结构力学第三章资料
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结构力学第三章静定结构受力分析
MA
0, FP
l 2
YB
l
0,YB
FP 2
()
Fy
0,YA
YB
0,YA
YB
Fp 2
()
例2: 求图示刚架的约束力 q
C
A
ql
l
l
l
B
A
ql
ql
C
XC
YC
FNAB
解:
Fy 0,YC 0
MA
0, ql
l 2
XC
l
0,
XC
1 2
ql()
弹性变形，而附属部分上的荷载可使其自身和基本部分均产生内力和 弹性变形。因此，多跨静定梁的内力计算顺序也可根据作用于结构上 的荷载的传力路线来决定。
40k N
80k N·m
20k N/m
AB
CD
EF
G
H
2m 2m 2m 1m 2m 2m 1m
4m
2m
50构造关系图 40k N
C 20 A B 50
Fy 0,YA YB 2ql 0,YA ql() 3)取AB为隔离体
2)取AC为隔离体
Fy 0, YC YA ql 0
Fx 0, XB X A ql / 2()
l MC 0, X A l ql 2 YB l 0, X A ql / 2()
A
B
C D E FG
1m 1m 2m 2m 1m 1m
A C D E FG B
13 17
26 8
7 15 23 30
结构力学第三章
极 值
有尖角
(尖角突出方 向同Fy指向)
有突变
(突变值 为MO)
为 零
注：
• (１)在铰结处一侧截面上如无集中力偶 作用，M＝０。 • 在铰结处一侧截面上如有集中力偶作用， 则该截面弯矩＝此外力偶值。
• (２)自由端处如无集中力偶作用，则该 端弯矩为零。 • 自由端处如有集中力偶作用，则该端弯 矩＝此外力偶值。
FQBA
B
FQBE
D E FP3=1kN
FxA =3kN FyA =3kN
A
MA=15kN· m
（2）、作弯矩图:
• • • • • • • • 求各杆杆端弯矩: 5 1 CB段: MCB=0 MBC=1kN· (左侧受拉) 1.25 m BE段: MEB=0 MBE= - 4kN· m(上侧受拉) BA段: MBA=5kN· (左侧受拉) m MAB=15kN· m(左侧受拉) 15
一系列简支梁的M图
21.25kN· m
静定多跨梁与相应的多个简支梁弯矩图的比较 后，可以看到：在多跨静定梁中弯矩分布要均匀一 些。这是由于多跨静定梁中设置了带伸臂梁的基本 部分。这样，一方面减小了附属部分的跨度，另一 方面，在基本部分的支座处产生了负弯矩，它使跨 中正弯矩减小。 一般来说，多跨静定梁较相应的多个简支梁， 材料用量可以少一些，但构造要复杂一些。
FP2=4kN
q=0.4kN/m
FP3=1kN
FxA=3kN 先求各杆杆端弯 矩，再用分段叠加法 MA=15kN· m FyA =3kN 作弯矩图。
作隔离体图,如左图:
FP1=1kN FP2=4kN
FP1=1kN
C
MBC
B FQBC
FP2=4kN
结构力学第三章静定结构组合结构及拱
0 FNJ 右 FQJ 右 sin FH cos (7.5) (0.447) 10 0.894
3.35 8.94 12.29kN (压)
二、三较拱的压力线
如果三铰拱某截面D以左(或以右)所有外力的 合力FRD已经确定，则该截面的弯矩、剪力、轴 力可按下式计算：
15kN K右
Fº ＝－2.5kN QK右
0 0 (FH 10kN , FQK左 12.5kN , FQK右 2.5kN )
(sin 0.447, cos 0.894)
0 FQK 左 FQK 左 cos FH sin 12.5 0.894 10 0.447
67.5kN
50
A F C G E
B
30
D
M图
kN.m
求AC杆和BC杆剪力
F
FQAC
y
0, FQAC 7.5kN
22.5kN 7.5 32.5 10kN/m FNAD
FAy
+ _
15
+
7.15 67.5kN 35 FQ图 kN
作业
3-20
§3-6 三铰拱受力分析
拱 (arch)
FN DE 135kN ,
FNDF FN EG =-67.5kN
FAy
D
FCx 135kN , FCy 15kN
FNDA
FNDF
D
FN DA FN EB＝ kN 151
FNDE
2m
F
50kN.m
求AC杆和BC杆弯矩
22.5kN 5kN.m
20kN.m 10kN/m
30kN.m
MD FRD
3.35 8.94 12.29kN (压)
二、三较拱的压力线
如果三铰拱某截面D以左(或以右)所有外力的 合力FRD已经确定，则该截面的弯矩、剪力、轴 力可按下式计算：
15kN K右
Fº ＝－2.5kN QK右
0 0 (FH 10kN , FQK左 12.5kN , FQK右 2.5kN )
(sin 0.447, cos 0.894)
0 FQK 左 FQK 左 cos FH sin 12.5 0.894 10 0.447
67.5kN
50
A F C G E
B
30
D
M图
kN.m
求AC杆和BC杆剪力
F
FQAC
y
0, FQAC 7.5kN
22.5kN 7.5 32.5 10kN/m FNAD
FAy
+ _
15
+
7.15 67.5kN 35 FQ图 kN
作业
3-20
§3-6 三铰拱受力分析
