定积分论文

§ 1 定积分概念

教学要求： 知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；

教学重点：深刻理解并掌握定积分的思想.

一、问题背景： 1. 曲边梯形的面积； 2. 变力所作的功 二、定积分的定义

从上面两个例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都归结为形如

∑=∆n

i i

i

x

f 1

)(ξ

的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义

定义 设 )(x f 是定义在区间],[b a 上的一个函数，在闭区间],[b a 上任取

n-1个分b x x x x a n i i =<<<<<<- 11

把 [a,b] 分成 n 个小闭区间，我们称这些分点和小区间构成的一个分割，用T 表示, 分割的细度用}max {||||i x T ∆=表示，在分割T 所属的各个小区间内各取一点],[1i i i x x -∈ξ称为介点，作和式

∑=∆n

i i

i

x

f 1

)(ξ 以后简记为 ∑)(T f

此和式称为)(x f 在],[b a 上属于分割T 的积分和（或黎曼和，设J 是一个确定的数，若对任意0>ε总存在某个0>δ，使得 ],[b a 上的任何分割T ，只要它的细度δ<||||T ，属于分割T 的所有积分和 ∑)(T f 都有

ε<-∑|)(|J T f

则称)(x f 在],[b a 上可积，称J 为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分(或黎曼积

分)，记作

⎰b

a

f(x)dx

其中)(x f 称为积分函数，x 称为积分变量，],[b a 称为积分区间，b a ,分别称为积分 的上限和下限。

利用积分的定义，前面提到曲边梯形面积可简洁的表示为

⎰=b

a

dx x f S )(

变力作功问题可表示为

⎰=b

a

dx x F W )(

三．理解定积分定义要注意以下三点：

1）定积分定义与我们前面讲的函数极限的“δε-”定义形式上非常相似，但是两者之间还是有很大差别的。对于定积分来说，给定了细度||||T 以后，积分和并不唯一确定，同一细度分割由无穷多种，即使分割确定，介点i ξ仍可以任意选取，所以积分和的极限比前面讲的函数极限要复杂的多。

2）定积分是积分和的极限，积分值与积分变量的符号无关

⎰⎰⎰==b

a

b

a

b

a

du u f dx x f dt t f )()()(

v1.0 可编辑可修改

3) 0||||→T 表示分割越来越细的过程，0||||→T 分点个数∞→n ，但反过来∞→n 并不能保证 0||||→T ， 所以 ∑=→∆=n

i i

i

T x

f J 1

||||)(lim

ξ不能写成

∑=∞

→∆=n

i i i n x f J 1

)(lim ξ

四、举例:

例1已知函数在区间上可积 .用定义求积分.

解 取 等分区间

作为分法 ,

. 取

.

=

.

由函数

在区间

上可积 ,每个特殊积分和之极限均为该积分值 .

例2 已知函数在区间上可积 ,用定义求积分

.

解 分法与介点集选法如例1 , 有

.

上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分

.

§2 牛顿—莱布尼茨公式

教学目标：熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式． 教学内容：牛顿—莱布尼茨公式．

(1) 基本要求：熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式． (2) 较高要求：利用定积分的定义来处理一些特殊的极限．

用定义来计算定积分一般是很困难的，下面将要介绍的牛顿—莱布尼茨公式不仅为定积分的计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。

定理9-1 若函数)(x f 在],[b a 上连续，且存在原函数)(x F ，则)(x f 在],[b a 上可积，且

⎰

-=b

a

a F

b F dx x f )()()(

这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为⎰-==b

a

b

a a F

b F x F dx x f )()()()(。 证： 给定],[b a 任意一个分割：b x x x a n =<<<=∆ 10:，

[]∑∑==-∆=-=-n

k k

k n

k k k x f x F x F a F b F 1

1

1)()()()()(η，

这里1--=∆k k k x x x ，],[1k k k x x -∈η，用了Lagrange 中值定理。],[)(b a C x f ∈，由Cantor 定理，f 在],[b a 一致连续，所以0>∀ε，0>∃δ，只要],[,b a ∈ηξ，

δηξ<-，就有

a b f f -<

-ε

ηξ)()(。