九年级数学相似三角形的性质及应用(教师版)知识点+典型例题+详细答案

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北师大版九年级上册数学第四章相似三角形的判定和性质(解析版)

第四章相似三角形的判定和性质一、单选题1．如图，在ABC 中，点D 在BC 上一点，下列条件中，能使ABC 与DAC △相似的是（）A ．∠BAD ＝∠CB ．∠BAC ＝∠BDA C ．AB 2＝BD ∙BC D ．AC 2＝CD ∙CB【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定即可．【详解】 ABC 与DAC △有一个公共角，即ACB DCA ∠=∠，要使ABC 与DAC △相似，则还需一组角对应相等，或这组相等角的两边对应成比例即可，观察四个选项可知，选项D 中的2AC CD CB =⋅，即AC CB CD AC=，正好是ACB ∠与DCA ∠的两边对应成比例，符合相似三角形的判定，故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．2．下列条件，能使ABC 和111A B C △相似的是（）A ．1111112.5,2,3;3,4,6AB BC AC A B B C AC ======B ．11111192,3,4;3,6,2AB BC AC A B B C AC ====== C．11111110,8;AB BC AC A B BC AC ======D．1111111,3;AB BC AC A B BC AC ===== 【答案】B【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理进行判断．【详解】解：A 、11112.55213642AB BC A B B C ==≠==，不能使ABC ∆和∠111A B C 相似，错误； B 、11111123242933632AB BC AC A B A C B C =======，能使ABC ∆和∠111A B C 相似，正确；C、1111AB BC A B B C ==≠==，不能使ABC ∆和∠111A B C 相似，错误； D、1111AB BC AC B C ==≠=，不能使ABC ∆和∠111A B C 相似，错误；故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定．识别三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出三角形的对应边、对应角．3．∠ABC 与∠DEF 的相似比为1:4，则∠ABC 与∠DEF 的面积比为（）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:16【答案】D【解析】【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．【详解】解：∠∠ABC∠∠DEF ，且∠ABC 与∠DEF 相似比为1：4， ∠∠ABC 与∠DEF 的面积比=（14）2=1：16，故答案为D【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 4．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∕∕，点,E F 分别是边,AD BC 上的点，AF 与BE 交于点O ，2,1AE BF ==，则AOE ∆与BOF ∆的面积之比为（）A ．12B ．14C ．2D ．4【解析】【分析】由AD∠BC ，可得出∠AOE∠∠FOB ，再利用相似三角形的性质即可得出∠AOE 与∠BOF 的面积之比．【详解】：∠AD∠BC ，∠∠OAE=∠OFB ，∠OEA=∠OBF ，∠~AOE FOB ∆∆，∠所以相似比为2AE BF=， ∠224BOFAOE S S ∆∆==．故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 5．如图，,D E 分别是ABC 的边,AB BC 上的点，且DE AC ，,AE CD 相交于点O ，若:1:25DOE COA S S =△△，则:DE AC 的值为（）A ．1:3B ．1:4C ．1:5D ．1:25【答案】C【分析】根据题意可证明DOE COA，再利用相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出对应边的比值．【详解】解：∠DE AC∠DOE COA∠根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可知对应边的比为1: 5．故选：C．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的性质，主要有∠相似三角形周长的比等于相似比；∠相似三角形面积的比等于相似比的平方；∠相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．6．已知∠ABC和∠ADC均为直角三角形，点B、D位于AC的两侧，∠ACB=∠ACD=90°，BC=a，AC=b，AB=c，要使∠ADC和∠ABC相似，CD可以等于（）．A．2acB．2baC．a bcD．2bac【答案】B 【解析】【分析】由∠ADC和∠ABC相似，可得到CD ACAC BC，从而完成求解．【详解】∠∠ADC和∠ABC相似，且∠ACB=∠ACD=90°∠CD AC AC BC∠CD b b a=∠2b CDa=故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形和相似三角形的知识，求解的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．7．在∠ABC中，D为AB上一点，过点D作一条直线截∠ABC，使截得的三角形与∠ABC相似，这样的直线可以作（）A．2条B．3条C．4条D．5条【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法分析，即可做出判断．【详解】满足条件的直线有4条，如图所示：如图1，过D作DE∠AC，则有∠BDE∠∠BAC；如图2，过D作DE∠BC，则有∠ADE∠∠ABC；如图3，过D作∠AED=∠B，又∠A=∠A，则有∠ADE∠∠ACB；如图4，过D作∠BED=∠A，又∠B=∠B，则有∠BED∠∠BAC，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答的关键是对相似三角形的判定方法的理解与灵活运用．8．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，5AD =，E 、F 、G 、H 分别为矩形边上的点，HF 过矩形的中心O ，且HF AD =．E 为AB 的中点，G 为CD 的中点，则四边形EFGF 的周长为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】连接EG ，证明四边形EHGF 是矩形，再证明AEH DHG △∽△，求得AH 与DH 的长度，由勾股定理求得EH 与HG ，再由矩形的周长公式求得结果．【详解】解：连接EG ，四边形ABCD 是矩形，AB CD ∴=，//AB CD ， E 为AB 的中点，G 为CD 的中点，AE DG ∴=，//AE DG ，∴四边形AEGD 是平行四边形，AD EG ∴=，矩形是中心对称图形，HF 过矩形的中心O ．EG ∴过点O ，且OH OF =，OE OG =，∴四边形EHGF 是平行四边形，HF AD EG ==，∴四边形EHGF 是矩形，90EHG ∴∠=︒，90A D ∠=∠=︒，90AHE AEH AHE DHG ∴∠+∠=∠+∠=︒，AEH DHG ∴∠=∠，AEH DHG ∴△∽△， ∴AH AE DG DH=，设AH x =，则5DH x =-，122AE DG AB ===， ∴225x x=-，解得，1x =或4，1AH ∴=或4，当1AH =时，4DH =，则HE ==HG =∴四边形EFGH 的周长2=⨯=同理，当4AH =时，四边形EFGH 的周长2=⨯=；故选：B ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键在于证明四边形EHGF 是矩形．9．如图，ABC 中，4AB AC ==，点D 在BC 边上，连接AD ，现将ACD △沿着AD 对折，得到AED ，DE 与AB 交于点F ，若DE AB ⊥，14DF AF =，则BC 的长为（）A ．3.8B ．5013C ．4D ．6417【答案】D【解析】【分析】过点A 作AM ∠BC 于点M ，证出AM =AF ，DM =DF ，设DF k =，则4AM AF k ==，=DM DF k =，44BF AB AF k =-=-，求出()4441616k k BF AM BM k DF k-===-，在Rt ABM ∆中，由勾股定理求出k 的值，进而求出BM 的值，从而得出BC 的长度．【详解】解：过点A 作AM ∠BC 于点M ，如图：在∠ABC 中，AB =AC =4，∠BC =2BM =2CM ，由折叠可知：∠ADC ∠∠ADE ，∠AE =AC =4，∠C =∠E ，∠AM ∠BC ，DE ∠AB 于F 点，∠∠ACM ∠∠AEF ，∠AM =AF ，又∠AD =AD ，∠Rt ∠ADM ∠Rt ∠ADF ，∠DM =DF ，∠14DF AF =，设DF k =，则4AM AF k ==，=DM DF k =，44BF AB AF k =-=-，在BDF ∆和BAM ∆中，90B B BFD BMA ∠=∠∠=∠=︒，，∠BDFBAM ∆∆， ∠BF DF BM AM=， ∠()4441616k k BF AM BM k DF k -===-，在Rt ABM ∆中，由勾股定理得：222AM BM AB +=，即：()()222416164k k +-=，整理得：21732150k k -+=，解得：11517k =，21k =， ∠1k =时，44AM AF k AB ====，不合题意，故舍去，∠1517k =， ∠32161617BM k =-=， ∠64217BC BM ==，故选：D ．【点睛】本题主要考查了折叠、勾股定理、相似三角形、全等三角形，牢记性质，灵活应用，合理的作出辅助线是解决此题的关键．10．如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点E、F，满足AB EF，点P是BC的中点，连接AF、PE，若AB＝8，则当AF+PE最小值时，线段AF的长度为( )A．6B C．D．【答案】B【解析】【分析】取CD的中点M，连接AM交CD于F，过P作//PE AM交BD于E，此时，AF+PE的值最小，根据三角形的中位线的性质得到PM=12BD，//PM BD，根据平行四边形的判定和性质得到EP=FM，根据勾股定理得到AM【详解】解：取CD 的中点M ，连接AM 交CD 于F ，过P 作PE ∠AM 交BD 于E ，此时，AF +PE 的值最小，在正方形ABCD 中，BD ==∠P 是BC 的中点， M 为CD 的中点，∠PM =12BD =//PM BD ，又∠//PE AM ，∠四边形PEFM 是平行四边形，∠PM =EF ，EP =FM ，∠AB ==，故点EF 为所求点．∠AM ==．∠//AB CD ，∠∠ABF ∠MDF ， ∠AF FM =AB DM，2=∠AF．故选B．【点睛】本题是四边形的综合题．考查了正方形的性质，轴对称﹣最短距离问题，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，相似三角形的判定与性质，正确的作出E，F的位置是解题的关键．二、填空题11．如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝8，CB＝2，当BD=______时，图中的两个直角三角形相似．【答案】8或1 2【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理：两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似，根据相似得出比例式，代入求出即可．【详解】解：∠∠ACB=∠CBD=90°，∠要使∠ACB和∠CBD相似，必须AC CB BC BD= 或AC BC BD BC = ∠AC=8，CB=2代入上式，求出BD=12或8．故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是根据题意得出比例式，注意：此题有两种情况，题型较好，通过做此题培养了学生对定理的理解和掌握．12．如图，D 为AB 上一点，且AD=2BD ，∠ACD=∠B ，那么DC BC=_____．【解析】【分析】根据已知条件判定∠ACD∠∠ACB 即可得到结果；【详解】∠∠ACD=∠B ，∠A=∠A ，∠∠ACD∠∠ACB ， ∠=BC DC AD AC AC AB=， ∠2AC AD AB =⋅，223AC AB AB =⋅，2223AC AB =，3AC AB =∠=BC DC ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，准确分析是解题的关键．13．两个相似三角形的面积比为1:2，则它们的对应角平分线的比为_______．【答案】1:【解析】【分析】根据相似三角形的性质进行解答【详解】解：两个相似三角形的面积比为1:2，则它们的相似比为：1:则它们的对应角平分线的比为1:故答案为：1:【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方，相似三角形的对应角平分线的比等于相似比是解题的关键14．已知：在平行四边形ABCD中，点E在DA的延长线上，AE=12AD，连接CE交BD于点F，则BFFD的值是________．【答案】2 3【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得出AD∠BC、AD=BC，进而可得出∠DFE∠∠BFC，再利用相似三角形的性质即可求出BFFD的值．【详解】解：∠四边形ABCD为平行四边形，∠AD∠BC，AD=BC，∠∠DFE∠∠BFC，∠2132BF BC BC BCFD DE AD AE AD AD====++，故答案为：23．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合相似三角形的判定定理找出∠DFE∠∠BFC是解题的关键．15．在Rt∠ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF＝4，EF，则AC＝_____．【解析】【分析】先求出∠EFG＝45°，进而利用勾股定理即可得出FG＝EG＝1，进而求出AE，最后判断出∠AEF∠∠AFC，即可得出结论．【详解】如图，过点E作EG∠AD于G，连接CF，∠AD，BE是分别是∠BAC和∠ABC的平分线，∠∠CAD＝∠BAD，∠CBE＝∠ABE，∠∠ACB＝90°，∠2（∠BAD+∠ABE）＝90°，∠∠BAD+∠ABE＝45°，∠∠EFG＝∠BAD+∠ABE＝45°，在Rt∠EFG中，EF，∠FG ＝EG ＝1，∠AF ＝4，∠AG ＝AF ﹣FG ＝3，根据勾股定理得，AE ∠AD 平分∠CAB ，BE 平分∠ABC ，∠CF 是∠ACB 的平分线，∠∠ACF ＝45°＝∠AFE ，∠∠CAF ＝∠FAE ，∠∠AEF∠∠AFC ， ∠AE AF AF AC=，∠AC ＝2AFAE ，故答案为：5．【点睛】此题主要考查了角平分线定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求出AE 是解本题的关键． 16．在ABC ∆中，10AB =，5AC =，点M 在边AB 上，且2AM =，点N 在AC 边上.当AN =______时，AMN ∆与原三角形相似．【答案】1或4【解析】【分析】注意到∠A是两个三角形的公共角，只要满足AM ANAB AC=或AM ANAC AB=，∠AMN与原三角形相似，据此代入数据计算即可．【详解】解：当AM ANAB AC=时，∠AMN∠∠ABC，即2105AN=，解得：AN=1；当AM ANAC AB=时，∠AMN∠∠ACB，即2510AN=，解得：AN=4；所以当AN=1或4时，∠AMN与原三角形相似．故答案为：1或4．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，属于常考题型，合理分类、熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．17．如图，点D为∠ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使∠BDE∠∠ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于___．【答案】15 4.【解析】【分析】根据对顶角相等得到∠AEC=∠BED，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当BE DEAE CE=时，∠BDE∠∠ACE，然后利用比例性质计算CE的长．【详解】解：∠∠AEC＝∠BED，∠当BE DEAE CE=时，∠BDE∠∠ACE，即45 3CE =∠CE＝15 4故答案为154．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，此判定方法要合理使用公共角或对顶角．18．如图，在等边∠ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则∠ABC 的边长为__________.【答案】9【解析】【分析】由∠ADE=60°，可证得∠ABD∠∠DCE；可用等边三角形的边长表示出DC的长，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得∠ABC的边长．【详解】∠∠ABC是等边三角形，∠∠B=∠C=60°，AB=BC；∠CD=BC-BD=AB-3；∠∠BAD+∠ADB=120°∠∠ADE=60°，∠∠ADB+∠EDC=120°，∠∠DAB=∠EDC，又∠∠B=∠C=60°，∠∠ABD∠∠DCE；∠AB BD CD CE＝，即323ABAB＝；解得AB=9．故答案为9．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得∠ABD∠∠DCE是解答此题的关键．19．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶的高度为________m∠【答案】0.5【解析】【分析】根据同一时刻身长和影长成比例,求出举起手臂之后的身高,与身高做差即可解题.【详解】解：设举起手臂之后的身高为x由题可得∠1.7:0.85=x∠1.1,解得x=2.2,则小刚举起的手臂超出头顶的高度为2.2-1.7=0.5m【点睛】本题考查了比例尺的实际应用,属于简单题,明确同一时刻的升高和影长是成比例的是解题关键.20．如图，在边长为3 的等边三角形ABC中，点D为AC上一点，CD=1，点E为边AB上不与A，B重合的一个动点，连接DE，以DE为对称轴折叠∠AED，点A的对应点为点F，当点F落在等边三角形ABC 的边上时，AE的长为_______．【答案】1或5【解析】【分析】先判断F点只可能落在边AB或BC上，然后分两种情况：当F点落在边BC上时，利用翻折的性质和等边三角形的性质，判断∠DFC∠∠FEB，得到对应边成比例，解比例式可求出AE；F点落在边AB上时，利用30°所对的直角边等于斜边的一半即可求出AE．【详解】解：分析可知，F点只可能落在边AB或BC上，∠当F 点落在边BC 上时，EFC B BEF ∠=∠+∠，即EFD DFC B BEF ∠+∠=∠+∠60EFD A B ∠=∠=∠=︒，DFC BEF ∴∠=∠，DFC FEB ∴∆∆∽， ∴BE BF EF CF CD FD==，而3EF BE EA BE AB +=+==，2DF DA AC CD ==-=， ∴3312AE CF AE CF --==，解得5AE =-5AE =； ∠F 点落在边AB 上时，60A DFE ∠=∠=︒，90DEA ∠=︒，30ADE ∴∠=︒，111()21222AE AD AC CD ∴==-=⨯=．∠AE 的长为1或5-【点睛】本题考查翻折的性质、相似三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质，解题时要考虑全面，难度中等．三、解答题21．如图，在ABC ∆与ADE ∆中，AB AC AD AE =，且=EAC DAB ∠∠. 求证：ABC ADE ∆∆.【答案】见解析【解析】【分析】先证得DAE BAC ∠=∠，利用有两条对应边的比相等，且其夹角相等，即可判定两个三角形相似．【详解】∠EAC DAB ∠=∠，∠EAC BAE DAB BAE ∠+∠=∠+∠，即DAE BAC ∠=∠，又AB AC AD AE=，∠ABC ADE∆∆．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：∠有两个对应角相等的三角形相似；∠有两条对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；∠三组对应边的比相等，则两个三角形相似，熟记各种判定相似三角形的方法是解题关键．22．如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°．过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F，求证：CD 是DF和DA的比例中项．【答案】见解析．【解析】【分析】根据如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，可以证得∠DCE∠∠DBC，∠DEF∠∠DAB；根据相似三角形的对应边成比例，即可证得．【详解】证明：（1）∠∠DEF=∠DAB=90°，∠BDA=∠FDE，∠∠DEF∠∠DAB，∠DE：DA=DF：DB，∠DE•DB=DA•DF，∠∠DCB=∠DEC=90°，∠BDC=∠CDE，∠∠DEC∠∠DCB，∠CD DB DE CD＝，∠DC2=DE•DB，又∠DE•DB=DA•DF，∠CD2=DF•DA．∠CD是DF和DA的比例中项【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟记掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．23．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE∠BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE ＝∠B∠(1)求证：∠ADF∠∠DEC(2)若AB＝4,AD＝＝3,求AF的长.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】【详解】（1）证明：∠四边形ABCD是平行四边形∠AD∠BC AB∠CD∠∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180°∠∠AFE+∠AFD=180︒,∠AFE=∠B∠∠AFD=∠C∠∠ADF∠∠DEC(2)解：∠四边形ABCD 是平行四边形∠AD∠BC CD=AB=4又∠AE∠BC ∠ AE∠AD在Rt∠ADE 中，6==∠∠ADF∠∠DEC∠AD AF DE CD =4AF =∠AF=24．如图，平行四边形ABCD ，DE 交BC 于F ，交AB 的延长线于E ，且∠EDB ＝∠C ．（1）求证：∠ADE ∠∠DBE ；（2）若DC ＝7cm ，BE ＝9cm ，求DE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）DE ＝12cm ．【解析】【分析】（1）由平行四边形的对角相等，可得A C ∠=∠，即可求得A EDB ∠=∠，又因公共角E E ∠=∠，从而可证得ADE DBE ∆∆；（2）根据相似三角形的对应边成比例求解即可.【详解】（1）平行四边形ABCD 中，A C ∠=∠EDB C ∠=∠A EDB ∴∠=∠又E E ∠=∠ADE DBE ∴∆~∆；（2）平行四边形ABCD 中，DC AB =7,9DC cm BE cm ==7,16AB cm AE AB BE cm ∴==+=由题（1）得ADE DBE ∆∆AE BE DE DE ∴=，即169DE DE= 解得：12DE cm =.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定定理与性质，熟记各性质与定理是解题关键.25．小明放学回家途经一个小广场，广场的中央有一个羽毛球场地，场地的周围是片平坦的草坪，同时与羽毛球网在同一平面内有两个一样高的路灯，小明想测量路灯的高度,AB 但是他没有带任何测量工具．于是，小明调整自己的步伐，尽量使得每一步步长相同．小明测出离路灯较近的网杆在路灯AB 下的影长DF 为2步，离路灯较远的网杆在路灯AB 下的影长EC 为5步，回家后小明上网查资料得到羽毛球网杆高1.55DM NE ==米，网长 6.1MN =米，同时测得1步1≈米，求路灯的高度(结果保留一位小数)【答案】路灯的高度约为4.7米【解析】【分析】根据相似三角形的判定可得,FMD FAB 设,AB x =BD y =，列出比例式，然后证出,CNE CAB 列出比例式，然后联立方程，运用等比性质即可求出结论．【详解】解：//,DM AB,FMDFAB ∴ MD FD AB FB∴= 设,AB x =BD y =1.5522x y∴=+ //,NE AB,CNE CAB ∴NE CE AB CB∴= 1.5555 6.1x y∴=++1.552525 6.1x y y∴==+++ ()()1.55525 6.12x y y -∴=++-+ 1.559.1 4.73x ⨯∴=≈ 答：路灯的高度约为4.7米．【点睛】此题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．26．如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 都是正方形，C ，F ，G 三点在一直线上，连接AF 并延长交边CD 于点M ．（1）求证：∠MFC ∠∠MCA ；（2）求CF BE的值，（3）若DM ＝1，CM ＝2，求正方形AEFG 的边长．【答案】（1）见解析；（2；（3．【解析】【分析】（1）由正方形的性质得∠ACD =∠AFG =45°，进而根据对顶角的性质得∠CFM =∠ACM ，再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论；（2）根据正方形的性质得AF AC AE AB=，再证明其夹角相等，便可证明∠ACF ∠∠ABE ，由相似三角形的性质得出结果；（3）由已知条件求得正方形ABCD 的边长，进而由勾股定理求得AM 的长度，再由∠MFC ∠∠MCA ，求得FM ，进而求得正方形AEFG 的对角线长，便可求得其边长．【详解】（1）∠四边形ABCD 是正方形，四边形AEFG 是正方形，∠∠ACD =∠AFG =45°，∠∠CFM =∠AFG ，∠∠CFM =∠ACM =45°，∠∠CMF =∠AMC ，∠∠MFC ∠∠MCA ；（2）∠四边形ABCD 是正方形，∠∠ABC =90°，∠BAC =45°，∠AC AB ，同理可得AF ，∠AF AC AE AB== ∠∠EAF =∠BAC =45°，∠∠CAF+∠CAE =∠BAE+∠CAE =45°，∠∠CAF =∠BAE ，∠∠ACF ∠∠ABE ，∠CF AC BE AB== （3）∠DM =1，CM =2，∠AD =CD =1+2=3，∠AM ==∠∠MFC ∠∠MCA ， ∠CM FMAM CM=2FM =，∠FM =5，∠AF =AM ﹣FM =5，∠AG 2=AF ，即正方形AEFG ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，关键是综合应用这些知识解决问题．27．如图1，在ABCD 中，60ABC ∠=︒，:7:8AB AD =，E 为CD 边上一点，4CE =，连接AE ，BE ，且AE AB =．（1）求证：EB 平分AEC ∠；（2）当:2:5CE ED =时，在AD 上找一点P ，使PB PE +的和最小，并求出最小值；（3）如图2，过点E 作EF BE ⊥交AD 于点F ，求DF DE的值．【答案】（1）见详解；（2）；（3）23．【解析】【分析】（1）利用平行线的性质等腰三角形的性质证明即可．（2）如图1中，作的E 关于AD 的对称点M ，直线EM 交AD 于H ，交BC 的延长线于T ，连接BM ，PM．求出AB ，CD ，CT ，ET ，EH ，HM ，再求出BM ∴==根据PB PE PB PM BM +=+，即可解决问题．（3）如图2中，过点E 作EH AD ⊥于H 交BC 的延长线于T ．利用相似三角形的性质解决问题即可．【详解】（1）证明：如图1中，四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，ABE BEC ∴∠=∠，AB AE =，ABE AEB ∴∠=∠，BEC AEB ∴∠=∠，BE ∴平分AEC ∠．（2）解：如图1中，作点E 关于AD 的对称点M ，直线EM 交AD 于H ，交BC 的延长线于T ，连接BM ，PM ．四边形ABCD 是平行四边形，:7:8AB AD =，:2:5CE DE =，4CE =，10DE ∴=，14AB DC ∴==，60ABC ∠=︒，60D DCT ∴∠=∠=︒，4CE ∴=，ET =16BC AD ∴==，EH EM ==16218BT ∴=+=，TM ==BM ∴==PE PM =，PB PE PB PM BM ∴+=+， 621PB PE ∴+，PB PE ∴+的最小值为．（3）解：如图2中，过点E 作EH AD ⊥于H 交BC 的延长线于T ．由（2）可知，10DE =，5=DH ，EH =，2ET CT ==，18BT =．90T EHF BEF ∠=∠=∠=︒，90BET FEH ∴∠+∠=︒，90FEH EFH ，BET EFH ∴∠=∠，BTE EHF ∴∆∆∽， ∴BT ET EH FH=，∴=53FH ∴=， 203DF FH DH ∴=+=， ∴2023103DF DE ==．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是根据题意添加辅助线，构造直角三角形，属于中考压轴题．。