拱 (arch)
FN DE 135kN ,
FNDF FN EG =-67.5kN
FAy
D
FCx 135kN , FCy 15kN
FNDA
FNDF
D
FN DA FN EB＝ kN 151
FNDE
2m
F
50kN.m
求AC杆和BC杆弯矩
22.5kN 5kN.m
20kN.m 10kN/m
30kN.m
MD FRD
结构力学第三章应掌握的知识点
第三章应掌握的知识
建立位移计算公式的关键是什么？如果已知非 建立位移计算公式的关键是什么？ 线性的力-位移（弯矩-曲率，剪力-剪切角， 线性的力-位移（弯矩-曲率，剪力-剪切角， 轴力-伸缩）关系， 轴力-伸缩）关系，如何剪力荷载作用下的位 移计算一般公式？ 移计算一般公式？ 试说明位移计算一般公式的适用条件、各项的 试说明位移计算一般公式的适用条件、 物理意义。 物理意义。 试说明荷载下位移计算一般公式的适用条件、 试说明荷载下位移计算一般公式的适用条件、 各项的物理意义。 各项的物理意义。 图乘法的适用条件是什么？ 图乘法的适用条件是什么？对变截面梁或拱能 否用图乘法？图乘法公式中正负号如何确定？ 否用图乘法？图乘法公式中正负号如何确定？ 图乘法求位移时应注意避免哪些易犯的错误？ 图乘法求位移时应注意避免哪些易犯的错误？ 增加各杆刚度是否一定能减小荷载作用引起的 结构位移？ 结构位移？
第三章应掌握的知识
如何证明功的互等定理？ 如何证明功的互等定理？ 何谓位移互等定理？ 何谓位移互等定理？有人说δij= δji仅是数 值相等，量纲和单位是不等的，对吗？为什么？ 值相等，量纲和单位是不等的，对吗？为什么？ 反力互等定理是否适用于静定结构？ 反力互等定理是否适用于静定结构？这时会得 到什么结果？ 到什么结果？ 位移-反力互等定理是否适用于互等定理是否仅仅是数值相 量纲和单位并不相等？ 等，量纲和单位并不相等？
第三章应掌握的知识
变形体虚位移原理证明的基本思路是什么？ 变形体虚位移原理证明的基本思路是什么？ 变形体虚功原理与刚体虚功原理有何区别和联 系？ 变形体虚功原理证明中何时用到平衡条件？ 变形体虚功原理证明中何时用到平衡条件？何 时用到变形协调条件？ 时用到变形协调条件？ 结构可能产生哪些类型的广义位移？ 结构可能产生哪些类型的广义位移？与其相对 应可能有哪些类型的广义力？ 应可能有哪些类型的广义力？ 为什么线弹性实共有1/2，而虚功没有1/2？ 为什么线弹性实共有1/2，而虚功没有1/2？ 试写出平面应力状态的虚位移原理虚功方程。 试写出平面应力状态的虚位移原理虚功方程。 单位荷载法求位移时，平衡的力状态是什么？ 单位荷载法求位移时，平衡的力状态是什么？ 协调的位移状态是什么？ 协调的位移状态是什么？ 为什么说单位广义力是一个单位1的量？ 为什么说单位广义力是一个单位1的量？
结构力学第3章
D (a)
B C YC A C
Q
q P
D
XD (b) C YC XC XC
q
Q
B YB A YA XA
(c)
刚架指定截面内力计算
与梁的指定截面内力计算方法相同（截面法）.
注意未知内力正负号的规定（未知力先假定为正）
注意结点处有不同截面（强调杆端内力） 注意正确选择隔离体（选外力较少部分）
注意利用结点平衡（用于检验平衡，传递弯矩） 连接两个杆端的刚结点,若结点上无外力偶作用, 则两个杆端的弯矩值相等,方向相反
刚架内力图的绘制
弯矩图
取杆件作隔离体
剪力图
轴力图
取结点作隔离体
静定刚架的内力图绘制方法： 一般先求反力，然后求控 制弯矩，用区段叠加法逐杆 绘制，原则上与静定梁相同。
例一、试作图示刚架的内力图
求反力
(单位：kN . m)
48 192
144 126
12
48 kN
42 kN
22 kN
例一、试作图示刚架的内力图
计算关键
正确区分基本结构和附属结构 熟练掌握单跨静定梁的绘制方法
多跨度梁形式
并列简支梁
多跨静定梁
超静定连续梁
为何采用 多跨静定梁这 种结构型式?
作内力图
例
叠层关系图
先附属，后基本， 先求控制弯矩，再区段叠加
18 10 10
5
12
例
9
12
18
+ 9 9
4
其他段仿 此计算 5
5
2.5 FN 图（kN）
l
q
A
ql2 8 l
B
a m l m A b m l a b l B
B C YC A C
Q
q P
D
XD (b) C YC XC XC
q
Q
B YB A YA XA
(c)
刚架指定截面内力计算
与梁的指定截面内力计算方法相同（截面法）.
注意未知内力正负号的规定（未知力先假定为正）
注意结点处有不同截面（强调杆端内力） 注意正确选择隔离体（选外力较少部分）
注意利用结点平衡（用于检验平衡，传递弯矩） 连接两个杆端的刚结点,若结点上无外力偶作用, 则两个杆端的弯矩值相等,方向相反
刚架内力图的绘制
弯矩图
取杆件作隔离体
剪力图
轴力图
取结点作隔离体
静定刚架的内力图绘制方法： 一般先求反力，然后求控 制弯矩，用区段叠加法逐杆 绘制，原则上与静定梁相同。
例一、试作图示刚架的内力图
求反力
(单位：kN . m)
48 192
144 126
12
48 kN
42 kN
22 kN
例一、试作图示刚架的内力图
计算关键
正确区分基本结构和附属结构 熟练掌握单跨静定梁的绘制方法
多跨度梁形式
并列简支梁
多跨静定梁
超静定连续梁
为何采用 多跨静定梁这 种结构型式?
