结晶学2晶体的对称
《结晶学基础》
.
2．鲍林第二规则---静电价规则
在一个稳定的晶体结构中，从所有相邻接的阳离 子到达一个阴离子的静电键的总强度，等于阴离子 的电荷数。
静电键强度
S＝ Z＋ CN＋
• 在离子晶体中，配位数指的是最紧邻的异号离子数，所以正、 负离子的配位数不一定是相等的。阳离子一般处于阴离子紧密堆 积阳的离空子隙还中可，能其出配现位其数 它一 的般 配为 位数4或。6. 。如果阴离子不作紧密堆积，
配位数
阴离子作正八 面体堆积，正、 负离子彼此都能 相互接触的必要
条件为r＋/r=0.414。
凸几何多面体倾向。
❖ 4．对称性－－晶体的物理化学性质能够在不同方
向或位置上有规律地出现，也称周期性 .
晶体的性质
❖ 5．均匀性（均一性）－－一个晶体的各个部分性
质都是一样的。 这里注意：均匀性与各向异性不同，前者是指晶
体的位置，后者是指观察晶体的方向。
❖ 6. 固定熔点 ❖ 7．晶面角守恒定律－－晶面（或晶棱）间的夹角
宏观晶体中对称性只有32种，根据对称型中是否存在 高次轴及数目对晶体分类
❖ 存在高次轴（n>2）且多于一个―――高级晶族 ――包括：等轴（立方）晶系
❖ 存在高次轴（n>2）且只有一个―――中级晶族 ――包括：三方、四方、六方晶系
❖ 不存在高次轴（n>2）―――低级晶族――包括： 三斜、单斜、正交晶系
第一章 结晶学基础
.
1-1 晶体的基本概念与性质
一、晶体的基本概念
➢ 人们对晶体的认识，是从石英开始的。 ➢ 人们把外形上具有规则的几何多面体形态的
《结晶学与矿物学》-第二章-八-晶体的对称特点和晶体的对称定律
八、晶体的对称特点与晶体的对称定律
晶体对称的特点：
1）由于晶体内部都具有格子构造，通过平移，可使相同质点重复，因此，所有的晶体结构都是对称的（这种对称叫平移对
称）。
2）晶体的对称受格子构造规律的限制，因此，晶体的对称是有限的，它遵循“晶体对称定律”。
3）晶体的对称不仅体现在外形上，同时也体现在物理性质上。
由以上可见:格子构造使得所有晶体都是对称的，格子构造也使得并不是所有对称都能在晶体中出现的。
晶体的对称定律：
由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种质点格子状的分布特点决定了晶体的对称轴只有n = 1，2，3，4，6这五种，不可能出现n = 5， n > 6的情况。
为什么呢？
1、直观形象的理解：垂直五次及高于六次的对称轴的平面结构不能构成面网（即不能形成平行四边形），且不能毫无间隙地铺满整个空间,
即不能成为晶体结构。
思考：三角形、六边形可以形成面网吗？
2、数学的证明方法：
t’ = mt
t’= 2tsin(α-90)+ t = -2tcos α + t 所以，mt = -2tcos α + t
2cos α = 1- m
cos α = (1 - m)/2
-2 ≤ 1 - m ≤ 2 m = -1,0,1,2,3
相应的α ＝ 0 或2 π ， π /3, π /2， 2 π /3, π，相应的轴次为1，6，4，3，2。
（但是，在准晶体中可以有5、8、10、12次轴）t t’t t αα。
结晶学试题及答案
结晶学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪种物质属于晶体？A. 玻璃B. 珍珠C. 橡胶D. 食盐答案：D2. 结晶学中，晶体的对称性由什么决定？A. 原子大小B. 原子间距离C. 晶体的晶格结构D. 晶体的颜色答案：C3. 下列哪项不是晶体的基本性质？A. 各向异性B. 自范性C. 均匀性D. 可塑性答案：D4. 晶体生长的驱动力是什么？A. 温度升高B. 压力增大C. 化学势梯度D. 重力作用答案：C5. 晶体的晶面间距与晶面指数之间的关系是什么？A. 正比关系B. 反比关系C. 没有关系D. 指数关系答案：B6. 下列哪种晶体结构不属于七大晶系？A. 立方晶系B. 四方晶系C. 三方晶系D. 十二面体晶系答案：D7. 布拉格定律适用于哪种类型的晶体？A. 单晶B. 多晶C. 非晶D. 纳米晶答案：A8. X射线衍射分析中，布拉格定律的公式是什么？A. nλ = 2d sinθB. nλ = d sinθC. nλ = d cosθD. nλ = 2d cosθ答案：A9. 下列哪种物质不具有晶体结构？A. 金刚石B. 石墨C. 沥青D. 石英答案：C10. 晶体的熔点与其对称性有什么关系？A. 熔点随对称性增加而升高B. 熔点随对称性增加而降低C. 没有关系D. 熔点与对称性成指数关系答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11. 结晶学中的“晶格”指的是_____________________。
答案：晶体内部的三维结构排列12. 晶体的三个基本特征包括____________、____________和____________。
答案：自范性、均一性和各向异性13. 晶体生长过程中，晶核的形成是____________的结果。
答案：过饱和溶液或过冷液体14. 晶体的晶面指数通常用____________表示。
答案：米勒指数15. 在晶体中，晶格常数是指晶格中相邻原子间的平均距离。
2.晶体的对称
综合考虑平行六面体的形状及结点的分布情况，在