九年级同步第7讲：相似三角形综合 -教师版

相似三角形综合内容分析相似三角形是初中数学中的重点，也是难点．相当多的知识点可以与相似三角形综合起来考察．本讲将从以下几个方面学习相似三角形的应用，旨在灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题．知识结构G1、平行线与相似三角形利用平行线构造的相似主要有两个基本的模型，即：“A ”字型和“X ”字型．【例1】过ABC ∆的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 、E ．求证：2AE AFED FB = ．【难度】★★ 【答案】略．【解析】过点D 作//DG AB 交CF 于点G ．Q //DG AB ∴AE AF ED GD =，DG CDBF CB =； Q AD 是中线， ∴2BC CD =， ∴12DG BF =；∴2AE AFED BF =．【总结】题考查三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型．模块一：平行线与相似三角形知识精讲例题解析A BCDEFMM【例2】如图，已知ABC ∆中，AD 、BE 相交于G ，:3:1BD DC =，:1:2AG GD =．求:BG GE 的值．【难度】★★ 【答案】11．【解析】点G 作//GM BC 交AC 于点M ．Q //GM BC ∴AG GM AD CD =，EG GMEB CB =； Q :1:2AG GD =， ∴13AG GM AD CD ==， Q :3:1BD DC =，∴14DC BC =，∴112GM BC =， ∴112GE EB =，∴:BG GE 的值为11．【总结】本题考查了三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型．【例3】如图，在ABC ∆中，点D 在线段BC 上，75BAD ∠=︒，30CAD ∠=︒，AD = 2，BD = 2DC ，求AC 的长．【难度】★★ 【答案】3．【解析】过点D 作//DM AB 交AC 于点M ． Q //DM AB ， ∴75BAD ADM ∠=∠=o ；又Q 180ADM AMD DAM ∠+∠+∠=o ，30CAD ∠=o∴75AMD ∠=o ， ∴AMD ADM ∠=∠， ∴2AD AM ==．Q //DM AB ， ∴AM BDAC BC=．又Q 2BD DC =， ∴23BD AM BC AC ==． ∴3AC =．【总结】本题考查了三角形一边的平行线及等腰三角形的相关知识．ABCDE GABCDHG【例4】已知：P 为ABC ∆的中位线MN 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交AC 、AB 于点D 和点E ．求证：1AD AEDC EB+=．【难度】★★ 【答案】略．【解析】过点A 作//GH BC 分别交CE 、BD 的延长线于点G 、H ． Q MN 是中位线，//.AM MB AN NC MN BC ∴==，，////GH BC MN ∴． ∴AM GP MB PC= GP PC ∴= Q //GH BC ∴GH GPBC PC=GH BC ∴=；Q //GH BC ∴AD AH AE AGDC BC EB BC==，∴1AD AEDC EB+= ．【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线、三角形中位线的相关知识．A B CDE PNMQP【例5】AD 是ABC ∆的中线，将BC 边所在直线绕点D 顺时针旋转α角，交边AB 于点M ，交射线AC 于点N ，设AM = x ·AB ，AN = y ·AC ，（0x ≠，0y ≠）．（1）如图1，当ABC ∆为等边三角形且30α=︒时，求证：AMN ∆∽DMA ∆；（2）如图2，证明112x y +=．【难度】★★★ 【答案】略【解析】（1）Q ABC ∆是等边三角形，AD 是中线，30,90;BAD DAC ADB ∴∠=∠=∠=o o 30,30MDB α=∠=o o Q 即，60ADM ∴∠=oADM DAC N ∠=∠+∠Q 30N ∴∠=o ;MAD N ∴∠=∠ AMD AMN ∠=∠Q AMN DMA ∴∆∆∽；（2）过B 作//BQ MN 交AD 延长线于点Q ，过C 作//CP MN 交AD 于点P ， //BQ CP ∴ ∴BD DQDC PD=Q AD 是中线 ,BD DC ∴=,QD DP ∴= Q //BQ MN ∴1AB AQ AD DQx AM AD AD +===Q //CP MN ∴1AC AP AD DP y AN AD AD -===∴112x y+=．【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线、相似三角形的判定等的相关知识，构造辅助线是个难点．ABCD NMABCD NM图1图21、角平分线与相似三角形角平分线类的相似模型如下：分为“内角平分线”和“外角平分线”两种类型，虚线部分为辅助线的作法．【例6】如图，AD 是ABC ∆的内角平分线．求证：AB BDAC DC=．【难度】★★ 【答案】略．【解析】过点C 作//CM AB 交AD 的延长线于点M ． Q //CM AB ∴AB BD CM DC =，BAD M ∠=∠ Q AD 是角平分线 ∴BAD DAC ∠=∠；∴M DAC ∠=∠∴AC CM = ∴AB BDAC DC=．【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等腰三角形的相关知识．模块二：角平分线与相似三角形知识精讲例题解析ABCDMABC D【例7】如图，AD 是ABC ∆的外角平分线．求证：AB BDAC CD=．【难度】★★ 【答案】略．【解析】过点B 作//BM AC 交DA 的延长线于点M ．Q //BM AC ， ∴AC CDBM DB =，DAC M ∠=∠ Q AD 是外角平分线， ∴MAD CAD ∠=∠； ∴M MAD ∠=∠，又Q MAB MAD ∠=∠， ∴M MAB ∠=∠．∴AB BM =．∴AB BDAC DC=．【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等腰三角形的相关知识．【例8】在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ．求证：111AD AB AC=+．【难度】★★ 【答案】略．【解析】过点C 作//CM AD 交BA 于点M ．Q //CM AD ， ∴AB ADBM CM=，DAC ACM BAD M ∠=∠∠=∠， Q AD 平分BAC ∠，120BAC ∠=o ． ∴60BAD CAD ∠=∠=o ； ∴60M ACM ∠=∠=o ，ACM ∴∆是等边三角形．∴AC CM AM ==．∴AB AD AB AM MC =+即AB ADAB AC AC=+．∴111AD AB AC=+．【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等边三角形的相关知识．AB C DMMABC DEFG【例9】如图，在ABC ∆中，90CAB ∠=︒，CFG B ∠=∠过点C 作CE // AB ，交CAB ∠的平分线AD 于E ．（1）不添加字母，找出图中所有的相似三角形，并证明；（2）求证：FC ADCG ED =．【难度】★★ 【答案】略．【解析】（1）①ADB EDC ∆∆∽、②CAB GCF ∆∆∽．证明①： Q //CE AB ∴ADB EDC ∆∆∽证明②：Q //CE AB 180CAB ACE ∴∠+∠=o ，90CAB ∠=o Q ，90ACE ∴∠=o;CAB ACE ∴∠=∠ CFG B ∠=∠Q ∴CAB GCF ∆∆∽ （2）由CAB GCF ∆∆∽得FC ABCG AC =Q ADB EDC ∆∆∽ ∴AB ADEC DE=Q //CE AB ，EAB CED ∴∠=∠，CAE EAB ∠=∠Q ， ;CAE E ∴∠=∠，CA CE ∴= ∴AB AD AC DE = ∴ FC ADCG DE=．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质等知识．DAB CEI【例10】如图，ABC ∆中，AI 、BI 分别平分BAC ∠、ABC ∠，CE 是ABC ∆的外角ACD ∠的平分线，交BI 延长线于E ，连接CI ．（1）ABC ∆变化时，设2BAC α∠=．若用α表示BIC ∠和E ∠，那么BIC ∠=______，E ∠=______；（2）若AB = 1，且ABC ∆与ICE ∆相似，求AC 长．【难度】★★【答案】（1）90α+o ，α；（2）略．【解析】（1）Q 180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=o ， ∴1801802ABC ACB BAC α∠+∠=-∠=-o o ．Q AI 、BI 分别平分BAC ∠、ABC ∠，∴ 12IBC ABC ∠=∠，CI 平分ACB ∠．∴ 12ICB ACB ∠=∠． Q 180IBC ICB BIC ∠+∠+∠=o()()1180180902BIC IBC ICB ABC ACB α∴∠=-∠+∠=-∠+∠=+o o o ．Q CE 是ABC ∆的外角ACD ∠的平分线， ∴ 12ACE ACD ∠=∠．()1902ICE ICA ACE ACD ACB ∴∠=∠+∠=∠+∠=o ． Q 90BIC ICE E α∠=∠+∠=+o ，E α∴∠= ．（2）ABC ∆与ICE ∆相似，Q 90ICE ∠=o ， ABC ∴∆是直角三角形时，分三种情况：① 当90ABC ∠=o 时，Q E α∠=， 2BAC α∠=， E BAC ∴∠≠∠ ．E BCA α∴∠=∠=． Q 90BAC BCA ∠+∠=o ， 30α∴=o ． ∴ 22AC AB ==； ② 当90BCA ∠=o 时，Q E α∠=， 2BAC α∠=， E BAC ∴∠≠∠ ． E ABC α∴∠=∠=， Q 90BAC ABC ∠+∠=o ， 30α∴=o ， ∴ 1122AC AB ==； ③ 当90BAC ∠=o 时，Q 2BAC α∠=， 45α∴=o ． ∴ 1AC AB ==；综上所述，1122AC =或或．【总结】本题考查相似三角形的性质及其两三角形相似分类讨论，还考查了三角形角平分线的知识．B ACDABCD图1图21、a 2 = b·c 与相似三角形常见及扩展模型如下：由图1可证：2AB BD BC =g ；由图2可证：2AB BD BC =g ，2AD BD DC =g ，2AC CD CB =g ．【例11】如图，Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ．求证：2AD BD DC =g ．【难度】★ 【答案】略．【解析】Q AD BC ⊥， ∴90ADB ADC ∠=∠=o ． ∴90BAD B ∠+∠=o ． Q 90BAC ∠=o ，∴90C B ∠+∠=o ， ∴BAD C ∠=∠．∴ABD CAD ∆∆∽ ，∴AD BDCD AD=． ∴2AD BD CD =•．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定等知识．模块三：a 2 = b·c 与相似三角形知识精讲例题解析AB CDABCDE HA BCDEF【例12】如图，已知等腰三角形ABC 中，AB = AC ，高AD ，BE 相交于点H ．求证：24DH DA BC =g ．【难度】★★ 【答案】略．【解析】Q AD 、BE 是高， ∴90ADB BEC ∠=∠=o ． ∴90HBD C ∠+∠=o ， 90CAH C ∠+∠=o ．∴HBD CAH ∠=∠， ∴HBD CAD ∆∆∽． ∴HD BDCD AD=即DH AD BD CD =g g Q AB AC AD BC =⊥，， ∴12BD DC BC ==．∴BAD C ∠=∠．∴214DH AD BC =g ， ∴24DH AD BC =g ．【总结】本题考查“双高”模型相似的知识．【例13】如图，在直角梯形ABCD 中，AB // CD ，AB ⊥BC ，对角线AC ⊥BD ，垂足为E ， AD = BD ，过E 的直线EF // AB 交AD 于点F ．（1）AF = BE ；（2）AF 2 = AE ·EC ．【难度】★★ 【答案】略．【解析】（1）Q //EF AB ，AF 不平行EB ，∴四边形FABE 是梯形．又Q AD BD =， ∴DAB DBA ∠=∠． ∴四边形FABE 是等腰梯形， ∴AF BE =；（2）Q 90AEB CEB ∠=∠=o ，∴90EBA EAB ∠+∠=o ， 90ECB EAB ∠+∠=o ．∴EBA ECB ∠=∠． ∴EBA ECB ∆∆∽．∴EB EAEC EB =． ∴2EB EA EC =•，∴2AF EA EC =•．【总结】本题考查等腰梯形及相似三角形的判定及性质．【例14】如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD 的垂直平分线交AB 于点E ，交AD 于点 H ，交AC 于点G ，交BC 的延长线于点F ．求证：2DF CF BF =g ．【难度】★★ 【答案】略．【解析】联结AFQ 点F 在AD 的垂直平分线上， ∴AF FD =， FAD ADF ∠=∠．Q FAD FAC DAC ∠=∠+∠，ADF BAD B ∠=∠+∠ ∴FAC DAC BAD B ∠+∠=∠+∠．又Q AD 平分BAC ∠， ∴BAD DAC ∠=∠， ∴FAC B ∠=∠．又Q AFC AFB ∠=∠， ∴EBA ECB ∆∆∽， ∴AF FCFB AF =． ∴2AF CF BF =•， ∴2DF CF BF =•．【总结】本题考查线段垂直平分线、外角定理及相似三角形的判定及性质知识．【例15】如图1，在ABC ∆中，P 是边AB 上的一点，联结CP ，要使ACP ∆∽ABC ∆，还需要补充一个条件．（1）补充的条件是___________________，或者____________________．（2）请你参考上面的图形和结论，解答下面的问题：如图2，在ABC ∆中，60A ∠=︒，22AC AB AB BC =+g ，求B ∠的度数．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）ACP B ∠=∠；APC ACB ∠=∠；（或者2AC AB AP =•）（2）延长AB 到D ，使BD CB = ∴BCD BDC ∠=∠Q 22AC AB AB BC =+• ∴2AC AB AD =• ∴ACB ADC ∆∆∽ D ACB ∴∠=∠ Q 180A ACD D ∠+∠+∠=o∴3180D A ∠+∠=o 而60A ∠=o ∴40D BCD ∠=∠=o 80ABC BCD D ∴∠=∠+∠=o ．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质、三角形内角和、外角定理等知识．DAB C D E FGH ABC ACBP图1图2A BCDEFGH TH1、内接矩形与相似三角形相关模型：常用结论：AT DEAH BC=．【例16】如图，ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒，四边形DEFG 为正方形，其中D 、E 在边AC 、BC 上，F 、G 在AB 上，求正方形DEFG 的边长．【难度】★★【答案】6037．【解析】设正方形DEFG 的边长为a ，过点C作CH AB ⊥交AB 于点H ，易知：////DG CH DE AB ，DG AD CH AC ∴=，DE CD AB AC = 1DG DECH AB ∴+=在Rt ABC ∆中，34AC CB ==，， 5AB ∴=，125CH =． 11255a a ∴+=， 6037a ∴=， ∴正方形DEFG 的边长为6037．【总结】本题考查三角形内接正方形的模型，熟练掌握此题涉及的知识点．模块四：内接矩形与相似三角形知识精讲例题解析ABC DEF GABCHGFE D DFE【例17】ABC ∆中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC = 15，BC 边上的高AD = 10，求正方形EFGH 的面积．【难度】★★ 【答案】36．【解析】设正方形EFGH 的边长为a ，易知： ////HE AD HG BC ，．HE BH AD BA ∴=，HG AHBC AB =．1HE HGAD BC∴+=， 11015a a∴+=， 6a ∴=，∴正方形EFGH 的面积为36．【总结】本题考查三角形内接正方形的模型，熟练掌握此题涉及的知识点．【例18】如图，已知ABC ∆中，AC = 3，BC = 4，90C ∠=︒，在ABC ∆内部求做一正方形，问怎样截取可以使正方形的面积最大，并求出此时正方形的边长．【难度】★★【答案】如图截取，正方形边长为127．【解析】设正方形CDEF 的边长为a ，易知： ////EF CB DE AC ，．DE BE AC AB ∴=，EF AECB AB=， 1DE EFAC CB∴+=．在Rt ABC ∆中，34AC CB ==，，134a a∴+=．127a ∴=． ∴正方形DEFC 的边长为127．【总结】本题考查三角形内接正方形的模型，还考查了最优化问题，与例16区别．ABCH 【例19】如图，ABC ∆中，四边形DEFG 为正方形，其中D 、E 在边AC 、BC 上，F 、G 在AB 上，1ADG CDE S S ∆∆==，3BEF S ∆=，求ABC ∆的面积．【难度】★★ 【答案】9．【解析】过点D 作//DH CB 交AB 于点H ，可得 DGH EFB ∆≅∆． 4DAH S ∆∴= ．易证CDE DAH ∆∆∽，214CDE DAH S CD S DA ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭．12CD DA ∴= ， 13CD CA ∴=．Q CDE CAB ∆∆∽， 219CDE CABS CD S CA ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭． 9CBA S ∆∴=．【总结】本题要灵活应用相似三角形的面积比等于相似比的平方．【例20】锐角ABC ∆中，BC = 6，=12ABC S ∆，两动点M 、N 分别在边AB 、AC 上滑动，且 MN // BC ，以MN 为边向下作正方形MPQN ，设其边长为x ，正方形MPQN 与ABC ∆公共部分的面积为y （y > 0）．（1）ABC ∆中边BC 上高AD = ______；（2）当x = ______时，PQ 恰好落在边BC 上（如图1）；（3）当PQ 在ABC ∆外部时（如图2），求y 关于x 的函数关系式（并写出定义域）；当x取何值时，y 取得最大值，最大值为多少？【难度】★★★ 【答案】（1）4；（2）125；（3）略．【解析】（3） Q //MN CB ，AT AM MN AD AB BC ∴==． ∴46AT x =．∴23x AT =． 243TD x ∴=-． ()222224436333x S MN TD x x x x ⎛⎫∴=•=-=-+=--+ ⎪⎝⎭公共．22124635y x x x ⎛⎫∴=-+<≤ ⎪⎝⎭，当3x =时，y 取最大值，max 6y =．【总结】本题要灵活应用三角形内接矩形求面积，结合二次函数的求最值问题．ABC DEF G ABC D P NMQABCD PNM Q图1 图2TAB CD EF1、一线三等角与相似三角形相关模型如下图所示：【例21】已知，在等腰ABC ∆中，AB = AC = 10，以BC 的中点D 为顶点作EDF B ∠=∠，分别交AB 、AC 于点E 、F ，AE = 6，AF = 4，求底边BC 的长．【难度】★★ 【答案】46．【解析】Q EDC B BED ∠=∠+∠，而EDC EDF FDC ∠=∠+∠， ∴B BED EDF FDC ∠+∠=∠+∠．又Q EDF B ∠=∠，∴BED FDC ∠=∠．Q AB AC =，∴B C ∠=∠．EDB DCF ∴∆∆∽． BE BDDC CF ∴=．106104BDDC -∴=-， 24DC BD ∴=g ．又12CD DB BC ==Q ， 46BC ∴=．【总结】本题是对“一线三等角”模型的考查．模块五：一线三等角与相似三角形知识精讲例题解析AB CDE 【例22】如图，直角梯形ABCD 中，AB // CD ，90ABC ∠=︒，点E 在边BC 上，且34AB BE EC CD ==，AD = 10，求AED ∆的面积．【难度】★★ 【答案】24．【解析】Q 90ABC ∠=o ，//AB CD ， ∴90DCB ABC ∠=∠=o ．又Q 34AB BE EC CD ==， ABE ECD ∴∆∆∽．∴AEB EDC ∠=∠． ∴34AE AB ED EC ==．Q 90EDC DEC ∠+∠=o ，∴90AEB DEC ∠+∠=o ． ∴90AED ∠=o ．在Rt AED ∆中， Q 10AD =，68AE ED ∴==，． 24AED S ∆∴=．【总结】本题考查一线三等角模型的相似问题，还有外角知识、平行的判定等．【例23】矩形ABCD 中，以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF ，使得另一边EF 过原矩形的顶点C ．