作内力图
例
叠层关系图
先附属，后基本， 先求控制弯矩，再区段叠加
18 10 10
5
12
例
9
12
18
+ 9 9
4
其他段仿 此计算 5
5
2.5 FN 图（kN）
l
q
A
ql2 8 l
B
a m l m A b m l a b l B
结构力学第三章
第三章 静定结构的内力计算
§3-1 静定结构的一般概念 §3-2 静定平面刚架 §3-3 三铰拱 §3-4 静定桁架 §3-5 静定组合结构 §3-6 静定结构的特性
§3-1 静定结构的一般概念
一、静定结构的定义
定义：一个几何不变的结构，在荷载等因素作用下其结构的全部支座反力 和内力均可由静力平衡条件唯一确定的结构称静定结构
FxA
FxB
Fx
M
0 C
f
（2）支座反力
设拱轴线方程 y f已(x知) 。
任意截面K的内力为：
MK 0
MK
FyAx FP1(x a1) FxA y
M
0 K
FxA y
F 0 FQK FyA cos FP1 cos FxA sin FQ0K cos FxA sin
F 0 FNK FyA sin FP1 sin FxA cos (FQ0K sin FxA cos)
二、静定平面桁架的内力计算
静定平面桁架的内力计算方法：结点法、截面法及两法的联合应用。 1.结点法：
切取结点为隔离体用 Fx 0、求F解y 未0知的轴力。
例 求图示桁架内力
解：（1）支座反力
FyB 24 12 2kN()、FyA 8 2 6kN()、FxA 0
（2）内力（设各杆轴力以拉为正）：
1.支座反力：
FyA
Fy0A
10(16 16
4)
7.5kN
FyB
Fy0B
10 4 16
2.5kN
F A
F B
Fx
M
0 C
f
7.58 10(8 4) 4
5kN
2、内力：集中荷载 F左P 右分段列内力方程。
§3-1 静定结构的一般概念 §3-2 静定平面刚架 §3-3 三铰拱 §3-4 静定桁架 §3-5 静定组合结构 §3-6 静定结构的特性
§3-1 静定结构的一般概念
一、静定结构的定义
定义：一个几何不变的结构，在荷载等因素作用下其结构的全部支座反力 和内力均可由静力平衡条件唯一确定的结构称静定结构
FxA
FxB
Fx
M
0 C
f
（2）支座反力
设拱轴线方程 y f已(x知) 。
任意截面K的内力为：
MK 0
MK
FyAx FP1(x a1) FxA y
M
0 K
FxA y
F 0 FQK FyA cos FP1 cos FxA sin FQ0K cos FxA sin
F 0 FNK FyA sin FP1 sin FxA cos (FQ0K sin FxA cos)
二、静定平面桁架的内力计算
静定平面桁架的内力计算方法：结点法、截面法及两法的联合应用。 1.结点法：
切取结点为隔离体用 Fx 0、求F解y 未0知的轴力。
例 求图示桁架内力
解：（1）支座反力
FyB 24 12 2kN()、FyA 8 2 6kN()、FxA 0
（2）内力（设各杆轴力以拉为正）：
1.支座反力：
FyA
Fy0A
10(16 16
4)
7.5kN
FyB
Fy0B
10 4 16
2.5kN
F A
F B
Fx
M
0 C
f
7.58 10(8 4) 4
5kN
2、内力：集中荷载 F左P 右分段列内力方程。
结构力学 第三章 静定梁和静定平面钢架
２、截面法 若要求某一横截面上的内力，假想用一平面沿杆轴垂直方向将该 截面截开，使结构成两部分；在截开后暴露的截面上用力（内力）代 替原相互的约束。
对于截开后结构的两部分上，截面上的内力已成为外力，因此，
由任一部分的静力平衡条件，均可列出含有截面内力的静力平衡方程。 解该方程即将内力求出。
３、截面内力 截开一根梁式杆件的截面上有三个内力（分量），即：轴力ＦN 、 剪力ＦQ和弯矩Μ 。
dFN/dx=-qx
dFQ/dx=-qy dM/dx=Q
d2M/dx2=-qy
增量关系： DFN=-FPx
DFQ=-FPy
DM=m
１）微分关系及几何意义： dFN/dx=-qx dFQ/dx=-qy dM/dx=Q d2M/dx2=-qy （１）在无荷载区段，ＦQ图为水平直线；
当ＦQ≠０时，Μ图为斜直线;
右右为正。
ＦQ＝截面一侧所有外力在杆轴垂直方向上投影的代数和。左上为正， 右下为正。
Μ ＝截面一侧所有外力对截面形心力矩代数和。弯矩的竖标画在杆
件受拉一侧。
例3-1-1 求图（a）所示简支梁在图示荷载下截面的内力。
解：1）支座反力 ∑ΜA=0 FBy×4﹣10×4×2﹣100× (4/5)×2=0 Fby=60kN (↑) ∑ΜB=0 FAy=60kN (↑) ∑Fx= 0 FAx+100×(3/5)=0 FAx=－60kN (← ) 由 ∑Ｆy= 0 校核，满 足。
(下侧受拉)
区段叠加法求Ｅ、Ｄ截面弯矩； ΜE＝20×42/8＋120/2＝100kNm ΜＤ＝40×4/4＋120/2＝100kNm
(下侧受拉) (下侧受拉)
内力应考虑
说明：集中力或集中力偶作用点，注意对有突变的 分两侧截面分别计算。
结构力学-第三章
M FN FQ M+dM
dx dx
FN+d FN FQ+dFQ
内力图-表示结构上各截面内力值的图形 横坐标--截面位置；纵坐标--内力的值
1.结构力学的截面内力分量及其正负号规定
FN FN