晶体结构中只可能出现14种不同型式的空间格子。这是由 法国结晶学家布拉维(A．Bravais)于1848年所最先推导出
来的，故称为14种布拉维格子。
例：四方底心格子(虚线部分的最小单位) 可转化为体 积更小的四方原始格子（实线部分的最小单位 ）。 等轴晶系不存在底心格子，因为与等轴晶系的 对称不符。
即四种格子类型
平行六面体中结点的分布
a a-原始格子
b b-底心格子
c c-体心格子
d d-面心格子
4．14种空间格子（布拉维格子）
平行六面体有七种形状，四种结点分布类型，为什么 不是7×4＝28种空间格子，而只有14种呢？这是因为某些 类型的格子彼此重复并可转换，还有一些不符合某晶系的 对称特点，而不能在该晶系中存在。
④ 如果有一个L2垂直Lin， 或者 有一个P包含Li n
当n为奇数时：则必有nL2垂直Lin或n个P包含Lin； 即： L2 ⊥ + Lin 或：P∥ + Lin
→ Lin nL2nP
（n为奇数） （n为奇数）
→ Lin nL2nP
例：L2 ⊥ + Li3 → Li3 3 L2 3P 当n为偶数时：则必有n/2 L2垂直Lin或n/2P包含Lin； 即：L2 ⊥ + Lin
矿物结晶学基础：晶体的宏观对称与分类
矿物结晶学基础：晶体的宏观对称与分类晶体的宏观对称晶体的内部质点在三维空间为周期性的重复排列，因此晶体（原石）都具有一个特性----对称性→构成其外部几何形态的面、棱和角顶有规律地重复。
钻石原石海蓝宝原石尖晶石原石与成品对称是有限的不同的宝石矿物由于其内部质点按不同的规律重复排列（格子构造不同），因而会具有不同的对称性。
有的矿物晶体对称性很高(如钻石和尖晶石等)，有的则对称性较低(如托帕石、天河石等)。
只有符合格子构造规律的对称才能在晶体上体现出来，因此晶体的对称是有限的。
对称性很高的石榴石对称性没那么明显的天河石如何分析对称性？为了研究和分析晶体的对称性，往往要进行一系列的操作----使晶体中相同部分重复而进行的操作，称之为对称操作。
进行对称操作所借助的几何要素(点、线、面)称为对称要素，一般包括对称面、对称轴和对称中心等。
对称面----是一个假想的通过晶体中心的平面，它将晶体平分为互为镜像的两个相等部分，以P来表示，最多可有9个。
对称面与非对称面的对比立方体的九个对称面（记作9P）对称轴----一根假想的通过晶体中心的直线。
怎么确定呢？围绕此直线旋转一周，看晶体中相同部分重复出现的次数，我们把次数叫轴次，且只能出现2、3、4、6次，分别表示为L2、L3、L4、L6。
其中轴次高于2次的对称轴（即L3、L4、L6）称为高次轴。
绿柱石具六次对称轴（可见正六边形的横截面）对称中心----一个假想的位于晶体中心的点，相应的对称操作就是对此点的反伸。
如果通过此点作任意直线，则在此直线上距对称中心等距离的两端必定可找到对应点。
对称中心用C来表示。
PS：对称中心C最多只有一个。
当存在对称中心时，晶面常成对分布、两两平行、同形等大......对称要素总结一个晶体中所有对称要素（对称面、对称轴和对称中心）的组合称为该晶体的对称型。
例如，萤石晶体存在三个L4、四个L3、六个L2、九个对称面P、一个对称中心C，那么萤石的对称型就是所有这些对称要素的总和。
4几何结晶学基础4-对称
对称元素的组合
• 二次轴(L2)+对称面(P) • Step 1: reflect • Step 2: rotate
Is that all??
No! A second mirror is required ! So, L2 + P = L2 2P (2-D)
对称元素的组合
• 四次轴(L4)+对称面(P)
第四章 晶体的对称
crystal symmetry
• • • • • 对称的概念 晶体的对称要素 对称要素的组合规律 对称型(点群)及其符号 晶体的对称分类
一、何谓对称 ？Symmetry
对称:就是物体或一图形中相同部分有规律的重复
是宇宙间的普遍现象 是自然科学最普遍和最基本的概念 是建造大自然的密码 是永恒的审美要素 须满足的条件： 对称的图形必须由两个以上的相同部分组成 相同的部分通过一定的操作（旋转、反映、反伸） 作彼此可以重合起来，使图形恢复原来的形状。
4
L
6
Li
4
Li
6
P 9
C 1
习惯符 国 际 号 符号 3L44L3 m3m 6L29PC 等 高 轴 级
完整的实习报告包括：
实习报告一 在晶体模型上寻找对称要素
一、实习目的： 二、实习内容和方法： 三、实习结果：
次现晶 的五体 对次上 称或不 轴高可 于能 六出 L5
L2
L3
L4
L6
L7
L8
对称轴(Ln)之对称操作
其他的对称轴(没有5-fold 和 > 6-fold 的)
6 6 6
6 6
6
3-fold 4-fold
6
1-fold
2-fold
材料化学 (第一章 晶体的特性与点阵结构)
m, n, p = 0, ±1, ±2, ...
3.点阵及其基本性质
（1）. 点阵: 连结任意两点所得向量进行平移后能够复原 的一组点称为点阵.
X X
不是点阵
不是点阵
点阵
（2）. 点阵的二个必要条件: (a)点数无限多 (b)各点所处环境完全相同
(3). 点阵与平移群的关系:
(a)连结任意两点阵点所得向量必属于平移群. (b)属于平移群的任一向量的一端落在任一点阵点时, 其另一端必落在此 点阵中另一点阵点上.
