定积分论文

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数学学年论文毕业论文关于定积分一些重要性质的讨论

数学学年论文毕业论文关于定积分一些重要性质的讨论

关于定积分一些重要性质的讨论摘要:本文介绍改进的定积分保序性和第一和第二中值定理及其它重要性质, 并举例说明其应用。

关键词:定积分保序性中值定理 1 •引言:由定积分的保序性可导出严格保序性,积分中值定理的中值号可在开区间 (a,b )内取得。

通常的高等数学教材将这些内容或者省略或者放入习题,而不 加以重视。

本文对此类性质作介绍,并举例说明它们在处理习题过程中的灵活应 用,而且由此得出的结论也会加强。

2 •定积分重要性质及其应用 2.1保序性b设f (x )在[a,b ]上连续非负,且f (x )不恒为零,则 f(x)dx >0_a证明 若「f (x)dx =0,由f(x)的连续性和非负性有 abw . f(x)dx =0 axdx af(t)dt 三0,x € [a ,b ]这与 f (x )在[a ,b ]上不恒为零矛盾。

定理得证例 1 设 f(x)于[0, ]连续,且 ° f (x)sinxdx = 0 f (x)cosxdx =0 试证在(0,二)内至少存在两点:-,使得f( :- )=f (: )=0t证明 令 F(t)= [ f(x)sinxdx(0< t w 兀),则 F(t)于[0, H ]连续,且可导,由罗尔定理,存在—(0, ~ ),使F ,(:• )=0,由于 F x (t) =f(t)sint所以 f( : )sin : =0 ,又由:(0, 7:),所以 sin 鳥严 0,故 f(: )=0下面证明又有:-(0,二),『■二、:,使f( - )=0假设f(x)于(0, ~ )内只有一个零点:,则f(x)于(0,:)及「,二)两个区间xo w a f (t)dt x € [a ,b ].x 从而 f (t)dt 三0,即a内符号必相反,否则不可能有 f (x)sin xdx =0,而 sin(x-〉)在(0,:-)及(:,…) 内显然符号也相反,故f(x) sin(x-:)于这两个区间内符号相同.又[0,二]连续,因 此由上述定理可知 ° f(x)sin : (x - :- )dx 0 (*)又由于 ° f(x)sin xdx = ° f (x)cosxdx =0 则o f (x)sin(x -: )dx = o f (x) sin xcos :--cosxsin : dx =cos 二 [f (x)sinxdx -sin mf (x) cosxdx =0,这与(*)试矛盾,从而 f(x)在(0, 二)内除〉之外必有另一零点1 .推论1 (严格保序性)f (x ), g (x )在[a , b ]上连续,f (x )< g (x )且f (x ) 不恒等于g (x )。

定积分法求面积探究毕业论文

定积分法求面积探究毕业论文

定积分法求面积的探究教学系:_____________专业:_________________年级:______________________姓名:_____________________学号:__________导师及职称:定积分是数学中十分重要的工具,其中求图形的面积正是它的运用之一,它的思想就是切割求和,在不同的坐标系下可采用特定的方法求解面积。

本文介绍了几种运用定积分来求面积的方法,其中列举了特殊的例题以及重要的问题解决方法。

如果实际问题中的所求量与某一区间有关且在该区间上具有可加性,我们就可以用函数的定积分来表示这个所求的量,因此我们就可以运用定积分来解决一些实际问题。

同时利用定积分求不规则平面图形的面积,是定积分在几何中的重要应用之一。

如何灵活地运用定积分的定义及有关公式,巧妙地将求不规则图形的面积问题等价转化为求定积分的数值问题就是一大关键,本文结合实例,介绍几种常用的转化方法与求解策略。

从而充分的体现数形结合的数学思想方法。

关键词:定积分;封闭图形;曲面域;对称性Research of square in defi nite in tegralABSTRACTA definite integral is very important mathematical tools, for which the graphics area is one of its applicati on, its thought is to cut and, un der differe nt coordi nate systems can use specific method to find the area. This paper introduces several methods of using the integral area to seek the. Which lists the specific examples and an important method to solve the problem. If practical problems for quantity with a certain interval and in the interval is additive, we can use the definite integral of a function to represent the desired amount. Therefore, we can use the defi nite in tegral to solve some practical problems.At the same time, the use of definite integrals for the irregular plane graphics area, is one of the important applications of integral in geometry. How to flexibly use definite integral is defi ned and the related formulae and skillfully will seek irregular graphic area equivale nt transformation to calculate the numerical integral is one of key, the paper with examples, in troduces several common ly used tran sformati on method and soluti on strategy. I n order to fully reflect the comb in ati on of the mathematical thought and method.Keywords: defi nite in tegral; closed graph; surface area; symmetry目录一、引言 (5)二、相关概念 (5)1.1 定积分的定义 (5)1.2定积分的常用计算方法 (5)1.2.1直接利用公式及性质计算 (5)1.2.2利用定积分的区间可加性计算 (2)三、定积分在面积问题中的应用 (2)3.1直角坐标系下求面积 (2)3.1.1 平面面积 (2)3.1.2 曲面面积 (5)3.2 极坐标 (6)3.3求旋转曲面的面积 (7)四、常见方法 (10)4.1 巧选积分变量 (10)4.2巧用对称性 (11)4.3巧用分割计算 (11)五、结束语 (12)参考文献 (13)致谢 (13)、引言积分在自然科学、工程技术、经济管理中有着广泛的应用,比如利用积分求平面图 形的面积、变力做功等都是微积分中定积分的应用问题, 在数学分析中占据了重要地位。