轴力—截面上应力沿杆轴切线方向的 合力，使杆产生伸长变形为正，画轴力图 要注明正负号；
剪力—截面上应力沿杆轴法线方向的
C
25 5 20 25 50 20
F
55
G
85 40 10
H
50
40k N A 25 2m B 2m C 2m 5 50 20 50 40k N D 1m
80k N· m E 2m 2m 1m 55 40 40 20 F
20k N/m G 4m 85 40 10 2m H
M 图（k N· m）
20k N/m
A
2
2
YA
C
YB
XC
YC
B
XB
2)取右部分为隔离体 Fp l M C 0, X B l YB 2 0, X B 4 () Fp Fy 0, YC YB 0, YC YB 2 () Fp Fx 0, X B X C 0, X C 4 ()
分析下列多跨连续梁结构几何构造关系，并确定内力计算顺序。 q F
A B C D E F G H
q F
E C A B D F G H
F A F A B C D E B C D E
q F q F
注意： 从受力和变形方面看：基本部分上的荷载仅能在其自身上产生内力和
弹性变形，而附属部分上的荷载可使其自身和基本部分均产生内力和 弹性变形。因此，多跨静定梁的内力计算顺序也可根据作用于结构上 的荷载的传力路线来决定。
dx dx
FN+d FN FQ+dFQ
内力图-表示结构上各截面内力值的图形 横坐标--截面位置；纵坐标--内力的值
1.结构力学的截面内力分量及其正负号规定
FN FN
轴力—截面上应力沿杆轴切线方向的 合力，使杆产生伸长变形为正，画轴力图 要注明正负号；
剪力—截面上应力沿杆轴法线方向的
C
25 5 20 25 50 20
F
55
G
85 40 10
H
50
40k N A 25 2m B 2m C 2m 5 50 20 50 40k N D 1m
80k N· m E 2m 2m 1m 55 40 40 20 F
20k N/m G 4m 85 40 10 2m H
M 图（k N· m）
20k N/m
A
2
2
YA
C
YB
XC
YC
B
XB
2)取右部分为隔离体 Fp l M C 0, X B l YB 2 0, X B 4 () Fp Fy 0, YC YB 0, YC YB 2 () Fp Fx 0, X B X C 0, X C 4 ()
分析下列多跨连续梁结构几何构造关系，并确定内力计算顺序。 q F
A B C D E F G H
q F
E C A B D F G H
F A F A B C D E B C D E
q F q F
注意： 从受力和变形方面看：基本部分上的荷载仅能在其自身上产生内力和
弹性变形，而附属部分上的荷载可使其自身和基本部分均产生内力和 弹性变形。因此，多跨静定梁的内力计算顺序也可根据作用于结构上 的荷载的传力路线来决定。
结构力学第3章
MA
MB
(b)
Fp
(c)
abFp/l MA MB
(d)
下面把上述叠加法推广应用于直杆的任一区段——区段 区段 下面把上述叠加法推广应用于直杆的任一区段 叠加法。 叠加法。 以图示简支梁的KJ段为例说明区段叠加法应用过程 段为例说明区段叠加法应用过程。 以图示简支梁的 段为例说明区段叠加法应用过程。
q
M CA = M CB = VB × 4 − Fp × 2 = 120 kN.m
1 V A = (F p × 2 + q × 4 × 6 ) = 70kN 8
MC FNC C FQC
图(b) 70
Fp=40kN
B
VB
FQ图(kN)： ：
⊕
x 10
⇓ 50 M图(kN.m)： 图 ：
极值点的弯矩 在剪力图中， 在剪力图中，利用几何关系得
(1)无荷载区段，M图为斜直线，故只需求出该区段任意 无荷载区段， 图为斜直线 无荷载区段 图为斜直线， 两控制截面的弯矩便可绘出； 两控制截面的弯矩便可绘出； (2)均布荷载区段，M图为抛物线且其凸出方向与荷载指 均布荷载区段， 图为抛物线且其凸出方向与荷载指 均布荷载区段 向相同； 向相同； (3)M图的极值点，或在 Q=0处，或在 Q发生变号处； M图的极值点，或在F 处 或在F 发生变号处；
1.1 截面法的基本步骤 (1)将结构沿所求内力的截面，用一假想的平面切开(截)； 将结构沿所求内力的截面，用一假想的平面切开 截 ； 将结构沿所求内力的截面 (2)取其任一部分为研究对象（称隔离体），把丢弃部分对 取其任一部分为研究对象（ ），把丢弃部分对 取其任一部分为研究对象 称隔离体）， 研究的作用用内力代替（ 研究的作用用内力代替（取）； (3)对研究对象应用平衡方程，即可求出指定截面的内力 对研究对象应用平衡方程， 对研究对象应用平衡方程 （列方程求解）。 列方程求解）。 注意：在列方程求内力之前，结构的全部外力（荷载及约 注意：在列方程求内力之前，结构的全部外力（ 束反力）必须为已知或已求出。 束反力）必须为已知或已求出。 1.2 梁的内力正负符号规定 轴力F 拉力为正； 轴力 N——拉力为正； 拉力为正 剪力F 绕隔离体顺时针方向转的为正； 剪力 Q——绕隔离体顺时针方向转的为正； 绕隔离体顺时针方向转的为正 弯矩M——使梁下部纤维受拉的为正。 使梁下部纤维受拉的为正。 弯矩 使梁下部纤维受拉的为正 下面举例说明截面法及其应注意的事项
结构力学第三章-扭转.