（1）设Rt CBD ∆的面积为1S ，Rt BFC ∆的面积为2S ，Rt DCE ∆的面积为3S ，则1S ______23S S +（用“ > ”、“ = ”、“ < ”填空）；（2）写出图中的3对相似三角形，并选择其中一对进行证明．【难度】★★ 【答案】（1）=；（2）BFC CED ∆∆∽；BFC DCB ∆∆∽； CED DCB ∆∆∽．【解析】（1）过点C 作CH BD ⊥交BD 于点H ，易得；（2）Q BCD DCE F FBC ∠+∠=∠+∠，而90BCD F ∠=∠=o ．∴FBC DCE ∠=∠．BFC CED ∴∆∆∽．【总结】本题主要是考查“一线三等角”模型的相似以及矩形的性质．HABCDE FQ【例24】在矩形ABCD 中，AB = 2，AD = 3，P 是BC 上的任意一点（P 与B 、C 不重合），过点P 作AP ⊥PE ，垂直为P ，PE 交CD 于点E ．（1）连接AE ，当APE ∆与ADE ∆全等时，求BP 的长；（2）若设BP 为x ，CE 为y ，试确定y 与x 的函数关系式；当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？（3）若PE // BD ，试求出此时BP 的长．【难度】★★★ 【答案】（1）5；（2）()2130322y x x x =-+<<，当32x =时，y 取最大值，最大值为98；（3）43．【解析】（1）APE ∆与ADE ∆全等， Q 90APE ADE ∠=∠=o ， BAE AED ∠=∠ ，而BAE PAE ∠>∠，ADE APE ∴∆≅∆． 3AD AP ∴==．在Rt ABP ∆中，222AB BP AP +=， 225BP AP AB ∴=-=．（2）易证ABP PCE ∆∆∽，得AB BPPC CE=，即23x x y =-． ∴()2130322y x x x =-+<<．Q 221313922228y x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，∴当32x =时，y 取最大值，最大值为98；（3）联结BD 交AP 于点Q ． //PE BD Q ，90APE AQD ∴∠=∠=o ．9090QAD ADQ BAQ QAD ∴∠+∠=∠+∠=o o ，．∴BAQ ADQ ∠=∠， Rt ABP Rt DAB ∴∆∆∽． AB BP AD AB ∴=， 43BP ∴=．【总结】本题考查三角形全等，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值的知识，题目比较综合．ABCD EPABCDEFM【例25】如图，直角梯形ABCD 中，90BCD ∠=︒，AD // BC ，BC = CD ，E 为梯形内一点，且90BEC ∠=︒，将BEC ∆绕点C 旋转90°使BC 与DC 重合，得到DCF ∆，联结EF 交CD 于M ．已知BC = 5，CF = 3，则DM : MC 的值为（）A ．53B ．35C ．43D ．34【难度】★★ 【答案】C ．【解析】旋转后，CEB CFD ∆≅∆．5CB CD ∴==， 3CE CF ==，BE DF =， 90BEC DFC ∠=∠=o ．在Rt CBE ∆中，222BE CE BC +=， 4BE ∴=． 4DF ∴=．Q 90ECF ∠=o ，90ECD DCF ∴∠+∠=o ．又90DCF FDC ∠+∠=o QECD FDC ∴∠=∠ //CE DF ∴43DM DF MC EC ∴==．【总结】本题考查旋转的相关知识，平行的判定、三角形一边的平行线的知识．模块六：旋转与相似三角形例题解析H【例26】在ABC ∆中，CA = CB ，在AED ∆中，DA = DE ，点D 、E 分别在CA 、AB 上．（1）如图1，若90ACB ADE ∠=∠=︒，则CD 与BE 的数量关系是____________；（2）若120ACB ADE ∠=∠=︒，将AED ∆绕点A 旋转至如图2所示的位置，则CD 与 BE 的数量关系是____________．【难度】★★ 【答案】（1）22CD BE =；（2）33CD BE =．【解析】（1）90ACB ADE ∠=∠=o Q ∴//DE BC ∴22AD DC AE EB ==∴22CD BE =；（2）过点C 作CH AB ⊥交AB 于点H120ACB ∠=o Q30CAB ∴∠=o ∴23CA AH = ∴23323AC AB == 由ADE ACB ∆∆∽，得：AD ACAE AB=DAE CAB ∠=∠Q ，∴ACD ABE ∆∆∽∴33CD AC BE AB ==，∴33CD BE =．【总结】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形的相关知识．ABC D EABCD E图1图2FAB (Q )CD (O )EPPABCD (O )ABCD (O )QPQ EFEF 图1图2图3【例27】把两块全等的直角三角板ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，其中90ABC DEF ∠=∠=︒，45C F ∠=∠=︒，AB = DE = 4，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB相交于点P ，射线DF 与线段BC 相交于点Q ．（1）如图1，当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证APD ∆∽CDQ ∆，则此时AP CQ =g ______；（2）将三角板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时间方向旋转，设旋转角为α．其中090α︒<<︒，问AP CQ g 的值是否改变？请说明理由．【难度】★★【答案】（1）8；（2）不改变．【解析】（1）略；（2）易证APD CDQ ∆∆∽，得：AP ADCD CQ=AP CQ CD AD ∴•=•．又42AC =Q ， 22CD AD ∴==， 8AP CQ ∴•=．【总结】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形，“一线三等角”得相似等的相关知识．H 【例28】如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BC = 2，30A ∠=︒，点E 、F 分别是线段BC 、AC 的中点，联结EF ．（1）线段BE 与AF 的位置关系是______，AFBE=______；（2）如图2，当CEF ∆绕点C 顺时针旋转α时（0180α︒<<︒），联结AF 、BE ，则（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图3，当CEF ∆绕点C 顺时针旋转α时（0180α︒<<︒），延长FC 交AB 于点D ，如果623AD =-，求旋转角α的度数．【难度】★★★【答案】（1）垂直，3；（2）成立；（3）略．【解析】（1）略；（2）由ACB FCE ∆∆∽，得：AC FCCB CE=．BCE ACF ∠=∠Q ， ∴BCE ACF ∆∆∽． ∴3AF ACBE BC==；（3）过点D 作DH BC ⊥交BC 于点H ， 623AD =-Q ， 232BD ∴=-．在Rt DBH ∆中，60B ∠=o ， 31BH ∴=-，33DH =-．33CH ∴=-， 45DCH ∴∠=o ， 45ACD ∴∠=o ． 135ACF ∴∠=o ．135α∴=o ．【总结】本题考查旋转的相关知识，特殊的直角三角形边的关系，题目比较综合，第3小题由边求角要会添置辅助线．BACE FABCEFABCDE F图1图2图3A BCDEF【例29】如图，已知ABC ∆与ADE ∆都是等边三角形，点D 在BC 边上（点D 不与B 、C重合），DE 与AC 相交于点F ．（1）求证：ABD ∆∽DCF ∆；（2）若BC = 1，设BD = x ，CF = y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）当x 为何值时，79AEF ABD S S ∆∆=？【难度】★★ 【答案】略．【解析】（1）ABC ∆Q 、ADE ∆是等边三角形60,60B C E EDA ∴∠=∠=∠=∠=ooCDF FDA B DAB ∠+∠=∠+∠Q,CDF DAB ∴∠=∠ ABD DCF ∴∆∆∽；（2）由（1）得ABD DCF ∆∆∽，AB BDDC CF ∴=11x x y ∴=-()201y x x x ∴=-+<<；（3）易证ABD AEF ∆∆∽， AB ADAE AF∴=279AEF ABD S AE S AB ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭ 222279AE AF AB AD ∴== ADE ∆Q 是等边三角形 AD AE ∴= 222279AE AF AB AE ∴== 224981AF AB ∴=1AB =Q 79AF ∴= 72199y CF ∴==-=， 229x x ∴-+=解得1221,33x x == ∴当2133x x ==或时，79AEF ABD S S ∆∆=．【总结】本题考查旋转的相关知识，“一线三等角”模型，相似的性质等的相关知识．模块七：函数与相似三角形例题解析A BCOPQxy l【例30】如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （a ，0）（a < 0），联结BP ，过点P 作PC ⊥PB 交过点A 的直线l 于点C （2，b ）．（1）求b 与a 之间的函数关系式；（2）当a 取得最大的整数时，求BC 与x 轴的交点Q 的坐标．【难度】★★【答案】（1）212b a a =-+；（2）8,07Q ⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】（1）90BPO OPC BPO PBO ∠+∠=∠+∠=o Q OPC PBO ∴∠=∠90BOP PAC ∠=∠=o QBPO PCA ∴∆∆∽ OP OBAC AP∴=即22a b a-=--∴212b a a =-+；（2）Q 0a < a ∴取得最大的整数时1a =-32b ∴=-//OB AC QOB OQAC QA∴=，即2322OQ OQ =- 87OQ ∴=∴8,07Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【总结】本题考查相似的判定及性质等知识．xy123–1–2–3123–1–2–3 ABCO【例31】函数k y x =和k y x =-（0k ≠）的图像关于y 轴对称，我们把函数k y x =和k y x=- （0k ≠）叫做互为“镜子”函数，类似地，如果函数y = f （x ）和y = h （x ）的图像关于y 轴对称，那么我们就把函数y = f （x ）和y = h （x ）叫做互为“镜子”函数．（1）函数y = 3x – 4的“镜子”函数是________________；（2）函数223y x x =-+的“镜子”函数是________________；（3）如图所示，一条直线与一对“镜子”2y x =（x > 0）和2y x=-（x < 0）的图像分别交于点A 、B 、C ，如果CB : AB = 1 : 2，点C 在函数2y x =-（x < 0）的“镜子”函数上的对应点的横坐标是12，求点B 的坐标．【难度】★★ 【答案】略【解析】（1）34y x =--；（2）223y x x =++；（3）分别过点A 、B 、C 作CC BB AA '''、、垂直于x 轴，垂足分别为C B A '''、、．设点2,B m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2,A n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中0m >，0n >．由题意，得点1,42C ⎛⎫- ⎪⎝⎭．4CC '∴=,2BB m '=，2AA n '=，A B n m ''=-,12B C m ''=+．易知////CC BB AA ''', 又:1:2CB AB =所以，可得12().22222(4)3n m m m n n ⎧-=+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，化简得3111433n m m n -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得 1106m ±=（负值舍去）， 1104104,63B ⎛⎫+-∴ ⎪ ⎪⎝⎭．【总结】本题主要难在第3问，学生不知识怎么下手，要灵活应用相似的相关知识解决问题．H【例32】如图，已知梯形ABCD ，AD // BC ，AB = AD = 5，3tan 4DBC ∠=．E 为射线BD 上一点，过点E 作EF // DC 交射线BC 于点F ，连接EC ，设BE = x ，ECF BDCSy S ∆∆=．（1）求BD 的长；（2）当点E 在线段BD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．【难度】★★★【答案】（1）8BD =；（2）()21108648y x x x =-+<<．【解析】（1）//AD BC Q ， ADB DBC ∴∠=∠．3tan 4DBC ∠=Q ， 3tan 4ADB ∴∠=．过点A 作AH BD ⊥交BD 于点H ，AB AD =Q ， 4BH HD ∴==． 8BD ∴=．（2）//EF CD Q ， BEF BDC ∴∆∆∽， 8BE BF xBD BC ∴==．∴2264BEF BDC S BE x S BD ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭． Q8BEF EFC S BF xS FC x∆∆==-，∴2864ECF BDC S x x S x∆∆-=•． ∴()21108648y x x x =-+<<．【总结】本题考查相似三角形的面积比等于相似比的平方，同高（或同底）的三角形面积比可以转化为底边（或者高）的比．A BCDE FAB CDE F ABCD EFP N MQ【习题1】如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF ⊥BD ，垂足为F ．求证：111AB CD EF+=．【难度】★★【答案】略．【解析】Q AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，EF ⊥BD ， ∴////AB CD EF∴EF DF AB DB =，EF BF CD DB =∴1EF EF AB DC +=，即111AB CD EF+=．【总结】本题考查了三角形一边的平行线知识的应用．【习题2】如图，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，BC = 4cm ，AB = 8cm ，D 、E 、F 分别为AB 、 AC 、BC 边的中点，点P 为AB 边上一点，过点P 作PQ // BC 交AC 于点Q ，以PQ 为一边作正方形PQMN ，若AP = 3cm ，求正方形PQMN 与矩形EDBF 的公共部分的面积．【难度】★★ 【答案】34．【解析】Q DE 是中位线， 122DE BC cm ∴==．Q D 是AB 中点， 142DA BA cm ∴==． //PQ ED Q ， AP PQAD DE∴=． 342PQ ∴=， 32PQ ∴=． Q DN PN PD =-， ∴12DN =． ∴34S PQ DN =•=公共．【总结】本题考查了三角形一边的平行线等知识的应用．随堂检测ABCDEFABCDE FPPQ图1图2Q【习题3】如图，已知ABC ∆和DEF ∆是两个全等的等腰直角三角形，且 90BAC EDF ∠=∠=︒，DEF ∆的顶点E 与ABC ∆的斜边BC 的中点重合．将DEF ∆绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1）如图1，当点Q 在线段AC 上，且AP = AQ 时，求证：BPE ∆≌CQE ∆；（2）如图2，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：BPE ∆∽CEQ ∆；并求当BP = a ，92CQ a = 时，P 、Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示）．【难度】★★★【答案】（1）略；（2）52PQ a =．【解析】（1）E Q 是中点，BE EC ∴=．AP AQ =Q ，BP CQ ∴=． AB AC =Q ， B C ∴∠=∠．BPE CQE ∴∆≅∆．（2）DEF FEC B BPE ∠+∠=∠+∠Q ，而45B DEF ∠=∠=o ，BPE QEC ∴∠=∠． 45B C ∠=∠=o Q ，BPE CEQ ∴∆∆∽，BP BECE CQ∴=，92a BE a CE ∴=， 292CE BE a ∴⋅=，32BC a ∴=．在Rt ABC ∆中，3AB AC a ==，32AQ a ∴=，2AP a =．∴在Rt APQ ∆中，52PQ a =．【总结】本题考查了“一线三等角”相似模型．ABCDEF【作业1】如图，已知AB // EF // CD ，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论．【难度】★★ 【答案】略【解析】BED BCD S BE S BC ∆∆=Q ，BED ABD S ED S AD ∆∆=，又ED ECAD BC=Q ， 1BED BED BCD ABD S S S S ∆∆∆∆∴+=，即111BCD ABD BEDS S S ∆∆∆+=．【总结】本题考查了三角形一边的平行线及同高三角形的面积比可转化为底的比．【作业2】已知AD 、AE 分别为的内、外角平分线，M 为DE 的中点，求证：22AB BMAC CM=．【难度】★★ 【答案】略．【解析】联结AM ， AD AE Q 、分别是内、外角的平分线，90DAE ∴∠=o ．M Q 是DE 的中点，MA MD ∴=，MA MD ∴=， MAC CAD ADM ∴∠+∠=∠．又ADM BAD B ∠=∠+∠Q ，MAC CAD BAD B ∴∠+∠=∠+∠．BAD DAC ∠=∠Q ，MAC B ∴∠=∠， MAC MBA ∴∆∆∽MC MA ACMA MB AB∴==22AB MB AC MA ∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质，还有角平分线的相关知识．课后作业ABCD EM【作业3】如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，90BAC AGF ∠=∠=︒，它们的斜边长为2，若AFG ∆绕点旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为点D 、E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合）．（1）请在图1中找出两对相似而不全等的三角形，并选择其中一对进行证明；（2）ABC ∆的斜边BC 所在的直线为x 轴，BC 边上的高所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC 上找一点D 使BD = CE ，求出点D 的坐标，并通过计算验证222BD CE DE +=；（3）在旋转过程中，（2）中的等量关系222BD CE DE +=是否始终成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）EAD EBA ∆∆∽；DAE DCA ∆∆∽；EBA ACD ∆∆∽；证明：ADE B BAD ∠=∠+∠Q BAE DAE BAD ∠=∠+∠ 而B DAE ∠=∠ ADE BAE ∴∠=∠ 又B C ∠=∠Q EBA ACD ∴∆∆∽；（2）解：ABC ∆Q 、AGF ∆是等腰直角三角形， 45,FAG C ∴∠=∠=o ,ADC ADE ∠=∠QDAE DCA ∴∆∆∽，AED CAD ∴∠=∠．ABC ∆Q 是等腰直角三角形， AO BC ⊥， BO OC ∴=．DO OE ∴=，AB BDDC CF ∴=． AO BC ⊥Q ， DA AE ∴=． AED ADE ∴∠=∠． CDA CAD ∴∠=∠． DC CA ∴=． 2BC =Q ， 2AC ∴=．2DC ∴=，21OD ∴=-． ()12,0D ∴-；由此可知：2222222BD CE ED =-=-=-Q ，，，222BD CE DE ∴+=；ABC DEF GABCDEFG Oxy 图1图2H九年级同步31 / 31（3）成立，将ABD ∆绕点A 旋转，使得AB 与AC 重合，如图，此时D 的对应点是H ，联结HE ，可得ABD ACH ∆≅∆．45ABD ACH ∴∠=∠=o ，BD HC =，AD AH =，BAD HAC ∴∠=∠；45ACB ∠=o Q ，90HCE ∴∠=o在Rt HCE ∆中，222HC EC HE +=，45DAE ∠=o Q ，45BAD EAC ∴∠+∠=o ，即45EAC HAC ∴∠+∠=o 45HAE ∴∠=o ， DAE HAE ∴∠=∠． ADE AHE ∴∆≅∆．DE HE ∴=． ∴222BD EC DE +=．【总结】本题考查相似的判定和性质，以及全等的判定和性质，要会构造全等三角形来解决问题，本题比较综合．。