第一章 晶体的特性与点阵结构
第一部分 晶体学基础
一 晶体学发展的历史
二 晶体的特性
三 晶体结构 （一）晶体结构的周期性 （二）点阵结构与点阵 （三）晶体结构参数
第二部分 晶体中的对称
一 晶体的宏观对称性 二 晶体的微观对称性
第一部分 晶体学基础
一、晶体学发展的历史
西汉，《韩诗外传》“凡草木花多五出，雪花独六出”
六方素格子、正方素格子、矩形素格子、矩形带心格子和平行四边形格子。
空间点阵的七种类型、十四种型式
(1) 七种类型 — 7种对称类型对应7个晶系
•
•
一维平移群表示为：Tm ma
m = 0, ±1, ±2, ……
2.二维点阵结构与平面点阵 1)实例 (a) NaCl晶体中平行于某一晶面的一层离子 结构:
结构基元: 点阵:
(b)石墨晶体中一层C原子
结构： x
结构基元： 点阵：
2)平面格子 连结平面点阵中各点阵点所得平面网格.
2)平面格子 连结平面点阵中各点阵点所得平面网格.
4.晶胞参数与原子坐标参数
(1).晶胞(Unit cell)
空间格子将晶体结构截成的一个个大小、形状相等，包含等同 内容的基本单位。
结晶学 第三章 晶体的对称
3）对称轴Ln 与垂直它的对称面P的组合。考虑到组 合规律Ln(偶次)P⊥→Ln(偶次)PC，则可能的对称型为： （L1P=P）；L2PC；（L3P=Li6）；L4PC；L6PC。 4）对称轴Ln与包含它的对称面的组合。根据组合规 律Ln P∥→LnnP，可能的对称型为：（L1P=P） L22P；L33P；L44P；L66P。
根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导 出晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅 有32个。那么，这32个对称型怎么推导出来？
A类对称型（高次轴不多于一个）的推导： 1）对称轴Ln单独存在，可能的对称型为 L1； L2；L3； L 4；L 6 。 2）对称轴与对称轴的组合。在这里我们只考虑Ln与垂 直它的 L2 的组合。根据上节所述对称要素组合规律 LnL2→LnnL2 ， 可 能 的 对 称 型 为 ： （ L1L2=L2 ） ； L22L2=3L2；L33L2；L44L2；L66L2 如果L2与Ln斜交有可能 出现多于一个的高次轴， 这时就不属于A类对称型了。
6）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型为： Li1=C； Li2=P；Li3=L3C；；Li6=L3P。 7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含它的P）的 组合。根据组合规律，当n为奇数时LinnL2nP，可能 的对称型为：（Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC； 当n为偶数时 Lin(n /2)L2(n /2)P，可能的对称型为： （Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。
Li 2= P
Li 3= L3C
Li 4
Li 6= L3P
• 值得指出的是，除Li4外，其余各种旋转反伸轴 都可以用其它简单的对称要素或它们的组合来 代替，其间关系如下： Li1 = C， Li2 = P， Li3 = L3 +C， Li6 = L3 + P • 但一般我们在写晶体的对称要素时，保留Li4 和Li6，而其他旋转反伸轴就用简单对称要素代 替。这是因为Li4 不能被代替， Li6在晶体对称 分类中有特殊意义。
群论-2 晶体的对称群
物理学中的群论——晶体的对称群主讲翦知渐群论-晶体的对称群第二章晶体的对称群晶体点群和空间群§2.1 晶体的结构和宏观对称操作§2.2晶体的第一类点群§2.3 晶体的第二类点群§2.4点群与晶系的关系§2.5 空间群的基本概念和性质§2.1晶体的结构和宏观对称操作晶体中可能的对称操作1 基元与晶格基元理想晶体是原子、分子或离子规则排列的固体理想晶体是原子分子或离子规则排列的固体晶体按其周期性重复的一部分原子称为基元晶格每个基元用一个点来代表——晶体的周期性用空间点阵描述，每个点子叫做阵点。
晶体的结构——晶格和基元基元是其重复的部分，主要和晶体的宏观对称性相关晶格是其周期性的表现，体现了晶体的微观对称性二者是不同的但是又是相关的二者是不同的，但是又是相关的，不能任意组合原点任取，从原点引出三个不共面的矢量a1、a2、a3，末晶格的特点端落在该方向最邻近的阵点上——取法不唯一点阵可以按a1、a2、a3三个矢量划分成平行六面体为单元的空间格子，称为晶格。
每一个格子平均占据一个阵点2 原胞和单胞原胞晶格中最小的平行六面体重复单元就称为原胞另种原胞另一种原胞：维格纳原胞——充分反映对称性平行六面体原胞的三个棱矢a1、a2、a3：原胞基矢布喇菲格子对于满足以下平移条件的空间格子，称之为布喇菲格子：τn= n1a1+ n2a2+ n3a3式中τn 为平移矢量，n1、n2、n3为任意整数。