对于空心圆截面：
d
I p A 2 dA 2 d
2 D 2 d 2
d
O D
4 4 (D d ) 32 D4 4 (1 ) 32
d ( ) D
④ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
代入物理关系式
d T dx GI p
d 得： G dx
T Ip
T Ip
— 横截面上距圆心为 处任一点切应力计算公式。
4. 公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
第三章
§3–1 概述
扭 转
§3–2 薄壁圆筒的扭转
§3–3 传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
§3–4 等直圆杆扭转时的应力 ·强度条件
§3–5 等直圆杆扭转时的变形 ·刚度条件
§3–6 等直圆杆扭转时的应变能
§3–7 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形
§ 3–1
概 述
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、
石油钻机中的钻杆等。
扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。 B
A
O
A
O B
m
m
工 程 实 例
§ 3–2
薄壁圆筒的扭转
略
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。
切应变（）：直角的改变量。
剪切胡克定律： T=m
剪切胡克定律： 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ ≤τp)， 剪应力与剪应变成正比关系。
《结构力学》第三章 静定结构内力计算(1)
技巧：“求谁不管谁”：不考虑待求未知力，而考虑其
它未知力有什么特点，具体分为下面两种情况：
（a）其余未知力平行，在其垂直方向投影。
（b）其余未知力汇交于一点，对该点取矩。
X 0,X A 0;
1
1
MB
0,YA
l ql
l 2
0,YA
ql 2
Y
0,YA
YB
ql
0,YB
1 2
ql
step2：求指定截面内力 （1）取脱离体：从指定c截面截开梁，取左半脱离体为 研究对象，受力如图所示：
轴力、剪力 符号规定
梁、拱的弯 矩符号通常 假定使下侧 受拉为正
2、杆件任一截面上内力的计算---截面法
沿计算截面用一假想截面将构件切开，任取一侧 脱离体为研究对象，利用脱离体的静力平衡条 件，可建立三个平衡方程：
X 0,Y 0,M 0
由此就可求得杆件任一截面上的内力。
注意：
• 脱离体要与周围的约束全部断开，并用相应的约束力 代替。例如，去掉辊轴支座、铰支座、固定支座时应 分别添加一个、二个以及三个支座反力，等等。
（二）简支结构
通过一铰、一链杆或三根链杆与基础相连的结构。
（三）三铰结构
若结构体系（不含基础）有两个刚片，其与基础 的连接满足三刚片法则，则称该体系为三铰结 构。
（四）组合结构
多次运用几何不变体系的简单组成规则构成的结 构。
2、静定结构内力分析（即绘制内力图） 方法
有三种常用的绘制内力图的方法。
（2）熟记几种常见单跨梁的弯矩图，如悬臂梁、简
支梁等。特别记住简支梁在均布荷载、集中力以及集 中力偶作用下的弯矩图。
（1）
（2） （3）
梁长均为L
结构力学第03章
四个平衡方程就可以求出这四个支座反力。
C q (a) A l /2 l /2 B XA A l /2 YA q (b) l /2 B YB XB C
f
f
MB 0
f YA l q f 0 2 qf 2 YA 2l
qf 2 YB 2l
X 0
X A q f XB 0
(a)
(b)
(c)
刚架结构特点：
（1）内部有效使用空间大； （2）结构整体性好、刚度大；
(d)
(e)
（3）内力分布均匀，受力合理。
常见的静定刚架类型：
悬臂式
简支式
三铰式
组合式
静定刚架支座反力的计算: 刚架分析的步骤一般是先求出支座反力，再求出各杆控制 截面的内力，然后再绘制各杆的弯矩图和刚架的内力图。 在支座反力的计算过程中，应尽可能建立独立方程。
复杂程度和难度。
如右图(a)是一个多
跨刚架，具有四个支座 反力，根据几何组成分 析：Ｃ以右是基本部分、 以左是附属部分，分析 顺序应从附属部分到基 本部分。
q P
D (a)
B C YC A C
Q
q P
D
XD (b) C YC XC XC
q
Q
B YB A YA XA
(c)
刚架中各杆的杆端内力及内力图
8 KN
A B C
4 KN m
D
16 KN m
E F G
1m 1m
2m
2m
1m 1m
FRA 17kN
解:
FRG 7 kN
Step1:求支反力,由梁的整体平衡条件可求出。
M A 0 FRG 8 16 4 4 4 8 1 0 FRA 17 KN Y 0 FRA FRG 8 4 4 0 FRG 7 KN
C q (a) A l /2 l /2 B XA A l /2 YA q (b) l /2 B YB XB C
f
f
MB 0
f YA l q f 0 2 qf 2 YA 2l
qf 2 YB 2l
X 0
X A q f XB 0
(a)
(b)
(c)
刚架结构特点：
（1）内部有效使用空间大； （2）结构整体性好、刚度大；