计算定积分的若干方法论文

计算定积分的若干方法论文

绥化学院本科毕业设计(论文)计算定积分的若干方法学生姓名:***学号:*********专业:数学与应用数学年级: 2008级指导教师:张姮妤讲师Suihua University Graduation PaperSome Methods of Calculating the DefiniteIntegralStudent name Zhao ShunaStudent number 200851242Major Mathematics and Applied MathsSupervising teacher Zhang HengyuSuihua University摘要定积分是微积分学中的一个重要组成部分,其计算方法和运算技巧具有灵活多样性.本文主要介绍了定积分计算的常用方法及特殊方法,通过实例分析探讨了定积分计算中所采用的几种方法和技巧,其中包括用定积分定义、牛顿—莱布尼茨公式、换元法、奇偶性、级数、二重积分等计算定积分的方法,为定积分的计算带来了方便.关键词:定积分;换元法;奇偶性;级数AbstractThe definite integral is an important part of calculus, and its method and skill with flexible diversity. This paper mainly introduces the common methods and special methods of the definite integral calculation, which discusses several methods and skills including the definition method, Newton-Leibniz formula, the method of changing element, parity, series, double integral and so on, and it will bring convenient for the integral calculation.Key words: the definite integral; the method of changing element; parity; series目录摘要 (I)Abstract (II)前言 (1)第1章计算定积分的常用方法 (2)第1节利用定积分的定义计算定积分 (2)第2节利用牛顿—莱布尼茨公式计算定积分 (4)第3节利用换元法计算定积分 (5)第2章计算定积分的特殊方法 (8)第1节利用奇偶性计算定积分 (8)第2节利用建立方程或方程组法计算定积分 (10)第3节利用级数的性质计算定积分 (11)第4节利用概率理论计算定积分 (14)第5节利用二重积分和特殊积分计算定积分 (17)结论 (20)参考文献 (21)致谢 (22)前言从历史上说,定积分是由计算平面上闭曲线围成区域的面积而产生的,为了计算这类区域的面积,最后归结为计算具有特定结构的和式的极限.人们在实践中逐渐认识到,这种特定结构的和式的极限,不仅是计算区域面积的数学工具,而且也是计算许多实际问题(如变力作功、水的压力、立体体积等)的数学工具.因此,无论是在理论上还是在实践中,特定结构的和式的极限——定积分具有普遍的意义.于是,定积分就成为数学分析重要的组成部分之一.定积分中最重要的内容就是定积分的计算方法.对于定积分的计算,首先要求准确性,其次是快速性,而这两个目的的实现就需要有较好的方法和技巧.本文主要以求定积分的各种方法为主线,对其分别概述、举例、并加以分析说明,从而得出适合不同题型的定积分计算方法.学习中应着眼于基本方法的积累,有了这种积累,才会孕育出更多的特殊方法及技巧.定积分在微积分学中占有极为重要的地位,它与微分相比,难度大,计算方法灵活,如果我们仅仅按定积分的定义计算定积分,往往是十分困难的,因此,切实掌握求定积分的各种计算方法是非常必要的.第1章 计算定积分的常用方法定积分是积分学的基础,而且是概率统计、复变函数等课程的重要知识工具.定积分概念抽象,定理较多,在定积分计算中难度也很大.本章介绍了定积分计算的三种常用方法,即定义法、牛顿—莱布尼茨公式法及换元法,这些方法都可以被用于求解一些简单的定积分.第1节 利用定积分的定义计算定积分利用定积分定义来计算定积分,常要求其被积函数一般是比较简单的情形,适用于初学者对于定义掌握的一种锻炼,由于在运算过程中和式1()ni i i f x ξ=∆∑的极限一般不容易求得,所以这种方法只适用于简单的初等函数.定义1 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有定义,在[,]a b 内任意插入1n -个分点:1x ,2x ,3x ,,1n x -,令0a x =,n b x =,使0121n n a x x x x x b -=<<<<<=,把区间[,]a b 分为n 个小区间01[,]x x ,12[,]x x ,,1[,]k k x x -,,1[,]n n x x -,各个小区间的长度依次为110x x x ∆=-,221x x x ∆=-,,1n n n x x x -∆=-,在小区间1[,]i i x x -上任取i ξ1([,])i i i x x ξ-∀∈,作函数值()i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积()i i f x ξ∆(1,2,)i n =,并作和11()()ni i i i S f x x ξ-==-∑.记{}12max ,,,n x x x λ=∆∆∆,如果不论对[,]a b 怎样分法,也不论点i ξ在小区间1[,]i i x x -上怎样选取,只要0λ→时,和S 总趋于确定的极限I .这时,我们称这个极限I 为函数()f x 在[,]a b 上的定积分,记作()ba f x dx ⎰,即1()lim ()nb i i ai f x dx f x I λξ→==∆=∑⎰.其中,()f x 称为被积函数,()f x dx 称为被积表达式,x 称为积分变量,a 称为积分下限,b 称为积分上限,[,]a b 称为积分区间.定理1 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积. 定理2 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有界,且有有限个间断点,则函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积.因此,用定义计算定积分可分为两步: 1. 先确定函数的可积性; 2. 再计算01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑.例1 求sin baxdx ⎰,a b <.解 因为函数sin x 在闭区间[,]a b 上连续,则函数sin x 在区间[,]a b 上可积,采用定义法.取b ah n-=,[(1),]a k h a kh +-+将[,]a b 等分成n 个小区间,分点坐标依次是 2a a h a h a nh b <+<+<<+=,取k ξ是小区间的右端点,即k a kh ξ=+,则11sin lim sin()lim sin()n nb ah h k k xdx a kh h h a kh →→===+⋅=⋅+∑∑⎰, (1)又1sin()nk a kh =+∑112sin()sin22sin2nk h a kh h ==+∑ 112121[cos()cos()]222sin2nk k k a h a h h =-+=+-+∑ 1132121[cos()cos()cos()cos()]22222sin 2n n a h a h a h a h h -+=+-++++-+ 111{cos()cos[()]}222sin 2a h a n h h =+-++111[cos()cos()]222sin 2a hb h h =+-+()a nh b +=, 将此结果代入式(1)中,有0112sin lim [cos()cos()]cos cos 22sin 2ba h hxdx a h b h a b h →=+-+=-⎰. 第2节 利用牛顿—莱布尼茨公式计算定积分通过求积分和的极限来计算定积分一般很困难,而牛顿—莱布尼茨公式避免了求极限和的繁琐,不仅为定积分计算提供了一个有效的方法,而且在理论上把定积分与不定积分联系起来.定理3(微积分基本定理) 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,且()F x 是()f x 的原函数,则()()()b af x dx F b F a =-⎰, (1)式子(1)称为微积分基本公式,亦称牛顿—莱布尼茨公式,要求定积分,只需求出被积函数的一个原函数在此区间上的增量即可.例1求定积分22dxdx a x+. 解 因为1arctan x a a是221a x +的一个原函数,由牛顿—莱布尼茨公式,有220dx a x +⎰1arctana=1arctan 0)a =3aπ=. 例2 求定积分b k ax dx ⎰,其中k 是正整数.解 已知1()1k k x x k +'=+,由牛顿—莱布尼茨公式,有111111111k k k k k b kb aax b a b a x dx k k k k +++++-==-=++++⎰. 例3 求0|cos |I x dx π=⎰.解 0|cos |I x dx π=⎰202|cos ||cos |x dx x dx πππ=+⎰⎰202cos cos xdx xdx πππ=-⎰⎰202sin sin xxπππ=-2=.第3节 利用换元法计算定积分换元积分法就是在积分过程中通过引入变量来简化积分计算的一种积分计算方法.通常在应用换元积分法求原函数的过程中,也相应的变换积分的上下限,通过换元可以达到简化积分计算的目的.定理4 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,且函数()x t ϕ=在区间[,]αβ有连续导数,当t αβ≤≤时,()a t b ϕ≤≤,又()a ϕα=,()b ϕβ=,则()[()]()b af x dx f t t dt βαϕϕ'=⎰⎰,这种方法叫做换元积分法,使用换元积分法关键是恰当选择变换函数()x t ϕ=,且需注意换元必换限.此法没有一般规律可循,但被积函数中含有根式时,而通过代换又可以消除根式的情况下,可采用换元积分法. 例10ln I -=⎰.解令t =21ln(1)2x t =-,当0x =时,0t =;当ln 2x =-时,t =则I 021t dt t -=⋅-220111t dt t -+=-⎰11(ln21tt t+=-+-1122+=ln(2=++. 例2求10x ⎰.解 设cos x t =,有sin dx tdt =-,当0x =时,2t π=;当1x =时,0t =,则10x⎰222sin cos t tdt π=-⎰2201sin 24tdt π=⎰201(1cos 4)8t dt π=-⎰201sin 4()84tt π=-16π=.例3 求2sin 1cos x xJ dx xπ=+⎰. 解 因为20sin 1cos x x dx x π+⎰22202sin sin 1cos 1cos x x x x dx dx x xπππ=+++⎰⎰, 对等号右端第二个积分进行换元,设x t π=-,dx dt =-,当2x π=时,2t π=;当x π=时,0t =,则22sin 1cos x x dx x ππ+⎰022()sin()1cos ()t t dt t ππππ--=-+-⎰220()sin 1cos t t dt t ππ-=+⎰ 222200sin sin 1cos 1cos t t t dt dt tt πππ=-++⎰⎰, 于是20sin 1cos x x dx xπ+⎰22202sin sin 1cos 1cos x x x x dx dx x x πππ=+++⎰⎰ 222222000sin sin sin 1cos 1cos 1cos x x t t t dx dt dt xt t ππππ=+-+++⎰⎰⎰ 22sin 1cos tdt tππ=+⎰ 22(cos )1cos d t tππ=-+⎰ 20arctan(cos )t ππ=-24π=.例4求21⎰.解令6x t=(0)t>,先求不定积分,于是5346tdtt t=+⎰261tdtt=+⎰16(1)1t dtt=-++⎰2366ln|1|t t t C=-+++6ln|1C=++,所以21⎰216ln(1=+3=+.第2章 计算定积分的特殊方法求定积分的方法很多,对某些特殊定积分的情形,完全可以不使用一般性的解题方法.随着社会的不断发展,新方法也会越来越多,但是要对具体问题具体分析,灵活的选用恰当的方法,才能准确的计算出定积分的值.第1节 利用奇偶性计算定积分函数的奇偶性在定积分的计算中有着重要应用,为定积分的计算带来方便. 性质1 若()f x 是奇函数(即()()f x f x =--),那么对于任意的常数a ,在闭区间[,]a a -上,()0a af x dx -=⎰.性质2 若()f x 是偶函数(即()()f x f x =-),那么对于任意的常数a ,在闭区间[,]a a -上,0()2()a aaf x dx f x dx -=⎰⎰.例1 求2221min{,}||x dx x -⎰.解 因为21min{,}||x x 是偶函数,所以2221min{,}||x dx x -⎰2212min{,}||x dx x =⎰ 1220112x dx dx x=+⎰⎰() 3120112ln 3x x =+()12ln 23=+(). 例2 求32222(sin sin )cos x x xdx ππ-+⎰.解32222(sin sin )cos x x xdx ππ-+⎰32222222sin cos sin cos x xdx x xdx ππππ--=+⎰⎰,其中被积函数32sin cos x x 为奇函数,被积函数22sin cos x x 为偶函数,故有32222(sinsin )cos x x xdx ππ-+⎰22202sin cos x xdx π=⎰201sin 22xdx π=⎰201sin 2(2)4xd x π=⎰201(cos 2)4x π=-11(cos cos 0)42π=-+=. 例3 设函数11,1211(),2211,12x x f x x x x x ⎧---≤≤-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-≤≤⎪⎩,试求定积分11()sin f x xdx π-⎰. 解 因为()f x 是奇函数,所以()sin f x x π是偶函数,于是1102()sin 2I f x xdx I π==⎰.而1I 112102()sin ()sin f x xdx f x xdx ππ=+⎰⎰112102sin (1)sin x xdx x xdx ππ=+-⎰⎰,对于第二个积分,令1t x =-,当12x =时,12t =;当1x =时,0t =,有 112(1)sin x xdx π-⎰12sin (1)t t dt π=--⎰120sin t tdt π=⎰,则1I 1202sin x xdx π=⎰1202(cos )xd x ππ=-⎰1122002[cos cos ]x xxdx πππ=--⎰12021sin xπππ=⋅22π=,所以24I π=.此外,若积分区间不关于原点对称时,我们可以将被积函数通过换元或适当的拆项等方法转化后,再运用上述结论简化计算.第2节 利用建立方程或方程组法计算定积分定积分的计算中会遇到有些积分很难直接用基本方法计算出来,但是如果能构造另外一个定积分,再利用代数的方法,就很容易解出.此方法往往和带参变量方法联用,先建立方程,再求解.运用时,要注意初始条件,以便确定通解的任意常数.例1 设[0,]f C a ∈,0a >.在[0,]a 上,()()1f x f a x -=,计算01()adxI f x =+⎰.