第一讲逻辑与公理化系统

第一讲数理逻辑与公理化系统逻辑是人通过概念、判断、推理、论证来理解和区分客观事物的思维过程，逻辑思维，人们在认识过程中借助于概念、判断、推理等思维形式能动地反映客观现实的理性认识过程，又称理论思维。

它是作为对认识着的思维及其结构以及起作用的规律的分析而产生和发展起来的。

只有经过逻辑思维，人们才能达到对具体对象本质规定的把握，进而认识客观对象。

它是人的认识的高级阶段，即理性认识阶段。

概念是反映事物内的本质属性及其分子的的思维形式，是抽象的、普遍的想法、观念或充当指明实体、事件或关系的范畴或类的实体。

其特征是概念的内涵（内容）和外延（包含在概念中的事物）；判断的特征是对事物有所断定且有真假；演绎推理的特征是如果前提真，则结论真；（数学的逻辑推理通常是演绎推理）定义是揭示概念内涵的逻辑方式，是用简洁的语词揭示概念反映的对象特有属性和本质属性。

定义的基本方法是“种差”加最邻近的“属”概念。

定义的规则：一是定义概念与被定义概念的外延相同；二是定义不能用否定形式；三是定义不能用比喻；四是不能循环定义。

划分是明确概念全部外延的逻辑方法，是将“属”概念按一定标准分为若干种概念。

划分的逻辑规则：一是子项外延之和等于母项的外延；二是一个划分过程只能有一个标准；三是划分出的子项必须全部列出；四是划分必须按属种关系分层逐级进行，不可以越级。

数学中的逻辑除了上述特点之外，更重要的是定量的刻画客观事物，在这一过程中，集合是一个基本的概念，它通过集合中的一些关系将事物量化。

将具有某种确定的特性的事物的全体称为一个集合。

在数学中，在逻辑量化过程中，会用到量词。

量词是命题中表示数量的词，分为全称量词和存在量词。

全称量词断定所有的个体都具有相关谓词所表示的性质或关系，相当于自然语言中的“一切”、“所有”、“凡”等；存在量词断定存在（即至少有一个，但不一定是每一个）个体具有相关谓词所表示的性质或关系，相当于自然语言中的“有的”、“有”、“至少有一个”、“找得到一个”等。

符号表示为∀（任一）表示全称量词，∃（存在）表示存在量词，在数学中主要有以下几种形式：xF∀表示任一x具有性质F；,x)(x∃表示存在x具有性质F（满足条件F）；F,x()yx∀∀表示任一x和任一y具有关系G（满足条件G）；G(,),yxx,具有关系G（满足条件G）；yx∃∀表示对任一x，存在y，使得yG,)(,yxx,具有关系G（满足条件G）；yx∀G∃表示存在x，对任一y，使得y(),,yx),(,y x G y x ∃∃ 表示 存在x ，存在 y ，使得y x ,具有关系G （满足条件G ）； 复杂的命题或定理、定义是由这几种形式的组合，其一般形式为：n n q p q p q p ,,,2211 使得1+n q 成立。

其中),,2,1(n i p i =为逻辑符号∀或∃；)1,,,2,1(+=n n i q i 为数学表达式。

例1 设R b a ∈,.证明：若对任何正数ε有ε+<b a ，则b a ≤.证明（反证） 若结论不成立，则根据实数的有序性，必有b a >.令b a -=ε，则0>ε且ε+=b a ，这与题设ε+<b a 矛盾，从而b a ≤.数学的定义都是用逻辑的量化形式给出来的，例如极限的定义数列极限定义：设{}n a 是一个数列，a 是一个确定的实数（R a ∈∃），+∈∃>∀N N ,0ε，当N n >时（N n >∀），有ε<-a a n ，则称a 是数列{}n a 的极限，此时也称数列{}n a 收敛于a 。