(d)
(e)
（3）内力分布均匀，受力合理。
常见的静定刚架类型：
悬臂式
简支式
三铰式
组合式
静定刚架支座反力的计算: 刚架分析的步骤一般是先求出支座反力，再求出各杆控制 截面的内力，然后再绘制各杆的弯矩图和刚架的内力图。 在支座反力的计算过程中，应尽可能建立独立方程。
复杂程度和难度。
如右图(a)是一个多
跨刚架，具有四个支座 反力，根据几何组成分 析：Ｃ以右是基本部分、 以左是附属部分，分析 顺序应从附属部分到基 本部分。
q P
D (a)
B C YC A C
Q
q P
D
XD (b) C YC XC XC
q
Q
B YB A YA XA
(c)
刚架中各杆的杆端内力及内力图
8 KN
A B C
4 KN m
D
16 KN m
E F G
1m 1m
2m
2m
1m 1m
FRA 17kN
解:
FRG 7 kN
Step1:求支反力,由梁的整体平衡条件可求出。
M A 0 FRG 8 16 4 4 4 8 1 0 FRA 17 KN Y 0 FRA FRG 8 4 4 0 FRG 7 KN
结构力学第3章静定梁与静定刚架(f)
§3-2 多跨静定梁
例3-4 试作图a所示多跨静定梁的内力图，并求出各支座反力。
解：不算反力 先作弯矩图
1）绘AB、GH段弯矩图，与悬臂梁相同； 2）GE间无外力，弯矩图为直线，MF=0，可绘出； 同理可绘出CE段； 3）BC段弯矩图用叠加法画。
§3-2 多跨静定梁
由弯矩与剪力的微分关系画剪力图
由若干根梁用铰相联，并用若干支座与基础相联而组成的静定结构。
分析多跨静定梁的一般步骤
对如图所示的多跨静定梁，应先从附属部分CE开始分析：将 支座C 的支反力求出后，进行附属部分的内力分析、画内力图， 然后将支座 C 的反力反向加在基本部分AC 的C 端作为荷载，再 进行基本部分的内力分析和画内力图，将两部分的弯矩图和剪力 图分别相连即得整个梁的弯矩图和剪力图 。
弯矩图为直线：其斜率为剪力。图形从基线顺时针转，
剪力为正，反之为负。 弯矩图为曲线：根据杆端平衡条件求剪力，如图c。
剪力图作出后即可求支座反力 取如图e的隔离体可求支座 c— 的反力 弯矩—剪力 支座反力
§3-3 静定平面刚架
常见静定刚架的型式
悬臂刚 架
简支刚 架
三铰刚 架
§3-3 静定平面刚架
R FSR F E SD 8kN
FSR F 12kN
FSR B 0
§3-1 单跨静定梁
用截面法计算 控制截面弯矩。
MC 0
M A 20kN 1m 20kN m
M D 20kN 2m 58kN 1m 18kN m M E 20kN 3m 58kN 2m 30kN 1m 26kN m M F 12kN 2m 16kN m 10kN m 18kN m
结构力学第三章应掌握的知识点
结构力学第三章应掌握的知识点
结构力学是力学的一个分支，研究物体或结构受力时的应力、应变、
变形等问题。
第三章主要介绍了刚体的平衡条件及刚体平衡问题。
下面是
第三章应掌握的知识点：
1.刚体的基本概念：刚体是指在受到外力作用时不发生形变的物体。
刚体的特点是其内部任何两点的相对距离保持不变。
2.刚体的平衡条件：刚体处于平衡状态时，必须满足平衡条件。
平衡
条件包括力的平衡条件和力矩的平衡条件。
3.力的平衡条件：力的平衡条件是指刚体上作用的各个力的合力为零。
力的平衡条件可以用矢量法、法向量法和坐标法等方法求解。
4.力矩的平衡条件：力矩的平衡条件是指刚体上作用的各个力的合力
矩为零。
力矩的平衡条件可以用叉乘法和矢量法求解。
5.等力作用的刚体平衡：当刚体受到等力作用时，刚体处于平衡状态。
6.非等力作用的刚体平衡：当刚体上作用的力不相等或有多个力时，
刚体处于平衡状态。
7.平衡问题的求解：解决平衡问题需要综合运用力平衡条件和力矩平
衡条件，通过列方程、构建力矩方程和代入数值等方法求解。
8.刚体的静定问题：静定问题指在已知外力或力矩的情况下，求解刚
体的平衡条件以及未知力或力矩的问题。
9.刚体结构的应用：刚体结构的应用广泛，包括桥梁、楼房、机械设
备等。
在实际应用中，需要合理设计结构以满足力学平衡和稳定的要求。
总之，第三章主要介绍了刚体的平衡条件、力的平衡和力矩平衡的基本概念和方法，并通过实例加深了对概念和方法的理解和运用。
掌握这些知识点对于理解和解决结构力学中的问题非常重要。
结构力学第三章
载荷集度、剪力和弯矩关系：
d 2M (x) dx2
dFQ (x) dx
q( y)
dFQ x q y
dx
dM (x) dx
FQ
(x)
dM 2 (x) dx2
q(y)
微分关系的应用---作FQ 图和 M 图（用于定形）
1)分布力q(y)=0时
（无分布载荷）
——剪力图为一条水平线；
FQ图：
弯矩图为一条斜直线。 M图：
静定多跨梁的分析步骤
(1)结构分析和绘层次图 此梁的组成顺序为先固 定梁AB，再固定梁BD， 最后固定梁DE。由此得 到层次图。
(2)计算各单跨梁的支座反力 计算是根据层次图，将梁拆 成单跨梁（c）进行计算，以 先附属部分后基本部分，按 顺序依次进行，求得各个单 跨梁的支反力。
(3)画弯矩图和剪力图 根据各梁的荷载和支座反力， 依照弯矩图和剪力图的作图规 律，分别画出各个梁的弯矩图 及剪力图，再连成一体，即得 到相应的弯矩图和剪力图。
例：作图示多跨静定梁的内力图，并求出各支座的反力。
1m
4m
4m
4m
1m
作图示多跨静定梁的内力图。
如何 求支座 B反力?