单胞有些的晶体无论怎样选取原胞，都不能充分反映晶体的对称性在结晶学中经常扩大晶格单元的选取，取比原胞大几倍的平行六面体作为晶格的基本重复单元，称之为单胞也叫结晶学原胞例如：铜晶体，只有选取为原胞体积4倍大的面心立方单胞单胞的三个棱形成的基矢称为单胞基矢，记为a , b , c才能反映它的对称性单胞的个棱形成的基矢称为单胞基矢，记为,,33 晶体的宏观对称操作宏观对称操作：对有限大的晶体的一个对称变换对有限大的晶体，任何平移都不能保持晶体不变——晶体的宏观对称操作不包含平移操作体系变换后不变——保持一点不动——点群：O(3)群的子群1) 恒等操作恒等操作即晶体的恒等变换：不对晶体做任何操作在国际符号中用1来表示，在熊夫利符号中用e表示来表示在熊夫利符号中用如果用矩阵形式描述恒等操作，就是单位矩阵晶体绕某个对称轴转定角度的个变换2)转动操作：晶体绕某一个对称轴转一定角度的一个变换任何对称操作必然使得晶格在变换前后一一重合——因此晶体转动的角度不能是任意的设R 为绕某个轴n 的一个转动，a 1、a 2、a 3为过轴上一个结点引向临近结点的三个原胞基矢，则31,2,3j ij i R R j ≡=∑a a ，式中R i j 为R 的矩阵元。
群论-晶体的对称群
物理学中的群论——晶体的对称群主讲翦知渐群论-晶体的对称群第二章晶体的对称群晶体点群和空间群§2.1 晶体的结构和宏观对称操作§2.2晶体的第一类点群§2.3 晶体的第二类点群§2.4点群与晶系的关系§2.5 空间群的基本概念和性质§2.1晶体的结构和宏观对称操作晶体中可能的对称操作1基元和晶格基元理想晶体是原子、分子或离子规则排列的固体理想晶体是原子分子或离子规则排列的固体晶体按其周期性重复的一部分原子称为基元晶格每个基元用一个点来代表——晶体的周期性用空间点阵描述，每个点子叫做阵点。
晶体的结构——晶格和基元基元是其重复的部分，主要和晶体的宏观对称性相关晶格是其周期性的表现，体现了晶体的微观对称性二者是不同的但是又是相关的二者是不同的，但是又是相关的，不能任意组合原点任取，从原点引出三个不共面的矢量a1、a2、a3，末晶格的特点端落在该方向最邻近的阵点上——取法不唯一点阵可以按a1、a2、a3三个矢量划分成平行六面体为单元的空间格子，称为晶格。
每一个格子平均占据一个阵点2原胞和单胞原胞晶格中最小的平行六面体重复单元就称为原胞另种原胞另一种原胞：维格纳原胞——充分反映对称性平行六面体原胞的三个棱矢a1、a2、a3：原胞基矢布喇菲格子对于满足以下平移条件的空间格子，称之为布喇菲格子：τn= n1a1+ n2a2+ n3a3式中τn 为平移矢量，n1、n2、n3为任意整数。
单胞有些的晶体无论怎样选取原胞，都不能充分反映晶体的对称性在结晶学中经常扩大晶格单元的选取，取比原胞大几倍的平行六面体作为晶格的基本重复单元，称之为单胞也叫结晶学原胞例如：铜晶体，只有选取为原胞体积4倍大的面心立方单胞单胞的三个棱形成的基矢称为单胞基矢，记为a , b , c才能反映它的对称性单胞的个棱形成的基矢称为单胞基矢，记为,,3晶体的宏观对称操作宏观对称操作：对有限大的晶体的一个对称变换对有限大的晶体，任何平移都不能保持晶体不变——晶体的宏观对称操作不包含平移操作体系变换后不变——保持一点不动——点群：O(3)群的子群1) 恒等操作恒等操作即晶体的恒等变换：不对晶体做任何操作在国际符号中用1来表示，在熊夫利符号中用e表示来表示在熊夫利符号中用如果用矩阵形式描述恒等操作，就是单位矩阵晶体绕某个对称轴转定角度的个变换2)转动操作：晶体绕某一个对称轴转一定角度的一个变换任何对称操作必然使得晶格在变换前后一一重合——因此晶体转动的角度不能是任意的设R 为绕某个轴n 的一个转动，a 1、a 2、a 3为过轴上一个结点引向临近结点的三个原胞基矢，则31,2,3j ij i R R j ≡=∑a a ，式中R i j 为R 的矩阵元。
第三章晶体的宏观对称剖析
2021/2/4
1
39
• 6）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型
为：Li1=C；Li2=P；Li3=L3C；Li4；Li6=L3P。
• 7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含 它的P）的组合。根据组合规律，当n为 奇数时LinnL2nP，可能的对称型为： （Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC； 当n为偶数时 Lin(n /2)L2(n /2)P，可能的 对称型为：（Li2L2P=L22P）；Li42L22P； Li63L23P=L33L24P。
2021/2/4
1
28
4-fold rotoinversion
A more fundamental representative of the pattern
This is a unique operation
2021/2/4
1
A’
B
A
B’
C’
C
D
D’
29
6-fold rotoinversion So Li6 = L3 +P
2021/2/4
plane
1
m
15
晶体中对称面与晶面、晶棱有如下关系： （1） 垂直并平分晶面； （2） 垂直晶棱并通过它的中点； ( 3 ) 包含晶棱。
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16
对称面可能出现的位置
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对称面(a)与非对称面(b)
2021/2/4
1