初三数学相似三角形典型例题(附含答案解析)

2初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。

2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。

3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。

4.能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。

本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。

相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在 10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。

（二）重要知识点介绍： 1.比例线段的有关概念：在比例式 ab c (a ： bc ：d )中， a 、 d 叫外项，db 、c 叫内项， a 、c 叫前项， b 、d 叫后项， d 叫第四比例项，如果 b=c ，那么 b 叫做 a 、 d 的比例中项。

把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ，使 AC=AB BC ，叫做把线段 AB 黄金分割， C 叫做线段 AB 的黄金分割点。

2. 比例性质：①基本性质： ac b d②合比性质：acb dad bca b c d bd③等比性质：a c⋯b dm (b d ⋯ nn ≠ 0) a c ⋯ m ab d ⋯ nb3.平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥ l 2∥ l 3 。

AB 则BCDE ， ABEF AC DE ， BCDF AC EF ，⋯DF②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

相似三角形的性质及应用(知识点串讲)(解析版)

专题12 相似三角形的性质及应用知识网络重难突破知识点一相似三角形的性质①对应角相等，对应边成比例．②周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方．③对应高线长之比、对应角平分线长之比、对应中线长之比都等于相似比．【典例1】（2020•衢州模拟）如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q．平行四边形ABCD的面积为6，则图中阴影部分的面积为．【点拨】由四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，易证得△BCP∽△BER，△ABP∽△CQP∽△DQR，又由点R为DE的中点，可求得各相似三角形的相似比，继而求得答案．【解析】解：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴AD＝BC＝CE，AB∥CD，AC∥DE，∴平行四边形ACED的面积＝平行四边形ABCD的面积＝6，△BCP∽△BER，△ABP∽△CQP∽△DQR，∴△ABC的面积＝△CDE的面积＝3，CP：ER＝BC：BE＝1：2，∵点R为DE的中点，∴CP：DR＝1：2，∴CP：AC＝CP：DE＝1：4，∵S△ABC＝3，∴S△ABP＝S△ABC＝，∵CP：AP＝1：3，∴S△PCQ＝S△ABP＝，∵CP：DR＝1：2，∴S△DQR＝4S△PCQ＝1，∴S阴影＝S△PCQ+S△DQR＝．故答案为：．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【典例2】（2019秋•河北区期末）如图在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）如AF＝3，AG＝5，求△ADE与△ABC的周长之比．【点拨】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE＝∠AGC＝90°，从而可证明∠AED＝∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；（2）依据△ADE∽△ABC，利用相似三角形的周长之比等于对应高之比，即可得到结论．【解析】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AGC＝90°，∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AED＝∠ACB，∵∠EAD＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC；（2）由（1）可得△ADE∽△ABC，又∵AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∴△ADE与△ABC的周长之比＝＝．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．【变式训练】1．（2020春•甘州区校级月考）两个相似三角形面积比是4：9，其中一个三角形的周长为24cm，则另一个三角形的周长是（）cm．A．16 B．16或28 C．36 D．16或36【点拨】根据相似三角形的性质求出相似比，得到周长比，根据题意列出比例式，解答即可．【解析】解：∵两个相似三角形面积比是4：9，∴两个相似三角形相似比是2：3，∴两个相似三角形周长比是2：3，∵一个三角形的周长为24cm，∴另一个三角形的周长是16cm或36cm，故选：D．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．2．（2019秋•慈溪市期末）如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（）A．28°B．32°C．42°D．52°【点拨】先求出∠B，根据相似三角形对应角相等就可以得到．【解析】解：∵∠A＝110°，∠C＝28°，∴∠B＝42°，∵△ABC∽△DEF，∴∠B＝∠E．∴∠E＝42°．故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的性质的运用，全等三角形的对应角相等，是基础知识要熟练掌握．3．（2019秋•奉化区期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB，若AB＝3BD，则S△ADE：S△EFC的值为（）A．4：1 B．3：2 C．2：1 D．3：1【点拨】由题意可证四边形BDEF是平行四边形，可得BD＝EF，AD＝2EF，通过证明△ADE∽△EFC，可求解．【解析】解：∵AB＝3BD，∴AD＝2BD，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形BDEF是平行四边形，∴BD＝EF，∴AD＝2EF，∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED＝∠C，∠FEC＝∠A，∴△ADE∽△EFC，∴S△ADE：S△EFC的＝（）2＝4：1，故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．4.（2020•下城区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果＝，AD＝9，那么BC的长是（）A．4 B．6 C．2D．3【点拨】证明△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质求出CD、BD，根据勾股定理求出BC．【解析】解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD，又∠ADC＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴＝，＝，∴＝，即＝，解得，CD＝6，∴＝，解得，BD＝4，∴BC＝＝＝2，故选：C．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5.（2019•纳溪区模拟）如图，已知矩形ABCD，AB＝6，BC＝10，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE相交于I，与BD相交于H，则四边形BEIH的面积为（）A．6 B．7 C．8 D．9【点拨】延长AF交DC于Q点，由矩形的性质得出CD＝AB＝6，AB∥CD，AD∥BC，得出＝1，△AEI∽△QDE，因此CQ＝AB＝CD＝6，△AEI的面积：△QDI的面积＝1：16，根据三角形的面积公式即可得出结果．【解析】解：延长AF交DC于Q点，如图所示：∵E，F分别是AB，BC的中点，∴AE＝AB＝3，BF＝CF＝BC＝5，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，AB∥CD，AD∥BC，∴＝1，△AEI∽△QDE，∴CQ＝AB＝CD＝6，△AEI的面积：△QDI的面积＝（）2＝，∵AD＝10，∴△AEI中AE边上的高＝2，∴△AEI的面积＝×3×2＝3，∵△ABF的面积＝×5×6＝15，∵AD∥BC，∴△BFH∽△DAH，∴＝＝，∴△BFH的面积＝×2×5＝5，∴四边形BEIH的面积＝△ABF的面积﹣△AEI的面积﹣△BFH的面积＝15﹣3﹣5＝7．故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．6.（2020•杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）设，①若BC＝12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．【点拨】（1）由平行线的性质得出∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，即可得出结论；（2）①由平行线的性质得出＝＝，即可得出结果；②先求出＝，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．【解析】（1）证明：∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠FCE，∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC；（2）解：①∵EF∥AB，∴＝＝，∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，∴＝，解得：BE＝4；②∵＝，∴＝，∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．知识点二相似三角形的应用【典例3】（2019秋•解放区校级期中）一块直角三角形木板的面积为1.5m2，一条直角边AB为1.5m，怎样才能把它加工成一个无拼接的面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用所学的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗不计，计算结果中的分数可保留）【点拨】结合相似三角形的判定与性质进而得出两个正方形的边长，进而求出面积比较得出答案．【解析】解：由AB＝1.5m，S△ABC＝1.5m2，可得BC＝2m，由图甲，过点B作Rt△ABC斜边AC上的高，BH交DE于P，交AC于H．由AB＝1.5m，BC＝2m，得AC＝＝2.5（m），由AC•BH＝AB•BC可得：BH＝＝1.2（m），设甲设计的桌面的边长为xm，∵DE∥AC，∴Rt△BDE∽Rt△BAC，∴＝，即＝，解得x＝（m），由图乙，若设乙设计的正方形桌面边长为ym，由DE∥AB，得Rt△CDE∽Rt△CBA，∴＝，即＝，解得y＝（m），∵x＝，y＝，∴x＜y，即x2＜y2，∴S正方形甲＜S正方形乙，∴第二个正方形面积大【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确表示出正方形的边长是解题关键．【变式训练】1．（2019秋•嘉兴期末）如图，小明在打乒乓球时，为使球恰好能过网（设网高AB＝15cm），且落在对方区域桌子底线C处，已知小明在自己桌子底线上方击球，则他击球点距离桌面的高度DE为（）A．15cm B．20cm C．25cm D．30cm【点拨】证明△CAB∽△CDE，然后利用相似比得到DE的长．【解析】解：∵AB∥DE，∴△CAB∽△CDE，∴＝，而BC＝BE，∴DE＝2AB＝2×15＝30（cm）．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．2．（2019秋•鹿城区月考）如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD相交于点M，已知AB＝8m，CD＝12m，则点M离地面的高度MH为（）A．4 m B．m C．5m D．m【点拨】根据已知易得△ABM∽△DCM，可得对应高BH与HD之比，易得MH∥AB，可得△MDH∽△ADB，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可．【解析】解：∵AB∥CD，∴△ABM∽△DCM，∴＝＝＝，（相似三角形对应高的比等于相似比），∵MH∥AB，∴△MCH∽△ACB，∴＝＝，∴＝，解得MH＝．故选：B．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比；解决本题的突破点是得到BH与HD的比．3．（2019秋•滨江区期末）如图，小华同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，使斜边DF与地面保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝30cm，EF＝15cm，测得边DF离地面的高度AC＝120cm，CD＝600cm，则树AB的高度为420cm．【点拨】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长，再加上AC的长即可求得树高AB．【解析】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，∴BC：EF＝DC：DE，∵DE＝30cm，EF＝15cm，AC＝120cm，CD＝600cm，∴，∴BC＝300cm，∴AB＝AC+BC＝120+300＝420cm，故答案为：420．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．4.（2020•秦皇岛一模）如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC 高9m．①计算小亮在路灯D下的影长；②计算建筑物AD的高．【点拨】解此题的关键是找到相似三角形，利用相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例求解．【解析】解：①∵EP⊥AB，CB⊥AB，∴∠EP A＝∠CBA＝90°∵∠EAP＝∠CAB，∴△EAP∽△CAB∴∴∴AB＝10BQ＝10﹣2﹣6.5＝1.5；②∵FQ⊥AB，DA⊥AB，∴∠FQB＝∠DAB＝90°∵∠FBQ＝∠DBA，∴△BFQ∽△BDA∴＝∴∴DA＝12．【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出建筑物AB的高与小亮在路灯D下的影长，体现了方程的思想．巩固训练1．（2019秋•连州市期末）两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（）A．45cm，85cm B．60cm，100cm C．75cm，115cm D．85cm，125cm【点拨】根据题意两个三角形的相似比是15：23，可得周长比为15：23，计算出周长相差8份及每份的长，可得两三角形周长．【解析】解：根据题意两个三角形的相似比是15：23，周长比就是15：23，大小周长相差8份，所以每份的周长是40÷8＝5cm，所以两个三角形的周长分别为5×15＝75cm，5×23＝115cm．故选：C．【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．2．（2018秋•临安区期末）如图，在△ABC中，BC＝8，高AD＝6，点E，F分别在AB，AC上，点G，H 在BC上，当四边形EFGH是矩形，且EF＝2EH时，则矩形EFGH的周长为（）A．B．C．D．【点拨】通过证明△AEF∽△ABC，可得，可求EH的长，即可求解．【解析】解：如图，记AD与EF的交点为M，∵四边形EFGH是矩形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AM和AD分别是△AEF和△ABC的高，∴∴∴EH＝，∴EF＝，∴矩形EFGH的周长＝2×（+）＝故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．3．（2019秋•庐阳区校级期中）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：4，则S△DOE：S△AOC的值为（）A．B．C．D．【点拨】由已知条件易求BE：BC＝1：5；证明△DOE∽△AOC，得到DE：AC的值，由相似三角形的性质即可解决问题．【解析】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：4，∴BE：EC＝1：4，∴BE：BC＝1：5，∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，∴DE：AC＝BE：BC＝1：5，∴S△DOE：S△AOC＝（）2＝，故选：D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证出BE：BC＝1：5是解决问题的关键．4．（2020•上城区一模）如图，△ABC中，D，E两点分别在边AB，BC上，若AD：DB＝CE：EB＝3：4，记△DBE的面积为S1，△ADC的面积为S2，则S1：S2＝16：21．【点拨】过点E、C分别作EF⊥AB于点F，CG⊥AB于点G，根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．【解析】解：过点E、C分别作EF⊥AB于点F，CG⊥AB于点G，∴EF∥CG，∴△BEF∽△BCG，∴，∵CE：EB＝3：4，∴，∴，∴＝＝，∴S1：S2＝16：21，故答案为：16：21．【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．5．（2019秋•江干区期末）如图，已知▱ABCD中，E是BC的三等分点，连结AE与对角线BD交于点F，则S△BEF：S△ABF：S△ADF：S四边形CDFE＝1：3：9：11．【点拨】由E是BC的三等分点，得到＝，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，根据相似三角形的性质得到＝＝设S△BEF＝k，S△ABF＝3k，S△ADF＝9k，求得S△ABF+S△ADF＝S四边形ABCD＝S△BEF+S四边形CDFE＝12k，得到S四边形CDFE＝12k﹣k＝11k，于是得到结论．【解析】解：∵E是BC的三等分点，∴＝，在▱ABCD中，∵AD∥BC，AD＝BC，∴△ADF∽△EBF，∴＝＝，∴S△BEF：S△ABF：S△ADF＝1：3：9，设S△BEF＝k，S△ABF＝3k，S△ADF＝9k，∴S△ABF+S△ADF＝S四边形ABCD＝S△BEF+S四边形CDFE＝12k，∴四边形CDFE＝12k﹣k＝11k，∴S△BEF：S△ABF：S△ADF：S四边形CDFE＝1：3：9：11，故答案为：1：3：9：11．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及面积的计算方法；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．6．（2020•晋安区一模）如图，利用镜子M的反射（入射角等于反射角），来测量旗杆CD的长度，在镜子上作一个标记，观测者AB看着镜子来回移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记相重合，若观测者AB的身高为1.6m，量得BM：DM＝2：11，则旗杆的高度为8.8m．【点拨】根据题意抽象出相似三角形，然后利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．【解析】解：根据题意得：△ABM∽△CDM，∴AB：CD＝BM：DM，∵AB＝1.6m，BM：DM＝2：11，∴1.6：CD＝2：11，解得：CD＝8.8m，故答案为：8.8．【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是根据实际问题抽象出相似三角形，难度不大．7．（2019秋•竞秀区期末）如图，路灯距地面的高度PO＝8米，身高1.6米的小明在点A处测量发现，他的影长AM＝2.4米，则AO＝9.6米；小明由A处沿AO所在的直线行走8米到点B时，他的影子BN 的长度为0.4米．【点拨】如图，设OA＝x，BN＝y．利用相似三角形的性质构建方程组即可解决问题．【解析】解：如图，设OA＝x，BN＝y．∵EB∥OP∥F A，∴△MAF∽△MOP，△NBE∽△NOP，∴＝，＝，∴＝，＝，解得x＝9.6，y＝0.4，故答案为9.6，0.4．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．8．（2019秋•开江县期末）如图，学校操场旁立着一杆路灯（线段OP）．小明拿着一根长2m的竹竿去测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地点A竖起竹竿（线段AE），这时他量了一下竹竿的影长AC正好是1m，他沿着影子的方向走了4m到达点B，又竖起竹竿（线段BF），这时竹竿的影长BD正好是2m，请利用上述条件求出路灯的高度．【点拨】根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】解：由于BF＝DB＝2m，即∠D＝45°，∴DP＝OP＝灯高．在△CEA与△COP中，∵AE⊥CP，OP⊥CP，∴AE∥OP．∴△CEA∽△COP，∴．设AP＝xm，OP＝hm，则，①，DP＝OP＝2+4+x＝h，②联立①②两式，解得x＝4，h＝10．∴路灯有10m高．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．9．（2019秋•余杭区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上且AE•AB＝AD•AC，连结DE，BD．（1）求证：△ADE∽△ABC．（2）若点E为AB中点，AD：AE＝6：5，△ABC的面积为50，求△BCD的面积．【点拨】（1）由已知得出AE：AC＝AD：AB，由∠A＝∠A，即可得出：△ADE∽△ABC．（2）设AD＝6x，则AE＝5x，AB＝10x，由已知求出AC＝＝x，得出CD＝AC﹣AD＝x，得出＝，由三角形面积关系即可得出答案．【解析】（1）证明：∵AE•AB＝AD•AC，∴AE：AC＝AD：AB，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC．（2）解：∵点E为AB中点，∴AE＝BE，∵AD：AE＝6：5，∴设AD＝6x，则AE＝5x，AB＝10x，∵AE•AB＝AD•AC，∴AC＝＝＝x，∴CD＝AC﹣AD＝x，∴＝，∵△ABC的面积为50，∴△BCD的面积＝×50＝14．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形面积关系等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．10．（2018秋•江干区期末）如图，在菱形ABCD中，点E在BC边上（不与点B、C重合），连接AE、BD 交于点G．（1）若AG＝BG，AB＝4，BD＝6，求线段DG的长；（2）设BC＝kBE，△BGE的面积为S，△AGD和四边形CDGE的面积分别为S1和S2，把S1和S2分别用k、S的代数式表示；（3）求的最大值．【点拨】（1）证明△BAG∽△BDA，利用相似比可计算出BG＝，从而得到DG的长；（2）先证明△ADG∽△EBG，利用相似三角形的性质得＝（）2＝k2，＝＝k，所以S1＝k2S，根据三角形面积公式得到S△ABG＝，再利用菱形的性质得到S2＝S1+﹣S＝k2S+kS﹣S＝（k2+k﹣1）S；（3）由于＝＝1+﹣，然后根据二次函数的性质解决问题．【解析】解：（1）∵AG＝BG，∴∠BAG＝∠ABG，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠BAG＝∠ADB，∴△BAG∽△BDA，∴＝，即＝，∴BG＝，∴DG＝BD﹣BG＝6﹣＝；（2）∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝AD＝kBE，AD∥BC，∵AD∥BE，∴∠DAE＝∠BEA，∠ADG＝∠BEG∴△ADG∽△EBG，∴＝（）2＝k2，＝＝k，∴S1＝k2S，∵＝＝k，∴S△ABG＝，∵△ABD的面积＝△BDC的面积，∴S2＝S1+﹣S＝k2S+kS﹣S＝（k2+k﹣1）S；（3）∵＝＝1+﹣＝﹣（﹣）2+，∴的最大值为．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．也考查了菱形的性质．。

