大小812学习资料．学习资料收集于网络，仅供参考1?kx(常数k为正整数)的图象与两坐标轴所围成的三角形面18.设一次函数y?k1?? S的值+S+SSS积为求200623+…k,+1学习资料．学习资料收集于网络，仅供参考参考答案一、DCBBADBBDC二、15. 8. 14. 25cm ; 51; 12.7; 13.315°；：11.9111．16三、(6分设),则原式为a1??...??2006211)-( a+)(a-1) (14分a(a-1+) 20072007111122+a-a+(18分=a)=-a+. (20a-a分)200720072007200717．因为没有平局,所以ab=7(1≤k≤8) (5分),且易知比赛中胜的总局数与输kk+a?a?...?ab?b?...?b(9分即),则= ,的总局数相等811822222222)()-(b...?a?b?b?...?aa?821128222222)(??(ab)?...?a?b)(12分)?(ab =821218)?)(a??)(a)a?(ab)(?b?(?bab)...?(?bab)(16分=8112118822820b?()a...??a7?[(a??bb?)]?...?)分.(18821821学习资料．学习资料收集于网络，仅供参考222222从而=.(20分) b?b?b?...a?a??a (828112)11?kx1与x、y．直线轴的交点分别为()和()(4分),18,00?,y1?k1?kk111111(14则S分) )????(?分(6).k2kk?12kk?1所以S+S+S+…+S 20062131003111111???)(1?)?(?)?...?((20分=)分(16).??? 2223200620072007??学习资料．。
2021年北京市中学生数学竞赛初二试题(含答案)
2021年北京市中学生数学竞赛初二试题（含答案）2021年北京市中学生数学竞赛初二试题一、选择题（每小题5分，共25分）1．在1～100这100个自然数中，质数所占的百分比是（）．（A）25% （B）24% （C）23% （D）22%2．一个三角形的三边长都是整数，它的周长等于10，则这个三角形是（）．（A）直角三角形（B）钝角三角形（C）恰有两边相等的三角形（D）恰有一个内角为60°的三角形3．已知n为正整数，S=1+2+…+n．则S的个位数字不能取到的数字是（）．（A）0，1，2，3 （B）3，4，5，6 （C）3，5，6，8 （D）2，4，7，94．如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．S△AOB=4，S△COD=9．则S四边形ABCD的最小值是（）．（A）22 （B）25 （C）28 （D）32（1） (2) (3) 5．如果│a-b│=1，│b+c│=1，│a+c│=2，则│a+b+2c│等于（）．（A）3 （B）2 （C）1 （D）0 二、填空题（每小题7分，共35分）1．如图2，大圆的两条直线AC、BC垂直相交于点O，分别以边AB、BC、CD、DA为直径向大圆外侧作四个半圆，图中四个“月形”阴影的总面积是2cm2．?则大圆的半径等于_______cm．2．2 005被两位的自然数去除，可能得到的最大余数是_______． 3．已知a2+bc=14，b2-2bc=-6．则3a2+4b2-5bc=_________．4．如图3，在凸六边形ABCDEF中，AD、BE、CF三线共点于O，?每相邻三个顶点所组成的三角形的面积都等于1，则S六边形ABCDEF=_______．5．有6个被12除所得余数都相同的自然数，它们的连乘积为971 425．则这6?个自然数之和的最小值是________．三、（15分）已知非零实数a、b、c满足a+b+c=0.求证：（1）a3+b3+c3=3abc；- 1 -（2）（a?bb?cc?acab++）（++）=9.acba?bb?cc?a四、（15分）如图，在△ABC中，∠BAC=∠BCA=44°，M为△ABC形内一点，?使得∠MCA=30°，∠MAC=16°，求∠BMC的度数．- 2 -五、（10分）某学生在黑板上写出了17个自然数，?每个自然数的个位数码只能是0，1，2，3，4这5个数字中的一个．证明：从这17个数中可以选出5个数，?