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对称中心（C）
对称中心是一个假想的点，与之相应的对称操作 为对此一点的反伸(Inversion)。当晶体具有对称中心时， 通过晶体中心点的任意一直线，在其距中心点等间距 的两端，必定出现晶体上两个相等部分。
结晶学晶体的对称性第二章
! ! a +b 对角滑移 2
+
，−
! ! b +c 对角滑移 2
，1 + 2
+
+
+
，1 + 2
+
+
+
+
! ! ! ! ! ! a +b b +c c +a ½对角滑移滑移：m × ( , ) 2 2 2
! ! a+c 对角滑移 2
+
，
1 2
+
，
1 2
+
+
+
+
! ! ! ! ! ! ! ! ! a +b b +c c +a a +b +c ¼对角滑移： m× ( , , ) 4 4 4 4 ! ! a +b 对角滑移 4
F→I→B
正交
mmm
a ≠ b ≠ c,α = β = γ = 90o
C→P 不正交，不反映对称性
F
I
三维布拉菲群共有14种，分为七个晶系：
晶系 三斜 单斜 种类 简单三斜 简单单斜 侧心单斜 简单正交 正交 底心正交 体心正交 面心正交 四方 三角 六角 立方 简单四方 体心四方 简单三角* 简单六角 简单立方 体心立方 面心立方 符号 晶胞特征
! c
+
! c 3
+
41螺旋轴
3 4
+
1 2
+
! c
! c 4
+
1 4
+
4次轴存在四方晶系的主轴方向，以及立方晶系
晶体的宏观对称
(模型示范)
四、对称要素的组合
◆ 对称要素组合不是任意的，必须符合对 称要素的组合定律；
◆ 当对称要素共存时，也可导出新的对称 要素。
定一理半1：) LnL2LnnL2 (L2与L2的夹角是Ln基转角的 例如: L4L2L44L2 , L3L2L33L2
状的分布特点决定了晶体的对称轴只有n = 1，2，3， 4，6这五种，不可能出现n = 5， n 〉6的情况。
为什么呢？ 直观形象的理解： 垂直五次及高于六次的 对称轴的平面结构不能 构成面网，且不能毫无 间隙地铺满整个空间, 即不能成为晶体结构。
在晶体上，对称轴可能存在的位置：
（1）通过晶棱的中点； （2）通过晶面的中心； （3）通过角顶。
二、晶体对称的特点
1. 由于晶体都具有格子状构造，而格子状构造就 是质点在三维空间周期重复的体现，因此，所 有的晶体都是对称的。
2. 晶体的对称受格子构造规律的限制。即只有符 合格子构造规律的对称才能在晶体上出现，因 此，晶体对称又是有限的。
3. 晶体的对称既然取决于格子构造，因此晶体的 对称不仅体现在外形上，也体现在物理性质上 （光学、力学、热学、电学性质）。
替。这是因为Li4 不能被代替， Li6在晶体对称 分类中有特殊意义。
但易是误，认在为晶L体2。模型上找Li4往往是比较困难的，因为容
我们不能用L2代替Li4 ，就像我们不能用L2代替L4一样。 因为L4高于L2 ， Li4也高于L2 。在晶体模型上找对 称要素，一定要找出最高的。
**********
对称中心（C）
对点的反伸： 通过点直线，点的两侧等距离的两点，可见性
质相同对应点。
对称中心—C
结晶学讲7-晶体内部结构的微观对称
2、平行六面体的选择原则：
• 1）所选取的平行六面体应能反映点阵整 体所固有的对称性。
• 2）在上述前提下所选取的平行六面体中 棱与棱之间的直角关系最多。
• 3）在满足以上两个条件的基础上所选取 的平行六面体的体积力求最小。
•选择原则，按A方法来选取平行六面体才符合上述原
右旋----0<s<n/2； 31， 41， 61， 62 左旋----n/2<s<n： 32， 43， 64，65 中性---- s=n/2： 21， 42， 63
注：对于11种螺旋轴，其旋转方向和平移距离
t=（s/n)T都以右旋方式为标准给出
举例：41 意为按右旋方向旋转90度后移距1/4 T； 而43意为按右旋方向旋转90度后移距3/4 T。 那么， 41和43是什么关系？
3. 出现了一些特殊的对 称要素：平移轴、螺旋 轴、滑移面
2、晶体内部结构特有的对称要素
（1）平移轴：为一直线，图形沿此直线移动一定 距离，可使相同部分重合。
• 注：1）晶体结构沿着空间格子中的任意一条行 列平移一个或若干个结点间距，可使每一质点与 其相同的质点重合。 2）能使图形重复的最小平移距离称为平移轴的 移距。 3）空间格子中的任一行列方向均为一平移轴。
• 1、晶体的宏观对称和内部结构对称的联系、区别：
联系：内部结构的对称决定宏观对称，二者
相互联系，彼此统一
区别：
晶体的宏观对称
1. 宏观有限图形的对称 2. 平行于某一方向的对 称要素是唯一的，对称 要素的个数有限。
晶体内部结构的对称
1. 微观无限图形的对称
2. 平行于任何一个对称 要素有无穷多个与之相 同的对称要素。
• 旋转的方向：左旋：左手系，顺时针
第2章-3 晶体对称性
聚形的生成
（a）柱及双锥体
（b）立方体及菱形十二面体
1. 单形的概念: 是由对称要素联系起来的一组晶面的组合。也
就是说，单形是一个晶体上能够由该晶体的所有 对称要素操作而使它们相互重复的一组晶面。
在理想的情况下，同一单形内的晶面应该同形 等大。例如：立方体、八面体、菱形十二面体和 四角三八面体都是单形。
2.4.3 晶体定向 测定实际晶体的晶面符号时，为统一，必须确
