考点33 立体几何中的综合问题-2018版典型高考数学试题解读与变式(原卷版)

考点33：立体几何中的综合问题

【考纲要求】

1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.

2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 【命题规律】

立体几何综合问题是高考的热点问题，选择、填空、解答题都有可能进行考查.预计2018年的高考对本知识的考查空间向量的应用，仍然是以简单几何体为载体．【典型高考试题变式】

（一）构造函数在导数问题中的应用

例1.【2015广东卷（理）】若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ） A.至多等于3 B.至多等于4 C.等于5 D.大于5

【变式1】【改编例题条件】【2018届湖北省武汉市部分学校新高三起点调研】设点M 是棱长为2的正方体

1111

ABCD A B C D −的棱AD 的中点，点P 在面

11

BCC B 所在的平面内，若平面

1D PM

分别与平面ABCD 和

平面

11

BCC B 所成的锐二面角相等，则点P 到点

1

C 的最短距离是（ ）

A. 255

B. 2

2 C. 1 D. 63

【变式2】【改编例题条件和问法】【2017届湖北武汉市蔡甸区汉阳一中高三第三次模拟】如图，直三棱柱

111

ABC A B C −中，

12

AA =， 1AB BC ==， 90ABC ∠=︒，外接球的球心为O ，点E 是侧棱1BB

上

的一个动点.有下列判断： ① 直线AC 与直线1C E

是异面直线；②

1A E

一定不垂直

1

AC ；

③ 三棱锥1E AA O

−的体积为定值； ④

1

AE EC +的最小值为22.

其中正确的个数是

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4 （二）立体几何中的体积问题

例2.【2014江西卷（理）】如图，四棱锥ABCD P −中，ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD . （1）求证：;PD AB ⊥

（2）若

,2

,

2,90===∠PC PB BPC

问AB 为何值时，四棱锥ABCD P −的体积最大？并求此时平面PBC 与平面DPC 夹角的余弦值.

【变式1】【改编例题的条件】【2018届湖北省部分重点中学高三上学期第一次联考】如图（1）所示，已知四边形SBCD 是由Rt SAB ∆和直角梯形ABCD 拼接而成的，其中90SAB SDC ∠=∠=︒.且点A 为线段

SD 的中点， 21AD DC ==， 2AB =.现将SAB ∆沿AB 进行翻折，使得二面角S AB C −−的大小为

90°，得到图形如图（2）所示，连接SC ，点,E F 分别在线段,SB SC 上.

（Ⅰ）证明： BD AF ⊥；

（Ⅱ）若三棱锥B AEC −的体积为四棱锥S ABCD −体积的2

5，求点E 到平面ABCD 的距离.

【变式2】【改编例题的条件，依据函数零点个数证明不等式】【2018届安徽省合肥市高三调研性检测】如

图，多面体ABCDEF 中， //,AD BC AB AD ⊥, FA ⊥平面,//ABCD FA DE ，且

222AB AD AF BC DE =====.

（Ⅰ）M 为线段EF 中点，求证： //CM 平面ABF ； （Ⅱ）求多面体ABCDEF 的体积.

【数学思想】 分类讨论思想

1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．

2.分类讨论思想的常见类型

⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的；

⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；

⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的. 【处理立体几何问题注意点】

用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a ∥b ，只需证明向量a ＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外． 【典例试题演练】

1．【2018届云南省昆明一中高三第二次月考】正三棱锥S ABC −中，若三条侧棱两两垂直，且3SA =，则正三棱锥S ABC −的高为（ ） A.

2 B. 2 C.

3 D. 3

2．【2017年浙江省源清中学9月高三上学期第一次月考】如图，矩形ADFE ，矩形CDFG ，正方形ABCD 两两垂直，且2AB =，若线段DE 上存在点P 使得GP BP ⊥，则边CG 长度的最小值为（ ）

A. 4

B. 43

C.

D. 23

3．【2017届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考】在棱长为2的正方体1111

ABCD A B C D −中任取

一点M ，则满足90AMB ∠>︒的概率为（ ）

A. 24π

B. 12π

C. 8π

D. 6π

4．【2017届湖南省长沙市雅礼中学高考模拟】如图，动点P 在正方体1111

ABCD A B C D −的对角线

1

BD 上.

过点P 作垂直于平面

11BB D D

的直线，与正方体表面相交于,M N .设,BP x MN y ==，则函数

()y f x =的图象大致是（ ）

A. B. C. D.