解 令t a x =-,当0x =时,t a =;当x a =时,0t =,则01()adx I f x =+⎰0()1()a d a t f a t -=+-⎰01()a dxf a x =+-⎰, 因此有0021()1()a a dx dx I f x f a x =+++-⎰⎰011[]1()1()a dx f x f a x =+++-⎰ 02()()[1()][1()]a f x f a x dx f x f a x ++-=++-⎰02()()2()()a f x f a x dx a f x f a x ++-==++-⎰,即2a I =. 例2 求20cos 2x e xdx π⎰.解 先计算不定积分cos 2xe xdx ⎰cos2x xde =⎰ cos 2(cos 2)x x e x e d x =-⎰ cos 22sin 2x x e x e xdx =+⎰, 对于上式的第二项再使用分部积分法,得cos 2xe xdx ⎰e cos 22sin 2()x x x xd e =+⎰ e cos22[sin 2(sin 2)]x x x x e x e d x =+-⎰ e cos 22sin 24cos 2x x x x e x e xdx =+-⎰,所以5cos 2x e xdx ⎰e cos 22sin 2x x x e x =+,cos 2xe xdx ⎰1=e (cos 22sin 2)5x x x C ++, 则20cos 2xe xdx π⎰201=e (cos 22sin 2)5xx x π+21=(e 1)5π-+.例3 求2sin sin cos xdx x xπ+⎰.解 令210sin sin cos x I dx x x π=+⎰,220cos sin cos xI dx x xπ=+⎰,由12I I +2200sin cos sin cos sin cos x x dx dx x x x x ππ=+++⎰⎰2012dx ππ==⎰, 21I I -2200cos sin sin cos sin cos x xdx dx x xx x ππ=-++⎰⎰21(sin cos )sin cos d x x x xπ=++⎰20ln |sin cos |x x π=+0=,所以122120I I I I π⎧+=⎪⎨⎪-=⎩, 解方程组得14I π=,所以2sin sin cos 4x dx x x ππ=+⎰.第3节 利用级数的性质计算定积分这种方法是利用一元无穷级数,并且用级数的展开形式代替被积函数来求定积分,既简便,又易计算.定理1 设()n u x 在[,]a b 上一致收敛于()S x ,又每一项()n u x 都在[,][,]a b αβ⊂上连续,则11()()()n n n n u x dx u x dx S x dx βββααα+∞+∞====∑∑⎰⎰⎰.定理2 设幂级数00()n n x x +∞=-∑的收敛半径为R ,其和为()S x ,又x ∈00(,)x R x R -+,则10000()()()1x xnn nn x x n n a S x dx a x x dx x x n +∞+∞+===-=-+∑∑⎰⎰.定理3 设()f x 在[,]ππ-上是逐段连续的函数,且其Fourier 级数为01(cos sin )2n n n a a nx b nx +∞=++∑, 又设1x 和2x 是(,)ππ-上任意两点,则()221102111()()cos sin 2x x n n x x n f x dx a x x a nx b nx dx +∞==-++∑⎰⎰.定理4 设级数1()n n u x +∞=∑的各项()n u x 在[,]a b 上是(常义)可积的,且级数一致收敛,又()g x 在[,]a b 上是绝对可积的函数,则级数1()()n n u x g x +∞=∑可以逐项积分.例1 计算420cos 2ln(16cos )I mx x dx π=⋅⎰.解 在区间(,)ππ-内,函数()ln(2cos )2xf x =按余弦形式展开的三角级数为11cos ln(2cos )(1)2n n x nxn +∞-==-∑(,)x ππ∈-,由此得4ln(16cos )x 24ln(2cos )2x =11cos 24(1)n n nxn +∞-==-∑(,)22x ππ∈-, 因而由定理4知40cos 2ln(16cos )mx x dx μ⋅⎰211001cos 2cos 2cos 24(1)4(1)n m n nx mx mx dx dx n m μμ+∞--=⋅=-+-∑⎰⎰(,)22ππμ∈-,右边的级数对于[0,]2π上的μ一致收敛,故当02πμ→-时,上式可逐项取极限420cos 2ln(16cos )I mx x dx π=⋅⎰2120cos 24(1)m mx dx mπ-=-⎰(1)m m π=-.例2 求03(1)x dxx e π+∞-⎰.解 令1u x =,21dx du u=-.当0x =时,u =+∞;当x =+∞时,0u =,则 03(1)x dxx e π+∞-⎰20311(1)udu u e uπ+∞-=-⎰1u udu e π+∞=-⎰01uuue du e ππ-+∞-=-⎰, 因为0u >时,01ueπ-<<,由基本展式:011n n x x+∞==-∑,||1x <,所以1u u ue du e ππ-+∞--⎰(1)00n u n u e du π+∞+∞-+==∑⎰(1)00n un ue du π+∞+∞-+==∑⎰ (1)001()(1)n un ud en ππ+∞+∞-+==-+∑⎰(1)02201(1)n u n e n ππ+∞-++∞=-=+∑22011(1)n n π+∞==+∑16=(因为22116n nπ+∞==∑). 例3 求222220ln(cos sin )a x b x dx π+⎰.解 222220ln(cos sin )a x b x dx π+⎰222222200ln ln[1]b ab dx cos x dx bππ-=+-⎰⎰ 2222201()ln (cos )nn n b a b x dx nb ππ∞=-=-∑⎰22121(21)!!ln ()22!!n n n b a n b n b ππ∞=--=-∑,因为||1x <11(21)!!12!!n n n nx n ∞=-=+∑,从而有1x111(21)!!122!!nnnnxn∞-=-=+∑,(1)(1)式右端在区间(1,1)-内一致连续,故222111(21)!!1()22!!b annbnnx dxn∞--=-+∑⎰22121(21)!!()2!!nnnb ann b∞=--=∑.另一方面2221)b ab dxx--⎰=2ln2a bb+=-,从而有22121(21)!!()2!!nnnb ann b∞=--∑2ln2a bb+=-,因此22222ln(cos sin)a xb x dxπ+⎰ln2a bbπ+=.第4节利用概率理论计算定积分利用概率理论求定积分既简化了定积分的计算过程,又将积分与概率联系到一起,其思路就是运用概率公式,再用“凑微分法”,即直接凑成已知积分,用这种“凑微分法”可大大简化计算结果,提高计算速度.定理5若X服从正态分布,其概率密度为22()2()xp xμσ--=()x-∞<<+∞,则22()2xEX dxμσμ--+∞-∞==⎰,22()222xDX dxμσσ--+∞-∞==⎰.定理6若X服从指数分布,其概率密度为,0()0,0xe xp xxλλ-⎧>=⎨≤⎩,则1xEX xe dxλλλ+∞-==⎰,2211()xDX x e dxλλλλ+∞-=-=⎰.定理7 若X 服从Γ-分布,其概率密度为11,0()(1)0,0x x e x p x x αβαβα-+⎧≥⎪=Γ+⎨⎪<⎩,其中1α>-,0β>为常数,则1+101(1)(+1)xEX x e dx αβαβαβα-+∞+==+Γ⎰,222()(1)DX EX EX βα=-=+.定理8 若X 服从T -分布,其概率密度为1221()2()(1)()2n n x p x n n +-+Γ=+,n 为正整数,则0EX =(当1n >时), 2nDX n =-(当2n >时). 例1 求222(3)x x edx +∞--⎰.解 利用正态分布,由于222(3)x x e --是偶函数,故有222(3)x x edx +∞--⎰2221(3)2x x e dx +∞--∞=-⎰22221322x x dx dx ---∞-∞=-⎰⎰2()22EX p x dx +∞-∞=-⎰2()DX EX ⎤=--⎦=例2求205)e dx +∞+⎰.解 利用指数分布,则205)edx +∞+⎰20edx dx =+⎰20()EX p x dx +∞=+⎰2()DX EX =+22+=. 例3 求222(6)x x x e dx +∞--⎰.解 利用Γ-分布,则2220(6)x x x e dx +∞--⎰6422224126(6)2()242(1)2x x x e dx +∞-+-=ΓΓ+⎰6262()2DX =Γ⋅8212=⋅⋅192=.例4 求223(21)(1)5x x dx +∞--∞++⎰.解 利用T -分布,则223(21)(1)5x x dx +∞--∞++⎰⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞--∞+∞--+++++=dxx dx x x dx x x 3232322)51()51(4)51(451222551()()224(1)5155()()22x x dx ++∞--∞+Γ=⋅⋅⋅++Γ⎰5122551()()22(1)5155()()22x dx ++∞--∞+Γ+⋅⋅++Γ⎰255()()224()(3)(3)EX x dx +∞-∞=⋅+ΓΓΓ⎰55()()224(3)(3)DX =⋅+ΓΓ55()()5224(3)52(3)=⋅⋅+Γ-Γ8π=⋅. 第5节 利用二重积分和特殊积分计算定积分二重积分一般是通过转化为累次积分即两个定积分来计算的,但从逆向思维的角度来看,有些定积分问题也可以转化为二重积分进行计算.对于某些特殊结构的被积函数而言,可先将定积分设法化为二重积分,再用二重积分的性质进行计算.另外可利用欧拉积分,椭圆积分,勒让德积分,通常将所求积分转化成某种特殊积分(如果可以转化的话),利用其特性查表求得其值.例1 求310ln x xI dx x-=⎰. 解 由3ln x x x -在(0,1)内连续,且30lim 0ln x x xx +→-=,31lim 2ln x x x x -→-=,故310ln x x dx x -⎰有意义.又由331ln y x x x dy x-=⎰,因此有310ln x xI dx x-=⎰1301y dx x dy =⎰⎰311y dy x dx =⎰⎰3111dy y =+⎰ln 2=. 例2 求10ln b ax x I dx x-=⎰,0a >,0b >. 解 由于ln b a x x x -ln ln ln b x a xe e x-=ln b t x a e dt =⎰,则有 10ln b ax x I dx x -=⎰1ln 0()b t x a e dt dx =⎰⎰1ln 0()bt xaedx dt =⎰⎰110[()]1t ba x dt t +=+⎰1b adt t =+⎰1ln ||1b a +=+.例3求10I =⎰.解 由于arctan xx 122011dy x y=+⎰1021arctan y y x xy x ===,则有1I =⎰110dx =⎰⎰,令cos x t =,则sin dx tdt =-.当0x =时,2t π=;当1x =时,0t =,则110I dx =⎰⎰122201cos dtdy y tπ=+⎰⎰122220111tan cos dy dt y t t π=⋅++⎰⎰10dy =⎰12π=⎰10ln(2y π=+ln(12π=+.例4求1220=I ⎰.解 ⎰--=2102224111412dx x x xI 12022dx =-⎰, 令sin x ϕ=,则cos dx d ϕϕ=.当0x =时,0ϕ=;当12x =时,6πϕ=,则120-⎰⎰6=πϕϕ-⎰⎰11(,)(,)2626F E ππ=-.故有12=I ⎰112(,)2(,)2626F E ππ=-,其中1(,)26F π,1(,)26E π分别为勒让德第一类,第二类椭圆积分,经查表1(,)0.529426F π=,5179.0)6,21(=πE ,故有 ()20.52940.517920.01150.023I =⨯-=⨯=.例5求0π⎰(01)k <<.解令tan22t x =,则有tan 22x t =.利用三角恒等式可得 cos cos 1cos t k x k t -=-,211cos 1cos k k x k t-+=-,1cos dx dt k t =-,将其带入原式,得π⎰0π=⎰ 111422304(1)sincos 22(1)k t t dt k π--=+⎰11142223042(1)sincos 22(1)k t tdt k π--=+⎰, 其中11222sincos 22t t dt π-⎰113(,)244B =11()(1)144132()44ΓΓ-=Γ+ 12sin 4ππ==从而有π⎰34(1)k =+. 对某些特殊定积分的情形,完全可以不使用一般性的解题方法,而是要具体问题具体分析,有时还有比常规方法更简捷的方法,如上述例题中讨论的,这样可减少计算量,提高解题效率.结论本文主要研究了数学分析中定积分的计算,定积分的计算有很强的灵活性,形式多样,对具体函数的积分,我们不能只停留在常规的方法上,具体问题具体分析,只有通过积极尝试,才能寻求到简便方法,提高定积分的解题技能.定积分的计算方法与技巧丰富多样,除用定积分的定义、性质、基本公式、换元积分法与分部积分法等方法外,我们还可以巧用对称区间、概率公式、几何意义等方法和技巧来求定积分.本文介绍了一些定积分的计算方法及特殊技巧,以提高我们对于定积分的计算能力.但是求定积分的方法还有很多,需要我们不断地去探究,使这些特殊的定积分的计算大大简化.通过对定积分方法及技巧的研究,引导我们积极思考问题,提高我们的分析问题和解决问题的能力.参考文献[1] 同济大学数学系,高等数学(上册)[M],北京:高等教育出版社,(2002):96-97[2] 刘玉琏,傅沛仁,数学分析讲义[M],北京:高等教育出版社,(2008):428-430[3] 梁之舜,概率论及数理统计[M],北京:高等教育出版社,(1998):188-191[4] 杨传林,数学分析解题思想与方法[M],杭州:浙江大学出版社,(2008):97-102[5] 范培华,研究生入学考试微积分[M],北京:北京大学出版社,(2002):139-140[6] 刘亚琴,定积分的几种解法归类[J],中国商界,2010,9(2):187-188[7] 罗威,定积分计算中的若干技巧[J],沈阳师范大学学报,2010,28(2):165-168[8] 刘坤林,谭泽光,微积分通用辅导讲义[M],北京:清华大学出版社,(2008):145-146[9] 于新凯,金少华,微积分典型问题分析与习题精选[M],天津:天津大学出版社,(2009):93-96[10] 张景中,直来直去的微积分[M],北京:科学出版社,(2010):123-125[11] 魏宗舒,概率论与数理统计教程[M],北京:高等教育出版社,(2008):112-142[12] 陈文灯,黄先开,高等数学复习指导—思路、方法与技巧[M],北京:清华大学出版社,(2003):454-461致谢通过这一阶段的努力,我的毕业论文《计算定积分的若干方法》终于完成了,这意味着大学生活即将结束.在本文的撰写过程中,张姮妤老师作为我的指导老师,她治学严谨,学识渊博,视野广阔,为我营造了一种良好的学术氛围.置身其间,耳濡目染,潜移默化,使我不仅接受了全新的思想观念,树立了明确的学术目标,领会了基本的思考方式,掌握了通用的研究方法,而且还明白了许多待人接物与为人处世的道理.张老师严以律己、宽以待人的崇高风范,朴实无华、平易近人的人格魅力,与无微不至、感人至深的人文关怀,令人如沐春风,倍感温馨.正是由于她在百忙之中多次审阅全文,对细节进行修改,并为本文的撰写提供了许多中肯而且宝贵的意见,本文才得以成型.值此论文完成之际,谨向关心、帮助、支持和鼓励我的张姮妤老师致以最真诚的谢意和最衷心的祝福!向她无可挑剔的敬业精神、严谨认真的治学态度、深厚的专业修养和平易近人的待人方式表示深深的敬意!。