定一个标准的结晶学坐标系，这样才会有共同的 语言来精确地描述晶体的外形。对称元素就是一 个现成的坐标系，旋转轴与直线点阵平行是可能 的晶棱方向；反映面法线方向也与直线点阵平行 ，也是可能的晶棱方向，晶棱有时会不出现，而 反映晶体本质的对称元素相互之间总是保持一定 的几何取向。因此对称元素方向不仅是坐标系而 且是比较标准的坐标系。此外，坐标轴上的单位 向量的大小我们也是不知道的，这可用选单位面 的办法来解决。
在与3个晶轴截距相等时出发面也必然和3次轴及反映面垂直， 重复数减少了6倍得到正八面体。单形符号{111}（图6）。
出发面与晶轴垂直时即与4次轴垂〔图7)。
{112}
｛101｝ {111}
图4
图5
图6
图7 {100}
2.5.4 47种单形
（2）轴率：轴单位是晶轴上的单位长度，由于所 选定的晶轴都是晶体格子构造中的行列方向，所 以晶轴的轴单位就是该晶轴行列的结点间距。X、 Y、Z轴上的轴单位分别以a0、b0、c0表示。有时 直 接 用 a 、 b 、 c 表 示 。 由 于 结 点 间 距 极 小 （ nm 计），需借X射线分析方能测得，所以在晶体外 形上能定出轴单位的真长。但是，可以通过晶体 测量和晶体计算求出它们之间的比率。a：b：c， 这个比率称为轴率（亦称轴单位比）。
《结晶学与矿物学》复习要点
结晶学一、全然不雅点：1.晶体〔crystal〕的不雅点：外部质点在三维空间周期性反复陈列形成的固体物资。
这种质点在三维空间周期性地反复陈列称为格子结构，因而晶体是存在格子结构的固体。
2对称型〔classofsymmetry〕晶体微不雅对称因素之组合。
〔点群，pointgroup〕3.空间群：一个晶体结构中，其全体对称因素的总跟。
也称费德洛夫群或圣佛利斯群。
4.单形〔Simpleform〕：一个晶体中，相互间能对称反复的一组晶面的组合。
即能借助于对称型之全体对称因素的感化而互相联络起来的一组晶面的组合。
5.双晶：两个以上的同种晶体，相互间按必定的对称关联互相取向而构成的规那么连生晶体。
6.平行六面体：空间格子中按必定的原那么分别出来的最小反复单位称为平行六面体。
是晶体外部空间格子的最小反复单位，是由六个两两平行且相称的面网构成。
7.晶胞：能充沛反应全部晶体结构特点的最小结构单位，其形状巨细与对应的单位平行六面体完整分歧。
8．类质同像：晶体结构中某种质点为性子相似的他种质点所替换，独特结晶成平均的单一相的混杂晶体，而能坚持其键性跟结构型式稳定，仅晶格常数跟性子略有改动。
9.同质多像：化学身分一样的物资，在差别的物理化学前提下，形成结构差别的假设干种晶体的景象。
10.多型：一种元素或化合物以两种或两种以下层状结构存在的景象。
这些晶体结构的结构单位层全然上是一样的，只是它们的叠置次第有所差别。
二、晶体的6个全然性子1、均一性〔homogeneity〕：统一晶体的任一部位的物理跟化学性子性子基本上一样的。
2、自限性〔propertyofself-confinement〕：晶体在自在空间中成长时，能自发地形成封锁的凸多少何多面体形状。
3.异向性〔各向异性〕异向性(anisotropy)：晶体的性子随偏向的差别而有所差别。
4.对称性〔propertyofsymmetry〕：晶体的一样局部〔如形状上的一样晶面、晶棱或角顶，外部结构中的一样面网、行列或质点等〕或性子，能够在差别的偏向或位置上有法则地反复出现。
晶体结构之二：对称性
第二章晶体结构一、教学要求（1）内容提要：物质通常有三种聚集状态：气态、液态和固态。
而按照原子（或分子）排列的规律性又可将固态物质分为两大类，晶体和非晶体。
晶体中的原子在空间呈有规则的周期性重复排列；而非晶体的原子则是无规则排列的。
原子排列在决定固态材料的组织和性能中起着极重要的作用。
金属、陶瓷和高分子的一系列特性都和其原子的排列密切相关。
一种物质是否以晶体或以非晶体形式出现，还需视外部环境条件和加工制备方法而定，晶态与非晶态往往是可以互相转化的。
本章主要内容包括：：晶体学基础；金属的晶体结构；合金相结构；离子晶体结构；共价晶体结构；聚合物的晶态结构；非晶态结构。
（2）基本要求掌握晶体的空间点阵、晶胞、晶向和晶面指数、晶体的对称性等结晶学基础知识，了解32种点群和230种空间群等；掌握三种典型的金属晶体结构、合金相结构、离子晶体结构和硅酸盐晶体结构，了解共价晶体结构和分子与高分子晶体结构。
（3）重点难点重点：结晶学基本原理及典型的金属晶体、合金相、离子晶体结构。
难点：空间点阵、非化学计量化合物和鲍林规则。
（4）主讲内容①晶体学基础；②金属的晶体结构；③合金相结构；④离子晶体结构；⑤共价晶体结构；⑥聚合物晶体结构。
《第二章晶体结构》目录——引言——晶体的结构特征与基本性质（1.0h）2.1晶体结构的周期性（4.0-6.0h）2.2.1点阵与平移群一、点阵结构与点阵（1）一维点阵结构与直线点阵；（2）二维点阵结构与平面点阵（3）三维点阵结构与空间点阵二、点阵的条件与性质（1）定义；（2）条件；（3）点阵与点阵结构的对应关系。