(完整版)九年级相似三角形知识点总结及例题讲解,推荐文档

C E
E D
A
B
C
三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
★平行线分线段成比例定理
1．平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.
用符号语言表示：AD∥BE∥CF, AB DE , BC EF , AB DE . BC EF AC DF AC DF
相似三角形基本知识
知识点一：放缩与相似 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．
AC2=AB×BC，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的
比叫做黄金比。其中 AC
5 1 AB ≈0.618 AB 。
2
2）黄金分割的几何作图：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点.
作法：①过点 B 作 BD⊥AB，使
am
a：b＝m：n（或 b n ） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比 a：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
ac
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 b d
ac
4、比例外项：在比例 b d （或 a：b＝c：d）中 a、d 叫做比例外项。

九年级数学相似三角形的性质及应用(教师版)知识点+典型例题+详细答案(吐血推荐)

相似三角形的性质及应用【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）. 【要点梳理】要点一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABC A B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 要点二、相似三角形的应用 1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.要点诠释：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．【典型例题】类型一、相似三角形的性质1. △ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.【答案】设另两边长是xcm，ycm，且x＜y.(1)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm.(2)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm.(3)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm.综上所述，△DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm，cm或cm，cm三种可能.2.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.【答案】∵四边形EFGH是矩形，∴ EH∥BC，∴△AEH∽△ABC.∵ AD⊥BC，∴ AD⊥EH，MD=EF.∵矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得，∴，∴，∴.∴ EF=6cm，EH=12cm.∴举一反三1、如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.【答案】在和中，，.又∵∽，相似比为.的周长为，的面积是.2、有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.【答案】设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2.∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2且，，∴，∴.3、如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（）A. 2：5 B．14:25 C．16:25 D. 4:21【答案】B.【解析】由已知可得AB=10，AD=BD=5，设AE=BE=x, 则CE=8-x,在Rt△BCE中，x2-(8-x)2=62,x=,由△ADE∽△ACB得，S△BCE：S△BDE=（64-25-25）：25=14:25，所以选B.4、在锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2,求AC边上的高.【答案】过点B做BF⊥AC,垂足为点F，∵AD,CE分别为BC,AB边上的高，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴Rt△ADB∽Rt△CEB,∴,BD AB BD BEBE CB AB CB==即, 且∠B=∠B ， ∴△EBD ∽△CBA,∴221189BED BCADE AC S S⎛⎫=== ⎪⎝⎭△△, ∴13DE AC =, 又∵DE=2， ∴AC=6， ∴11862ABC AC BF S =⋅=∴△，BF=. 5、已知：如图，在△ABC 与△CAD 中，DA ∥BC ，CD 与AB 相交于E 点，且AE ︰EB=1︰2，EF ∥BC 交AC 于F 点，△ADE 的面积为1，求△BCE 和△AEF 的面积．【答案】∵DA ∥BC ， ∴△ADE ∽△BCE ． ∴S △ADE :S △BCE =AE 2:BE 2．∵AE ︰BE=1:2， ∴S △ADE :S △BCE =1:4． ∵S △ADE =1， ∴S △BCE =4．∵S △ABC :S △BCE =AB:BE=3:2， ∴S △ABC =6． ∵EF ∥BC ， ∴△AEF ∽△ABC ．∵AE:AB=1:3， ∴S △AEF :S △ABC =AE 2:AB 2=1:9． ∴S △AEF ==． 6、如图，已知中，，，，，点在上， (与点不重合)，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长. (2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.【答案】 (1)∵，∽.(2)∵的周长与四边形的周长相等.=6，∽.类型二、相似三角形的应用3. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？【答案】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？∵AB⊥BC，CD⊥BC∴∠ABO=∠DCO=90°又∵∠AOB=∠DOC∴△AOB∽△DOC.∴∵BO=50m，CO=10m，CD=17m∴AB=85m即河宽为85m．4. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?(2)求古塔的高度．【答案】(1)△ABC∽△ADE．∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE(2)由(1)得△ABC∽△ADE∴∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，∴∴DE=16m即古塔的高度为16m。

(完整word版)九年级数学相似三角形知识点及习题

相似三角形要点一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）： b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。

二、有关知识点：1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。

5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定 SASSSS AAS （ASA ） HL 相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。

6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8.相似三角形的传递性如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ X ”型。

九年级数学相似三角形经典题(含答案)

相似三角形经典习题教师版例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似．（2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似．（4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ．（2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）如果有一个正方形的边在AB 上，另外两个顶点分别在AC ，BC 上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案例1．解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例2．解 ABCD 是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3．又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ，∴)cm (542=∆CD F S ．例3 分析由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AECAAD BA =，则问题得证．证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠．又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠．∵ABD ∆∽ACE ∆，∴AEACAD AB =．在ABC ∆和ADE ∆中，∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析（1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同．（3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ，则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、，则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a ac c b b a a '=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆．（4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆．答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确．例5．解：画法略．例6．分析本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=CE 米，求BC ．由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,，又ACF ∆∽ABC ∆，∴BC GFEC DF =，从而可以求出BC 的长．解 EC DF EC AE //,⊥ ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴ADF ∆∽AEC ∆．∴ACAFEC DF =．又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//， ∴AGF ∆∽ABC ∆，∴BC GF AC AF =，∴BCGFEC DF =．又60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米．例7．分析根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了．解因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,，所以BCA ∆∽MNA ∆．所以AC AN BC MN ::=，即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）．说明这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ，又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以21==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆．说明遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解（1）因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ，所以ABC ∆∽C B A '''∆；（2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；（3）因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆．例10．解（1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等；（2）ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等；（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等；（4）EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等；（5）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等；（6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．例11．分析有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36 ，∴︒=∠=∠72C ABC ．又BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，∴CD AB BC ⋅=2，∴CD AC AD ⋅=2．说明（1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bc a =2，一般都是证明比例式，b dc a =，或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形，又因为ABC ∆∽C B A '''∆，所以C B A '''∆也是直角三角形，那么由C B A '''∆的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出C B A '''∆的两条直角边长，再求得C B A '''∆的面积．解设ABC ∆的三边依次为，13,12,5===AB AC BC ，则222AC BC AB += ，∴︒=∠90C ．又∵ABC ∆∽C B A '''∆，∴︒=∠='∠90C C ．212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ，又12,5==AC BC ，∴24,10=''=''C A C B ． ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S ．例13．分析判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作AB FG ⊥于G ，交CE 于H ，可知AGF ∆∽EHF ∆，且GF 、HF 、EH 可求，这样可求得AG ，故旗杆AB 可求．解这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高x AB =．过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H （如图）．所以AGF ∆∽EHF ∆．因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ，所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH ．由AGF ∆∽EHF ∆，得HF GF EH AG =，即33025.1=-x ，所以205.1=-x ，解得5.21=x （米）所以旗杆的高为21.5米．说明在具体测量时，方法要现实、切实可行．例14. 解：︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ，∴ABD ∆∽ECD ∆，1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB （米），答：两岸间AB 大致相距100米．例15. 答案：1506=AB 米，30750=BD 步，（注意：AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,．）例16. 分析：要求BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高AD ，那么有两种情况存在，即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长．解：（1）如上图，由AD ⊥BC ，由勾股定理得BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD ＋DC ＝3＋1＝4．如下图，同理可求BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD －CD ＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC ＝4，且162)32(2222=+=+AC AB ，162=BC ，∴222BC AC AB =+．所以△ABC 是直角三角形．由AE G F 是正方形，设G F ＝x ，则FC ＝2－x ， ∵G F ∥AB ，∴AC FC AB GF =，即2232xx -=． ∴33-=x ，∴3612)33(2-=-=AEG F S 正方形．如下图，当BC ＝2，AC ＝2，△ABC 是等腰三角形，作CP ⊥AB 于P ，∴AP ＝321=AB ，在Rt △APC 中，由勾股定理得CP ＝1， ∵GH ∥AB ，∴△C GH ∽△CBA ，∵x x x -=132，32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形因此，正方形的面积为3612-或121348156-．相似三角形一，比例线段 1，成比例线段对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如b a =dc（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

九年级数学相似三角形的判定（教师版）知识点+详细答案

九年级数学相似三⾓形的判定（教师版）知识点+详细答案相似三⾓形的判定【学习⽬标】1、了解相似三⾓形的概念，掌握相似三⾓形的表⽰⽅法及判定⽅法；2、进⼀步探索相似三⾓形的判定及其应⽤，提⾼运⽤“类⽐”思想的⾃觉性，提⾼推理能⼒.【要点梳理】要点⼀、相似三⾓形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似⽐，“∽”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三⾓形相似时，要注意对应点的位置要⼀致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似⽐，要注意顺序和对应的问题，如果两个三⾓形相似，那么第⼀个三⾓形的⼀边和第⼆个三⾓形的对应边的⽐叫做第⼀个三⾓形和第⼆个三⾓形的相似⽐.当相似⽐为1时，两个三⾓形全等.要点⼆、相似三⾓形的判定定理1．判定⽅法（⼀）：平⾏于三⾓形⼀边的直线和其他两边相交，所构成的三⾓形和原三⾓形相似.2．判定⽅法（⼆）：如果两个三⾓形的三组对应边的⽐相等，那么这两个三⾓形相似. 3．判定⽅法（三）：如果两个三⾓形的两组对应边的⽐相等，并且相应的夹⾓相等，那么这两个三⾓形相似.要点诠释：此⽅法要求⽤三⾓形的两边及其夹⾓来判定两个三⾓形相似，应⽤时必须注意这个⾓必需是两边的夹⾓，否则，判断的结果可能是错误的.4．判定⽅法（四）：如果⼀个三⾓形的两个⾓与另⼀个三⾓形的两个⾓对应相等，那么这两个三⾓形相似.要点诠释：要判定两个三⾓形是否相似，只需找到这两个三⾓形的两个对应⾓相等即可，对于直⾓三⾓形⽽⾔，若有⼀个锐⾓对应相等，那么这两个三⾓形相似.要点三、相似三⾓形的常见图形及其变换：【典型例题】类型⼀、相似三⾓形1. 下列能够相似的⼀组三⾓形为( ).A.所有的直⾓三⾓形B.所有的等腰三⾓形C.所有的等腰直⾓三⾓形D.所有的⼀边和这边上的⾼相等的三⾓形【答案】C【解析】A中只有⼀组直⾓相等，其他的⾓是否对应相等不可知；B中什么条件都不满⾜；D中只有⼀条对应边的⽐相等；C中所有三⾓形都是由90°、45°、45°⾓组成的三⾓形，且对应边的⽐也相等.答案选C.举⼀反三：下列图形中，必是相似形的是（）．A．都有⼀个⾓是40°的两个等腰三⾓形B．都有⼀个⾓为50°的两个等腰梯形C．都有⼀个⾓是30°的两个菱形 D．邻边之⽐为2：3的两个平⾏四边形【答案】C类型⼆、相似三⾓形的判定2. 如图所⽰，已知中，E为AB延长线上的⼀点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三⾓形，并求出相应的相似⽐.【答案】∵四边形ABCD是平⾏四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.∴△BEF∽△CDF∽△AED.∴当△BEF∽△CDF时，相似⽐；当△BEF∽△AED时，相似⽐；当△CDF∽△AED时，相似⽐.3. 梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E、F分别为AB、BC的中点，EF与BD交于M．（1）求证：△EDM ∽△FBM；（2）若DB=9，求MB的长．【答案】（1）证明：为AB中点，，．⼜，四边形BCDE是平⾏四边形，，△EDM ∽△FBM．（2）解：由（1）知，．⼜，．4. 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上⼀点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．【答案】连接，，，是的中垂线，，，，．，．⼜，∽，，．举⼀反三：1、如图，AD 、CE 是△ABC 的⾼，AD 和CE 相交于点F ，求证：AF ·FD=CF ·FE ．【答案】∵ AD 、CE 是△ABC 的⾼, ∴∠AEF=∠CDF=90°, ⼜∵∠AFE=∠CFE, ∴△AEF ∽△CDF. ∴AF EFCF FD=, 即AF ·FD=CF ·FE ． 2、如图，F 是△ABC 的AC 边上⼀点，D 为CB 延长线⼀点，且AF=BD,连接DF, 交AB 于E. 求证：DE ACEF BC=.【答案】过点F 作FG ∥BC,交AB 于G.则△DBE ∽△FGE △AGF ∽△ABC∵DE DBEF GF=, ⼜∵AF=BD,∴.DE AFEF GF= ∵△AGF ∽△ABC∴AF AC GF BC=,即DE AC EF BC=.3、已知：如图正⽅形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．【答案】在正⽅形ABCD中，∵Q是CD的中点，∴=2∵=3，∴=4 ,⼜∵BC=2DQ，∴=2 ,在△ADQ和△QCP中，=，∠C=∠D=90°，∴△ADQ∽△QCP．4、如图，弦和弦相交于内⼀点，求证：.【答案】连接，.在中，，，∴∽。

相似三角形的应用与位似-九年级数学下册同步考点知识清单+例题讲解+课后练习(人教版)(原卷版)

相似三角形的应用与位似知识点一：相似三角形的应用：1.利用影长测量物体的高度：①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比和“在同一时刻物高与影长的比”的原理解决。

②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度。

2.利用相似测量河的宽度（测量距离）：①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上，必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形。