定积分的计算方法

定积分的计算方法

定积分的计算⽅法定积分的计算⽅法摘要定积分是积分学中的⼀个基本问题,计算⽅法有很多,常⽤的计算⽅法有四种:(1)定义法、(2)⽜顿—莱布尼茨公式、(3)定积分的分部积分法、(4)定积分的换元积分法。

以及其他特殊⽅法和技巧。

本论⽂通过经典例题分析探讨定积分计算⽅法,并在系统总结中简化计算⽅法!并注重在解题中⽤的⽅法和技巧。

关键字:定积分,定义法,莱布尼茨公式,换元法Calculation method of definite integralAbstractthe integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calculation method is a lot of, (1)definition method,(2)Newton - Leibniz formula, (3)integral subsection integral method, (4) substitute method.This paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system of simplified, summarized the approximate calculation method! And pay attention to problem in using the methods and skills.Key words:definite integral ,definition method, Newton - Leibniz, substitute method⽬录⽬录 (2)1绪论 (3)1.1定积分的定义 (3)1.2定积分的性质 (4)2 常⽤计算⽅法 (5)2.1定义法 (5)2.2⽜顿-莱布尼茨公式 (6)2.3定积分的分部积分法 (7)2.4定积分的换元积分法 (7)3 简化计算⽅法............................................................................................. 错误!未定义书签。

定积分的计算方法研究毕业论文【范本模板】

定积分的计算方法研究毕业论文【范本模板】

编号2013110110 研究类型理论研究分类号O17学士学位论文Bachelor’s Thesis论文题目定积分的计算方法研究作者姓名施莉学号2009111010110所在院系数学与统计学院学科专业名称数学与应用数学导师及职称许绍元教授论文答辩时间2013年5月25日湖北师范学院学士学位论文诚信承诺书目录1。

