江苏省沭阳县2020届高三下学期联考数学试题

2019～2020学年度第二学期高三年级5月联考

数学参考答案

参考公式：1.方差公式：221

1()n

i i s x x n ==-∑； 2.球的体积公式：343

V R =π，R 是球的半径． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．

． 1． {}1,2 2． 52 3． 6 4． 5

14 5． 65 6．

7． 4- 8． 2 9． 94 10． 31 11．

(

12．

13． 22(2)(1)5x y -+-= 14．

[1]

二、解答题：本大题共6小题，15-17题每题14分，18-20题每题16分，共计90分．请在答题卡．．．指定区域内作答．．．．．．．

，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．

证明：（1）因为AD BC P ,2BC AD =，E 为BC 的中点.，

所以AD BE P ，所以四边形ADEB 是平行四边形，

所以AB DE P …………3分

又因为AB ⊄平面DEF ,DE ⊂平面DEF

所以AB P 平面DEF . …………6分

（2）因为平面PAB ⊥平面ABCD

平面PAB I 平面ABCD AB =

AB BC ⊥ ,BC ⊂平面ABCD

所以BC ⊥平面PAB . …………8分

因为PB ⊂平面PAB .

所以BC PB ⊥ …………10分

因为,E F 分别为,BC PC 的中点，

所以EF PB P ， 所以BC EF ⊥

因为AB DE P ，BC AB ⊥

所以BC DE ⊥ …………12分

因为DE ⊂平面DEF ,EF ⊂平面DEF ,DE EF E =I

所以BC ⊥平面DEF . …………14分

16．

解：（1）在ADC ∆中，由余弦定理得

4

1222)6(222cos 222222=⨯⨯-+=⋅-+=∠CD AD AC CD AD ADC …………2分 所以415411cos 1sin 2

2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∠-=∠ADC ADC …………4分 因为4

6cos =∠BCD ，BCD ∠是三角形BCD 的内角， 所以410461cos 1sin 2

2=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=∠-=∠BCD BCD …………6分 所以)sin(sin BCD ADC B ∠-∠=∠

BCD ADC BCD ADC ∠∠-∠∠=sin cos cos sin

4104146415⨯-⨯=

8

10= …………8分 （2）在BCD ∆中，由正弦定理得BDC

BC B CD BCD BD ∠=∠=∠sin sin sin …………10分 48

10

4102sin sin =⨯=∠∠=B BCD CD BD 628

10

4152sin sin =⨯=∠∠=B BDC CD BC …………12分 所以2

153********sin 21=⨯⨯⨯=∠⋅⋅=∆B BC AB S ABC ． …………14分 注：其它方法酌情给分！

17．

解：（1）由题意知(0,]4

π∈θ， …………2分 8sin EF =θ，

8cos EH =+θ， …………4分

则()8sin (8cos S EF EH =⨯=+θθθ，

即()32sin (2cos S =θθθ，(0,]4

π∈θ． …………6分 （2

）()32[cos (2cos sin (2sin )]S '=+-θθθθθ

2232(2cos 2sin )=-+θθθ

232(4cos 2)=-θθ …………8分 因为(0,]4

π∈θ

，所以224cos 42<<θθ≤，1，

所以24cos 20->θθ， …………10分 故当(0,]4

π∈θ时，()0S '>θ恒成立， 所以()S θ在(0,]4

π上单调递增， …………12分 故当4π=

θ

时，max ()()32sin (2cos 64444S S πππ===θ． 答：当θ为

4

π时，矩形EFGH 的面积最大，最大值为64． …………14分 18． 解：（1

）由题设可知2,c a e a ===

c =，故1b =，因此2, 1.a b == 所以椭圆C 的方程为2

2 1.4

x y += …………3分 （2）设()()()()1122,022,,,,P m m A x y B x y -≤≤

①若1k =，则直线l 的方程为.y x m =-

联立直线l 与椭圆C 的方程，即2214

y x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y ，化简得2252104

x mx m -+-=， …………5分 所以()21212418,.55

m m x x x x -+== 又

12|||AB x x -=7分 点O

到直线l 的距离d =

所以()225122|||| 1.2552

OAB m m S AB d m ∆+-=⨯⨯=⨯= 当且仅当252

m =

，即m =时，OAB S △取得最大值1. …………9分 ②设直线l 的方程为()y k x m =-.

将直线与椭圆的方程联立，即()2214

y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，化简得()()22222148410,k x mk x k m +-+-= …………11分 所以()222

121222

418,1414k m mk x x x x k k -+==++. 所以()()()222222*********||||4

PA PB x m y x m y x x +=-++-+=+-()212222m x x m +++ =()()()

()2422222862148814m k k k k k --+++++， …………14分

因为22||||PA PB +的值与点P 的位置无关，即上式取值与m 无关，

故有428620k k --+=，解得12

k =±． …………16分 19．

解：（1）当0a =时，ln ()x f x x =，则2

1ln ()x f x x -'=， 在1x =处的切点为(1,0)，切线斜率为(1)1f '=，

所以函数()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-. …………3分

（2）因为ln 21()()22x x a f x a a R x x

+=+-+∈. 所以()f x 的定义域为(0,)+∞； 22

2ln 23()x x a f x x -++'=， 又因为函数()f x 在定义域上为单递增函数， 所以22

2ln 23()0x x a f x x -++'=≥在0x >时恒成立， 即22ln 230x x a -++≥在0x >时恒成立， …………6分

设2()2ln 23(0)g x x x a x =-++>， 则222()x g x x -'=，