②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度。

3.借助标杆或直尺测量物体的高度：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度。

【类型一：利用相似求高度】1．某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度，他在距离旗杆40米的D处立下一根3米高的竖直标杆CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离BD为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度AB为1.6米，求旗杆EF的高度．2．为了测量成都熊猫基地观光瞭望塔“竹笋”建筑物AB的高度，小军同学采取了如下方法：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）．其中B，C，D三点在同一条直线上．已知小军的眼睛距离地面的高度ED的长约为1.75m，BC和CD的长分别为40m和1m，求建筑物AB的高度．（说明：由物理知识，可知∠ECF＝∠ACF）3．小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器CD，测得∠ACD＝135°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测量器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（小平面镜的大小忽略不计）【类型二：利用相似求高度】4．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在点B竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线．CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC ＝1m，DE＝1.5m，BD＝9m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．5．如图，为了估算池塘的宽度AB，在池塘边不远处选定一个目标点C，在近河边分别选N，M．使得B，N，C三点共线，A，M，C三点共线且MN∥AB．经测量MN＝38m，CM＝21m，AM＝63m，求池塘AB 的宽度．6．如图，为了估计河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，使AB与河岸垂直，在近岸取点C，E，使BC⊥AB，CE⊥BC，AE与BC交于点D．已测得BD＝30米，DC＝10米，EC＝11米，求河宽AB．【类型三：利用相似求其它】7．小明为了测量出一深坑的深度，采取如下方案：如图，在深坑左侧用观测仪AB从观测出发点A观测深坑底部P，且观测视线刚好经过深坑边缘点E，在深坑右侧用观测仪CD从测出发点C观测深坑底部P，且观测视线恰好经过深坑边缘点F，点B，E，F，D在同一水平线上．已知AB⊥EF，CD⊥EF，观测仪AB高2m，观测仪CD高1m，BE＝1.6m，FD＝0.8m，深坑宽度EF＝8.8m，请根据以上数据计算深坑深度多少米？8．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角i等于反射角r．这就是光的反射定律．【同题解决】如图2．小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，本板到墙的水平距离为CD＝4m．图中点A，B，C，D在同一条直线上．（1）求BC的长；（2）求灯泡到地面的高度AG．9．如图①，有一块三角形余料△ABC，它的边BC＝10，高AD＝6．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，AD交PN于点E，则加工成的正方形零件的边长为多少？小颖解得此题的答案为415，小颖善于反思，她又提出了如下的问题：（1）如果原题中所要加工的零件是一个矩形，且此矩形由两个并排放置的正方形组成．如图②，此时，这个矩形零件的相邻两边长又分别是多少？（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图③，这样，此矩形零件的相邻两边长就不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求这个矩形面积的最大值以及这个矩形面积达到最大值时矩形零件的相邻两边长又分别是多少？10．为了在校园内有效开展劳动教育，东方红学校利用学校东南边靠墙的一块面积为单位1的Rt △ABC 的空地，把这块空地划分成七八九年级三个部分，如图，在Rt △ABC 中，点P 是BC 边上任意一点（点P与点B，C不重合），矩形AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上．七年级为矩形AFPE部分，八九年级为△PEC和△BPF两部分．（1）若BP：PC＝2：3，求S△BPF；（2）已知BC＝2，S△ABC＝1．设BP＝x，矩形AFPE的面积为y，求y与x的函数关系式．（3）在（2）的情形下，考虑实际情况，要求七年级所分面积最大．求出七年级所分矩形AFPE部分的面积在x为多少时取得最大值，并求出最大值是多少．知识点一：位似：1.位似的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线，对应边互相，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做。

华东师大版初三数学23章相似三角形典型例题(含答案)

初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。

2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。

3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。

4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。

本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。

相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。

（二）重要知识点介绍：1. 比例线段的有关概念：b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。

把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。

2. 比例性质：3. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。

②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

4. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5. 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方【典型例题】例1. （1）在比例尺是1：8000000的《中国行政区》地图上，量得A 、B 两城市的距离是7.5厘米，那么A 、B 两城市的实际距离是__________千米。

(完整版)相似三角形知识点及典型例题,推荐文档

相似三角形知识点及典型例题知识点归纳：1、三角形相似的判定方法（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两角对应相等，两三角形相似。

（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

（6）判定直角三角形相似的方法：①以上各种判定均适用。

②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC ，（3）（AC）2=CD·BC 。

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

即（AB）2+（AC）2=（BC）2。

典型例题：例1 如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ‖AB ，BG 分别交AD ，AC 于E 、 F ，求证：BE 2＝EF·EG证明：如图，连结EC ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，AD 垂直平分BC∴BE ＝EC ，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2，即∠3＝∠4，又CG ∥AB ，∴∠G ＝∠3，∴∠4＝∠G又∵∠CEG ＝∠CEF ，∴△CEF ∽△GEC ，∴EG CE =CEEF∴EC 2＝EG· EF ，故EB 2=EF·EG 【解题技巧点拨】本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE ，EF ，EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。

九年级数学第6讲：相似三角形的性质-教师版

相似三角形的性质是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形的3个性质定理．重点是灵活应用相似三角形的性质，难点是相似三角形的性质与判定的互相结合．1、相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．相似三角形的性质内容分析知识结构模块一：相似三角形性质定理1知识精讲【例1】已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，1132AB A B =，BE 、 B 1E 1分别是它们的对应中线，且6BE =．求B 1E 1的长．【难度】★ 【答案】4．【解析】解：111ABC A B C ∆∆Q ∽，BE 、11B E 分别是对应中线，1111AB BE A B E B ∴=即11362E B =，114E B ∴= 【总结】本题考查相似三角形对应中线的比等于相似比．【例2】已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，12AC =，119AC =,1A ∠的平分线A 1D 1的长为6，求A ∠的平分线的长．【难度】★ 【答案】8．【解析】解：111ABC A B C ∆∆Q ∽，AD 、11A D 分别是A ∠、1A ∠的平分线，1111AC AD AC A D ∴=即1296AD=，8AD ∴=即A ∠的平分线的长为8．【总结】本题考查相似三角形对应角平分线的比等于相似比．【例3】求证：相似三角形对应高的比等于相似比．【难度】★★ 【答案】略【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高．求证：11ADk A D =．证明：111ABC A B C ∆∆Q ∽，1B B ∴∠=∠，11ABk A B =；又Q AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高， 11190BDA B D A ∴∠=∠=o ，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质．例题解析【例4】求证：相似三角形对应中线的比等于相似比．【难度】★★ 【答案】略【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的中线．求证：11ADk A D =．证明：111ABC A B C ∆∆Q ∽， 1B B ∴∠=∠，1111AB CBk A B C B ==；又Q AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的中线，12BD BC ∴=，111112B D BC =，∴11DB k D B =，1111AB BD A B B D ∴=，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB AD k A B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的运用．【例5】求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．【难度】★★ 【答案】略【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B AC ∠的角平分线．求证：11ADk A D =．证明：111ABC A B C ∆∆Q ∽， 1B B ∴∠=∠，111BAC B AC ∠=∠，11ABk A B =；又Q AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B AC ∠的角平分线，11111111,22BAD BAC B A D B AC ∴∠=∠∠=∠，111BAD BA D ∴∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质．ABEA 1E 1D 1 C 1B 1 ABCDEF 【例6】如图，ABC ∆和111A B C ∆中，AD 和BE 是ABC ∆的高，11A D 和11B E 是111A B C ∆的高，且1C C ∠=∠，1111AD ABA D AB =．求证：1111AD BEA DB E =【难度】★★ 【答案】略【解析】证明：1111AB ADA B A D =Q ，又Q 111ADB A D B ∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽， 111ABD A B D ∴∠=∠，又Q 1C C ∠=∠，111ABC A B C ∴∆∆∽，又Q BE 、11B E 分别是ABC ∆、111A B C ∆的高，1111BE AB E B A B ∴=，1111BE ADE B A D ∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．【例7】如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，BAD C ∠=∠，BE 是ABC ∆的角平分线，交AD 于点F ，1BD =，3CD =，求BF ：BE ．【难度】★★【答案】12．【解析】解：Q BE 是ABC ∆的角平分线，∴ABF EBC ∠=∠，又Q BAD C ∠=∠，ABF CBE ∴∆∆∽，AB BFCB BE∴=，又Q BAD C ∠=∠，ABD ABC ∠=∠ BAD BCA ∴∆∆∽，AB BD BC BA ∴=，14AB AB ∴=，2AB ∴=，12AB BC ∴=，1:2BF BE ∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．AB CDEF GHKAB CE FGDH P【例8】如图，在ABC ∆中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ．若32AH cm =，48BC cm =，矩形DEFG 的周长为76cm ，求矩形DEFG 的面积．【难度】★★ 【答案】2360cm ．【解析】解：设DG xcm =，()38FG x cm =-Q 矩形DEFG ，//90GF BC GDB ∴∠=o ，， GF AGBC AB∴=,又Q AH 是高，90AHB ∴∠=o ， GDB AHB ∴∠=∠//DG AH ∴, DG BG AH AB ∴=，1DG GFAH BC∴+=,3813248x x -∴+=，20x ∴=，∴20DG cm =，18FG cm =，2360DEFG S cm ∴=矩形．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的周长面积等知识．【例9】如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 为BC 边上的高，AH 交DG 于点P ，已知3AH =，5BC =，设DG 的长为x ，矩形DEFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域．【难度】★★★【答案】()233055y x x x =-+<<．【解析】解：Q 矩形DEFG ，//,90GD BC DEC ∴∠=o ，GD ADBC AB∴=，又Q AH 是高，90AHC ∴∠=o ， DEC AHC ∴∠=∠,//DE AH ∴, DE BD AH AB ∴=，1DG DEBC AH∴+=，153x DE ∴+=，又Q DEFG S y x DE ==•矩形，20x ∴=，∴y DE x =，153x y x ∴+=，∴()233055y x x x =-+<<．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．【例10】一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，现需把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）．你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）．【难度】★★★【答案】甲同学方案好，理由略．【解析】解：211.52ABC S AB BC m ∆=•=,又Q 1.5AB m =，2CB m ∴= ∴在Rt ABC ∆中， 2.5AC m =．① 按甲的设计：设DE x =，Q 正方形DEFB ，//,//ED BF EF CB ∴， DE CE AB CA ∴=,EF AE CB AC =，1DE EF BA CB ∴+=，11.52x x∴+=，67x m ∴=，23649DEFB S m ∴=正；②按乙的设计：过点B 作BH AC ⊥交AC 于点H ，得//DG BH ，DG ADBH AB∴=, 设DE x =，则DG x =，Q 正方形DGFE ，//ED AC DE DG ∴=，，DE BD AC BA ∴=，1DE DGCA HB∴+=，Q 1122ABC S AB BC AC BH ∆=•=•，65BH m ∴=，162.55x x ∴+=， 3037x m ∴=，29001369DGFE S m ∴=正；综上，甲设计方案好．