九年级数学相似三角形的性质及应用(教师版)知识点+典型例题+详细答案

相似三角形的性质及应用

【学习目标】

1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；

2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）. 【要点梳理】

要点一、相似三角形的性质

1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.

相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3. 相似三角形周长的比等于相似比

∽

，则

由比例性质可得：

4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方

∽

，则

分别作出

与

的高

和，则

211

22=1122

ABC A B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△

要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 要点二、相似三角形的应用 1.测量高度

测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.

要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：

平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法

2.测量距离

测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.

2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.

要点诠释：

1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;

2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;

3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;

4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．

【典型例题】

类型一、相似三角形的性质

1. △ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.

【答案】

设另两边长是xcm，ycm，且x＜y.

(1)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有，

从而x=cm，y=cm.

(2)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有，

从而x=cm，y=cm.

(3)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有，

从而x=cm，y=cm.

综上所述，△DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm，cm

或cm，cm三种可能.

2.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH接于△ABC中，且长边FG在BC

上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.

【答案】∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，

∴△AEH∽△ABC.

∵AD⊥BC，

∴AD⊥EH，MD=EF.

∵矩形两邻边之比为1：2，

设EF=xcm，则EH=2xcm.

由相似三角形对应高的比等于相似比，得，

∴，

∴，

∴.

∴EF=6cm，EH=12cm.

∴

举一反三

1、如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.

【答案】在和中，

，

.

又∵

∽，相似比为.

的周长为，的面积是.

2、有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.

【答案】设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2.

∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2

且，，

∴，

∴.

3、如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（）

A. 2：5 B．14:25 C．16:25 D. 4:21

【答案】B.

【解析】由已知可得AB=10，AD=BD=5，设AE=BE=x, 则CE=8-x,

在Rt△BCE中，x2-(8-x)2=62,x=,

由△ADE∽△ACB得，

S△BCE：S△BDE=（64-25-25）：25=14:25，所以选B.

4、在锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2,求AC边上的高.

【答案】过点B做BF⊥AC,垂足为点F，

∵AD,CE分别为BC,AB边上的高，

∴∠ADB=∠CEB=90°，

又∵∠B=∠B，

∴Rt△ADB∽Rt△CEB,

∴

,BD AB BD BE

BE CB AB CB

==

即, 且∠B=∠B ， ∴△EBD ∽△CBA,

∴2

21189

BED BCA

DE AC S S

⎛⎫

=== ⎪

⎝⎭△△, ∴

1

3

DE AC =, 又∵DE=2， ∴AC=6， ∴

1

1862

ABC AC BF S =

⋅=∴△，BF=. 5、已知：如图，在△ABC 与△CAD 中，DA ∥BC ，CD 与AB 相交于E 点，

且AE ︰EB=1︰2，EF ∥BC 交AC 于F 点，△ADE 的面积为1，求△BCE 和△AEF 的面积．

【答案】∵DA ∥BC ， ∴△ADE ∽△BCE ．

∴S △ADE :S △BCE =AE 2:BE 2

．

∵AE ︰BE=1:2， ∴S △ADE :S △BCE =1:4． ∵S △ADE =1， ∴S △BCE =4．

∵S △ABC :S △BCE =AB:BE=3:2， ∴S △ABC =6． ∵EF ∥BC ， ∴△AEF ∽△ABC ．

∵AE:AB=1:3， ∴S △AEF :S △ABC =AE 2

:AB 2

=1:9． ∴S △AEF ==． 6、如图，已知中，，

，

，

，点在

上， (与

点不重合)，点在

上.

(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长. (2)当

的周长与四边形

的周长相等时，求

的长.

【答案】 (1)∵

，