它们的和能被5整除．- 3 -参考答案一、1．A在1～100这100个自然数中，有质数2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97共25个，所以，其中质数所占的百分比是25%． 2．C将10分拆成三个正整数之和，有10=1+1+8=1+2+7=1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+3+5=2+4+4=3+3+4共八种情况．由“三角形两边之和大于第三边”可知，只有（2，4，4），（3，3，4）两组可构成三角形．由于等腰三角形两个底角都是锐角，于是，以2、4、4为边的等边三角形中，最小边2对的顶角也是锐角．以3、3、4为边的等腰三角形中，由32+32>42，?知顶角也是锐角．所以，以2、4、4为边的等腰三角形以及以3、3、4为边的等腰三角形都是锐角三角形，排除选项（A）、（B）?．?又由于等腰三角形中恰有一个内角为60°时变为等边三角形，与边为（2，4，4）、（3，3，4）的条件矛盾，排除选项（D）．由（2，4，4）、（3，3，4）为边的三角形是恰有两边相等的三角形． 3．D．由S=n(n?1)，又n、n+1是两个连续的自然数，知n（n+1）的个位数字只能取0，22，6．?所以，S的个位数字只能是0，1，3，5，6，8这六个数字．因此，S的个位数字不能取到的是2，4，7，9． 4．B如图1，设S△AOD=x，S△BOC=y，则S四边形ABCD=4+9+x+y≥13+2xy．由x4?，有xy=36．所以， 9yS四边形ABCD≥13+2xy=13+12=25．故S四边形ABCD的最小值是25．此时，AB∥DC，即四边形ABCD是梯形．5．A．由│a-b│=1，知a-b=1或a-b=-1；由│b+c│=1，知b+c=1或b+c=-1；由│a+c│=2，知a+c=2或a+c=-2．- 4 -这样，可以得到23=8个三元一次方程组：（1）a-b=1，b+c=1，a+c=2；（2）a-b=1，b+c=1，a+c=-2；（3）a-b=1，b+c=-1，a+c=2；（4）a-b=1，b+c=-1，a+c=-2；（5）a-b=-1，b+c=1，a+c=2；（6）a-b=-1，b+c=1，a+c=-2；（7）a-b=-1，b+c=-1，a+c=2；（8）a-b=-1，b+c=-1，a+c=-2．对于（2）～（7），将前两个方程相加得到的a+c的值与后一个方程不同，所以，不会出现这六种情况．对于（1），有a=2-c，b=1-c，所以， a+b+2c=3．对于（8），有a=-2-c，b=-1-c，所以， a+b+2c=-3．故│a+b+2c│=3．二、1．1．由勾股定理知AD2+CD2=AC2．所以，上面半个大圆的面积等于以AD、CD为直径的两个半圆的面积．同理，下面半个大圆的面积等于以AB、BC为直径的两个半圆的面积．?因此，正方形ABCD的面积等于四个“月形”的总面积．容易计算，大圆的半径OD是1cm． 2．85．由2 005依次被99，98，97，…去除，观察所得余数的值变化得 2005=99×20+25=98×20+45=97×20+65=96×20+85=95×21+10 =94×21+31=93×21+52=92×21+73=91×22+3=90×22+25=89×22+47 =88×22+69=87×23+4=86×23+27 =85×23+50．以下的余数不会大于84，故可能得到的最大余数是85． 3．18．3a2+4b2-5bc=3（a2+bc）+4（b2-2bc）=3×14+4×（-6）=18． 4．6．如图5，连结BD、CE．因为S△BCD=S△ECD=1，所以，BE∥CD．因为S△BAF=S△EAF，所以，BE∥AF．因此，BE∥AF∥CD．同理，CF∥DE∥BA，AD∥FE∥BC．- 5 -感谢您的阅读，祝您生活愉快。
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2003年北京市初二数学竞赛试题
初 赛
一、选择题(满分36分)
1．2003+2003×2003-2003÷2003的值是
(A)4065 (B)2003 (C)4014011 (D)8014017