定积分的产生背景及定义 (3)1。

1曲边梯形面积 (3)1。

2定义1 (3)1。

3定义2 (3)2.定积分的几种计算方法 (4)2。

1定义法 (4)2。

2换元法求定积分 (4)2。

3牛顿莱布尼兹公式 (8)2。

4利用对称原理求定积分 (10)2.5利用奇偶性求函数积分 (12)2。

6利用分部积分法计算定积分 (14)2.7欧拉积分在求解定积分中的应用 (15)3。

结论 (19)4。

参考文献 (19)定积分的计算技巧研究施莉(指导老师:许绍元)(湖北师范学院数学与统计学院中国黄石 435002)内容摘要:定积分在微积分中占有极为重要的位置,它与微分相比,难度大、方法灵活﹒如果单纯的按照积分的定义来计算定积分,那将是十分困难的﹒因此,我们要研究定积分的计算方法﹒常用的方法有定义法、莱布尼兹公式法、分步积分法、换元法以及其他的特殊方法﹒下面我们将探讨一下定积分的计算技巧﹒本文主要根据定积分的定义、性质、被积函数的奇偶性和对称性、以及某些具有特征的函数总结了牛顿莱布尼兹公式、换元法、分部积分、凑微分﹒目前,对于定积分的求法和应用的研究是比较全面和完善的﹒我们要学会总结归纳定积分的一般性求法以及具有特殊特征的函数的求法﹒同时,将定积分应用于数学问题的求解中以及物理学和经济学的实际问题中是非常必要的﹒关键词:定积分;求法;应用定积分的计算技巧研究1.定积分的产生背景及定义1.1曲边梯形面积设f 为闭区间上的连续函数,且由曲线直线以及轴所围成的平面图形,成为曲边梯形11()()i i i ni x x i i i S f x x ξ=-=≈∆∆=-∑变力做功:11()()i i i ni x x i i i W f x x ξ=-==∆∆=-∑定积分的意义:定义1:设闭区间上有1n -个点,依次为:0121n n a x x x x x b -=<<<<<=,它们把[],a b 分成n 个小区间i ∆=[]1,i i x x -,1,2,3,,i n =﹒这些分点或者这些闭子区间构成[],a b 的一个分割,记为:{}011,,,,n n T x x x x -=或者{}12,,,n ∆∆∆,小区间i ∆的长度记为i x ∆=i x -1i x -,并记:T =max {}i x ∆,称为T 的模﹒注:由于i x ∆≤T ,1,2,3,,i n =,因此T 可用来反映[],a b 被分割的细密程度﹒另外,分割一旦给出,T 就随之而确定;但是,具有同一细度的分割却有无限多﹒ 1.2定义1设f 是定义在[],a b 上的一个函数,对于[],a b 的一个分割{}12,,,n T =∆∆∆,任取i i ξ∈∆,1,2,3,,i n =,并作和式1()i i ni x i f ξ==∆∑,称此和式为f 在上的积分和,也是黎曼和﹒显然积分既和分割T 有关,又与所选的点集{}i ξ有关﹒ 1。

高职数学的定积分概念教学设计论文

高职数学的定积分概念教学设计论文

高职数学的定积分概念教学设计论文高职数学的定积分概念教学设计论文摘要:很多高职院校的学生觉得高职数学难,尤其是积分学的部分。

本文从定积分的概念、几何意义出发,阐述定积分教学内容、教学目标、教学方法、教学重难点的设计以及在教学中应注意的问题。

关键词:高职数学;定积分;几何意义;教学设计高职数学的学习,是为了使学生初步掌握必须、够用的数理理论、知识、方法以及培养学生的逻辑思维能力、科学理论理解能力、量化解决相关专业问题能力,提高继续深造的学习与自主学习能力等。

近些年,由于高职院校的扩招,学生素质参差不齐,高考数学分数也较低,缺乏学习的自信心等原因,导致高职数学的教学越来越难。

相对于微分学来说,学生觉得积分学更难。

不能很好地理解概念,不能准确地掌握解题方法,致使学习效果很不理想。

即便实际情况很复杂,在高职学生中也不乏有上课认真听讲,对于教师讲解过的概念能有较好的理解并能独立解决一些问题,这让我很欣慰。

积分学的基础是微分学,相关计算之间关系密切。

而不定积分的计算更是定积分计算的基础,通过不定积分的求解方法:直接积分法、换元积分法以及分部积分法,结合牛顿———莱布尼兹公式,即可得出定积分的计算方法。

本文中定积分的概念是连接不定积分与定积分计算的关键部分,只有学生准确掌握其概念,才能更好地运用其运算并解决相关问题。

而教学经验说明,定积分概念掌握较好的学生,定积分的计算及其应用学起来较容易且效果较好。

一、教学内容设计教学过程中,由矩形、梯形面积问题,引出曲边梯形面积求解问题。

给出引例:曲边梯形的面积问题,求由y=f(x)(x≥0)与x=a,x=b,x轴所围成的图形的面积,强调引例的特殊性———图形的位置及形成过程。

设计问题:1.规则图形求面积如矩形,梯形,三角形等可以借助公式进行求解,曲边梯形的面积怎么求解?2.能不能求出曲边梯形面积的近似值(用什么图形代替)?3.怎么能让误差变小?4.曲边梯形面积表达式是什么?5.定积分解决图形面积问题中的关键表达式是什么?二、教学目标设计定积分概念的.学习,准确理解定积分的概念:乘积求和取极限的表达式。

定积分的计算方法研究毕业论文

定积分的计算方法研究毕业论文

定积分的计算方法研究毕业论文
一、研究背景
积分作为一种货币形式存在,可以用在零售、旅游、金融、教育等行
业领域,支持企业客户的关系管理和客户价值增长。

企业积分计算方法不
仅可以帮助企业构建客户的长期关系,还可以保持企业的竞争力,并赋予
客户价值。

近年来,各行各业均采用积分计算方法。

随着科技的发展和技
术的进步,企业的积分计算方法也发生了很大的变化,这也体现在企业积
分计算方法的实现上。

企业积分系统的研究有助于提高企业客户关系的管
理效率,提高客户满意度,实现客户管理的长期发展目标。

二、研究内容
1、确定企业积分计算方法的发展状况。

企业积分计算方法是根据客户实际情况确定的,一般包括客户的属性、行为、环境、关系等。

企业可以考虑采用多种计算方法,比如购买、贡献、参与、奖励等;也可以考虑采用多种客户定位方法,如投资能力、消费意
愿等来定位客户,从而确定客户的积分数量。

2、研究企业积分计算方法的实现过程。

企业积分计算方法的实现过程首先要确定企业计算积分的目的,然后
确定企业积分计算的方法,接着确定企业客户的数量和分级客户的积分标准,最后对企业积分计算方法进行评价。

定积分计算的总结论文

定积分计算的总结论文

定积分计算的总结闫佳丽摘 要:本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种:(1)定义法、(2)牛顿—莱布尼茨公式、(3)定积分的分部积分法、(4)定积分的换元积分法. 关键词:定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元.1前言17世纪后期,出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程,则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分.2正文那么,究竟什么是定积分呢?我们给定积分下一个定义:设函数()f x 在[],a b 有定义,任给[],a b 一个分法T 和一组{}k ξξ=,有积分和1(,)()nk k k T f x σξξ==∆∑,若当()0l T →时,积分和(,)T σξ存在有限极限,设()0()01lim (,)lim()nkk l T l T k T f x I σξξ→→==∆=∑,且数I 与分法T 无关,也与k ξ在[]1,k k x x -的取法无关,即{}0,0,:(),k T l T εδδξξ∀>∃>∀<∀=有1()nkkk f xI ξε=∆-<∑,则称函数()f x 在[],a b 可积,I 是函数()f x 在[],a b 的定积分,记为()01()lim()nbkk al T k f x dx f x I ξ→==∆=∑⎰.其中,a 与b 分别是定积分的下限与上限;()f x 是被积函数;()f x dx 是被积表达式;x 是积分变量.若当()0l T →时,积分和(,)T σξ不存在极限,则称函数()f x 在[],a b 不可积.定积分的几何意义也就是表示x 轴,x a =,x b =与()y f x =围成的曲边梯形的面积.但是我们知道并不是所有的被积函数都是可积的,这就涉及到定积分的三类可积函数:1、函数()f x 在闭区间[],a b 连续,则函数()f x 在闭区间[],a b 可积.2、函数()f x 在闭区间[],a b 有界,且有有限个间断点,则函数()f x 在闭区间[],a b 可积.3、若函数()f x 在闭区间[],a b 单调,则函数()f x 在闭区间[],a b 可积. 在定积分的计算中,常用的有四种方法,在不同的情况下用的方法也是不同的.一、按照定义计算定积分.定积分的定义法计算是运用极限的思想,简单的来说就是分割求和取极限.以()ba I f x dx =⎰为例:任意分割,任意选取k ξ作积分和再取极限.任意分割任意取k ξ所计算出的I 值如果全部相同的话,则定积分存在.如果在某种分法或者某种k ξ的取法下极限值不存在或者与其他的分法或者k ξ的取法下计算出来的值不相同,那么则说定积分不存在.如果在不知道定积分是否存在的情况下用定义法计算定积分是相当困难的,涉及到怎样才是任意分割任意取k ξ.但是如果根据上述三类可积函数判断出被积函数可积,那么就可以根据积分和的极限唯一性可作[],a b 的特殊分法,选取特殊的k ξ,计算出定积分.第一步:分割.将区间[],a b 分成n 个小区间,一般情况下采取等分的形式.b ah n-=,那么分割点的坐标为(),0a ,(),0a h +,()2,0a h +......()(1),0a n h +-,(),0b ,k ξ在[]1,k k x x -上任意选取,但是我们在做题过程中会选取特殊的k ξ,即左端点,右端点或者中点.经过分割将曲边梯形分成n 个小曲边梯形.我们近似的看作是n 个小长方形.第二步:求和.计算n 个小长方形的面积之和,也就是()1nkk f h ξ=∑.第三步:取极限.()()0011lim lim n nk k h h k k I f h h f ξξ→→====∑∑,0h →即n →∞,也就是说分的越细,那么小曲边梯形就越接近小长方形,当n 趋于无穷之时,小曲边梯形也就是小长方形,那么小长方形的面积和即为曲边梯形的面积,也就是定积分的积分值.例1、 用定义法求定积分10xdx ⎰.解:因为()f x x =在[]0,1连续 所以()f x x =在[]0,1可积 令101h n n-== 将[]0,1等分成n 个小区间,分点的坐标依次为02...1h h nh <<<<= 取k ξ是小区间[](1),k h kh -的右端点,即k kh ξ=于是210(1)1lim lim 2n n n n xdx khh n →∞→∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰211(1)1lim lim 222n n n n n n →∞→∞++=== 所以,1012xdx =⎰二、微积分基本公式:牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式很好的把定积分与不定积分联系在一起。