【总结】本题考查了三角形一边的平行线，正方形的面积等知识，本题考查了最优化问题．BCDEF1、相似三角形性质定理2相似三角形周长的比等于相似比．【例11】若ABC ∆∽DEF ∆，ABC ∆与DEF ∆的相似比为1:2，则ABC ∆与DEF ∆的周长比为( ) （A ）1:4（B ）1:2（C ）2:1（D ）1:2【难度】★ 【答案】B 【解析】略【总结】相似三角形的周长比等于相似比．【例12】 ABC ∆∽111A B C ∆，它们的对应的中线比为2:3，则它们的周长比是．【难度】★ 【答案】2:3 【解析】略【总结】相似三角形对应中线的比等于相似比，周长比等于相似比．模块二：相似三角形性质定理2知识精讲例题解析AD EF【例13】已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，它们的周长分别为48和60，且12AB =，1125B C =，求BC 和A 1B 1的长．【难度】★【答案】112015BC A B ==，．【解析】解：111ABC A B C ∆∆Q ∽，1111111ABC A B C C AB CBC A B C B ∆∆∴==；又Q111484605ABC A B C C C ∆∆==，∴1120,15BC A B ==．【总结】本题考查相似三角形的性质．【例14】如果两个相似三角形的最长边分别为35厘米和14厘米，它们的周长相差60厘米，那么大三角形的周长是．【难度】★★ 【答案】100cm ．【解析】两三角形的相似比为5:2，则周长比为5:2，设大三角形周长为5acm ，小三角形周长为2acm ，则5260a a -=，所以20a =，所以大三角形的周长为100cm ．【总结】相似三角形的周长比等于相似比．【例15】如图，在ABC ∆中，12AB =，10AC =，9BC =，AD 是BC 边上的高．将ABC∆沿EF 折叠，使点A 与点D 重合，则DEF ∆的周长为．【难度】★★ 【答案】312．【解析】由折叠得EF 垂直平分AD ，Q AD 是BC 上的高，//EF BC ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，12AEF ABC C C ∆∆∴=，9101231ABC C ∆=++=Q ，312AEF C ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．A BCD PACP Q 【例16】如图，梯形ABCD 的周长为16厘米，上底3CD =厘米，下底7AB =厘米，分别延长AD 和BC 交于点P ，求PCD ∆的周长．【难度】★★【答案】152cm ．【解析】解：Q 梯形ABCD ，//CD AB ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，37PDC PAB C CD C AB ∆∆∴==，即327PDC PDC ABCD C C C CD ∆∆=+-梯形，31667PDC PDC C C ∆∆∴=+-，152PDC C cm ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．【例17】如图，在ABC ∆中，=90C ∠︒，5AB =，3BC =，点P 在AC 上（与点A 、C不重合），点Q 在BC 上，PQ //AB ．当PQC ∆的周长与四边形P ABQ 的周长相等时，求CP 的长．【难度】★★ 【答案】247．【解析】解：Q CPQ PABQ C C ∆=四边形，CP CQ PQ BQ PQ AP AB ∴++=+++， CP CQ BC CQ AC CP AB ∴+=-+-+，5AB =Q ，3BC =，90C ∠=o ，4AC ∴=，345CP CQ CQ CP ∴+=-+-+，6CP CQ ∴+=，//PQ AB Q ，CP CQCA CB∴=， ∴643CP CP -=，247CP =．【总结】本题考查了三角形一边的平行线性质，主要考查了学生的推理能力．ACDEF【例18】如图，等边三角形ABC 边长是7厘米，点D 、E 分别在AB 和AC 上，且43AD AE =，将ADE ∆沿DE 翻折，使点A 落在BC 上的点F 上．（1）求证：BDF ∆∽CFE ∆；（2）求BF 的长．【难度】★★★【答案】（1）略；（2）5．【解析】（1）证明：ADE ∆翻折成FDE ∆．ADE FDE ∴∆≅∆，A EFD ∴∠=∠，Q ABC ∆是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=o ，60EFD B C ∴∠=∠=∠=o ，DFC DFE EFC ∠=∠+∠Q ，DFC B BDF ∠=∠+∠， EFC BDF ∴∠=∠， BDF CFE ∴∆∆∽．（2）由（1）知BDF CFE ∆∆∽，BDF CFE C DFC EF∆∆∴=，又ADE FDE ∆≅∆Q ， AD DF AE EF ∴==，，43BDF CFE C AD C AE ∆∆∴==，43BF BD DF BF AB CE FC EF CF AC +++∴==+++， 74773BF BF +∴=-+，5BF ∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，轴对称的性质，应用相似三角形周长比等于相似比是解决本题的关键．模块三：相似三角形性质定理3知识精讲1、相似三角形性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．例题解析【例19】（1）如果把一个三角形的三边的长扩大为原来的100倍，那么这个三角形的面积扩大为原来的倍；（2）如果一个三角形保持形状不变但面积扩大为原来的100倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的倍．【难度】★【答案】（1）10000；（2）10．【解析】略【总结】相似三角形的面积比等于相似比的平方．【例20】两个相似三角形的面积分别为5cm2和16cm2，则它们的对应角的平分线的比为（）（A）25:256（B）5:16（C）5:4（D）以上都不对．【难度】★【答案】C【解析】相似三角形对应角平分线的比等于相似比，对应面积的比等于相似比的平方．【总结】本题考查相似三角形的性质．AB CD EAB CD EAB CD【例21】如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 和AC 上，DE //BC ，6DE =，9BC =，16ADE S ∆=．求ABC S ∆的值．【难度】★ 【答案】36．【解析】解：//DE BC Q ，ADE ABC ∴∆∆∽，226499ADE ABC S DE S BC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，36ADE S ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．【例22】如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，若B ACD ∠=∠，4AD cm =，6AC cm =，28ACD S cm ∆=，求ABC ∆的面积．【难度】★ 【答案】218cm ．【解析】解：B ACD ∠=∠Q ，A A ∠=∠，ACD ABC ∴∆∆∽，222439ACD ABC S AD S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又28ACD S cm ∆=Q ，218ABC S cm ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．【例23】如图，在ABC ∆中，点D 、E 在AB 、AC 上，DE //BC ，ADE ∆和四边形BCED的面积相等，求AD :BD 的值．【难度】★★1．【解析】解：//DE BC Q ，ADE ABC ∴∆∆∽，2ADE ABC S AD S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，ADE BCED S S ∆=Q 四边形， 12ADE ABC S S ∆∆∴=，AD AB ∴=1AD DB ∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．A BCEF【例24】如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 上的点，DE AC ⊥，EF AB ⊥，FD BC ⊥，则DEF ∆的面积与ABC ∆的面积之比等于（）（A ）1:3 （B ）2:3 （C2 （D【难度】★★ 【答案】A【解析】解：Q ABC ∆是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=o ，又DE AC ⊥Q ，EF AB ⊥，FD BC ⊥， 90AFE FDB DEC ∴∠=∠=∠=o ， 30AEF BFD EDC ∴∠=∠=∠=o ， 60EFD FDE FED ∴∠=∠=∠=o，12BD BD BF DF ==， ∴FDE ∆是等边三角形，AFE BDF ∴∆≅∆， AF BD ∴=， FDE ABC ∴∆∆∽，2DEF ABC S DF S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，设AF x =，则BD x =，2BF x =，DF =，DF AB ∴=13DEF ABC S S ∆∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识．AB CDF【例25】如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，D 、E 分别为垂足．若60C ∠=︒，1CDE S ∆=，求四边形DEAB 的面积．【难度】★★ 【答案】3．【解析】解：AD BC BE AC ⊥⊥Q ，，90CDA BEC ∴∠=∠=o ． 90CDA BEC ∴∠=∠=o ，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB∴=．90CDA BEC ∴∠=∠=o ，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB∴=，DCE ACB ∴∆∆∽，2DCE ACB S CD S CA ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又60C ∠=oQ ，30CBE CAD ∴∠=∠=o ，12CD CA =，14DCE ACB S S ∆∆∴=，13DCE BDEA S S ∆∴=四边形，1CDE S ∆=Q ，3DEAB S ∴=四边形．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识．【例26】如图，BE 、CD 是ABC ∆的边AC 、AB 上的中线，且相交于点F ，联结DE ．求ADE BFC SS ∆∆的值．【难度】★★ 【答案】43．【解析】分别过点A 、F 作AH BC ⊥、FG BC ⊥，交BC 分别于点H 、G ，得//FG AH ，FG KFAH AK=．联结AF 并延长交BC 于点K ．CD Q 、BE 是ABC ∆的中线，//DE BC ∴，12DE BC =， F Q 是重心，13KF AK ∴=，13GF AH ∴=． 11113322444ADES DE AH DE AH DE FG DE FG ∆====Q g g g g ， 11222BFC S BC FG DE FG DE FG ∆===g g g ，34ADE BFC S S ∆∆∴=．【总结】本题考查三角形一边的平行线，重心的意义，三角形中位线及三角形的面积等．A BCDEF OA BCDEFG【例27】如图，在矩形ABCD 中，AB = 2cm ，BC = 4cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 在BC 边上，DE 于AC 交于点F ，EDC ADB ∠=∠．求：（1）BE 的长；（2）CEF ∆的面积．【难度】★★【答案】（1）3cm ；（2）215cm ．【解析】解：（1）Θ矩形ABCD ，2AB DC cm ∴==，且//AD BC ，ADB DBC ∴∠=∠，EDC ADB ∠=∠Q ，EDC DBC ∴∠=∠，CDE CBD ∴∆∆∽，CD CECB CD∴=，242CE∴=，1CE cm ∴=，3BE cm ∴=；（2）//AD BC Q ，∴4AD DFEC EF ==，5DCE CFES DE S EF ∆∆∴==，又11212CDE S ∆=⨯⨯=Q ，215CFE S cm ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质，矩形的性质，同高三角形的面积比等于底边的比等知识．【例28】如图，Rt ABC ∆中，点D 是BC 延长线上一点，直线EF //BD 交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S ∆=四边形，求CF AD 的值．【难度】★★ 【答案】21．【解析】解：//EF BD Q ，AEG AEC ∴∆∆∽，AE AFAB AD∴=，2AEG ABC S AE S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，13AEGEBCG S S ∆=Q 四边形，14AEG ABC S S ∆∆∴=，12AE AF AB AD ∴==，Rt ABC ∆Q ，90ACD ACB ∴∠=∠=o ，CF ∴是中线，12CF AD ∴=,12CF AD ∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质，直角三角形的性质，三角形一边的平行线等知识．ABCDEOABC DEF 【例29】如图，在ABC ∆中，BD AC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，EC 和BD 相交于点O ，联结DE ．若16EOD S ∆=，36BOC S ∆=，求AEAC 的值．【难度】★★★ 【答案】23．【解析】解：BD AC CE AB ⊥⊥Q ，， 90BEO CDO ∴∠=∠=o ，A A ∠=∠Q ,AEC ADB ∴∆∆∽，AE ADAC AB∴=， ADE ABC ∴∆∆∽，AE DEAC BC∴=．EOB DOC ∠=∠Q ，EOB DOC ∴∆∆∽，EO BOOD OC∴=，EOD BOC ∠=∠Q ，EOD BOC ∴∆∆∽，2164369EOD BOC S ED S CB ∆∆⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭，23ED BC ∴=，23AE AC ∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定知识．【例30】如图，90ACB ∠=︒，DF AB ⊥于点F ，45EF BE =，14DCE BFE S S ∆∆=，且CE = 5，求：（1）BC 的长；（2）CEF S ∆．【难度】★★★【答案】（1）352；（2）15．【解析】解：（1）FD AB ⊥Q ，90EFB ∴∠=o ， 90ACB ∠=o Q ，90BCD ∴∠=o ，EFB BCD ∴∠=∠，FEB CED ∠=∠Q ，BFE DCE ∴∆∆∽，2BFE DCE S EF S CE ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又14DCE BFE S S ∆∆=Q ，2FE CE ∴=，45FE BE =Q ，25CE BE ∴=．5CE =Q ，252BE ∴=，352BC ∴=；（2）45FE BE =Q，10EF ∴=，152BF =，17522BEF S BF EF ∆∴==g ，又52BFE FEC S EB S CE ∆∆==Q ，15FEC S ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识．【习题1】已知ABC ∆∽'''A B C ∆，AD 、''A D 分别是ABC ∆和'''A B C ∆的角平分线，且3''2AD A D =，9AB =，则''A B =．【难度】★ 【答案】6．【解析】解：'''ABC A B C ∆∆Q ∽，AD 、''A D 分别是对应角平分线，''''32AB AD A B A D ∴==，9AB =Q ，''6A B ∴=．【总结】本题考查相似三角形对应角平分线的比等于相似比．【习题2】若一个三角形三边之比为3:5:7，与它相似的三角形的最长边的长为21厘米，则其余两边长的和为．【难度】★ 【答案】24．【解析】解：设三角形的三边长为3a ，5a ，7a ，由题知，721a =，3a ∴=， 35824a a a ∴+==．【总结】本题考查相似三角形的性质．【习题3】两个相似三角形的周长分别为5cm 和16cm ，则它们的对应角的平分线的比为（）（A ）25:256（B ）5:16（C ）5:4（D ）以上都不对【难度】★ 【答案】B 【解析】略【总结】本题考查相似三角形对应周长的比、对应角平分线的比都等于相似比．随堂检测【习题4】已知：D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、CA 、AB 的中点．求证：=4ABC DEF S S ∆∆．【难度】★★ 【答案】略．【解析】解：D Q 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、CA 、AB 的中点，12DF EF DE AC BC AB ∴===，DEF ABC ∴∆∆∽，214DEF ABC S DF S AC ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，4ABC DEF S S ∆∆∴=．【总结】本题考查三角形中位线，相似三角形的性质及判定知识．【习题5】如图，DE 是ABC ∆的中位线，N 是DE 的中点，CN 的延长线交AB 于点M ，若ABC S ∆= 24，求AMNE S 四边形．【难度】★★ 【答案】略．【解析】解：联结AN ．DE Q 是ABC ∆的中位线， //DE BC ∴，12DE BC =，ADE ABC ∴∆∆∽， 164ADE ABC S S ∆∆∴== ，N Q 是DE 的中点， 132ADN ADE S S ∆∆∴==，//DE BC Q ，14DN BC =，14DM BM ∴=，1133DM BD AD ∴==，113DMN ADN S S ∆∆∴==错误!未找到引用源。

