北京市朝阳区2014届高三二模数学(文)试题

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类）2014．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）若全集{},,,U a b c d =，{},A a b =，{}B c =，则集合{}d 等于 （A ）()U AB ð （B ）A B （C ）A B （D ）()U AB ð （2）下列函数中，既是奇函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为（A ） sin y x = （B ）ln y x = （C ）3y x = （D ） 2x y = （3）已知抛物线22x y =,则它的焦点坐标是（A ）1,04⎛⎫⎪⎝⎭ （B ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （C ）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）1,02⎛⎫⎪⎝⎭（4）执行如图所示的程序框图．若输入3a =,则输出i 的值是（A ）2 （B ） 3 （C ） 4 （D ） 5（5）由直线10x y -+=，50x y +-=和10x -=所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为（A ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ （B ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ （C ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩ （D ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩（6）在区间ππ[-,]上随机取一个实数x ，则事件：“cos 0x ≥”的概率为 （A ）14 （B ） 34 （C ）23 （D ）12（7）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若11a d ==，则8n nS a +的最小值为（A ）10 （B ）92 （C ）72 （D）12+ ( 8 )已知平面上点{2200(,)()()16,P x y x x y y ∈-+-=其中}22004x y +=，当0x ，0y 变化时，则满足条件的点P 在平面上所组成图形的面积是(A) 4π (B) 16π ( C) 32π （D ）36π第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.计算12i1i+=- . 10.已知两点()1,1A ，()1,2B -，若12BC BA =，则C 点的坐标是 . 11.圆心在x 轴上，半径长是4，且与直线5x =相切的圆的方程是 ．12.由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是 ；表面积是 ．22俯视图侧视图正视图13.设一列匀速行驶的火车，通过长860m 的隧道时,整个车身都在隧道里的时间是22s .该列车以同样的速度穿过长790m 的铁桥时，从车头上桥，到车尾下桥，共用时33s ，则这列火车的长度为___m .14.在如图所示的棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，作与平面1ACD 平行的截面，则截得的三角形中，面积最大的值是___； 截得的平面图形中，面积最大的值是___.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题满分13分）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A B C ，，的对边.已知a =π3A =.（Ⅰ）若b =C 的大小； （Ⅱ）若2c =，求边b 的长. 16. （本小题满分13分）某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段75,80),80,85),[85,90),[90,95),[95,100][[（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数； （Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．A17. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ． （Ⅰ）若E ，F 分别为PC ，BD 中点，求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥CD ；（Ⅲ）若PA PD AD ==， 求证：平面PAB ⊥平面PCD ． 18.（本小题满分13分）已知函数e ()xa f x x⋅=（a ∈R ,0a ≠）.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处切线的方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，()f x 1≥恒成立，求a 的取值范围. 19.（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l 10mx y ++=与椭圆C 交于,A B 两点，是否存在实数m ，使O A O B O A O B +=-成立？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分13分）已知函数()f x 对任意,x y ∈R 都满足()()()1f x y f x f y +=++，且1()02f =，数列{}n a 满足：()n a f n =，*n ∈N . （Ⅰ）求(0)f 及(1)f 的值; （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅲ）若311()()42n naa nb +=-，试问数列{}n b 是否存在最大项和最小项？若存在，求出最大项和最小项；若不存在，请说明理由.A北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试文史类答案 2014.5三、解答题（满分80分） 15. （本小题满分13分） （Ⅰ）解：由正弦定理sin sin a bA B=，=，解得sin 2B =. 由于B 为三角形内角，b a <，则4B π=，所以3412C ππ5π=π--=. ………6分 （Ⅱ）依题意，222cos 2b c a A bc+-=，即2141224b b +-=.整理得2280b b --=， 又0b >，所以4b =. ………13分另解：由于sin sin a cA C=2sin C =，解得1sin 2C =. 由于a c >,所以π6C =. 由π3A =，得π2B =. 由勾股定理222b c a =+，解得4b =. ………13分16.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意可知，参加社区服务在时间段[90,95)的学生人数为200.0454⨯⨯=（人）， 参加社区服务在时间段[95,100]的学生人数为200.0252⨯⨯=（人）． 