定积分计算的总结论文

定积分计算的总结论文

定积分计算的总结论文标题:定积分的计算方法总结摘要:定积分是微积分学中的重要内容,该文通过总结定积分的计算方法,包括基本定积分的计算、利用定积分计算面积和体积、变量替换求解定积分等方面的知识,探讨了定积分在实际问题中的应用,总结了定积分的计算方法,为读者提供了一种关于定积分计算的综合信息。

关键词:定积分;计算方法;面积;体积;变量替换1.引言定积分是微积分学中的重要工具,用于求解一条曲线所围成的面积、计算一些曲面的体积等。

在物理、经济学和工程学等领域,定积分的应用广泛。

本文主要总结并归纳定积分的计算方法,以及定积分在实际问题中的应用。

2.定积分的基本计算方法2.1基本不定积分首先,我们需要了解基本不定积分的常用公式,如幂函数积分、三角函数积分、指数函数积分等。

基本不定积分是求解定积分的基础,需要熟练掌握。

2.2基本定积分的计算基本定积分的计算可以通过牛顿-莱布尼茨公式进行求解,即通过求解不定积分的差来得到定积分的值。

此外,还可以通过分部积分法等方法来简化计算。

3.利用定积分计算面积和体积3.1曲线围成的面积通过定积分的计算方法,可以求解一条曲线所围成的面积。

常见的曲线有直线、抛物线、三角函数曲线等。

通过将曲线用函数表达式表示,并确定积分上下限,可以通过定积分的计算求解面积值。

3.2曲面的体积利用定积分的计算方法,可以计算曲面围成的体积。

例如,通过确定边界曲线的函数表达式,设置积分上下限,可以通过定积分计算出曲面体积的值。

4.变量替换求解定积分变量替换是定积分计算中常用的方法之一,可以将复杂的定积分转化为简单的形式。

通过选择适当的变量替换,使被积函数形式简单化,从而更容易计算定积分。

5.定积分的应用定积分在实际问题中有广泛的应用,如物体质量、质心的计算、平均值的求解、几何问题的解决等。

本文还介绍了一些实际问题,并利用定积分的计算方法得到解答。

6.结论本文总结了定积分的计算方法,包括基本定积分的计算、利用定积分计算面积和体积、变量替换求解定积分等方面的知识。

定积分的应用(论文)

定积分的应用(论文)

定积分的应用中文摘要:本文简要的讨论了定积分在数学、物理学的基本应用。

数学方面包括应用定积分计算平面曲线的弧长、平面图形的面积以及立体图形的体积;物理方面包括应用定积分去求变力对物体所做的功以及求电场的场强。

此外定积分在求数列极限、证明不等式、求和以及因式分解等方面也有广泛的应用;本文在阐述定积分的应用时,充分使用了“微元法”这一基本思路,它是我们解决许多实际问题的核心。

关键词:微元法 定积分 电场强度 数列极限Abstract: This paper discussed the definite integral in mathematics, physics of basic applications. Mathematics including application of definite integral calculation plane curve arc length, the plane figure of the area and volume of three-dimensional graph, Physical aspects including application of definite integral to change to the object force and the work done for electric field. Besides definite integral in the beg sequence limit, proof, inequality summation factoring decomposition and has a wide application in, Based on the expatiation of the definite integral of application, make full use of the "micro element method" the basic idea, it is we solve many practical problems at the core.Key W ords: Micro element method definite integral electric intensity sequence limit引言:恩格斯曾经指出,微积分是变量数学最重要的部分,微积分是数学的一个重要的分支,它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具;如复杂图形的研究,求数列极限,证明不等式等;而在物理方面的应用,可以说是定积分最重要的应用之一,正是由于定积分的产生与发展,才使得物理学中精确的测量计算成为可能,从而使物理学得到了长足的发展,如:气象、弹道的计算,人造卫星轨迹的计算,运动状态的分析等,都要用得到微积分。

定积分法求面积探究毕业论文

定积分法求面积探究毕业论文

定积分法求面积的探究教学系:专业:年级:姓名:学号:导师及职称:摘要定积分是数学中十分重要的工具,其中求图形的面积正是它的运用之一,它的思想就是切割求和,在不同的坐标系下可采用特定的方法求解面积。

本文介绍了几种运用定积分来求面积的方法,其中列举了特殊的例题以及重要的问题解决方法。

如果实际问题中的所求量与某一区间有关且在该区间上具有可加性,我们就可以用函数的定积分来表示这个所求的量,因此我们就可以运用定积分来解决一些实际问题。

同时利用定积分求不规则平面图形的面积,是定积分在几何中的重要应用之一。

如何灵活地运用定积分的定义及有关公式,巧妙地将求不规则图形的面积问题等价转化为求定积分的数值问题就是一大关键,本文结合实例,介绍几种常用的转化方法与求解策略。

从而充分的体现数形结合的数学思想方法。

关键词:定积分;封闭图形;曲面域;对称性Research of square in definite integralABSTRACTA definite integral is very important mathematical tools, for which the graphics area is one of its application, its thought is to cut and, under different coordinate systems can use specific method to find the area. This paper introduces several methods of using the integral area to seek the. Which lists the specific examples and an important method to solve the problem. If practical problems for quantity with a certain interval and in the interval is additive, we can use the definite integral of a function to represent the desired amount. Therefore, we can use the definite integral to solve some practical problems.At the same time, the use of definite integrals for the irregular plane graphics area, is one of the important applications of integral in geometry. How to flexibly use definite integral is defined and the related formulae and skillfully will seek irregular graphic area equivalent transformation to calculate the numerical integral is one of key, the paper with examples, introduces several commonly used transformation method and solution strategy. In order to fully reflect the combination of the mathematical thought and method.Keywords: definite integral; closed graph; surface area; symmetry目录一、引言 (5)二、相关概念 (5)1.1 定积分的定义 (5)1.2 定积分的常用计算方法 (5)1.2.1 直接利用公式及性质计算 (5)1.2.2 利用定积分的区间可加性计算 (6)三、定积分在面积问题中的应用 (6)3.1 直角坐标系下求面积 (6)3.1.1 平面面积 (6)3.1.2 曲面面积 (9)3.2 极坐标 (10)3.3 求旋转曲面的面积 (11)四、常见方法 (10)4.1 巧选积分变量 (14)4.2 巧用对称性 (15)4.3 巧用分割计算 (15)五、结束语 (16)参考文献 (17)致 (13)一、引言积分在自然科学、工程技术、经济管理中有着广泛的应用,比如利用积分求平面图形的面积、变力做功等都是微积分中定积分的应用问题,在数学分析中占据了重要地位。

定积分在物理学中的应用 毕业论文

定积分在物理学中的应用  毕业论文

题目:定积分在物理学中的应用作者姓名:学号:系(院)、专业:数学与统计学院数学与应用数学指导教师姓名:指导教师职称:2012年2月18日摘要定积分是高等数学的重要组成部分,在物理学中也有广泛的应用。