初中九年级相似相似三角形知识点总结及经典例题解析

第27章：相似一、基础知识(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 （2）合比定理：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

4.相似三角形的性质● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比.● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。

如求河的宽度、求建筑物的高度等。

(三)位似:位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。

(完整版)相似三角形知识点及典型例题,推荐文档

相似三角形知识点及典型例题知识点归纳：1、三角形相似的判定方法(1)定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

(2)平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。

(3)判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两角对应相等，两三角形相似。

(4)判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

(5)判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

(6)判定直角三角形相似的方法：①以上各种判定均适用。

②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 那么这两个直角三角形相似。

③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt△ ABC 中，/ BAC=90 , AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：(1)( AD) 2=BD- DC ( 2)( AB) 2=BD • BC ,22(3)( AC) =CD・ BC。

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

即 2 2(AB) + ( AC) = ( BC)2典型例题:例1 如图，已知等腰 △ABC 中，AB = AC , AD 丄BC 于D , CG II AB , BG 分别交AD , AC 于E 、F ，求证：BE 2=EF EG证明：如图，连结 EC ,v AB = AC , AD 丄BC ,•••/ ABC = Z ACB , AD 垂直平分 BC••• BE = EC ，/ 1 =Z 2，•/ ABC- / 1 =Z ACB- / 2 ,即/ 3 = Z 4，又 CG // AB ，•/ G = Z 3，•/ 4 = Z GCE EF又•••/ CEG = Z CEF , CEF GEC , • EG = CE • EC 2= EG- EF ，故 EB 2=EF -EG【解题技巧点拨】本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明•而其中利用线段的垂直平分线的性质得到 BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE , EF , EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。

初三相似三角形知识点以及经典例题

初三相似三角形知识点以及经典例题相似三角形是指形状相同但大小不同的三角形。

它是相似多边形中最简单的一种。

如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就是相似三角形。

相似三角形对应边长度的比叫做相似比或相似系数。

比例线段是指四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，那么这四条线段就是成比例线段，简称比例线段。

需要注意的是，比例线段是有顺序的，而且有比例式的定义。

在比例式中，a、d叫比例外项，b、c叫比例内项，a、c叫比例前项，b、d叫比例后项。

如果b=c，即a：b=c：d，那么b叫做a、d的比例中项，此时有b=ad。

比例有一些基本性质和定理。

比如，a:b=c:d等价于ad=bc；a:b=b:c等价于b=ac/b；同时，比例的分母不能为0.还有更比性质、反比性质、合、分比性质等。

需要注意的是，由一个比例式只能化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如ad=bc，除了可化为a:b=c:d等。

比例线段也有一些相关定理，如三角形中平行线分线段成比例定理和平行线分线段成比例定理。

其中，三角形中平行线分线段成比例定理指的是平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例；而平行线分线段成比例定理指的是三条平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例。

例题1：已知线段a=6 cm，b=2 cm，则a、b、a+b的第四比例项是18 cm，a+b与a-b的比例中项是3 cm。

例题2：若(a+b)/(b+c)=(a-c)/(c-a)，则m=1.相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。

用符号“∽”表示，读作“相似于”。

对应角和对应边可以通过对应顶点的字母来表示，这样更容易找到相似三角形的对应角和对应边。

相似三角形的对应边的比叫做相似比（或相似系数）。

相似三角形对应角相等，对应边成比例。

相似三角形有三个等价关系：反身性、对称性和传递性。

反身性是指任何三角形都与自己相似。

浙教版数学九年级上册第4章相似三角形知识点汇总及例题讲解

⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩比例的性质平行线分线段成比例成比例线段平行线分线段成比例定理相似三角形定义相似三角形的基本判定相似三角形判定相似三角形性质位似一、比例的性质1．a cad bc b d=⇔=，这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式； 2．a c b db d ac =⇔=(反比定理)； 3．a c a bb dcd =⇔=(或d c b a =)(更比定理)；4．a c a b c db d b d ++=⇔=(合比定理)； 5．ac a b cd b d b d --=⇔=(分比定理)； 6．a c a b c d b d a b c d++=⇔=--(合分比定理)； 7．(0)a c m a c m a b d n b d n b d n b++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+(等比定理).二、黄金分割如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中510.6182AC AB AB -=≈，相似三角形知识精讲知识网络图0.382BC AB AB =≈，AC 与AB 的比叫做黄金比．三、平行线分线段成比例定理1．定理：三条平行直线截两条直线，截得的对应线段成比例．2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．3．推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 4．三角形一边的平行线性质平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，AB CD EF ∥∥，则AC BD CE DF AC BD CE DFCE DF AC BD AE BF AE BF====，，，．若将AC 称为上，CE 称为下，AE 称为全，上述比例式可以形象地表示为====上上下下上上下下，，，下下上上全全全全．当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“A ”字型，“X ”字型．则有 AE AF AE AF EFBC EF EB FC AB AC BC⇔===∥，．四、相似三角形的定义1．相似三角形：形状相同的两个三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．AAB C D E FFEDC B A A BE F F ECBA2．相似三角形的相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比；全等三角形的相似比是1，“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”。

九年级数学相似三角形的性质及应用(教师版)知识点+典型例题+详细答案

相似三角形的性质及应用【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则2 1122=1122ABCA B CBC AD k B C k A DSk S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.要点二、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 要点诠释：　1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．【典型例题】类型一、相似三角形的性质1. △ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.【答案】设另两边长是xcm，ycm，且x＜y. (1)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm. (2)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm. (3)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm. 综上所述，△DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm，cm或cm，cm三种可能.2.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.【答案】∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC.∵AD⊥BC，∴AD⊥EH，MD=EF.∵矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得，∴，∴，∴.∴ EF=6cm，EH=12cm.∴举一反三1、如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.【答案】在和中，， . 又∵∽，相似比为. 的周长为，的面积是.2、有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.【答案】设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2. ∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2 且，， ∴， ∴.3、如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（） A. 2：5 B．14:25 C．16:25 D. 4:21【答案】B.【解析】由已知可得AB=10，AD=BD=5，设AE=BE=x, 则CE=8-x, 在Rt△BCE中，x2-(8-x)2=62,x=, 由△ADE∽△ACB得， S△BCE：S△BDE=（64-25-25）：25=14:25，所以选B.4、在锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2,求AC 边上的高.【答案】过点B 做BF⊥AC,垂足为点F ，∵AD,CE 分别为BC,AB 边上的高，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴Rt△ADB∽Rt△CEB,∴,BD AB BD BEBE CBAB CB ==即,且∠B=∠B，∴△EBD∽△CBA,∴221189BED BCADE AC SS⎛⎫=== ⎪⎝⎭△△,∴13DE AC =,又∵DE=2，∴AC=6，∴11862ABC AC BF S =⋅=∴△，B F=.5、已知：如图，在△ABC 与△CAD 中，DA∥BC，CD 与AB 相交于E 点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC 交AC 于F 点，△ADE 的面积为1，求△BCE 和△AEF 的面积．【答案】∵DA∥BC， ∴△ADE∽△BCE． ∴S △ADE :S △BCE =AE 2:BE 2． ∵AE︰BE=1:2， ∴S △ADE :S △BCE =1:4． ∵S △ADE =1， ∴S △BCE =4． ∵S△ABC:S△BCE=AB:BE=3:2，∴S△ABC=6． ∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC． ∵AE:AB=1:3，∴S△AEF:S△ABC=AE2:AB2=1:9．∴S△AEF==．6、如图，已知中，，，，，点在上，(与点不重合)，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长. (2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.【答案】(1)∵，∽. (2)∵的周长与四边形的周长相等.=6，∽.类型二、相似三角形的应用3. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？【答案】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？ ∵AB⊥BC，CD⊥BC ∴∠ABO=∠DCO=90° 又∵∠AOB=∠DOC ∴△AOB∽△DOC. ∴ ∵BO=50m，CO=10m，CD=17m ∴AB=85m 即河宽为85m．4. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?(2)求古塔的高度．【答案】(1)△ABC∽△ADE．∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE(2)由(1)得△ABC∽△ADE∴∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，∴∴DE=16m即古塔的高度为16m。

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