定义中，数列{}n a 在条件： a 是一个确定的实数（R a ∈∃），+∈∃>∀N N ,0ε，当N n >时（N n >∀）下的性质是ε<-a a n 。

为了更好地理解定义，从反面看一个数列不收敛，这需要对偶法则。

公理系统：从一些公理出发，根据演绎法，推导出一系列定理，这样形成的演绎系统叫做公理系统。

欧氏几何学是一个古典的公理系统；现代公理系统的特征：一是严格性；二是选定公理所依据的标准（不是自明的）。

形式系统是一个完全形式化了的公理系统，系统包括各种初始符号、形式规则、公理、变形规则。

公理4个：第一公理：重言律).)((p p p →∨第二公理：∨引入律)).((q p p ∨→第三公理：析取交换律).()((p q q p ∨→∨第四公理：)).()(()((r p q p r q ∨→∨→→变形规则：一、代入规则；二、分离规则；三、置换规则推演规则（8条），重点介绍求否定规则与对偶规则求否定规则：设E 为一公式，其中→和↔不出现，其否定式-E 可用以下方法直接得到（1） ∨被代以.∧（2） ∧被代以.∨（3） 不出现于部分公式π⌝中的π被代以π⌝（4） π⌝被代以π.对偶规则：设B A ,为两个公式，在其中→和↔不出现，*A 和*B 是B A ,中把∨和∧互换的结果，有（1） 从├B A →，可得├.**A B →（2） 从├B A ↔，可得├.**A B ↔注意：求否定规则实质上是数学中的求否命题，对偶规则的本质是命题与其逆否命题等价；由此可以给出对偶法则：设命题P 为“n n q p q p q p ,,,2211 使得1+n q 成立。

”，则为了得到P 的否命题的正面叙述，只要将“n n q p q p q p ,,,2211 使得1+n q 成立。

”中的逻辑符号),,2,1(n i p i =从)(∃∀改为)(∀∃，并将1+n q 改为它的否定形式即可。

例2定义数列{}n a 发散：N n N a >∃∀∃∀,,,0ε，使得.0ε≥-a a n例3数集A 无上界。

先看数集A 有上界：A x M ∈∀∃,，有.M x ≤则由对偶法则，数集A 无上界：A x M ∈∃∀,，有.M x >公理系统的作用在于，从一些公理或推演规则出发，把某一范围内的真命题推演出来。

因此公理系统要求有两个重要性质，一是完全性（完备性），即从公理出发，能推出多少，是否完全；二是一致性（无矛盾性），即有没有逻辑矛盾，是否一致。

一致性定义有几种，一般介绍以下三种：一、古典定义：一公理系统是一致的，当且仅当，不存在任何公式A ，A 和非A 都在这个系统里可证。

二、语义定义：一公理系统是一致的，当且仅当，一切在这系统里可证的公式都是真的。

三、语法定义：一公理系统是一致的，当且仅当，并非任一合式公式都在这系统里可证。

完全性定义有以下三种：一、语义定义：一公理系统是完全的，当且仅当，一切属于某一特定范围内的真命题都是在这个系统里可证的。

二、语法定义：一公理系统是完全的，当且仅当，如果把一个推演不出的公式作为公理，其结果，所得的系统就不一致。

三、古典定义：一公理系统是完全的，当且仅当，对于任一合式公式A ，或者A 是可证的，或者非A 是可证的。

独立性定义：一公式集合M 是独立的，如果M 中任一公式A 都不能根据给定的推演规则从M 中其它公式推演出来。

不同命题的逻辑：（1） 古典逻辑（二值逻辑：真或假，具有排中律）；（2） 多值逻辑（变项和公式的值不止一项）；（3） 模态逻辑；（4） 构造性逻辑（真假概念是与构造的可实现性相联系的，排中律失效）附录：数理逻辑发展简史数理逻辑的五个特征：第一，数理逻辑是边缘性的学科，在它的范围内，逻辑内容和数学的内容常常交织在一起；第二，从逻辑角度考虑，数理逻辑是研究演绎方法的科学。