微元法是将物理问题抽象成定积分非常实用的方法。

本文主要通过利用“微元法”的思想求变力做功、水压力、引力和转动惯量等物理问题,说明微元法关键是在局部是建立微元表达式,从而将所求物理问题转化为定积分。

关键词:定积分;物理应用;微元法ABSTRACTThe integral is an important part of higher mathematics, they are widely used in physics. The differential method is a practical method that physical problems are abstracted integral .This paper mainly study the use of differential method, for example, the acting of variable force, water pressure, gravity and so on. It is important that established local and then changed the physical problem into integral.Keywords: integral; physics application; differential method目录1.引言 (1)2.定积分在物理学中的应用举例 (1)2.1变力做功 (1)2.2 抽水做功 (3)2.3液体的压力 (4)2.4引力问题 (6)2.5转动惯量 (7)3.结束语 (10)参考文献 (111)致谢 (11)定积分在物理学中的应用1.引言在物理学中,善于应用定积分解决实际问题是很重要的。

定积分的证明小论文

定积分的证明小论文

定积分的证明(等式与不等式)论文一.总结与归纳:一.定积分的性质两个特殊的定积分(1)如果()f x 在x a =点有意义,则()0aaf x dx =⎰;(2)如果()f x 在[],a b 上可积,则()abf x dx =⎰-()baf x dx ⎰。

.定积分的线性性设函数()f x 和()g x 在[],a b 上都可积,k 是常数,则()kf x 和()f x +()g x 都可积,并且(1)()bakf x dx ⎰=()bak f x dx ⎰;(2) ()()ba f x g x dx +⎡⎤⎣⎦⎰=()ba f x dx ⎰+()ba g x dx ⎰ (3)()()b a f x g x dx -⎡⎤⎣⎦⎰=()b a f x dx ⎰-()ba g x dx ⎰. 性质 1 定积分对于积分区间的可加性设()f x 在区间上可积,且a ,b 和c 都是区间内的点,则不论a ,b 和c 的相对位置如何,都有()caf x dx ⎰=()b af x dx ⎰+()cbf x dx ⎰。

性质 2 如果在区间[],a b 上()f x ≡1,则1badx ⎰=badx ⎰=b a -。

性质 3 如果在区间[],a b 上()f x ≥0,则()baf x dx ⎰≥0()a b <。

推论1 定积分的可比性如果在区间[],a b 上,()f x ≤()g x ,则()ba f x dx ⎰≤()bag x dx ⎰,()baf x dx ⎰≤()baf x dx ⎰。

性质 4 积分的有界性如果()f x 在[],a b 上连续,且对任意的x ∈[],a b ,都有m ≤()f x M ≤,则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰。

性质 5 积分中值定理如果函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,则在积分区间[],a b 上至少存在一点ξ,使下式成立()baf x dx ⎰=()f ξ()b a -,且()f ξ=1b a-()baf x dx ⎰称为函数()f x 在区间[],a b 上的平均值。

数学定积分论文

数学定积分论文

数学定积分论文----------------------------知识改变生活精品word文档值得下载值得拥有----------------------------------------------班级:10金融2班姓名:陈永槟学号:10311071数学定积分论文【摘要】定积分是微积分学中的主要概念之一,它是从各种各样的积累中抽象出来的数学概念,它是函数的一种特定结构和式的极限。

这种特定结构的和式的极限,不仅是计算区域面积或度量几何体的数学工具,而且是计算许多实际问题的重要工具。

我们可以应用定积分来计算一些常见的几何量和物理量。

【关键词】定积分、面积、体积【正文】定积分是分布在区间上的整体量,因为整体是由局部组成的,所以将实际问题抽象为定积分,必须从整体着眼,从局部入手。

具体做法是,首先将区间上的整体量化成区间上每一点的微分,亦称微元,这是“化整为零”,其次,对区间上每一点的微分无限累加,连续作和,这是“积零为整”,就得到了欲求的定积分。

为了能更好的了解定积分在计算图形面积、立体图形体积上的应用,请看以下例题,例题、计算一块材料的面积,图1阴影部分的面积即为所求面积,易知,抛物线方程,直线方程为:图1----------------------------知识改变生活精品word文档值得下载值得拥有--------------------------------------------------------------------------知识改变生活精品word文档值得下载值得拥有----------------------------------------------以上是定积分在图形面积上的应用,用类似求图形面积的思想也可以求一个立体图形的体积。

常用的方法是我们将此物体划分成血多基本的小块横截面积,则可以算出此小块的体积,再将所有的小块加起来,便可以算出其体积。

例题,求椭圆面所为立体的体积从这两个例题,让我学到了如何用定积分去求一个物体的面积、体积,它们所用的方法基本是一致的,因此定积分在实际应用中,存在很重要的地位。

定积分在物理学中的应用论文

定积分在物理学中的应用论文

摘要:定积分是高等数学的重要组成部分,在物理学中也有广泛的应用。

微元法是将物理学问题抽象成定积分非常实用的方法。

本文主要利用“微元法”的思想求变速直线运动,变力做功等物理问题。

关键词:定积分;物理应用;微元法。

1.引言: 32.定积分定义: 33.定积分在物理学中的应用举例 53.1变速直线运动的路程 53.2变力作功 53.3引力问题 64.结束语:75.参考文献76.致谢71.引言:在物理学中,善于应用定积分解决实际问题是很重要的。

定积分的物理应用关键在于对微元法有一个充分的理解和认识,进而求出变速直线运动,变力作功等物理问题。

2.定积分定义:设函数f(x) 在区间[a,b]上连续,将区间[a,b]分成n个子区间[a,x0],(x0,x1],(x1,x2],…,(xi,b],可知各区间的长度依次是:△x1=X0-a,△x2=X1-x0,…,△xi=b-xi.在每个子区间(xi-1,xi)任取一点ξi(i=1,2,…,n),作和式(见右下图),设λ=max{△x1,△x2,…,△xi}(即λ属于最大的区间长度),则当λ→0时,该和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分,记作 badxxf)(。

其中a 与 b叫做积分下限与积分上限,区间[a,b] 叫做积分区间,函数f(x) 叫做被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式。

3.定积分在物理学中的应用举例3.1变速直线运动的路程设某物体做直线运动,已知速度v=v(t)是时间间隔【1T ,2T 】上t 的连续函数,且v(t)>=0,计算在这段时间内物体经过的路程。

(路程=速度×时间)在时间间隔【1T ,2T 】内任意插入若干个分点2101......T t t t T n =<<<=,把【1T ,2T 】分成n 个小时段],],......[,[],,[12110n n t t t t t t -, 各小时段时间的长依次为Δ011t t t -=,......Δ1--=n n n t t t 。

定积分论文

定积分论文

§ 1 定积分概念教学要求: 知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等,以及解决这些实际问题的数学思想方法;深刻理解并掌握定积分的思想:分割、近似求和、取极限,进而会利用定义解决问题;教学重点:深刻理解并掌握定积分的思想.一、问题背景: 1. 曲边梯形的面积; 2. 变力所作的功 二、定积分的定义从上面两个例子看出,不管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功,它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取极限”,或者说都归结为形如∑=∆ni iixf 1)(ξ的和式极限问题。

我们把这些问题从具体的问题中抽象出来,作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。

由此我们可以给定积分下一个定义定义 设 )(x f 是定义在区间],[b a 上的一个函数,在闭区间],[b a 上任取n-1个分b x x x x a n i i =<<<<<<- 11把 [a,b] 分成 n 个小闭区间,我们称这些分点和小区间构成的一个分割,用T 表示, 分割的细度用}max {||||i x T ∆=表示,在分割T 所属的各个小区间内各取一点],[1i i i x x -∈ξ称为介点,作和式∑=∆ni iixf 1)(ξ 以后简记为 ∑)(T f此和式称为)(x f 在],[b a 上属于分割T 的积分和(或黎曼和,设J 是一个确定的数,若对任意0>ε总存在某个0>δ,使得 ],[b a 上的任何分割T ,只要它的细度δ<||||T ,属于分割T 的所有积分和 ∑)(T f 都有ε<-∑|)(|J T f则称)(x f 在],[b a 上可积,称J 为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分(或黎曼积分),记作⎰baf(x)dx其中)(x f 称为积分函数,x 称为积分变量,],[b a 称为积分区间,b a ,分别称为积分 的上限和下限。

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§ 1 定积分概念教学要求: 知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等,以及解决这些实际问题的数学思想方法;深刻理解并掌握定积分的思想:分割、近似求和、取极限,进而会利用定义解决问题;教学重点:深刻理解并掌握定积分的思想.一、问题背景: 1. 曲边梯形的面积; 2. 变力所作的功 二、定积分的定义从上面两个例子看出,不管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功,它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取极限”,或者说都归结为形如∑=∆ni iixf 1)(ξ的和式极限问题。