2.2.2点阵单位与点阵参量一、点阵单位与点阵常数（1）直线点阵单位与线段参数（2）平面点阵单位与网格参数（3）空间点阵单位与晶胞参数二、其他晶体结构参数（1）（原子）阵点坐标与原子间距；（2）晶向（直线点阵）指数（3）晶面（平面点阵）指数；（4）晶面间距与晶面夹角（5）晶带与晶带定律三、极射投影*2.2.3 倒易点阵与晶体衍射*2.2晶体结构的对称性（4.0h）2.3.1对称性的基本概念——对称及其对称元素与对称操作2.3.2宏观对称性—晶体外形（有限）表现的对称性—点对称性一、点对称操作与宏观对称元素；二、点群及其表示方法——32个点群（晶类）；三、晶系与空间点阵型式——7种晶系与14种布拉菲点阵2.3.3微观称对性—晶格基元（无限）排列的对称性—体对称性一、空间对称操作与微观对称元素；二、空间群及其表示方法；三、等效点系——2.3.4点群与空间群的关系2.3.4 晶体结构符号2.3典型晶体结构分析（8.0h）2.3.1金属晶体结构2.3.2共价晶体结构2.3.3离子晶体结构2.3.4分子晶体结构2.3.5高分子(晶体)结构2.4 合金相结构2.2晶体结构的对称性——强调：对称操作与矩阵变换（点阵与矩阵）2.2.1对称性的基本概念——对称的概念（定义与划分）擅长形象思维的中国人在西汉〈韩诗外传〉就有：“凡草木花（注：有生命）多五出，雪花（注：无生命）独六出。
《结晶学与矿物学》复习要点
《结晶学与矿物学》复习要点结晶学一、基本概念：1.晶体（crystal）的概念：内部质点在三维空间周期性重复排列构成的固体物质。
这种质点在三维空间周期性地重复排列称为格子构造，所以晶体是具有格子构造的固体。
2对称型（class of symmetry）晶体宏观对称要素之组合。
（点群，point group）3.空间群：一个晶体结构中，其全部对称要素的总和。
也称费德洛夫群或圣佛利斯群。
4.单形（Simple form）：一个晶体中，彼此间能对称重复的一组晶面的组合。
即能借助于对称型之全部对称要素的作用而相互联系起来的一组晶面的组合。
5.双晶：两个以上的同种晶体，彼此间按一定的对称关系相互取向而组成的规则连生晶体。
6.平行六面体：空间格子中按一定的原则划分出来的最小重复单位称为平行六面体。
是晶体内部空间格子的最小重复单位，是由六个两两平行且相等的面网组成。
7.晶胞：能充分反映整个晶体结构特征的最小结构单元，其形状大小与对应的单位平行六面体完全一致。
8．类质同像：晶体结构中某种质点为性质相似的他种质点所替代，共同结晶成均匀的单一相的混合晶体，而能保持其键性和结构型式不变，仅晶格常数和性质略有改变。
9.同质多像：化学成分相同的物质，在不同的物理化学条件下，形成结构不同的若干种晶体的现象。
10.多型：一种元素或化合物以两种或两种以上层状结构存在的现象。
这些晶体结构的结构单元层基本上是相同的，只是它们的叠置次序有所不同。
二、晶体的6个基本性质1、均一性（homogeneity）：同一晶体的任一部位的物理和化学性质性质都是相同的。
2、自限性（property of self-confinement）：晶体在自由空间中生长时，能自发地形成封闭的凸几何多面体外形。
3. 异向性（各向异性）异向性(anisotropy)：晶体的性质随方向的不同而有所差异。
4. 对称性（property of symmetry）：晶体的相同部分（如外形上的相同晶面、晶棱或角顶，内部结构中的相同面网、行列或质点等）或性质，能够在不同的方向或位置上有规律地重复出现。
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不同晶体的对称程度不同，晶体中存在的对称要素的种 类及数目也不同。有的只有一个对称要素单独存在，有的 需若干对称要素组合在一起。
在一个结晶多面体中全部对称要素的组合称为该晶体多 面体的对称型。
对称型的书写方法；（1）按高次轴、低次轴、对称面、 对称中心的顺序依次书写（2）若晶体存在多个同轴次对 称轴或多个对称面时，其个数写在相应的对称要素前面。
二、晶体的对称
表现在晶体中相同的晶面、晶棱、晶角有规律的 重复出现。 1、所有晶体都是对称的。（这是由晶体内部的格子
构造决定的）
2、晶体的对称是有限的，晶体的对称是由晶体内部
格子构造决定的，只有符合格子构造规律的对称 才能在晶体上出现
3、晶体对称不仅表现在外形上，还表现在物理化学 性质上。（这也是有格子构造决定的，晶体内部
n = 360 / α
（围绕L2旋转晶体重复2次，围绕L3旋转晶体重复3次，围绕L4旋转晶体重复 4次，围绕L6旋转晶体重复6次）
晶体中可能存在对称轴并不是任意的，只可能是1、2、 3、4、6，与轴次相对应的对称轴只能是L1 、L2 、L3 、 L4 、L6，为什么5次轴和高于六次的对称轴不存在呢？
如立方体的对称型为3L44L36L29PC，三方单锥的对称型 为L33P。
晶体中对称要素组合受对称规律的控制，因而晶体中 存在对称型是有限的，经推导共有32种。
二、晶体的分类
晶类：同一对称型的晶体归为一类，共32个晶
类。
晶族：据高次对称轴数目分高、中、低三个晶
族。 低级晶族：无高次轴 中级晶族：有一个高次轴 高级晶族：有几个高次轴
晶系：据晶族中各晶类所具有的对称要素特点,
进一步把三个晶族分为七个晶系。
第五节 空间格子的类型
一、根据平行六面体节点分布划分：
原始格子：节点分布于平行六面体的角顶 底心格子：节点分布于平行六面体的角顶，及一对面的中心 体心格子：节点分布于平行六面体的角顶，及六面体的体心 面心格子：节点分布于平行六面体的角顶，及三对面的中心
结晶学
Crystallography
第三章 晶体的对称
第一节 对称的概念及晶体的对称 (对称、晶体的对称特点) 第二节 晶体的对称操作和对称要素 （9种对称要素） 第三节 对称要素的组合 （四个定理） 第四节 对称型及晶体分类 （32种对称型、7个晶系） 第五节 空间格子的类型 （4种空间格子）