请大家作图示
斜梁内力图。
q
l q
q
3-5b
作
3-6
业
第三章 静定结构受力分析
• §3-1 梁的内力计算回顾
• §3-2 静定多跨梁 (1)刚架的特点和分类
• §3-3 静定刚架 • §3-4 静定桁架 • §3-5 组合结构 • §3-6 三铰拱
3. 弯矩等于截面一边所有外力对截面形心力矩的 代数和。
• 以上结论是解决静定结构内力的关键和规律， 应熟练掌握和应用。
结构力学第3章
29
特殊结点 1、L型结点 2、T型结点 3、X型结点
30
判断零杆
31
32
3-4-2截面法
例3-11 试求图3-44a所示桁架中a、b和c三杆的
内力。
1、求反力
2、求内力
作截面I-I
作截面II-II
∑Fy=80kN－2×40kN+Fyc=0 FNc=Fyc=0
∑FFxNMaa==4﹣﹣= 8110220k3kN.6N×9k6Nm－（4压0k力N）×3m+Fxa×3m = 0 ∑MO=﹣80kN×6m+40kN×9m+Fyb×12m=0 Fyb=10kN FNb=16.67kN
步骤： 1、求支座反力 2、计算各链杆的轴力 3、计算受弯杆件的内力。
37
例3-13 试分析图3-53a所示组合结构的内力。
1、求支座反力：
FFFxyyAAB
= = =
04，0kN(↑)， 20kN(↑)
2、内力 作截面Ⅰ-Ⅰ，取其右部为隔
离体，
Σ1mMC==020kN× 4.5m-FNDE×
得
FNDE = 90kN
2、按外形
（1）平行弦桁架
（2）折弦桁架
（3）三角形桁架
26
桁7
桁架内力计算方法 1、结点法 2、截面法 3、结点法与截面法联合使用
28
结点法
结点1 ∑Fy=0，FN13=－100 kN， ∑Fx=0，FN12=60 kN 结点2 ∑Fx=0， FN24=60 kN， ∑Fy=0， FN23=80 kN。 结点3 ∑Fy=0， FN34=0， ∑Fx=0 ，FN35=－60 kN
40
§3-7 静定结构的一般性质 （1）温度变化、支座位移和制造误差等非荷 载因素不引起静定结构的反力和内力。
特殊结点 1、L型结点 2、T型结点 3、X型结点
30
判断零杆
31
32
3-4-2截面法
例3-11 试求图3-44a所示桁架中a、b和c三杆的
内力。
1、求反力
2、求内力
作截面I-I
作截面II-II
∑Fy=80kN－2×40kN+Fyc=0 FNc=Fyc=0
∑FFxNMaa==4﹣﹣= 8110220k3kN.6N×9k6Nm－（4压0k力N）×3m+Fxa×3m = 0 ∑MO=﹣80kN×6m+40kN×9m+Fyb×12m=0 Fyb=10kN FNb=16.67kN
步骤： 1、求支座反力 2、计算各链杆的轴力 3、计算受弯杆件的内力。
37
例3-13 试分析图3-53a所示组合结构的内力。
1、求支座反力：
FFFxyyAAB
= = =
04，0kN(↑)， 20kN(↑)
2、内力 作截面Ⅰ-Ⅰ，取其右部为隔
离体，
Σ1mMC==020kN× 4.5m-FNDE×
得
FNDE = 90kN
2、按外形
（1）平行弦桁架
（2）折弦桁架
（3）三角形桁架
26
桁7
桁架内力计算方法 1、结点法 2、截面法 3、结点法与截面法联合使用
28
结点法
结点1 ∑Fy=0，FN13=－100 kN， ∑Fx=0，FN12=60 kN 结点2 ∑Fx=0， FN24=60 kN， ∑Fy=0， FN23=80 kN。 结点3 ∑Fy=0， FN34=0， ∑Fx=0 ，FN35=－60 kN
40
§3-7 静定结构的一般性质 （1）温度变化、支座位移和制造误差等非荷 载因素不引起静定结构的反力和内力。
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1.无荷载分布段(q=0),Q图 Pl 为水平线,M图为斜直线. M图
自由端无外力偶
则无弯矩.
Q图
例3-2: 作内力图
铰支端无外力偶 则该截面无弯矩.
M图 Q图
1.无荷载分布段(q=0),Q图为水平线,M图为斜直线.
2.均布荷载段(q=常数),Q图为斜直线,M图为抛物线, 且凸向与荷载指向相同.
5.叠加法作弯矩图
注意:
是竖标相加,不是 图形的简单拼合.