2．如图1，在由单位正方形组成的网格图中标出了AB ，CD ，EF ，GH 四条
线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是
(A)CD ，EF ，GH (B)AB ，CD ，EF
(C)AB ，CD ，GH (D)AB ，EF ，GH
3．已知a c c b y b a x -=-=-1，则x+y 的值等于 (A)0 (B)一1 (C)1 (D)0．5
4．平面内的7条直线任两条都相交，交点数最多有a 个，最少有b 个.则a+b 等于
(A)42 (B)41 (C)21 (D)22
5．已知a-b=5且c-b=10，则a 2+b 2+c 2-ab —bc —ca 等于
(A)105 (B)100 (C)75 (D)50
6．存在这样的有理数a ，b ，c 满足a ＜b ＜c ，使得分式
+-+-c b b a 11a
c -1的值等于 (A)-2003 (B)0
(C)2003 (D)2003- 二、填空题(满分64分)
1．大、中、小三个正整数，大数与中数之和等于2003，中数减小数之差等于l000．试确定这三个正整数的和．
2．在△ABC 中，AB=BC ，高线AD=2
1BC ，AE 为∠BAC 的平分线，确定∠EAD 的度数。
3．已知a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7是彼此互不相等的正整数，它们的和等于159，求其中最小数a 1的最大值．
4．四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB+CD=12，AD+BC=8，M 为∠A 的平分线和∠B 的平分线的交点，N 为∠C 的平分线和∠D 的平分线的交点，求MN 的长．
5.若x,y 是实数，且,44642
2y x y xy x m --+-=确定m 的最小值．
6．如图2，四边形ABCD 中，AB=BC=CD ，,150,90 =∠=∠BCD ABC 求BAD
∠的度数．
7．兄弟二人养了一群羊．当每只羊的价钱(以元为单位)的数值恰等于这群羊的只数时，将这群羊全部卖出．兄弟二人平分卖羊得来的钱；哥哥先取l0元，弟弟再取l0元；这样依次
反复进行．最后，哥哥先取10元，弟弟再取不足l0元．这时哥哥将自己的一顶草帽给了弟弟，兄弟二人所得的钱数相等．问这顶草帽值多少钱?
8．已知a ，b 均为正数，且a+b=2，求1422+++=b a u 的最小值． 复 赛
一、填空题(满分40分)
1. 若,)12(01223344555a x a x a x a x a x a x +++++=-则=+42a a 。
2．在△ABC 中，M 是AC 边的中点，P 为AM 上一点，过P 作PK ∥AB 交BM 于X ，交BC 于K ．若PX=2，XK=3，则AB= ．
3．a ，b ，c 是非负实数，并且满足3a+2b+c=5，2a+b —3c=1，设m=3a+b-7c ，记x 为m 的最小值，y 为m 的最大值，则xy= ．
4．在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，===
AC AD AB ,6,226，则∠ABC= 。
5．已知,16,2,1222=++=++=z y x z y x xyz 则++z xy 21=+++y
zx x yz 2121 二、(满分l5分)如果正数a ，b ，c 满足a+c=2b ．求证：
⋅+=+++a c c b b a 211
三、(满分l5分)一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等．试确定这个直角三角形三边的长．
四、(满分l5分)以△ABC 的三边为边向形外分别作正方形ABDE ，CAFG ，BCHK ，
连接EF ，GH ，KD ，如图3．求证：以EF ，GH ，KD 为边可以构成一个三角形，
并且所构成的三角形的面积等于△ABC 面积的3倍．
五、(满分l5分)13位小运动员，他们着装的运动服号码分别是l ～13号．问：
这13名运动员能否站成一个圆圈，使得任意相邻的两名运动员号码数之差的绝对值都不小于3且不大于5如果能，试举一例；如果不能，请说明理由．。