我们把这些问题从具体的问题中抽象出来,作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。

由此我们可以给定积分下一个定义定义 设 )(x f 是定义在区间],[b a 上的一个函数,在闭区间],[b a 上任取n-1个分b x x x x a n i i =<<<<<<- 11把 [a,b] 分成 n 个小闭区间,我们称这些分点和小区间构成的一个分割,用T 表示, 分割的细度用}max {||||i x T ∆=表示,在分割T 所属的各个小区间内各取一点],[1i i i x x -∈ξ称为介点,作和式∑=∆ni iixf 1)(ξ 以后简记为 ∑)(T f此和式称为)(x f 在],[b a 上属于分割T 的积分和(或黎曼和,设J 是一个确定的数,若对任意0>ε总存在某个0>δ,使得 ],[b a 上的任何分割T ,只要它的细度δ<||||T ,属于分割T 的所有积分和 ∑)(T f 都有ε<-∑|)(|J T f则称)(x f 在],[b a 上可积,称J 为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分(或黎曼积分),记作⎰baf(x)dx其中)(x f 称为积分函数,x 称为积分变量,],[b a 称为积分区间,b a ,分别称为积分 的上限和下限。

利用积分的定义,前面提到曲边梯形面积可简洁的表示为⎰=badx x f S )(变力作功问题可表示为⎰=badx x F W )(三.理解定积分定义要注意以下三点:1)定积分定义与我们前面讲的函数极限的“δε-”定义形式上非常相似,但是两者之间还是有很大差别的。

对于定积分来说,给定了细度||||T 以后,积分和并不唯一确定,同一细度分割由无穷多种,即使分割确定,介点i ξ仍可以任意选取,所以积分和的极限比前面讲的函数极限要复杂的多。

2)定积分是积分和的极限,积分值与积分变量的符号无关⎰⎰⎰==bababadu u f dx x f dt t f )()()(v1.0 可编辑可修改3) 0||||→T 表示分割越来越细的过程,0||||→T 分点个数∞→n ,但反过来∞→n 并不能保证 0||||→T , 所以 ∑=→∆=ni iiT xf J 1||||)(limξ不能写成∑=∞→∆=ni i i n x f J 1)(lim ξ四、举例:例1已知函数在区间上可积 .用定义求积分.解 取 等分区间作为分法 ,. 取.=.由函数在区间上可积 ,每个特殊积分和之极限均为该积分值 .例2 已知函数在区间上可积 ,用定义求积分.解 分法与介点集选法如例1 , 有.上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分.§2 牛顿—莱布尼茨公式教学目标:熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式. 教学内容:牛顿—莱布尼茨公式.(1) 基本要求:熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式. (2) 较高要求:利用定积分的定义来处理一些特殊的极限.用定义来计算定积分一般是很困难的,下面将要介绍的牛顿—莱布尼茨公式不仅为定积分的计算提供了一个有效的方法,而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。

定理9-1 若函数)(x f 在],[b a 上连续,且存在原函数)(x F ,则)(x f 在],[b a 上可积,且⎰-=baa Fb F dx x f )()()(这即为牛顿—莱布尼茨公式,也常记为⎰-==baba a Fb F x F dx x f )()()()(。

证: 给定],[b a 任意一个分割:b x x x a n =<<<=∆ 10:,[]∑∑==-∆=-=-nk kk nk k k x f x F x F a F b F 111)()()()()(η,这里1--=∆k k k x x x ,],[1k k k x x -∈η,用了Lagrange 中值定理。

],[)(b a C x f ∈,由Cantor 定理,f 在],[b a 一致连续,所以0>∀ε,0>∃δ,只要],[,b a ∈ηξ,δηξ<-,就有a b f f -<-εηξ)()(。

于是,当δλ<∆=≤≤k nk x 1max 时,对],[1k k k x x -∈∀ξ,有[][]εηξξ<∆-=--∆∑∑==nk k k knk k kx f f a F b F x f 11)()()()()(。

注1:在实际应用中,定理的条件是可以适当减弱的,如)(x F :在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,且),(),()(b a x x f x F ∈='。

而)(x f 只要在],[b a 上可积即可。

注2:本定理对)(x F 的要求是多余的。

设)(x f 在],[b a 可积(不一定连续),又设)(x F 在],[b a 上连续,并且在),(b a 上,)()(x f x F =',则)()()()(a F b F x F dx x f ba ba-==⎰。

证: 任给],[b a 一分割b x x x a n =<<<=∆ 10:,由Lagrange 中值定理∑=∆=-nk kk x f a F b F 1)()()(η,),(1k k k x x -∈η。

因f 在],[b a 可积,令0max 1→∆=≤≤k n k x λ,则上式右边⎰→ba dx x f )(。

所以⎰=-badxx f a F b F )()()(。

例 1、 利用牛顿—莱布尼茨公式计算下列定积分: 1)⎰ba ndx x (n 为整数); 2)⎰baxdx2(0<a<b ); 3)⎰b a x dx e ; 4)⎰π0sin xdx ; 5)⎰-224dx x x .§3 可积条件教学目标:理解定积分的充分条件,必要条件和充要条件. 教学内容:定积分的充分条件和必要条件;可积函数类(1) 基本要求:掌握定积分的第一、二充要条件. (2) 较高要求:掌握定积分的第三充要条件.一、可积的必要条件定理9-2 若函数)(x f 在],[b a 上可积,则)(x f 在],[b a 上必有界。

证: (反证法) 若函数()f x 在[],a b 上无界,对于[],a b 的任意分法:∆012n x a x x x b=<<<<=则至少存在一个子区间,不妨设为1[,]i i x x -,()f x 在其上无界。

对于任取的{}k ξξ=,注意到()1111,()()()()ni nkki i k k k k k k k i S f xf x f x f x ξξξξξ-===+∆=∆=∆+∆+∆≥∑∑∑111()(()())i ni i k k k k k k i f x f x f x ξξξ-==+∆-∆+∆=∑∑()i i f x Aξ∆-其中111()()i nkkk kk k i A f xf x ξξ-==+=∆+∆∑∑。

于是对于任意取定的1[,]k k k x x ξ-∈,1,2,,1,1,,k i i n =-+。

因()f x 在1[,]k k x x -上无界,对于任意给定0M >1[,]i i i x x ξ-∃∈,,使得()i k M Af x ξ+≥∆可见对于[],a b 的任意分法∆,{}k ξξ∃=,使得()(),i i i iM AS f x A x A M x ξξ+∆≥∆-=∆-=∆可见积分和(),S ξ∆无界,从而函数()f x 在[],a b 上不可积,此与假设相矛盾。

注:该定理指出任何可积函数一定是有界,但要注意的是:有界函数不一定可积。

例1、 证明狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数当为有理数当x ,,x x D 0,1)(在]10[,上有界但不可积。

证:对于[]0,1的任意分法:∆01201n x x x x =<<<<=根据有理数和无理数在数轴上的稠密性,在[]0,1的没一个子区间上既有有理数,也有无理数。

若取{}k ξξ=,且k ξ是1[,]k k x x -上的有理数,则积分和(),S ξ∆=()111n nkkkk k D x xξ==∆=∆=∑∑若取{}k ξξ''=,且k ξ'是1[,]k k x x -上的无理数,则积分和(),S ξ'∆=()1100nnk k k k k D x x ξ=='∆=∆=∑∑从而()()0lim ,1d S ξ∆→∆=,()()0lim ,0d S ξ∆→'∆=,根据定义3知,()D x 在[]0,1上不可积。

二、 可积的的充要条件要判断一个函数是否可积,由定义,可直接考察积分和是否能无限接近某一常数,但由于积分和的复杂性和那个常数不可预知,因此这是极其困难的。

下面即将出的可积准则只与被积函数本身有关,而不涉及定积分的值。

设T={ix ∆n i ,,2,1 =}为对[a ,b]的任一分割。

由)(x f 在[a ,b]上有界知,它在每个i x ∆上存在上、下确界: ix x i x f M ∆∈=)(sup ,ix x i x f m ∆∈=)(inf ,n i ,,2,1 =.作和∑=∆=ni i i x M T S 1)(,∑=∆=ni i i x m T s 1)(,分别称为)(x f 关于分割T 的上和与下和(或称达布上和与达布下和,统称达布和)任给i i x ∆∈ξ,n i ,2,1 =,显然有)()()(T S x f T s i i ≤∆≤∑ξ。

说明:与积分和相比,达布和只与分割T 有关,而与点i ξ的取法无关。

定理9-3(可积准则) 函数)(x f 在],[b a 上可积⇔对0>∀ε,T ∃,使得ε<-)()(T s T S 。

设i i i m M -=ω,并称为)(x f 在i x ∆上的振幅,有必要时记为f i ω。

则有i ni i x T s T S ∆=-∑=1)()(ω。

定理9-3' 函数)(x f 在],[b a 上可积⇔对0>∀ε,T ∃,使得εω<∆∑=i ni i x 1。

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