演绎方法包括演绎推理和以演绎为基础的证明和公理方法。

第三，在方法方面，数理逻辑使用了特制的符号语言并且在不同部分引用了不同程度的数学方法，随着数理逻辑的进展，还出现了一些新方法，如形式化方法、算术化方法、递归论和模型论方法等。

第四，数理逻辑的很大部分内容已经成长为数学的分支。

第五，数理逻辑的逻辑方面是现代的形式逻辑。

狭义的数理逻辑：用数学方研究数学中的演绎思维和数学基础的学科；广义的数理逻辑：包括一切用特制符号和数学方法来研究处理演绎方法的理论，有时也称为符号逻辑（1881年英国逻辑学家J.Venn提出）。

数理逻辑的发展阶段从17世纪末莱布尼茨起至今有三百年历史。

第一阶段，开始用数学方法研究和处理形式逻辑的时期，初始阶段。

在本阶段里，用数学方法研究思维规律的想法开始被提出。

从17世纪70年代的莱布尼茨到19世纪末布尔（英国）、德摩根（英国）、施罗德（德国）约200年，其成果是逻辑代数和关系逻辑。

莱布尼茨是数理逻辑的创始人，他相信逻辑，更推崇数学方法。

他认为，数学之所以能如此迅速的发展，数学知识之所以能如此有效，就是因为数学使用了特制的符号语言，这种符号为表达思想提供了优良的条件。

他在数理逻辑方面的贡献：一是成功地将命题形式表达为符号公式；二是构成了一个关于两个概念相结合的演算。

布尔是一个自学成才的数学家，1844年发表论文《关于分析中的一个普遍方法》1849年被聘为爱尔兰考克城皇后学院的教授。

他的逻辑著作《逻辑的数学分析》（1847）和《思维规律的考察》（1854），布尔的目的是构造一个演绎思维演算，他的指导思想是逻辑关系和某些数学运算甚为类似，代数系统有不同的解释，把解释推广到逻辑领域，就可以构成一思维的演算。

1833年G.Peacock（1791—1858）提出了所谓的“形式永久性原则”，他们把代数学看作为一种关于符号及其组合规律的科学，代数定理只依据于符号所遵守的组合规律，而与符号所涉及的内容无关。

布尔在《思维规律的考察》中说，思维的运算和代数的运算，他们的“规律必须独立地确定是否成立；它们之间的任何形式的相符只能通过比较然后才能建立起来。

”根据以上思想，布尔构成了一个抽象代数系统，对于这个系统，他给出了四种解释：一种是类的演算，两种是命题的演算，一种是概率的演算。

19世纪后期德国数学家施罗德将布尔代数构成一个演绎系统。

英国数学家德摩根是第一个提出关系逻辑理论的人，他提出了域论的概念，德摩根定理是逻辑学上的一个重要定理。

第二阶段，19世纪中叶数学科学的发展提出了研究数学思想和数学基础的必要性。

数理逻辑适应数学的需要，联系数学实际，在60年的时间内奠定了它的理论基础，创立了特有的新方法，取得了飞跃的发展，成为一门新科学，主要包含以下四个方面：（1）集合论的创立。

在19世纪70年代，德国数学家G.Cantor由于数学理论的需要，创立了集合论，奠定了以后发展的基础。

集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论；数学里遇到的无穷有：无穷过程、无穷小、无穷大。

中国古代和西方希腊时期，数学家们已经接触到无穷过程和无穷小，可是还不能掌握其规律，对他们没有本质的认识。

17世纪微积分出现以后，用到了无穷小增量，引起了对无穷小的讨论及唯心主义的攻击（英国哲学家、牧师G .Berkeley 在《分析学家》中写到：“这些消失的增量究竟是什么呢？它们既不是有限量，也不是无穷小，又不是零，难道我们不能称它们为消逝量的鬼魂吗？”）19世纪20年代，A.L.Cauchy 明确了诸如收敛性、极限等许多概念，建立了极限理论，使得人们对无穷过程才有了本质的认识。