练习:
1 ql2 16
ql2
q
l
q
l
1 ql2 16 ql2
6.分段叠加法作弯矩图
q
1 ql2
A
16
B
C
l/2
l/2
1 ql
8
q
1 ql2 16
q 1 ql2 16
l/2
q 1 ql2 16
l/2
q
1 ql2 16
练习: 分段叠加法作弯矩图
q A
B l
1 ql2 4
C
q
ql
l
l
1 ql 2 l
单跨梁
1.单跨梁支反力 2.截面法求指定截面内力 3.作内力图的基本方法 4.弯矩,剪力,荷载集度之间的微分关系 5.叠加法作弯矩图 6.分段叠加法作弯矩图
第3章
7、斜梁的内力计算
计算斜梁或斜杆的方法仍然是截面法。与水平杆相比，不同点在于斜 梁或斜杆的轴线是倾斜的。计算其轴力和剪力时，应将各力分别向截面的 法向、切向投影。
1 ql
2
2
2
4.弯矩,剪力,荷载集度之间的微分关系
q A
M(x) M dM
B
qdx
x
l
N ( x)
N dN
微分关系: dQ(x) / dx q(x)
Q(x)
Q dQ
截面弯矩dx等于该截面一
dM (x) / dx Q(x) 侧的所有外力对该截面
的力矩之和
d 2M (x) / dx2 q(x)
第3章 静定梁和静定刚架的受力分析
● 本章教学基本要求：灵活运用隔离体平衡法（截面 法）计算指定截面的内力；熟练掌握静定梁和静定平 面刚架内力图的作法；了解空间刚架内力图绘制的方 法。 ● 本章教学内容的重点：绘制静定梁和静定平面刚架 的内力图，这是本课程最重要的基本功之一。
● 本章教学内容的难点：用隔离体平衡法计算任一指 定截面的内力；用区段叠加法绘弯矩图；根据弯矩图 和所受荷载绘出剪力图和轴力图。
ql2/3
ql2sinα/3 C
HAsinα α
ql2cosα/3
NC
D
MC
QC
HA VAsinα
VA VAcosα
第3章
（4）绘制斜梁内力图如下：
§ 3.2 多跨静定梁
基本部分--能独立
1.多跨静定梁的组成 承载的部分。
附属部分--不能独 立承载的部分。
基、附关系层叠图
三种组成形式
A
B
C
D
E
§3-1 单跨静定梁受力分析 1.单跨梁支反力
例.求图示粱支反力
AP X
M
L/2 L/2
解: FX 0 X 0 FY 0 Y P() M A 0 M PL / 2( )
Y
2.截面法求指定截面内力
内力符号规定:
K
弯矩 以使下侧受拉为正
剪力 绕作用截面顺时针转为正
轴力 拉力为正
例:求跨中截面内力
q
B
（1）求支座反力：
解：
C
A
α
D VB
HA
l/3 l/3
l/3
X 0 MB 0 MA 0
HA 0
VA
ql 6
()
VB
ql 6
()
VAΒιβλιοθήκη 校核：Yqj 6qj 6
ql 3
0
第3章
（2）AC段受力图：
（3）AD段受力图：
HAcosα HAsinα
HA VAsinα
VA VAcosα
MC
C
NC
α QC
HAcosα
图有尖点,且指向与荷载相同. 4.集中力偶作用处, M图有突变,且突变量等于力偶
值; Q图无变化.
M图
Q图
例3-4: 作内力图
铰支座有外 力偶,该截面弯矩 等于外力偶.
M图 Q图
无剪力杆的 弯矩为常数.
M图
自由端有外
力偶,弯矩等于外
Q图 力偶
练习: 利用上述关系作弯矩图,剪力图
练习: 利用上述关系作弯矩图,剪力图
q A
FAx
C
l
FAy
解: FAx 0, FAy ql / 2(),
FBy ql / 2()
B
Fx 0, NC 0
FBy
Fy
0, Q C
0
M c 0, M C ql2 / 8
(下侧受拉)
3.作内力图的基本方法 内力方程式:
M M (x) 弯矩方程式
例3-1:作图示粱内力图
q A
ql2 / 2
Q=0的截面为抛 物线的顶点.
ql2 / 2
M图
ql
Q图
例3-3: 作内力图
ql2 / 2
M图 Q图
1.无荷载分布段(q=0),Q图为水平线,M图为斜直线. 2.均布荷载段(q=常数),Q图为斜直线,M图为抛物线,
且凸向与荷载指向相同. 3.集中力作用处,Q图有突变,且突变量等于力值; M
Q Q(x) 剪力方程式 N N(x) 轴力方程式 B 解: FAx 0, FAy ql / 2(),
FAx
l
FAy
M Q
1 ql 2
FBy ql / 2()
FBy Fx 0, N (x) 0
1 ql2 8
Fy
0, Q( x)
1 2
qx
qx
M 0, M (x) 1 qlx qx x
工程中，斜梁和 斜杆是常遇到的，如楼梯梁、刚架中的斜梁等。斜梁 受均布荷载时有两种表示方法： （1）按水平方向分布的形式给出（人群、雪荷载等），用 q 表示。 （2）按沿轴线方向分布方式给出（自重、恒载），用 q’ 表示。
q 与 q’间的转换关系：
qdx qds q q
cos
第3章
[例题] 试绘制图示斜梁内力图。
层次图
(主) A
(次) B
(再次) C
(最次) E D
A
BC
DE
F
A
BC
DE
层次图
(次)
(次)
(主)
(主)
(主)
(次)
(主)
(主)
BC
DE
BC
A
静定结构受力分析
几何特性：无多余联系的几何不变体系 静力特征：仅由静力平衡条件可求全部反力内力 求解一般原则：从几何组成入手，按组成的相反
顺序进行逐步分析即可 本章内容：
静定梁； 静定刚架； 学习中应注意的问题： 多思考,勤动手。本章是后面学习的基础，十分 重要,要熟练掌握！
● 本章内容简介:
3.1 单跨静定梁 3.2 多跨静定梁 3.3 静定平面刚架 *3.4 静定空间刚架
图有尖点,且指向与荷载相同.
M图 Q图
ql2 / 2
M图
A支座的反力 大小为多少, 方向怎样?
Q图
M图
Q图
1.无荷载分布段(q=0),Q图为水平线,M图为斜直线. 2.均布荷载段(q=常数),Q图为斜直线,M图为抛物线,
且凸向与荷载指向相同. 3.集中力作用处,Q图有突变,且突变量等于力值; M