第一节 对称的概念及晶体的对称
一、对称
对称是指物体中相同的部分有规律的重复。对称在
自然界中经常可以发现，如楼房、人体、蝴蝶、风车
等，这些都是对称点的物体。对称包括两个部分①相 同的部分②有规律的重复。
蝴蝶用一个面从中间分开的话，形成两个镜像相等的部分，通过对称的镜 面反映，是蝴蝶的两个部分重合做有规律的重复。风车也一样，风车有四 个相同的部分。在垂直风车中央有一个假想轴，并绕其旋转，其四个部分 做有规律的重复。
格子、四方格子、立方格子。
斜方格子： a ≠ b ≠ c、α=β=γ=90 单斜格子： a ≠ b≠c、α=γ=90，β＞90 三斜格子： a ≠ b≠c 、α ≠ β ≠ γ ≠ 90 三方六方格子： a=b ≠ c、α=β，γ=120 四方格子： a=b ≠ c、α=β=γ=90 立方格子： a=b=c、α=β=γ=90
晶体可能存在的对称要素即对称操作主要有；对称中心、 对称面、对称轴、旋转反伸轴。
1、对称中心
对称中心简称为对称心，用符号C表示，是晶体中一个
假想的几何点。取晶体上任意一点与C做连线，再由C点 向相反的方向延伸等距离后，必能找到对应点。其相应的
对称操作是对于该点的反伸。
图中A、B、D经过C而进行等距的反向延伸后都能找到相对应的点。
第三节 对称要素的组合
定理1：LnL2LnnL2
定理2：Ln P// LnnP//
定理3：Ln P LnP C (n为偶数)
定理4： Lin P// = Lin L2 Lin n/2 L2 n/2 P// （n为偶数）
Lin nL2 n P// （n为奇数）
第四节 对称型及晶体分类
3、对称轴
对称轴是通过晶体的一条假想直线，晶体围绕此直线旋 转一定角度后，可使晶体上的相等部分重复的出现。对称 轴用符号Ln表示。与对称轴相应的对称操作是围绕此假想
的直线旋转。晶体绕对称轴旋转一周所重复出现的次数称 为轴次（n），重复时旋转的最小角度称为基转角（α）， 基转角和轴次之间的关系如下；
晶体中可以没有对称心，如果有则只能有一个。如何 判断一个晶体是否有对称中心？
如晶体中所有晶面都两两平行、同形等大、方向相反， 则存在对称中心。（也就是一个晶体要看其是不是有对称 心，我们将它拿着，将每个晶面贴在桌面上看是否都有一 个与之相对应的晶面相互平行、同形等大、方向相反。）
2对称面
对称面是一个假想的平面，它把晶体分为互为镜像反映 的两个部分。对称面用符号P表示。对称面相应的操作是 对此平面的反映。
L4 、L6。
晶体中可以没有，也可以有一种或多种对称轴，每种对称 轴的数目可以是一个或者多个。在描述时对称轴的数目应该
写在对称轴符号的前面，如3 L4、4 L3、6 L2等。在晶体上， 对称轴出露的位置：
⑴ 通过晶棱的中点；
⑵ 通过晶面的中心；
⑶ 通过角顶。 (分析八面体对称轴)
4、旋转反伸轴
旋转反伸轴是通过晶体中心的一条假想的直线，晶体沿 直线旋转一定角度后，再对直线中心点进行反伸，可使晶 体上相等部分重合或者说晶体的形态复原。旋转反伸轴用 符号Lin表示，其中i表示反伸，n表示轴次。相应对称操作 是围绕一条直线的旋转和对此直线上一个点反伸的复合操 作。（四方四面体旋转90度）
组成质点排列是对称的，因此物理化学性质也是 对称的。这种对称是表里如一的，但我们常说的 对称是表里不一的，如人的外表是对称的，但是 内部的五脏六腑并不对称，蝴蝶也是一样。）
第二节 晶体的对称操作和对称要素
要使对称图形中相等部分作有规律的重复必须凭借一些
假想的几何要素（如点、线、面等）进行一定的操作（如 反伸、旋转、反映等）才能实现。在晶体的对称研究中， 使晶体上相等部分有规律的重复所凭借的几何图形（点、 线、面）称为对称要素；相应的操作称为对称操作。
为什么没有质点分布于两对面？
（由图可以看出1，2为平行行列，但行列间结点间 距不相等。晶体构造中，平行行列节点间距相等。 但下图不符合格子构造规律）
（4×7=28种格子，但 是布拉维总结，自然 界中只有14总格子， 有的重复而有的不存 在）
二、根据六面体形状划分： 晶格常数a、b、c、α、β、γ 分为：三斜格子、单斜格子、斜方格子、三方六方
对称面的存在有两个必要的条件：①该平面能把晶体分 为相等的两个部分②这两个部分互成镜像关系。对称面在
晶体中可以没有，也可以有一个或数个，最多可达9个。
描述时把对称面的数目写在符号前面，如立方体有9个对 称面，则记为9P。
从分析立方体可以看出，对称面对称面在晶体上的 出露位置： ⑴ 垂直平分晶面； ⑵ 垂直平分晶棱； ⑶ 包含晶棱并平分晶面夹角。
垂直对称轴网面形态和对称轴一致，1次轴的网面为平行四边形，2次轴 的网面为矩形，3次轴的网面为正三角形，4次轴的网面为正方形，6次 轴的网面为等边六边形。如图，5次或7、8次轴其网面均无法布满整个 空间，所以不存在5次或高于6次的对体绕直线旋转一周都
可以恢复原状，轴次高于2次的对称轴称为高次轴，即L3 、
Li4是一个完全独立的不能用其他的对称要素代 替的，Li6虽然和L3P等效，但是在晶体分类中Li6 属于六方晶系，不能用三方晶系的对称要素组合 来代替。因此在实际的应用中常用的旋转反伸轴 是Li4和Li6 ，他们也属于高次轴。
综上晶体中可能存在独立的对称要素有9个L1 、 L2 、L3 、L4 、L6、 Li4 、 Li6 、P、C。