所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+26=（人）． ………5分 （Ⅱ）设所选学生的参加服务时间在同一时间段内为事件A ． 由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段,95)[90的学生有4人，记为,,,a b c d ； 参加社区服务在时间段5,100[9]的学生有2人，记为,A B ．从这6人中任意选取2人有,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aA aB bc bd bA bB cd cA cB dA dB AB共15种情况．事件A 包括,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 共7种情况． 所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率7()15P A =．………13分 17. （本小题满分14分） 证明：（Ⅰ）如图，连结AC ．因为底面ABCD 是正方形，所以AC 与BD 互相平分． 又因为F 是BD 中点， 所以F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是PC 中点，F 是AC 中点， 所以EF ∥PA ．又因为EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ． ………4分 （Ⅱ）因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD 平面=ABCD AD ，又CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥面PAD ．A又因为PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥．即PA ⊥CD ． ………9分（Ⅲ）在△PAD 中，因为2PA PD AD ==， 所以PA PD ⊥．由（Ⅱ）可知PA ⊥CD ，且=CD PD D ，所以PA ⊥平面PCD ． 又因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ． ………14分 18. （本小题满分13分）（Ⅰ）22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x ⋅--'==,0x ≠.当1a =时，2e (1)()x x f x x-'=. 依题意(1)0f '=，即在1x =处切线的斜率为0.把1x =代入e ()xf x x=中，得(1)e f =.则曲线()f x 在1x =处切线的方程为e y =. ………………….4分（Ⅱ）函数()f x 的定义域为{}0x x ≠.22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x ⋅--'==.（1）若0a >，当()0f x '>，即1x >时，函数()f x 为增函数；当()0f x '<，即0x <和01x <<时，函数()f x 为减函数. （2）若0a <，当()0f x '>，即0x <和01x <<时，函数()f x 为增函数；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 为减函数.综上所述，0a >时，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞；单调减区间为(),0-∞，()0,1.0a <时, 函数()f x 的单调增区间为(),0-∞，()0,1;单调减区间为()1,+∞.………………….9分（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，要使()f x =e 1xa x⋅≥恒成立，即使e x x a ≥在()0,x ∈+∞时恒成立. 设()e x x g x =，则1()e xxg x -'=.可知在01x <<时，()0g x '>，()g x 为增函数；1x >时，()0g x '<，()g x 为减函数.则max 1()(1)e g x g ==.从而1ea ≥.另解：(1)当0a <时，()e 1a f a =<，所以()f x 1≥不恒成立.(2)当0a >且()0,x ∈+∞时，由（Ⅰ）知，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1.所以函数()f x 的最小值为(1)e f a =，依题意(1)e 1f a =≥，解得1ea ≥. 综上所述，1ea ≥． ………………….13分 19. （本小题满分14分）（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，半焦距为c .依题意1,21.c e a a c ⎧==⎪⎨⎪-=⎩ 解得1c =，2a =，所以2223b a c =-=.所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=. ………………….4分 （Ⅱ）不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-，证明如下：把1y mx =--代入椭圆C:223412x y +=中，整理得22(34)880m x mx ++-=. 由于直线l 恒过椭圆内定点()0,1-，所以判别式0∆>. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则122843m x x m +=-+,122843x x m -⋅=+. 依题意，若||||OA OB OA OB +=-，平方得0OA OB ⋅=. 即12121212(1)(1)0x x y y x x mx mx +=+--⋅--=, 整理得21212(1)()10m x x m x x ++++=，所以2(1)m +2843m -+2281043m m -+=+, 整理得2512m =-，矛盾． 所以不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-. ………………….14分 20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）在()()()1f x y f x f y +=++中，取0x y ==，得(0)1f =-， 在()()()1f x y f x f y +=++中，取12x y ==，得(1)1f =，…………2分 （Ⅱ）在()()()1f x y f x f y +=++中，令x n =，1y =， 得(1)()2f n f n +=+，即12n n a a +-=.所以{}n a 是等差数列，公差为2，又首项1(1)1a f ==，所以21n a n =-,*n ∈N . …………6分 （Ⅲ）数列{}n b 存在最大项和最小项令2111()()22na n t -==，则22111()816256nb t t t =-=--， 显然102t <≤，又因为N n *∈，所以当12t =，即1n =时，{}n b 的最大项为1316b =. 当132t =，即3n =时，{}n b 的最小项为331024b =-. …………13分。